Aplicaciones_en_Ingenieria_Civil

Vista previa del material en texto

Aplicaciones en Ingenieria Civil
M.I.A. Luis Humberto Ortiz Romero
Ejemplo 9.29. Deformacion de una viga
Consideremos una viga horizontal de L=20 m de longitud apoyada en los extremos. Si la viga tiene una carga uniformemente dsitribuida de w=100 kg/m, encontrar la ecuacion que describe la viga al deformarse.
Consideremos que el extremo izquierdo es el origen y el eje x como se muestra en la figura 9.48.
Figura 9.48. Viga sostenida en los extremos
En el origen se tiene un empuje vertical hacia arriba de w x L=100x200 Kg. Para un punto p cualquiera sobre la viga con coordenadas (x,y) se tiene una carga en el punto medio del segmento OP dada por w x X. El momento M esta dado por
Donde E es el modulo de elasticidad e I es el momento de inercia de una seccion transversal. 
Esta ecuacion diferencial se puede resolver en MATLAB simplemente integrando dos veces con respecto a x desde x=0 hasta x=20. Para integrar podemos usar la instrucción int.
Entonces, para realizar estas integraciones primero reescribimos la ecuacion diferencial como
En MATLAB esto lo declaramos con
La primera integral la obtenemos con 
Y la segunda integral con
Luego calculamos las dos constantes de integracion y sustituimos los valores de las constantes. Hemos escogido E=100, I=100, L=10. El archivo m completo es el siguiente
% Este es el archivo Ejemplo9_29.m
% Este problema integra la ecuacion de los momentos.
% E es el modulo de Elasticidad.
% I es el moemento de inercia.
clc
clear
close all
Syms x E I w L
% Definicion de la ecuacion diferencial,
d2y=w*(L*x-xΛ2/2)/(E*I);
% Calculo de la primera Integral,
y=int(dy)
%Calculo de las constantes de integracion:
% y=0 en x=0; y=0 en x=20.
C2=0;
C1=-w*LΛ3/3/(E*I);
y=y+C1*x;
fprintf(‘ La solucion es y =‘)
pretty(y)
x1=[0:1:20];
% Substitucion de valores normalizados de E e I.
% Substitucion de w=100, L=10.
y1= subs(y, [E, I, w,L], [1000, 100, 100, 10]);
Y2=subs(y1, ‘x’,x1) %Substitucion de x por el vector x1,
% Desviacion maxima hacia abajo en el centro de la viga.
Ymx=5*w*LΛ4/(24*E*I);
Ymax=subs(ymx, [E, I, w, L],[1000, 100, 100, 10])
Plot (x1, y2)
Al correr este archivo-m obtenemos:
La solucion es y=
Ymax=
2.0833
Tambien se produce la grafica de la deformacion de la viga la cual se muestra en la figura 9.49, donde se aprecia la deformacion maxima de la viga.
Figura 9.49. Deformacion de la viga
Ejemplo 9.30 Análisis estructural matricial de una armadura*
La armadura mostrada en la figura 9.50 esta sujeta a las fuerzas mostradas. Se desea calcular:
Los desplazamientos nodales.
Las fuerzas axiales en las barras.
Las reacciones en los apoyos.
Figura 9.50 Estructura que se desea estudiar
* Este ejemplo fue propuesto por el Dr. Raul Serrano Lizaola, Jefe del Dpto. de Ingenieria Civil de la Universidad de las Americas-Puebla.
