BLOQUE_REAL_DE_ESFUERZOS_Y_BLOQUE_RECTAN

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BLOQUE REAL DE ESFUERZOS Y BLOQUE 
RECTANGULAR EQUIVALENTE 
 
Real efforts block and equivalent 
rectangular block 
 
Clavijo Denisse, Garcés Christian, Ojeda Nathaly, Paredes Alfredo, Chicaiza Josselin 
dclavijo2082@uta.edu.ec ; cgarces4601@uta.edu.ec 
 aojeda9170@uta.edu.ec ; aparede9034@uta.edu.ec 
jchicaiza1206@uta.edu.ec 
Universidad Técnica de Ambato-Carrera de Ingeniería Civil 
Hormigón 1 
 
 
Resumen 
Según el autor Charles S. Whitney, los esfuerzos tolerados por el concreto, solo serán prácticos en el extremo superior 
de la viga, debido a que considera el inferior agrietado. el objetivo general es determinar la influencia del empleo de 
vigas de concreto para calcular el comportamiento de las estructuras de manera más eficaz, además, se observó que el 
núcleo interior de vigas de concreto no contribuye substancialmente a la resistencia a la torsión de la pieza después de 
producido el agrietamiento. Las vigas de concreto simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión debido 
a que la resistencia a la tensión en flexión (módulo de rotura) es una pequeña fracción de la resistencia a la compresión 
por ende las pruebas de vigas de concreto reforzado confirman que las deformaciones unitarias varían en proporción 
a las distancias del eje neutro, aun en los lados de tensión y aun en la cercanía de cargas últimas. 
Palabras Claves: vigas de concreto, resistencia a la tensión, concreto reforzado, bloque rectangular. 
Abstract 
According to author Charles S. Whitney, the stresses tolerated by concrete will only be practical at the upper end of 
the beam since it considers the lower end to be cracked. The general objective is to determine the influence of the use 
of concrete beams to calculate the behavior of the structures more effectively, in addition, it was observed that the 
inner core of concrete beams does not contribute substantially to the torsional strength of the piece after cracking has 
occurred. Plain concrete beams are inefficient as members subjected to bending because the tensile strength in flexure 
(modulus of rupture) is a small fraction of the compressive strength, therefore the tests of reinforced concrete beams 
confirm that the deformations Unit units vary in proportion to the distances from the neutral axis, even on the tension 
sides and even in the vicinity of ultimate loads. 
Keywords: concrete beams, tensile strength, reinforced concrete, rectangular block. 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:dclavijo2082@uta.edu.ec
mailto:cgarces4601@uta.edu.ec
mailto:aojeda9170@uta.edu.ec
mailto:aparede9034@uta.edu.ec
mailto:jchicaiza1206@uta.edu.ec
I. INTRODUCCIÓN 
 
La Ingeniería Civil abarca un sin número de 
estudios desde el cálculo de estructuras hasta los 
modelos analíticos y formas de edificaciones que 
hoy en día gracias a los avances tecnológicos se 
pueden prevenir en instantes necesarios al 
momento de la construcción o análisis de 
estructuras, es por ello por lo que en este artículo 
de gran importancia se da a conocer un modelo 
para el cálculo del comportamiento de los 
materiales, haciendo más eficiente su uso y 
mejorando su comportamiento. [1] 
Como breve reseña histórica cabe destacar a 
grandes científicos como son Thrullie y Ritter 
grandes calculadores que analizaron los 
comportamientos del concreto reforzado basados 
en la predicción de resistencias ultimas que se 
podía alcanzar en el momento de rotura y la teoría 
de distribución parabólica de esfuerzos. Para 
realizar el diseño por flexión de vigas según 
hipótesis básicas presentada en la sección del 
código de la ACI-310 que se basa en la 
distribución de esfuerzos en secciones parabólicas 
el matemático Whitney propuso remplaza este 
modelo asumiéndolo por un bloque rectangular 
hoy en día conocido como el teorema de Whitney 
que se aplica en materias como hormigón o cálculo 
de vigas. [2] 
 
