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El Gran Paso – Matemáticas 19/09/2020 
 
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Geometría 
 
Prismas y Pirámides 
Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras están formadas por 
polígonos. Los prismas tienen dos c aras paralelas e iguales, llamadas bases, el 
resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de 
las caras son triángulos. 
 
Prismas: 
Los prismas son poliedros que: 
Están constituidos por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son 
paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre al prisma. 
 
Ejemplo: Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas cuadrangulares 
(sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), Prisma 
hexagonal (sus bases son hexágonos), etc. 
 
La altura de un prisma es la distancia entre las bases. 
 
 
 
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El prisma es recto cuando su eje es perpendicular a las bases y oblicuo cuando el 
ángulo entre el eje y la base es diferente a base 90°. Si el prisma es cortado de tal 
manera que la sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el 
nombre de prisma truncado. 
Prisma recto con una base contenida en un plano de proyección. 
Prisma recto es aquel que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases. 
Desarrollo del prisma 
Desarrollar un prisma consiste en desplegar sus caras y bases en un plano, de 
manera que se muestren todas en verdadera forma. Es un procedimiento útil para 
realizar operaciones métricas sobre el prisma y para construir maquetas 
recortables en papel. 
 
 
 
 
 
El desarrollo de un prisma recto está compuesto por sus dos bases y por 
un rectángulo que tiene tantas divisiones como número de caras laterales. 
En los prismas rectos el desarrollo es muy sencillo, puesto que sus dos bases son 
idénticas y las caras laterales son siempre rectángulos. 
 
 
 
 
 
 
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Pirámide recta 
Una pirámide recta es aquella cuyo vértice está alineado perpendicularmente con el 
centro de la base. 
 
 
 
 
 
 
Desarrollo de la pirámide recta de base regular a partir de sus proyecciones 
 
 
 
En una pirámide recta de base regular las aristas laterales son iguales. Si ninguna 
de ellas se proyecta en verdadera magnitud, podemos obtenerla mediante giro o 
cambio de cota. Al tener la base en verdadera forma, tenemos todos los datos para 
dibujar el desarrollo. 
 
 
 
 
 
 
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Clasificación de prismas y pirámides. Poliedros 
PRISMAS 
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo a estos criterios: 
 
Por el número de los lados de la base: 
a) Prisma triangular: las bases son 
triángulos. 
 
b) Prisma cuadrangular: las bases son 
cuadriláteros. 
 
c) Prisma pentagonal: las bases son 
pentágonos. 
 
d) Prisma hexagonal: las bases son 
hexágonos. Etc... 
 
 
 
Regular e irregular: 
a) Prisma regular: un prisma es regular 
si sus bases son polígonos regulares. 
 
b) Prisma irregular: los prismas son 
irregulares si tienen polígonos 
irregulares en su base. 
 
 
Recto u oblicuo: 
a) Prisma recto: si los ejes de los 
polígonos de las bases son 
perpendiculares a las bases. Las 
caras laterales son cuadrados o 
rectángulos. 
 
b) Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de 
los polígonos de las bases se unen por 
una recta oblicua a las bases mismas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PIRÁMIDES 
Las pirámides se clasifican de acuerdo a los siguientes criterios: 
 
 
Número de lados de sus bases: 
 
a) Pirámide triangular: la base es un 
triángulo. 
 
b) Pirámide cuadrangular: la base es 
un cuadrilátero. 
 
c) Pirámide pentagonal: la base es un 
pentágono. 
 
d) Pirámide hexagonal: la base es un 
hexágono. 
 
 
Regular o irregular: 
 
a) Pirámide regular: una pirámide es 
regular si la base es un polígono 
regular y a su vez es una pirámide 
recta. Las caras laterales son 
triángulos isósceles e iguales entre 
sí. 
 
b) Pirámide irregular: cuando la base 
es un polígono irregular o bien es 
una pirámide oblicua. 
 
 
 
 
 
 
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Recta u oblicua: 
 
a) Pirámide recta: la pirámide es recta 
cuando todas sus caras laterales 
son triángulos isósceles. En este 
caso, la recta perpendicular a la 
base que pasa por el vértice de la 
pirámide corta a la base por el 
centro del polígono. 
 
b) Pirámide oblicua: la pirámide es 
oblicua cuando no todos los 
triángulos laterales son isósceles. 
 
 
 
Desarrollos Planos 
Los desarrollos planos son variados de 
acuerdo con sus bases, polígonos 
regulares o irregulares se desarrollan 
en un plano. 
 