Las barras se numeran como se muestra en la figura 9.50. Tambien se indica su longitud y area. Los vectores de cargas aplicadas Pa, de reacciones R y de desplazamientos D son
	Tabla 9.7 Datos para formar la matriz de rigidez global de las barras							
	Barra entre nodos	Area de la barra	Largo
L	Angulo 
 entre barras	Cos 	sen		
	1-2	2A	4	0°	1	0		
	1-3	4A	3	270°	0	-1		
	1-4	A	5		4/5	-3/5		
	2-3	A	5		-4/5	-3/5		
	2-4	4A	3	270°	0	-1		
	3-4	2A	4	0°	1	0		
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La amtriz de rigidez global se obtiene a partir de los datos de la tabla 9.7. Primero se obtienen las submatrices kij dadas por
Con lo que la matriz de rigidez estructural es
donde
La relacion de rigidez estructural esta dada por . Entonces,
La matriz de rigidez estructural reducida es donde:
Para el calculo de desplazamientos, estos se obtienen de . Esto es 
El calculo de las reacciones se hace con
Con lo que se obtiene
El calculo de las fuerzas axiales en las barras se realiza por
tons
Las reacciones y las fuerzas axiales calculadas se muestran en la figura 9.51. La armadura deformada, trazada de manera cualitativa se muestra en la figura 9.52
Figura 9.51 Reacciones y fuerzas axiales en la armadura
Figura 9.52 Configuración deformada de la armadura
El archivo-m que realiza estos cálculos se muestra a continuación
% Este es el archivo Ejemplo9_30.m
% Calcula los desplazamientos en una armadura.
PR=zeros(8,1);
Syms A
% p es el vector de cargas aplicadas
p(1)=0;
p(2)=-10;
p(3)=-8;
p(4)=0;
p(5)=0;
p(6)=0;
p(7)=0;
p(8)=0;
% r es el vector de reacciones
r(1)=0;
r(2)=0;
r(3)=0;
r(4)=0;
r(5)=0;
r(6)=1;
r(7)=1;
r(8)=1;
% creacion del vector de indices para el calculo
% de la matriz de rigidez estructural reducida.
rind(1,8)=zeros;
for ir=1:8;
	if r(ir)==0;
		rind(ir)=1; % cuando no esta sujeto el nodo
			% entonces se tiene rind(i)=0.
	end
end
% d es el vector de desplazamientos
d(1)=0; % componente x en el nodo 1
d(2)=0; % componente y en el nodo 1
d(3)=0; % componente x en el nodo 2
d(4)=0; % componente y en el nodo 2
d(5)=0; % componente x en el nodo 3
d(6)=10; % componente y en el nodo 3
d(7)=10; % componente x en el nodo 4
d(8)=10; % componente y en el nodo 4
for i=1:8;
	if r(i^)~=0 % Si la reaccion es distinta de cero
		% hacer el desplazamiento
		% correspondiente igual a cero
		d(i)=0;
	end
end
p1=p’; % Se hace vector columna
r1=r’; % Se hace vector columna
d=d’; %se hace vector columna
PR=p1+r1; %vector PR suma de cargas aplicadas y reacciones.
% Calculo del vector de areas a(j).
a(1)=2*A;
a(2)=4*A;
a(3)=A;
a(4)=A;
a(5)=4*A;
a(6)=2*A;
% Calculo de las longitudes
L(1)=4;
L(2)=3;
L(3)=sqrt(L(1)Λ2+L(2)Λ2);
L(4)=L(3);
L(5)=L(2);
L(6)=L(1);
L=L’; % Se hace vector columna.
% Componentes de la Matriz de rigidez global.
