Ejs complementarios 2016 Conjuntos y funciones (1)

Vista previa del material en texto

Matemática I. Ejercicios complementarios. 
Conjuntos y funciones 
 
{ } 5 8 3
3 5 2
1) Sean el conjunto de los números naturales, de los enteros, 
 = ; 5 9 , 9, 8, , 5,1, 5 , , ,8 
 ) calcular , , , 
 ) Definir inclusión entre conjuntos. Deci
B x x D
a B D B D B D
b
− ∈ − ≤ ≤ = − − 
 
− −
ℕ ℤ
ℤ
∩ ∩ℕ ℤ
dir si son V o F las siguientes inclusiones, justificando
 B D B D⊆ ⊆ ⊆ℕ ℤ ∩ ℤ
 
 
{ } { }2
2) Sean el conjunto de los enteros múltiplos de 4, el de los enteros impares, 
 = ; 15 9 y = ; 18
 Expresar e por comprensión. Calcular , , , 
M I
B x x D x x
M I B M D M D I D B
∈ − ≤ ≤ ∈ <
− −
ℤ ℤ
∩ ∩
 
 
3) Sean el conjunto de los enteros múltiplos de 45, el de los enteros múltiplos de 5 y el de los 
 enteros múltiplos de 7. Expresar , y por comprensión. 
 a) Probar que 
M T V
M T V
M T⊆ y que .
 b) Probar que si y , entonces . es un entero múltiplo de 35.
 Expresar por comprensión el conjunto de los enteros múltiplos de 35. ¿Qué operación entre los 
 conjun
T M
a T b V a b
B
⊄
∈ ∈
tos y da como resultado el conjunto ? ExplicarT V B
 
 
4) Sean el conjunto de los naturales múltiplos de 42, el de los naturales múltiplos de 6 y el de los 
 naturales múltiplos de 5. Expresar , y por comprensión. Probar que:
 a) 
M T V
M T V
M T⊆ y que 
 b) si y , entonces . es un número natural múltiplo de 30.
M T
a T b V a b
≠
∈ ∈
 
 
2 3
35 2 2 2
2 2
5) Calcular los dominios de las siguientes funciones: 
15 5 18. 5
 ( ) ( ) ( )
(13 ). .( 9) ( 25).( 169)( 18)8
5 1 6 2
 u( )= V( )=
( 6 9).(12 ) 3
D
x x x x
J x K x s x
x x x x x xx
x x
x x
x x x x
⊆
+ − −= = =
− − − − ++
+ +
+ + −
ℝ
5 2 2
5 2
2 152
.( 9).(25 ).(15 )
12 1 10
 w( ) ( )
(9 ). .(1 )(36 ).( 8). 2
x x x
x x x
x q x
x x xx x x
− − −
+ + −= =
− −− − +
 
 
6) a) Definir formalmente función, función inyectiva, función suryectiva. 
 b) Ejemplificar mediante diagramas de flechas: una función que sea suryectiva y no inyectiva,
 una función inyectiva y no suryectiva, una función biyectiva y una relación binaria que 
 sea función.
7) Probar que la función : dada por ( ) 15 8 es inyectiva.
no
f f x x→ = −ℤ ℤ
 
180 4
8) Estudiar si las siguientes funciones son o no inyectivas, justificar la respuesta en cada caso
 a) : dada por ( ) 12 5.
 b) : dada por ( ) 9 15 13
 c) : , con 
f f x x
f f x x x
f D D
→ = +
→ = − +
→
ℝ ℝ
ℝ ℝ
ℝ
524 4 90
24 36
17 44 1
,dada por ( )
96 5 108
x x x
f x
x x
− + +⊂ =
− +
ℝ