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2	 REVISTA DE EDUCACIÓN
hombre que forjó la mente griega y puso de nuevo
en vigencia el Humanismo renacentista, con preten-
siones de validez para todos los tiempos y para todos
los países.
Una dialéctica constante, bien que no explícita siem-
pre, de este módulo filosófico con la concepción cris-
tiana del hombre y del mundo, no ha servido, en la
mayor parte de los casos, sino para que esta última
se bata en retirada, acusada por los representantes
del humanismo greco-latino de inmiscuirse en un te-
rreno dond,e sólo pueden alzar su voz la "filosofía"
o la "cultura", una filosofía y una cultura previa-
mente despojadas de toda significación religiosa, se-
gún convenía al giro que el humanismo tomó desde
sus orígenes. Nada más falso que la afirmación, pon-
tif icada por Emilio Brehier, de que no existe una "fi-
losofía cristiana"; sin embargo, los arrastres "laicos"
del cliché cultural griego, casi incólumes a través de
veinte siglos de Cristianismo, han difundido por do-
quier una idea del hombre, un humanismo, en no po-
cos puntos opuesto a la cosmovisión evangélica.
En los antípodas de este horizonte, pero relacio-
nado con él, el materialismo histórico eleva una nue-
va fe sin Dios, según la cual el hombre se basta a si
mismo, y para que surja su reino no hace falta más
que protegerle contra toda clase de "alienaciones",
desde la provocada por la dependencia económica,
hasta la debida a las supersticiones "místicas", com-
batidas por Sartre con un empeño crítico que bas-
taría para poner pavor en el ánimo de quien intente
hacer de la razón una categoría inapelable. (Una ra-
zón, claro es, nuda y desangelada.) El que tales cons-
trucciones evidencien la indigencia filosófica de nues-
tra época atormentada no nos releva de la obligación
de recusarlas formalmente en nombre de conviccio-
nes mejor establecidas.
Del lado de una Filosofía de la Cultura que aho-
ra comienza a ensanchar sus perspectivas, conven-
dría determinar las aportaciones positivas que pode-
mos recibir de humanismos distintos del griego y, a
primera vista, inferiores a él. Me refiero al mensaje
de Oriente, cada día mejor conocido y que puede adu-
cir algunas matizaciones al concepto y empleo de un
"logos" no siempre exento de peligros ni, por consi-
guiente, sobrado de limitaciones. Es posible que esté
aquí, en este "abuso de la razón", la causa primordial
de da revisión que el humanismo necesita, al decir de
muchos de sus impugnadores. Oriente podría, acaso,
poner sordina a la embriaguez de una inteligencia
que desearía imperar en única instancia, sorda tanto
a los llamamientos de la afectividad (las "raisons de
coeur", de Pascal), como a los postulados y derechos
de la Revelación.
De cualquier modo, el concepto del hombre da rum-
bo y tono a la reflexión pedagógica. Si está en crisis
la educación no es porque planes nuevos o remenda-
dos puedan eliminar o zurcir rasgaduras mucho más
hondas, sino porque está virando la idea que el hom-
bre tiene de si mismo. La crisis del humanismo no
tiene otro sentido.
He aquí por qué entiendo, señor Redactor Jefe,
que, por encima de cualquier detalle metodológico,
convendría entablar un diálogo amplio y sereno so-
bre las rectificaciones que nuestro tiempo postula en
el concepto, acaso excesivamente filológico e intelec-
tualista, que del hombre tenía el humanismo del Re-
nacimiento. Los riesgos y venturas del pensamiento
y de la historia en. los últimos cinco siglos, ¡ justifi-
carán una modificación, una refutación, un enriqueci-
miento de este venerable canon, formulado cuando el
hombre no tenía ante sí los problemas que ahora nos
conturban?
Me inclino a afirmar que se trata de uno de los
"temas mayores" que la reflexión pedagógica puede
abordar hoy. ¡Seria pedir demasiado de usted que
este tema se convierta en "cuestión disputada" du-
rante el próximo curso?
Un estudiante de filosofía, Sáenz Bernabé, acertó
a señalar, hace unos meses, un asunto que ha dado
lugar a notables esclarecimientos. Acogiéndome a su
benevolencia, le ruego dispense semejante acogida a
mi propuesta, efecto de la turbación que un estudian-
te de Pedagogía experimenta ante el panorama que
el pensamiento actual ofrece a quien desea hacerse
luz sobre los problemas educativos esenciales.
Con mi gratitud, es de usted affmo. amigo,
R. VICENTE SEPÜLVEDA.
Matemática, Historia,
Vida *Enseñanza y vida
HÁGASE LA LUZ...
Acabo de pulsar un botón para dar luz a mis cuar-
tillas. He aquí un acto inconsciente de los muchos
• Conferencia dada el 13 de diciembre de 1957 en el
Aula Magna de la Universidad de Valladolid por don
PEDRO PUIG ADA.M, catedrático de Matemáticas del Ins-
tituto de San Isidro y consejero de redacción de esta
Revista, con motivo de la clausura del cursillo de Me-
todología de las Matemáticas, organizado por las Escue-
las del Magisterio de dicha ciudad.
que realizamos todos los días sin preguntarnos cómo
se obra el "milagro" de que la luz responda a nues-
tra llamada.
Si en tiempos de Grecia, o todavía en los más mo-
dernos del Renacimiento, alguien se hubiese atrevi-
do a pronosticar la posibilidad de tal hecho, o de los
más "milagrosos" aún: ver desde Atenas los juegos
celebrándose en Olimpia, oír desde el mundo entero
la voz del Papa..., a buen seguro que sus contempo-
ráneos le hubiesen aislado por loco, o quemado vivo
por hereje. Y sin embargo vivimos estos milagros y
estamos tan familiarizados con ellos que ya no nos
sobrecogen. Repetimos su realización todos los días
sin más que eso: pulsar un botón distraídamente.
Tales "milagros" han sido ciertamente obra de si-
glos; obra a la que han aportado su remota contri-
bución tanto Grecia como el Renacimiento, como la
humanidad entera en todas las épocas de floración
MATEMÁTICA, HISTORIA, ENSEÑANZA Y VIDA 	 3
del pensamiento; porque es obra de esencial fecun-
dación matemática.
Si comparamos las condiciones de vida de la hu-
manidad hasta el siglo XVIII con las de ahora, si se
piensa que todavía un Newton, un Leibniz hubieron
de escribir sus obras a la luz de candiles como los
griegos, de viajar como éstos arrastrados por fuer-
za animal, de vivir, en definitiva, en condiciones que
no diferían grandemente del confort que pudieran te-
ner las más grandes civilizaciones (griega, egipcia,
babilonia), nos daremos cuenta de que es precisa-
mente del cálculo infinitesimal, creado por ellos, de
donde arranca la domesticación de las fuerzas natu-
rales por el hombre, hasta traerlas y llevarlas en
ayuda de su comodidad y bienestar.