 
ÁREAS (SUPERFICIES) DE UN PRISMA: 
El área lateral de superficie de un prisma es la suma de las áreas de sus caras 
laterales. 
El área total de superficie de un prisma es la suma de las áreas de sus caras 
laterales y sus dos bases. 
 
 
 
 
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Área prisma = perímetro ∙ (apotema + h) 
Desarrollo de un prisma de caras cuadrangulares (cubo) 
 
 
 
ÁREA DEL PRISMA. PRINCIPIO DE CAVALIERI. 
 
Para calcular el área de un prisma, vamos a conocer su desarrollo: 
 
 
El desarrollo plano de un prisma recto está compuesto por un rectángulo y 
los dos polígonos que forman las bases. Uno de los lados del rectángulo 
coincide con el perímetro de la base, y el otro, con la altura del prisma. 
El área lateral (área del rectángulo) es igual al perímetro de la base por la altura: 
AL = PB · h 
El área total es la suma del área lateral y el área de las bases: 
ATotal = ABases + ALateral = 2ABases + PerímetroBase · h = 
= 
 
Por tanto, si tenemos un prisma con apotema de la base a y altura h, entonces: 
 
 
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Área pirámide = 
ÁREAS (SUPERFICIES) DE UNA PIRÁMIDE: 
El área lateral de esta pirámide se calcula multiplicando el perímetro de la base 
por la apotema lateral dividido por 2. 
Desarrollo de una pirámide de bases cuadrangulares 
 
 
 
Para hallar la superficie total de una pirámide sumamos la superficie de su base y 
la superficie lateral. 
VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRÁMIDES: 
El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las 
unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (𝑑𝑚3, 𝑐𝑚3, 𝑚3, 
etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes 
de calcular el volumen. 
¿Qué es el volumen de un cubo? 
Calcular el volumen de un cubo, o de un polígono en general, significa medir 
el espacio tridimensional ocupado en el entorno. El volumen de un objeto es 
el valor numérico utilizado para describir cuánto espacio ocupa el cuerpo. En este 
caso, usaremos la figura de un cubo. 
El cubo es un paralelepípedo rectángulo regular, un prisma cuadrado con altura y 
longitud igual a la longitud del lado de la base. 
 
 
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Veamos a continuación de qué modo, paso a paso, podemos calcular el volumen de 
un cubo. Lo haremos con un ejemplo concreto, aunque una vez explicada la 
fórmula podréis aplicarla a cualquier otro problema. 
Pasos para calcular el volumen de un cubo 
El cubo es un polígono de base cuadrada. Tiene seis caras, ocho vértices y doce 
aristas. Encontrar el volumen significa encontrar el área de su base y multiplicarla 
por altura. 
1. Primero calcularemos el área de la base. Para esta fórmula necesitaremos 
la medición de uno de los cuatro lados del cubo. Para cada otro polígono, 
los datos serían diferentes, pero dado que la base es un cuadrado, 
la medición será la misma para todoslos lados. 
2. Ahora que hemos calculado la base, debemos encontrar el volumen 
completo. Para entender qué es, imaginemos tener un bloque de hojas una 
sobre otra. Hemos calculado la superficie de uno de ellos. 
3. El problema requiere encontrar el espacio ocupado por todo el bloque. Para 
proceder a encontrar la solución simplemente multiplica el área de esa hoja 
por el número de hojas contenidas en el bloque. En este caso, será 
nuestra altura. Dado esto, la fórmula será el área de la base x altura del 
cubo. 
4. El volumen se expresa con una unidad de medida diferente, llamada 
cúbica. Dado que la medida inicial estaba en 
centímetros. 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑙 × 𝑙 × 𝑙 = (𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑙𝑎𝑑𝑜) 
 
 
 
 
 
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Volumen del cubo = a ∙ a ∙ a = a3 
Ejemplo: 
Vamos a calcular su volumen. 
 
El cubo es un ortoedro particular, que tiene todas sus aristas 
iguales. 
En el ejemplo, el volumen sería: área de la base x altura = 5∙5∙5 
= 125 cubitos. 
 
Por tanto, si tenemos un cubo de arista a, el volumen será: 
 
 
Antes de calcular el volumen del prisma, vamos a ver el Principio de Cavalieri. 
 
Principio de Cavalieri: “Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de 
igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases, el área de 
las secciones es la misma, ambos tienen igual volumen”. 
Para comprobar el principio de Cavalieri, observamos esta figura: 
 
 
A la izquierda tenemos un montón de ladrillos iguales, unos encima de otros, 
y a la derecha, están los mismos ladrillos desordenados. Es obvio que, en los 
dos casos, el volumen que ocupan es el mismo. Observamos que, si cortamos 
con un plano a cualquier altura, la sección es la misma. 
Veamos cuál es el volumen de un prisma. 
 
