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Ondas Mecánicas
Profesor Brian Wundheiler
Contenidos
1 Propagación de una perturbación
2 La onda progresiva
3 La ecuación de onda
F́ısica 1 1/7
Contenidos
1 Propagación de una perturbación
2 La onda progresiva
3 La ecuación de onda
F́ısica 1 2/7
Propagación de una perturbación
Considere un pequeño objeto que flota sobre el agua. Se puede lograr que el objeto se
mueva al dejar caer una piedra en otra posición en el agua. El objeto ganó enerǵıa
cinética a causa de esta acción, aśı que la enerǵıa se debió transferir desde el punto
donde se dejó caer la piedra hasta la posición del objeto. Esta caracteŕıstica es central
del movimiento ondulatorio: la enerǵıa se transfiere a través de una distancia, pero la
materia no.
Todas las ondas mecánicas requieren:
1. alguna fuente de perturbación,
2. un medio que contenga elementos que sean factibles de perturbación y
3. algún mecanismo f́ısico a partir del cual los elementos del medio puedan influirse
mutuamente.
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Propagación de una perturbación
Observemos por ejemplo, un perturbación que se
propaga por una cuerda. Al sacudir el extremo libre
de la cuerda una vez, se crea un pulso en ella.
A medida que viaja el pulso, cada elemento
perturbado de la cuerda se mueve en una dirección
perpendicular a la dirección de propagación.
Ninguna parte de la cuerda se mueve en la dirección
de la propagación.
Una onda viajera o pulso que hace que los elementos
del medio perturbado se muevan perpendiculares a la
dirección de propagación se llama onda transversal.
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Propagación de una perturbación
Otro tipo de pulso, es uno que se mueve por un largo resorte estirado. El extremo
izquierdo del resorte recibe un ligero empuje hacia la derecha y después recibe un ligero
tirón hacia la izquierda.
Este movimiento crea una súbita compresión de una región de las espiras. La región
comprimida viaja a lo largo del resorte hacia la derecha. La dirección del desplazamiento
de las espiras es paralela a la dirección de propagación de la región comprimida.
Una onda viajera o pulso que mueve a los elementos del medio en paralelo a la dirección
de propagación se llama onda longitudinal.
Las ondas en la naturaleza muestran una combinación de desplazamientos transversales
y longitudinales.
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Propagación de una perturbación
a t = 0
Considere un pulso que viaja hacia la derecha en una cuerda.
La forma del pulso, cualquiera que sea, se puede representar
mediante alguna función matemática que se escribirá como
y(x, 0) = f(x).
Esta función describe la posición transversal y del elemento
de la cuerda ubicado en cada valor de x en el tiempo t = 0.
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Propagación de una perturbación
a t > 0
Ya que la rapidez del pulso es v, el pulso viajó hacia la
derecha una distancia vt en el tiempo t. Se supone que la
forma del pulso no cambia con el tiempo.
En consecuencia, un elemento de la cuerda en x en este
tiempo tiene la misma posición y que un elemento ubicado en
x− vt teńıa en el tiempo t = 0:
y(x, t) = y(x− vt, 0)
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Propagación de una perturbación
En general, se representa la posición transversal y para todas las posiciones y tiempos,
medida en un marco estable con el origen en O,
y(x, t) = f(x− vt)
para una onda que viaja hacia la derecha, y
y(x, t) = f(x+ vt)
para una onda que viaja hacia la izquierda.
La función y, a veces llamada función de onda, depende de las dos variables x y t.
La función de onda y(x, t) representa la coordenada y, la posición transversal,
de cualquier elemento ubicado en la posición x en cualquier tiempo t.
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Contenidos
1 Propagación de una perturbación
2 La onda progresiva
3 La ecuación de onda
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La onda progresiva
a t fijo.
Se desarrollarán las caracteŕısticas principales y
representaciones matemáticas del modelo de análisis de una
onda progresiva. Este modelo se usa cuando una onda se
mueve a través del espacio sin interactuar con otras ondas o
part́ıculas.
La figura muestra una instantánea de una onda sinusoidal
móvil a través de un medio. Un punto en la figura en que el
desplazamiento del elemento de su posición normal está en lo
más alto se llama cresta de la onda. El punto más bajo se
llama valle.
La distancia de una cresta a la siguiente se llama longitud
de onda λ.
De manera más general, la longitud de onda es la
distancia ḿınima entre dos puntos cualesquiera en
ondas adyacentes.
