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Algunos conceptos básicos 
 
Intervalo : 
 Un intervalo real es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos números reales a y b. 
Se notará [a,b] intervalo cerrado, para indicar que los números a y b pertenecen al conjunto y se notará (a,b) 
intervalo abierto, para indicar que los números a y b no pertenecen al conjunto. 
 
Ejemplo: (2, 3) -1 0 1 2 3 
 
 
Valor Absoluto de un número real: 
 Sea x un número real, el valor absoluto de x, se nota x y se define como 
 
 x si x ≥ 0 
 
 x= 
 -x si x ≤ 0 
 
 
Regiones del plano: 
 Una región del plano es el conjunto de todos los puntos o pares ordenados (x,y) tales que x e y satisfacen 
condiciones dadas. 
 
Ejemplo: { (x,y) / x > 2 , y ≥ -3} 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 1 2 
 
 
 -3 
 
 
 
 
 
Actividades: 
 
1) Escribir los siguientes conjuntos de números en términos de intervalos: 
a) {x/ -5 < x ≤ 7} b) {x/ 2 ≤ x ≤ 4 } c) {x/ 2 ≤ x } 
 d) {x/ x2 ≥ 0 } e) {x/ x2 ≥ 2 } 
 
 
2) Resolver y representar el conjunto solución: 
a) x= 4 b) x + 1=2 c) 5 - 2x= 10 d) x> 3 
e) x-5≤ 4 f) 4x=4x +1 g) 2 3 1x + < 
h) 3 5 2x− ≤ i) 9 6 8x− ≤ j) 3 5x− ≥ 
 
3) Graficar las siguientes regiones del plano: 
a) {(x,y)/ x > 0 , y ≤ 2} b) { (x,y)/ x≤ 4 , y≥ 1} 
c) { (x,y)/ x +1≤ 3 , y-2≥ 1} 
 
 
 
Observación: En el Apéndice al final de este capítulo se encuentran las definiciones, nociones básicas y 
propiedades de funciones vistas en Matemática I. 
 
 
 
 
Funciones pares e impares: 
 
Sea : [ , ]f a a− → ℝ 
 
• Decimos que f es una función par función par función par función par si )()(],,[ xfxfaax =−−∈∀ 
 
Notemos que tanto x como –x deben estar en el dominio de f . 
Por ejemplo la función 2( )f x x= es par, ya que 2 2( ) ( ) ( )f x x x f x− = − = = 
 
 
La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y. 
Como ( ) ( )f x f x= − , el punto (x,y) está en la gráfica si y sólo si el punto (-x,y) también está. Una vez que 
conocemos la gráfica de un lado del eje y , automáticamente la conocemos del otro lado. 
 y 
 
 2( )f x x= 
 
 
 
 
 
 
 -x x x 
 
 
 
 
• Decimos que f es una función impar función impar función impar función impar si )()(],,[ xfxfaax −=−−∈∀ 
 
Notemos nuevamente que tanto x como –x deben estar en el dominio de f . 
Por ejemplo la función 3( )f x x= es impar, ya que 3 3( ) ( ) ( )f x x x f x− = − = − = − 
 
 
La gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen. 
Como ( ) ( )f x f x− = − , el punto (x,y) está en la gráfica si y sólo si el punto (-x,-y) también está. Una vez que 
conocemos la gráfica de un lado del eje y , automáticamente la conocemos del otro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 3( )f x x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -x x x 
 
 
 
 
Operaciones algebraicas entre funciones numéricas: 
 
 Sean :f D → ℝ y : ,g D D→ ⊂ℝ ℝ definimos 
 
 
• Suma de funciones: 
 :f g D+ → ℝ Dxxxgxfxgf ∈∀+=+ ,)()())(( 
 
• Producto de funciones: 
 . :f g D → ℝ Dxxxgxfxgf ∈∀= ,)().())(.( 
 
• Cociente de funciones: 
 */ :f g D →ℝ *( / )( ) ( ) / ( ) ,f g x f x g x x x D= ∀ ∈ 
 }0)(,,{* ≠∈= xgDxxD 
 
• Composición de funciones: 
 Sean BAf →: y CBg →: definimos la función composición: 
 
CAfg →:� ( )( ) ( ( )), , g f x g f x x x A= ∀ ∈� 
se lee “f compuesta con g”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f g 
 A B C 
 
 
 x )(xfy = ))(( xfgz = 
 
 
 
 fg � 
 
Actividades: 
 
4) Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares o impares: 
a) 53 4)( xxxxf ++= b) 42 42)( xxxg ++= 
c) 53 4)( xxxxh ++= d) 
4
1
)(
2 +
=
x
xt 
e) 
2
3
1
)(
x
xx
xu
+
+= f) 
3 2 4
1
)(
−
=
x
xw 
5) Sea :[ , ]f a a− →ℝ , demostrar que la función 
2
)()(
)(
xfxf
xg
−+= es una función par y que la función 
)()()( xgxfxh −= es una función impar. 
 
6) Demostrar que toda función numérica puede escribirse como suma de una función par más otra impar. 
 
7) Sean gfh += ; gft .= ; fgr /= . Sabiendo que 3)2( =f y 2)2( −=g , hallar: 
 a) )2(h b) )2(t c) )2(r d) )2)(.( rht − 
 
8) Realice las gráficas de las funciones 12)( −= xxf y 2)( xxf = . A partir de tales gráfica encuentre la de 
gfh += 
 
9) Dadas 12)( −= xxf y 2)( xxg = , ambas con dominio y codominio real, hallar: 
 a) f(2+h) b) g(5+h) c) ))0(( fg d) ))1(( −fg e) ))(( ufg f) ( (1 ))g f h+ 
 
 g) ))0((gf h) ))1(( −gf i) ))(( ugf 
¿La composición de funciones es conmutativa? 
 
10) En los siguientes casos determine las funciones compuestas fg � y gf � . Describa sus dominios: 
a) 12)( −= xxf 1)( += xxg ; b) 
2
1
)(
−
=
x
xf 12)( += xxg 
c) 
1
1
)(
2 −
=
x
xf 2)( 2 −= xxg 
 
11) Dadas 12)( += xxf , 1)( 2 −= xxg y 
x
xh
1
)( = , hallar: 
a) fg � d) hgf �� 
b) gg � e) gfg �� 
c) hf � f) hfg �� 
 
 
 
 
Funciones Elementales 
 Clasificación Ejemplo 
Algebraicas: son 
aquellas que pueden 
construirse mediante un 
número finito de 
operaciones algebraicas 
(sumas, productos, 
cocientes y raíces) 
Polinomiales: tienen la forma 
ℜ∈≠+++= −− nn
n
n
n
n aaaxaxaxaxf ,0,...)( 01
1
1 
Los ia se denominan coeficientes. 
En particular cuando n=1 se denomina función lineal. 
•Corta al eje x a lo sumo n veces 
•Cuando el valor de x crece el término nnxa domina el comportamiento de la función 
123)( 35 −+= xxxf 
 
 
 
 
Lineal: 12)( −= xxf 
Racionales: son cociente de dos funciones polinomiales. Tienen la forma: 
espolinomialxyqxp
xq
xp
xf )()(,
)(
)(
)( = y }0)(,{)( ≠∧ℜ∈= xqxxfDom 
En particular cuando )()( xyqxp son lineales, se denomina función homográfica: 
,)(
dcx
bax
xf
+
+= }0,{)( ≠+∧ℜ∈= dcxxxfDom 
xx
x
xf
−
+=
3
5
2
23
)( 
 
 
 
 
Homográfica: 
12
23
)(
−
+=
x
x
xf 
Irra cionales: además de las operaciones que incluyen las racionales, incluyen raíces (o 
exponentes fraccionarios) de la variable independiente. 
xxxf −+= 23)( 2 
 
 
 
Trascendentes 
Trigonométricas: se definen las funciones seno y coseno como 
sen: →ℝ ℝ / senx= valor del seno de un ángulo medido en radianes 
cos: →ℝ ℝ / cosx= valor del coseno de un ángulo medido en radianes 
• Las funciones senx y cosx son periódicas de período 2π (una función periódica, de 
período T, es tal que f ( x + T ) = f ( x ) para todo x). 
• Se definen también las funciones tanx= senx
cosx
; cotx=
cosx
senx
; secx=
1
cosx
; cosecx=1
senx
 
 
senxxf =)( 
Exponenciales: son funciones de la forma ( ) xf x a= , donde a se llama base y x es el 
exponente, ,a x+∈ ∈ℝ ℝ 
Propiedades: a1 = a; a0 = 1; ap+q = ap . aq ; (ab)p = ap bp ; apq = (ap )q 
xxf 2)( = . 
Logarítmicas: las funciones exponenciales con codominio real positivo son funciones 
biyectivas y por lo tanto invertibles, se define entonces: 
1 1log , log ( ) ( ) logx x xa a ay x a y con x a y a x
− −= ⇔ = = = 
Propiedades: loga (xy)= loga x + loga y ; loga (1/x)=- loga x; loga (x/y)= loga x- loga y; loga 
(xp)=p loga x 
2( ) logf x x= 
 
Observación 1: 
 
Con respecto a las funciones trigonométricas hemos señalado que los angulos se medirán en radianes: 
 
 
 A La medida en radianes φ del ángulo ABC se define como la longitud 
 del arco AB. Dado que la circunferencia de un círculo mide 2π y una 
 φ B revolución completa de un círculo es 360º la relación entre radianes y 
 C grados está dada por: π radianes=180º 
 
 
Definimos las funciones trigonométricas en términos de las coordenadas del punto P(x,y), donde el 
lado terminal interseca al círculo: 
 
 y 
 
 P cos
y x y
sen tg
r r x
φ φ φ= = = 
 r 
 φ y 
 x x 
 
 
 
 
 
Observación 2: 
 
Con respecto a las funciones exponenciales y logarítmicas, analizaremos en este curso el caso en que a 
es el número e. 
 
En consecuencia, log , log lnxe ey x e y se nota y y= ⇔ = = 
 lnln x xe x y e x⇒ = = 
El número e surge como una aproximación de la función 
1
(1 )x
x
+ para valores arbitrariamente grandes 
de x. 
La función lnx se define como el área bajo la curva de la función f(x)=
1
x
 entre valores de x mayores 
que 1. Y como el valor opuesto al del área entre el eje x y la curva 
1
x
 entre valores de x mayores que 0 
y menores que 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación 3: Forma estandar de una función racional: 
 
Un procedimiento útil que puede aplicarse a una función racional es el siguiente: 
 
Dada 
( )
( )
( )
p x
f x
q x
= , si hacemos la división de polinomios (obtenemos un cociente y un resto), 
y entonces podemos escribir : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )p x q x d x r x= + , siendo ( )d x el cociente y ( )r x el resto 
 
Y por lo tanto 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
q x d x r x r x
f x d x
q x q x
+= = + 
 
Notemos que si el grado de ( )p x es menor que el grado de ( )q x el cociente sería cero y el resto 
sería el mismo ( )p x , por lo tanto no modificaríamos el aspecto de nuestra función. 
 
