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Asociación Española de XVIII CONGRESO NACIONAL 
 Ingeniería Mecánica DE INGENIERÍA MECÁNICA 
 
Identificación de parámetros cinemáticos de una plataforma 
paralela pan-tilt basada en cinemática inversa y directa 
A.C. Majarena, J. Santolaria, D. Samper, J.J. Aguilar 
Dpto. Ingeniería de diseño y Fabricación. Universidad de Zaragoza 
majarena@unizar.es 
Resumen 
En este trabajo se presenta un nuevo algoritmo que permite realizar la identificación de parámetros de una 
plataforma de cinemática paralela, con dos grados de libertad giratorios, a partir de la cinemática inversa y 
directa. En una primera etapa se desarrolla el modelo cinemático del mecanismo que relaciona la posición y 
orientación de la plataforma móvil con las variables de articulación y los parámetros geométricos. A partir de 
los ángulos pan-tilt que gira la plataforma, se obtiene la elongación de los actuadores mediante cinemática 
inversa. Conocida la elongación de los actuadores, la resolución del modelo cinemático directo, basado en el 
método de Denavit- Hartenberg (D-H), permite obtener la posición y orientación de la plataforma. 
Posteriormente se desarrolla la etapa de optimización en dos fases. En primer lugar, se realiza la captura de 
datos. Para ello, se fijan tres esferas patrón a la plataforma móvil, y se mide la localización de dichas esferas, 
mediante una máquina de medir por coordenadas (MMC), para cada posición especificada de la zona de 
trabajo. El paso siguiente consiste en la optimización de los parámetros geométricos, con el fin de minimizar el 
error de orientación y posicionamiento de la plataforma, mediante la minimización de la función objetivo. El 
sistema de ecuaciones no lineal, obtenido en el desarrollo del modelo cinemático directo, debe resolverse para 
cada combinación de parámetros geométricos, en cada posición de la plataforma. Para ello se utiliza el método 
de Levenberg-Marquardt. La aplicación del nuevo algoritmo permitirá aumentar la precisión en la obtención de 
la posición y orientación de la plataforma. 
 