 
 
 
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Volumen del prisma = área base x altura = a∙b∙c 
El volumen de un prisma de base cualquiera, por el principio de Cavalieri, 
será igual que el de un ortoedro con la misma sección, es decir, con la misma 
área de la base. 
VPRISMA = área de la base · altura = AB · h 
Si el prisma no es recto, su volumen, según el principio de Cavalieri, será el 
mismo que el del prisma recto con igual sección y altura. La única diferencia 
es que, en este caso, la altura no coincide con la arista lateral. 
Por tanto, si tenemos un prisma con dimensiones a, b y c, el volumen será: 
 
Vamos a calcular, ahora, el volumen de una pirámide. Para ello, consideramos un 
prisma y una pirámide con la misma área de la base y la misma altura, h. 
Si llenamos la pirámide con arena fina o agua y la vaciamos en el prisma, 
comprobamos que para llenar el prisma se necesitaría el 
contenido exacto de tres pirámides. 
 
 
 
 
Luego, el volumen de la pirámide es un tercio del volumen 
del prisma. 
 
Por tanto, si tenemos una pirámide regular (cuya base tiene 
n lados que miden l cada uno y apotema a) y con una altura 
h, entonces: 
 
 
 
Volumen pirámide = 
 
 
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FORMULARIO DE POLIEDROS 
NOMBRE DIBUJO DESARROLLO ÁREA VOLUMEN 
 
Cubo o 
Hexaedro 
 
 
𝑨𝑳 = 𝟒 ∙ 𝒂𝟐 
 
𝑨𝑻 = 𝟔 ∙ 𝒂𝟐 
 
𝑽 = 𝟔 ∙ 𝒂𝟑 
 
Paralelepípedo 
u ortoedro 
 
 
𝑨 = 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄) 
 
𝑽 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 
 
Prisma 
 
 
𝑨𝑳 = 𝑷𝒃 ∙ 𝑯 
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃 
 
𝑽 = 𝑨𝒃 ∙ 𝑯 
 
Pirámide 
 
 
 
𝑨𝑳 = 𝑷𝒃 ∙ 𝑨𝒑 
𝑨𝑻 = 𝑨𝒃 + 𝑨𝑳 
 
𝑽 =
𝟏
𝟑
∙ 𝑨𝒃 ∙ 𝑯 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios resueltos 
 
1) La altura de un prisma regular cuadrangular mide 18 cm. Siendo la diagonal de 
base igual a 8√2 cm, calcular el área lateral. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ = 18 𝑐𝑚 
𝑑 = 8√2 𝑐𝑚 
Aplicamos el teorema de Pitágoras: 
para calcular el valor del lado de base. 
𝒍𝟐 + 𝒍𝟐 = (𝟖√𝟐)
𝟐
 
𝟐𝒍𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 
𝒍 = √
𝟏𝟐𝟖
𝟐
= 𝟖 𝒄𝒎 
Utilizamos la fórmula para calcular el 
área lateral. 
𝐴𝐿 = 𝑃𝑏 ∙ ℎ 
𝐴𝐿 = 𝒍 ∙ 𝟒 ∙ 𝒉 
𝐴𝐿 = 𝟖 ∙ 𝟒 ∙ 𝟏𝟖 
𝑨𝑳 = 𝟓𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟐 
 
𝑨) 𝟓𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝐵) 675 𝑐𝑚2 𝐶) 756 𝑐𝑚2 𝐷) 288 𝑐𝑚2 𝐸) 828 𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒉 
𝒅 𝒍 
 
 
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2) Calcular la diagonal de un paralelepípedo rectángulo de 94 𝑑𝑚2 de área total. 
Las dimensiones de base miden 5 dm y 3 dm. 
Solución: 
 