Se dice entonces que ( )f x fue llevada a su forma estandar, la función racional queda ahora 
expresada como suma de una polinomial y una racional. Esto tiene grandes ventajas para graficar la 
función. 
 
 
Ejemplo: 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
−
 
 
Si realizamos la división del numerador por el denominador obtenemos: 
 
2 1 ( 1)2 1x x− = − + , por lo tanto 2( 1) 1 1( ) 2
1 1
x
f x
x x
− += = +
− −
 
 
Es fácil observar entonces que la gráfica es una traslación (1 unidad hacia la izquierda y dos 
unidades hacia arriba) de la gráfica de la función 
1
( )g x
x
= 
 
 
 
Actividades: 
 
 
12) Sea )(xf una función lineal. Hallar la función sabiendo que ( 1) 2f − = y (2) 3f = − . Representar 
gráficamente. 
 
13) Hallar una función f cuadrática tal que (0) 1, (1) 0 (3) 5f f yf= = = . Representar gráficamente. 
 
14) Graficar la función 
1
( )f x
x
= . Analizar la paridad. 
 
 
 
15) Graficar las siguientes funciones racionales: 
a) 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
−
 
b) 
3 7
( )
2
x
f x
x
+=
+
 
c) 
3
( )
2
x
f x
x
−=
−
 
 
16) Muestre que las funciones f(x)=senx y g(x)=cosx son funciones periódicas, de período 2π. 
 
17) Indicar cuáles de las siguientes funciones son periódicas, en caso de serlo determinar su período. 
a) f(x)=10sen3x b) g(x)=4sen2 x c) h(x)=cos(3x-2) 
 
18) Las funciones senx: →ℝ ℝ y cosx : →ℝ ℝ no son biyectivas . ¿Cómo puede restringirse su 
dominio y codominio para que lo sean? 
 
19) Usando las propiedades de la función exponencial, demuestre que ax ≥ 0 ∀x, x∈ℝ 
 
20) Usando el hecho de que 1 1log , log ( ) ( ) logx x xa a ay x a y con x a y a x
− −= ⇔ = = = o lo que es lo 
mismo que log loga x xaa x y a x= = , demuestre al menos dos de las propiedades de las funciones 
logarítmicas . 
 
………………………………………………………………….. 
 
Apéndice 
 
Esta sección contiene para repaso temas esenciales para esta materia que se han visto en 
Matemática I (Definición de función, dominio, codominio, imagen, gráfica, inyectividad, 
suryectividad, biyectividad, función inversa), también las nociones de simetrías y traslaciones. 
 
Funciones 
Muchos fenómenos de la vida diaria se representan como funciones, por ejemplo cuando queremos 
hallar el área de un cuadrado escribimos A= l2 donde l representa la longitud del lado, esto no es otra 
cosa que decir que el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado y en términos de funciones 
esto se expresa como f(x) =x 2 
Por ejemplo la música que escuchamos en una radio es transmitida a ella en forma de ondas 
electromagnéticas, cada una de estas ondas es periódica (la forma básica de la onda se repite una y otra 
vez), la descripción matemática de tales fenómenos involucra funciones periódicas, de las cuales las 
más conocidas son las funciones trigonométricas. 
Otro tipo de fenómenos es, por ejemplo, la reproducción ciertas de bacterias que se van 
duplicando en una unidad de tiempo. Si tuviéramos una población de 100 bacterias que se van 
duplicando en una hora, tendríamos, asignando a cada hora el número de bacterias existentes, p(0)= 
100, p(1)=200, p(2)=400, p(3)=800, … p(n)=100 .2n. A este tipo de funciones se las llama función 
exponencial. 
 
 
Una función BAf →: es una relación entre los elementos de un conjunto A y los elementos de 
un conjunto B, que hace corresponder a cada elemento de A, uno y sólo un elemento de B. 
 
• Se escribe )(xfy = , para indicar que x es un elemento de A e )(xfy = es el 
correspondiente de x por f . 
 
• Se dice que x es la variable independiente e y es la variable dependiente. 
 
 
Ejemplos: 
 
 A B A B 
 
 
 • 
 
 
 No es función ya que a un mismo elemento No es función ya que hay elementos en A 
 De A le corresponden 2 elementos de B que no tienen correspondencia en B 
 
 
 A B A B 
 • 
 • 
 
 
 
Es función ya que todo elemento de A tiene su Es función al igual que el ejemplo anterior 
Correspondiente en B y éste es único. 
 
Funciones numéricas: 
 
Una función numérica es una función entre elementos de conjuntos numéricos. 
Son ejemplos de funciones numéricas: 
 : , dada por ( ) 3 2f f x x→ = +ℝ ℝ 
 : , dada por ( ) 25g f x x→ = −ℕ ℤ1. Dominio: El dominio de una función numérica es el conjunto de números para los cuales se define 
un correspondiente. 
El mismo puede darse en forma explícita, por ejemplo, si escribimos BAf →: , entonces A es el 
dominio de la función. Pero también puede darse en forma implícita, por ejemplo, si sólo escribimos 
5
3
)(
−
+=
x
x
xf , se entiende que el dominio es el conjunto de todos los números para los cuales puede 
calcularse el correspondiente por f, en este ejemplo, diremos entonces que el dominio es ℜ-{5} (todos 
los números reales salvo aquellos para los cuales el denominador es 0). 
 
 
2. Codominio: El codominio de una función BAf →: , es el conjunto B 
 
3. Imagen: La imagen de una función BAf →: , son los elementos del codominio que son 
correspondientes de algún elemento de A. 
 
En términos de conjuntos Im )}(,,/,{)( xfyAxxByyf =∈∃∈= . 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Si :f A → ℝ está dada por : 1)( −= xxf y { , , 1}A x x x= ∈ ≥ℝ , entonces 
 
El dominio de f está explicitado como el conjunto de los números reales mayores o iguales que 1, el 
codominio de f es el conjunto de los números reales y la imagen serán los números reales positivos, 
es decir Im( ) { , , 0}f y y y= ∈ ≥ℝ 
 
Igualdad de funciones: 
 
Dos funciones son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio y establecen la misma relación: 
 
 
 Dom(f)= Dom(g)= D 
⇔= gf 
 Dxxxgxf ∈∀= ,)()( 
 
 
Actividades: 
 
1) Dada 
5
3
)(
−
+=
x
x
xf determinar:: a) )1(−f ; b) )0(f ; c) )2(f ; d) )2/3(f 
 
2) Dada 21)( ttg += determinar: a) )0(g ; b) )
4
3
(−g ; c) )3(g 
 
3) Determinar el dominio e imagen de las siguientes funciones: 
 
a) 
x
xf
1
)( = b) 2
3
1
)( −
+
=
x
xg c) 
44
1
)(
2 +−
=
xx
xh 
d) 
44
2
)(
2 +−
−=
xx
x
xt e) 7)( −= xxu f) 
3 2 4
1
)(
−
=
x
xw 
 
4) Un rectángulo tiene 100cm de perímetro . Expresar el área del rectángulo en función de la longitud 
de uno de sus lados. 
 
5) Se desea construir un depósito de base cuadrada (sin tapa) y 10 m3 de capacidad. Exprese la 
superficie lateral del depósito en función de la longitud del lado de la base. 
 
6) En un triangulo isósceles cuya base es 10 cm y su altura es 6 cm , está inscripto un resctángulo cuya 
base mide b cm y está sobre la base del triangulo. Expresar el área del rectángulo en función de la 
medida de su base. 
 
7) Una lámina metálica rectangular mide 5 cm de ancho y 8 m de largo. Se van a cortar cuatro 
cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una 
caja sin tapa. Expresar el volumen de la caja en función de su altura. 
 
8) Estudiar si las siguientes funciones son iguales. Justificar: 
 2)( += xxf 
2
4
)(
2
−
−=
x
x
xg 
 
 
 
Gráfica de una función numérica: 
 
Sea : ,f D D→ ⊂ℝ ℝ 
Luego , el conjunto de puntos ),( yx , siendo )(xfy = es la gráfica de la función, es decir 
 
)}(,/),{()( xfyDxyxfGraf =∈= 
 
Con esta definición, una gráfica representa a una función si toda recta vertical que corta al eje de las 
abscisas en un punto de su dominio , corta a su gráfica en un solo punto. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Es la gráfica de No es la gráfica de 
una función una función 
 
 
 
 
La función inversa: 
 
•••• Decimos que una función ( )f x es inyectiva si a dos elementos distintos del dominio le corresponden 
imágenes distintas en el codominio. Es decir: 
 
Sea :f A B→ ( )f x es inyectiva si 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ 
 
O equivalentemente ( )f x es inyectiva si 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ) x x A f x f x x x∀ ∈ = ⇒ = 
 
Ambas expresiones son equivalentes ya que una es la contrarrecíproca de la otra. 
 
-Si la función admite una representación mediante diagrama de flechas, la misma será inyectiva si a 
cada elemento del codominio le llega a lo sumo una flecha. 
 
 
 
 
-En una representación utilizando un sistema de coordenadas cartesianas, un criterio para decidir si 
la función es inyectiva es el siguiente: 
toda recta horizontal que corte al eje de las ordenadas en un punto de su codominio debe cortar a su 
gráfica en a lo sumo un punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No es inyectiva No es inyectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es inyectiva Es inyectiva 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Decimos que una función ( )f x es suryectiva si todo elemento del codominio es correspondiente de 
uno o más elementos del dominio. Es decir: 
 
 
Sea :f A B→ ( )f x es suryectiva si , / ( )y B x A y f x∀ ∈ ∃ ∈ = 
 
O equivalentemente ( )f x es inyectiva si Im( ) Codominio( )f f= 
 
-Si la función admite una representación mediante diagrama de flechas, la misma será suryectiva si 
a cada elemento del codominio le llega al menos una flecha. 
 
-En una representación utilizando un sistema de coordenadas cartesianas, un criterio para decidir si 
la función es suryectiva es el siguiente: 
toda recta horizontal que corte al eje de las ordenadas en un punto de su codominio debe cortar a su 
gráfica en al menos un punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 • 
 
 
 
 
 No es suryectiva Si consideramos :f A → ℝ , no es suryectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Es suryectiva Si consideramos :f A +→ ℝ es suryectiva 
 
 
•••• Decimos que una función ( )f x es biyectiva si es inyectiva y suryectiva. Es decir que todo elemento 
del codominio es correspondiente de uno y sólo un elemento del dominio. Se dice también que hay una 
correspondencia “uno a uno”. 
 