INTRODUCCIÓN 
En los últimos años, se ha producido un rápido desarrollo en los sistemas de metrología dimensional de alto 
rango. Los sistemas desarrollados para la verificación de piezas de grandes dimensiones, como los existentes en 
los sectores aeronáutico, espacial o naval, por ejemplo el láser tracker, son muy costosos. 
Los sistemas de cinemática paralela, basados en la plataforma de Stewart [1], son mecanismos de cadena 
cerrada, en los cuales la plataforma móvil se une a la base por dos ó más cadenas cinemáticas independientes. 
Estos sistemas ofrecen considerables ventajas frente a cargas elevadas, velocidad y rigidez. Sin embargo, el 
modelo cinemático directo es difícil de obtener, así como el análisis de las singularidades del sistema. La zona de 
trabajo es limitada y su cálculo no es sencillo. 
Los mecanismos paralelos se han estudiado ampliamente. Sin embargo, existen pocas investigaciones que hayan 
centrado su atención en mecanismos paralelos de dos grados de libertad espaciales, ya que para conseguir 
únicamente dos grados de libertad es necesario añadir una tercera cadena que permita restringir el movimiento 
del sistema. 
Una vez obtenido el modelo cinemático, el paso siguiente es la optimización o calibración del sistema. La 
calibración de robots consiste en identificar los parámetros geométricos para mejorar la precisión del modelo. En 
los mecanismos paralelos, el objetivo es reducir el error de posicionamiento del efector final a través de una 
identificación precisa de los parámetros cinemáticos. Este procedimiento nos permite obtener modelos de 
corrección para establecer correcciones en los resultados de las mediciones. Además, el procedimiento de 
calibración cuantifica los efectos de las variables de influencia en la medida final. Los pasos para conseguir este 
objetivo se pueden dividir en cinco fases: determinación del modelo cinemático a través de ecuaciones no 
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lineales, adquisición de datos, optimización o identificación de parámetros geométricos, evaluación del modelo e 
identificación de las fuentes de error e implementación de modelos de corrección. 
En [2], Everett pone de manifiesto las diferencias existentes entre los métodos de calibración para los 
mecanismos en serie y para los mecanismos paralelos. Si bien en ambos casos, el objetivo del procedimiento de 
calibración es minimizar el error entre la posición medida de la plataforma móvil y la posición calculada, en los 
mecanismos paralelos se debe tener especial cuidado, ya que no es posible elegir los parámetros del modelo 
libremente, debido principalmente a que algunos parámetros son interdependientes unos con otros al pertenecer a 
una cadena cerrada. Esta característica de los robots paralelos requiere dos tipos de ecuaciones en el método de 
calibración. Por un lado transformaciones que relacionen la localización del efector final con el sistema de 
referencia de la placa fija o base, mediante cadenas cinemáticas de lazo abierto y por otro transformaciones de 
lazo cerrado que contengan las restricciones impuestas por las cadenas de lazo cerrado. 
Una clasificación muy extendida en la calibración cinemática de los robots paralelos es la presentada por Merlet 
en [3]. En ella se clasifican los modelos de calibración de este segundo nivel en tres tipos: calibración externa, 
calibración con restricciones y auto-calibración. 
Aunque la forma más sencilla de obtener la información necesaria mediante mediciones es utilizar sensores 
internos, en la mayoría de los mecanismos, es difícil su instalación. En los métodos de auto-calibración se 
añaden sensores adicionales en las articulaciones pasivas y cada posición del mecanismo se puede utilizar como 
posición de calibración. Estos métodos requieren que el número de sensores internos sea mayor que el número 
de grados de libertad del mecanismo. Los métodos de calibración con restricciones disminuyen el número de 
grados de libertad del mecanismo restringiendo el movimiento del efector final o la movilidad de alguna 
articulación. La movilidad del mecanismo se restringe durante la calibración, por lo que algunos parámetros 
geométricos permanecerán constantes durante este proceso. Estos métodos son más económicos que la 
calibración externa, pero por el contrario, es más complicado de realizar que la auto-calibración. Otro de los 
inconvenientes es la imposibilidad de utilizar toda la zona de trabajo, en la mayoría de los casos, ya que la 
movilidad del mecanismo está restringida, y suele ser un método menos preciso que los otros dos métodos de 
calibración. Sin embargo, tampoco suele ser sencillo en la práctica añadir sensores redundantes adicionales o 
restricciones, por lo que el método de calibración más utilizado es la calibración externa, en la que se obtiene la 
información necesaria mediante utilización de equipos externos de medición como la máquina de medir por 
coordenadas, el láser tracker, teodolitos [4] o equipos de visión [5]. 
Una vez que se han recogido los datos necesarios, la fase siguiente será identificar los parámetros cinemáticos 
para construir la función objetivo a maximizar o minimizar. Posteriormente, se determinarán los valores de los 
parámetros que proporcionen el valor óptimo de la función. La función objetivo a minimizar se puede formular 
en términos de un problema de mínimos cuadrados lineal. El incremento fijado para los parámetros se debe 
definir para cada iteración y su valor dependerá del método de optimización utilizado. 
El método más utilizado para resolver este tipo de problemas es el método desarrollado por Levenberg y 
Marquardt [6].Así por ejemplo, en la literatura especializada se encuentran numerosos ejemplos de su 
utilización [5,7]. 
MODELO CINEMÁTICO 
La cinemática de un sistema relaciona las variables de articulación y la posición y orientación de la plataforma. 
El modelo cinemático directo (DKM) permite calcular la posición y orientación de la plataforma a partir de unos 
valores de las variables articulares, según la Ec. (1). 
),..,(]',,,,,[ 1 nqqgzyx  (1) 
Su resolución con métodos analíticos es compleja, ya que las cadenas comparten las mismas incógnitas, por lo 
que los métodos más apropiados para su resolución suelen ser numéricos. Sin embargo, para sistemas con dos 
grados de libertad (dof), puede resultar más sencillo y más eficiente obtener una solución geométrica o analítica. 
Merlet [8] propone la utilización de sensores para la resolución del modelo directo. 
El modelo cinemático inverso (IKM) permite calcular las variables de articulación del sistema (tales como la 
elongación de los actuadores), dadas por (q1,, .., qn), para una determinada posición espacial (x, y, z, α, , ) de la 
plataforma, según la Ec. (2). 
Identificación de parámetros cinemáticos de una plataforma paralela pan-tilt basada en cinemática… 3 
),,,,,( zyxfq kk  con 1..k n (2) 
Para mecanismos de cadena cerrada, la cinemática inversa se puede resolver mediante métodos geométricos, 
analíticos y métodos numéricos como el algoritmo de Newton-Raphson. Los métodos geométricos se pueden 
utilizar en sistemas sencillos y el último método es muy sensible a la posición inicial introducida en el algoritmo. 
Por lo que si dicha posición no es cercana a la solución del sistema el algoritmo no converge. 
El desarrollo del modelo cinemático del mecanismo nos permitirá calcular la elongación necesaria de los 
actuadores, para que la plataforma pueda describir giros con ángulos de azimut de 1 = ± 45º y de 2 = ± 30º en el 
giro de elevación, respecto de la configuración nominal (Fig. (1a)). Para ello se han realizado los pasos que se 
describen a continuación. 
Cálculo de la posición y de la orientación de la placa móvil 
En el sistema diseñado (ver Fig. (1a)), el primer paso será obtener los valores de la posición y orientación de la 
plataforma (x, y, z, α, , ) a partir de los giros φ1 (azimut) y φ2 (elevación) conocidos. En el sistema diseñado se 
define cadena 1, la cadena que contiene la articulación universal, cadena 2, la cadena que contiene el actuador 
de la izquierda y cadena 3, la que contiene el actuador de la derecha (Fig. (1b)). La matriz de transformación se 
obtiene utilizando el método de Denavit-Hartenberg (D-H) y aplicando el modelo directo a la cadena 1. Esta 
matriz permite expresar las coordenadas de la plataforma en el sistema de referencia de la base (sistema de 
referencia B). El método de D-H es completo, equivalente y proporcional para la configuración de diseño ya que 
no introduce parámetros redundantes y no presenta indeterminaciones. La Fig. (1b) muestra las rotaciones y 
translaciones del sistema así como los sistemas de referencia utilizados para calcular las matrices de 
transformación y la Fig. (1c) la geometría de la plataforma. 
 
