CLASE 5-CAUCHY-EULER

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ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
ECUACION DE CAUCHY-EULER
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
JOE GARCÍA ARCOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
CLASE 5
CONTENIDO
Título : Ecuación de Cauchy-Euler
Duración : 120 minutos
Información general : Método para resolver ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler
Objetivo : Conocer el método para resolver la ecuación diferencial de Cauchy-Euler
1
Ecuaciones diferenciales de orden superior
0.1 Ecuación de Cauchy-Euler
En las secciones anteriores hemos visto cómo obtener la solución general de la ecuación
diferencial lineal de orden = con coeficientes constantes. Hemos visto que en tales casos la forma
de la función complementaria puede ser fácilmente determinada. Sin embargo, la ecuación lineal
general de orden = con coeficientes variables es completamente diferente, y sólo en ciertos casos
especiales puede obtenerse la función complementaria explícitamente en forma cerrada. Un caso
especial de considerable importancia práctica para el que se puede hacer es la llamada ecuación
de Cauchy-Euler.
Ahora consideraremos un tipo de ecuación lineal de segundo orden que podemos resolver.
La ecuación diferencial de Cauchy-Euler tiene la forma
G ′′ + 1
C
�G ′ + 1
C2
�G = 0 (1)
para C > 0 y � y � constantes cualesquiera. A menudo escribimos esta ecuación diferencial
como
C2G ′′ + �CG ′ + �G = 0 (2)
para C > 0. También nos referimos a la ecuación diferencial (2) como ecuación diferencial de
Cauchy-Euler.
Existen dos enfoques que se utilizan comúnmente para resolver la ecuación de Cauchy-Euler.
Analizaremos los detalles de un método de transformación y mencionaremos el otro método al
final de esta sección.
El método de transformación consiste en un cambio de variables que convierte una ecuación
de Cauchy-Euler en una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes,
que sabemos resolver. Sea D = ln C para C > 0. En forma equivalente, C = 4D . Si reemplazamos C
por 4D en G(C), obtenemos una nueva función F de la variable independiente D
G(C) = G(4D) = F(D)
Para escribir la ecuación de Cauchy-Euler en términos de F y D, debemos obtener algunas
derivadas por la regla de la cadena. Tenemos
G ′(C) = 3G
3C
=
3F
3C
=
3F
3D
3D
3C
= F′(D) 1
C
=⇒ CG ′(C) = F′(D)
y
G ′′(C) = 3
2G
3C2
=
3
3C
[
3F
3D
3D
3C
]
=
32F
3D2
[
3D
3C
]2
+ 3F
3D
32D
3C2
= F′′(D) 1
C2
+ F ′(C)
(
−1
C2
)
=
1
C2
[F′′(D) − F′(D)]
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entonces
C2G ′′(C) = F′′(D) − F′(D)
Sustituimos estas relaciones en la ecuación de Cauchy-Euler (2) para obtener
F′′(D) − F′(D) + �F′(D) + �F(D) = 0 =⇒ F′′ + (� − 1)F′ + �F = 0 (3)
Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, cuya
solución general F(D) podemos obtener siempre. Por lo tanto, la solución general de la ecuación
de Cauchy - Euler se obtiene como G(C) = F(ln C) para C > 0.
Nótese que el coeficiente de F′ en la ecuación transformada (3) es � − 1, donde � es el
coeficiente de CG ′ en (2); el coeficiente de F es �, que es el mismo coeficiente de G en (2).
Por lo tanto, podemos leer los coeficientes de la ecuación transformada (3) directamente de los
coeficientes de la ecuación original de Cauchy-Euler (2).
Ejemplo 0.1
Obtener la solución general de la ecuación diferencial
C2G ′′ + 2CG ′ − 6G = 0, C > 0
Solución Hacemos que D = ln C para C > 0, entonces
F′′ − F′ + 2F′ − 6F = 0 =⇒ F′′ + F′ − 6F = 0
Resolviendo esta ecuación, tenemos
A2 + A − 6 = 0 =⇒ A1 = −3, A2 = 2
donde
F = 214
−3D + 2242D
Por lo tanto, la solución general es
G = 21C
−3 + 22C2. �
Ejemplo 0.2
Obtener la solución general de la ecuación diferencial
C2G ′′ − CG ′ + 10G = 0, C > 0
Solución Hacemos que D = ln C para C > 0, entonces
F′′ − F′ − F′ + 10F = 0 =⇒ F′′ − 2F′ + 10F = 0
Resolviendo esta ecuación, tenemos
A2 − 2A + 10 = 0 =⇒ A1 = 1 − 38, A2 = 1 + 38
donde
F = 4D (21 cos 3D + 22 sin 3D)
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Por lo tanto, la solución general es
G = C (21 cos 3 ln C + 22 sin 3 ln C). �
Ejemplo 0.3
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial
C2G ′′ − 3CG ′ + 4G = 0, G(1) = 4, G ′(1) = 5
Solución Hacemos que D = ln C para C > 0, entonces
F′′ − F′ − 3F′ + 4F = 0 =⇒ F′′ − 4F′ + 4F = 0
Resolviendo esta ecuación, tenemos
A2 − 4A + 4 = 0 =⇒ A1 = A2 = 2
donde
F = 214
2D + 22D42D =⇒ G = 21C2 + 22C2 ln C
Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema
21 = 4
221 + 22 = 5
resolviendo, tenemos 21 = 4 y 22 = −3. La solución de la ecuación diferencial es
G = 4C2 − 3C2 ln C. �
Podemos resolver la ecuación diferencial de Cauchy-Euler para C < 0 utilizando la transfor-
mación D = ln (−C). Los detalles son similares a los del caso en que C > 0.
