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U1 pp 20 pirámides

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Pirámide (geometría)
La pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos
que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un
vértice común llamado vértice de la pirámide. Los triángulos se llaman caras laterales. El lado
común a dos caras laterales se llama arista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El
número total de las aristas es doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro
tiene vértices poliedrales, donde es el número de vértices de la base.
Definición
Elementos
Tipos de pirámides
Área
Área lateral de una pirámide
Área total de una pirámide
Volumen
Volumen de una pirámide regular
Centroide, centro de masas y centro de gravedad
Pirámide homotética de volumen la mitad
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los
segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior
al plano del polígono.
Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional.
Base: es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior.
Vértice de la pirámide: es el punto exterior al plano de la base.
Arista lateral: es el segmento que une cada vértice del polígono con el vértice de la figura del espacio.
Altura: es el segmento perpendicular del vértice de la pirámide al plano de la base.También lo es su medida.
Cada lado de la base con el vértice de la pirámide al unirlos por sus extremos determina una región triangular,
llamada cara lateral 1 
Apotema: es un segmento perpendicular del vértice de la pirámide a un lado de la base.
Pirámide cuadrangular
El tetraedro Leonardiano especial
pertenece al conjunto de las
pirámides huecas de Leonardo.
Posee 12 caras triangulares
interiores. Tiene 12 aristas interiores
y 6 aristas intermedias para un total
de 18 aristas. Además ostenta 4
vértices interiores y 4 vértices
intermedio para un total de 8
vértices.
Índice
Definición
Elementos
https://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pyramid_(geometry).png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tetraedro_Leonardiano_Especial.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraedro_Leonardiano_Especial.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pir%C3%A1mides_huecas_Leonardo.jpg
Una pirámide recta es un tipo de pirámide que une la proyección ortogonal del
ápice sobre la base coincide con su centroide.
Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta. Si la base de una
pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras
laterales sean triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un
triángulo isósceles
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.
En este tipo de pirámides cada cara lateral es un triángulo isósceles igual a los
demás, su altura se llama apotema de la pirámide.
Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.
Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases
de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas
caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.
Área de un polígono regular
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de
cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse
en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas
bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos
triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los
triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en
2n triángulos rectángulos.
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos
rectángulos (At):
Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del
apotema se aplica la trigonometría.
Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo
rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.:
Tipos de pirámides
Pirámide oblicua. Los vértices están
marcados en naranja y las aristas en
rojo. La línea amarilla es una
diagonal de la base.
Pirámide hueca cuadrada de
Leonardo: son poliedros cóncavos,
que poseen una base cuadrada
imaginaria, todas sus caras físicas
están colocadas en la parte interior,
unidas en un punto común llamado
ápice intermedio principal hueco, el
conjunto de la caras interiores de la
base están unidas en otro punto
común llamado ápice interior
principal y el conjunto de los ápice
interiores laterales esta compuestos
cada uno, por una cara interior
lateral de la base y por dos caras
interiores laterales..
Área
Partición de polígonos regulares en
triángulos isósceles.
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81pice_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_convexo
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_c%C3%B3ncavo
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero
https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Alto_dimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Apotema
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Diagrama_Piramide.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pir%C3%A1mides_Huecas_Cuadrada_de_Leonardo.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pir%C3%A1mides_Huecas_Cuadrada_de_Leonardo.gif
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hexagon_Octagon.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_is%C3%B3sceles
(1)
(2)
(3)
Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular
(Ab) tenemos:
El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luego 
.
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es
igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide
regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.
Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.
La apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir de la apotema de la base
(ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.
El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1 (https://es.
wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1)) y el área lateral (2 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%
C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_2)) en la ecuación (3 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%
C3%ADa)#Equation_3)), se obtiene:
La línea roja es un apotema de este
octógono.
Área lateral de una pirámide
Teorema de Pitágoras: 
Altura de la pirámide: h = a. 
Apotema de la base: ab = b. 
Apotema de la pirámide: ap = c.
Área total de una pirámide
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo#%C3%A1ngulo_completo
https://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_2
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_3
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Apothem2.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttps://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%B3gono
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pythsats.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
(4)
El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es
directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la
pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base
y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.
El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define
su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geomet
r%C3%ADa)#Equation_1)) en la ecuación del volumen de la pirámide (4 (https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geom
etr%C3%ADa)#Equation_4)) se obtiene:
Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del
polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:2 
Volumen
Volumen de una pirámide regular
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_1
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)#Equation_4
El centroide o baricentro de un tetraedro regular está situado en su altura. El punto donde se cortan las cuatro posibles alturas, se
encuentra a una distancia de la base igual a: 
Coincide con el centro de masas de un tetraedro regular de densidad uniforme. También coincide con el centro de gravedad de un
tetraedro regular de densidad uniforme y campo gravitacional uniforme.
El centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de
su altura.3 
Dada una pirámide recta de altura h, la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una altura h':
Demostración
El plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen.
Buscamos la razón de la homotecia: el coeficiente por el que tenemos que multiplicar los lados de la base y la altura, para obtener
las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total.
Si el volumen total de la pirámide es:
La pirámide cuyo volumen es la mitad, tendrá:
siendo x la razón de la homotecia, el coeficiente de proporcionalidad.
Como
deducimos
simplificando
Centroide, centro de masas y centro de gravedad
Pirámide homotética de volumen la mitad
https://es.wikipedia.org/wiki/Centroide
https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas
https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad
https://es.wikipedia.org/wiki/Homotecia
La razón de la homotecia es 0,79370053 aproximadamente.
Pirámide
Tronco de pirámide
Tetraedro
Eudoxo de Cnidos
Bipirámide (unión de dos pirámides por sus bases)
1. Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8
2. García, Jimmy y otros. Resumen teórico Matemáticas y Ciencias. Fondo editorial Rodó Lima (2014).
3. Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.
 Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Pirámide.
Weisstein, Eric W. «Pirámide» (http://mathworld.wolfram.com/Pyramid.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld
(en inglés). Wolfram Research.
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Véase también
Referencias
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide
https://es.wikipedia.org/wiki/Tronco_de_pir%C3%A1mide
https://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro
https://es.wikipedia.org/wiki/Eudoxo_de_Cnidos
https://es.wikipedia.org/wiki/Bipir%C3%A1mide
https://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8482764128
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8488012039
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pyramids_(geometry)
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Pyramid.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)&oldid=118148005
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