𝐴𝑇 = 94 𝑑𝑚2 
𝑎 = 5 𝑑𝑚 
𝑏 = 3 𝑑𝑚 
a) Calculamos la altura 
utilizando el área total: 
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝟐𝑨𝒃 
𝑨𝑳 = 𝑷𝒃 ∙ 𝒉 
d)Calculamos el área total: 
94 𝑑𝑚2 = 16𝑑𝑚 ∙ ℎ + 2(15𝑑𝑚2) 
94 𝑑𝑚2 − 30𝑑𝑚2 = 16𝑑𝑚 ∙ ℎ 
ℎ =
64 𝑑𝑚2
16 𝑑𝑚
= 4𝑑𝑚 
b) Calculamos el perímetro de la 
base: 
𝑷𝒃 = 𝟐 ∙ 𝒂 + 𝟐 ∙ 𝒃 
𝑷𝒃 = 𝟐 ∙ 𝟓 + 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟔 𝒅𝒎 
e) Calculamos la diagonal de base 
aplicando el teorema de Pitágoras: 
𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑑2 = 52 + 32 
𝑑 = √25 + 9 
𝑑 = √25 + 9 = √34 𝑑𝑚 
c) Calculamos el área de base: 
𝑨𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃 
𝑨𝒃 = 𝟓 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟓 𝒅𝒎
𝟐 
f) Calculamos la Diagonal del 
paralelepípedo aplicando el teorema de 
Pitágoras: 
𝐷2 = 𝑑2 + ℎ2 𝐷2 = (√34)
2
+ 42 
𝐷2 = 34 + 16 𝑫 = √𝟓𝟎 = 𝟓√𝟐 𝒅𝒎 
 
A) 50 dm B) 42 dm C) 5√𝟐 dm D) 6 dm E) 8 dm 
 
𝒅 
 
 
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3) La altura de una pirámide regular cuadrangular mide 40 cm. Siendo el perímetro 
de la base igual a 72 cm, calcular el área total. 
Solución: 
 
 
ℎ = 40 𝑐𝑚 
 
𝑃𝑏 = 72 𝑐𝑚 
 
a) Calculamos el lado de la base; 
utilizando el Perímetro: 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝒍 
 𝟒 ∙ 𝒍 = 𝟕𝟐 
𝒍 =
𝟕𝟐
𝟒
= 𝟏𝟖 𝒄𝒎 
c)Calculamos el Área Lateral de la 
pirámide: 
𝐴𝐿 =
𝑃𝑏 ∙ 𝐴𝑝
2
 
𝐴𝐿 =
72 ∙ 41
2
= 1476 𝑐𝑚2 
 
b) Calculamos la apotema de la 
pirámide, aplicando el teorema de 
Pitágoras: 
𝑨𝒑 = √𝒉𝟐 + (
𝒍
𝟐
)
𝟐
 
 
𝑨𝒑 = √𝟒𝟎𝟐 + 𝟗𝟐 = √𝟏𝟔𝟖𝟐 = 𝟒𝟏 𝒄𝒎𝟐 
 
d)Calculamos el Área Total de la 
pirámide: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝑏 
AT = 1476 + 182 = 1800 
𝑨𝑻 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
 
𝐴) 1476 𝑐𝑚2 𝐵) 1746 𝑐𝑚2 𝐶) 324 𝑐𝑚2 𝑫) 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐸) 8100 𝑐𝑚2 
 
 
h 
Ap 
ap 
 
 
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4) Un depósito, cuya forma es la de un cubo, está lleno de agua. Siendo la arista 
igual a 150 cm, ¿a cuántos litros corresponden un descenso de 30 cm del nivel 
del agua? 
Solución: 
 
 
𝒉 
 
𝑎 = 150 𝑐𝑚 
 
 
a) Calculamos el Volumen: 
𝑽 = 𝑨𝒃 ∙ 𝒉 
𝑽 = (𝟏𝟓𝟎)𝟐 ∙ 𝟏𝟓𝟎 = 𝟔𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟑 
 
b) Calculamos el nivel del agua: 
𝐶𝑎𝑝 = 6750 𝑑𝑚3 
𝑪𝒂𝒑 = 𝟔𝟕𝟓𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
 
𝐴) 6571 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐵) 675 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐶) 6570 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑫) 𝟔𝟕𝟓𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝐸) 67,50 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
5) Hallar el cociente que se obtiene al dividir el área lateral por el área total del 
cubo de arista a. 
Solución 
 AL = 4 𝑎2 
AT = 6 𝑎2 
𝐴𝐿
𝐴𝑇
 = 
4 𝑎2
6 𝑎2
 = 
2
3
 
𝑨𝑳
𝑨𝑻
 = 
𝟐
𝟑
 
 
 
𝐴)
2𝑎
3
 𝐵) 
𝑎
3
 𝐶) 
1
3
 𝑫) 
𝟐
𝟑
 𝐸)
1
2
 
a 
 
 
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6) La altura de una pirámide regular triangular mide√3m. Siendo el lado de la base 
igual a 2 m, calcular el volumen. 
Solución: 
 
