Prepas convolucion y correlacion discreta

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Preparaduría: Correlación y Convolución de Señales
Discretas
Javier Freites y Johan Diaz
Julio 2022
1. Representación de Señales Discretas
XNx =
Nx∑
n=0
x(nT )δ(t− nT )
YNy =
Ny∑
k=0
y(kT )δ(t− kT )
Donde T (intervalos de muestreo) tienen que ser iguales tanto para X como para Y. Si no
son iguales hay que remuestrear pero teniendo mucho cuidado con el nuevo intervalo.
2. Convolución de Señales Discretas
x ∗ y =
∫ ∞
−∞
x(t− s)y(s)ds
x ∗ y =
∫ ∞
−∞
[
Nx∑
n=0
x(nT )δ(t− s− nT )][
Ny∑
k=0
y(kT )δ(s− kT )]ds
x ∗ y =
Nx∑
n=0
x(nT )
Ny∑
k=0
y(kT )
∫ ∞
−∞
[δ(t− s− nT )][δ(s− kT )]ds
x ∗ y =
Nx∑
n=0
Ny∑
k=0
x(nT )y(kT )δ(t− kT − nT )
1
3. Correlación de Señales Discretas
corr(x, y) =
∫ ∞
−∞
x(t+ s)y(s)ds
corr(x, y) =
∫ ∞
−∞
[
Nx∑
n=0
x(nT )δ(t+ s− nT )][
Ny∑
k=0
y(kT )δ(s− kT )]ds
corr(x, y) =
Nx∑
n=0
x(nT )
Ny∑
k=0
y(kT )
∫ ∞
−∞
[δ(t+ s− nT )][δ(s− kT )]ds
corr(x, y) =
Nx∑
n=0
Ny∑
k=0
x(nT )y(kT )δ(t+ kT − nT )
4. Problema
Sea las siguientes dos señales:
x = x0, xT , x2T , x3T
y = y0, yT , y2T , y3T
Calcule: - La convolución de ambas señales - La correlación x con y - Si x = 1, 5, 6, 9 e
y = 2, 4, 6, 8 calcule, en base a los resultados anteriores el valor de la convolución de x con y y
de la correlación de x con y.
4.1. Convolución
Partiendo de la fórmula de la convolución de señales discretas tenemos que:
x ∗ y =
Nx∑
n=0
Ny∑
k=0
x(nT )y(kT )δ(t− kT − nT )
x ∗ y =
Nx∑
n=0
x(nT )[y0δ(t− nT ) + yT δ(t− T − nT ) + y2T δ(t− 2T − nT ) + y3T δ(t− 3T − nT )]
x ∗ y = x0[y0δ(t) + yT δ(t− T ) + y2T δ(t− 2T ) + y3T δ(t− 3T )]+
2
+xT [y0δ(t− T ) + yT δ(t− T − T ) + y2T δ(t− 2T − T ) + y3T δ(t− 3T − T )]+
+x2T [y0δ(t− 2T ) + yT δ(t− T − 2T ) + y2T δ(t− 2T − 2T ) + y3T δ(t− 3T − 2T )]+
+x3T [y0δ(t− 3T ) + yT δ(t− T − 3T ) + y2T δ(t− 2T − 3T ) + y3T δ(t− 3T − 3T )]
x ∗ y = x0[y0δ(t) + yT δ(t− T ) + y2T δ(t− 2T ) + y3T δ(t− 3T )]+
xT [y0δ(t− T ) + yT δ(t− 2T ) + y2T δ(t− 3T ) + y3T δ(t− 4T )]+
+x2T [y0δ(t− 2T ) + yT δ(t− 3T ) + y2T δ(t− 4T ) + y3T δ(t− 5T )]+
+x3T [y0δ(t− 3T ) + yT δ(t− 4T ) + y2T δ(t− 5T ) + y3T δ(t− 6T )]