Otro método para hallar la solución general de la ecuación de Cauchy-Euler consiste en
probar una solución de la forma G = CA . Sustitúyase G = CA en la ecuación (2). Al realizar la
división por CA se obtiene una ecuación algebraica (ecuación característica) para A que produce
valores de A para los cuales CA es una solución.
La ecuación de Cauchy-Euler de =-ésimo orden tiene la forma
G=) + 0=−1
C
G=−1) + ... + 01
C=−1
G ′ + 00
C=
G = 0
donde 00, 01, ..., 0=−1 son todos constantes. Nótese que las funciones coeficientes son continuas
en cualquier intervalo que no contenga a 0. Usualmente supondremos que C > 0 y buscaremos
soluciones en (0, ∞).
La ecuación de Cauchy-Euler de =ésimo orden puede escribirse como
C=G=) + 0=−1C=−1G=−1) + ... + 02C2G ′′ + 01CG ′ + 00G = 0
Como en el caso en el que = = 2, utilizaremos la transformación D = ln C para G > 0. Sea
G(C) = G(4D) = F(D) (4)
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Como
CG ′(G) = F′(D) H C2G ′′(C) = F′′(D) − F′(D) (5)
En el caso de la ecuación de =-ésimo orden, debemos proseguir con estas operaciones de
cálculo para obtener C3G3) en términos de derivadas de F, y así sucesivamente, hasta incluir, e
incluyendo, C=G=) .
Una expresión general para G:) (C) en términos de derivadas de I(D) es bastante complicada,
y no intentaremos escribirla para cada valor de : . Para : = =, se puede demostrar que
C=G=) (C) = F=) (D) + 1=−1F=−1) (D) + ... + 11F′(D)
donde 1: es el coeficiente de A: en el producto
A (A − 1) (A − 2)...(A − = + 1)
Escribiremos los resultados de este cálculo para = = 3 y = = 4. Para = = 3, se obtiene
C3G ′′′(C) = F′′′(D) − 3F′′(D) + 2F′(D) (6)
y para = = 4
C4G4) (C) = F4) (D) − 6F′′′(D) + 11F′′(D) − 6F′(D) (7)
Ejemplo 0.4
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
C3G ′′′ + C2G ′′ − 2CG ′ + 2G = 0, C > 0
Solución Hacemos D = ln C y G(4D) = F(D). La ecuación diferencial original en términos de G
se transforma en
(F′′′ − 3F′′ + 2F′) + (F′′ − F′) − 2F′ + 2F = 0 =⇒ F′′′ − 2F′′ − F′ + 2F = 0
Esta ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes tiene la ecuación característica
A3 − 2A2 − A + 2 = 0
con las raíces -1, 1 y 2. La solución general para I(D) es
F(D) = 214−D + 224D + 2342D
La solución general de la ecuación de Cauchy - Euler para C > 0 es
G(C) = 21C−1 + 22C + 23C2. �
Ejemplo 0.5
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
C3G ′′′ + 9C2G ′′ + 19CG ′ + 8G = 0, C > 0
Solución Hacemos que D = ln C para C > 0, entonces
F′′′ − 3F′′ + 2F′ + 9(F′′ − F′) + 19F′ + 8F = 0 =⇒ F′′ + 6F′ + 12F′ + 8F = 0
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Resolviendo esta ecuación, tenemos A3 + 6A2 + 12A + 8 = 0, cuyas raíces son A1 = A2 = A3 = −2,
donde
F = 214
−2D + 22D4−2D + 23D24−2D
Por lo tanto, la solución general es
G = 21C
−2 + 22C−2 ln C + 23C−2 ln2 C =⇒ G = C−2(21 + 22 ln C + 23 ln2 C). �
Ejemplo 0.6
Hallar la solución general de la ecuación diferencial
C3G ′′′ − 5C2G ′′ + 18CG ′ − 26G = 0, C > 0.
Solución Hacemos que D = ln C para C > 0, entonces
F′′′ − 3F′′ + 2F′ − 5(F′′ − F′) + 18F′ − 26F = 0 =⇒ F′′ − 8F′ + 25F′ − 26F = 0
Resolviendo esta ecuación, tenemos A3 − 8A2 + 25A − 26 = 0, cuyas raíces son A1 = 2, A2 = 3− 28,
A3 = 3 + 28, donde
F = 214
2D + 43D (22 cos 2D + 23 sin 2D)
Por lo tanto, la solución general es
F = 21C
2 + C3(22 cos 2 ln C + 23 sin 2 ln C). �
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BIBLIOGRAFÍA
J. GarcíaA., Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones, 1ra
edición/Editorial López 2020.
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