PULSANDO BOTONES Y PALANCAS.
Pulsando botones y palancas nos iluminamos hoy,
nos desplazamos con rapidez vertiginosa, transmiti-
mos mensajes, oímos voces y vemos imágenes leja-
nas y aún volvemos a reproducirlas a largo plazo a
tenor de nuestras apetencias evocadoras. Pensemos
que todo ello no sería posible si las correspondientes
técnicas de realización no hubieran apoyado en una
fuerte osamenta matemática.
El simple hecho de que en las dos bornas del en-
chufe de esta lámpara exista a mi disposición una di-
ferencia de potencial eléctrico dispuesta a conver-
tirse en energía de distinta clase (luminosa, calorí-
fica, mecánica, acústica...) según el aparato que a él
conecte (lámpara, estufa, ventilador, radio...), es ya
el resultado de un largo proceso de almacenamiento
y transformación que, iniciado en los embalses o cal-
deras, en las turbinas hidráulicas o de vapor, se con-
tinúa en los alternadores, en las lineas de alta ten-
sión, en las redes de baja, y en las estaciones trans-
formadoras de origen y término.
La realización de tales ingenios no sólo ha exigido
una larga y paciente experimentación de medios y
materiales, sino también la penetración profunda en
las leyes cuantitativas de los fenómenos físicos que
en ellos tienen lugar. Sólo así han podido proyec-
tarse en forma de que respondiesen a las óptimas con-
diciones de economía, perfección y rendimiento.
LAS ENTRAÑAS MATEMÁTICAS DEL "MILAGRO".
Pero para ello ha habido que esperar a que la Cien-
cia exacta estuviera en sazón, es decir, en condicio-nes de suministrarnos el instrumental matemático de
ataque preciso. Así resulta que los cálculos que im-
plica hoy el proyecto de una presa, de una central,
de una turbina, de un transformador, de una línea,
de una red, de un sistema de interconexiones..., están
tan erizados de matemática superior que los mismos
Newton, Leibniz, Gauss..., iniciadores de las teorías
matemáticas sobre las que se apoyan, tendrían un
poco trabajo en entenderlos si resucitaran.
Basta pensar, por ejemplo, en el planteamiento de
la transmisión en líneas mediante la ecuación en de-
rivadas parciales llamada de los telegrafistas; en la
utilización sistemática de funciones hiperbólicas en
el campo complejo para el estudio del régimen per-
manente; en el uso de la transformación de Laplace
para la integración de los sistemas de ecuaciones
diferenciales a que da lugar el difícil tratamiento
matemático del régimen transitorio (del que puede
depender la inutilización de una instalación en un
momento de sobrecarga accidental); en los comple-
jos fenómenos termodinámicos y de mecánica de
flúidos que hay que formular para estudiar el fun-
cionamiento de una turbina y para proyectar la for-
ma más adecuada de los alabes; en la esquematiza-
ción matemática cada vez más compleja de los ser-
vomecanismos que intervienen en la autorregulación
de una central, en las bases matemáticas necesarias
para un estudio estadístico del consumo o del con-
trol de calidad en la fabricación, por ejemplo, dE
bombillas como la que me alumbra, etc., etc.
Pues bien, en todo este vasto panorama de teo-
rías y aplicaciones matemáticas y en otras muchas
que para no cansarles me dejo a sabiendas sin des-
plegar, se funda la posibilidad teórica del hecho de
que al pulsar este botón, un haz haya iluminado ins-
tantáneamente mis cuartillas.
Y he querido partir precisamente del hecho co-
rriente e intrascendente de encender un portátil para
que, al comentarlo, surgiera aquí, desde el primer
momento, en un plano consciente, el trascendental
tributo que nuestro confort actual debe a la mate-
mática.
UNA REINA Y SIRVIENTA INCOMPRENDIDA.
Toda nuestra vida de hoy esta, sumergida en ella.
De puro esencial en nuestro vivir no percibimos la
sumisión con que nos sirve y la autoridad con que
al mismo tiempo nos gobierna. Sin embargo, la in-
mensa mayoría de las gentes sigue creyendo que
nuestra ciencia es un juego poco menos que inútil
al que se dedican cerebros soñadores, inadaptados a
la realidad, elaboradores de quimeras en su torre de
marfil. El vulgo sigue teniendo de las matemáticas
el mismo concepto que la vieja de la anécdota grie-
ga, que al ver a Thales de Máleto caerse a un foso
mientras contemplaba el firmamento, le increpó di-
ciendo: Cómo pretendéis enseñarnos lo que pasa
allá arriba si no veis siquiera lo que se halla a vues-
tros pies? La vieja de tal leyenda no podía, natural-
mente, prever que el conocimiento del movimiento
de los astros permitiría siglos después guiar a los
navegantes para descubrir nuevos continentes. Claro
es que sobre éstos se cebaría pronto la codicia de los
aventureros y traficantes de ultramar, hombres
"prácticos" que sin duda seguirían burlándose de los
esfuerzos que habían hecho posible el descubrimien-
to de las riquezas con que traficaban. La carencia de
perspectivas en el pasado y en el futuro, con que or-
dinariamente se actúa y se critica, es pecado de in-
comprensión que nosotros los incomprendidos debe-
mos ser los primeros en perdonar, pero también en
combatir.
Por esto, los que nos dedicamos con fervor a la en-
4	 REVISTA DE EDUCACIÓN
señanza de nuestra Ciencia, hemos de imponernos
como una de nuestras misiones, en cátedra y fuera
de ella, la de hacer ver a nuestros alumnos primero
y al cuerpo social después, hasta qué punto está con-
certada nuestra vida con la Matemática, despertan-
do así a las gentes de su error el creernos forjadores
de sueños estériles.
Dentro de esta línea intencional está concebida
esta charla, que con placer he preparado a requeri-
mientos de mis queridos amigos los profesores Salas
e Ibarra, que tanto se desvelan y contribuyen a la
mejora de métodos de enseñanza matemática en
nuestra Patria, como lo prueba la organización de
este magnifico Cursillo. Me considero Mlly honrado
al ser invitado a participar en su clausura y creo que
el tema de esta mi charla tal vez venga a propósito,
no solamente como apologia de lo que nuestra vida
actual debe a la Matemática, sino también por las
consecuencias didácticas que han de deducirse de
dicho balance apologético en orden a la necesaria
evolución de programas, métodos y modos de ense-
ñar nuestra Ciencia.
ESCUELA Y VIDA.
Las humanidades de hoy ya no son las de antaño.
No preparamos a nuestra juventud sólo para vivir
el recuerdo de nuestro pasado, ni mucho menos para
que lo reciten sin revivirlo ante unos examinadores
ocasionales. Preparamos a nuestros alumnos para el
mejor cumplimiento de su misión futura. Para el
examen definitivo de la vida. Para la vida eterna
ante todo, pero también para esta vida presente que
nos ha tocado vivir, tan llena de miserias como de
maravillas.
