Fotogrametría terrestre aplicada a modelos físicos del laboratori

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Universidad de La Salle Universidad de La Salle 
Ciencia Unisalle Ciencia Unisalle 
Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería 
12-15-2010 
Fotogrametría terrestre aplicada a modelos físicos del laboratorio Fotogrametría terrestre aplicada a modelos físicos del laboratorio 
de procesos geotécnicos de procesos geotécnicos 
Marinela Pinzón Muñóz 
Universidad de La Salle, Bogotá 
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Citación recomendada Citación recomendada 
Pinzón Muñóz, M. (2010). Fotogrametría terrestre aplicada a modelos físicos del laboratorio de procesos 
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FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE APLICADA A MODELOS FÍSICOS DEL 
LABORATORIO DE PROCESOS GEOTÉCNICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARINELA PINZÓN MUÑÓZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL 
BOGOTÁ D.C. 
2010 
FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE APLICADA A MODELOS FÍSICOS DEL 
LABORATORIO DE PROCESOS GEOTÉCNICOS 
 
 
 
 
 
 
 
MARINELA PINZÓN MUÑÓZ 
 
 
 
 
 
 
 
Trabajo de grado presentado como requisito final para optar al título de 
Ingeniero Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Director Temático 
Ing. Carlos Mendoza 
Asesora metodológica 
 Mag. Marlén Cubillos 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL 
BOGOTÁ D.C. 
2010 
  Nota de aceptación: 
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Firma del presidente de jurado 
  
 
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Firma del jurado 
  
 
__ _ ________________ 
do 
__ _______ ____
Firma del jura
 
 
 
 
 
Bogotá D.C., 15 de Diciembre de 2010 
 
DEDICATORIA 
 
Este título se lo dedico a mis papás José Pinzón y Carmen Muñoz y mis hermanos 
Leidy Pinzón y Edison Pinzón que con su esfuerzo, dedicación y apoyo durante 
este proceso importante de mi vida hicieron que este sueño se me hiciera realidad. 
 
A Dios por permitirme la vida para vivir una experiencia tan bonita como lo es de 
ser una profesional, y poder alcanzar una tercera meta de mi vida y por darme la 
oportunidad de seguir creciendo moralmente y como persona, además por 
escucharme y ayudarme a salir de los tropiezos que se me presentaron en esta 
etapa. 
 
A todos aquellos (PROFESORES) que con sus enseñanzas me dieron la 
oportunidad compartir con ellos sus conocimientos. 
 
A mis amigos y amigas que con ellos luchamos para sacar adelante esta meta que 
es tan importante para nuestras vidas. 
 
A toda mi familia que ellos hicieron parte también de este proceso, a mis abuelos y 
mis tíos que están allá en el cielo orgullosos de que en la familia sigamos 
creciendo todos como profesionales y que podamos seguir adelante para así 
darles un gran ejemplo a nuestros hijos en un futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
La autora expresa su reconocimiento: 
 
Al ingeniero CARLOS LEONARDO MENDOZA, director temático, que me brindó 
la oportunidad de hacer parte de su proyecto, por su larga espera y paciencia; por 
la motivación, empeño, apoyo y compromiso para la culminación de este 
proyecto, gracias por permitirme ser partícipe de sus conocimientos. 
 
Al ingeniero ADOLFO CAMILO TORRES PRADA, por darme la oportunidad de 
realizar mi proyecto en su laboratorio, junto con otros proyectos trabajados 
alternamente al mío, por su paciencia y apoyo. 
 
A MARLÉN CUBILLOS, asesora metodológica, agradezco dedicación para el 
desarrollo de este trabajo, y por brindarnos sus conocimientos para el bienestar de 
nosotros. 
 
Al ingeniero FERNANDO ALBERTO NIETO, gracias por su apoyo y su interés 
para que se efectuara a cabalidad el presente trabajo. 
 
Al ingeniero MAURICIO AYALA, asistente dirección programa de ingeniería civil 
por su apoyo y colaboración incondicional para que pudiera culminar con esta 
etapa de mi vida. 
 
A DIEGO GONZÁLEZ, JORGE LOMBANA BERCID, Y OSCAR JAVIER PARRA 
CRUZ compañeros y estudiantes investigadores, por apoyo permanente en el 
desarrollo de este proyecto, por brindarme esa confianza para también apoyar en 
sus trabajos de grado. 
 
A OSCAR MAURICIO VARGAS LÓPEZ compañero que me brindó apoyo, 
confianza de principio a fin para la culminación de mi trabajo de grado, por su 
colaboración incondicional y su disposición. 
 
A JOSE PINZÓN, mi papá, gracias a su apoyo, enseñanzas y la oportunidad de 
poder aprender lo que era mi carrera, gracias por su gran esfuerzo para apoyarme 
económicamente y por el amor que me ha brindado durante esta etapa de mi 
vida. 
 
A todas las personas que hicieron posible éste logro: mi familia, ingenieros, 
profesores, compañeros, amigos; que a lo largo de todo este proceso, 
representaron un apoyo incondicional para cumplir nuestras metas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABLA DE CONTENIDO 
 
 PAG. 
INTRODUCCIÓN 14 
1 JUSTIFICACIÓN 15 
2 OBJETIVOS 16 
2.1 Objetivo general 16 
2.2 Objetivos específicos 16 
 
3 PROBLEMA 17 
3.1 LÍNEA 17 
3.2 TÍTULO 17 
3.3 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 17 
3.4 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 18 
 
4 MARCO TEÓRICO 19 
4.1 MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL 19 
4.1.1 Estado del arte (antecedentes) 19 
4.1.2 Aerotriangulación analítica 23 
4.1.3 Rectificación convencional 26 
4.1.4 Transformación proyectiva 28 
4.1.5 estereofotogrametría digital 29 
4.2 EXPERIENCIAS EN EL USO DE LA FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE 30
 