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La onda progresiva
a x fijo.
La figura muestra una gráfica de la posición de un elemento
del medio como función del tiempo. En general, el periodo
T es el intervalo de tiempo requerido para que dos
puntos idénticos de ondas adyacentes pasen por un
punto.
La inversa del periodo, que se llama frecuencia f . En general,
la frecuencia de una onda periódica es el número de
crestas (o valles o cualquier otro punto en la onda)
que pasa por un punto del espacio determinado por
unidad de tiempo:
f =
1
T
La unidad de frecuencia más común es s−1, o hertz (Hz). La
correspondiente unidad para T es segundos.
La máxima posición de un elemento del medio relativo a su
posición de equilibrio se llama amplitud A de la onda.
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La onda progresiva
a t fijo.
Como la onda es sinusoidal, la función de onda en este
instante se puede como y(x, 0) = A sen(ax), donde A es la
amplitud y a una constante a determinar. Entonces,
y(λ
2
, 0) = A sen(aλ
2
) = 0 ⇐⇒ aλ
2
= π (= 180◦)⇒ a = 2π
λ
Si la onda se mueve con rapidez v hacia la derecha,
y(x, t) = A sen
(
2π
λ
(x− vt)
)
de la misma forma que en la ecuación .
Pero v = λ
T
⇒ y(x, t) = A sen
(
λ
(
x
λ
− t
T
))
y tiene en mismo valor en x, x+ λ, x+ 2λ, . . .
y tiene en mismo valor en t, t+ T , t+ 2T , . . .
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La onda progresiva
a t fijo.
Conviene definir el número de onda k ≡ 2π
λ
y la frecuencia
angular ω ≡ 2π
T
= 2πf .
De esta forma puede escribirse la:
Expresión general para la onda sinusoidal
y(x, t) = A sen (kx− ωt+ φ)
donde φ es la constante de fase, que se determina a partir
de las condiciones iniciales.
Obs: con estas definiciones vale v = λf = ω
k
.
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Contenidos
1 Propagación de una perturbación
2 La onda progresiva
3 La ecuación de onda
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La ecuación de onda
Todas las funciones de onda y(x, t) representan soluciones de una ecuación llamada
ecuación de onda lineal. Esta ecuación da una descripción completa del movimiento
ondulatorio, y a partir de ella puede deducirse una expresión para la rapidez de onda.
Además, la ecuación de onda lineal es básica para muchas formas de movimiento
ondulatorio.
Vamos a deducirla para el caso de ondas viajando en una cuerda.
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La ecuación de onda
Supongamos que una onda viajera se propaga a lo largo de
una cuerda que está bajo una tensión T y observamos un
pequeño elemento de cuerda de longitud ∆x.
La fuerza neta en la dirección vertical,∑
Fy = T (sen(θB(− sen(θA)) ≈ T (tan(θB)− tan(θA))
donde la aproximación válida para ángulos pequeños.
F́ısica 1 7/7
La ecuación de onda
Todas las funciones de onda y(x, t) representan soluciones de una ecuación llamada
ecuación de onda lineal. Esta ecuación da una descripción completa del movimiento
ondulatorio, y a partir de ella puede deducirse una expresión para la rapidez de onda.
Además, la ecuación de onda lineal es básica para muchas formas de movimiento
ondulatorio.
Vamos a deducirla para el caso de ondas viajando en una cuerda.
F́ısica 1 7/7
La ecuación de onda
Si pensamos en un desplazamiento infinitesimal,∑
Fy ≈ T
[(
∂y
∂x
)
B
−
(
∂y
∂x
)
A
]
Por otro lado, la masa del elemento es m = µ∆x (µ es la
densidad lineal, masa por unidad de longitud),∑
Fy = may = µ∆x
(
∂2y
∂t2
)
F́ısica 1 7/7
La ecuación de onda
Combinando ambas expresiones se obtiene,
µ
T
(
∂2y
∂t2
)
=
(
∂y
∂x
)
B
−
(
∂y
∂x
)
A
∆x
Tomando el ĺımite ∆t→ 0,
Ecuación de ondalineal
∂2y
∂x2
=
1
v2
∂2y
∂t2
donde v =
√
T
µ
es la rapidez de la onda viajera en la cuerda.
Vale para distintas ondas progresivas y es satisfecha por
cualquier función de onda que tenga la forma y = f(x± vt).
F́ısica 1 7/7
	Propagación de una perturbación
	La onda progresiva
	La ecuación de onda