 
 Sea :f A B→ una función numérica. Sea C un subconjunto de A. Diremos que f es invertible 
en A si existe una función g tal que : 
 
 , , ( )( ) y , , ( )( )x x A g f x x y y B f g y y∀ ∈ = ∀ ∈ =� � 
 
A la función g se la llama función inversa de f y se la nota f -1 
 
 
 
 Una función f es invertible sí y sólo si f es biyectiva 
 
 
 
 En la práctica , si y=f(x) , para encontrar la función inversa despejamos la variable x en función 
de la variable y . Si el valor hallado está en el dominio habremos encontrado la función inversa. 
 
Ejemplos: 
a) :f →ℝ ℝ f(x)=2x-3 
 
Escribimos y= 2x-3 → 3
2
y
x
+= como para cualquier número real y la expresión 3
2
y +
 
es un número real , pertenece al dominio , por lo tanto f -1 (x) = 
3
2
x +
 
 
b) :f →ℕ ℕ f(x)=2x-3 
 
 Con el mismo procedimiento observamos que la expresión 
3
2
y +
 no es en general un número 
natural. Por ejemplo si y = 2, la expresión da 
5
2
 que no es un número natural. 
Vemos que la expresión da números naturales sólo cuando y es un número impar, ya que el numerador 
queda par y por lo tanto divisible por dos. Podemos decir entonces que f -1 (x) = 
3
2
x +
 es la inversa de 
la función restringiendo el codominio a los naturales impares. Notemos que allí la función resulta 
biyectiva. 
 
 
Actividades: 
 
9) Teniendo en cuenta la definición de función, analice porqué es condición necesaria y suficiente que 
una función sea biyectiva para que sea invertible. 
 
10) Analice la biyectividad de las siguientes funciones en el dominio de definición. En caso de no ser 
biyectivas en ese dominio, definir uno donde si lo sean. Encontrar la expresión de la función inversa en 
el dominio hallado. 
a) f(x)=2x+3 
b) f(x)=x2-1 
c) f(x) = 1
x
 
d)f(x)=
2
1
x
 
e) f(x) = 3 31 x− 
 
 
 
Simetrías: 
 
Simetría de dos puntos: 
• Se dice que dos puntos P y P’ son simétricos con respecto a un tercer punto Q si y sólo si el tercer 
punto Q es el punto medio del segmento PP’. 
 
• Se dice que dos puntos P y P’son simétricos con respecto a una recta L si y sólo si la recta es la 
mediatriz del segmento PP’. 
 
 
 
Simetría de una gráfica respecto a un punto: 
 La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a un punto Q si y sólo si, para cada punto 
P perteneciente a la gráfica de la ecuación existe un punto P’ que también pertenece a la gráfica tal que 
P y P’ son puntos simétricos con respecto a Q. 
 • En particular si el punto Q es el origen de coordenadas, la gráfica será simétrica si para cada 
punto (x, y) de la gráfica el punto (-x, -y) también pertenece as la gráfica. 
 
Simetría de una gráfica respecto a una recta: 
 La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a una recta L si y sólo si, para cada punto 
P perteneciente a la gráfica de la ecuación existe un punto P’ que también pertenece a la gráfica tal que 
P y P’ son puntos simétricos con respecto a la recta L. 
 • En particular si la recta es el eje x la gráfica será simétrica si para cada punto (x,y) de la 
gráfica, el punto (x, -y) también pertenece a la gráfica. 
 • Si la recta es el eje y la gráfica será simétrica si para cada punto (x, y) de la gráfica el punto 
(-x, y) también pertenece as la gráfica. 
 
 
Actividades: 
 
11) Analizar si los puntos P y P’ son simétricos con respecto a Q: 
a) P(2,1) P’(8,5) Q(5,3) 
b) P(3,4) P’(-2, 2) Q (1,3) 
 
12) Analizar si los puntos P y P’ son simétricos con respecto a la recta y= x-3 
a) P(-1,1) P’(4,-4) 
b) P(3,1) P’(3,-1) 
 
13) Decir cuáles de las siguientes ecuaciones representan gráficas simétricas respecto del eje x , del eje 
y, al origen de coordenadas o no lo son. 
a) y = x2 -2 
b) y2 = x3 – 4 x 
c) y = x3 + x 
d) x y2 =-10 
e) (x + 1)2 – (y - 2)2 = 1 
f) x2 - y 2 =1 
 
Traslaciones: 
 
 Muchas veces se presentan gráficas de distintas ecuaciones, en las que una de ellas no es más 
que una traslación de la otra en sentido vertical (hacia arriba o hacia abajo), o en sentido horizontal 
(hacia la derecha o hacia la izquierda). 
 
 Ejemplo 1: 
 y = x2 y = x2 + 3 
 
 La gráfica de y = x2 + 3 no es más que la gráfica de y= x2 trasladada 3 unidades hacia arriba. 
 
Si ubicáramos un nuevo sistema de ejes coordenados (x’,y’) con origen en el punto (0,3) , la 
gráfica respondería a la ecuación y’=x’2 . Recordemos que los ejes son un sistema de referencia, por lo 
tanto el punto (0,3 ) del sistema original correspondería al (0,0) del nuevo sistema, así podríamos 
identificar x’ = x e y’ = y – 3. De este modo el (0,0) del sistema original es el (0, -3) del nuevo sistema. 
Así, aplicando la traslación, la ecuación y’=x ’ 2 corresponde a y-3 = x 2 
 
 
Ejemplo 2: y=x3 y=(x+1)3 
 
 
 
 
 
 
 
La gráfica de y = (x+1)3 no es más que la gráfica de y= x3 trasladada 1 unidad hacia la 
izquierda. 
Si ubicáramos un nuevo sistema de ejes coordenados (x’,y’) con origen en el punto (-1,0) , la 
gráfica respondería a la ecuación y’=x’3 . Podríamos identificar x’ = x+1 e y’ = y . 
La ecuación y’=x’ 3 corresponde a y = (x+1) 3 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3: (x-2) 2 + (y+3) 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 
 
 
 Nuevamente (x-2) 2 + (y+3) 2 = 1 es una traslación dos unidades hacia la derecha y 3 hacia 
debajo de x 2 + y 2 = 1. Por lo tanto podemos plantear un nuevo sistema (x’, y´) con x´= x-2 e y´= y+3 
de este modo se identifican las graficas x´ 2 + y´ 2 = 1 con 
(x-2) 2 + (y+3) 2 = 1. 
 
 
Actividades: 
 
14) A partir de la gráfica de y = x  y una traslación conveniente obtenga la gráfica de : 
a) y = x - 4 
b) y = x+ 2 
c) y = x - 4+ 2 
 
15) A partir de la gráfica de y= 1/x y una traslación conveniente obtenga la gráfica de : 
a) 
4
1
−
=
x
y 
b) 2
1 +=
x
y 
c) 2
4
1 +
−
=
x
y 
 
16) Considere la gráfica de la ecuación x2 + y2 + 6y – 4x – 3 = 0. ¿Es posible ubicar un nuevo sistema 
de ejes coordenados, de modo que la ecuación de la gráfica respecto a los nuevos ejes x´ e y´ no 
contenga términos de primer grado? 
 
 
 
 
 
 1 
Matemática II 2007 
Modulo Modulo Modulo Modulo 2222 
 
 
Límites y continuidad 
 
 En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del 
cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos de continuidad, derivabilidad e 
integración que se verán más adelante. Comenzaremos con una idea intuitiva del estudio del 
comportamiento de una función alrededor de un punto o cuando los valores de x crecen 
indefinidamente. 
 
 1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: 
 
 Si la función f está definida para valores de la variable x cercanos a x0., queremos estudiar el 
comportamiento de los valores de f(x) cuando x se aproxima a x0. 
 
Definición 
 
Si f está definida en un intervalo abierto alrededor del punto x0 , aunque no lo esté en x0 , 
diremos que f(x) tiene límite L, cuando x tiende a x0, si el valor de f(x) se hace arbitrariamente próximo 
al valor de L cuando x se aproxima a x0, y lo escribiremos así : 
 
 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= 
 
 
 
Ejemplos: 
1) Dada 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
−
 queremos saber cómo se comporta f(x) en un entorno del punto x=1: 
 
La función se define en todos los números reales excepto en x=1. Podemos simplificar la fórmula, 
factorizando el numerador, para valores distintos de 1. 
 
 
( 1)( 1)
( ) 1, 1
1
x x
f x x para x
x
− += = + ≠
−
 
 
La gráfica de f(x) es la recta y=x+1 menos un punto, el (1,2) 
En la gráfica aparece un “agujero” en este punto. Podemos de todos modos hacer el valor de f(x) tan 
cercano a 2 como queramos, eligiendo x suficientemente cercano a 1. 
 
 
 
 
 
 
 2 
Matemática II 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Decimos que f(x) está arbitrariamente cercano a 2 cuando x se aproxima a 1, o 
simplemente f(x) se aproxima a 2 cuando x se acerca a 1 , y escribimos: 
 
1
lim ( ) 2
x
f x
→
= 
 
Notar que para el valor x= x0 la función puede no estar definida o puede no tomar el valor L. En este 
caso f no está definida en x=1, sin embargo el límite cuando x se acerca a 1 es 2, ya que el valor del 
límite es el valor de la función para valores próximos a 1 y no necesariamente en 1. 
 
 
2) Sea x x<1 
 
 f(x) = 
 1 x≥1 
 
 Esta es una función definida a trozos. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1 x 
 
 
 Acá notamos que tenemos que analizar separadamente el valor de la función cuando x se 
aproxima a 1 por valores mayores a él, y cuando x se aproxima a 1 por valores menores a él. 
1 
x 
y 
2 - 
 3 
Matemática II 2007 
 
 Sin embargo vemos que en ambos casos el valor de la función se acerca a 1 , por lo tanto 
decimos que : 
1
lim ( ) 1
x
f x
→
= 
 
 
3) Sea x x<1 
 
 f(x) = 
 x-1 x≥1 
 
 Esta es una función definida a trozos, su gráfica presenta un “salto” en x=1. 
 
 
 
 
Vemos que f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x se aproxima a 1 
por valores mayores a 1, pero cuando x se aproxima a 1 por valores menores que 1 la función se acerca 
a 1, luego no es cierto que cuando x se acerca a 1, los valores de f(x) se acercan a un número L y por 
lo tanto, este es un ejemplo donde diremos que no existe )(
1
xflím
x→
. 
 