 
5 METODOLOGÍA 33 
5.1 INTRODUCCIÓN USO DE CÁMARAS DIGITALES NO 
MÉTRICA 34
 
5.2 METODOS Y ALTERNATIVAS PARA LA CALIBRACIÓN DE 
CÁMARAS 35 
5.3 ALTERNATIVAS PARA CONOCER LA PRECISIÓN EN FOTOGRAFÍAS 
CON CÁMARAS NO MÉTRICAS 36 
5.3.1 Consideraciones geométricas en la medición de puntos en las 
 fotografías 36 
5.4 TABLERO DE PRUEBAS 36 
5.4.1 Rectificación convencional de la fotografía del tablero 37 
5.5 USO DE LA IMAGEN ESTEREOSCÓPICA 41 
5.6 RECTIFICACION CONVENCIONAL USO DE IMÁGENES 
INDIVIDUALES 45 
5.6.1 Determinación de los desplazamientos 52 
5.7 MODELAMIENTO ESTEREOSCOPICO ESTEREOFOTOGRAMETRIA 56 
5.7.1 Establecimientos del proyecto inicial 61 
5.7.2 Proceso de aerotriangulación 68 
5.7.3 Generación de modelos digitales de superficie 74 
5.7.4 Establecimientos del proyecto final 76 
 
 
5.7.5 Proceso de comparación entre el DTM inicial y el DTM final 80
 
CONCLUSIONES 82RECOMENDACIONES 84 
BIBLIOGRAFÍA 86 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABLAS 
 
 Pág. 
 
Tabla 1. Coordenadas puntos de control tablero de pruebas 38 
Tabla 2. Datos tablero de prueba foto dsc 07537 (puntos exactos - 
puntos leídos) 
90 
Tabla 3. Datos tablero de prueba foto dsc 07537 (puntos exactos - 
puntos control) 
93 
Tabla 4.Coordenadas puntos de control frente del modelo 47 
Tabla 5. Desplazamientos parciales de los puntos de instrumentación 
estado inicial foto 10103 y estado intermedio foto 10371 95 
Tabla 6. Desplazamientos finales de los puntos de instrumentación y 
puntos foto 10499 100 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Pág. 
 
Figura 1. Grafico tomado articulo Karl Ludwig 30 
Figura 2. Puntos de control tablero de pruebas 37 
Figura 3. Puntos tomados para comprobar precisión 39 
Figura 4. Testigos iníciales del tablero de pruebas (ptos verdes) 40 
Figura 5. Estructura en el editor de proyectos Summit evolution 42 
Figura 6. Residuales de la orientación relativa 43 
Figura 7. Resultados de la orientación absoluta 44 
Figura 8. Par estereoscópico del tablero de pruebas 45 
Figura 9. Testigos CAD del modelo 46 
Figura 10. Imagen rectificada 10103 48 
Figura 11.Imagen rectificada 10103 puntos de instrumentación – 
 puntos de control 49 
Figura 12. Imagen rectificada 10103 puntos de instrumentación – 
 puntos de control, desplazamientos de puntos 50 
Figura 13. Puntos de control 10371, puntos de desplazamiento 51 
Figura 14. Puntos de desplazamientos final 10499 52 
Figura 15. Imagen rectificada 10371desplazamientos en el modelo 53 
Figura 16. Desplazamientos finales e intermedios en el modelo 54 
Figura 17. Desplazamientos totales presentados en el modelo 55 
Figura 18. Montaje de la cámara superior 58 
Figura 19. Distribución de cuerdas 59 
Figura 20. Distancia para la toma de fotografías en el riel 60 
Figura 21. Establecimientos del proyecto inicial 62 
Figura 22. Creación de la cámara digital en el Software Inpho 63
 
Figura 23. Coordenadas de los centros de proyección de cada una 
de las fotografías 64 
Figura 24. Lista de los puntos de fotocontrol para el proceso de 
aerotriangulación 65 
Figura 25. Grafico de ubicación de puntos de control parte superior 
del modelo 66 
Figura 26. Información de la faja inicial 67 
Figura 27. Centros de proyección de la faja inicial 68 
Figura 28. Medición de puntos de control 69 
Figura 29. Parámetros y valores estratégicos para la correlación 
de imágenes 70 
Figura 30. Coeficientes de correlación 71 
Figura 31. Resultados de ajustes de la fotografías 72 
Figura 32. Calculo de errores de los puntos de fotocontrol 73 
Figura 33. Puntos de aerotriangulación 74 
Figura 34. Centros de proyección de la faja final 77 
Figura 35. Orientación relativa faja final 78 
Figura 36. Orientación absoluta faja final 79 
Figura 37. Grilla de puntos muestreados 80 
 
LISTA DE ANEXOS 
 
 
Anexo A. Tablero de pruebas coordenadas 
Anexo B. Testigos instalados en el frente del modelo 
Anexo C. Mosaico faja inicial 
Anexo D. Mosaico faja final 
Anexo E. Distribución de los puntos de control parte superior del modelo 
Anexo F. Tabla de resultados aerotriangulación inicial 
Anexo G. Tabla de resultados aat faja inicial 
Anexo H. Tabla de resultados aerotriangulación final 
Anexo I. Tabla de resultados aat faja final 
Anexo J. Planos malla de puntos modelo digital proyecto final e inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
La Fotogrametría terrestre se muestra como una técnica muy útil para realizar 
levantamientos de obras o construcciones como edificios o estructuras 
arquitectónicas de interés. Así, esta técnica contribuye al conocimiento y facilita la 
toma de decisiones en las actuaciones sobre obras civiles o patrimonio 
arquitectónico, que requieran levantamientos que permitan realizar mediciones a 
partir de registros fotográficos y el uso de la fotogrametría. 
 
Básicamente el uso de la fotografía terrestre (Schenk, T., 2002), radica en la 
obtención de esquemas cartográficos en 3D a escala por medio de procesos de 
imágenes fotográficas permitiendo capturar una serie de datos que son 
procesados y analizados por medio de una variedad de software especializado en 
el análisis computarizado de elementos fotográficos. 
 
Este proyecto de investigación se realizó en el laboratorio de Modelación de 
Procesos Geotécnicos (GeoLab) de la Universidad de la Salle, donde se llevó a 
cabo el estudio de un modelo físico (Torres, A, C., 2009), para el análisis de la 
perforación de un túnel, para hacer respectivos estudios e investigaciones del 
comportamiento geotécnico que involucra el seguimiento de movimientos o 
desplazamientos con el propósito de analizar la subsidencia y desplazamientos 
presentes durante las labores de perforación del túnel. 
 
 
 1
1 JUSTIFICACIÓN 
 
El proyecto se elaboró con el fin de demostrar que la fotogrametría terrestre puede 
contribuir a los procesos de la modelación física en el GeoLab, realizando un 
registro, monitoreo y control de los diferentes desplazamientos del modelo, esto 
utilizando cámaras no métricas, generando así un modelo estereoscópico para 
luego ser medido. 
 
