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Probabilidad
Bioestadística	2020
Probabilidad	y	aleatoriedad
• La	probabilidad	asociada	a	un	suceso	o	evento	aleatorio	es	una	medida	del	grado	
de	certidumbre	de	que	dicho	suceso	pueda	ocurrir.	
• La	probabilidad	busca	estudiar	los	resultados	aleatorios	de	un	experimento	(ojo,	
no	siempre	“experimento”	en	términos	científicos!)	
• Un	proceso	es	ALEATORIO si	su	resultado	es	incierto	(no	se	conoce	a	priori).
• Lo	opuesto	a	esto	es	un	proceso	DETERMINISTA (ya	conocemos	de	antemano	su	
resultado)	à no	es	de	interés	para	nosotros
Probabilidad	y	aleatoriedad
• Ej,	lanzar	una	moneda	es	un	exp.	aleatorio:	A	priori	no	sabemos	de	qué	lado	
caerá
• Peeero… podemos asignar	probabilidades!	(1/2	cara,	1/2	ceca	=	probabilidad	
teórica)
• Notar	que	si	en	una	tirada	sale	cara,	eso	NO	quiere	decir	que	la	otra	saldrá	ceca.	
• No	obstante,	si	repitiéramos	el	proceso	infinitas	veces,	la	relación	final	cara:ceca	
será	~1/2	
§ Un proceso es ALEATORIO si su resultado es incierto (no se conoce a 
priori)
§ Ej, lanzar una moneda una vez. A priori no sabemos si saldrá cara o ceca… 
 
 
 
 
§ Sin embargo, si la tiramos una y otra vez, la distribución es predecible: 
esperamos que salga cara el 50% de las veces y ceca el 50% de las veces 
‘‘Probability theory is nothing but common sense reduced
to calculation.” (Pierre-Simon Laplace )
De	hecho	eso	ya	lo	hizo	alguien…
• En	1900	el	estadístico Pearson	realizó	el	experimento,	lanzando	24000	veces	la	
moneda.	
• Obtuvo	un	resultado	de	12012	caras	(y	11988	cecas).	
• Esto	significa	P(cara)	=	12012/24000	=	0.5005	~0.5	
§ En 1900 el estadístico Pearson realizó el experimento, lanzando 24000 veces la 
moneda. 
§ Obtuvo un resultado de 12012 caras (y 11988 cecas). 
§ Esto significa P(cara) = 12012/24000 = 0.5005 ~0.5 
Convergencia a 1/2 de la frecuencia relativa del 
número de caras obtenido en lanzamientos 
sucesivos de una moneda 
Fijense cómoen	las	primeras tiradas	
(números	bajos	en	el	eje	X), la	
frecuencia	de	caras	(proporción	de	
caras	sobre	cecas)	era	más	fluctuante,	
pero	al	avanzar	en	el	número	de	
tiradas,	la	frecuencia	se	fue	
estabilizando	alrededor	de	0.50
Valores	de	probabilidad
• Las	probabilidades	siempre	están entre	0	y	1.
• Un	suceso	con	P	=	0	es	un	suceso	IMPOSIBLE
• Un	suceso	con	P	=	1	es	un	suceso	SEGURO
• Las	probabilidades	comprendidas	entre	(0	y	1)	corresponden	a	sucesos	aleatorios	
(de	interés en	estadística)
§ Las probabilidades siempre están entre 0 y 1.
§ Las probabilidades P=0 y P=1 corresponden a sucesos imposible y seguros, 
respectivamente à sucesos deterministas
§ Las probabilidades comprendidas entre (0 y 1) corresponden a sucesos aleatorios 
à de interés en estadística
0 1
Qué	tipo de	suceso	es	“ganar	la	lotería”?
determinista
Dos	conceptos:	espacio	muestral y	evento
• Espacio muestral: El conjunto, que contiene todos los posibles resultados de un
experimento.
• Evento: Un subconjunto del espacio muestral es lo que se conoce como. A cada
evento le podemos asignar probabilidades.
Ejemplo	para	ilustrar	esos	conceptos
• Experimento	:	tomar	un	fragmento	al	azar	de	ADN	(ácido	desoxirribonucleico)	y	
saber	con	qué	base	(adenina,	timina,	guanina	o	citosina;	de	ahora	en	más	A,	T,	G,	
C)	comienza.
àEspacio	muestral:	A,	T,	G,	C	
àTamaño	del	espacio	muestral:	4
àUn	posible	evento:	que	la	primera	base	sea	“G”.
• Podemos	entonces	querer	conocer	la	probabilidad	de	nuestro	evento	“que	la	
primera	base	sea	“G”.	
Cálculo	teórico	de	probabilidad
• Si	cada	evento	del	espacio	muestral tiene	la	misma	probabilidad	de	ocurrir,	
entonces	la	probabilidad	de	un	evento	puntual,	P(E),	se	calcula	como:	el	número	
de	resultados	favorables	(n)	sobre	el	número	total	de	casos	posibles	(N,	tamaño	
del	espacio	muestral).	