Sin embargo, como dijimos, f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x 
se aproxima a 1 por valores mayores a 1, de modo que diremos que “el límite de f(x), cuando x tiende 
a 1 por la derecha es 0”, lo que escribiremos 0)(
1
=
+→
xflím
x
 y análogamente, “el límite de f(x), cuando 
x tiende a 1 por la izquierda es 1”, lo que escribiremos 1)(
1
=
−→
xflím
x
. A estos límites los llamaremos 
límites laterales.4 
Matemática II 2007 
 
Definición 
 
1. Si f está definida a la izquierda de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x), 
cuando x tiende a x0 por la izquierda es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L 
cuando x se aproxima a x0 por la izquierda, y lo escribiremos así : 
 Lxflím
xx
=
−→
)(
0
 
 
2. Si f está definida a la derecha de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x), cuando 
x tiende a x0 por la derecha es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L cuando x se 
aproxima a x0 por la izquierda, y lo escribiremos así : 
 Lxflím
xx
=
+→
)(
0
 
 
 
Observaciones: 
 
La expresión 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= es equivalente a decir 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x L y f x L
+ −→ →
= = 
 
Se tiene entonces que: 
• si 
0 0
1 2 1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x L y f x L con L L
+ −→ →
= = ≠ ⇒ 
0
lim ( )
x x
f x
→
no existe 
• si 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
no existe f x o no existe f x
+ −→ →
⇒ 
0
lim ( )
x x
f x
→
no existe 
 
 
Propiedades: 
 
1) •••• Si f(x)=k k, constante, ⇒ 
0
lim ( )
x x
f x k
→
= 
 
2) • Si f(x)=x ⇒ 
0
0lim ( )x x
f x x
→
= 
 
3) • Si 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , 
0
lim ( )
x x
g x M
→
= (L y M son números reales), entonces: 
 
a) 
0 0 0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = + 
 
 b) 
0 0 0
lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x L M
→ → →
= = 
 
c) 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
kf x k f x kL
→ →
= = 
d) Si 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
≠ 0
0
0
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x x
x x
x x
f xf x L
g x g x M
→
→
→
= = 
 
 
 5 
Matemática II 2007 
 
4) • Si 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , lim ( )
x L
g x M
→
= ⇒ 
0
lim ( ( ))
x x
g f x M
→
= 
 
5) • Si m y n son números enteros ⇒ 
0
lim[ ( )]
m m
n n
x x
f x L
→
= cuando 
m
nL es un número real 
 
 
Ejemplo: 
Calcular 
3 2
21
4 3
lim
4x
x x
x→
+ −
+
 
 
Usaremos las propiedades para analizar los límites del numerador y denominador. 
Notemos que : 
3
1 1 1 1
lim lim lim lim 1
x x x x
x x x x
→ → → →
= = usando la propiedad 2, y la propiedad 3b 
 
2
1 1 1
lim4 4lim lim 4
x x x
x x x
→ → →
= = usando la propiedad 3c, la 2 y la 3b 
 
1
lim 3 3
x→
− = − usando la propiedad 1 
Por lo tanto usando la propiedad 3a , 3 2
1
lim 4 3 1 4 3 2
x
x x
→
+ − = + − = 
 
 
Del mismo modo usando las propiedades adecuadas, analicemos el límite del denominador: 
 
2
1 1 1 1
lim 4 lim lim lim4 1 4 5
x x x x
x x x
→ → → →
+ = + = + = 
 
Por lo tanto, usando la propiedad 3d, 
3 2
21
4 3
lim
4x
x x
x→
+ −
+
= 
3 2
1
2
1
lim 4 3 2
lim 4 5
x
x
x x
x
→
→
+ −
=
+
 
 
Es importante señalar que el límite del denominador es distinto de 0, y que todos los límites que fuimos 
calculando parcialmente son números reales. 
 
 
Teorema del encaje: 
 
Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto c, tales que : 
 
 ( ) ( ) ( ) , ( , ),h x f x g x x x a b excepto posiblemente en c≤ ≤ ∀ ∈ 
 
Luego si lim ( ) lim ( ) lim ( )
x c x c x c
h x L y g x L f x L
→ → →
= = ⇒ = 
 
 
 
 
 6 
Matemática II 2007 
 
 y 
 
 
 
 g(x) 
 
 f(x) 
 
 
 h(x) 
 x 
 c 
 
 
 
 
Funciones acotadas 
 
Definición: Se dice que una función f está acotada en un intervalo I si existen constantes m y M 
tales que ( ) , Im f x M x≤ ≤ ∀ ∈ (m es la cota inferior y M la cota superior) 
 
Ejemplos: 
Las funciones 
5 5
 , cos , 3 , cos , , 9 cos6
3x
sen x x senx sen x
x
 
 
 
+ + están acotadas. 
 
Teorema. Si la función f está acotada en un intervalo abierto que contiene al punto a y la función g 
verifica que el lim ( ) 0
x a
g x
→
= , entonces .lim ( ). ( ) 0
x a
f x g x
→
= 
 
(Se demuestra usando el teorema del encaje. El resultado también es válido para límites laterales) 
 
Ejemplos: 
1) 
0
1
lim . 0
x
x sen
x→
= 
2) 2
2
5
(4 ).
2
lim
x
x cos
x→−
 −  + 
=0 
3) ( )2
3
1
3 .cos 0
3
lim 
x
x
x+→
 − = − 
 
Observación: Estos límites existen sin embargo no pueden obtenerse por la regla del límite de un 
producto de funciones, se obtienen aplicando el teorema precedente. 
 
 
 
 
 
 
 7 
Matemática II 2007 
 
Definición formal de límite: 
 
Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto alrededor de 0x excepto posiblemente en 0x . Decimos que f 
tiene límite L, cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= , 
Si para cada número ε >0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x L⇒ − <ε 
 
 
Esta es la definición que formaliza el concepto de límite, nos permite demostrar que el límite de 
una función es un número L y nos permite también demostrar algunas propiedades de límites. Veremos 
solamente un ejemplo para ilustrar su significado. 
 
 
 Ejemplo: 
Demostrar que 
1
lim5 3 2
x
x
→
− = 
El 0x de la definición en nuestro caso vale 1 y L vale 2. Para todo número real ε , debemos encontrar un 
número δ tal que si 0< 1x− <δ ( ) 2f x⇒ − <ε 
 
Hallamos δ trabajando hacia atrás, a partir de la desigualdad ( ) 2f x − <ε , 
Escribimos entonces 5 3 2 5 5x x− − = − <ε 
Tenemos entonces 5 1x− <ε 1 < 
5
x
ε
⇒ − 
Por lo tanto, dado cualquier ε podemos encontrar un δ , que depende de él, en este caso δ =ε /5 
 
Entonces si 0< 1x− <δ = 
5
ε
 5 3 2 5 5 5 1 <5
5
x x x
ε ε⇒ − − = − = − = 
Esto demuestra que 
1
lim5 3 2
x
x
→
− = . 
El valor de δ = 
5
ε
 no es el único que satisface la definición. Cualquier valor positivo menor que 
5
ε
 
también cumple las condiciones. 
 
 
 
 
Límites de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas: 
 
Lema: 
0
lim 0sen
φ
φ
→
= 
 
 
 
 
 
 8 
Matemática II 2007 
 
Demostración: 
Supongamos 0<φ <
2
π
. Vemos en el gráfico que 0 y s≤ ≤ y 
O bien 0 rsen rφ φ≤ ≤ 
Como r>0 tenemos 0 senφ φ≤ ≤ 
 y s 
Como 
0 0
lim 0 0 lim 0y
φ φ
φ
+ +→ →
= = x x 
 
El Teorema del Encaje nos permite concluir que 
 
0
lim 0sen
φ
φ
+→
= 
 
Tomando 
2
π− <φ <0, análogamente tenemos que 
0
lim 0sen
φ
φ
−→
= 
 
Por lo tanto 
0
lim 0sen
φ
φ
→
= 
Hemos demostrado un caso particular del primer inciso del teorema siguiente. 
 
Teorema: 
 
Para cualquier número real a: 
 
lim
lim
lim
lim
a
a
x a
x a
x a
sen sena
cos cosa
e e
lnx lna
φ
φ
φ
φ
→
→
→
→
=
=
=
=
 
0
lim 1
sen
φ
φ
φ→
= 
0
1
lim 0
cos
φ
φ
φ→
− = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Matemática II 2007 
 
Actividades: 
 
1) Sea f(x) una función polinomial de grado n. Muestre utilizando las propiedades que 
correspondan que : 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= 
2) Sea f(x) una función racional. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que si: 
 0
( )
( ) ( ) 0
( )
p x
f x con q x
q x
= ≠ ⇒ 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= 
3) Sea f(x) una función y n un número natural. Muestre utilizando las propiedades que 
correspondan y el principio de inducción que si : 
0 0
lim ( ) lim[ ( )] n n
x x x x
f x L f x L
→ →
= ⇒ = 
4) Calcular los siguientes límites: 
 
a) 3 5
1
lim 4
x
x x x
→−
+ + 
b) 2 2
2
lim( 1)( 3 2)
x
x x x
→
− + + 
c) 
3
21
1
lim
1x
x
x→
+
+
 
d) 
233
1
lim
1x x→ −
 
e) 
2
2
7 10
lim
2x
x x
x→
− +−
 
 
 
5) Mostrar que si 
0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0
x x
f x f x
→ →
= ⇒ = 
 
6) Teniendo en cuenta la condición que satisface la función g, calcular el límite indicado: 
 
 a) 2
1
lim ( ) ( ) 2 3( 1)
x
g x si g x x x
→
− ≤ − ∀ ∈ℝ 
 
 b) 4
3
lim ( ) ( ) 4 2(3 )
x
g x si g x x x
→
+ ≤ − ∀ ∈ℝ 
 
 c) 2
2
lim ( ) ( ) 3 5( 2)
x
g x si g x x x
→−
− ≤ + ∀ ∈ℝ 
 
7) Calcular los siguientes límites utilizando los límites laterales: 
 
a) 2x 1x ≥ 
 
f(x) = 
 3 2 2x x x− + <1 
 
b) ( )
x
f x
x
= 
 10 
Matemática II 2007 
 
 8) Calcular los siguientes límites enunciando qué propiedad usa. 
a) 2
5
1
( 5)
5
lim .
x
x sen
x→ +
−
−
 
b) 2
2
1
lim( 4).cos( )
2x
x
x→
−
−
 
c) 2
6
( ). 
5
36
6
lim
x
x
x
sen
→−
 
 
 
−
+
 
 
9) Calcular indicando las propiedades usadas 
 
a) 
1
lim ( )sen
φ
πφ
→−
 b) 2
2
lim( 1) ( )cos
φ
φ πφ
→
− 
 
c) 
0
(9 )
lim
(7 )
sen
senφ
φ
φ→
 d) 
0
1
lim
cos
senφ
φ
φ→
−
 
 
e) 
20
lim
3 2
sen
x xφ
φ
→ +
 f) 
0
lim
cosφ
φ
φ→
 
 
 
 
 Como hemos visto en muchos casos, el límite se evalúa por sustitución directa del valor de 
0x en la función. Sin embargo en algunas funciones esto no es posible, como vimos en el ejemplo 2 del 
inicio del módulo, cuando las funciones están definidas a trozos, es decir tienen una definición hasta un 
valor de x y otra definición a partir de ese valor, necesitamos del estudio de los límites laterales. 
 