Esta investigación complementa otro monitoreo que se realizó en el modelo con 
los sensores LVDT que se instalaron en el modelo físico, ya que lo que se 
pretendía era verificar que las mediciones de los desplazamientos fueran iguales o 
similares, por medio de un método indirecto como lo fue la fotogrametría digital 
con cámaras no métricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
2 OBJETIVOS 
 
2.1 Objetivo general 
Determinar los desplazamientos que se presenten en el modelo físico 
realizando mediciones en fotografías rectificadas y en los modelos 
estereoscópicos construidos a partir de registros fotográficos de imágenes 
tomadas al modelo geotécnico con cámaras no métricas. 
 
3.2 Objetivos específicos 
• Establecer el estado del arte. 
 
• Lograr por medio de las fotografías mediciones en las diferentes etapas del 
ensayo en el laboratorio de GeoLab 
 
• Analizar por medio de imágenes digitales los desplazamientos encontrados en 
los modelos montados en el laboratorio. 
 
• Generar una aproximación a la metodología para la aplicación de fotogrametría 
de rango cercano, en el seguimiento de desplazamientos en los modelos 
físicos que se construyan en el GeoLab. 
 
 
 
 
 
 
 3
3 EL PROBLEMA 
 
3.1 LÍNEA 
 
El proyecto de investigación que se desarrolló fue incorporado a la línea del 
grupo CIROC, excavaciones y estructuras de sostenimiento, teniendo en 
cuenta que su aplicación pertenece al área de Geotecnia, donde se realizó la 
medición de desplazamientos en modelos geotécnicos. Aunque el proyecto es 
del área de geomática, este se incorporó al área de geotecnia dado su campo 
de aplicación. 
 
3.2 TÍTULO 
 
Fotogrametría terrestre aplicada a modelos físicos del laboratorio de procesos 
geotécnicos. 
 
3.3 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 
 
Para el proyecto fue necesario hacer mediciones de forma indirecta al modelo, 
para ello se tuvo en cuenta la posibilidad de hacerlas por medio de la 
fotogrametría, ya que no en todas las zonas del modelo se podían usar sensores. 
 
 4
Esta fotogrametría se llevó a cabo por medio del proceso fotográfico del modelo 
en el transcurso del proyecto y el procesamiento de estas imágenes fotográficas 
digitales. 
 
Este proceso fue parte importante para el desarrollo del proyecto ya que lo que se 
pretendía era comprobar que los resultados obtenidos fueran similares alos 
obtenidos por los sensores, y poder ver la aplicación de la fotografía en la 
medición de desplazamientos en determinadas áreas del modelo de manera 
indirecta. 
 
El método desarrollado se estructura en dos fases claramente diferenciadas. 
• En la primera denominada fase de los trabajos de campo se realizará la 
captura de la información que permitirá llevar a cabo los análisis 
posteriores. 
• En la segunda fase se analizan los datos capturados y se realizan las 
mediciones necesarias. 
 
3.4 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 
 
¿La fotogrametría terrestre conocida como CLOSE RANGE es un instrumento 
válido para la medición en los modelos del laboratorio de procesos geotécnicos del 
grupo CIROC, que permite llevar a cabo las mediciones de desplazamientos que 
se presentan, así como la restitución de superficies de los modelos durante los 
ensayos? 
 5
4 MARCO TEÓRICO 
 
 
4.1 MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL 
4.1.1 Estado del arte (antecedentes) 
Definición de la fotogrametría. 
1Fotogrametría es la ciencia de realizar mediciones e interpretaciones 
confiables por medio de las fotografías, para de esa manera obtener 
características métricas y geométricas (dimensión, forma y posición), del 
objeto fotografiado. 
Esta definición es en esencia, la adoptada por la Sociedad Internacional de 
Fotogrametría y Sensores Remotos (ISPRS). 
Por otra parte, la sociedad americana de fotogrametría y sensores remotos 
(ASPRS), tiene la siguiente definición, ligeramente más completa que la anterior: 
Fotogrametría es el arte, la ciencia y la tecnología de obtener información 
confiable de objetos físicos y su entorno, mediante el proceso de exponer, 
medir e interpretar tanto imágenes fotográficas como otras, obtenidas de 
diversos patrones de energía electromagnética y otros fenómenos. 
 
Con alguna ligereza, suele señalarse sólo las transiciones de Fotogrametría 
Analógica a Analítica y de ésta a Digital, sin considerar que antes de la etapa 
analógica se hacía una Fotogrametría que comenzó con los procedimientos 
 
1 JÁUREGUI, Manuel. CHACON, Luís, VILCHEZ, José. Rectificación proyectiva plana de imágenes 
fotográficas digitales, Julio de 2007. 
 
 6
gráficos de Laussedat y Meydenbauer y que pasó a ser esencialmente analítica 
con el estereocomparador de Pulfrich. 
Mucho antes de la aviación, y aún antes de intentar tomas aéreas desde globos o 
dirigibles, se hicieron ensayos con fotografías desde la parte más alta de laderas 
escarpadas. En 1897, el austríaco T. Scheimpflug comenzó sus importantes 
trabajos sobre rectificación, técnica que con el correr del tiempo adquiría gran 
difusión. 
 
Scheimpflug no se conformó sólo con la rectificación, que era un procedimiento 
que no reconstruía el relieve y, en 1898, sentó las bases de la idea de la 
proyección doble. 
En la Fotogrametría Aérea no se conocen las posiciones y orientaciones de la 
cámara de toma; tampoco los fotogramas están en planos verticales, ni sus ejes 
son paralelos. Por lo tanto los aparatos no pueden ser tan sencillos como el 
estereoautógrafo, donde las regletas trabajan siempre en un plano. 
 
En 1915 Gasser, con las ideas de Scheimpflug, construyó su Proyector Doble, que 
puede considerarse como el primer aparato restituidor apto para fotografías 
aéreas con buen funcionamiento En 1920 Nistri construyó su Fotocartógrafo, 
también con el sistema anaglífico. 
 
Los procedimientos de orientación fueron estudiados por S. Finsterwalder en 
1899, quien propuso resolver el problema en tres pasos: orientación interior, 
 7
orientación relativa y orientación absoluta. Gasser también desarrolló 
procedimientos prácticos de orientación. 
 
