FACULTAD_DE_INGENIERIA_AMBIENTAL_ESCUELA

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FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL 
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL 
RECURSOS NATURALES Y VIDA SILVESTRE 
LABORATORIO 09 
CRECIMIENTO POBLACIONAL EXPONENCIAL 
“Simulación sobre el crecimiento poblacional utilizando un modelo o juego 
denominado Frijolero” 
Autores: 
 ALVAREZ HUAYLLANI, BETSI 
BEDON AGUILAR, OSCAR 
CRISPIN, OMAR 
JIMÉNEZ VERA, SARITA 
MEZA TORRES, MILAGROS 
SALAZAR GARCIA, ADA LUZ 
 DBROD GUERRA, PABLO JOSE 
 GAMARRA SANCHEZ, ANDREA 
 MANRIQUE, CESAR 
 JARA VASQUEZ, SONIA MILAGROS 
HUAMAN LIMACO, SHALINOVA 
ROSAS, JIAM 
 COTRINA DIAZ, RINALDI 
Aula: 
222-B 
Turno: 
Noche 
Lima, Perú 
 
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CRECIMIENTO POBLACIONAL EXPONENCIAL 
I. INTRODUCCIÓN 
 
Aquellos organismos tanto los humanos se verán afectados por diferentes factores que 
afectaran el crecimiento de su población. Estos cambios poblacionales van a depender de las 
tasas de nacimiento y muertes, muchas de las tasas puede variar según sus recursos 
disponibles o también factores limitantes, estos pueden bajar las tasas de natalidad, aumentar 
las tasas de mortalidad o llevar a la emigración. Sin embargo también se verán afectado por 
el cambio climático que les puede costar la vida a su especie, territorio. Algunas de las 
especies dependerán de otras especies para su sobrevivencia o si no pueden variar por 
enfermedades o invasiones de otras especies en el territorio. 
El propósito del presente informe se enfoca en el crecimiento poblacional exponencial en un 
juego del crecimiento explosivo, de la permanencia y de la extinción, el informe será muy 
aplicativo para conocer de manera práctica las tasas de sobrevivencia y muerte, para el 
juego se ha escogido a los frijoles panamito de nombre científico Phaseolus vulgaris. 
 
II. MATERIALES 
 
 Tablero de ajedrez ( cuadros blancos y negros) 
 Marco de sorbete 
 Vaso precipitado 
 ½ kilo de frijoles panamito (Phaseolus Vulgaris) 
 
III. PROCEDIMIENTO 
 
 
Juego del 
crecimiento 
explosivo Cada individuo que caía en cuadro negro 
se le identifica zona de muerte 
Y en el cuadro blanco cada individuo, se 
reproducía 
C mayor igual a 3 
Juego de la 
permanencia 
C igual a 2 
Juego de la 
extinción 
C igual 1 
 
 
 
 
 
 
Se simularon tres formas distintas de 
crecimiento poblacional 
 Juego del crecimiento explosivo 
 Juego de la permanencia 
 Juego de la extinción (decremento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se colocó el tablero del ajedrez sobre el suelo 
 Luego se puso en el vaso 10 frijoles y 
 Se dejó caer sobre el centro del tablero desde una altura aproximada de 25cm. 
 Se consideró 10 frijoles para el tamaño poblacional inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. TABLA DE DATOS número 3 
Tabla de trabajo 1 (juego de crecimiento explosivo) 
t Nt inicial 
Números de 
muertos 
Numero de 
sobrevivientes (s) 
Nt+1 = S * 3 
1 10 2 8 24 
2 24 15 9 27 
3 27 10 17 51 
4 51 28 23 66 
5 66 40 26 78 
6 78 46 32 96 
7 96 53 43 129 
8 129 60 69 207 
9 207 122 85 255 
10 255 160 95 285 
11 285 156 129 387 
12 387 215 172 516 
13 516 314 202 606 
14 606 403 203 609 
15 609 384 225 679 
16 679 370 309 915 
17 915 514 401 1203 
18 1203 701 502 1506 
19 1506 896 610 1803 
20 1803 1083 720 2160 
21 2160 1256 904 2712 
22 
 
 
 