P(Evento)	=	número	de	resultados	favorablesnúmero	total	de	casos	posibles
• En	notación:
P(E)	=	𝑛𝑁
Ejemplos	para	ilustrar	lo	anterior	usando	
eventos	simples
• Probabilidad	de	que	la	primera	base	sea	G:
P(G)	=	𝑛
𝑁
=	1
4
• Probabilidad	de	obtener	4	al	tirar	un	dado:
P(4)	=	%
&
=	'
(
• Probabilidad	de	que	salga	una	carta	de	“espada”	en	una	baraja	de	40	cartas	
P(Espada)	=	%
&
=	')
*)
=	'
*
Ejemplos	para	ilustrar	lo	anterior	usando	
combinaciones	de	eventos
• Probabilidad	de	que	la	primera	base	sea	purina	(A,G):
P(A,	G)	=	𝑛
𝑁
=	+
4
=	 '
+
• Probabilidad	de	obtener	número	par al	tirar	un	dado	(2,	4,	6):
P(par)	=	%
&
=	,
(
=	 '
+
• Probabilidad	de	que	salga	una	carta	de	“espada	u	oro”	en	una	baraja	de	40	cartas	
P(Espada)	=	%
&
=	+)
*)
=	 '
+
Probabilidad	de	eventos	combinados
• Los	resultados	en	eventos	se	pueden	combinar	de	varias	maneras	para	formar	
nuevos	eventos.	
• Por	ejemplo,	podríamos estar	interesados	en	la	probabilidad	de	que	dos	eventos	
ocurran	simultáneamente,	al	menos	uno	de	los	dos	eventos	ocurre,	un	evento	no	
ocurre,	o	uno	de	los	eventos	ocurre	si	ocurre	el	otro.	
Ejemplo	para	ilustrar	lo	anterior
• Se	está	llevando	a	cabo	una	prueba	de	la	efectividad	de	vacuna	contra	COVID-19	
• De	200	voluntarios,	a	102	se	les	suministró	la	vacuna	y	a	98	un	placebo	(se	les	
inyectó	solución	fisiológica).		
• Se	registró	cuantas	de	cada	grupo	se	enfermaron	de	 COVID-19
vacuna placebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	enfermó 71 10 81
Total 102 98
Ejemplo	para	ilustrar	lo	anterior
• Podríamos preguntarnos:	si tomo	una	persona	al	azar,
a)Cuál es	la	probabilidad	de	que	haya	recibido	la	vacuna?
b)Cuál	es	la	probabilidad	de	que	haya	recibido	el	placebo	y	NO	se	haya	enfermado?
c)Cuál	es	la	probabilidad	de	que	esa	persona	se	haya	enfermado?
vacuna placebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	enfermó 71 10 81
Total 102 98
Ejemplo	para	ilustrar	lo	anterior
Podemos	calcular	las	probabilidades	computando	proporciones	
a)Cuál es	la	probabilidad	de	que	haya	recibido	la	vacuna?	
De	los	200	voluntarios,	102	recibieron	la	vacuna,	es	decir:	
Nro casos	favorables	(recibir	vacuna)	=	102
Nro casos	posibles	(total	de	voluntarios)	=	200
entonces	P(vacuna)=	 ')++))
b)	Cuál	es	la	probabilidad	de	que	haya	recibido	el	placebo	y	NO	se	haya	enfermado?
En	la	tabla,	vemos	que	hay	10	personas	que	recibieron	el	placebo	y	no	se	enfermaron,	entonces	
P(placebo	que	no	se	haya	enfermado)=	 ')+)
c)	Cuál	es	la	probabilidad	de	que	esa	persona	se	haya	enfermado?
En la	tabla,	vemos	que	119	personas	en	total	se	enfermaron,	entonces	P(enf)	=	''-+))
vacunaplacebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	
enfermó 71 10 81
Total 102 98
Cálculos	de	probabilidades	para	eventos	
combinados
• Es	posible	realizar	operaciones	básicas	para	el	cálculo	de	
probabilidades:
- Unión	
- Intersección		
- Complemento	
	
Notación Significado Terminología
A	y	B El	evento	debe	satisfacer	ambas	condiciones Intersección
A	o	B El	evento	puede	satisfacer	cualquiera	de	las	dos	condiciones	(o	ambas) Unión
no	A El	evento	A	no	ocurre Complemento
B	dado	
que	A El	evento	B	ocurre	solo	si	A	ocurrió	antes Condicional
Operaciones	1:	Unión	de	eventos	(A	o	B)	
• La	unión	de	dos	eventos	A	y	B	(A	o	B)	en	el	mismo	espacio	muestral,	es	aquel	
evento	que	se	da	cuando	tanto	A	como	B,	como	ambos	simultáneamente	pueden	
ocurrir.	
• Es	decir,	implica	que	al	menos	unos	de	ellos	ocurra.
En	nuestro	ejemplo	anterior,	podemos	estar
interesados	en	conocer	la	probabilidad	de	
que	una	persona,	 seleccionada	al	azar,	haya	
recibido el	placebo	O	se	haya	enfermado.
Unión	de	dos	eventos:	“recibir	placebo”,	
“enfermarse”.
Operaciones	2:	Intersección	(A	y	B)	
• La	intersección	de	dos	eventos	en	el	mismo	espacio	muestral,	A	y	B,	es	el	evento	
que	contiene	todos	los	resultados	que	son	comunes	a	A	y	B.	
• Es	decir,	aquel	que	se	da	cuando	simultáneamente	ocurren	A	y	B.	
En	nuestro	ejemplo	anterior,	podemos	estar
interesados	en	conocer	la	probabilidad	de	
que	una	persona,	 seleccionada	al	azar,	haya	
recibido el	placebo	Y	se	haya	enfermado.
Intersección	de	dos	eventos:	“recibir	
placebo”,	“enfermarse”.