Otto von Gruber en 1924 fue el que resolvió el problema de las orientaciones de la 
manera más sistemática y completa. Con esto se lograba evitar el manejo de las 
extensas fórmulas de la Fotogrametría Analítica, algo que quedó perfectamente 
expresado en su conocido lema: Fotogrametría es el arte de evitar todo 
cálculo. 
 
En la Fotogrametría Terrestre, la llegada del estereoautógrafo de von Orel, el 
primer restituidor analógico significativo, fue considerada como un gran 
acontecimiento porque eliminaba la necesidad de calcular y dibujar punto por 
punto, y permitía el trazado continuo de los rasgos cartográficos. La euforia del 
momento, que hizo que tal trazado fuera calificado exageradamente como 
“automático”, tenía su justificación: la producción cartográfica podía incrementarse 
drásticamente convirtiéndose en una suerte de proceso industrial. Casi 
inmediatamente, y bajo el lema de von Gruber “Fotogrametría es el arte de evitar 
todo cálculo”, surgieron los restituidores analógicos adecuados para la 
Fotogrametría Aérea que marcaron toda una época y consolidaron a la 
Fotogrametría como una herramienta de alta eficiencia. 
 
Desde 1936, Wild, de Suiza produjo solamente instrumentos de proyección 
mecánica. Varios años después, en 1960, Zeiss Oberkochen también cambió a la 
 8
proyección mecánica con instrumentos como el Planimap y el Planicart que 
lograron una buena aceptación en el mercado. 
Gasser y von Gruber también propusieron y diseñaron procedimientos para la 
concatenación de modelos dando nacimiento a la aerotriangulación. 
 La transición de la Fotogrametría Analógica a la Analítica fue particularmente 
lenta. 
 
La transición de la Fotogrametría Analógica a la Analítica, como consecuencia 
ineludible del advenimiento de la Computación, abarcó una larga etapa de 
coexistencia entre ambas modalidades y, si bien logró significativos avances en la 
precisión, y en campos como el de la Compensación en Bloque de la 
Triangulación Aérea, no repercutió de manera importante en la confección de los 
mapas de línea. Con el restituidor analítico, el operador trabajaba casi de la misma 
manera que con su antecesor analógico. 
 
Los grandes beneficios de la Fotogrametría Analítica no estuvieron en el restituidor 
analítico, el cual desde un punto de vista ergonómico no resultaba muy distinto de 
sus antecesores analógicos, sino en el formidable cambio en las técnicas de 
Aerotriangulación. 
 
La última transición se desarrolla en nuestros días y nos conduce de los 
procedimientos analíticos a los digitales. Importa un cambio profundo en las 
modalidades tradicionales de la Fotogrametría y a veces no resulta fácil intuir el 
rumbo de la disciplina en el futuro. Lo logrado hasta el presente es asombroso. 
 9
Los procesos de fotogrametría digital contemplan diferentes aplicaciones o etapas 
las cuales incluyen la aerotriangulación, la captura de datos, la obtención de 
DTM´S y la elaboración de ortofotos. 
 
Además a estos anteriores estudios se puede referenciar publicaciones por parte 
del grupo de investigación de la Universidad de La Salle CIROC. 
• estudio del fenómeno de subsidencia en suelos blandos de Bogotá, 
ocurridos por la construcción de un túnel con maquina E.P.B. 2 
• Evaluación de parámetros elásticos de mezclas artificiales de suelos para 
modelos del laboratorio GeoLab; donde se propone el uso de la fotografía 
tipo Close Range o Fotogrametría Digital como método de medición de 
desplazamientos y determinación de deformaciones en muestras de suelo 
 ensayadas en la cámara triaxial. 3 
 
4.1.2 Aerotriangulación Analítica 
 
4La triangulación es el proceso de determinar indirectamente los parámetros de 
orientación de un bloque de imágenes fotográficas, así como las coordenadas del 
terreno u objeto de ciertos puntos espaciales. 
 
2 TORRES PRADA, Camilo Adolfo, NIETO CASTAÑEDA, Fernando Alberto; safe tunnelling for the city and 
for the environment: proceedings ita-aites world tunnel congress 2009, budapest, hungary, may 23-28, 2009. 
 
3 MARÍN RIVEROS, Natalia Eugenia ; evaluación de parámetros elásticos de mezclas artificiales de suelos 
para modelosdel laboratorio Geolab, 2008, universidad de la salle, facultad de ingeniería civil, Bogotá. 
 
4 FOTOGRAMETRIA MODERNA: ANALITICA Y DIGITAL, LERMA GARCÍA; José luís, editorial valencia, 
valencia junio 2002 pág. 189 
 10
En el contexto de triangulación analítica esta se caracteriza por ser un proceso de 
medición de objetos y las coordenadas terreno / objeto se tienen de manera 
numérica e indirecta: es decir a través de mediciones. 
 
También se puede decir que la triangulación terrestre y la triangulación aérea 
(aerotriangulación) se utiliza mucho en tareas de fotogrametría ya que estas no 
brindan información como la de conocer parámetros de orientación de las 
imágenes y por otro las ventajas que reporta. 
 
La triangulación tiene como objetivos determinar los parámetros de orientación 
exterior de la fotografía y determinar las coordenadas terreno de puntos leídos en 
instrumento utilizando pocos puntos medidos en el terreno que permitirán las 
orientaciones de las fotografías. 
 
La triangulación tiene un proceso que consta de cuatro fases: 
1. Preparación de las imágenes que se van a procesar, se analizan los 
recubrimientos y se recopila esta información y las de los puntos de apoyo 
de las cámaras. 
2. Determinación de los puntos de paso, estos se basan en la determinación 
de las coordenadas de la imagen, la identificación de dichos puntos. 
3. Medición de las coordenadas de las imágenes y de los puntos de apoyo 
4. Verificación y análisis de datos, determinación de parámetros, análisis de 
errores y ajuste de las fajas o bloques. 
 
 11
La triangulación fotogramétrica es una generalización de la resección en el 
espacio de una sola imagen fotográfica, la determinación de las coordenadas 
tridimensionales objeto / terreno de los puntos establecidos. 
 
Los desarrollos de software para la compensación de la Triangulación Aérea 
marcan todo un hito en la historia del diseño y elaboración de técnicas 
fotogramétricas. Estos desarrollos comienzan a ser contribuciones importantes y 
las Universidades encuentran una nueva e interesante posibilidad en este terreno. 
En épocas de la Fotogrametría Analógica todos los avances se producían en el 
desarrollo de instrumentos y, por lo tanto, las contribuciones de grupos de 
investigación fuera de las grandes fábricas de instrumentos eran realmente 
exiguas. 
 