 
Tabla de trabajo 2 (juego de la permanencia) 
t Nt 
Números de muertos 
(cuadros negros) 
Numero de 
sobrevivientes (S) 
(cuadro blancos) 
Nt+1 = S * 2 
1 100 38 62 124 
2 124 49 75 150 
3 150 72 78 156 
4 156 84 72 144 
5 144 65 79 158 
6 158 29 129 258 
7 258 96 162 324 
8 324 124 200 400 
9 400 189 211 422 
10 422 172 250 500 
11 500 346 154 308 
12 308 127 181 362 
13 362 146 216 432 
14 432 165 267 534 
15 534 276 258 516 
16 516 247 269 538 
17 538 350 188 376 
18 376 175 201 402 
19 402 165 237 474 
20 474 149 325 650 
21 650 395 255 510 
22 510 309 201 402 
 
 
 
 
 
Tabla de trabajo 3 (juego de la extinción) decremento exponencial 
 
V. RESULTADOS 
 
a) Juego de crecimiento explosivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Nt inicial 
Números de 
muertos 
Numero de 
sobrevivientes (s) 
Nt+1 = S * C 
1 200 92 108 108 
2 108 29 79 79 
3 79 18 61 61 
4 61 25 36 36 
5 36 11 25 25 
6 25 16 9 9 
7 9 5 4 4 
8 4 2 2 2 
9 2 2 0 0 
y = 25.681e0.2267x 
R² = 0.9853 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5 10 15 20 25
Series1
Exponencial (Series1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Juego de permanencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
79 
61 
36 
25 
9 
4 2 0 
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
Series1
Logarítmica (Series1)
c) Juego de la extinción - decremento exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. ANALISIS DE RESULTADOS - CALCULO 
 
 
 
Resultados 
Del crecimiento explosivo 
Juego de la permanencia 
Juego de la extinción 
(decremento exponencial) 
 
 RO r RO r RO r 
1 2.4 0.875 1.24 0.215 0.54 -0.616 
2 1.13 0.122 1.21 0.191 0.73 -0.315 
3 1.89 0.637 1.04 0.039 0.77 -0.261 
4 1.29 0.255 0.92 -0.083 0.59 -0.528 
5 1.18 0.166 1.1 0.095 0.69 -0.371 
6 1.23 0.207 1.63 0.489 0.36 -1.022 
7 1.34 0.293 1.26 0.231 0.44 -0.821 
8 1.60 0.470 1.23 0.207 0.5 -0.693 
9 1.23 0.207 1.06 0.058 0 -0.616 
10 1.12 0.113 1.18 0.166 
11 1.36 0.307 0.62 -0.478 
12 1.33 0.285 1.18 0.166 
13 1.17 0.157 1.19 0.174 
14 1.005 0.005 1.24 0.215 
15 1.11 0.104 0.97 -0.03 
16 1.36 0.307 1.04 0.039 
17 1.31 0.270 0.7 -0.357 
18 1.25 0.223 1.07 0.068 
19 1.22 0.199 1.18 0.166 
20 1.20 0.182 1.37 0.315 
21 1.26 0.231 0.78 -0.248 
22 1.11 0.104 0.79 -0.236 
 
 
 
 
 
 
 
VII. ANÁLISIS DE RESULTADOS 
 
 Crecimiento explosivo 
 
- Los resultados de la tabla 1 nos muestran que el crecimiento es de 
forma exponencial, según las variables del tiempo (t) y el número 
de individuo guardan una relación. 
 
- Este tipo de crecimiento de una curva va en aumento dependiendo 
de la cantidad multiplicada y tienen la progresión exponencial. El 
patrón de crecimiento puede ocurrir en plantas, animales, bacterias, 
y al hombre. 
 
- La curva indica que la tasa instantánea de nacimiento es mayor que 
la tasa de mortalidad, se demuestra que los valores erres son 
positivos. 
 
 
 Juego de la permanencia 
 
- Los resultados de la tabla 2 se demuestra que es de tipo lineal, 
para este caso la población es mucho mayor por tanto hay una 
diferencia significativa en los resultados. 
 
- El modelo de crecimiento de permanencia con constante 2 y 
numero inicial de 100, con expresión matemático se demostró que 
la natalidad es igual a la mortalidad y el valor r es igual a cero se 
explica que las poblaciones permanecen estables en el tiempo 
 
 Juego de la extinción 
 
- El modelo de extinción con constante 1 y el numero inicial 100, 
demostró que el decrecimiento exponencial se evidencia en el 
punto de extinción debido a natalidad es menor a la mortalidad y 
el r es menor a cero 
 
- El tema de la extinción es lo contrario la curva va disminuyendo 
debido a la tasa de muerte y/o mortalidad. 
 