(a) (b) (c) 
Fig. 1. Plataforma paralela: (a) Plataforma pan- tilt de 2 dof. (b) Sistemas de referencia del mecanismo de 
cinemática paralela. (c) Geometría de la plataforma paralela. 
Aplicando D-H a la cadena 1, se obtiene la Ec. (3): 
1 17 8
17 8 9
B B
AT T T T   (3) 
donde TB17 viene dada por las coordenadas del punto 17 en el sistema de referencia B. 
Las matrices 
17
8T y 
8
9T se obtienen a partir de los parámetros de D-H, como se explica en trabajos previos [9]. 
Y TA
9
viene dada por las coordenadas del punto 9 en el sistema de referencia A. La matriz resultante, 
1B
AT , es 
función de los parámetros φ1 y φ2, datos de nuestro sistema. 
La matriz de transformación que permite obtener las coordenadas del centro de la plataforma móvil, [Ax , Ay , 
Az], en el sistema de referencia de la base viene dada por la Ec. (4): 
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2
0 0 0 1
B
A
cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos x
sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos y
T
sin cos sin cos cos z
           
           
    
                           
 
(4) 
E igualando las Ecs. (3) y (4), se obtienen las coordenadas (x, y, z, α, , ): 
1
2
0
0
238.63
90º
x
y
z

 

                             
 
Cálculo de la elongación de los actuadores 
Conocida la posición y orientación de la plataforma, el paso siguiente es obtener la elongación de cada actuador. 
Para ello se aplicará el modelo inverso a las cadenas 2 y 3 de forma independiente, considerando que se debe 
alcanzar la posición final de la plataforma por las dos cadenas. 
El análisis de la cadena 2 proporciona la matriz de transformación representada en la Ec. (5): 
1 0 3 4 7
0 3 4 7
B B
A AT T T T T T     (5) 
donde TB0 viene dada por las coordenadas del punto 0 y las matrices 
0
3T ,
3
4T ,
4
7T se obtienen a partir de los 
parámetros de D-H, como se detalla en [9]. 
0 0 1 2
3 1 2 3T T T T   (6) 
4 4 5 6
7 5 6 7T T T T   (7) 
Igualando las Ecs. (4) y (5) se obtienen las incógnitas del sistema, L1 y θ1 .. θ6. El problema de cinemática 
inversa se puede resolver analíticamente. Por ejemplo, se pueden utilizar los términos de la columna cuarta en 
esta igualdad para obtener L1, θ1 y θ2. Denominando {X1, Y1, Z1, 1}T a la columna cuarta de la matriz 
2TBA , y 
resolviendo el sistema se obtiene: 
 111 ,2tan XYa (8)  1112 sin,2tan   ZYa (9) 
2
1
1
cos
Z
L 
 