 Aún con esta alternativa del estudio de límites laterales hay algunos límites que tampoco pueden 
calcularse de este modo. 
 
 
Limites indeterminados: 
 
Nos referimos con esta terminología a aquellos límites en los que al primer intento de hacer una 
sustitución directa aparecen indeterminaciones. 
 
Por ejemplo : si 
2
( )
9
x
h x
x
−=
−
, y queremos calcular 
9 9
2
lim ( ) lim
9x x
x
h x
x→ →
−=
−
 por sustitución directa , 
vemos que el denominador es cero, por lo tanto no podemos utilizar la propiedad 3b para resolverlo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
Matemática II 2007 
 
Criterio para límites indeterminados: 
 
Si 
0
( )
lim
( )x x
f x
L
g x→
= y 
0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0
x x x x
g x f x
→ →
= ⇒ = 
 
Demostración: 
 
 
0 0 0 0
( ) ( )
lim ( ) lim ( ) lim .lim ( ) .0 0
( ) ( )x x x x x x x x
f x f x
f x g x g x L
g x g x→ → → →
= = = = 
 
Notemos que una expresión equivalente a este criterio es su contrarrecíproca, es decir : 
 
Si 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠
0 0
( )
lim lim ( ) 0
( )x x x x
f x
no existe o g x
g x→ →
⇒ ≠ 
 
 
En la práctica en general estamos interesados en el cálculo de límites de la forma: 
 
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
 y observamos que 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
= 
 
Entonces usando la contrarrecíproca del criterio decimos que 
 
Si 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠ y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no existe
g x→
⇒ 
 
Si
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
= y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no podemos asegurar la existencia o no de
g x→
⇒ 
 
Volvamos al ejemplo: 
Analicemos los límites de f y de g , en nuestro caso ( ) 2 ( ) 9f x x y g x x= − = − 
 
9 9 9 9
lim ( ) lim 2 1 lim ( ) lim 9 0
x x x x
f x x y g x x
→ → → →
= − = = − = 
 
Por lo tanto usando la contrarrecíproca del criterio , como 
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
≠ y 
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
0
( )
lim
( )x x
f x
no existe
g x→
⇒ 
 
Otros ejemplos: 
1) Sea 
2 6
( )
3
x x
h x
x
+ −=
+
 , calcular si es que existe , 
3
lim ( )
x
h x
→−
 
 
Como 2
3 3 3
lim( 3) 0 lim( 6) 0 lim ( )
x x x
x y x x h x
→− →− →−
+ = + − = ⇒ puede existir o no. 
 12 
Matemática II 2007 
 
Es decir que el criterio no nos asegura la existencia del límite!!! 
 
Usamos entonces la técnica de cancelación, factorizando o hallando las raíces de 2 6x x+ − . 
Escribimos entonces: 
 
2
3 3 3 3
6 ( 2)( 3)
lim ( ) lim lim lim 2 5
3 3x x x x
x x x x
h x x
x x→− →− →− →−
+ − − += = = − = −
+ +
 
 
Notar que esta cancelación podemos hacerla para 3x ≠ − , y como el límite es el estudio de la función 
cuando el valor de x se aproxima a -3 , no importa el valor de x en -3, por lo tanto podemos no 
considerarlo. 
 
 
2) Sea 
1 1
( )
x
h x
x
+ −= ; calcular si es que existe , 
0
lim ( )
x
h x
→
 
 
Como 
0 3 0
lim 0 lim( 1 1) 0 lim ( )
x x x
x y x h x
→ →− →
= + − = ⇒ puede existir o no. 
 
Usamos la técnica de racionalización: 
 
0 0 0 0 0
1 1 ( 1 1)( 1 1) 1 1 1 1
lim ( ) lim lim lim lim
2( 1 1) ( 1 1) 1 1x x x x x
x x x x
h x
x x x x x x→ → → → →
+ − + − + + + −= = = = =
+ + + + + +
 
 
 
3) Sea 
2
1
( )f x
x
= ; calcular si es que existe , 
0
lim ( )
x
f x
→
 
 
Como 2
20 0 0
1
lim 0 lim1 1 0 lim
x x x
x y
x→ → →
= = ≠ ⇒ no existe 
 
 
Límites infinitos: 
 
Sea f(x) una función definida en (a,b) que contiene al punto x0. La expresión 
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞ 
indica que la función crece indefinidamente y la expresión 
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞ indica que la función 
decrece indefinidamente. 
 
Significa que el límite no existe. Es decir que la función crece o decrece sin cota cuando x 
tiende a x0. 
Indicamos entonces el comportamiento no acotado de una función cuando x se acerca a x0 por derecha 
o por izquierda de la siguiente manera: 
 
Si f crece sin cota cuando x tiende a x0 por derecha, 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= +∞ 
 13 
Matemática II 2007 
 
Si f decrece sin cota cuando x tiende a x0 por derecha, 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= −∞ 
 
Si f crece sin cota cuando x tiende a x0 por izquierda, 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= +∞ 
 
Si f decrece sin cota cuando x tiende a x0 por izquierda, 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= −∞ 
 
Asíntota vertical: 
 
Si f(x) tiende a + o a∞ − ∞ cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, se dice que la 
recta de ecuación x= x0 , es una asíntota vertical de la gráfica de f. 
 
 
Ejemplo: 
 
Calcular 
0
1
lim
x x→
 
 
Como 
0 0 0
1
lim 0 lim1 1 0 lim
x x x
x y
x→ → →
= = ≠ ⇒ no existe 
 
Notemos en el gráfico que sigue, que la función tiene un comportamiento no acotado cuando x 
tiende a 0. 
Analizamos los límites laterales, notando que cuando x se acerca a 0 con valores positivos la función 
crece sin cota y cuando x se acerca a 0 con valores negativos la función decrece sin cota . Por lo tanto 
escribimos : 
0 0
1 1
lim , lim
x xx x− +→ →
= −∞ = +∞ 
 
Por lo tanto la recta de ecuación x=0 es una asíntota vertical de la gráfica de f 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 14 
Matemática II 2007 
 
Definición formal de límite infinito: 
 
1. Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto alrededor de 0x excepto posiblemente en 0x . Decimos 
que f tiende a ∞ , cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞ , 
Si para cualquier número B>0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x⇒ >B 
 
2. Decimos que f tiende a - ∞ , cuando x tiende a 0x , y escribimos 
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞ , 
Si para cualquier número B<0 , existe un número δ >0, tal que para toda x 
 
0< 0x x− <δ ( )f x⇒ <B 
 
 
Actividades: 
 2x+3 x>2 
10) Dada la función 
 f(x)= 2 x=2 
 
 2x2-1 x>2 
 
Calcular si es que existen los siguientes límites 
a) 
0 2 4
lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
x x x
f x b f x cf x
→ → →
 
 
 
 
11) Dada la función 
 2x-1 x≤ 1 
 f(x)= 
 x2+2 x>1 
 
Calcular si es que existen los siguientes límites 
a) 
1 1 3
lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
x x x
f x b f x c f x
→− → →
 
 
12) Calcular si es que existen los siguientes límites: 
a) 
1
1
lim
1x
x
x−→
−
−
 b) 
1
1
lim
1x
x
x+→
−
−
 c) 
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
 
d) 
2
2
lim
2x
x
x−→
−
−
 e) 
2
2
lim
2x
x
x+→
−
−
 f) 
2
2
lim
2x
x
x→
−
−
 
 
 
 
 15 
Matemática II 2007 
 
g) 
2
22
4
lim
3 2x
x
x x→
−
− +
 h) 
2
21
1
lim
3 2x
x
x x→−
−
+ +
 i) 
3
21
1
lim
1x
x
x→−
+
+
 
 
j) 
2 2
0
( )
lim
h
x h x
h→
+ −
 k) 
2
22
2
lim
4 4x
x x
x x→
−
− +
 l) 
27
2 3
lim
49x
x
x→
− −
−
 
 
 
m) 
38
8
lim
8x
x
x→
−
−
 n) 
0
lim
h
x h x
h→
+ −
 ñ) 
31
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
 
 
o) 
5
41
1
lim
1x
x
x→
−
−
 p) 
0
1 1
lim
x
x x
x→
+ − −
 q) 
364
8
lim
4x
x
x→
−
−
 
 
 
 
13) Decidir en cada caso si la función presenta una asíntota vertical en x=-1 
 
a) 
2 1
( )
1
x
f x
x
−=
+
 b) 
2 1
( )
1
x
f x
x
+=
+
 c) 
2 6 7
( )
1
x x
f x
x
− −=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Matemática II 2007 
 
2-Comportamiento de una función en el infinito: 
 
 
Una función f definida en el intervalo (a, +∞ ) , se dice que lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
si cuando x crece , sin cota, los valores de f se acercan al valor L. Es decir que f(x) se hace tan cercano a 
L como se quiera, tomando un x suficientemente grande. 
 
Del mismo modo tomando una función f definida en (−∞ ,a) , diremos que lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
si cuando x decrece sin cota , los valores de f se acercan a L. 
 
 
Propiedades: 
 
1) lim
x
x
→∞
= ∞ 
 
2) lim
x
x
→−∞
= −∞ 
3) 
1
lim 0
x x→∞
= 
4) 
1
lim 0
x x→−∞
= 
5) Si lim ( )
x
f x L
→∞
= , lim ( )
x
g x M
→∞
= , L , M ∈ℝ ⇒ 
 
a) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x x x
f x g x f x g x L M
→∞ →∞ →∞
+ = + = + 
 
 b) lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ) .
x x x
f x g x f x g x L M
→∞ →∞ →∞
= = 
 
c) lim ( ) lim ( )
x x
kf x k f x kL
→∞ →∞
= = 
d) Si lim ( ) 0
x
g x
→∞
≠ 
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x
x
x
f xf x L
g x g x M
→∞
→∞
→∞
= = 
Las propiedades del punto 5 son válidas cuando x tiende a −∞ 
 
 
Asíntota horizontal: 
 
Si lim ( ) / lim ( )
x x
f x L y o f x L
→∞ →−∞
= = diremos que la recta de ecuación y=L es una asíntota 
horizontal de la gráfica de f(x) 
 
 
 
 
 17 
Matemática II 2007 
 
Ejemplo: 
 
Tomemos la función usada en el ejemplo para el cálculo de una asíntota vertical. En este caso como 
intentaremos ver si tiene asíntota horizontal nos interesa calcular el límite cuando x tiende a ±∞ 
Calcular 
1
lim
x x→∞
 
 
Por la propiedad 3 
1
lim 0
x x→∞
= y por la propiedad 4 1lim 0
x x→−∞
= 
 
Notemos que la función toma valores cada vez más pequeños a medida que x crece. 
 
