Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria

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Análisis de la respuesta
transitoria y estacionaria	
Para analizar un sistema de control se necesita un modelo, existen varios métodos para el análisis del comportamiento de un sistema 
En la practica las señales de entrada no se conocen con anticipación, son de naturaleza aleatoria 
Se utiliza señales de prueba 
Rampa, escalón o impulso 
SEÑALES DE PRUEBAS TÍPICAS
Es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control ya que las señales son funciones de tiempo muy simples 
La forma de la entrada a la que el sistema esta sujeto con mayor frecuencia en operación normal determina cual de las señales de pruebas típicas debemos usar 
RAMPA
Funciones de tiempo que cambian de manera gradual 
ESCALÓN 
Si el sistema esta sujeto a perturbaciones repentinas 
IMPULSO 
Si esta sujeto a entradas choques 	
El comportamiento del sistema es satisfactorio usando la señal típica adecuada 
RESPUESTA TRANSITORIA Y RESPUESTA EN ESTADO ESTACIONARIO 
Transitoria a medida que evoluciona
Estacionaria cuando tiene al infinito 
La respuesta se puede escribir como:
Primer termino del lado derecho es la transitoria y el segundo termino es estado estacionario 
ESTABILIDAD ABSOLUTA, ESTABILIDAD RELATIVA Y ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
Al diseñar un sistema de control se debe predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de sus componentes
Estabilidad absoluta, determinar si el sistema es estable o inestable 
SISTEMA ESTABLE
Un sistema de control esta en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema esta sujeto a una condición inicial 
SISTEMA CRITICAMENTE ESTABLE
Es aquel sistema de control lineal e invariante con el tiempo en el que las oscilaciones de la salida continúan al infinito
SISTEMA INESTABLE
Es aquel en que la salida diverge sin limite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema esta sujeto a una condición inicial 
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
un sistema eléctrico, térmico, hidráulico
La relación entrada – salida se obtiene mediante 
Suponiendo que sus condiciones iniciales son igual a cero 
RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO
Se representa mediante la siguiente expresión
Donde 1/s corresponde a la entrada escalón unitario 
Es una función no en tiempo, si no en frecuencia, usamos laplace para pasar en función del tiempo
Podemos usar fracciones parciales para resolver este problema y obtenemos
	
CURVA DE RESPUESTA 
EJEMPLO
Un termopar tiene una función de transferencia que relaciona su salida en volts con su entrada en °C de la forma
Cuál será?
El tiempo que tenga que transcurre para que la salida del termopar alcance el 95% de su valor final
El valor final en estado estable cuando hay una entrada escalón de 100°C 
Un termómetro requiere 1 minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encontrar la constante de tiempo 
CALCULO DE ESTABILIDAD MEDIANTE MATLAB
Se puede calcular los polos y ceros de un sistema mediante con los siguientes pasos
	Escribir la función de transferencia con sus términos separando numerador y denominador
	Escribimos el comando sgrid
crea una cuadricula de razón de amortiguación y frecuencia natural constantes
	Usamos el comando pzmap crea un mapa de polos y ceros de sistemas lineales
Ejemplos
A partir de la siguiente función de transferencia
Determinar:
Constante de tiempo a y la ganancia k del sistema
Si se aplica una entrada escalón con valor de 5, determinar su salida Y(s)
Graficar la salida en Matlab
Graficar la FT con la entrada escalón
RESPUESTA RAMPA
se representa mediante la siguiente expresión 
Al aplicar fracciones parciales obtenemos
Finalmente al aplicar la inversa de laplace
Entre mas pequeña la constante de tiempo, mas pequeño el error
ENTRADA IMPULSO
La entrada impulso viene representado por la forma:
De tal manera que aplicando la transformada inversa de laplace se obtiene
EJERCICIO
Un cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica de 127 volts. Alcanzar la temperatura estable de 325°C y tarde 130 segundos en alcanzar el 98% de este valor. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta.
SISTEMAS DE 2 ORDEN
Los sistemas de 2 orden se caracterizan por tener dos polos.
Entender el sistema de 2 orden es muy importante para el diseño de controladores ya que habitualmente la mayor parte de los sistemas pueden ser aproximados a un sistema de orden dos
La función de transferencia estándar para los sistemas de 2 orden es
 