El presente artículo se basa en presentar el bloque 
real de esfuerzo así como el bloque rectangular 
equivalente, abarcando temas como el 
comportamiento de vigas de concreto reforzado 
que son de vital análisis en estos modelos, como 
segundo tema presentaremos hipótesis básicas 
para el estudio de elementos sometidos a flexión 
según la Asociación Internacional de Concreto, 
como tercer punto tenemos la distribución 
rectangular equivalente o también conocido como 
el teorema de Whitney y finalmente como estos 
temas pueden ayudar a un análisis eficiente en el 
diseño de vigas. 
II. DESARROLLO 
COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO 
REFORZADO 
El comportamiento de las vigas a concreto 
reforzado parte de las hipótesis básicas de 
comportamiento a flexión: 
 Por ejemplo, el principio de Bernoulli, donde, las 
secciones transversales de un elemento son 
sometidas a flexión, por lo cual tiene una 
deformación que altera linealmente. [1] 
 
Fig.1 Principio de Navier Bernouli [1] 
Fisuras en la zona de tracción por flexión. 
 
Implica que existe un desplazamiento relativo 
entre el concreto y el acero cerca de la fisura, 
debido a que mientras el acero se encuentra 
solicitado a tracción, el concreto en la vecindad de 
la fisura se ha descargado. [1] 
 
Fig.2 Fisura en la zona de tracción por fricción [1] 
Esto se ha dado en vigas de poca altura siempre y 
cuando exista una buena adherencia entre el 
concreto y el acero 
 
Fig.3 Diagrama de deformaciones [1] 
En esta parte se desprecia la resistencia a tracción 
del concreto: como ya se explicó, el concreto tiene 
una muy baja resistencia a la tracción comparada 
con su resistencia a la compresión –alrededor del 
10 %–, cuando los esfuerzos de tracción superan 
dicha resistencia el concreto se fisura y esto 
implica que se generen discontinuidades en la 
matriz de concreto. Por esta razón se asume que la 
resistencia aportada por el concreto es nula. [3]. 
 
Relación esfuerzo deformación del acero 
Normalmente se trabaja con un modelo bilineal de 
elastoplasticidad, en el que se asume que después 
de que el acero alcanza el esfuerzo de fluencia lo 
mantiene igual, aunque las deformaciones se 
incrementen. [3] 
La relación esfuerzo deformación del concreto 
El concreto en compresión presenta un 
comportamiento lineal solo cuando las 
deformaciones son pequeñas 
Estados de deformaciones debidas a la flexión en 
la sección de una viga de concreto reforzado con 
diferentes grados de deformación con respecto al 
eje neutro. [3] 
 
Fig.4 Perfiles de esfuerzos para diferentes estados de 
deformaciones [3] 
HIPÓTESIS BÁSICAS PARA EL ESTUDIO DE 
ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SEGÚN 
ACI 
El código ACI 318 no es un documento oficial por 
sí mismo. Sin embargo, es un documento 
reconocido mundialmente para la buena práctica 
en el diseño y construcción de edificaciones de 
concreto reforzado, por lo cual es incorporado por 
ley en reglamentos de construcción municipales y 
regionales que sí tienen una connotación legal 
[1]. Según la hipótesis de Charles Whitney, los 
esfuerzos a flexión son soportados por el concreto, 
solo serán efectivos en el extremo superior de la 
viga y que el extremo inferior se considera 
agrietado. Para el análisis y diseño de elementos 
sometidos a flexión se presenta en la sección 10.2 
del código y son las siguientes: 
Deformaciones del acero de refuerzo y el 
concreto 
Las deformaciones en el concreto y el acero de 
refuerzo son directamente proporcionales a su 
distancia al eje neutro de la sección (excepto para 
vigas de gran peralte). 
 