Como profesores no podemos, pues, situarnos de
espaldas a la realidad vital que nos circunda y ava-
salla, y menos nosotros, los profesores de Matemá-
ticas; porque la Matemática, pese al grado de abs-
tracción a que ha llegado, nació de la vida misma.
Tomó su impulso inicial a ras de tierra, como los sa-
télites artificiales que, desprendidos de ella, la están
viendo ya tan empequeñecida. ¡Y pensar que fué la
simple caída de la manzana y el liberador impulso
de la honda lo que sugirió la ecuación matemática
que ha permitido el lanzamiento de estos modernos
proyectiles a tal distancia que ya no encuentran lu-
gar donde caer! Parece como si la tierra se les hi-
ciera tan pequeña que hubieran de darle muchas
vueltas para posarse, como el perro que se acurruca
en espiral en busca de una postura con que dormirse
a nuestros pies.
También la Matemática se ha elevado enormemen-
te luego de haber nacido en sencilla cuna junto al
suelo. Tanto se ha elevado ya, que nosotros mismos,
sus cultivadores y enseñantes, hemos terminado por
olvidarnos de su origen modesto, como si nos aver-
gonzáramos de él. Pecado grave de orgullo, de fu-
nestas consecuencias para la enseñanza. Volvamos
con humildad la vista a dicho origen para darnos
cuenta de cómo pudo surgir el pensamiento mate-
mático en el hombre y de cómo se fué desarrollando
a tenor de sus propias necesidades. Tal vez así nos
daremos mejor cuenta de los errores que cometemos
al presentar a nuestros alumnos la Ciencia como algo
acabado y definitivo, sin darles oportunidad alguna
para que vivan ellos mismos su elaboración.
Los ORÍGENES DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.
Es difícil saber cuáles fueron los conocimientos
matemáticos inicialmente elaborados por el hombre
Los documentos primeros que la historia de la Ma-
temática consigna son escritos egipcios sobre tiras
de papiro o signos babilonios grabados sobre ladri-
llos. Suponen civilizaciones ya tan avanzadas come
para disponer de un lenguaje escrito con el que trans-
mitir y perpetuar su cultura. Estos escritos nos ha-
blan de notables conocimientos sobre fracciones, so-
bre sistemas de numeración sexagesimal vinculados
a cálculos astronómicos, de raíces cuadradas aplica-
das a problemas de Geometría... Reflejan, pues, una
organización embrionaria de conocimientos matemá-
ticos, pero no nos informan sobre cuáles fueron las
actividades matemáticas primitivas de la humanidad.
Quizás fueran éstas geométricas o topológicas antes
que aritméticas. Sorprende, por ejemplo, la geomé-
trica perfección de las vasijas de arcilla de civiliza-
ciones muy anteriores a la egipcia y babilonia; y,
volviendo la vista a las tribus que aún hoy viven en
estado primitivo, vemos que estos pueblos tejen,
trenzan, es decir, aplican actividades topológicas; se
ordenan en sus danzas, construyen chozas de perfec-
ta geometría, mientras carecen todavía de un siste-
ma escrito o hablado de numeración.Su lenguaje
dispone de muy pocas palabras con las que referirse
a los primeros números; todos los demás se desig-
nan con un término "muchos". Quizás sea ello índi-
ce de dicha y armonía.. En vida de naturaleza pró-
diga y comunidad perfecta no parece muy necesaria
la operación de contar. ¿Para qué ? Si el fruto está
siempre a mano y lo de uno es de todos, ¿a qué dis-
criminar cuánto tiene cada cual?
Pensando en ello he insinuado en otra ocasión que
la aritmética pudo nacer del instinto de propiedad,
cuando no del de previsión. Me imagino que el afán
de conservar lo suyo llevaría al hombre a simbolizar
sus rebaños mediante piedrecitas (cálculi) o median-
te trazos marcados en los troncos de los árboles. Sin
duda transcurrirían miles de años antes de que estos
conjuntos se representaran mediantes palabras o sig-
nos numéricos. Pero ello no significa que no se ejer-
cieran ya actividades matemáticas. La sola acción
representativa de unos conjuntos por otros más sim-
ples (rayas, piedras) supone ya una abstracción, una
esquematización; y es, por tanto, una auténtica acti-
vidad matemática.
LA CIENCIA DE LOS ESQUEMAS.
Sin posibilidad de dar una definición exhaustiva de
la Matemática, propuse en ocasión lejana presentar-
la precisamente así : como la "Ciencia de los esque.
MATEMÁTICA, HISTORIA, ENSEÑANZA Y VIDA	 5
mas". Se me pedían unas líneas para una colección
de autógrafos sobre el mundo infantil, y he aquí lo
que escribí: "Quiere saber el niño cómo anda el ju-
guete recién comprado y sus declines no paran hasta
reducirlo a un montón de resortes, de ruedas, de pie-
zas de hojalata. No le riñáis. Esta bendita curiosi-
dad le llevará algún día a querer penetrar los secre-
tos del mundo, de la civilización en que vive. Los cien-
tíficos son grandes niños que escudriñan en sus la-
boratorios los maravillosos juguetes que el mundo
natural ofrece a su curiosidad. Hurgando, hurgando,
pasan del mundo de las cosas al mundo de los es-
quemas, y al arte maravilloso que estudia su belleza
y su trazado: la Matemática."
Casi sin darme cuenta había propuesto una defi-
nición de Matemática que reflejaba el papel fünda-
mental de esta ciencia en el estudio de los fenóme.
nos naturales, así como la realidad de su origen vin-
culado a la vida misma y a sus problemas .E1 hom-
bre primitivo, al designar cada una de sus ovejas
por un trazo en el tronco de un árbol, como al repre-
sentar mucho más tarde su terreno por un polígono
en un papiro, empezó a hacer matemáticas, precisa-
mente porque empezó a abstraer, a esquematizar, a
simbolizar. Y con esta palabra "esquema", emplea
da en su doble sentido estricto y metafórico, pode-
mos darnos cuenta del papel esencial que la Mate-
mática ha desempeñado en el progreso humano.
PAPEL DE LA MATEMÁTICA EN LA FILOSOFIA NATURAL.