Por lo tanto la recta de ecuación y=0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición formal de límite cuando x tiende a infinito: 
 
1. Sea f(x) definida sobre un intervalo abierto (a,∞ ). Decimos que f tiene límite L, cuando x tiende a 
infinito, y escribimos lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
Si para cualquier número ε >0 , existe un número M>0, tal que para toda x 
 
x>M ( )f x L⇒ − <ε 
 
2. Decimos que f tiene límite L, cuando x tiende a menos infinito, y escribimos lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
Si para cualquier número ε >0 , existe un número M<0, tal que para toda x 
 
x<M ( )f x L⇒ − <ε 
 
 18 
Matemática II 2007 
 
Limites en el infinito de funciones racionales: 
 
 Sea f una función racional ⇒ 
 
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
lim ( ) lim
...
n n
n n
m mx x
m m
a x a x a x a x a
f x
b x b x b x b x b
−
−
−→∞ →∞
−
+ + + + += =
+ + + + +
 
 
 
1 2
1 02 1
1 2
1 02 1
( ... )
lim
( ... )
n
n n
n n n n n
mx
m m
m m m m m
a x aa x a x
x a
x x x x
b x bb x b x
x b
x x x x
−
−
−→∞
−
+ + + + +
= =
+ + + + +
 
 
 
1 02 1
2 1
1 02 1
2 1
( ... )
lim
( ... )
n n
n n n n
x m m
m m m m
a aa a
x a
x x x x
b bb b
x b
x x x x
−
− −
→∞ −
− −
+ + + + +
= =
+ + + + +
 
Notamos que cuando x tiende a ∞ , todos los términos del numerador, salvo na tienden a 0 y todos los 
términos del denominador salvo mb tienden a 0. Luego tenemos que 
 
 ∞ si n>m 
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
lim ( ) lim
...
n n
n n
m mx x
m m
a x a x a x a x a
f x
b x b x b x b x b
−
−
−→∞ →∞
−
+ + + + += =
+ + + + +
 n
n
a
b
 si n=m 
 0 si n<m 
 
 
 
Ejemplos: 
 
1) 
2 2 2 2
2 2 2 2
5 8 3 (5 8 / 3/ ) 5 8 / 3 / 5 0 0 5
lim lim lim
3 2 (3 2 / ) 3 2 / 3 0 3x x x
x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + − + − + −= = = =
+ + + +
 
 
2) 
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3
5 8 3 (5 / 8 / 3/ ) (5 / 8 / 3 / ) 0 0 0
lim lim lim 0
3 2 (3 2 / ) (3 2 / ) 3 0x x x
x x x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + − + − + −= = = =
+ + + +
 
 
3) 
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 8 3 7 (2 8 3/ 7 / ) (2 8 3/ 7 / )
lim lim lim
2 (1 2 / ) (1 2 / )x x x
x x x x x x x x x x
x x x x→∞ →∞ →∞
+ − + + − + + − += = = ∞
+ + +
 
 
Actividades: 
 
14) Calcular los siguientes límites: 
a) 
2
2
( 1)
lim
1x
x
x→∞
+
+
 b) 
2
lim
1x
x
x→∞ −
 c) 
2 5 1
lim
3 7x
x x
x→∞
− +
+
 d) 
2
2
( 1)
lim
1x
x
x→∞
+
+
 
 
 
 19 
Matemática II 2007 
 
15) El proceso realizado para calcular límites de funciones racionales , puede realizarse también para 
funciones que tienen potencias no naturales de x. Dividimos numerador y denominador por x elevado al 
mayor exponente del denominador y partimos de allí. Calcular: 
 
a) 
12
lim
3 7x
x x
x
−
→∞
+
−
 b) 
2
lim
2x
x
x→∞
+
−
 c) 
3 5
3 5
lim
x
x x
x x→∞
−
+
 
 
16) Obtener las asíntotas de las siguientes funciones: 
 
a) 
2
2
( )
4
x
f x
x
=
−
 
 
b) 
2
( )
1
x
f x
x
=
+
 
c) 
3
2
( )
1
x x
f x
x
+=
−
 
 
17) Dibuje la gráfica de una función con dominio real que cumpla con las siguientes propiedades: 
 
f(-4)=0 f(-2)=0 f(0)=3 f(2)=-3 f(4)=0 f(5)=0 
 
4 0
5 2
2 2
4 4
lim ( ) 0 lim ( ) 0
lim ( ) 0 lim ( )
lim ( ) lim ( )
lim ( ) 0 lim ( )
lim ( ) 3 lim ( )
x x
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
− +
− +
→− →
→ →−
→ →
→ →
→−∞ →∞
= =
= = ∞
= ∞ = −∞
= = ∞
= − = −∞
 
18) Calcular: 
a) lim
x
senx
→∞
 b)lim cos
x
x
→∞
 
 
 
 
Orden de Magnitud: 
 
Estudiaremos a través del orden de magnitud el comportamiento en el infinito de un cociente de 
dos funciones y el cálculo de límites que conducen a indeterminaciones de la forma 
∞
∞
 . 
Mostraremos cómo comparar las razones de crecimiento de funciones cuando aumenta x. Puede 
notarse que las funciones exponenciales , como 2x xy e parecen crecer con más rapidez cuando aumenta 
x que las funciones polinomiales y racionales, observemos el siguiente gráfico: 
 
 
 20 
Matemática II 2007 
 
 
 y 
 
 xe 
 2x 
 
 
 
 80 
 60 
 2x40 
 20 
 x 
 1 2 3 4 5 6 7 
 
 
Esta observación nos conduciría a decir que 
2
2
lim lim 0
x
xx x
e x
y
x e→∞ →∞
= ∞ = , demostraremos en lo 
que sigue que, en efecto es así. 
 
Sean f(x) y g(x) funciones definidas y positivas para valores grandes de x, 
 
El orden de magnitud de f es mayor que el orden de magnitud de g (f >>g ) si : 
( )
lim
( )x
f x
g x→∞
= ∞ 
 
El orden de magnitud de f es menor que el orden de magnitud de g (f <<g ) si : 
( )
lim 0
( )x
f x
g x→∞
= 
 
El orden de magnitud de f es igual al orden de magnitud de g si : 
( )
lim
( )x
f x
L
g x→∞
= > 0 
 
 
 
Teorema: 
 
Para todo ,realα α >0, lnx xα ≫ 
 
Demostración: aceptaremos que x > lnx x +∀ ∈ℝ , su demostración requiere del concepto de 
derivada que veremos más adelante. 
 
 
 
 21 
Matemática II 2007 
 
Si x> 0 tenemos que 
ln x
x
<
1x
x x
= , 
 
Si x>1 tenemos que 0< 
ln x
x
<
1
x
 
 
Dado que 
1 ln
lim 0 0 lim 0 lim 0
x x x
x
y
xx→∞ →∞ →∞
= = ⇒ = gracias al Teorema del Encaje 
 
Veremos finalmente que 
ln
lim 0
x
x
xα→∞
= : 
 
 
ln 1 ln
lim lim
x x
x x
x x
α
α αα→∞ →∞
= 
 
Definiendo u xα= y teniendo en cuenta que cuando ,x u→ ∞ → ∞ , obtenemos: 
 
ln 1 ln
lim lim 0
x u
x u
x uα α→∞ →∞
= = 
Por lo tanto, 
ln
lim 0
x
x
xα→∞
= y entonces α∀ >0, ln x xα≪ , como queríamos demostrar. 
 
 
 
Teorema: 
 
Para todo ,realα α >0, xe xα≫ 
 
Demostración: tomemos ( )
xe
f x
xα
= 
 
Comenzaremos estudiando el comportamiento de ln( ( ))f x 
 
ln( ( ))f x =ln ln ln ln
x
xe e x x x
x
α
α α= − = − 
 
Tenemos entonces que : 
 
ln
lim ln( ( )) lim( ln ) lim[ (1 )]
x x x
x
f x x x x
x
α α
→∞ →∞ →∞
= − = − 
 
Teniendo en cuenta que : 
ln ln ln
lim 0 lim(1 ) 1 lim[ (1 )]
x x x
x x x
x
x x x
α α
→∞ →∞ →∞
= ⇒ − = ⇒ − = ∞ 
 22 
Matemática II 2007 
 
Obtenemos que : lim ln( ( ))
x
f x
→∞
= ∞ 
 
Entonces ln ( )lim ( ) lim f x
x x
f x e
→∞ →∞
= , 
 
definiendo ln ( )u f x= y teniendo en cuenta que cuando ,x u→ ∞ → ∞ , obtenemos 
 
ln ( )lim ( ) lim limf x u
x x u
f x e e
→∞ →∞ →∞
= = = ∞ y por lo tanto lim
x
x
e
xα→∞
= ∞ como queríamos demostrar. 
 
A partir de los resultados anteriores podemos establecer la siguiente relación de órdenes de magnitud: 
 
ln , ,xx x eα α α∀ ∈≪ ≪ ℝ >0 
 
 
Actividades: 
 
19) Calcular los siguientes límites: 
 
a) lim
xx
x
e→∞
 b) 
2ln
lim
x
x
x→∞
 c)
0
lim ln
x
x x
+→
 
 
 
 
 
 
3- Continuidad en un punto: 
 
 
Definición: una función f(x) se dice continua en 0x , si se cumple que: 
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
→
= 
 
Por lo tanto deben satisfacerse las siguientes condiciones: 
 
• f debe estar definida en 0x 
• debe existir el 
0
lim ( )
x x
f x
→
 
• el valor de dicho límite debe coincidir con el valor de la función en el punto 0x 
 
 Intuitivamente f será continua en 0x si no presenta “saltos” o “ agujeros”, o dicho de otro modo, 
si podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. 
 