DONDE:	
 GANANCIA DEL SISTEMA
	 ES LA FRECUENCIA NATURAL
 
 COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO
La solución (raíces o polos del sistema ) de la ecuación característica es:
Y 
El comportamiento dinámico del sistema de 2 orden puede ser descrito en términos del factor de amortiguamiento 
Partiendo de una ecuación de 2 orden
Igualando a 0
Derivando 
SISTEMA NO AMORTIGUADO
Polos imaginarios puros
SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO
Polos son reales y repetidos
SISTEMA SOBREAMORTIGUADO
Polos son reales y diferentes
SISTEMA SUBAMORTIGUADO
Polos son complejos y conjugados 
Tiempo de subida
Se define como el tiempo de una forma de onda que va desde el 10% hasta el 90% de su valor final, también como el tiempo de paso del 5% al 95% o del 0 al 100%
Tiempo de pico
Es el tiempo que pasa hasta alcanzar el primer pico de sobrepasamiento 
Tiempo de asentamiento 
Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema este dentro de un porcentaje del valor final
Sobrepaso máximo
Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad 
BONUS 
Dada la siguiente función de transferencia de 2 orden
Calcular:
Tipo de sistema
Tiempo de subida
Tiempo pico
Sobrepaso máximo
Tiempo de asentamiento
Respuesta escalón unidad para un sistema subamortiguado
Para el siguiente sistema 
Calcular
Tiempo de subida
Tiempo de pico
Tiempo de asentamiento 
Ejemplo
Calcular la respuesta escalon de un sistema subamortiguado
 
MODELOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE BLOQUES
Podemos encontrar la función de transferencia global de un sistema a partir de conocer la transferencia global individual de los sub sistemas que lo conforman
Los diagramas de bloques se pueden usar para representar mejor estos sub sistemas 
Si las señales están en función del tiempo las representaremos con una letra minúscula seguida de t
Por el contrario si están en dominio de la frecuencia, las representaremos con una letra mayúscula seguida de la letra s
Llamamos trayectoria directa se usa para los elementos a través de la cual pasa la señal en dirección entrada - salida a lo largo del sistema .
El termino retroalimentación se usa para los elementos por los cuales pasa la señal cuando se alimenta de regreso desde la salida hacia la entrada
El termino trayectoria de pre alimentación se usa para elementos que están en paralelo con la trayectoria directa , es decir, entrada – salida 
()1
t
T
cte
-
=-
()1tTcte
6
3010
()
101
x
Gs
s
-
=
+
63010()101xGss
32
3
22
S
H
SSS
+
=
+--
32322SHSSS
2
2
251
23
SS
H
SS
++
=
++
2225123SSHSS
5
()
5
Gs
S
=
+
5()5GsS
n
w
n
V

2
22
()
()2
n
nn
K
YS
RSs
w
Vww
=
++
222()()2nnnKYSRSs
K
K
2
1
1
nn
s
zwwz
=---
211nns
2
2
1
nn
s
zwwz
=-+-
221nns
2
2
2
2()
dxdx
TTxKyt
dtdt
z
++=
2222()dxdxTTxKytdtdt
2
2
2
20
dxdx
TTx
dtdt
z
++=
22220dxdxTTxdtdt
22
210
TPTP
z
++=
22210TPTP
0
z
=
0
1
z
=
1
1
z
>
1
01
z
<<
01
d
tr
pf
w
-
=
dtr
dtp
p
w
=
dtp
4
*
n
ts
zw
=
4*nts
2
1
100
Mpx
zp
z
-
-
=
21100Mpx
2
1
1
tan()
z
f
z
-
-
=
211tan()
2
1
dn
wwz
=-
21dn
2
9
()
2.49
Gs
ss
=
++
29()2.49Gsss
2
22
()
(2)
n
nn
Ys
sss
w
zww
=
++
222()(2)nnnYssss
2
1
()1()
1
n
t
d
ytesent
zw
wq
z
-
=-+
-
21()1()1ntdytesent
arccos()
qz
=
arccos()
2
25
()
625
Gs
ss
=
++
225()625Gsss
2
()
1
()0.61
o
i
Vs
Vsss
=
++
2()1()0.61oiVsVsss