En este tiempo se asiste a la transición que lleva de los procedimientos analíticos 
a los digitales. El arrollador desarrollo de la informática, especialmente a partir de 
1980, que hizo posible, a un costo razonable, el almacenamiento de grandes 
cantidades de datos, y que redujo los tiempos de procesamiento a valores 
increíblemente pequeños, trajo como consecuencia la irrupción de los 
procedimientos digitales en la Fotogrametría. 
En los últimos años, el avance de los procedimientos digitales ha sido 
considerable. Se ha conseguido la correspondencia automática de imágenes con 
precisiones subpixel, con lo cual varias tareas fotogramétricas como las 
orientaciones, la rectificación, la confección de la ortofoto, o la aerotriangulación, 
 12
se agilizan más que notablemente y podrían llevarse a cabo casi sin participación 
de un operador humano. 
 
La Fotogrametría digital ha venido empleando hasta ahora un procedimiento 
híbrido: obtención de fotografías con la cámara analógica tradicional y posterior 
digitalización empleando escáneres de alta precisión. Sin embargo, en estos 
últimos años se han producido grandes avances en la construcción de cámaras 
digitales con una calidad de imagen y precisión similar a la de las cámaras aéreas 
tradicionales. 
La Fotogrametría se encuentra hoy ante todo un verdadero desafío. Schenk 
señala que “Los fundamentos de la Fotogrametría permanecen inalterados, pero el 
entorno operacional ha cambiado significativamente”. 
 
4.1.3 RECTIFICACIÓN CONVENCIONAL 
 
Una fotografía desde el punto de vista de la geometría proyectiva es una 
proyección central del terreno sobre el plano del negativo. (Jáuregui Manuel; 
2007). 
La formación de la imagen se asume que tiene lugar por intermedio de líneas 
rectas que partiendo desde el objeto pasan a través de un punto común (centro de 
proyección), el cual corresponde con una posición dentro del lente de la cámara, y 
continúan hasta el plano del negativo, cumpliendo la condición de colinealidad. 
 
 13
En la actualidad, la mayoría de los programas de tratamiento digital de fotografías 
realizan rectificación proyectiva plana de forma gráfica directamente sobre el 
monitor, ajustando la imagen visualmente en forma aproximada. En un 
procedimiento riguroso para la rectificación proyectiva plana de una imagen 
fotográfica aérea, se hace uso de puntos de control terrestre. 
 
La rectificación proyectiva plana establece la relación que permite la proyección de 
puntos entre dos planos no paralelos entre sí. Mediante el uso de fotografías 
aéreas y su procesamiento digital aplicando la transformación proyectiva, es 
posible la generación en forma rápida y simple de fotoplanos de la superficie del 
terreno. Un fotoplano es una representación fotográfica de la superficie del terreno 
realizada a partir de fotografías áreas verticales del mismo, equivalente a un plano 
topográfico en cuanto a sus características geométricas. A diferencia de los planos 
lineales, el fotoplano muestra toda la información de la superficie del terreno en 
forma fotográfica. 
 
Esta técnica se puede aplicar a fotografías terrestres permitiendo obtener 
productos similares a los anteriores como fotoplanos de fachadas. 
 
La rectificación proyectiva de imágenes bidimensionales es una tarea muy 
solicitada en entornos de documentación patrimonial, principalmente 
arquitectónica y arqueológica. Dicho requerimiento exige que el objeto sea plano, 
o que pueda ser descompuesto en objetos planos. 
 
 14
4.1.4 Transformación proyectiva 
 
La transformación proyectiva plantea la relación existente entre 2 planos los 
cuales se pueden definir en una transformación con 8 parámetros que pueden 
resolverse conociendo más de 4 puntos de control y sus correspondientes 
coordenadas imagen. 
 
Esta transformación podría escribirse de la siguiente manera: 
 
 
Consecuentemente se tienen las siguientes ecuaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lo cual nos lleva a plantear en dos ecuaciones con 8 parámetros así: 
 
 
 
 
 15
 
4.1.5 Teoría estereofotogrametría 
 
La fotogrametría digital es una técnica por medio de la cual podemos procesar 
imágenes fotográficas, utilizando un Hardware y un Software, (ISPRS, 1988 
Tomado de Cuartero Sáenz, 2001) que permite generar un modelo estereoscópico 
para la medición de puntos homólogos en diferentes pares de imágenes. 
 
A partir de la lectura de coordenadas de la imagen (X, Y) de los puntos 
homólogos, en 2 fotografías, se pueden determinar las coordenadas en el terreno 
(X, Y y Z) de los puntos leídos, mediante los cuales podemos deducir de la 
fotografía de un objeto, la forma y dimensiones del mismo. 
Para la reconstrucción tridimensional de objetos a partir de imágenes digitales, las 
coordenadas espaciales se calculan con base en las coordenadas de las 
proyecciones en las imágenes. La visión estereoscópica requiere identificar puntos 
asociados al mismo elemento en diferentes imágenes. En este trabajo utilizamos 
un procedimiento de reconstrucción 3D, empleando una cámara digital no métrica. 
 
La fotogrametría digital (Lerma 2002), trabaja con fotografías en formato digital, ya 
sean tomadas directamente con una cámara digital o escaneadas a partir de 
imágenes análogas. 
 
 16
Consecuentemente la materia prima para la fotogrametría digital es la imagen 
digital lo cual conlleva a que esta etapa inicial en un flujo de trabajo de la 
fotogrametría digital sea la captura de esta imagen (Karl Ludwig). 
A partir de esta etapa se pueden realizar las diferentes aplicacionescomo se 
ilustra en la imagen 1 que muestra los diferentes procesos. 
 
Figura 1: Flujo de trabajo en fotogrametría digital 
 
CAPTURA DE IMAGEN 
AEROTRIANGULACIÓN 
CAPTURA DE DATOS 
MODELAMIENTO DEL 
TERRENO 
PROCESAMIENTO 
DE LA ORTOFOTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fuente: Photogrametry workflow 
 
4.2 EXPERIENCIAS EN EL USO DE LA FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE 
 
 De las aplicaciones en el área geotécnica se puede mencionar la realizada 
por RIEKE – ZAPP et al y Santel 2001 la cual se desarrolló para conocer la 
erosión de un suelo, construyendo un campo de prueba artificial sobre el 
cual se tomaron fotografías antes y después de eventos de lluvia. Los test 
 17
fueron realizados en colaboración con el Institute of Photogrammetry and 
geoinformation (IPI) University of Hanover y el National Soil Erosión 
Research Laboratory West Lafayete Indiana. 
 
