Prepa Convolucion y Correlacion

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Preparaduría: Convolución y Correlación
Javier Freites y Johan Diaz
Jun 2022
1. Repaso Teórico
1.1. Convolución
Sea f y g dos señales ∈ L2[−∞,∞] causales. Entonces:
(f ∗ g)(t) =
∫ ∞
−∞
f(t− s)g(s)ds (1)
1.2. Causalidad
La propiedad de una secuencia tal que hay energía cero antes de un tiempo de inicio finito,
es decir, la señal tiene algo antes de que se origine.
2. Correlación
Sea f y g dos señales ∈ L2[−∞,∞] causales. Entonces:
corr(f, g)(t) =
∫ ∞
−∞
f(t+ s)g(s)ds (2)
2.1. Algoritmo para resolver problemas
1. Graficar
2. Doblar (foding)
3. Desplazamiento
4. Multiplicar
5. Analisis de casos (Integrales)
1
3. Problemas:
3.1. Sea f y g dos señales, calcule su convolución f*g:
Sea g(s) = 1; 0 < s < 1 y f(s) = 1
2
; 0 < s < 1, dos funciones causales. Partimos graficando
ambas funciones:
Figura 1: Gráficas de las funciones f y g
Para realizar la convolución de dos funciones una de ellas debe ser volteada en primer lugar,
y en este caso tomamos f(s) = f(−s), tal que:
Una vez volteada la función se tiene que tener en cuenta que ea función se le aplica un
corrimiento t, tal que nos quedaría f(t− s). Ahora bien, para esta clase de ejercicios se pueden
realizar poniendo valores a t e ir viendo como se comporta, como por ejemplo:
Para t = −2:
2
Figura 2: Gráficas de las funciones f y g
Figura 3: Convolución de f * g para t = -2
Como se observa en la gráfica, como la función f y g no están en un mismo rango de valores,
nos queda que:
(f ∗ g)(−2) = 0
3
Para t = −3/2:
Figura 4: Convolución de f * g para t = -3/2
En este caso por la ubicación de las funciones sigue sin existir una relación entre ambas por lo
que tenemos:
(f ∗ g)(−3/2) = 0
Para t = −1/2:
4
Figura 5: Convolución de f * g para t = -1/2
Podemos observar en la gráfica anterior que, para este valor de t, si existe una relación o
un área que se forma entre ambas funciones, que mediante la gráfica podemos deducir que:
(f ∗ g)(−1/2) = 1/4
Este resultado viene debido a que la función f(s) al ser traslada t = −1/2, queda en un
5
intervalo entre −1/2 y 1/2 por que tendríamos que solo abarca 1/4 del área total de la gráfica.
Para t = 0:
Figura 6: Convolución de f * g para t = 0
Al colocar este valor de t se puede apreciar que ambas funciones están una por debajo de la
otra, sin embargo el área total que abarcar esta unión solo es la mitad del área total, por lo que:
6
(f ∗ g)(0) = 1/2
Y así se podría realizar para n cantidad de puntos t para, al final realizar una gráfica uniendo
los puntos obtenidos. Sin embargo, la convolución se puede realizar para caso más generales sin
tener que emplear puntos específicos y para ello se ha de emplear la fórmula (1) para distintos
casos.
Ahora partimos de la integral:
(f ∗ g)(t) =
∫ ∞
−∞
f(t− s)g(s)ds
Donde tenemos que g(s) se mantiene igual, mientras que f(s):
f(s) = 1/2; 0 < s < 1
f(−s) = 1/2;−1 < s < 0
f(t− s) = 1/2; 0 < s− t < 1
f(t− s) = 1/2; t < s < 1 + t
Por lo que ahora planteamos varios casos:
Caso 1:
En este caso podemos observar que el rango de t a t+ 1 esta fuera de g(s) por lo que:
(f ∗ g)(t) =
∫ t+1
t
f(t− s)g(s)ds
(f ∗ g)(t) = 0
7
Figura 7: Convolución de f * g primer caso
Para t+ 1 < 0, es decir, t < −1.
Caso 2:
Figura 8: Convolución de f * g segundo caso
Para el segundo caso encontramos que:
8
(f ∗ g)(t) =
∫ t+1
t
f(t− s)g(s)ds
(f ∗ g)(t) =
∫ t+1
0
1
2
1ds
(f ∗ g)(t) = 1
2
(s|t+10
(f ∗ g)(t) = 1
2
(t+ 1)
Para −1 < t < 0.
Caso 3:
Figura 9: Convolución de f * g tercer caso
Para este caso, los limites de integración varian, tal que:
(f ∗ g)(t) =
∫ t+1
t
f(t− s)g(s)ds
9
(f ∗ g)(t) =
∫ 1
t
1
2
1ds
(f ∗ g)(t) = 1
2
(s|1t
(f ∗ g)(t) = 1
2
(t− 1)
Para 0 < t < 1.
Caso 4:
Figura 10: Convolución de f * g cuarto caso
Finalmente para el último caso observamos que ambas funciones se encuentran en diferentes
intervalos, por ende:
(f ∗ g)(t) =
∫ t+1
t
f(t− s)g(s)ds
(f ∗ g)(t) = 0
10
Para t− 1 > 0, es decir, t > 1.
Una vez obtenido los 4 casos, se procede a realizar una gráfica total de toda la convolución
para ver como se comporta en general:
Figura 11: Convolución de f * g
3.2. Sea h y g dos señales, calcule su convolución g*h:
h(s) =
{
e−as, s > 0
0, s < 0
(3)
g(s) =
{
1− s, 0 < s < 1
0, 0 > s ∪ s > 1 (4)
3.2.1. Graficamos
11
Figura 12: h(s).
Figura 13: g(s).
Por la definición de convolución, tenemos que:
(g ∗ h)(t) =
∫ ∞
−∞
g(t− s)h(s)ds
Luego por conmutatividad de la convolución:
(g ∗ h)(t) = (h ∗ g)(t)
12
(g ∗ h)(t) =
∫ ∞
−∞
h(t− s)g(s)ds
3.2.2. Doblamos
h(t− s) =
{
e−a(t−s), s < t
0, s > t
(5)
Figura 14: h(t-s)
3.2.3. Desplazamos y analizamos los casos
13
Figura 15: Caso 1: t<0
Figura 16: Caso 2: 0<t<1
Figura 17: Caso 3: t>1
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Figura 18: Casos de convolución a estudiar. Izquierda, t < 0, medio 0 < t < 1, derecha t > 1.
Caso 1: t < 0
(g ∗ h)(t) = 0
Caso 2: 0 < t < 1
(g ∗ h)(t) =
∫ t
0
e−a(t−s)(1− s)ds
(g ∗ h)(t) =
∫ t
0
e−a(t−s)ds−
∫ t
0
e−a(t−s)sds
Integramos por partes la integral de la derecha:
u = s
du = ds
dv = e−a(t−s)
v =
e−a(t−s)
a
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−s)
a
|t0 −
e−a(t−s)
a
s|t0 +
∫ t
0
e−a(t−s)
a
ds
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−s)
a
|t0 −
e−a(t−s)
a
s|t0 +
e−a(t−s)
a2
|t0
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−t)
a
− e
−a(t−0)
a
− e
−a(t−t)
a
t+
e−a(t−0)
a
0 +
e−a(t−t)
a2
− e
−a(t−0)
a2
(g ∗ h)(t) = 1
a
− e
−at
a
− 1
a
t+
1
a2
− e
−at
a2
(g ∗ h)(t) = (1
a
+
1
a2
)(1− e−at)− 1
a
t
15
Caso 3: t > 1
(g ∗ h)(t) =
∫ 1
0
e−a(t−s)(1− s)ds
(g ∗ h)(t) =
∫ 1
0
e−a(t−s)ds−
∫ 1
0
e−a(t−s)sds
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−s)
a
|10 −
e−a(t−s)
a
s|10 +
∫ 1
0
e−a(t−s)
a
ds
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−s)
a
|10 −
e−a(t−s)
a
s|10 +
e−a(t−s)
a2
|10
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−1)
a
− e
−a(t−0)
a
− e
−a(t−1)
a
+
e−a(t−0)
a
0 +
e−a(t−1)
a2
− e
−a(t−0)
a2
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−1)
a
− e
−at
a
− e
−a(t−1)
a
+
e−a(t−1)
a2
− e
−at
a2
(g ∗ h)(t) = e
−a(t−1)
a2
− e−at(1
a
+
1
a2
)
(g ∗ h)(t) =