Caso	especial:	Sucesos	disjuntos	(o	
mutuamente	excluyentes)
• Dos	sucesos	disjuntos	o	mutuamente	excluyentes	son	dos	posibleseventos	de	un	
espacio	de	muestral que	no	pueden	producirse	simultáneamente.	
• En	otras	palabras,	no	tienen	ningún	elemento	en	común,	por	tanto	su	
intersección	es	vacía.
En	nuestro	ejemplo	anterior,	podemos	estar
interesados	en	conocer	la	probabilidad	de	
que	una	persona,	 seleccionada	al	azar,	haya	
recibido el	placebo y	la	vacuna… los	eventos	
“recibir	placebo”	y	“recibir	la	vacuna”	son	
mutuamente	excluyentes,	no	pueden	ocurrir	
juntos	en	la	misma	persona.
Operaciones	3:	complemento	(𝐴̅)
• El	complemento	del	evento	A,	representado	como	𝐴0,	representa	aquel	evento	en	
el	que	A	no	ocurre.	
• Es	decir,	contiene	todas	las	salidas	del	espacio	muestral que	NO	son	A.	
• Tener	esto	en	cuenta	es	muy	útil	en	estadística:	cuando	la	probabilidad	de	A	es	
difícil	de	calcular,	a	veces	resulta	más	sencillo	calcular	la	probabilidad	del	
complemento	de	A	(lo	cual	equivale	a	1	menos	la	probabilidad	de	A):	
P	(𝐴0)	=		1	– P	(A)
Reglas	de	la	probabilidad
• Veremos	algunas	reglas	de	la	probabilidad,	que	nos	ayudarán	al	cálculo	de	la	
misma:	
Regla	1:	La	probabilidad	siempre	es	un	valor	positivo
Regla	2:	Para	un	espacio	muestral dado,	la	suma	de	probabilidades	da	uno	(1)
Regla	3:	para	eventos	disjuntos	(mutuamente	excluyentes),	la	probabilidad	del	
suceso	unión	A	o	B,	P(A	o	B)	=	P(A)	+	P(B)
Regla	4:	Regla	del	producto	(para	eventos	independientes).
Regla	1:	La	probabilidad	siempre	es	un	valor	
positivo
• Los	valores	de	probabilidad	para	un	evento	cualquiera	son	siempre	positivos	y	
están	entre	0	y	1.	
• Esto	refleja	la	noción	de	que	la	probabilidad	de	una	medida	de	proporción.
• En	notación,	la	probabilidad	de	un	evento	A	se	denota	P	(A),	y	siempre,	siempre	
se	cumple	que	0	≤	P	(A)	≤ 1.
§ Las probabilidades siempre están entre 0 y 1.
§ Las probabilidades P=0 y P=1 corresponden a sucesos imposible y seguros, 
respectivamente à sucesos deterministas
§ Las probabilidades comprendidas entre (0 y 1) corresponden a sucesos aleatorios 
à de interés en estadística
0 1
Regla	2:	Para	un	espacio	muestral dado,	la	
suma	de	probabilidades	da	uno	(1)
• A	modo	de	ejemplo,	retomemos	el	experimento	de	seleccionar	un	nucleótido	al	
azar,	de	un	espacio	muestral que	contiene	los	4	posibles	nucleótidos	(A,	T,	G,	C).	
Si	asumimos	que	los	4	nucleótidos	en	el	espacio	muestral tienen	igual	frecuencia,	
tenemos	que:
P	(A)	=	P	(T)	=	P	(C)	=	P	(G)	=	'*
• Ver que	la	suma	de	todas	las	probabilidades	para	este	espacio	muestral es	1.
• En	cambio,	si	el	espacio	muestral contiene	6	nucleótidos	(G,	C,	A,	T,	A,	C),	las	
probabilidades	individuales	cambian,	de	manera	tal	que	
P	(A)	=	P	(C)	=	+( =
'
,				y	P	(T)	=	P(G)	=	
'
(.
• Pero	la	suma	de	probabilidades	de	eventos	en	el	espacio	muestral sigue	siendo	1	
De	este	modo,	las	probabilidades	de	los	nucleótidos	individuales	cambian	para	
reflejar	la	composición	de	eventos	en	el	espacio	muestral.	
Regla	2:	Para	un	espacio	muestral dado,	la	
suma	de	probabilidades	da	uno	(1)
• Este	axioma	también	permite	calcular	el	complemento	de	un	evento.	Suponga	en	
el	ejemplo	de	4	nucleótidos	que	solo	se	conoce	la	probabilidad	de	adenina,	P(A),	
y	queremos	calcular	la	probabilidad	de	cualquier	otro	nucleótido	(que	es	el	
evento	del	complemento	de	A).	Usando	la	fórmula	
P	(𝑨0)	=	1	– P	(A)
• esta	es	una	tarea	sencilla.	Por	ejemplo,	si	P	(A)	=	0,25,	entonces	
P	(𝐴0)	=	1	- 0,25	=	0,75.
Regla	3:	para	eventos	disjuntos,	la	probabilidad	del	
suceso	unión	A	o	B,	P(A	o	B)	=	P(A)	+	P(B)
• En	el	caso	de	eventos	mutuamente	excluyentes,	ya	vimos	que	no	hay	
intersección.	
• De	este	modo,	la	probabilidad	de	su	unión	es	igual	a	la	suma	de	sus	
probabilidades	individuales.	
• De	este	modo,	si	queremos	calcular	la	probabilidad	del	suceso	unión	de	dos	
eventos	A	B:
P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B).