Se tomo un modelo estereoscópico de la situación inicial y posteriormente, 
después de 4 eventos de lluvia se realizó una segunda toma para calcular 
los modelos digitales de terreno antes y después. Este ensayo permitió 
evaluar la cantidad de suelo erosionado. 
 
 El artículo Terrestrial photogrammetry and application to modeling 
architectural objects se enfoca en el área arquitectónica. 
Es interesante ver como a través de la fotogrametría terrestre y sus 
aplicaciones se puede modelar objetos en 3 dimensiones y restablecer las 
condiciones de terreno en oficina que permitan recrear en modelos la 
misma situación real para llevar a cabo las mediciones y digitalizar objetos 
arquitectónicos de gran valor. 
 
 El artículo Restitución fotogramétrica aplicada a la representación de 
fachadas arquitectónicas muestra la versatilidad y bondades de los 
métodos fotogramétricos para la restitución de fachadas teniendo en cuenta 
que ha sido sugerido por el Consejo Internacional de Monumentos y Sitios 
Históricos (ICOMOS), como una herramienta que permite reconstruir y 
medir sobre imágenes tomadas sobre fachadas. 
 
 18
 Para conocer el uso de la fotogrametría terrestre en el reconocimiento, 
validación y documentación de sitios arquitectónicos de valor incalculable 
permitiendo su conservación histórica, arqueológica y restauración de 
construcciones se puede consultar el artículo escrito por SAMUHELOVÁ 
teniendo en cuenta que ha sido posible medir en estos modelos 
tridimensionales e imágenes monoscópicas las dimensiones de los objetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19
5 METODOLOGÍA 
 
En el laboratorio de GeoLab se realizó la simulación de la perforación de un túnel, 
la cual permitiría conocer las deformaciones que se pueden presentar durante el 
proceso. 
 
Consecuentemente este proyecto fue planteado por el Ing. Mendoza con el fin de 
dar a conocer un método alterno, para determinar los desplazamientos de manera 
indirecta en el modelo de suelo determinado. 
El proyecto se interesó por revisar y analizar la información plasmada en 
diversidad de documentos que permiten la comprobación del tema expuesto, 
ofreciendo aportes significativos para la problemática propuesta en esta 
investigación. 
 
De igual forma, este proyecto tuvo un enfoque cuantitativo, debido a que se basó 
en la recolección y adquisición de la información en el campo con el fin de agrupar 
las características de los desplazamientos producidos por los diferentes 
movimientos del terreno. 
 
Del mismo modo, el estudio de los desplazamientos en los modelos 
estereoscópicos a partir de registros fotográficos por medio de imágenes tomadas 
a los modelos con cámaras no métricas se llevó a cabo a través de una serie de 
fases las cuales están descritas más adelante. 
 
 20
5.1 INTRODUCIÓN USO DE CÁMARAS DIGITALES NO MÉTRICAS 
 
Las cámaras digitales ofrecen comodidad por su tamaño, peso y facilidad de 
transporte; gran flexibilidad sobre todo las que incorporan distancias principales 
variables (zoom), objetivos intercambiables y mecanismos de automatización; 
facilidad de adquisición (compra).5
Las cámaras no métricas son cámaras de geometría inestable, los parámetros de 
orientación se desconocen total o parcialmente. 
 
El diseño de estas cámaras no está hecho para estudios fotogramétricos pero 
ahora la utilizan muchos en mayor o menor grado. Sin embargo en algunos casos 
los trabajos de fotogrametría aérea, terrestre y de objeto cercano puedan usar las 
cámaras métricas, cámaras semimétricas o no métricas, cuando los trabajos no 
precisan una exactitud posicional y muy alta. 
 
Las cámaras no métricas tienen una limitaciones frente a las cámaras métricas 
pudiéndose establecer sus causas así: 
 
1. Geometría interna desconocida 
2. Sistema de lentes imperfectos 
 
 
 
 
5 Op Cit P. 336 - 341 
 21
5.2 MÉTODO Y ALTERNATIVA PARA LA CALIBRACIÓN DE CÁMARAS 
 
Aunque no se realizó la calibración de la cámara con métodos analíticos se 
llevaron a cabo procedimientos para conocer la precisión que se podía alcanzar 
con estas cámaras. 
Utilizamos un campo de calibración técnico que requiere la medición precisa de 
una serie de puntos fijos cuyas coordenadas objeto se conocen. La orientación 
simultánea de un grupo de fotografías del campo obtenidas con la cámara a 
calibrar y el uso de un software de ajuste nos permite determinar aquellos 
parámetros desconocidos (distancia principal, coordenadas del punto principal, y 
parámetros definidores de la distorsión) mediante la búsqueda de la solución 
óptima por ajuste por mínimos cuadrados, que garantizan precisión en las 
medidas. 
 
La calibración así obtenida es de total garantía y la experiencia nos está 
demostrando que son fiables como documentación métrica las fotografías 
obtenidas con una cámara digital no métrica. 
 
De todos modos, la calibración por este procedimiento no deja de ser laboriosa, y 
aunque imprescindible cuando se quieren utilizar las fotografías para medición 
tridimensional, sobre todo mediante fotogrametría estereoscópica, su realización 
requiere disponer del software adecuado, haberse construido el campo de 
calibración y tener unos conocimientos y experiencia sobre el tema. 
 
 22
5.3 ALTERNATIVA PARA CONOCER LA PRECISIÓN EN FOTOGRAFÍAS CON 
CÁMARAS NO MÉTRICAS 
5.3.1 Consideraciones geométricas en la medición de puntos en las 
fotografías 
 
Como se ha mencionado anteriormente, el principal objetivo de la fotogrametría 
es medir sobre las fotografías que se toman a los objetos y así describir 
geométricamente su forma y extractar la información necesaria para las 
aplicaciones que se requieren. Consecuentemente se ve la necesidad de 
realizar un análisis sobre las precisiones que se pueden alcanzar tanto con el 
uso de imágenes individuales como con imágenes estereoscópicas montadas 
en una estación digital fotogramétrica. 
 