ℎ = √3 𝑚 
 
𝑙 = 2 𝑚 
 
𝑨𝒃 =
√𝟑
𝟒
𝒍𝟐 
𝑨𝒃 =
√𝟑
𝟒
× 𝟒 𝒎𝟐 
𝑨𝒃 = √𝟑 𝒎
𝟐 
𝑉 =
1
3
𝐴𝑏ℎ = 
𝑉 =
1
3
× √3 𝑚2 × √3 𝑚 = 1 𝑚3 
𝑽 = 𝟏 𝒎𝟑 
 
𝐴) √3 𝑚3 𝐵) 
1
3
 𝑚3 𝐶) 2√3 𝑚
3 𝐷) 3 𝑚
3 𝑬) 𝟏 𝒎𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios propuestos 
1) La altura de un prisma regular hexagonal mide 10 cm. Siendo la apotema de 
base igual a √3 cm, calcular el área lateral. 
 
𝐴) 60 𝑐𝑚2 𝑩) 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐶) 60√3 𝑐𝑚2 𝐷) 240 𝑐𝑚
2 𝐸) 90√3 𝑐𝑚2 
 
2) Calcular el área lateral delparalelepípedo rectángulo de 5,25 m. de largo,4,50 m 
de ancho y 3,75 m de alto. 
𝐴) 73, 215 𝑚2 𝐵) 23,625 𝑚2 𝐶) 70 𝑚2 𝑫) 𝟕𝟑, 𝟏𝟐𝟓 𝒎𝟐 𝐸) 73,521 𝑚2 
 
3) La altura de un prisma regular triangular mide 15 cm. Siendo la apotema de 
base igual a 2√3 cm, calcular el área lateral. 
𝐴) 90 𝑐𝑚2 𝐵) 120 𝑐𝑚2 𝑪) 𝟓𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐷) 120√3 𝑐𝑚2 𝐸) 60 𝑐𝑚
2 
 
4) La altura de un prisma regular triangular es los 
2
3
 de la altura de base. Calcular 
el área lateral, siendo el área de base igual a 100√3 𝑑𝑚2. 
𝐴) 400 𝑑𝑚2 𝐵) 200 𝑑𝑚2 𝐶) 200√3 𝑑𝑚2 𝐷) 240√3 𝑑𝑚2 𝑬) 𝟒𝟎𝟎√𝟑 𝒅𝒎𝟐 
 
5) La altura de un prisma regular hexagonal mide 1 m. Siendo la apotema de base 
igual a 
√3
2
 m., calcular el área lateral. 
𝐴) 3 𝑚2 𝑩) 𝟔 𝒎𝟐 𝐵) 12 𝑚2 𝐷) 3√3 𝑚2 𝐸) 2√3 𝑚2 
 
6) La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 21 cm. Siendo las dimensiones 
de base iguales a 18 cm y 9cm, calcular el área lateral. 
𝐴) 342 𝑐𝑚2 𝐵) 162 𝑐𝑚2 𝐶) 108 𝑐𝑚2 𝑫) 𝟑𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐 𝐸) 567 𝑐𝑚2 
 
 
 
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7) La altura de un prisma regular hexagonal es el triple del lado de base. Siendo el 
perímetro de base igual a 4 m, calcular el área lateral. 
𝑨) 𝟖 𝒎𝟐 𝐵) 4 𝑚2 𝐶) 16 𝑚2 𝐷) 12 𝑚2 𝐸) 18 𝑚2 
 
8) La altura de un prisma regular cuadrangular mide 2,40 m. Siendo el área lateral 
igual a 24 𝑚2, calcular el área total. 
𝐴) 6,25 𝑚2 𝐵) 13,50 𝑚2 𝑪) 𝟑𝟔, 𝟓𝟎 𝒎𝟐 𝐷) 48 𝑚2 𝐸) 73 𝑚2 
 
9) La altura de un prisma recto triangular mide 25 cm. Siendo los lados de base 
iguales a 4,50 cm; 6 cm y 7,50 cm, calcular el área total. 
𝐴) 450 𝑐𝑚2 𝐵) 225 𝑐𝑚2 𝐶) 150 𝑐𝑚2 𝐷) 540 𝑐𝑚2 𝑬) 𝟒𝟕𝟕 𝒄𝒎𝟐 
 
10) La diagonal de una de las caras de un cubo mide 7√2 m. Calcular el área total. 
A) 𝟐𝟗𝟒 𝒎𝟐 B) 249 𝑚2 C) 429 𝑚2 D) 492 𝑚2 E) 196 𝑚2 
 
11) Las áreas lateral y total de un paralelepípedo rectángulo son iguales a 420 𝑚2 y 
516 𝑚2, respectivamente. Calcular el área de una base. 
A) 96 𝑚2 B) 36 𝑚2 C) 60 𝑚2 D) 30 𝑚2 E) 𝟒𝟖 𝒎𝟐. 
 