m12=[1 0;0 0]*a(1)/L(1);
m13=[0 0;0 1]*a(2)/L(2);
m14=[(L(1)/L(3))Λ2-(L(1)/L(3))*(L(5)/L(3));…
	-(L(5)/L(3))*(L(1)/L(3)) (L(5)/L(3))Λ2]*a(3)/L(3);
m23=[(L(1)/L(3))Λ
2
2
2
2
1
2
1
wx
wLx
x
wx
wLx
dx
y
d
I
E
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
×
×
I
E
x
Lx
w
x
I
E
wx
I
E
wLx
dx
y
d
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
-
×
=
1
2
2
1
2
2
2
)
*
/(
)
2
/
2
*
(
*
2
I
E
x
x
L
w
y
d
Ù
-
=
)
2
int(
y
d
dy
=
)
int(
dy
y
=
EI
x
wL
EI
x
Lx
w
3
4
3
3
/
1
)
24
/
1
6
/
1
(
-
-
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
-
-
=
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
+
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
-
-
=
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
=
y
x
y
y
x
y
a
R
R
R
R
R
R
P
P
P
P
R
P
P
4
4
3
4
4
3
4
3
2
1
0
0
8
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
10
0
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
=
0
0
0
3
2
2
1
1
u
v
u
v
u
D
q
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
0
1
ú
û
ù
ê
ë
é
1
0
0
0
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
25
9
25
12
25
12
25
16
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
25
9
25
12
25
12
25
16
ú
û
ù
ê
ë
é
1
0
0
0
ú
û
ù
ê
ë
é
0
0
0
1
L
EA
ú
û
ù
ê
ë
é
q
q
q
q
q
q
2
2
cos
cos
cos
sen
sen
sen
2
EA
3
4
EA
5
EA
5
EA
3
4
EA
2
EA
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
0
0
0
375
750
)
12
(
21
)
12
(
)
12
(
22
)
12
(
11
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
250
0
0
0
750
4
)
13
(
31
)
13
(
13
)
13
(
33
)
13
(
11
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
-
=
-
=
=
9
12
12
16
750
6
)
14
(
41
)
14
(
14
)
14
(
44
)
14
(
11
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
9
12
12
16
750
6
)
23
(
32
)
23
(
23
)
23
(
33
)
23
(
22
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
250
0
0
0
750
4
)
24
(
42
)
24
(
24
)
24
(
44
)
24
(
22
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
=
-
=
=
0
0
0
375
750
)
34
(
43
)
34
(
34
)
34
(
44
)
34
(
33
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ij
ij
i
ij
ij
ij
k
k
k
k
=
=
å
)
(
)
(
;
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
+
+
=
1054
72
72
471
750
)
14
(
11
)
13
(
11
)
12
(
11
11
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
+
+
=
1054
72
72
471
750
)
24
(
22
)
23
(
22
)
12
(
22
22
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]ú
û
ù
ê
ë
é
=
+
+
=
1054
72
72
471
750
)
34
(
33
)
23
(
33
)
13
(
33
33
EA
k
k
k
k
[
]
[
]
[
]
[
]
ú
û
ù
ê
ë
é
=
+
+
=
1054
72
72
471
750
)
34
(
44
)
24
(
44
)
14
(
44
44
EA
k
k
k
k
{
}
{
}
{
}
D
K
P
=
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
ï
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
-
-
0
0
0
1054
72
0
0
1000
0
54
72
72
471
0
375
0
0
72
96
0
0
1054
72
54
72
1000
0
0
375
72
471
72
96
0
0
1000
0
54
72
1054
72
0
0
0
0
72
96
72
471
0
375
54
72
1000
0
0
0
1054
72
72
96
0
0
0
375
72
471
750
0
0
8
10
0
3
2
2
1
1
4
4
3
u
V
u
V
u
x
EA
R
R
R
y
x
y
{
}
[
]
{
}
d
c
D
K
P
*
=
[
]
750
471
72
96
0
0
72
1054
72
0
0
96
72
471
0
375
0
0
0
1054
72
0
0
375
72
471
*
EA
x
k
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
-
-
=
{
}
[
]
{
}
c
d
P
k
D
1
*
-
=
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-
-
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
=
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
0
0
8
10
0
0024
.
0
0001
.
0
0013
.
0
0114
.
0
02861
.
0
0001
.
0
0010
.
0
0004
.
0
0032
.
0
0355
.
0
0013
.
0
0
0068
.
0
0583
.
0
0135
.
0
0318
.
0
0089
.
0
1627
.
0
8065
.
1
3862
.
0
0040
.
0
0011
.
0
0205
.
0
2142
.
0
0488
.
0
750
3
2
2
1
1
EA
u
v
u
v
u
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-
-
-
-
=
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
550
.
8
405
.
2
750
.
43
595
.
9
300
.
36
1
3
2
2
1
1
EA
u
v
u
v
u
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-
-
-
-
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
550
.
8
405
.
2
750
.
43
595
.
9
300
.
36
1
0
1000
0
54
72
375
0
0
72
96
72
54
72
1000
0
750
4
4
3
EA
EA
R
R
R
y
x
y
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
0
.
6
0
.
8
0
.
16
4
4
3
y
x
y
R
R
R
[
]
q
q
sen
v
v
u
u
L
EA
F
i
j
i
j
ij
)
(
cos
)
(
)
(
-
+
-
=