x ∗ y = δ(t)[x0y0]+
+δ(t− T )[x0yT + xTy0]+
+δ(t− 2T )[x0y2T + xTyT + x2Ty0]+
+δ(t− 3T )[x0y3T + xTy2T + x2TyT + x3Ty0]+
+δ(t− 4T )[xTy3T + x2Ty2T + x3TyT ]+
+δ(t− 5T )[x2Ty3T + x3Ty2T ]+
+δ(t− 6T )[x3Ty3T ]
4.2. Correlación
Partiendo de la fórmula de la correlación de señales discretas tenemos que:
corr(x, y) =
Nx∑
n=0
Ny∑
k=0
x(nT )y(kT )δ(t+ kT − nT )
corr(x, y) =
Nx∑
n=0
x(nT )[y0δ(t−nT )+ yT δ(t+T −nT )+ y2T δ(t+2T −nT )+ y3T δ(t+3T −nT )]
corr(x, y) = x0[y0δ(t) + yT δ(t+ T ) + y2T δ(t+ 2T ) + y3T δ(t+ 3T )]+
+xT [y0δ(t− T ) + yT δ(t+ T − T ) + y2T δ(t+ 2T − T ) + y3T δ(t+ 3T − T )]+
+x2T [y0δ(t− 2T ) + yT δ(t+ T − 2T ) + y2T δ(t+ 2T − 2T ) + y3T δ(t+ 3T − 2T )]+
3
+x3T [y0δ(t− 3T ) + yT δ(t+ T − 3T ) + y2T δ(t+ 2T − 3T ) + y3T δ(t+ 3T − 3T )
corr(x, y) = x0[y0δ(t) + yT δ(t+ T ) + y2T δ(t+ 2T ) + y3T δ(t+ 3T )]+
+xT [y0δ(t− T ) + yT δ(t) + y2T δ(t+ T ) + y3T δ(t+ 2T )]+
+x2T [y0δ(t− 2T ) + yT δ(t− T ) + y2T δ(t) + y3T δ(t+ T )]+
+x3T [y0δ(t− 3T ) + yT δ(t− 2T ) + y2T δ(t− T ) + y3T δ(t)]
corr(x, y) = δ(t− 3T )[x3Ty0]+
+δ(t− 2T )[x3TyT + x2Ty0]+
+δ(t− T )[x3Ty2T + x2TyT + xTy0]+
+δ(t)[x3Ty3T + x2Ty2T + xTyT + x0y0]+
+δ(t+ T )[x2Ty3T + xTy2T + x0yT ]+
+δ(t+ 2T )[xTy3T + x0y2T ]+
+δ(t+ 3T )[x0y3T ]
4.3. Sustitución de valores
Una vez obtenidos los valores de convolución y correlación para x e y, procedemos o realizar
la sustitución de los valores de xnT e ykT y resolver las operaciones respondientes, tal que para
los valores de x = 1, 5, 6, 9 e y = 2, 4, 6, 8 tenemos:
- Convolución:
x ∗ y = δ(t)[1 ∗ 2]+
+δ(t− T )[1 ∗ 4 + 5 ∗ 2]+
+δ(t− 2T )[1 ∗ 6 + 5 ∗ 4 + 6 ∗ 2]+
+δ(t− 3T )[1 ∗ 8 + 5 ∗ 6 + 6 ∗ 4 + 9 ∗ 2]+
+δ(t− 4T )[5 ∗ 8 + 6 ∗ 6 + 9 ∗ 4]+
+δ(t− 5T )[6 ∗ 8 + 9 ∗ 6]+
+δ(t− 6T )[9 ∗ 8]
4
x∗y = 2δ(t)+14δ(t−T )+38δ(t−2T )+80δ(t−3T )+112δ(t−4T )+84δ(t−5T )+72δ(t−6T )
- Correlación:
corr(x, y) = δ(t− 3T )[9 ∗ 2]+
+δ(t− 2T )[9 ∗ 4 + 6 ∗ 2]+
+δ(t− T )[9 ∗ 6 + 6 ∗ 4 + 5 ∗ 2]+
+δ(t)[9 ∗ 8 + 6 ∗ 6 + 5 ∗ 4 + 1 ∗ 2]+
+δ(t+ T )[6 ∗ 8 + 5 ∗ 6 + 1 ∗ 4]+
+δ(t+ 2T )[5 ∗ 8 + 1 ∗ 6]+
+δ(t+ 3T )[1 ∗ 8]
corr(x, y) = 18δ(t−3T )+48δ(t−2T )+88δ(t−T )+130δ(t)+82δ(t+T )+46δ(t+2T )+8δ(t+3T )
5