12) La diagonal de un cubo mide 6√3 cm. Calcular el área total. 
A) 144 𝑐𝑚2 B) 72 𝑐𝑚2 C) 𝟐𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 D) 432 𝑐𝑚2 E) 72√3 𝑐𝑚2 
 
13) Calcular el área total de un paralelepípedo rectángulo de 85 cm de largo, 70 cm 
de ancho y 180 cm de alto. 
A) 55.800 𝑐𝑚2 B) 58.500 𝑐𝑚2 C) 59.500 𝑐𝑚2. D) 𝟔𝟕. 𝟕𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 E) 6.770 𝑐𝑚2 
 
 
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14) La altura de un prisma regular cuadrangular mide 1,5 dm. Siendo la diagonal 
del cuadrado de base igual a √2 dm, calcular el área total. 
𝐴) 6 𝑑𝑚2 𝐵) 10 𝑑𝑚2 𝐶) 4 𝑑𝑚2 𝑫) 𝟖 𝒅𝒎𝟐 𝐸) 12 𝑑𝑚2 
 
15) La altura de un prisma recto triangular mide 12 dm. Siendo los lados de base 
iguales a 10 dm, 8 dm y 6 dm, calcular el volumen. 
𝑨) 𝟐𝟖𝟖 𝒅𝒎𝟑 𝐵) 96 𝑑𝑚3 𝐶) 144 𝑑𝑚3 𝐷) 480 𝑑𝑚3 𝐸) 828 𝑑𝑚3 
 
16) La altura de un prisma recto mide 30 cm. Siendo el lado y la diagonal menor del 
rombo de base iguales respectivamente a 5 cm y 6 cm, calcular el volumen. 
𝐴) 1440 𝑐𝑚3 𝑩) 𝟕𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟑 𝐶) 480 𝑐𝑚3 𝐷) 960 𝑐𝑚3 𝐸) 360 𝑐𝑚3 
 
17) La altura de un prisma regular hexagonal mide 10 cm. Siendo la apotema de 
base igual a 3 cm, calcular el volumen. 
𝐴) 10√3 𝑐𝑚3 𝐵) 20√3 𝑐𝑚3 𝑪) 𝟏𝟖𝟎√𝟑 𝒄𝒎𝟑 𝐷) 30 𝑐𝑚
3 𝐸) 10 𝑐𝑚3 
 
18) La altura de un prisma regular cuadrangular mide 15 dm. Siendo la diagonal 
de base igual a 4√2 dm, calcular el volumen. 
𝐴) 80 𝑑𝑚3 𝐵) 60 𝑑𝑚3 𝐶) 120 𝑑𝑚3 𝐷) 360 𝑑𝑚3 𝑬) 𝟐𝟒𝟎 𝒅𝒎𝟑 
 
19) Un depósito, cuya forma es la de un prisma regular cuadrangular, tiene 2,50 m 
de altura. Calcular la capacidad del depósito, siendo el perímetro de base igual 
a 8 m. 
𝐴) 12000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐵) 11000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐶) 9000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑫) 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝐸) 10500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
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20) Un recipiente, cuya forma es la de un paralelepípedo rectángulo, tiene 2,10 m 
de diagonal. Calcular la capacidad del recipiente, siendo las dimensiones de 
base iguales a 1,80 m y 0,90 m. 
𝑨) 𝟗𝟕𝟐 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝐵) 3402 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐶) 4302 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐷) 927 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐸) 3204 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
21) El volumen de un prisma regular triangular es igual a 
7√3
8
 dm3. Calcular el área 
lateral del prisma, siendo la altura igual a 2,24 dm. 
𝐴) 4,80 𝑑𝑚2 𝐵) 1,60 𝑑𝑚2 𝑪) 𝟖, 𝟒𝟎 𝒅𝒎𝟐 𝐷) 4,20 𝑑𝑚2 𝐸) 2,80 𝑑𝑚2 
 
22) El volumen de un prisma regular cuadrangular es igual a 45 m3. Calcular el 
área total del prisma, siendo la altura igual a 5 m. 
𝐴) 60 𝑚2 𝐵) 30 𝑚2 𝐶) 69 𝑚2 𝑫) 𝟕𝟖 𝒎𝟐 𝐸) 120 𝑚2 
 