El hombre, en un principio, impotente ante la in-
mensidad cíe las fuerzas naturales y atónito ante la
complejidad de los fenómenos que a su alrededor se
desarrollaban, se limitaba a observar, a comparar, a
asociar. Más tarde experimentó por su cuenta, es
decir, promovió fenómenos similares en condiciones
más favorables para su estudio. "Hurgando, hurgan-
do", coleccionó observaciones y experiencias y, luego
de ordenarlas por afinidades, halló leyes comunes a
fenómenos semejantes. Para descubrir tales seme-
janzas hubo de abstraer, es decir, hubo de prescindir
de caracteres accesorios para atender a los esencia-
les en cada estudio, reduciendo la complejidad de las
cosas reales a la sencillez de unos entes idealizados
esquemáticos. Ello le permitió descubrir por induc-
ción leyes simples; establecer con ellas sistemas hi-
potético-deductivos y tejer consecuencias, con las que
predecir resultados de experiencias no efectuadas. De
la predicción a la técnica no quedó más que un paso
meramente intencional: proyectar para precaverse de
aquellas fuerzas naturales y conducirlas más tarde
para su provecho.
Con esto se ve clara la razón del por qué el enorme
progreso de nuestras condiciones materiales de vida
en siglo y medio escaso, es decir, desde Lagrange,
Laplace, Gauss, a nuestros días, coincide con el des-
arrollo vertiginoso del análisis matemático. No se
trata de una simple casualidad histórica, como no lo
es el hecho de que los países de técnica mas avanza-
da sean asimismo los de Matemática más pujante.
Toda creación en el orden técnico supone la posibili-
dad de proyectar, es decir, de lograr previsiones teó-
ricas, y por tanto, la creación de estructuras cientí-
ficas en qué apoyarlas. En el doble juego inductivo-
deductivo que las engendra desempeña la Matemáti-
ca su papel fundamental.
Tras las esquematizaciones o abstracciones prime-
ras, el hombre comprueba las consecuencias del sis-
tema hipotético deductivo que sobre ellas ha monta-
do, proyectando nuevamente al campo de la realidad
los resultados suministrados por el mecanismo lógico
abstracto. El ajuste o desajuste de tales consecuen-
cias, de tales previsiones, a las hechos reales, le per-
mitirá comprobar "a posteriori" la validez de la es-
tructura esquemática representativa del complejo fe-
noménico estudiado.
PRIMER PRINCIPIO FECUNDADOR DE LA ENSEÑANZA
MATEMÁTICA. ARRANQUE GENETICO VITALISTA.
Vemos, como primera consecuencia didáctica di
esta génesis de los conocimientos matemáticos, quc
el mero juego deductivo cultivado por la enseñanza
matemática tradicional, no basta para suministrar
una formación matemática completa. Reducirse a
cultivar en el alumno sus facultades lógicas, como así
se decían, entendiendo por tal actividad lógica el puro
y simple juego de implicaciones a partir de principios
abstractos ya elaborados, era como mostrarles el fun-
cionamiento de un mecanismo en vacío, desconec-
tando la matemática del mundo físico, en el que ha
tenido su auténtico origen. No se cultiva el modo de
pensar abstracto dando las abstracciones hechas,
sino educando a hacerlas, y en este parto del sustra-
tum matemático de los fenómenos, de poco o nada
nos sirve ya la lógica aristotélica. Necesitamos prac-
ticar una lógica mucho más compleja, en la que jue-
ga un papel decisivo la intuición de lo esencial.
Cultivemos, pues, dicha intuición. Es preciso que
el alumno se adiestre en formar las abstracciones
partiendo de situaciones concretas y sugerentes. Y es
igualmente importante que se ejercite en proyectar
los resultados del mecanismo lógico abstracto, inter-
pretándolos en el mundo real y sensibilizando así el
sentido de verosimilitud que tanto falta a nuestros
escolares. La ausencia del cultivo de dichas dos fa-
ses, anterior y posterior a la puramente deductiva,
ha sido una de las más acusadas causas del fracaso
de la enseñanza abstracta tradicional. Sus estragos
no pueden remediarse con la adición "a posteriori" de
ejercicios de aplicación. Es en la génesis misma del
conocimiento matemático donde tiene que estar pre-
sente la realidad si queremos que la matemática ten-
ga desde su origen un rico contenido vital.
Resumiendo en pocas palabras la consecuencia pri-
mera de este análisis histórico de la creación mate-
mática, diremos: La Matemática nació de la vida y
para la vida; demos, pues, también a nuestra ense-
ñanza matemática un constante arranque genético
y una constante proyección vital. Y continuemos aho-
ra nuestro análisis evolutivo.
6	 REVISTA DE EDUCACIÓN
LAS AMAS DE CASA DE NUESTRA CIENCIA.
Toda la Ciencia ha experimentado el mismo proce-
so de génesis y desarrollo basado en el citado doblr
juego inductivo-deductivo que ha hecho posible el as-
censo a las leyes simples y la predicción posterior de
leyes complejas. La misma matemática no se ha li-
brado de tal proceso. Su origen es tan empírico y ex-
perimental como pueda serlo el de cualquier ciencia
físico-natural. LO que ocurre es que la elaboración
experimental necesaria para intuir sus principios o
axiomas fundamentales es tan breve que se nutre de
observaciones realizadas y almacenadas inconscien-
temente durante la más tierna infancia. Y así, la in-
fancia de la humanidad, que abarca laprehistoria y
la historia antigua, acumularon el material empírico
sobre el que asentó la sistematización matemática
griega, efectuada tres siglos antes de Jesucristo.
Los griegos, al ordenar y sistematizar deductiva-
mente la Aritmética y la Geometría, fueron como las
primeras amas de casa de nuestra querida Ciencia.
La transmisión de conocimientos matemáticos se fa-
cilitó mucho con las bellas síntesis de la escuela grie-
ga y los famosos Elementos de Ruclides fueron du-
rante siglos el libro de texto único en el que apren-
dió matemáticas la humanidad entera hasta la Edad
Media. Pero creo que, como paradójica contrapartida,
contribuyeron estos Elementos poderosamente a co-
lapsar el progreso matemático durante todo este pe-
riodo.
La razón es fácil de entender. La Ciencia ha tejido
deductivamente sus sistemas después de largos pro-
cesos analíticos e inductivos, los cuales quedan ya
completamente disimulados y subvertidos en la pre-
sentación sintética de ella.
TRANSMISIÓN Y GÉNESIS.
Tal presentación resulta, pues, hipócrita en sí mis-
ma, y antiformativa, ya que suministra urdimbres
confeccionadas sin enseñar a urdir, que es lo educa-
tivo. Las síntesis perfectas, como la euclídea, han
acentuado, pues, sin proponérselo, la separación en-
tre dos procesos que en la enseñanza no debieron ha-
berse divorciado nunca: el de la génesis de los cono-
cimientos y el de su transmisión; y así, para que sur-
gieran nuevos progresos en el campo de la Aritmé-
tica fue preciso que el genio árabe combinara el alien-
to vital de los problemas indios con el método reduc-
tivo de los griegos, ideando el Algebra, ciencia re-
ductiva por excelencia. Y fué asimismo preciso que
el Renacimiento desenterrara y tradujera las obras
de Arquímides, de Apolonio, menos sistemáticas que
la euclidea, pero mucho más sugeridoras, para que
progresara la Geometría, a impulsos de aquel lejano
estímulo explorador.
