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Mate 1. Comisión 2C
CLASE 03.04.2023
Ley de cierre
Dada una operación entre elementos de un dado conjunto A decimos que 
dicha operación satisfice la ley de Cierre si cada vez que realizamos una 
operación entre dos elementos del conjunto 𝐴, el resultado es un elemento 
de 𝐴.
 La suma es cerrada en ℕ
 La resta NO es cerrada en ℕ
 La suma y la resta son cerradas en ℤ
 La multiplicación es cerrada en ℤ
Inclusión/Contención 
A es un subconjunto de B
Inclusión/Contención 
 𝐴 = 𝑥: 𝑥 = 4𝑘 ∧ 𝑘 ∈ ℤ = {… ,−12,−8, −4, 0, 4, 9, 12, 16… }
 𝐵 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑐 ∧ 𝑐 ∈ ℤ = {… ,−10,−8,−6,−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, … }
Demostremos que 𝐴 ⊆ 𝐵. ¿Cómo lo hacemos? 
𝐴 ⊆ 𝐵 si y solo si ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵
Agarremos un elemento genérico del conjunto 𝐴:
𝑥 = 4𝑘, 𝑘 ∈ ℤ
¿Lo encontramos en 𝐵? 
𝑥 = 4𝑘 = 2 ∙ 2𝑘 = 2 ∙ ด2𝑘 = 2𝑐, 𝑐 ∈ ℤ
El vacío está incluido en cualquier
conjunto
 Para todo conjunto A: ∅ ⊆ 𝐴
∀𝑥 𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴
𝑥 ∈ ∅ es una proposición falsa pues no hay ningún elemento que pertenezca 
al vacío. 
𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴
Antecedente FALSO
Si el antecedente es falso el condicional en verdadero (sin importar el valor de verdad del consecuente) 
∀𝑥 𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴 es verdadera cualquiera sea el conjunto A. Luego: ∅ ⊆ 𝐴
Igualdad de conjuntos 
Dos conjuntos son iguales si se contienen mutuamente
∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 ≡ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵
Unión de conjuntos
Unión de conjuntos
 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 𝐵 = 2, 4, 6, 8
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8
Intersección
Intersección de conjuntos
 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 𝐵 = 2, 4, 6, 8
 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 = 2, 4, 6
Diferencia de conjuntos
Diferencia de conjuntos
 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 𝐵 = 2, 4, 6, 8
 𝐴 − 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 = 1, 3, 5
 𝐵 − 𝐴 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 = {8}
 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
LA DIFERENCIA NO ES CONMUTATIVA
Complemento de un conjunto en un 
dado universo
Complento
 𝑈 = 𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 = 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑜, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎, 𝑜𝑡𝑜ñ𝑜
 𝐴 = 𝑜𝑡𝑜ñ𝑜, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎
 𝐴𝑐 = 𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑜, 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜
Propiedades