0, t < 0
( 1
a
+ 1
a2
)(1− e−at)− 1
a
t, 0 < t < 1
e−a(t−1)
a2
− e−at( 1
a
+ 1
a2
), t > 1
(6)
3.2.4. Sea h y g dos señales, calcule su correlación h con g:
h(s) =
{
e−s, s > 0
0, s < 0
(7)
g(s) =
{
1, s > 0
0, s < 0
(8)
16
3.2.5. Graficamos
Figura 19: h(s).
Figura 20: g(s).
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Ahora, recordando la formula de la correlación, tenemos que:
corr(h, g)(t) =
∫ ∞
−∞
h(t+ s)g(s)ds
3.3. Desplazamamos y analizamos casos
Figura 21: correlación h con g para t>0
Figura 22: correlación h con g para t<0
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3.4. Analizamos cada caso
Caso 1: corr(h,g) para t > 0
h(t+ s) = e−(t+s)
corr(h, g)(t) =
∫ ∞
t
e−(t+s)1ds
corr(h, g)(t) =
∫ ∞
t
e−te−sds
corr(h, g)(t) = e−t
∫ ∞
t
e−sds
corr(h, g)(t) = e−t(−e−s|∞t
corr(h, g)(t) = e−t(−e−∞ − (−e−t))
corr(h, g)(t) = e−t(0 + e−t)
corr(h, g)(t) = e−2t
Caso 2: corr(h,g) para t < 0
corr(h, g)(t) =
∫ ∞
0
e−(t+s)1ds
corr(h, g)(t) =
∫ ∞
0
e−te−sds
corr(h, g)(t) = e−t
∫ ∞
0
e−sds
corr(h, g)(t) = e−t(−e−s|∞0
corr(h, g)(t) = e−t(−e−∞ − (−e−0))
corr(h, g)(t) = e−t(0 + 1)
corr(h, g)(t) = e−t
19
Finalmente nos queda que:
corr(h, g)(t) =

e−2t, t > 0
e−t, t < 0
(9)
20