Regla	3:	caso	especial	(Eventos	no	disjuntos)
• Para	eventos	que	NO	son	mutuamente	excluyentes	(es	decir,	la	intersección	es	
distinta	de	cero),	el	cálculo	del	suceso	unión	debe	tener	en	cuenta	esta	área	de	
intersección.	De	este	modo,	si	A	y	B	no	son	mutuamente	excluyentes,	tenemos	
que:	
P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B)	– P	(A	y	B)
• Como	verán,	se	le	resta	el	área	correspondiente	a	la	intersección	(porque	sino	la	
estaríamos	contando	dos	veces).	
Ejemplo	para	ilustrar	la	regla	3
• Retomando	el	ejemplo	de	COVID,
• Si	tomo	una	persona	al	azar,	cuál	es	la	probabilidad	de	que	esté	vacunada	que	no	se	haya	enfermado?
P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B)	– P	(A	y	B)	unión	de	sucesos	no	excluyentes
• P(vacuna)	=	')+
+))
• P	(No	enfermo)	=	 4'
+))
• P	(Vacuna	y	no	enfermo)	=	 5'
+))
P	(V	o	NE)	=	')+
+))
+	 4'
+))
- 5'
+))
=	''+
+))
vacunaplacebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	
enfermó 71 10 81
Total 102 98
Ejemplo	para	ilustrar	la	regla	3
• Retomando	el	ejemplo	de	COVID,
• Si	tomo	una	persona	al	azar,	cuál	es	la	probabilidad	de	que	esté	vacunada	y	no	enferma	o	
que	haya	recibido	el	placebo	y	este	enferma?
P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B)		unión	de	sucesos	disjuntos	(no	hay	intersección)
• P	(Vacuna	y	no	enfermo)	=	 5'
+))
• P	(placebo	y	enfermo)	=	 44
+))
P	(VNE	o	PE)		=	 5'
+))
+	 44
+))
=	'(-
+))
vacunaplacebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	
enfermó 71 10 81
Total 102 98
Regla	4:	Regla	del	producto	para	eventos	
independientes.
• Se	dice	que	dos	eventos	son	independientes	cuando	la	ocurrencia	de	uno	no	está	
relacionada	con	la	ocurrencia	del	otro.	
• En	este	caso,	la	probabilidad	de	la	intersección	(es	decir,	la	ocurrencia	simultanea	
de	ambos	eventos)	es	el	producto	de	las	probabilidades	individuales:
P	(A	y	B)	=	P	(A)	x	P	(B) (si	o	solo	si	A,	B	son	independientes)
Ejemplo	para	ilustrar	la	regla	del	producto:	
genética	mendeliana
• Consideremos	un	cruzamiento	entre	dos	individuos	heterocigotos	(Aa).	¿Cuál	es	
la	probabilidad	de	obtener	un	individuo	aa en	la	siguiente	generación?	
à La	única	manera	de	obtener	un	individuo	aa es	si	la	madre	contribuye	un	
gameto	“a”	y	el	padre	contribuye	un	gameto	“a”.	Cada	padre	tiene	una	probabilidad	
de	1/2	de	hacer	un	gameto	“a”.	Entonces,	la	probabilidad	de	un	descendiente	aa es:	
P	(aa)	=	P	(madre	contribuya	“a”)	x	P	(padre	contribuya	“a”)
P		(aa)	=	1/2	x	1/2	=	1/4
Cuadro	de	Punnet
• Para	un	único	locus,	quizá	les	
siga	resultando	más	simple	
hacer	el	cuadro	de	Punnet	que	
aprendieron	en	biología	
general.	Pero	que	pasa	si	
estamos	interesados	en	3	loci	o	
más?	La	regla	del	producto	es	
la	solución…
Cómo	determinar	si	dos	eventos	son	
independientes
• Es	importante	ver	que	esta	“regla	del	producto”	es	también	útil	para	determinar	
si	dos	eventos	son	independientes	o	no.	
• Si	dos	eventos	son	independientes,	el	producto	de	sus	probabilidades	
individuales	será	igual	al	suceso	intersección	(es	decir,	a	la	probabilidad	
conjunta). Si	no	lo	son,	no	son	independientes.	
• En	notación:
Si	P(A)	x	P(B)	=	P(A	y	B)	à A	y	B	son	independientes
Si	P(A)	x	P(B)	≠ P(A	y	B)	à A	y	B	NO	son	independientes
Ejemplo	para	ilustrar	lo	anterior:	determinar	
si	dos	eventos	son	independientes
• Son	independientes	el	hecho	de	recibir	la	vacuna	y	no	enfermarse?
Si	P(A)	x	P(B)	=	P(A	y	B)	à A	y	B	son	independientes
Si	P(A)	x	P(B)	≠ P(A	y	B)	à A	y	B	NO	son	independientes
P(vacuna)	=	')++))
P	(no	enfermarse)	=		 4'+))
P	(vacuna	y	no	enfermarse)	=	 5'+)) =	0,355
P	(vacuna)	x	P	(no	enfermarse)	=	')++)) x	
4'
+)) =	
4+(+
*)))) =	0,206			
como P(A)	x	P(B)	≠ P(A	y	B)	à A	y	B	NO	son	independientes
vacunaplacebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	
enfermó 71 10 81
Total 102 98
Probabilidad	condicional
• Si	dos	eventos	A	B	NO	son	independientes	(es	decir,	están	relacionados),	la	
ocurrencia	de	A	afecta	la	probabilidad	de	ocurrencia	de	B.	