Fig.5. Proporcionalidad de deformaciones del concreto y 
acero. 
Curva esfuerzo deformación para el acero 
Las propiedades están bien definidas y la relación 
esfuerzo-deformación del concreto se considera 
lineal solo hasta el 50% de su resistencia es por ello 
que se puede definir como: 
Un esfuerzo constante en el concreto de 0.85 f’c 
que se supondrá uniformemente distribuido en una 
zona equivalente de compresión, limitada por los 
bordes de la sección transversal y una línea recta 
paralela al eje neutro, a una distancia a = β·c 1 de 
la fibra de deformación unitaria de compresión [2]. 
 
Fig.6. Curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo 
Para la deformación se calcula mediante la tabla de 
tensiones: 
 
Fig.7. Tensiones en el acero de refuerzo 
donde: 
 
La resistencia a la tensión del concreto es 
despreciada 
El esfuerzo en el acero antes de alcanzar la fluencia 
es igual al producto de su módulo de elasticidad 
por su deformación unitaria. Para deformaciones 
mayores a la de fluencia este será igual a fy [3]. 
 
Fig.8. Distribución de esfuerzos 
Condición de deformación balanceada 
En una sección existe la condición de deformación 
balanceada cuando simultáneamente el acero de 
refuerzo más traccionada alcanza la deformación 
de: 
 
y por ende el concreto en compresión alcanza la 
deformación: 
 
Tipos de falla de los elementos sometidos a 
flexión 
Los elementos sometidos a flexión casi siempre 
fallan por compresión del concreto, sin embargo, 
el concreto puede fallar antes o después que el 
acero fluya. La naturaleza de la falla es 
determinada por el valor del refuerzo y es de tres 
tipos: 
• Falla por Tensión: el acero fluye y el 
elemento exhibe una falla dúctil, se 
aprecian grandes deflexiones y rajaduras 
antes del colapso del elemento. 
• Falla por Compresión: el acero no tiene 
oportunidad de fluir y la concreta falla 
repentinamente, es por ello que en el diseño 
se evita este tipo de falla. 
• Falla balanceada: se produce cuando el 
concreto alcanza la deformación unitaria 
ultima de 0.003 al inicio de la fluencia del 
acero. [4] 
DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR 
EQUIVALENTE DE ESFUERZOS 
 
Las pruebas de vigas de concreto reforzado 
confirman que las deformaciones unitarias varían 
en proporción a las distancias del eje neutro, aun 
en los lados de tensión y aun en la cercanía de 
cargas últimas. 
Los esfuerzos de compresión varían 
aproximadamente en forma lineal hasta que el 
esfuerzo máximo es igual a aproximadamente 0.50 
f’c. Sin embargo, éste no es el caso cuando los 
esfuerzos son mayores. Cuando se alcanza la carga 
última, las variaciones de las deformaciones 
unitarias y de los esfuerzos son aproximadamente 
como se muestra en la Figura. [4] 
 
Fig.9 Carga última [4] 
Los esfuerzos de compresión varían desde cero en 
el eje neutro hasta un valor máximo en la fibra 
extrema o cerca de ella. La variación real del 
esfuerzo y la posición real del eje neutro varían de 
viga en viga dependiendo de variables tales como 
la magnitud y el historial de las cargas pasadas, de 
la contracción y el revenimiento del concreto, del 
tamaño y la separación de las grietas de tensión, de 
la rapidez de carga, etcétera. [4] 
Si la forma del diagrama de esfuerzos fuera la 
misma para todas las vigas, no sería difícil deducir 
un solo conjunto de fórmulas para el 
comportamiento a flexión. Sin embargo, debido a 
estas variaciones de los esfuerzos, es necesario 
sustentar el diseño de resistencia en una 
combinación de teoría y resultados 
experimentales. Aunque la distribución real de 
esfuerzos dada en la Figura 10 -b puede parecer 
importante, en la práctica cualquier forma supuesta 
(rectangular, parabólica, trapezoidal, etc.) se puede 
usar si las ecuaciones resultantes se comparan 
favorablemente con los resultados experimentales. 
Los perfiles más comunes propuestos son el 
rectángulo, la parábola y el trapecio, con el perfil 
rectangular usado en este texto como se muestra en 
la Figura 10 -c siendo el más común. [4] 
Si se supone que el concreto se aplasta bajo una 
deformación unitaria de aproximadamente 0.003 
(valor un tanto conservador para la mayoría de los 
concretos) y que el acero cede bajo fy, es posible 
obtener fórmulas de flexión para vigas, sin conocer 
la distribución exacta de los esfuerzos. Sin 
embargo, es necesario conocer el valor de la 
compresión total y su centroide. Whitney remplazó 
el bloque curvo de esfuerzos por un bloque 
rectangular equivalente de intensidad 0.85 f’c y 
altura α = β1*c, como se muestra en la Figura 10-
c. [4] 
El área de este bloque 15 rectangular debe ser igual 
a la del bloque curvo de esfuerzos y los centroides 
de los dos bloques deben coincidir. Existen 
suficientes resultados de pruebas en vigas de 
concreto como para poder obtener la altura del 
bloque de esfuerzos rectangular equivalente. 
 