SEGUNDO PRINCIPIO FECUNDADOR. PRESENTACIÓN
EUR1STICA.
Este hecho histórico nos suministra, pues, prove-
chosa lección, base de otro principio didáctico fecun-
dador; No pretendamos educar matemáticamente a
la juventud limitándonos a transmitirle, ordenada-
mente, los conocimientos que nos han sido dados.
Procuremos que sea el alumno mismo quien los ela-
bore. Por elevada que sea la autoridad de su maes-
tro, difícilmente toma el alumno interés por asimilar
sínteses en cuya gestación no ha tomado arte ni par-
te. Lo que se aprecia y asimila de verdad no es tanto
lo que se recibe como lo que se conquista. Y si la ac-
tividad es una necesidad vital del niño, en el caso del
aprendizaje de la matemática es además una nece-
sidad epistemológica. Todo concepto matemático des-
cansa en una acción generadora del mismo, acción
efectiva o imaginada, exterior o interioriza da. No
hay concepto matemático que no derive de una ac-
ción. Así, la idea del número nace al coordinar con-
juntos. La noción de medida nace de operaciones
comparadoras. Los conceptos topológicos derivan de
relaciones de situación (salir, entrar, estar entre),
los conceptos geométricos surgen de transformacio-
nes realizadas en las figuras (movimientos, simetría,
semejanza, equivalencia, etc.). El álgebra moderna
no es más que el estudio de una dinámica relacional
en la que la relación tiene más importancia que lo
relacionado.
Si, pues, la acción es palanca poderosa en la ense-
ñanza de todas las disciplinas, en matemáticas más
que palanca es una necesidad de carácter creador,
eurístico, es decir, en un sentido de acción descubri-
dora. El maestro no debe, pues, asumir el papel de
centro transmisor de conocimientos, sino de guía del
aprendizaje de sus alumnos; aprendizaje estimulado
por situaciones interesantes y sugeridoras de las ideas
que se desea inculcar. El maestro, más que parecerse
a un conferenciante, debe convertirse en un auténti-
co maestro de taller; no debe adoptar una actitud
frente a sus alumnos, sino al lado de ellos, casi me-
jor diría suavemente detrás como observador y con-
sejero afectuoso de su trabajo y de su esfuerzo. Y no
tanto con el propósito de aliviar dicho esfuerzo como
de promoverlo, de despertarlo, actuando de manera
que sea deseado.
ENTRA LA PEREZA EN ESCENA.
Y volvamos otra vez al hilo de la historia. Hemos
presentado al pueblo árabe como creador del Alge-
bra, la cual nace con objeto de automatizar la solu-
ción de los complicados problemas de herencia, a los
que eran tan dados. Esta mecanización algebraica del
razonamiento aritmético supone la entrada en escena
de la pereza como personaje histórico, paradójica-
mente estimulante del progreso. Todos sabemos
cuántos ingenios han ideado los hombres para libe-
rarse del esfuerzo muscular. Pues bien, la invención
del Algebra supone en un plano espiritual un despla-
zamiento parecido de esfuerzos mentales que, al pa-
sar del difícil plano de elaboración consciente al de
un automatismo formal, supusieron asimismo un aho-
rro de fatiga intelectual extraordinario.
PELIGROS DIDÁCTICOS DEL AUTOMATISMO.
Pero esta formalización, que ha sido interesantí-
sima y fecunda en la historia de la humanidad, libe-
MATEMÁTICA, HISTORIA, ENSEÑANZA Y VIDA
rándola de esfuerzos que quedaron así disponibles
para nuevas conquistas, resulta contraproducente an-
ticiparla en el proceso educativo del alumno. Cuando
la automatización de un proceso antecede al dominio
del mismo se incurre de nuevo en el pecado de sub-
versión genética de los conocimientos; pecado que se
paga caro, porque crea en el alumno una rigidez men-
tal devastadora desde el punto de vista pedagógico.
Y con esta observación, quede consignada una nueva
consecuencia didáctica que estimo de interés.
ORDENACIÓN LINEAL Y ORDENACIÓN CÍCLICA.
Otras más se me ocurre aún como nota ocasional
adecuada al momento histórico en que nos hemos de-
tenido. Los griegos organizaron, como he dicho, de-
ductivamente la Aritmética y la Geometría. Unos si-
glos después crean los árabes el Algebra y también
la Trigonometría. Los programas tradicionales de ba-
chillerato, que estudiábamos a comienzos de siglo,
parecían de está suerte concebidos como siguiendo
linealmente la gestación cronológica de tales mate-
rias, convertidas en asignaturas por separado. Pero
al disponerlas asimismo linealmente en arios sucesi-
vos, en los cuales la inteligencia del alumno evolucio-
na rápidamente, se vulneraban las leyes de su des-
arrollo.
Porque la Aritmética y la Geometría elaboradas
por Euclides, lo mismo que el Algebra y la Trigono-
metría elaboradas por los árabes y enriquecidas por
el lenguaje simbólico de Vieta, tenían cada una de
por sí un grado de madurez incompatible con el des-
arrollo intelectual del niño, sobre todo en los prime-
ros arios del Bachillerato. Se olvidaba que Euclides
no escribió sus Elementos para uso de niños de once
o doce arios; y estos niños, con más sentido común
que científico, repudiaban lógicamente (en su lógica
infantil, claro es) la superlógica del adulto que se
cree obligado a demostrar verdades evidentes redu-
ciéndolas a otras que no lo son más.
El prurito de presentar nuestra Ciencia estructu-
rada al modo clásico, en unidades lógicas creadas a
lo largo del proceso indicado, hubo de ceder paso a la
exigencia psicológica impuesta por la evolución in-
fantil. Y así surgió el método cíclico de programa-
ción, que en lugar de correr radialmente y por sepa-
rado los referidos sectores del conocimiento mate-
mático, los organiza en ciclos de ampliación concén-
trica, a través de unidades de concepción funcionales
que vengan a sustituir las unidades lógicas clásicas.
Un paso más y el problema de las tangentes había
de dar origen a un operador analítico nuevo: la de-
rivada, obtenida combinando la sustracción y la di-
visión con el paso al limite; mientras el problema del
área daba nacimiento al concepto de integral, como
límite continuo de una suma. Barrow, profesor que
fue de Newton, al descubrir más tarde el carácter in-
verso de estos dos operadores, cerraría la clave del
arco que había de sostener el potentísimo instrumen-to del cálculo infinitesimal. Iniciado simultáneamen-
te éste por Newton y Leibniz, se desarrolló con rapi-
dez inverosímil a impulsos de la Mecánica primero
y de la Física toda después.
SIMBIOSIS ENTRE LA MATEMÁTICA Y EL MUNDO FÍSICO.