• De	este	modo,	se	define	la	probabilidad	condicionada	de	que	ocurra	un	suceso	B,	
dado	que	ha	ocurrido	otro	suceso	A	como:
P	(B	|	A)	=	𝑃	(𝐵	𝑦	𝐴)𝑃	(𝐴)
• Esta	expresión	viene	a	ser	equivalente	a	calcular	la	probabilidad	de	B	cuando	el	
espacio	muestral queda	reducido	sólo	al	suceso	A
Ejemplo	para	ilustrar	probabilidad	condicional
• Queremos	saber	cuál	es	la	probabilidad	de	queuna	persona,	tomada	
al	azar	entre	los	enfermos,	haya	recibido	el	placebo.	
• Ver	que	aquí	nuestro	espacio	muestral	ya	no	es	el	total	de	voluntarios	
(200)	sino	el	total	de	enfermos	(119)	
• Entonces		P	(recibió	placebo	dado	que	está	enfermo)	=	;	(<	=	>)
;	(>)
=	 44
''-
vacuna placebo Total
Se	Enfermó 31 88 119
No	se	enfermó 71 10 81
Total 102 98
Regla	4	(extendida):	Regla	general	del	
producto	(para	eventos	no	independientes)
• Si	despejamos	el	término	P	(A	y	B)	pasando	el	término	P	(A)	al	otro	lado	de	la	
igualdad	en	la	ecuación	de	la	probabilidad	condicionada,	tenemos	que:
P	(A	y	B)	=	P	(B	|	A)	x	P	(A)
• Y	también,	
P	(A	y	B)	=	P	(A	|	B)	x	P	(B)
• Esta	es	la	probabilidad	de	que	dos	eventos	NO	independientes	ocurran	juntos.
Resumen	de	reglas	básicas	de	la	probabilidad
• Complemento:		P	(𝐴0)	=	1	– P	(A)
• Suma:	P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B)	– P	(A	y	B)
• Suma (si	A	y	B	son	mutuamente	excluyentes):		P	(A	o	B)	=	P	(A)	+	P	(B)
• Multiplicación:	P	(A	y	B)	=	P	(A)	x	P	(B|A)	=	P	(B)	x	P	(A|B)
• Multiplicación (si	A	y	B	son	independientes):	P	(A	y	B)	=	P	(A)	x	P	(B)
• Probabilidad	Condicional:	P	(B	|	A)	=	𝑃(𝐴	𝑦	𝐵)𝑃	(𝐴) y		P	(A	|	B)	=	
𝑃(𝐴	𝑦	𝐵)
𝑃	(𝐵)
Teorema	de	la	probabilidad	total
• Aquí	se	presenta	un	rectángulo	(espacio	muestral)	particionado	en	varios	eventos	
A1,	…,	An de	distinto	tamaño.	No	hay	solapamiento	(intersección)	entre	ellos	y	la	
suma	de	todos	ellos	ocupa	la	totalidad	del	espacio	muestral.	Además,	vemos	otro	
evento,	el	óvalo	B,	que	se	solapa	con	varios	elementos	de	A.
• Queremos	calcular	la	P(B)	pero	sólo	conocemos	las	P(Ai)
Teorema	de	la	probabilidad	total
• P(B)	=	P	(B	y	A1)	+	P	(B	y	A2)	+	P	(B	y	A3)	+	… +	P	(B	y	An)	(regla	de	la	suma	p/	disjuntos)
=
• P(B)	=	P	(B|A1)	P(A1)	+	P	(B|A2)	P(A2)	+	P	(B|A3)	P(A3)	+	… +	P	(B|An)	P(An)	(regla	del	
producto	para	eventos	no	independientes)
Teorema	de	la	probabilidad	total
• El	teorema	de	la	probabilidad	total	nos	permite	calcular	la	probabilidad	de	un	
suceso	a	partir	de	probabilidades	condicionadas.	
• Este	teorema	combina	la	regla	de	la	suma	de	probabilidades	(válida	sólo	si	
estamos	seguros	de	que	A1,	A2,	A3,	…,	An son	eventos	mutuamente	excluyentes)	y	
del	producto	para	sucesos	no	independientes.
• Notación
P(B)	=	P(A1)	x	P	(B|	A1)	+	P(A2)	x	P	(B|	A2)	+	…	+	P(An)	x	P	(B|	An)	=	
∑ 𝑷	 𝑨𝒊 	𝒙	𝑷	 𝑩 𝑨𝒊)𝒏𝒊E𝟏
Ejemplo	del	teorema	de	la	probabilidad	total:	
aplicaciones	y	métodos
• En	un	bioterio se	tienen	3	cepas	de	ratones	(Mus	musculus);	el	40%	son	de	la	
cepa	BALB/c,	35%	son	de	la	cepa	AKR	y	el	25%	restante	C57BL.	De	BALB/c,	el	30%	
son	machos;	de	la	cepa	AKR	el	40%	son	hembras,	y	de	C57BL	hay	igual	porcentaje	
de	machos	y	hembras.	¿Cuál	es	la	probabilidad	de	que	un	ratón	elegido	
aleatoriamente	en	el	bioterio sea	macho?
Ejemplo	del	teorema	de	la	probabilidad	total:	
aplicando	el	teorema
Tenemos	3	eventos	A1,	A2 y	A3,	que	forman	una	partición	del	espacio	muestral
(cepas	de	ratones	del	bioterio):
• A1:	que	un	ratón	elegido	aleatoriamente	sea	de	la	cepa	BALB/c.