5.4 TABLERO DE PRUEBAS 
 
Con el propósito de determinar las precisiones que se pueden obtener en las 
lecturas sobre las imágenes monoscópica y estereoscópicamente se elaboró 
un tablero con una cuadricula de 10 cm. X 10 cm. de resolución estableciendo 
algo similar a un sistema cartesiano de referencia sobre el cual se clavaron 
unas puntillas sobresaliendo a diferentes alturas. 
Se tomaron fotografías individuales de frente al tablero y otras formando par 
estereoscópico de tal forma que se obtuviera recubrimiento longitudinal del 
tablero para poder orientar estas imágenes en una estación digital 
fotogramétrica. 
 23
 
5.4.1 Rectificación convencional de la fotografía del tablero 
 
De las fotografías que se tomaron del tablero de pruebas de frente se 
seleccionó la imagen digital DSC07537.jpg para ser utilizada y rectificada sobre 
la cual se realizaron las mediciones requeridas. 
Se utilizó el software XY Rectify de origen australiano que permite rectificar las 
imágenes digitales a partir de unos puntos de control que se encuentrenrepartidos en el área de la imagen. 
 
Figura 2: Puntos de control del tablero de pruebas 
 
 Fuente: XY Rectify - Propia 
 
Las coordenadas de los puntos de control que se utilizaron para la rectificación 
son: 
 
 24
Tabla 1: Coordenadas de los puntos de control tablero de pruebas 
PUNTO X Y 
 
T1 10.100 20.200 
T2 10.100 20.500 
T3 10.100 20.900 
T4 10.900 20.200 
T5 10.900 20.500 
T6 10.900 20.900 
 
Sobre la imagen rectificada DSC07537_rect.jpg se tomaron las coordenadas una 
serie de puntos (20 puntos) que permitieran comprobar la precisión con la cual se 
rectifica la imagen calculándose los errores en cada uno de los puntos y 
obteniendo un error medio cuadrático RMS de 2.2 mm en el eje de las X y 2.24 
mm en el eje de las Y. (VER TABLA 2, ANEXO A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
Figura 3: Puntos tomados para comprobar precisión 
 
 Fuente: Propia 
 
Una vez rectificada la imagen, se considero importante establecer la precisión con 
la cual se podía medir en el software que se utilizaría para medir los 
desplazamientos de los testigos que se instalarían en el frente del modelo físico 
geotécnico. En el software ArcGis Versión 9.2 se realizarán las medidas para lo 
cual se recreo la situación con la imagen rectificada DSC07537_rect.jpg, 
georeferenciándose con los puntos de control necesarios y adicionalmente 
tomando mediciones de algunos puntos para chequear y comprobar la precisión 
en la determinación y lectura de coordenadas en las imágenes montadas en el 
software de ArcGis. 
 26
 
Figura 4: Testigos iniciales del tablero de pruebas (ptos verdes) 
 
Fuente: ArcGis – Propia 
 
El error medio cuadrático encontrado RMS es de 2 mm para el eje de las X y 
2.408 mm para el eje de las Y. (VER TABLA 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 27
5.5 USO DE IMÁGENES ESTEREOSCÓPICAS 
 
Teniendo en cuenta que se tiene programado la medición de puntos en imágenes 
que formen pares estereoscópicos, se considero oportuno realizar mediciones 
sobre un par estereoscópico del tablero de prueba, donde las fotografías en su 
recubrimiento longitudinal contengan todo el tablero y pudiera montarse el par en 
una estación fotogramétrica digital. 
Para llevar a cabo estas mediciones se seleccionó el par de imágenes 
DSC07538.jpg y DSC07537.jpg las cuales fueron orientadas en una estación 
fotogramétrica digital con el software Summit Evolution de la casa DATEM de 
Canadá que permite realizar todas las orientaciones para recrear un modelo 
estereoscópico. 
 
Se creó el proyecto con la característica de uso de imágenes digitales y con 
puntos de control muy bien definidos en las aerofotografías. Las imágenes fueron 
convertidas al formato smti del software Summit Evolution. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
Figura 5: Estructura en el editor de proyectos en el software summit evolution 
 
 
 
 Fuente: software summit evolution 
 
Una vez estructurado el proyecto con sus componentes se procedió a realizar la 
orientación relativa del modelo que permitiera recrear el modelo del tablero en tres 
dimensiones. La distribución de puntos para eliminar el paralaje en Y fue la misma 
distribución de puntos de Von Gruber dando como resultados los siguientes 
residuales en cada uno de los puntos como se observa en la siguiente imagen y 
obteniendo un error medio cuadrático de RMS = 1.3 micrones. 
 
 
 
 29
Figura 6: Residuales de orientación relativa 
 
Fuente: software summit evolution 
 
Posteriormente este modelo fue sometido a la orientación absoluta para escalar y 
nivelar el modelo estereoscópico y referenciarlo a un sistema cartesiano de 
coordenadas que permitiera realizar mediciones de puntos sobre este modelo para 
calcular las desviaciones estándares y tratar de establecer unos márgenes de 
error que se pudieran obtener cuando se realizan mediciones utilizando estaciones 
fotogramétricas digitales y fotografías digitales tomadas con cámaras no métricas. 
Los resultados de la orientación absoluta del modelo orientado anteriormente se 
presentan en la siguiente imagen que permite visualizar que los residuales en XY 
son del orden de 26 milímetros mientras que los residuales en la componente Z 
están del orden de 2 milímetros. 
 30
Figura 7: Resultados de orientación absoluta 
 
Fuente: software summit evolution 
 
El modelo orientado permite realizar mediciones de los puntos que se desean. 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Figura 8: Imagen tomada de la pantalla mostrando una de las imágenes que forman el par 
estereoscópico. 
 
 
Fuente: XY Rectify 
 
5.6 RECTIFICACIÓN CONVENCIONAL – USO DE IMÁGENES INDIVIDUALES 
 
Como un aporte significativo a la investigación que adelanta el Ing. Torres, se 
consideró oportuno medir los desplazamientos que se podían presentar en el 
terreno a medida que se realizara la excavación del túnel. Para esto se vio la 
posibilidad de usar fotografías individuales que fueran rectificadas y referenciadas 
sobre las cuales se pudiera medir, por lo cual se acordó tomar fotografías de 
 32
frente al túnel en diferentes instantes desde el inicio de la excavación, hasta el 
final de esta y en una etapa intermedia. 
 
