Complemento-Clase-8

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Complemento Clase 8 
Teorema de Rolle 
Sea una función continua en [𝑎; 𝑏] y derivable en (𝑎; 𝑏) tal que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) 
entonces ∃ 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) / 𝑓′(𝑐) = 0 
 
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Lo siguiente completa el ejemplo de la página 4 del pdf de Teoría de la Clase 8 
ENTONCES existe 𝑐 ∈ (−1; 1) / 𝑓′(𝑐) = 0 
𝑓′(𝑥) = {
−2𝑥 − 1 𝑥 < 0
2𝑥 − 1 𝑥 ≥ 0
 
 𝑓′(𝑥) = 0 
 𝑆𝑖 𝑥 < 0 
 
 𝑓′(𝑥) = 0 
 
−2𝑥 − 1 = 0 
 
𝑥 = −
1
2
∈ (−1; 0) 
𝑐 = −
1
2
 
 
𝑆𝑖 𝑥 ≥ 0 
 
 𝑓′(𝑥) = 0 
 
2𝑥 − 1 = 0 
 
𝑥 =
1
2
∈ [0; 1) 
𝑐 =
1
2
 
 
Respuesta: 
𝑐 = ±
1
2
 
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Ejemplo de la página 9 corregido 
Antes de comenzar recordemos que: 
lim
𝑥→+∞
[𝑒𝑥] = +∞ 
lim
𝑥→−∞
[𝑒𝑥] = 0 
 El límite a resolver es 
lim
𝑥→0
[𝑥2. 𝑒
1
𝑥] = 
Veamos si está o no indeterminado: 
• lim
𝑥→0+
[𝑥2. 𝑒
1
𝑥] = 0.+∞ 
 
• lim
𝑥→0−
[𝑥2. 𝑒
1
𝑥] = 0.0 = 0 
Calculamos el límite indeterminado, que sucede cuando 𝑥 → 0+ 
lim
𝑥→0+
[𝑥2. 𝑒
1
𝑥2] = 0.∞ 
lim
𝑥→0+
[𝑥2. 𝑒
1
𝑥2] = lim
𝑥→0+
[
𝑒
1
𝑥2
1
𝑥2
] =
∞
∞
 
lim
𝑥→0+
[
𝑒
1
𝑥2
1
𝑥2
] = lim
𝑥→0+
[
 
 
 (𝑒
1
𝑥2)
′
(
1
𝑥2
)
′
]
 
 
 
= 
(
1
𝑥2
)
′
= (𝑥−2)′ = −2. 𝑥−3 = −
2
𝑥3
 
(𝑒
1
𝑥2)
′
= 𝑒
1
𝑥2. (−
2
𝑥3
) 
= lim
𝑥→0+
𝑒
1
𝑥2. (−
2
𝑥3
)
−
2
𝑥3
= lim
𝑥→0+
[𝑒
1
𝑥2] = +∞ 
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Ejemplo extra del Teorema de Lagrange (con respuesta) 
 
Sea la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟗. Determinar si se cumple las condiciones del teorema de 
Lagrange en el intervalo [−𝟒; −𝟐] . De ser así hallar el punto 𝒄 que verifica la tesis y graficar. 
 
 
 
 
Respuestas: 
Punto que verifica la tesis 𝑐 = −3 
Ecuación de la recta tangente para luego graficar 𝑦 = −𝑥