Fig.10 Algunas formas posibles de la distribución de 
esfuerzos [4] 
ANÁLISIS DEL DISEÑO DE VIGAS 
 
Bloque Rectangular Equivalente. 
 
Según Whitney, propone que el bloque curvo de 
esfuerzos sea cambiado por un bloque rectangular 
equivalente con una intensidad de 0.85 f´c y altura 
α = β1*c, en donde los centroides de los bloques 
tienen que coincidir. [4] 
Whitney asume para 4000 lb/plg2 el valor de 
β1:0.85 y se reduce para concretos de alta 
resistencia debido a las curvas de esfuerzo-
deformación, al aumentar 1000lb/plg2 se 
disminuye 0.05 hasta 0.65 para el sistema inglés, 
para f’c > 280 kg/cm2 se lo puede calcular con la 
siguiente formula: 
β1 = 0,85 − (𝑓´𝑐−28070 ) (0,05)≥ 0,65 
En el sistema internacional β1 se debe tomar 0.85 
para resistencias del concreto de hasta 30MPa, 
pero se debe reducir 0.05 por cada 7 MPa en 
exceso, pero no se tomará menor a 0.65, para 
concretos con f’c >30 MPa; β1 se puede 
determinar con la siguiente expresión: 
β1 = 0.85 − 0.008(f´c − 30) ≥ 0.65 
Por medio de estas suposiciones relativas al bloque 
de esfuerzos, se puede determinar las ecuaciones 
de estática para la suma de las fuerzas horizontales 
y para el momento resistente producido por el par 
interno. De estas ecuaciones se puede despejarse 
separadamente los valores de α y del momento Mn. 
[4] 
 