- Por lo tanto también es una progresión exponencialVIII. CONCLUSIÓN 
 
 En conclusión se menciona que todos los seres vivos son afectados por 
diversos factores que afectan el crecimiento de la población. Por ello los 
cambios poblacionales dependerán de las tasas "naturales" de 
nacimientos y muertes, pero se puede variar según los recursos 
disponibles y los enemigos de la especie. 
 
 Al mencionar pérdida de individuos estamos afirmando que la 
disminución del tamaño poblacional depende de la mortalidad y la 
emigración. 
 
 En conclusión la aplicación de modelos metodológicos de laboratorio 
permite abordar conceptual, matemática y estadísticamente temas de 
estudio como el crecimiento poblacional exponencial, en sus fases 
explosivas, de permanencia y de extinción. 
 
 Los modelos metodológicos como matemáticos y estadísticos, nos 
permiten analizar las características y tendencias de dinámica 
poblacional e inferir las predicciones que caben esperarse mediante la 
aplicación de estos modelos. 
 
IX. CUESTIONARIO 
a) ¿El modelo exponencial 
 imploica necesariamente crecimiento? Explique 
detalladamente? 
 
Se supone un crecimiento continuo e indefinido (que se refiere a la retroalimentación 
positiva) dN/dt = rN N = # de individuos de la población, t = tiempo durante el cual se dará 
el crecimiento, índice reproductor neto expresado como tasa diferencial, d = diferencial 
Por cada unidad de tiempo que pase la población se multiplicara por una cantidad 
constante, mientras más grande será N mayor será el crecimiento. 
 
b) Proponga un modelo que simule más factores ecológicos que los planteados por el 
modelo. 
 
Modelo dinámicos 
Los modelos dinámicos representan procesos que relacionan objetos entre sí. Simulan los 
mecanismos de cambio y puede estudiarse la sucesión temporal (por ejemplo: la 
simulación de un incendio forestal o la simulación de la difusión de un contaminante). 
 
c) ¿Cuáles deben ser valores de r y R para que una población se mantenga estable (sin 
cambio en el número de población)? 
 
Las erres deben ser ceros dependiendo como se expresan las diferentes fases como 
explosivas, de permanencia y de extinción. 
 
 En extinción debido a natalidad es menor a la mortalidad y el r es menor a 
cero 
 En la permanencia la expresión matemático demuestra que la natalidad es 
igual a la mortalidad y el valor r es igual a cero se explica que las poblaciones 
permanecen estables en el tiempo 
 
 En el crecimiento explosivo la expresión demuestra que natalidad es mayor a la 
mortalidad y erre es mayor a cero. 
 
d) ¿Qué es un modelo estocástico y qué uno determinístico? De acuerdo con esto, ¿En 
cuales incluiría a la ecuación 4? ¿En cuáles incluiría al juego de simulación empleado? 
 
 
 Modelo determinístico 
 
Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas 
producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del 
azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación 
de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones 
hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre. 
 
La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de 
variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se 
aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico. 
Ejemplos 
Por ejemplo, la planificación de una línea de producción, en cualquier proceso 
industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de 
procesos que incluya un modelo determinístico en el cual estén cuantificadas las 
materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales 
asociados a cada proceso. 
 
 
 
 
 Modelos estocásticos 
 
Un modelo es estocástico cuando al menos una variable del mismo es tomada como un 
dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones 
probabilísticas. Sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos, quitan 
mucho tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones científicas. 
Para lograr modelar correctamente un proceso estocástico es necesario comprender 
numerosos conceptos de probabilidad y estadística. 
Dentro del conjunto de procesos estocásticos se encuentran, por ejemplo, el tiempo de 
funcionamiento de una máquina entre avería y avería, su tiempo de reparación y el 
tiempo que necesita un operador humano para realizar una determinada operación. 
 
 
 
 
 
 
 
X. BIBLIOGRAFIA 
 
 Orlandoni, G.(1997). Modelos de crecimiento de poblaciones biológicas: Un enfoque de 
dinámica de sistemas. 
Recuperado de http: file:///C:/Users/OscarAugusto/Downloads/document%20(1).pdf 
 
 Bejarano, C. (Junio, 2005). Modelos de simulación para el estudio del crecimiento 
poblacional exponencial. 
Recuperado de http: ftp://iies.faces.ula.ve/Pdf/Revista13/Rev13Orlandoni.pdf 
 
 Kormondy, E.(1978). Concepto de Ecología. Alianza Universidad, Madrid. 
file:///C:/Users/OscarAugusto/Downloads/document%20(1).pdf
ftp://iies.faces.ula.ve/Pdf/Revista13/Rev13Orlandoni.pdf