 
 
 
 23 
Matemática II 2007 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 y y 
 
 
 ⋅ 
 
 
 
 ° 
 
 
 
 0x 0x 
 f(x) no es continua en 0x f(x) no es continua en 0x 
 
 
 
 
 
 
 
 0x 0x 
 f(x) es continua en 0x f(x) es continua en 0x 
 
 
Propiedades: 
 
Sean f y g funciones continuas en 0x : 
• (f+g) es continua en 0x 
• (f.g) es continua en 0x 
• f
g
 es continua en todo 0x / 0( ) 0g x ≠ 
 
• La composición de funciones continuas es una función continua: 
 Si f es continua en 0x y g es continua en 0( )f x g f⇒ � es continua en 0x 
 
•
0 0
lim ( ( )) ( lim ( ))
x x x x
g f x g f x
→ →
= 
 
 
Si alguna de las condiciones que debe satisfacer f para que sea continua en 0x no se cumple , se dice 
que f es discontinua en 0x 
 24 
Matemática II 2007 
 
Clasificación de las discontinuidades: 
 
• f es discontinua en 0x y 
0
lim ( )
x x
f x f
→
∃ ⇒ presenta en 0x una discontinuidad evitable 
 
• f es discontinua en 0x y 
0
lim ( )
x x
f x f
→
¬∃ ⇒ presenta en 0x una discontinuidad no evitable o 
esencial 
 
 
 Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posible hacer una redefinición de f de 
manera que resulte continua en 0x . 
 Las discontinuidades denominadas inevitables o esenciales, nos dicen que esto no es posible. 
 
 
 4- Continuidad en un intervalo: 
 
 
Definición: 
 
• una función f(x) se dice continua en (a,b), si es continua en cada punto de (a,b) 
 
• una función f(x) se dice continua en [a,b], si es continua en de (a,b) y además se verifica que: 
 
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
x a x b
f x f a y f x f b
+ −→ →
= = 
 
 
 Hemos aceptado que , ,a a∀ ∈ℝ lim
x a
senx sena
→
= , es decir la continuidad de la función seno. 
 
Ahora estamos en condiciones de demostrarlo: 
 
Debemos ver que lim
x a
senx sena
→
= o equivalentemente que 0 0 00lim ( ) ,h sen x h senx x→ + = ∀ ∈ℝ , 
Lo cual es inmediato ya que: 
 
0 0 00 0
lim ( ) lim cosh cos
h h
sen x h senx x senh
→ →
+ = + = 
 
0 0 0 0 00 0
limcosh cos lim 1 cos 0
h h
senx x senh senx x senx
→ →
+ = + = 
 
 Del mismo modo puede probarse que la función coseno es continua en ℝ , como también las 
funciones exponenciales y logarítmicas. 
 
 
 
 
 
 25 
Matemática II 2007 
 
Teorema del Valor Intermedio: 
 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y sea w un valor cualquiera entre f(a) y f(b) , entonces existe c, c∈ [a,b] tal 
que f(c)=w. 
 
Podemos analizar gráficamente el enunciado del teorema: 
 
 
 
 
y 
 f(b) 
 w = f(c) 
 
 f(a) 
 
 x 
 a c b 
 
Corolario 1: 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y sea signo( f(a))≠ signo( f(b)) , entonces existe c, c∈[a,b] tal que f(c)=0. 
 
Veamos gráficamente el corolario: 
 y 
 
 
 
 
 
 
 a 
 c b x 
 
 
 
 
Corolario 2: 
 
Sea f(x) continua en [a,b] y f(x)≠ 0 [ ],x a b∀ ∈ , entonces f conserva su signo en [a,b] 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
Matemática II 2007 
 
Actividades: 
 
20) Interprete geométricamente el corolario 2 
 
21) Mostrar que 2( )f x x= es continua en ℝ 
 
22) Mostrar que la funciones polinómicas son continuas en ℝ . 
 
23) Mostrar que ( )f x x= es continua en ℝ 
 
24) Hallar el o los intervalos en los que las siguientes funcionesson continuas: 
a) 
23 2
( )
1
x x
f x
x
− −=
−
 
 
 
b) ( )f x = 
23 2
1
x x
x
− −
−
 1x ≠ 
 0 x=1 
 
c) 5 x− 2x ≤ 
 f(x)= 
 2x-3 x>2 
 
d) f(x)=
1 x
x
+
 
 
25) Dada : 
2 4
2
2
x
x
x
− ≠
−
 
 a) f(x)= 
 
 k x=2 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 b) 3 2x x+ ≤ 
 f(x)= 
 cx+6 x>2 
 
Hallar el valor de c para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 c) 3x+ 1<x<3 
 f(x)= 
 2 2 1x bx c x+ + − ≥ 
 
 27 
Matemática II 2007 
 
Hallar los valores de b y c para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
1
0xe x≠ 
 d) f(x)= 
 
 k x=0 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
 e) 
1
1
x
xe x
−
+ >-1 
 f(x)= 
 3x+k x≤ -1 
 
Hallar el valor de k para que f resulte continua en ℝ . Graficar 
 
26) En la figura se muestra la gráfica de una función. Estudie la continuidad de la misma e indique: 
a) ¿Cuáles de las discontinuidades son evitables?¿Cómo definiría la función para hacerla 
continua en ese punto? 
b) ¿Cuáles de las discontinuidades son esenciales? ¿Por qué? 
 y 
 
 
 
 . 
 
 
 ° 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
27) 2
1
0x sen x
x
≠ 
 f(x)= 
0 x=0 
 
Demostrar que f es continua en x=0 
 
28) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 
 
a) senx 0≤ x< / 2π 
 f(x)= 
 sen (x-/ 2)π / 2 xπ π≤ ≤ 
 
 28 
Matemática II 2007 
 
 
b) cosx π− ≤ x<0 
 f(x)= 
 sen (x+/ 2)π 0<x π≤ 
 
 
29) Indicar el valor de b para que 
2( 81). , 
, 
9
( )
9
1
9
x
f x
x
x
x
sen
b
− ≠
=
=
  
  − 

 
 sea continua en x = 9 
 
 Enunciar la propiedad que usa. 
 
 30) Indicar el valor de b para que 
2( ). , 
, 
6
( )
6
1
36
6
x
f x
x
x
x
sen
b
≠
=
=
  −  − 


 
 sea continua en x = 6 
 
 Enunciar la propiedad que usa. 
 
 31) Indicar el valor de b para que 
2 1( 16). , 
4
, 
4
( )
4
x
x
x
j x
b x
sen−
−
≠
=
=
  
  
 

 sea continua en x = 4 
 Enunciar la propiedad que usa. 
 
 
 
Modulo Modulo Modulo Modulo 3333 
 
 
La derivada 
 
 
1. Variación promedio 
 
Sea f una función numérica cualquiera, definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene al 
punto 0x . Consideremos un pequeño incremento h, h ≠ 0, de la variable independiente, de manera 
que 0 , ( , )x x h x a b= + ∈ . 
La variación o incremento de f entre 0x y x , se define como 
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f x h f x∆ = − = + − 
La variación o incremento de x entre 0x y x= 0x + h , se define como 
 0x x x h∆ = − = 
La variación promedio de f entre 0x y x , se mide con el llamado cociente incremental o 
Cociente de Newton de f en 0x : 
 
 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x h f xf
x x x h
− + −∆ = =
∆ −
 
 
Geométricamente la variación promedio de f entre 0x y x= 0x + h representa la pendiente 
de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ( 0x , f( 0x )) y ( 0x +h ,f( 0x + h)) 
 y 
 
 
 f(0x + h) 
 
 
 
 
 f(0x ) 
 
 0x 0x + h x 
 
 
Cuando h decrece infinitamente la variación promedio tiende a la variación instantánea de f 
en el punto 0x . 
 
Derivada de f en 0x : se define la derivada de f en 0x y se escribe f´( 0x ) a 
0 0
0 0
( ) ( )
(́ ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −= 
Siempre que el límite exista y en tal caso se dice que f es derivable en 0x 
 
Geométricamente a medida que h decrece, la recta secante a la gráfica de f que pasa por los 
puntos ( 0x ,f( 0x )) y ( 0x + h, f( 0x + h)) se va acercando a la recta tangente a la gráfica en el punto 
( 0x ,f( 0x )). Así, la variación instantánea de f en 0x representa la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de f en el punto ( 0x ,f( 0x )): 
 
 
y y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0x x 0x x 
 
 
Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x= 0x : 
 
Dada una función y=f(x), la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 
0x se puede obtener fácilmente. La ecuación de una recta que pasa por el punto ( 0x , 0y ) y tiene 
pendiente m es dada por: 0 0( )y m x x y= − + 
 
Luego, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x será aquella para la cual 
0 0( )y f x= , m=f´( 0x ) 
 
 La función derivada: 
 
 En lugar de elegir un valor numérico 0x para la variable independiente, podemos trabajar 
con un valor arbitrario x, definiendo así la función derivada, ya que depende del valor de x, queda 
definida la función derivada como: 
 
0
( ) ( )
(́ ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −= , siempre que el límite exista, y en ese caso se dice que f es derivable en 
x. 
 
 
La función f se dice derivable si tiene derivada en todos los puntos donde está definida 
 
 
 La derivada de f se escribe 
( )
(́ ) x
df df x
f x D f
dx dx
= = = 
 
 
Ejemplo 1: 
 
Sea f(x)=2x+1, hallar f´(x) 
 
Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo 
 
( ) ( )f x h f x
h
+ − = 
 
2( ) 1 (2 1) 2 2 1 2 1x h x x h x
h h
+ + − + + + − −= = 
 
0 0
2
2
( ) ( )
, ´( ) lim lim 2 2
h h
h
h
f x h f x
Luego f x
h→ →
=
+ −= = =
 
 
Ejemplo 2: 
 
Sea f(x)= 22x , hallar f´(x) 
 
Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo 
 
 
( ) ( )f x h f x
h
+ − = 
 
2 2 2 2 22( ) 2 2 4 2 2x h x x xh h x
h h
+ − + + −= = 
 
2
0 0
4 2
4 2
( ) ( )
, ´( ) lim lim 4 2 4
h h
xh h
x h
h
f x h f x
Luego f x x h x
h→ →
+ = +
+ −= = + =
 
 
 
Ejemplo 3: 
 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2( ) 2f x x= en el punto de abscisa x=3. 
 
Hemos calculado en el ejemplo 2 la función derivada o simplemente la derivada de 2( ) 2f x x= , 
luego la pendiente de la recta tangente en x=3 será la derivada en x=3: 
 
(́ ) 4 (́3) 12f x x f= ⇒ = =m 
 
Por lo tanto reemplazando en 0 0( )y m x x y= − + 
 
Tenemos 12( 3) (3)y x f= − + y como f ( 3)=18 
 
12( 3) 18 12 18y x y x= − + ⇒ = − es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=3. 
 
 
 
 Actividades: 
 
1) Calcular la variación promedio de f entre 0x y 0x + h de las siguientes funciones: 
2 3) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )a f x k b f x x c f x x d f x x e f x x= = = = = 
 
2) Sea 2( )f x x= , encuentre la ecuación de la recta secante a la gráfica de f en los puntos (1,1) y 
(1+h , f(1+h)) para los siguientes valores de h: 
h=2; h=1; h=-1; h=-2. Grafique y comentelo que observa. 
 