• A2:	que	un	ratón	elegido	aleatoriamente	sea	de	la	cepa	AKR.
• A3:	que	un	ratón	elegido	aleatoriamente	sea	de	la	cepa	C57BL.
A	partir	del	enunciado,	sabemos	que	
• P(A1)	=	0,40
• P(A2)	=	0,35
• P(A3)	=	0,25
Ejemplo	del	teorema	de	la	probabilidad	total:	
aplicando	el	teorema
• También	sabemos,	del	enunciado	que:
De	BALB/c,	el	30%	son	machos.	De	este	modo,	la	probabilidad	condicionada	de	que	un	ratón	sea	
macho,	dado	que	es	de	la	cepa	BALB/c	es	de:	P(B	|	A1)	=	0,30
De	la	cepa	AKR	el	40%	son	hembras	(o	sea	que	el	60%	restante	son	machos).	De	este	modo,	la	
probabilidad	de	que	un	ratón	sea	macho,	dado	que	es	de	la	cepa	AKR	es	de: P(B	|	A2)	=	0,60
De	C57BL	hay	igual	porcentaje	de	machos	y	hembras	(es	decir,	50%	de	cada	uno).	De	este	modo,	la	
probabilidad	condicionada	de	que	un	ratón	sea	macho,	dado	que	es	de	la	cepa	C57BL	es	de P(B	|	A3)	
=	0,50
• Reemplazando	en	el	teorema	de	la	probabilidad	total:
P(B)	=	P(A1)	x	P	(B|	A1)	+	P(A2)	x	P	(B|	A2)	+	P(A3)	x	P	(B|	A3)
P(Macho)	=	0,40	x	0,30	+	0,35	x	0,60	+	0,25	x	0,50	=	0,455
Ejemplo	del	teorema	de	la	probabilidad	total:	
Usando	diagrama	de	árbol
• Podemos	armar	un	árbol	con	los	datos	
	
	
	
	
	
	
	
	
Biotetio
BALB/c	(0,40)
Macho	(0,30)
Hembra	(0,70)
AKR	(0,35)
Macho	(0,60)
Hembra	(0,40)
C57BL	(0,25)
Macho	(0,50)
Hembra	(0,50)
Ejemplo	del	teorema	de	la	probabilidad	total:	
Usando	diagrama	de	árbol
• Truco	para	calcular	probabilidades	usando	el	diagrama	de	árbol:	cuando	
avanzamos	de	izquierda	a	derecha,	multiplicamos	las	probabilidades;	cuando	
avanzamos	de	arriba	hacia	abajo,	sumamos	las	probabilidades.
• De	este	modo,	
P	(Macho)	=	P	(BALB/c)	x	P	(Macho)	+	P	(AKR)	x	P	(Macho)	+	P	(C57BL)	x	P	(Macho)
P	(Macho)	=	0,40	x	0,30	+	0,35	x	0,60	+	0,25	x	0,50	=	0,455
Biotetio
BALB/c	(0,40)
Macho	(0,30)
Hembra	(0,70)
AKR	(0,35)
Macho	(0,60)
Hembra	(0,40)
C57BL	(0,25)
Macho	(0,50)
Hembra	(0,50)
Teorema	de	Bayes
• El	teorema	de	Bayes es	consecuencia	directa	de	los	axiomas	de	probabilidades	
condicionales.	Su	intención	es	determinar	la	probabilidad	de	un	suceso	con	respecto	a	la	
probabilidad	de	otro	suceso	diferente.
• El	teorema	de	Bayes es	utilizado	para	calcular	la	probabilidad	de	un	suceso,	teniendo	
información	de	antemano	sobre	ese	suceso.
• El	teorema	de	Bayes entiende	la	probabilidad	de	forma	inversa	al	teorema	de	la	
probabilidad	total.	El	teorema	de	la	probabilidad	total	hace	inferencia	sobre	un	suceso	B,	
a	partir	de	los	resultados	de	los	sucesos	A.	Por	su	parte,	Bayes calcula	la	probabilidad	de	
A	condicionado	a	B.
Teorema	de	Bayes
• Hemos	visto	que,	si	tenemos	dos	sucesos	A	y	B,	podemos	estimar	la	probabilidad	
condicional	de	Aj,	dado	que	pasó	B,	P(Aj|	B)		como:
P(Aj|B)	=	
𝑃(𝐴𝑗	𝑦	𝐵)
𝑃	(𝐵)
• Además,	por	la	regla	de	la	multiplicación,	sabemos	que:	
P	(Aj y	B)	=	P	(Aj)	x	P	(B|Aj)
• Reemplazando	en	el	numerador,	nos	queda	que:	
P(Aj|B)	=	
P	(Aj)	x	P	(B|Aj)
𝑃	(𝐵)
Fórmula básica	del	Teorema de	Bayes
Teorema	de	Bayes
• Esto	se	puede	extender,	ya	que	A	puede	tener	múltiples	particiones	(A1,	A2,	…,	
An).