Es emocionante y aleccionador el fenómeno de sim-
biosis entre la Física y el Análisis que a lo largo de
todo este proceso se ha producido. Problemas con-
cretos pidiendo su esquematización analítica. El aná-
lisis ideando esquemas precisos para abastecer tal
demanda. Pero inmediatamente el genio generaliza-
dor del matemático combinando, tejiendo y prolife-
rando esquemas nuevos, por puro juego investigador
abstracto. Y estos nuevos esquemas hallando poste-
rior aplicación a nuevas demandas de la Física y de
la Técnica. Así, en esta carrera, en la que tan pronto
la creación abstracta ha ido por delante de las nece-
sidades de la Filosofía natural como ha tenido que
acelerar su marcha a empujones de ella, se ha llega-
do al exuberante florecimiento científico de los si-
glos XIX y xx. Tan reciente es todo ello que aun nos
parece sentir en nuestra carne la vibrante emoción
de las generaciones científicas que nos han precedido
y a ver, por ejemplo, confirmada por las experiencias
de Herz, la existencia de ondas electromagnéticas
teóricamente descubiertas en el papel por Mawell
veinte arios antes, o la enorme alegría del astrónomo
Galle al comprobar con su telescopio la existencia de
un nuevo planeta; Neptuno, en el lugar pronosticado
por Leverrier, que venía persiguiéndolo sobre sus
cuartillas durante largos meses de cálculo.
Pero en nuestros mismos maravillosos y azarosos
días, ¿no es portentoso ver confirmada con la aterra-
dora y potente realidad de los ingenios atómicos la
inverosímil relación entre masa y energía hallada en
los campos más abstractos de la teoría de la relati-
vidad?
UN EJEMPLO LINEAL RETROSPECTIVO.
DE EINSTEIN A THALES.
LOS ORÍGENES DEL CALCULO INFINITESIMAL.
y en marcha otra vez a lo largo de los siglos, no
ha de causarnos extrañeza que, después de la alge-
brización de la Aritmética, llegara un día en el que
también la Geometría cayera bajo las garras del Al-
gebra. Fué, como sabéis, el siglo XVII el que alumbró
en los genios de Descartes y Fermat la esquematiza-
ción analítica del espacio, fundiendo los conceptos de
ecuación y de lugar.
Si partimos de cualquier punto teórico actual y re-
trocedemos según el hilo histórico que a él conduce,
hallaremos ejemplos a granel de la simbiosis aludida
entre la matemática y la filosofía natural. Sin ir más
lejos, la misma teoría de la relatividad, de la que
acabamos de hacer mención, tiene como instrumen-
to matemático expresivo el cálculo diferencial abso-
luto, hermanado a la teoría de variedades dimensio-
nales, cuya curvatura investigó Riemann a media-
REVISTA DE EDUCACIÓN
dos del siglo XIX, generalizando los estudios de Gauss
a principios del mismo siglo sobre curvatura intrín-
seca de superficies. La línea histórica que confluye
en Einstein llega, pues, con orden cronológico inver-
so a través de Ricci y Levicivita (creadores del cálcu-
lo diferencial absoluto), de Riemann y Gauss.
Pero si continuamos la cadena causal retrospecti-
va y nos preguntamos que pudo decidir a Gauss a
estudiar intrínsecamente las superficies, nos dare-
mos pronto cuenta de que éste vivió en la época de
las mediciones de los arcos de meridiano, época en la
que el estudio del geoide terrestre respondía a una
necesidad de orden técnico derivada del estableci-
miento del patrón "metro" y del deseo internacional
de vincularlo a nuestro planeta. Se comprende, pues,
que el príncipe de los matemáticos, como le llama-
ban en su época, abordara el estudio general de la
curvatura de una superficie, relacionándola con las
medidas de arcos que unos seres inteligentes pudie-
ran obtener sobre ella. Pero, a su vez, el estableci-
miento del sistema métrico decimal no fue un capri-
cho, sino otra necesidad internacional. La de unifor-
mar las medidas en las ya complejas transacciones
comerciales que el incremento de las comunicaciones
con ultramar había promovido. El descubrimiento de
América, efectuado pocos siglos antes, había creado
la necesidad de mejorar la navegación de altura y de
resolver concretamente el problema de la situación
de buques en alta mar. Ello obligó, de un lado, a per-
feccionar la construcción de cronómetros para poder
resolver el problema de la determinación de longi-
tudes (por comparación de horarios astronómicos lo-
cales), y de otro, la técnica de anteojos y sextantes
para la determinación de latitudes. Pero estas técni-
cas se nutren de la dióptrica, con lo que aludimos
nuevamente a Descartes, y de patrimonios más an-
tiguos, como son la Trigonometría y la Astronomía
esférica; con lo cual, retrocediendo paso a paso, vol-
veríamos a cruzar la civilización árabe y a la escena
de Thales, distraído contemplando las estrellas, y a
la vieja, burlándose de él.
MIRANDO AL FUTURO: ENERGÉTICA Y CIBERNÉTICA.
Y si, por el contrario, partiendo del cálculo dife-
rencial absoluto y de la teoría de la relatividad, se-
guimos la línea de su entronque posterior con la me-
cánica cuántica y la física nuclear, llegamos a los
días presentes, en los cuales la humanidad prevé que
se le agoten las ricas reservas de combustible que
ha alimentado su industria durante los dos últimos
siglos (hulla y petróleo) y considera aprovechadas
asimismo casi todas las fuentes rentables de energía
hidráulica (obra de éste) y en consecuencia busca
nueva e inagotable fuente de energía en la propia
materia. Búsqueda que desemboca primero, y al calor
de corrientes de odio, en la transformación monstruo-
sa y desordenada producida en la bomba atómica,
pero que en tiempo de paz se pretende dominar en-
cauzando y vigilando sus procesos concienzudamen-
te. Esta tarea de vigilancia y regulación, altamente
delicada, confiase a servomecänicos de Muy comple-
ja estructura. Y surgen así las dos grandes técnicas
del presente y del mañana: la energética y la ciber-
nética. Para una y otra ya no es suficiente el instru-
mento del cálculo infinitesimal que dominó la física
matemática del siglo pasado. Ha sido preciso idear
nuevas abstracciones, nuevos esquemas, que se mos-
traran más ágiles, más manejables para el trata-
miento matemático de tales técnicas. Citaré al paso,
para no cansarles, sólo algunos títulos: matrices, fini-
tas e infinitas, espacios de Hilbert, teoría de opera-
dores, cálculo operacional, estadística matemática y
probabilidades...
Los CEREBROS ELECTRÓNICOS Y SU FISIOLOGÍA
MATEMÁTICA.
Los largos y complejos cálculos que tales técnicas
exigen han aguzado el ingenio de la raza humana
para buscar en la máquina no sólo el alivio al esfuer-
zo muscular, como en los siglos antecedentes, sino
también a los esfuerzos mentales que por su natura-
leza automática puedan reducirse a reflejos condi-
cionados, es decir, a respuestas fijas en corresponden-
cia con estímulos determinados. Y entre tales inge-
nios se hallan los llamados "Cerebros electrónicos".