3) Calcule la variación instantánea de f en 0x de las siguientes funciones: 
2 3) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )a f x k b f x x c f x x d f x x e f x x= = = = = 
 
4) Sea 2( )f x x= , encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1,1). 
Grafique. 
 
 
 2-Reglas de derivación: 
 
 El cálculo de las derivadas utilizando la definición puede resultar engorroso. Sin embargo 
conociendo ciertas derivadas básicas y las reglas de derivación la tarea puede ser más sencilla: 
 
Derivadas básicas: 
 
1
1. ( ) '( ) 0 constante
2. ( ) '( ) 1
3. ( ) '( )
4. ( ) '( ) cos
5. ( ) cos '( )
1
6. ( ) ln '( )
7. ( ) '( )
r r
x x
f x k f x k
f x x f x
f x x f x rx r
f x senx f x x
f x x f x senx
f x x f x
x
f x e f x e
−
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ∈
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
ℚ
 
 
Observación: en el caso 3, para que exista la derivada en x=0, r debe ser un número tal que 1rx − 
esté definida en un entorno del 0. 
Las derivadas 6 y 7 las aceptaremos por ahora sin demostración. 
 
 
Demostración: 
1. 
0 0
( ) ( )
(́ ) lim lim 0
h h
f x h f x k k
f x
h h→ →
+ − −= = = 
2. 
0 0 0
( ) ( )
'( ) lim lim lim 1
h h h
f x h f x x h x h
f x
h h h→ → →
+ − + −= = = = 
3. 
0 0
( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
r r
h h
f x h f x x h x
f x
h h→ →
+ − + −= = 
usando el binomio de Newton escribimos: 
1 1 2
0 2
( ) ( , ) ( , ) ( , )
r r
r r k k r r r k k r r
k k
x h C r k x h x rx h C r k x h x rx h h P x h− − − −
= =
+ = = + + = + +∑ ∑ 
 
de la última sumatoria hemos sacado factor común 2h y el resto es una expresión polinómica en h y 
x. Por lo tanto sustituyendo en el límite: 
 
1 2
0 0
( ) ( , )
'( ) lim lim
r r r r
h h
x h x x rx h h P x h
f x
h h
−
→ →
+ − + += = = 
1 2
1 1
0 0
( , )
lim lim ( , )
r
r r
h h
rx h h P x h
rx hP x h rx
h h
−
− −
→ →
= + = + = 
 
4. 
0 0
( ) ( ) cos
(́ ) lim lim
h h
sen x h sen x senxcosh senh x senx
f x
h h→ →
+ − + −= = = 
 
0 0 0
( 1) cos ( 1) cos
lim lim lim
h h h
senx cosh xsenh senx cosh xsenh
h h h→ → →
− + −= = + = 
 
0 0
( 1)
lim cos lim .0 cos .1 cos
h h
cosh senh
senx x senx x x
h h→ →
−= + = + = 
 
Observemos que en este caso pudimos expresar el límite de una suma como suma de los límites 
porque esos límites existen. 
 
5. 
0 0
cos( ) cos( ) cos cos
(́ ) lim lim
h h
x h x xcosh senhsenx x
f x
h h→ →
+ − − −= = = 
 
0 0 0
cos ( 1) cos ( 1)
lim lim lim
h h h
x cosh senxsenh x cosh senxsenh
h h h→ → →
− − −= = − = 
 
0 0
( 1)
cos lim lim cos .0 .1
h h
cosh senh
x senx x senx senx
h h→ →
−= − = − = − 
 
 
 
Reglas de derivación: 
 
 
Sean f y g funciones derivables en x: 
 
1. Derivada de la suma de funciones: 
 
 ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = + 
 
2. Derivada del producto de funciones: 
 
 ( . ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f g x f x g x f x g x= + 
 
3. Derivada del cociente de funciones: 
 
 Si ( ) 0g x ≠ , entonces 
2
'( ). ( ) ( ). '( )
( ) '( )
[ ( )]
f f x g x f x g x
x
g g x
−= 
 
4. Derivada de la composición: 
 
 ( ) '( ) '( ( )). '( )f g x f g x g x=� a esta regla se la conoce como la Regla de la Cadena. 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
En los primeros dos ejemplos aplicamos la regla básica de derivación de una potencia: 
 
1) 33 32( ) '( ) 33si f x x f x x= ⇒ = 
 
2) 
3
5 3 5( ) ( )si f x x escribimos f x x= ⇒ = 
 
 
3 2
1
5 53 3'( )
5 5
f x x x
− −
⇒ = = 
 
En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla de suma de funciones, además de reglas básicas: 
 
3) 2( ) '( ) 2 1si f x x x f x x= + ⇒ = + 
 
En el siguiente aplicaremos la regla del producto de funciones además de reglas básicas: 
 
4) 
1
2( ) ( )( 1) ( ) ( )( 1)si f x x x x escribimos f x x x x= + + ⇒ = + + 
 
1 1
2 2'( ) ( ) '( 1) ( )( 1) 'f x x x x x x x⇒ = + + + + + = 
1 1
2 2
1 1 2
( 1)( 1) ( )(1) ( )( 1) ( )
2 2
x
x x x x x x x
x
− += + + + + = + + + = 
 
2 1 2 2 1 2 2 2
( ) ( )
2 2
x x x x x x x x x x x
x x
x x
+ + + + + + + += + + = = 
 
 
3 4 1 2
2
x x x x
x
+ + += 
 
En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla del cociente: 
 
5) 
2
( )
2
x x
si f x
x
+=
+
 
 
2 2
2
( ) '( 2) ( )( 2) '
'( )
( 2)
x x x x x x
f x
x
+ + − + +
⇒ = =
+
 
 
2 2 2
2 2
(2 1)( 2) ( )(1) 2 4 2
( 2) ( 2)
x x x x x x x x x
x x
+ + − + + + + − −= = =
+ +
 
 
2
2
4 2
( 2)
x x
x
+ +=
+
 
 
Finalmente veremos un ejemplo con el uso de la regla de la cadena o la regla de derivación para 
composición de funciones: 
 
6) 2 9( ) ( 1)si f x x= + planteamos a f como una composición de funciones, llamando 
 
2 9( ) ( 1) ( )u x x y t x x= + = 
 
De este modo 2 2 9( ) ( )( ) ( 1) ( 1)f x t u x t x x= = + = +� 
 
Por lo tanto 2 8 2 8'( ) '( ( )). '( ) 9( 1) .2 18 ( 1)f x t u x u x x x x x= = + = + 
 Actividades: 
 
 
 
5) Encontrar la función derivada de las siguientes funciones: 
 
 
2 23 17
3 3
2 3 2
5
3
2
) ( ) 5 101 ) ( ) 50 223
) ( ) (2 ) 3 ) ( ) 7 ( 2 )
5 2
) ( ) ) ( )
3 4
4
) ( ) ) ( )
3 1
a f x x x b g x x x
c h u u u d j t t t t
x x v v v
e k x f m v
x
u
g f x x h g u
u
π
= + − = + +
= − = −
+ − += =
−
= =
−
 
 
6) Se dispone de la siguiente información: 
 
 
(3) 1 (3) 2 (3) 1
'(3) 4 '(3) 6 '(3) 1
f g h
f g h
= = = −
= = = 
Hallar: 
 
)( ) '(3) )( ) '(3) )( ) '(3)
)( ) '(3) )( ) '(3) )( ) '(3)
a f g b f g h c fg
f fg
d fg h e f
g h
+ − +
−
 
 
7) Hallar la derivada de las siguientes funciones: 
 
2 5 23 17
3 101 3 9
32 3 2
2
2 2
4
) ( ) ( 5 101) ) ( ) 50 223
) ( ) ((2 ) 3 ) ) ( ) (7 ( 2 ))
5 2
) ( ) ) ( )
43
) ( ) ) ( ) ( )
) ( ) cos( ) cos ) ( )
1
) ( ) 2sec 3 (4 ) )
a f x x x b g x x x
c h u u u d j t t t t
x x v v v
e k x f m v
Vx
g g x x senx h f x tg x
cotgx
i f x x x j f x
senx
k f x x sen x l
= + − = + +
= − = − −
+ − += =
−−
= =
= + =
−
= −
5
2
2cos
( )
1
1 ln
) ( ) ) ( ) 2 ln
) ( ) ln ln(ln ) ) ( ) ln 1 ln( 1)
x
x
f x
x
x x
m g x n k x x
e x x
ñ f x x x o f x x x
=
+
= = + −
= − = + + +
 
 
8) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el 
punto dado: 
 
2) ( ) 2 1 (1,2)
) ( ) 1 (2,1)
) ( ) (6,2)
3
4
) ( ) (2,4)
3
) ( ) cos ( ,0)
2
) ( ) 4 2 ( ,4)
8
a f x x x en el punto
b g x x en el punto
x
c k x en el punto
x
d f x x en el punto
x
e f x x en el punto
f f x tg x en el punto
π
π
= + −
= −
=
−
= +
=
=
 
9) Hallar los puntos en los que las tangentes a la curva 4 3 23 4 12 20y x x x= + − + son paralelas al 
eje de las abscisas. 
 
10) En qué punto la tangente a la parábola 2 7 3y x x= − + es paralela a la recta 5 3 0x y+ − = 
 
11) Hallar la ecuación de la parábola 2y x bx c= + + que es tangente a la recta y x= en el 
punto (1,1). 
 
12) En qué punto de la curva 2 32y x= la tangente es perpendicular a la recta 4 3 2 0x y− + = 
 
13) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 3 22 4 3y x x x= + − − 
en el punto (-2,5). 
 
14) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva y x= en el punto 
cuya abscisa es 4. 
 
15) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 3 1y x= − en el punto 
(0, -1) 
 
16) Escribir las ecuaciones de las tangentes y perpendiculares a la curva ( 1)( 2)( 3)y x x x= − − − 
en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas. 
 
17) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 
3 22cos( ) lny x x xπ= − + en el punto de abscisa x=1. 
 
 
 
 
 3- Derivadas de orden superior: 
 
 
 Dada una función derivable f(x) definida en un intervalo abierto I, su derivada f’(x) es 
también una función en ese intervalo. Esta nueva función puede o no ser derivable. Si sucede que 
también es derivable, entonces su derivada se llama derivada segunda o derivada de segundo 
orden de f respecto de x y se denota f’’(x). 
 
 
 
 Ejemplo: 
 
Sea 4 3( ) 1f x x x= + + entonces su derivada es 3 2'( ) 4 3f x x x= + 
 
Y como esta nueva función también