• Por	el	teorema	de	la	probabilidad	total	sabemos	que:
P(B)	=	∑ 𝑃	 𝐴𝑖 	𝑥	𝑃	 𝐵 𝐴𝑖)𝑛𝑖=1
• Reemplazando	en	el	denominador	de	la	ecuación	anterior,	nos	queda	la	fórmula	
extendida	del	teorema	de	Bayes:
P(Aj|B)	=	
𝐏	(𝐀𝐣)	𝐱	𝐏	(𝐁|𝐀𝐣)
∑ 𝑷	 𝑨𝒊 	𝒙	𝑷	(𝑩|𝑨𝒊)𝒏𝒊=𝟏
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:	
Ej:	determinación	de	enfermedad	renal	crónica
• La	Enfermedad	Renal	Crónica (ERC)	se	caracteriza	por	ser	silenciosa	en	etapas	
tempranas	y,	en	ausencia	de	tratamiento	adecuado,	conduce	al	fallo	irreversible	
de	la	función del	órgano y	requerimiento	de	tratamiento	sustitutivo	(diálisis o	
trasplante	renal).	
• La	prevalencia	de	ERC	(en	la	población adulta)	se	estima	en	10	%	(Sociedad	
Argentina	de	Nefrología)	
• La	presencia	de	concentraciones	elevadas	de	proteínao	albúmina en	orina	de	
modo	persistente	(proteinuria),	es	un	signo	de	lesión renal	y	es	la	mejor	
estrategia	para	el	diagnóstico y	pronósticode	la	ERC.	
• Para	determinar	la	pérdidade	proteínas o	albúmina en	orina	se	suelen	pueden	
utilizar	tiras	reactivas,	en	muestras	de	orina.
àEl	cambio	de	color	de	un	indicador	al	contacto	con	la	orina	suele	usarse	como	
indicador	(resultado	del	test	positivo)	
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
ejemplo
• Una	tira	reactiva	de	orina	es	un	instrumento	de	
diagnóstico básico,	que	tiene	por	finalidad	
detectar,	durante	un	examen	rutinario	de	orina,	
algunos	de	los	cambios	patológicosque	pueden	
aparecer	en	la	orina	de	un	paciente.	
• Las	tiras	reactivas	utilizadas	en	la	actualidad	
proporcionan	un	medio	rápido y	simple	para	
llevar	a	cabo	el	análisis químicode	la	orina,	algo	
muy	importante	desde	el	punto	de	vista	médico.	
Este	análisis abarca	pH,	presencia	de	proteína,	
glucosa,	cetonas,	hemoglobina,	bilirrubina,	entre	
otros.	
§ Una tira reactiva de orina es un instrumento de 
diagnóstico básico, que tiene por finalidad 
detectar, durante un examen rutinario de orina, 
algunos de los cambios patológicosque pueden 
aparecer en la orina de un paciente.
§ Las tiras reactivas utilizadas en la actualidad 
proporcionan un medio rápido y simple para llevar 
a cabo el análisis químico de la orina, algo muy 
importante desde el punto de vista médico. Este 
análisis abarca pH, presencia de proteína, glucosa, 
cetonas, hemoglobina, bilirrubina, entre otros.
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
conceptos	de	sensibilidad	y	especificidad
• Para	que	una	prueba	diagnóstica sea	aceptable	ha	de	tener	alta	sensibilidad	y	alta	especificidad.	
Estos	conceptos	se	definen	del	siguiente	modo	(se	entiende	que	dar	positivo	en	la prueba	
significa	que	ésta	detecta	la	presencia	de	proteina en	orina,	como	indicador	de	proteinuria):
• Sensibilidad:	Tasa	de	verdaderos	positivos
P	(la	prueba	de	positivo	|	el	individuo	tiene	la	enfermedad)
P	(+	|	Enf)
• Especificidad:	Tasa	de	verdaderos	negativos	
P	(la	prueba	de	negativa	|	el	individuo	esté	sano)
P	(- |	Sano)
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
coeficientes
• Como	las	pruebas	diagnósticas	no	son	exactas,	puede	ocurrir	que	den	positivo	a	
individuos	sanos	(falsos	positivos)	y	negativos	a	individuos	enfermos	(falsos	negativos)	De	
este	modo,	podemos	definir:
à Coeficiente	de	falso	positivo=	1-Especificidad	=	P(+	|	Sano)
à Coeficiente	de	falso	negativo=	1	– Sensibilidad	=	P(- |	Enf)
• Por	lo	general,	la	sensibilidad	y	especificidad	de	una	prueba	diagnóstica	ya	se	conocen,	y	
se	obtienen	de	estudios	poblacionales	previos	(es	decir,	esto	es	información	previa).	
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
concepto	de	prevalencia	de	una	enfermedad
• Otra	cosa	que	normalmente	se	conoce,	es	la	incidencia	o	prevalencia	de	
determinada	enfermedad	en	una	población.	Vamos	a	introducir	también	el	
concepto	de	prevalencia,	ya	que	lo	vamos	usar	bastante.
• Prevalencia:	En	epidemiología,	se	denomina	prevalencia	a	la	proporción	de	
individuos	de	un	grupo	o	una	población,	que	presentan	una	característica	o	
evento	determinado	(en	medicina,	enfermedades).	Por	lo	general,	se	expresa	
como	una	fracción,	un	porcentaje	o	un	número	de	casos	por	cada	10000	o	
100000	personas.
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
ejemplo
• La	prevalencia	de	ERC	(en	la	población adulta)	se	estima	en	10	%	
• Las	tiras	reactivas	tienen	una	especificidad	de	0.98	(“verdaderos	negativos”)	y	una	
sensibilidad	de	0.93	(“verdaderos	positivos”)
• Si	tomamos	al	azar	una	persona	de	la	población	argentina,	cuál	es	la	probabilidad	de	que	
tenga	la	enfermedad?		