La matemática que regula las entrañas de tales ce-
lebros es ya una matemática de circuitos que tiene
más carácter cualitativo que cuantitativo, y que ofre-
ce otro ejemplo impresionante de la simbiosis entre
la matemática y el mundo físico. Tuve ocasión de
vivir este ejemplo personalmente tras una conferen-
cia de Aiken (el constructor avanzado de tales in-
genios en EE. UU.), al comprobar que la artifi-
ciosa álgebra que empleaba para manejar formal-
mente los circuitos electrónicos, haciendo un uso "sui
generis" de los signos algebraicos usuales, no era en
el fondo más que aquella álgebra que el matemático
inglés Boole ideó hace más de un siglo para esque-
matizar ciertas operaciones lógicas entre clases o
proposiciones. Y caí en la cuenta de ello tratando de
investigar directamente las leyes formales que en de-
finitiva jugaban en las relaciones de conexión de ta-
les circuitos: álgebra binaria cuya coincidencia de
leyes con la de clases me maravilló. Posteriormente
supe que no erayo el primero en hacer aplicación de
dicha álgebra a circuitos, ya que Shanon y otros lo
habían hecho con anterioridad para los circuitos or-
dinarios.
INVASIÓN Y ECLOSIÓN DE LA MATEMÁTICA ACTUAL.
Pero ya no es solamente en el mundo físico natu-
ral donde la Matemática juega hoy su papel de reina
y sirvienta. Poco a poco va penetrando asimismo, con
paso lento y seguro, en los secretos del mundo psí-
quico y del mundo social. Citaré solamente tres ejem-
plos elocuentes: primero, la aplicación de la teoría
de matrices y vectores multidimensionales al proble-
ma de la discriminación de aptitudes, y tratamiento
MATEMÁTICA, HISTORIA, ENSEÑANZA Y VIDA
	 9
matemático de los tests empleados por la psicología
experimental (la tal psicología de aptitudes y el aná-
lisis factorial en que se apoya, es ciencia incipiente
que tiene en España un avanzado investigador en
Mariano Yela, uno de los más brillantes discípulos
que he tenido en San Isidro); segundo, la teoría de
la información, fundada en un isomorfismo entre la
desorganización estructural de los signos de un men-
saje perturbado y la agitación molecular de un gas,
lo que permite medir la cantidad de información de
un mensaje según un símil entrópico al modo como
la entropia se evalúa en mecánica estadística; y, final-
mente, la moderna teoría del juego estratégico y su
aplicación a los complejos fenómenos económicos.
Para no conserles, dejo deliberadamente sin men-
ción las innúmeras aplicaciones de la estadística ma-
temática a los diversos campos de actividades pro-
fesionales (aplicaciones ya tratadas en este cursillo),
así como las tan notables del análisis matemático a
problemas de biología, de programación lineal, etcé-
tera, etc. La lista sería interminable.
Su DESNUDEZ ESQUFJATICA Y SU MULTIVALENCIA.
La eclosión matemática de los dos siglos anterio-
res fué gigantesca; hizo posible toda la técnica hasta
la segunda guerra mundial. Pero el desarrollo mate-
mático del presente siglo, estimulado por los aluci-
nantes problemas de ataque y defensa de la segunda
guerra, cristalizados en las modernas teorías del áto-
mo y cibernética, dejará acaso minúscula la eclosión
anterior. Por de pronto la matemática naciente está
adquiriendo una fisonomía propia característica. La
fisonomía formalista, tan opuesta a la metafísica de
los orígenes del cálculo infinitesimal. La demanda de
posibles esquematizaciones es ya tan grande que el
matemático carece de tiempo que perder en hurgar
esencias. Prefiere crear estructuras relacionales bien
definidas entre conceptos indefinidos, a los cuales se
dará carta de naturaleza matemática tan sólo con
que cumplan la legislación que los gobierna. Esque-
mas muchos de los cuales (grupos, anillos, cuerpos,
ideales...) constituyen el andamiaje común de teo-
rías procedentes de los más variados campos, y que,
al ser desnudadas de su ropaje concreto, han apare-
cido con el mismo esqueleto abstracto; pero también
muchos otros esquemas que la fantasía del matemá-
tico crea libremente sin más trabas que la no con-
tradicción de sus leyes. Esquemas estos últimos que,
de momento, carecen de interés concreto, pero a los
cuales no podemos negar la posibilidad de adapta-
ción futura a entidades físicas que puedan hallar en
ellos su molde adecuado, como así ha ocurrido en el
ejemplo citado del álgebra de clases, creada por Boole
hace cien años, tan "in abstracto" como "fuera de
siglo".
Nuestra amada Ciencia de los esquemas ha sido,
pues, despojándose en tal forma de sus primitivos
ropajes concretos, que, ascendiendo según planos de
abstracción y simbolización crecientes, ha terminado
desnudándose a si misma de contenidos conceptua-
les, hasta organizarse en los puros esqueletos prag-
RENOVARSE ES VIVIR.
Señores, hay interrogantes que invitan a terminar.
Pero cuál debe ser en el orden didáctico la última
consecuencia que debemos extraer del deslumbrante
panorama expuesto ? ;Una vigorosa serial alerta!
Cuando la matemática, en conexión con la vida toda,
evoluciona a tal ritmo, su enseñanza, que, como he-
mos dicho, es preparación para la vida, no puede per-
manecer indiferente a tal evolución. No nos está per-
mitido dormimos sobre el cómodo colchón de nues-
tra rutinita. Rutina de programas, de métodos, de
modos. Hemos de vivir renovándonos. Ya lo dijo En-
rique Rodó en las primeras palabras de sus bellos
"Motivos de Proteo" : Renovarse es vivir, palabras a
las que añadiría, parafraseándole, y enquistarse en
morir.
Estoy convencido de que, si no en esta generación,
en las venideras, habrá de cederse sitio en los pro-
gramas elementales a buena parte de esta matemá-
tica cualitativa, que plantea a su vez problemas di-
dácticos interesantes con los cuales está nuestro buen
amigo Ibarra tan encariñado.
Claro es que habrá de imponerse ante todo una dis-
criminación y jerarquización muy cuidadosas de teo-
rías, tanto en el orden formativo como utilitario. Mis
más recientes manifestaciones internacionales a este
respecto se inspiran en tal sentido cauteloso y mo-
derador. No vayamos a perder la cabeza apresurán-
donos a introducir novedades sólo por el hecho de
serio; de estar de moda en la creación matemática
actual. ;Pobres de los niños entonces! Pero abramos
decididamente paso a nuevas teorías capaces de fe-
cundar el pensamiento matemático del niño hacién-
dole apto para las nuevas concepciones, aunque para
ello tengamos que jubilar definitivamente remanen-
tes académicos caducados que la tradición conser-
va tan sólo por razones de herencia. No hay peor
enemigo del progreso que la rutina con disfraz con-
ceptual.
máticos que constituyen las estructuras matemáti-
cas de hoy. En su misma desnudez aparente radica
su multivalencia, es decir, sus posibilidades de adap-
tación y, por ende, su paradójica fecundidad. La ley
ha desplazado al concepto; la cualidad, al número.