(10) 
Para )
2
1
(2  m , con m  , la Ec. (10) no tiene solución, pero estas situaciones están fuera de nuestro 
rango de trabajo. 
El procedimiento para el cálculo de los parámetros L2, θ7.. θ12, pertenecientes a la cadena 3, es idéntico al 
descrito para la cadena 2, sustituyendo las longitudes L3 por L4 y L5 por L6, con el signo correspondiente. 
OPTIMIZACIÓN DE LA PLAT AFORMA PARALELA PAN-TILT 
Una vez obtenido el modelo cinemático que relaciona las variables de articulación con la posición y orientación 
del efector final de la plataforma y los valores iniciales de los parámetros geométricos nominales, se debe 
realizar la optimización de la plataforma. 
Identificación de parámetros cinemáticos de una plataforma paralela pan-tilt basada en cinemática… 5 
Adquisición de datos 
El método seleccionado para la calibración de la plataforma es la calibración externa mediante la máquina de 
medir por coordenadas (MMC). Para ello se fijan tres esferas patrón sobre la superficie de la placa móvil y se 
mide la localización de dichas esferas mediante la MMC para cada posición especificada de la zona de trabajo, 
como se muestra en la Fig. (2a). 
 
(a) (b) 
Fig. 2. Adquisición de datos mediante la MMC: (a) Medición de las 3 esferas. (b) Matriz de transformación que 
expresa los centros de las esferas en el SRB. 
Para cada posición de análisis, se ejecuta la orden de mover los actuadores mediante un programa de control. En 
ese momento se obtiene la lectura de los sensores lineales, L1_encoder y L2_encoder, y se realiza la medición de las 
esferas patrón mediante la MMC. Esta medición permitirá hallar los centros de las esferas patrón respecto del 
sistema de referencia B, situado en la base (ver Fig. (2b)), obteniendo, de esta manera, la posición y orientación 
de la plataforma respecto del sistema de referencia B. Utilizando una matriz de transformación, se pueden 
calcular fácilmente las coordenadas nominales respecto del sistema de referencia B, Dnom=[(x, y, z, , ,)], 
como se detalla en la Ec. (6): 
1
1 2
B
AT M M
 
 
(6) 
Identificación de los parámetros cinemáticos 
El paso siguiente consiste en la optimización de los parámetros geométricos, con el fin de minimizar el error de 
orientación y posicionamiento de la plataforma, Ei, donde el subíndice i representa la posición de la plataforma. 
El sistema de ecuaciones no lineal, obtenido en el desarrollo del modelo cinemático directo, debe resolverse para 
cada combinación de parámetros geométricos, en cada posición de la plataforma. La función objetivo que 
permite minimizar el error Ei se obtiene al comparar los valores nominales obtenidos a partir de la medición de 
las esferas patrón, Dnom=[x, y, z, α, , ]nom con los valores de posición y orientación de la plataforma calculados 
mediante el modelo cinemático, DDH=[x, y, z, α, , ]DH. 
La función objetivo que se utiliza para realizar la calibración basada en la cinemática directa, viene representada 
por la Ec. (7): 
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1
( ( , )) ( ( , ))
n
T
i i i i
i
y f p y f p  

   (7) 
En esta ecuación, iy viene dado por el vector de valores de posición y orientación nominales para cada una de 
las n configuraciones contempladas en la identificación de parámetros. En cada una de ellas se obtendrá el valor 
de la posición y orientación de la placa móvil mediante el modelo del mecanismo, dado por f , para los valores 
de variable de articulación, i , correspondientes a esa misma configuración. Esta ecuación representa la función 
objetivo a minimizar, cuyo valor se obtendrá en cada iteración como la suma de los cuadrados de los residuos 
para las n posiciones utilizadas en la identificación de los parámetros del mecanismo. La Ec. (7) se puede 
expresar: 
2 2 2 2 2 2
1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
i i ii i i i
n
m pi m pi m pi m pi m pi m pi
i
x x y y z z      