 
Fig.11 Ubicación de las fuerzas C y T [4] 
También Whitney propone que la resistencia útil 
de un miembro es igual a su resistencia teórica 
multiplicada por el factor de reducción de 
resistencia, o sea ФMn. La resistencia utilizable 
por flexion de un miembro, ФMn al menos debe 
ser igual al momento factorizado calculado, Mu. 
Causado por las cargas factorizadas. [4] 
ФMn≥Mu 
Donde: 
 Mu: Resistencia requerida por flexión en la 
sección analizada. 
 Mn: es la resistencia nominal a la flexión de la 
sección. 
 ϕ: Factor de reducción de capacidad por flexión. 
Para la deducción de las expresiones de la viga, se 
procede a igualar las fuerzas horizontales C y T, 
para poder despejar α, se obtiene. 
0.85 𝑓 ′ 𝑐𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓y 
𝑎 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦0,85 𝑓´𝑐 𝑏 = 𝜌 𝑓 𝑦 𝑑0,85 𝑓´𝑐 
• Donde 𝜌 = 𝐴𝑠𝑏𝑑 = porcentaje de acero de 
tensión. 
• Como el acero de refuerzo está limitado a 
una cantidad tal que lo haga ceder antes de 
que el concreto alcance su resistencia 
última, el valor del momento nominal Mn 
puede escribirse como: 
𝑀𝑛 = 𝑇(𝑑 − 𝑎2)= 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑎2) 
Y la resistencia útil a flexión es: 
ϕ𝑀𝑛 = ϕ𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑎2) 
Si sustituimos en esta expresión el valor 
previamente obtenido para 𝑎 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦0,85 𝑓´𝑐 𝑏 = 𝜌 𝑓 𝑦 𝑑0,85 𝑓´𝑐, 
reemplazamos As con 𝜌𝑏𝑑 e igualamos ϕ𝑀𝑛 con 
Mu, obtenemos la siguiente expresión: 
ϕ𝑀𝑛 = 𝑀𝑢 = ϕ𝑏𝑑2𝑓𝑦 𝜌 (1 − 𝜌𝑓𝑦107 𝑓´𝑐) 
Donde: 𝜌: Cuantía de acero. 
As: Área de acero. 
b: Ancho de la sección. 
d: Peralte efectivo 
Reemplazando As con 𝜌𝑏𝑑 y haciendo 𝑅𝑛 = 𝑀𝑢/ϕ𝑏𝑑2, podemos despejar esta expresión para 
obtener 𝜌, que es el porcentaje de acero requerido 
para una viga particular, con los siguientes 
resultados: 𝜌 = 0,85 𝑓´𝑐𝑓𝑦 (1 − √1 − 2𝑅𝑛0,85𝑓´𝑐) 
Rn: Refuerzo mínimo 
[4] 
III. CONCLUSIONES 
• El bloque rectangular de esfuerzos o más 
conocido como bloque de Whitney es una 
propuesta para el diseño de vigas 
rectangulares cuyo objetivo es presentar un 
diseño aproximadamente equivalente de un 
bloque rectangular (magnitud y posición de 
fuerzas similar) en el que se puedan 
reemplazar valores propios de hormigón, 
de esta manera facilita su cálculo. 
• La hipótesis básica del estudio de 
elementos sometidos a flexión según el 
código de la ACI concluye que la sección 
de viga que soportalos esfuerzos, presentes 
en el diseño a flexión, solo es una parte de 
la totalidad del área transversal del 
concreto, ya que por debajo del eje neutro 
se le considera un elemento fisurado, es 
decir que no soporta ningún esfuerzo. En la 
mayoría de los casos, los elementos de 
concreto armado se dimensionan para 
resistir las solicitaciones de flexión y 
posteriormente se verifica su resistencia al 
corte, en caso de que la sección no resista 
el corte aplicado, se le refuerza con acero 
transversal. 
• La ACI considera muy adecuada la 
propuesta del bloque de Whitney, razón 
por la cual está incorporada en su norma de 
diseño de concreto armado, buscando el 
área máxima de refuerzo a flexión cuando 
se presente una falla. 
 
• Un bloque real se encuentra sometido a 
variaciones de esfuerzos siendo necesario 
determinar su comportamiento, para ello 
Whitney remplazó el bloque curvo de 
esfuerzos por un bloque rectangular 
equivalente de intensidad 0.85 f´c y altura 
α = β1*c, el área de este bloque rectangular 
debe ser igual a la del bloque curvo de 
esfuerzos y los centroides de los dos 
bloques deben coincidir. 
 
 
 
 
 
IV. BIBLIOGRAFÍA 
 
[1] F. L. Baez, CONCRETO REFORZADO-
Fundamentos, Bogota: ECOE, 2015. 
[2] J. M. o. Ruiz, Estructuras de Concreto, 
Ensenada,Baja California: Libro de Apuntes, 
2012. 
[3] M. M. R, «Diseño en concreto armado,» 
Instituto de la construccion y gerencia , 2006. 
[4] J. C. Mc Cormac y R. H. Brown, Diseño de 
Concreto Reforzado, Mexico: Alfaomega 
Grupo Editor, 2011.