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Pirámide (geometría) La pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. Los triángulos se llaman caras laterales. El lado común a dos caras laterales se llama arista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tiene vértices poliedrales, donde es el número de vértices de la base. Definición Elementos Tipos de pirámides Área Área lateral de una pirámide Área total de una pirámide Volumen Volumen de una pirámide regular Centroide, centro de masas y centro de gravedad Pirámide homotética de volumen la mitad Véase también Referencias Enlaces externos Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono. Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional. Base: es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior. Vértice de la pirámide: es el punto exterior al plano de la base. Arista lateral: es el segmento que une cada vértice del polígono con el vértice de la figura del espacio. Altura: es el segmento perpendicular del vértice de la pirámide al plano de la base.También lo es su medida. Cada lado de la base con el vértice de la pirámide al unirlos por sus extremos determina una región triangular, llamada cara lateral 1 Apotema: es un segmento perpendicular del vértice de la pirámide a un lado de la base. Pirámide cuadrangular El tetraedro Leonardiano especial pertenece al conjunto de las pirámides huecas de Leonardo. Posee 12 caras triangulares interiores. Tiene 12 aristas interiores y 6 aristas intermedias para un total de 18 aristas. Además ostenta 4 vértices interiores y 4 vértices intermedio para un total de 8 vértices. Índice Definición Elementos https://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pyramid_(geometry).png https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tetraedro_Leonardiano_Especial.gif https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraedro_Leonardiano_Especial.gif https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pir%C3%A1mides_huecas_Leonardo.jpg Una pirámide recta es un tipo de pirámide que une la proyección ortogonal del ápice sobre la base coincide con su centroide. Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales sean triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este tipo de pirámides cada cara lateral es un triángulo isósceles igual a los demás, su altura se llama apotema de la pirámide. Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo. Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo. Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros. Área de un polígono regular El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos. El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At): Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría. Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.: Tipos de pirámides Pirámide oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La línea amarilla es una diagonal de la base. Pirámide hueca cuadrada de Leonardo: son poliedros cóncavos, que poseen una base cuadrada imaginaria, todas sus caras físicas están colocadas en la parte interior, unidas en un punto común llamado ápice intermedio principal hueco, el conjunto de la caras interiores de la base están unidas en otro punto común llamado ápice interior principal y el conjunto de los ápice interiores laterales esta compuestos cada uno, por una cara interior lateral de la base y por dos caras interiores laterales.. Área Partición de polígonos regulares en triángulos isósceles. https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81pice_(geometr%C3%ADa) https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_convexo https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_c%C3%B3ncavo https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo https://es.wikipedia.org/wiki/Alto_dimensional https://es.wikipedia.org/wiki/Apotema https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Diagrama_Piramide.jpg https://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa) https://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa) https://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pir%C3%A1mides_Huecas_Cuadrada_de_Leonardo.gif https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pir%C3%A1mides_Huecas_Cuadrada_de_Leonardo.gif https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hexagon_Octagon.svg https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles (1) (2) (3) Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos: El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luego . El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales. En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales. Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base. La apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir de la apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras. El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral. En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1 (https://es. wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1)) y el área lateral (2 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir% C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_2)) en la ecuación (3 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr% C3%ADa)#Equation_3)), se obtiene: La línea roja es un apotema de este octógono. Área lateral de una pirámide Teorema de Pitágoras: Altura de la pirámide: h = a. Apotema de la base: ab = b. Apotema de la pirámide: ap = c. Área total de una pirámide https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo#%C3%A1ngulo_completo https://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1 https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_2 https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_3 https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Apothem2.svg https://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttps://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%B3gono https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pythsats.jpg https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras (4) El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z). Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base. Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área. El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geomet r%C3%ADa)#Equation_1)) en la ecuación del volumen de la pirámide (4 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geom etr%C3%ADa)#Equation_4)) se obtiene: Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:2 Volumen Volumen de una pirámide regular https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa) https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1 https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_4 El centroide o baricentro de un tetraedro regular está situado en su altura. El punto donde se cortan las cuatro posibles alturas, se encuentra a una distancia de la base igual a: Coincide con el centro de masas de un tetraedro regular de densidad uniforme. También coincide con el centro de gravedad de un tetraedro regular de densidad uniforme y campo gravitacional uniforme. El centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.3 Dada una pirámide recta de altura h, la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una altura h': Demostración El plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen. Buscamos la razón de la homotecia: el coeficiente por el que tenemos que multiplicar los lados de la base y la altura, para obtener las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total. Si el volumen total de la pirámide es: La pirámide cuyo volumen es la mitad, tendrá: siendo x la razón de la homotecia, el coeficiente de proporcionalidad. Como deducimos simplificando Centroide, centro de masas y centro de gravedad Pirámide homotética de volumen la mitad https://es.wikipedia.org/wiki/Centroide https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad https://es.wikipedia.org/wiki/Homotecia La razón de la homotecia es 0,79370053 aproximadamente. Pirámide Tronco de pirámide Tetraedro Eudoxo de Cnidos Bipirámide (unión de dos pirámides por sus bases) 1. Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8 2. García, Jimmy y otros. Resumen teórico Matemáticas y Ciencias. Fondo editorial Rodó Lima (2014). 3. Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9. Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Pirámide. Weisstein, Eric W. «Pirámide» (http://mathworld.wolfram.com/Pyramid.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pirámide_(geometría)&oldid=118148005» Esta página se editó por última vez el 10 ago 2019 a las 18:05. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; pueden aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio, usted acepta nuestros términos de uso y nuestra política de privacidad. Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro. Véase también Referencias Enlaces externos https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide https://es.wikipedia.org/wiki/Tronco_de_pir%C3%A1mide https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro https://es.wikipedia.org/wiki/Eudoxo_de_Cnidos https://es.wikipedia.org/wiki/Bipir%C3%A1mide https://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8482764128 https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8488012039 https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pyramids_(geometry) https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein http://mathworld.wolfram.com/Pyramid.html https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)&oldid=118148005 https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported https://wikimediafoundation.org/wiki/Terms_of_Use https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy https://www.wikimediafoundation.org/
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