23) La diagonal de un cubo mide √3 𝑑𝑚. Calcular el volumen. 
𝐴) √3 𝑑𝑚3 𝐵) 3 𝑑𝑚
3 𝐶) 1,5 𝑑𝑚3 𝐷) 6 𝑑𝑚3 𝑬) 𝟏 𝒅𝒎𝟑 
 
24) El área de la base de una pirámide regular cuadrangular mide 3600 cm2. 
Siendo la altura igual a 40 cm, calcular el área lateral. 
𝐴) 600 𝑐𝑚2 𝑩) 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐶) 90000 𝑐𝑚2 𝐷) 9000 𝑐𝑚2 𝐸) 2000 𝑐𝑚2 
 
25) El perímetro de la base de una pirámide regular cuadrangular mide 120 cm. 
Siendo la altura igual a 20 cm, calcular el área lateral. 
𝐴) 1200 𝑐𝑚2 𝐵) 120 𝑐𝑚2 𝑪) 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐷) 150 𝑐𝑚2 𝐸) 3000 𝑐𝑚2 
 
 
 
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26) La apotema de una pirámide regular triangular mide 12 dm. Calcular el área 
lateral, siendo el área de la base igual a 4√3 𝑑𝑚2. 
𝐴) 144 𝑑𝑚2 𝐵) 36 𝑑𝑚2 𝐶) 12√3 𝑑𝑚2 𝐷) 40√3 𝑑𝑚2 𝑬) 𝟕𝟐 𝒅𝒎
𝟐 
 
27) La apotema de una pirámide regular hexagonal mide 10 dm. Siendo el lado de 
la base igual a 0,50 dm, calcular el área lateral. 
𝑨) 𝟏𝟓 𝒅𝒎𝟐 𝐵) 30 𝑑𝑚2 𝐶) 7,50 𝑑𝑚2 𝐷) 20 𝑑𝑚2 𝐸) 10 𝑑𝑚2 
 
28) La altura de una pirámide regular triangular mide 24 dm. Siendo la apotema de 
la base igual a 7 dm, calcular el área lateral. 
𝐴) 525 𝑑𝑚2 𝐵) 672 𝑑𝑚2 𝐶) 52√3 𝑑𝑚2 𝑫) 𝟓𝟐𝟓√𝟑 𝒅𝒎𝟐 𝐸) 1050√3 𝑑𝑚2 
 
29) La apotema de una pirámide regular hexagonal mide 29 m. Siendo la apotema 
de la base igual a 20 m, calcular el área lateral. 
𝐴) 1160 𝑚2 𝐵) 2320 𝑚2 𝑪) 𝟏𝟏𝟔𝟎√𝟑 𝒎𝟐 𝐷) 2320√3 𝑚2 𝐸) 116√3 𝑚2 
 
30) La apotema de una pirámide regular cuadrangular mide 85 cm. Siendo la altura 
igual a 84 cm, calcular el área lateral. 
𝐴) 4368 𝑐𝑚2 𝑩) 𝟒𝟒𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝐶) 442 𝑐𝑚2 𝐷) 4240 𝑐𝑚2 𝐸) 4638 𝑐𝑚2 
 
31) El lado de la base de una pirámide regular cuadrangular mide 50 m. Siendo la 
arista lateral igual a 65 m, calcular el área total. 
𝐴) 6000 𝑚2 𝐵) 2500 𝑚2 𝐶) 11000 𝑚2 𝐷) 5880 𝑚2 𝑬) 𝟖𝟓𝟎𝟎 𝒎𝟐 
 
 
 
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32) La altura de una pirámide regular hexagonal mide 40 dm. Siendo la apotema de 
la base igual a 9 dm, calcular el área total. 
𝑨) 𝟗𝟎𝟎√𝟑 𝒅𝒎𝟐 𝐵) 738√3 𝑑𝑚2 𝐶) 900 𝑑𝑚
2 𝐷) 738 𝑑𝑚2 𝐸) 1062√3 𝑑𝑚2 
 
33) La arista lateral y el lado de la base de una pirámide regular cuadrangular 
miden √41 cm y 8 cm, respectivamente. Calcular el área total 
𝐴) 80 𝑐𝑚2 𝐵)160 𝑐𝑚2 𝑪) 𝟏𝟒𝟒 𝒄𝒎𝟐 𝐷) 169 𝑐𝑚2 𝐸) 120 𝑐𝑚2 
 
34) Una pirámide regular cuadrangular y un prisma recto tienen la misma base e 
igual altura. Sabiendo que el área lateral de la pirámide es los 
2
3
 del área 
lateral del prisma y que el lado de base es igual a 4 m, calcular la altura. 
𝐴) 
√7
7
𝑚 𝐵) √7 𝑚 𝐶) 6√7 𝑚 𝐷) 
6
7
𝑚 𝑬) 
𝟔√𝟕
𝟕
𝒎 
 