            (8) 
donde los valores con subíndice im son los valores medidos externamente o materializados mediante un patrón 
para cada posición, y los valores con subíndice ip son los valores calculados con el modelo matemático para 
cada una de las n posiciones de identificación. El conjunto de valores óptimos para el mecanismo será aquél que 
proporcione el mínimo de la función objetivo  . 
Al aplicar el modelo cinemático directo a las tres cadenas que componen la plataforma, introduciendo como 
entrada las lecturas de los encoders y los valores iniciales de los parámetros geométricos, se obtiene la posición y 
orientación de la misma mediante el modelo matemático, DDH=[(x, y, z, , , )], a partir de un algoritmo 
numérico basado en el método de Levenberg-Marquardt (L-M), ya que se dispone de un sistema de ecuaciones 
no lineal. En la resolución del sistema de ecuaciones, se obtienen los valores del vector x=[, , , x, y, z 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, φ1, φ2 ] para cada una de las posiciones de la plataforma analizadas. 
El valor de la solución inicial, para la primera posición de la plataforma, se determina mediante el valor obtenido 
para la posición y orientación de la misma, a partir de los ángulos 1 y 2. Para las siguientes posiciones, el valor 
inicial del algoritmo será la solución de la posición anterior. La optimización se realiza comparando las 
coordenadas de la plataforma obtenidas en la medición de las esferas patrón (coordenadas nominales) con las 
obtenidas mediante la aplicación del modelo cinemático directo (coordenadas teóricas) según la función objetivo 
definida por la Ec. (9) 
2
_
6
1
_ ))()(( mDmDE ijDH
m
ijnomj  (9) 
El algoritmo de optimización utilizado está basado en la minimización de esta función objetivo. De nuevo se 
aplicad el método de L-M, para obtener los parámetros geométricos óptimos para el modelado de la plataforma. 
En la Fig. (3) se muestra el algoritmo utilizado para la identificación de los parámetros cinemáticos: 
Como se puede observar en la Fig. (3), una vez calculado el valor del error cometido, expresado como la 
diferencia entre la posición nominal y la posición medida, el algoritmo comprueba si este valor es menor de la 
tolerancia permitida. En caso afirmativo, el programa proporcionará los valores de los parámetros cinemáticos, 
pero en caso contrario, el programa realizará una nueva iteración, en la que se volverá a calcular el modelo 
cinemático para todas las posiciones de configuración seleccionadas, hasta obtener errores con valor inferior a la 
tolerancia programada, permitiendo de esto modo alcanzar la precisión deseada en el posicionamiento de la 
plataforma. 
CONCLUSIONES 
En este trabajo se ha presentado un nuevo algoritmo que permite realizar la identificación de parámetros de una 
plataforma de cinemática paralela, con dos grados de libertad giratorios, a partir de la cinemática inversa y 
directa. En la primera etapa se ha desarrollado el modelo cinemático del mecanismo que relaciona la posición y 
orientación de la plataforma móvil con las variables de articulación y los parámetros geométricos. A partir de los 
ángulos pan-tilt que gira la plataforma, se obtiene la elongación de los actuadores mediante cinemática inversa. 
Conocida la elongación de los actuadores, la resolución del modelo cinemático directo, basado en el método de 
Denavit- Hartenberg (D-H), permite obtener la posición y orientación de la plataforma. Posteriormente se 
desarrolla la etapa de optimización en dos fases. En primer lugar, se ha realizado la captura de datos, midiendo la 
Identificación de parámetros cinemáticos de una plataforma paralela pan-tilt basada en cinemática… 7 
localización de tres esferas patrón que se hallan fijadas a la plataforma móvil, mediante una máquina de medir 
por coordenadas (MMC), para cada posición especificada de la zona de trabajo. A continuación se ha detallado 
el procedimiento para la optimización de los parámetros geométricos, con el fin de minimizar el error de 
orientación y posicionamiento de la plataforma, mediante la minimización de la función objetivo. El sistema de 
ecuaciones no lineal, obtenido en el desarrollo del modelo cinemático directo, debe resolverse para cada 
combinación de parámetros geométricos, en cada posición de la plataforma. Para ello se ha utilizado el método 
de Levenberg-Marquardt. El algoritmo desarrollado es fácilmente generalizable para cualquier mecanismo de 
cinemática paralela. La aplicación del nuevo algoritmo permitirá aumentar la precisión en la obtención de la 
posición y orientación de la plataforma. 
 
 
Fig. 3. Algoritmo desarrollado para la identificación de parámetros cinemáticos de una plataforma paralela 
pan-tilt 
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REFERENCIAS 
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Engineers Part C-Journal of Mechanical Engineering Science, 223 (2009). 
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AIP Conference Proceedings, (2009).