à	0.10,	es	decir,	la	prevalencia	de	la	enfermedad	en	esa	población
• Cuál	es	la	probabilidad	de	que	un	paciente,	al	que	el	test	le	dio	positivo,	realmente	tenga	
la	enfermedad?			
à	se	resuelve	con	teorema	de	Bayes	
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
ejemplo
• Este	teorema	describe	como	una	probabilidad	previa	(o	“a	priori”,	en	este	caso	la	
prevalencia	de	la	enfermedad),	es	actualizada	por	la	evidencia	(es	decir,	por	los	
datos,	el	resultado	del	test	diagnóstico),	generando	un	nuevo	nivel	de	
probabilidad	(“a	posteriori”):
	
§ Esta expresión describe como una probabilidad previa (o “a priori”, en este caso 
la prevalencia de la enfermedad), es actualizada por la evidencia (es decir, por los 
datos, el resultado del test diagnóstico), generando un nuevo nivel de probabilidad 
(“a posteriori”) 
P(enf|+)	=	I(O|\R])I(\R])I(O)
A priori: la 
PREVALENCIA 
de la 
enfermedad en 
la población
Probabilidad a 
posteriori: La 
probabilidad de estar 
enfermo de ERC, dado 
que el test dio positivo
La evidencia: La 
probabilidad de 
dar positivo, si 
está enfermo 
(SENSIBILIDAD)
La probabilidad GENERAL de la evidencia 
(es decir de que el test de positivo)
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
ejemplo
Datos:
P(enf)	=	0,10
P(+	|	enf)	=	sensibilidad	=	0,93
P(+	|	sano)	=	1	– especificidad	=	1-0,98	=	0,02
• Por	teorema	de	Bayes:
P(Enf|+)	=	 P	(Enf)	x	P	(+|Enf)P	 Enf 	x	P + Enf)+	P	 Sano 	x	P	 + Sano)
P(Enf|+)	= 0,1	x	0,930,1	x	0,93	+	0,9	x	0,)+=	
0,093
),-5` =	0,84
Si	el	test	dio	positivo,	la	persona	tiene	una	probabilidad	de	0,84	de	tener	la	enfermedad
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
ejemplo	(otra	forma	de	resolverlo:	árbol)
• Sabemos	que,	por	teorema	de	Bayes:	
P(Enf|+)	=	P	(Enf)	x	P	(+|Enf)𝑃	(+)
P(enf)	=	0,10
P(+	|	enf)	=	sensibilidad	=	0,93
• Usamos	diagrama	de	árbol	para	calcular	la	probabilidad	de	que	el	test	de	positivo
Paciente
P(Sano)	=0,9
P(+|sano) =	0,02
P(-|	sano)	= 0,98
P(Enf)= 0,1
P(+|enf) =	 0,93
P(-|	enf) =	0,07
P	(+)	=	P	(Enf)	 x	P	(+|	Enf)	+	P	(Sano)	x	P	(+|	Sano)
P	(+)	=		0,1	x	0,93	 + 	0,9	x	0,02 =	0,111
P(Enf|+)	=	).')	c	).-,
).'''
= 0,84
Teorema	de	Bayes en	pruebas	diagnósticas:
Probabilidades	a	priori	y	a	posteriori
§ En este ejemplo, cuando el paciente consulta al 
médico, él ya tiene una idea a priori (previa) 
acerca de la probabilidad de que tenga ERC 
(esa idea previa es la prevalenciade la 
enfermedad en la población).
§ A continuación se le pasa un test diagnóstico que 
aporta nueva información: si presenta o no 
proteinuria (indicador de la enfermedad).
§ En función del resultado el médico tiene una 
nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad 
de que el paciente esté enfermo.
§ La idea que se tenia a priori se modificó por el 
resultado de un experimento. 
Paciente: ¿Qué 
probabilidad tengo de tener 
ERC?
Médico: En principio un 
10%. Le haremos unas 
pruebas.
Médico: El test de orina 
dio positivo. La 
probabilidad de que tenga 
ERC es del 84%.
§ En este ejemplo, cuando el paciente consulta al 
médico, él ya tiene una idea a priori (previa) 
acerca de la probabilidad de que tenga ERC 
(esa idea previa es la prevalenciade la 
enfermedad en la población).
§ A continuación se le pasa un test diagnóstico que 
aporta nueva información: si presenta o no 
proteinuria (indicador de la enfermedad).
§ En función del resultado el médico tiene una 
nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad 
de que el paciente esté enfermo.
§ La idea que se tenia a priori se modificó por el 
resultado de un experimento. 
Paciente: ¿Qué 
probabilidad tengo de tener 
ERC?
Médico: En principio un 
10%. Le haremos unas 
pruebas.
Médico: El test de orina 
dio positivo. La 
probabilidad de que tenga 
ERC es del 84%.
Ideas!
• Uno	de	los	principales	objetivos	de	la	biotecnologíaes	generar	productos.	
• Test	diagnósticos para	enfermedades	varias.
• Complementos	tecnológicos
• Ej DIP	UTI	test,	para	infección urinaria.	
§ Uno de los principales objetivos de la biotecnología es generar productos. 
§ Test diagnósticos para enfermedades varias 
§ Complementos tecnológicos 
§ Ej DIP UTI test, para infección urinaria. 
Ideas!
• Uno	de	los	principales	objetivos	de	la	biotecnologíaes	generar	productos.	
• Test	diagnósticos para	enfermedades	varias.
• Complementos	tecnológicos
• Ej DIP	UTI	test,	para	infección urinaria.	
Todos estos test necesitan describir sensibilidad, 
especificidad….