35) La apotema de una pirámide regular cuadrangular mide 17 m. Siendo la 
apotema de la base igual a 8 m, calcular el volumen. 
𝐴) 3840 𝑚3 𝐵) 4830 𝑚3 𝐶) 1820 𝑚3 𝑫) 𝟏𝟐𝟖𝟎 𝒎𝟑 𝐸) 280 𝑚3 
 
36) La apotema de una pirámide regular cuadrangular mide 61 m. Siendo el 
perímetro de la base igual a 88 m, calcular el volumen. 
𝑨) 𝟗𝟔𝟖𝟎 𝒎𝟑 𝐵) 9841 𝑚3 𝐶) 9842 𝑚3 𝐷) 9860 𝑚3 𝐸) 9481 𝑚3 
 
37) La apotema de una pirámide regular cuadrangular mide 26 cm. Siendo el área 
de la base igual a 400 cm², calcular el volumen. 
𝐴)3466 𝑐𝑚3 𝐵) 3467 𝑐𝑚3 𝐶) 3020 𝑐𝑚3 𝑫) 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 𝐸) 9600 𝑐𝑚3 
 
 
 
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38) La apotema de una pirámide regular triangular mide 50 cm. Siendo la apotema 
de la base igual a 14 cm, calcular el volumen. 
𝐴) 28224√3 𝑐𝑚3 𝐵) 9804√3 𝑐𝑚3 𝑪) 𝟗𝟒𝟎𝟖√𝟑 𝒅𝒎𝟑 𝐷) 9408 𝑐𝑚
3 𝐸) 9048 𝑐𝑚3 
 
39) La altura de una pirámide regular hexagonal mide 40 dm. Siendo la apotema de 
la base igual a 9 dm, calcular el volumen. 
𝐴) 2214√3 𝑑𝑚3 𝑩) 𝟐𝟏𝟔𝟎√𝟑 𝒅𝒎𝟑 𝐶) 2160 𝑑𝑚
3 𝐷) 6480√3 𝑑𝑚3 𝐸) 2214 𝑑𝑚
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía: 
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Trigonometría/– 3ra. Reimpresión. - - México: Cultural, 1985. – – 514 p 
Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R., Giovanni Jr, J. R., & Acosta Duarte, R. (1998). 
Matemática Fundamental. Tomo único. Saö Paulo: FTD S.A. 
Pujol, F. V., Sánchez, Raimundo (2017). Matemática Práctica I. Aritmética, Álgebra, 
Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Asunción 
Galdós L. Matemática Galdós. Edición MMVIII. Cultural SA. Madrid. España. 
Ángel P. Secchia, Severino B. Montiel. - Problemas de geometrías: Geometría del 
espacio / - Asunción: Comuneros ,1979. - - 106 p. 
Ángel P. Secchia, Severino B Montiel. - Problemas de geometría: geometría plana /- 
Asunción: 1980. - -152 p. 
Webgrafía: 
https://matematica.laguia2000.com/general/area-de-figuras-
planas#:~:text=La%20medida%20de%20las%20superficies,de%20medida%20que%
20denominamos%20superficiales.&text=El%20%C3%A1rea%20de%20un%20cuadr
ado,lado%20multiplicado%20por%20si%20mismo. 
https://www.portaleducativo.net/ http://iesalmadraba.org/dibujo/dt1/geometria-
descriptiva/diedrico/solidos-y-superficies/prismas-y-piramides/ 
https://sites.google.com/site/geometriaanalaura/introducion/1-10-clasificacion-
de-prismas-y-piramides-poliedros 
 
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Prof. Lic. Fredys Osmar Torres Ojeda 
Responsables del contenido Prof. Lic. Alice Leguizamón Jara 
Responsable de la revisión Prof. Lic. Simón Francisco Ruiz Diaz Vicezar 
Responsable de la corrección Prof. Lic. Lucia Helman de Morales 
 
 
 
https://matematica.laguia2000.com/general/area-de-figuras-planas#:~:text=La%20medida%20de%20las%20superficies,de%20medida%20que%20denominamos%20superficiales.&text=El%20%C3%A1rea%20de%20un%20cuadrado,lado%20multiplicado%20por%20si%20mismo
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http://iesalmadraba.org/dibujo/dt1/geometria-descriptiva/diedrico/solidos-y-superficies/prismas-y-piramides/
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