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Universidad de Guayaquil
Facultad de Ciencias Matemáticas y Física
Escuela de Ingeniería Civil
· INTEGRANTES:
BOWEN STEFANIA
 HERRERA ARMANDO
 GUERRA NAHIM
 GUERRERO DENNYS
 PARRALES ANTONIO
 RAMIREZ JULIO
 SEGURA REBECA
Grupo: 4G- 1B
Asignatura: Matemáticas IV
Docente: Ing. Hugo Mina
CONTENIDO:
· ECUACIONES DIFERENCIALES FACILMENTE INTEGRABLES
· ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
· METODO DE LAGRANGE
Ecuaciones Diferenciales Fácilmente Integrables
La formulación de muchos problemas matemáticos y físicos puede plantearse directamente en forma de ecuación integral. Incluso en ocasiones puede interesar convertir una ecuación diferencial en una ecuación integral equivalente, con la ventaja de que la ecuación integral, aparte de incluir las condiciones de contorno, maneja un operador acotado (de hecho, frecuentemente, un operador compacto), mientras que el operador diferencial era en general no acotado. Esto último permite echar mano de varios resultados conocidos para operadores compactos para resolver un problema planteado en términos de ecuaciones integrales.
Las ecuaciones diferenciales cuya solución se encuentra prácticamente con solo aplicar un proceso de integración, corresponden a las que algunos autores denominan como ecuaciones diferenciales de variables separadas y que son un subconjunto de las ecuaciones diferenciales exactas.
 Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escribir la ecuación en la forma:
  (1)
El factor integrante es: , es decir, si multiplicamos la expresión 1 por esta cantidad tendremos:
Lo cual resulta fácil de integrar siendo  una función de la variable x y una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.
Ejemplo 1
Hallar la solución general y particular de la siguiente ecuación diferencial:
y’= xy +x -2y -2 condición Inicial y (0) = 1
1) Escribimos y’ de la forma dy/dx y hacemos agrupación de términos:
dy/dx = (xy+x)-(2y+2)
2) Sacamos factor común: dy/dx= x (y+1)-2(y+1), como (y+1) se repite, sacamos nuevamente factor común y tenemos:
 dy/dx = (y+1) (x-2)
3) Realizamos la separación de variables, en el primer miembro ubicamos las y y en el segundo miembro las x.
dy / (y+1) = (x-2) dx
4) integramos ambos lados de la ecuación:
∫dy / (y+1) = ∫(x-2) dx ;y resolvemos
∫dy / (y+1) = ∫x dx - 2 ∫dx ; ln(y+1)= x2/2 - 2x + C S.G.E.D.
5)Aplicamos Euler en ambos lados de la ecuación:
 eln(y+1) =e x2/2 - 2x + C por propiedades logarítmicas tenemos:
y+1 = e x2/2 - 2x e C ; e C será igual a una nueva constante C y tenemos:
y+1 = C.e x2/2 - 2x (1) S.G.E.D. 
  6)Para encontrar la solución particular debemos hallar el valor de C, aplicando la condición inicial.
C.I. y(0) = 1 ; esto quiere decir que cuando x=0 ; y =1 reemplazamos estos valores en la ecuación:
1+1 = C.e x2/2 - 2x ; x2/2 - 2x =0
2= C e0 ; e0=1 entonces C = 2 ; Sustituimos en (1)
y+1 = C.e x2/2 - 2x (1) S.G.E.D.
y+1 = 2e x2/2 - 2x despejamos y
y= 2e x2/2 - 2x – 1 S.P.E.D.
Ejemplo 2
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en la forma estándar o canónica es:
Si en (1)  g(x) = 0 se dice entonces que la ecuación es homogénea; en caso contrario no es homogénea.
Casi siempre es posible resolver analíticamente una ecuación diferencial lineal. Existen varios métodos analíticos ideados para resolver una ecuación lineal de primer orden.  El primero de ellos, que se denomina método del factor integrante, utiliza el siguiente factor de integración:
Como se puede observar el factor de integración depende de la función coeficiente de y en (1), esto es, depende de p(x). 
Los otros dos métodos se llaman, respectivamente, variación de la constante de Lagrange y algoritmo de los coeficientes indeterminados.
Una alternativa, al buscar la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden, es tomar  g(x)=0, obteniéndose de esta forma la ED homogénea asociada a la (1).
 Factor integrante: 
Es posible deducir un factor de integración adecuado, u(x), que facilite el hallazgo de la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Veamos:
 Procedimiento: 
Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:
1.  Se lleva la ecuación dada a la forma:
2.  Se identifica el coeficiente de y, esto es, la función  p(x) y se determina el factor integrante dado por:
3.  Se multiplica la ecuación obtenida en el paso 1 por el factor de integración calculado en el paso 2:
4.  Se observa que el miembro izquierdo de la ecuación tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:
5.  Se integran ambos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4:
         
6.  Se despeja la función y:
 Ejemplo ilustrativo 1:
Resuelva la siguiente ecuación:
 Ejemplo ilustrativo 2:
 
Ecuación Diferencial Método de Lagrange
La ecuación de Lagrange podemos decir que es un caso particular de las ecuaciones no resueltas respecto a la derivada, y el método facilita bastante la solución de este tipo de ecuaciones.
BIBLIOGRAFRIA:
 
(
)
(
)
x
f
x
f
2
1
(
)
(
)
y
g
y
g
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
1
=
+
dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
(
)
(
)
y
g
x
f
2
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
1
2
1
=
+
dy
y
g
y
g
dx
x
f
x
f