Aunque nos cause asombro, hemos de reconocerlo
así. Un fenómeno del momento histórico en que vi-
vimos. Cada época tiene su técnica, así como su filo-
sofía acorde y su lenguaje matemático adecuado.
De un lado, el mundo físico con sus métodos de
observación cada vez más precisos y quizá por ello
mismo suministrándonos aparentes paradojas que nos
llenan de perplejidad. De otro lado, el mundo de nues-
tras abstracciones, de nuestros esquemas, espejismo
acaso de nuestras propias estructuras mentales. Toda
teoría físico-matemática no es en el fondo más que
un puente tendido entre ambos mundos. A veces hace
falta tender más de uno, y entonces hablamos de dua-
lidad del mundo físico. ¿No seria más justo hablar
de dualidad de esquematizaciones ?
&.
Po •
144t
16
	
REVISTA DE EDUCACIÓN
TODA UNA DIDÁCTICA POR HACER.
Al plantearnos el problema didáctico del aprendi-
zaje de tales nuevas teorías, acaso nos hallemos con
la sorpresa de que se adaptan mucho mejor a las
inteligencias vírgenes que a las nuestras, deforma-
das por defectuosos sistemas de educación. Al menos
así parecen pronosticarlo las consecuencias de un
fino análisis de Piaget, el conocido psicólogo infantil
ginebrino, sobre estructuras mentales, y las nume-
rosas y universales experiencias personales del pro-
fesor Gattegno, del Instituto de Educación de la Uni-
versidad de Londres.
Un inmenso problema didáctico queda abierto. Su
correcta y objetiva solución nos obligará a profun-
dizar en el conocimiento psicológico del niño, de sus
intereses, de su inteligencia. Sabemos aún muy poco
de ésta, al menos en lo que a la evolución del pensa-
miento matemático se refiere, pensamiento que he-
mos observado siempre a través de rígidos esquemas
conceptuales que la tradición educativa nos dió or-
ganizados a su modo. Lo cierto es que cuando pres-
cindimos de nuestros prejuicios y ponemos objetiva-
mente a prueba la lógica en acción del niño, ante
problemas estimulantes aparentemente elevados, nos
sorprende la adaptabilidad y multivalencia de su pen-
samiento virgen aún de deformaciones.
NUESTRA RESPONSABILIDAD Y NUESTRA TAREA.
La aversión que hacia la matemática siente la in-
mensa mayoría de loseducados según la tradición,
nos indica bien claramente que todavía está casi todo
por hacer en la Pedagogía Matemática Elemental.
He aquí nuestra tarea. Tarea urgente como ninguna
y de vital alcance nacional; pues si queremos sobre-
vivir como nación en un mundo técnico y económicc
que con tal vértigo evoluciona, hemos de empezar
ampliando las bases de nuestra cultura matemática
elemental, no sólo en el sentido social de accesibili-
dad a la enseñanza, sino también en el sentido de
accesibilidad didáctica y de eficiencia formativa. Sólo
ensanchando y consolidando lo más posible los pri-
meros estratos del edificio, lograremos la máxima al-
tura de las cúspides minoritarias capaces de procu-
rarnos en el futuro una técnica avanzada y una eco-
nomía próspera y autónoma.
Hemos de darnos cuenta, pues, de la enorme res-
ponsabilidad que como formadores de nuestra juven-
tud tenemos contraída y por tanto del ingente tra-
bajo que nos espera.. Ingente, sí; pero tan bello que
no cabe premio ni gloria mayor que la de contribuir
al bien patrio llevando la alegría de los niños a unos
estudios que hasta ahora habían constituido su tor-
tura.
PEDRO PUIG ADAM.
La tarea formativa de los
Colegios Mayores
universitarios
En el amplio campo de la educación se han reali-
zado en España, durante los últimos veinte arios,
fundamentales transformaciones. Una aspiración de
actualizar nuestras instituciones docentes, para si-
tuarlas al nivel de los tiempos, ha presidido todas las
reformas que el legislador ha introducido en los sis-
temas vigentes. Algunas de ellas han encontrado re-
sonancia en la sociedad española, que con su critica
elogiosa unas veces y censora otras, ha contribuido
a perfeccionar las fórmulas legales.
Algo de esto ha ocurrido con los Colegios Mayo-
res. Restaurados en 1942, son reconocidos por la Ley
de Ordenación de la Universidad española, de 29 de
julio de 1943, como los "órganos para el ejercicio de
la labor educativa y formativa general que incumbe
a la Universidad". Desde entonces varias promocio-
nes de jóvenes universitarios han pasado por estas
instituciones. A la hora de enjuiciar los resultados
han sido expuestos muy diversos pareceres. La ma-
yor parte de éstos, hay que confesarlo, expresan una
opinión muy deficiente acerca de la formación de los
Colegios Mayores. Se ha insistido frecuentemente en
la necesidad de una reforma del régimen legal de
estos Centros. Y tal régimen ha sido modificado para
lograr efectivamente el cumplimiento de la impor-
tante función que les está confiada.
El Decreto de 26 de octubre de 1956, Orgánico de
Colegios Mayores, constituye el texto legal vigente.
Ha pasado más de un ario desde que esta disposición
fué publicada en el "Boletín Oficial del Estado". Su
aparición debiera haber sido resaltada ampliamente,
ya que el contenido del Decreto encierra materia su-
ficiente no sólo para una glosa calurosa, sino para el
análisis y estudio de una teoría, bastante completa,
acerca de una institución genuinamente española.
Sin embargo, no conocemos ninguna aportación que,
ofrecida en diarios o revistas de cierta difusión, haya
contribuido a difundir la nueva reglamentación.
Sin amplias pretensiones, vamos a destacar en este
artículo las principales finalidades encomendadas a
los Colegios Mayores. Si con ello contribuimos a es-
timular las actividades de alguno de ellos y al propio
tiempo a un mejor conocimiento en los sectores in-
teresados en los problemas de la educación, habre-
mos alcanzado el fin que nos proponemos.
1. EDUCACION Y FORMACION RELIGIOSA
La misión del Colegio Mayor en esta primordial
faceta, no nos parece que deba desarrollarse princi-
palmente en el terreno de la instrucción. La adqui-
sición de conocimientos debe proporcionarla, y en
grado conveniente, la Universidad o la Escuela Es-
pecial. Sin duda, que puede completarse con la orga-