 Para poder determinar estos desplazamientos era necesario contar con puntos de 
chequeo que se midieran a lo largo de la excavación y permitieran calcular los 
desplazamientos. Con la asesoría de los especialistas en geotecnia, se hizo un 
análisis para determinar la ubicación de los puntos de chequeo en los lugares 
donde se presumía podían presentarse desplazamientos. Se estableció una 
distribución de puntos testigos o de chequeo en todo el frente de la estructura 
donde se realizaría el experimento de la excavación del túnel. (ANEXO B) 
 
Figura 9: Testigos instalados en el frente del modelo 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
1
2
3
4
5
6
7
9
8
10
11
13
14
15
16
17
12
18
 
Fuente: propia 
 33
 
En la figura 9 se observa la distribución de cada uno de los testigos. Estos testigos 
elaborados en balso con una longitud de 10 cm fueron ubicados a medida que el 
material de suelo se vertía y compactaba en el modelo geotécnico. Se tuvo 
especial cuidado para que los testigos quedaran en las posiciones programadas 
de acuerdo con el estudio inicialmente realizado. 
Igualmente se establecieron puntos de control a lo largo de los parales verticales, 
los cuales se pudieran ubicar y medir con toda la precisión necesaria y en 
posiciones que no tuvieran cambios o modificaciones durante los ensayos de la 
perforación. Se determinó un sistema cartesiano arbitrario y se le asignó unas 
coordenadas a un punto en el sector inferior del paral izquierdo y a partir de este 
se calcularon las coordenadas de los otros puntos de control. 
 
Se seleccionó la fotografía SDC10103.jpg que fue tomada antes de iniciar la 
excavación como imagen de partida para determinar las coordenadas de los 
puntos testigos para calcular sus desplazamientos. Esta imagen fue rectificada 
convencionalmente utilizando el software XY Rectify tomando los siguientes 
puntos como puntos de control. 
 
 Tabla 4: Coordenadas de puntos de control parte frente del modelo 
 A1 100.000 0.940 
A5 100.002 1.341 
A10 100.002 1.840 
B12 100.827 0.942 
B16 100.823 1.344 
B20 100.827 1.743 
 34
 
 
La imagen Rect_10103 muestra la fotografía rectificada después de ser procesada 
la cual se utilizará para realizar las mediciones de los puntos. En esta imagen se 
puede apreciar la ubicación de todos los testigos tal y como se programaron 
inicialmente. 
 
Figura 10: Imagen rect_10103 
 
Fuente: Propia 
 
Para medir los desplazamientos de los testigos se utilizará el software ArcGis 9.2 
en el cual se montarán las imágenes rectificadas. Para referenciarla en un 
sistema cartesiano se utilizaron los mismos puntos de control que fueron usados 
 35
en la rectificación. Una vez se tiene debidamente referenciada laimagen se 
procedió a digitalizar el elemento o feature Pto_instrumentacion que corresponde 
a los puntos testigos que se tienen en toda la fachada del modelo geotécnico. 
Estos puntos digitalizados tendrán coordenadas en el sistema cartesiano 
establecido. 
 
Figura 11: Imagen rect_10103 con la digitalización de los puntos de instrumentación y puntos de 
control 
 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
 36
Con el propósito de medir desplazamientos de los testigos se procedió a rectificar 
la fotografía DSC10371.jpg tomada cuando se tenía escavado un 60% del túnel. 
En la imagen 12 se puede apreciar los desplazamientos de los puntos. 
 
Figura 12: Imagen rect_101371 
 
Fuente: Propia 
 
A esta imagen se le hizo un proceso similar que a la primera fotografía y se 
utilizaron los mismos puntos de control. Una vez rectificada se montó en ArcGis la 
imagen en el mismo frame que la anterior ajustándola a los mismos puntos de 
control. Esto permite digitalizar los puntos que se observan en la fachada y que 
 37
corresponderán al feature o elemento cartográfico pto_10371. La imagen N° 13 
permite observar los puntos digitalizados. 
 
Figura 13: Imagen rect_10371 con la digitalización de puntos de instrumentación con 
desplazamientos 
 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
Una vez terminada la excavación del túnel se procedió a tomar una fotografía para 
comparar y determinar los desplazamientos finales que pudieran darse al final del 
ensayo. La fotografía seleccionada fue la DSC10499.jpg. Esta fotografía fue 
sometida a los mismos procesos que las anteriores y una vez rectificada fue 
 38
referenciada en el mismo frame en ArcGis donde se digitalizó el elemento 
Pto_10499 que corresponde a los puntos que se observan en el frente del modelo. 
 
Figura 14: Imagen rect_10499 con la digitalización de los puntos de instrumentación y su 
desplazamiento final 
 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
5.6.1 Determinación de los desplazamientos 
 
Para visualizar y calcular los desplazamientos que se presentaron durante la 
excavación se hicieron las comparaciones entre los puntos digitalizados en la 
 39
imagen inicial y la imagen intermedia así como entre los puntos digitalizados en la 
imagen inicial y la imagen final. 
En la imagen 15 se puede observar los desplazamientos que se presentan en los 
puntos en la zona central del modelo. 
 
Figura 15: Imagen rect_10371 desplazamientos en el modelo 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
Se extractaron las coordenadas de los puntos digitalizados en la foto inicial e 
intermedia para calcular los desplazamientos en los ejes X y Y y su valor absoluto 
teniendo especial cuidado de identificar el mismo punto en ambas situaciones. El 
resumen de los desplazamientos se presenta en la TABLA 5. 
 40
 
Igualmente se utilizó la fotografía final y se procedió a extractar las coordenadas 
de los puntos digitalizados en la foto inicial y final para calcular los 
desplazamientos finales en los ejes X y Y. En la imagen 16 se puede apreciar que 
entre el proceso intermedio y final también se presentaron desplazamientos 
diferenciales en algunos puntos que pueden ser calculados si así se requiere. 
 
Figura 16: Desplazamientos finales e intermedios del modelo 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
El resumen de los desplazamientos finales que se pueden calcular con la imagen 
final se presenta en la TABLA 6 
 
 41
En la imagen 17 se puede observar la distribución y ubicación de todos los puntos 
a lo largo del ensayo 
 
Figura 17: Desplazamientos totales presentados en el modelo 
 
Fuente: ArcMap - ArcInfo 
 
Estos resultados han sido trasmitidos al Ing. Torres y sus colegas para ser 
analizados desde el punto de vista geotécnico buscando su aplicación en el área 
que corresponde. 
 
 
 
 42
5.7 MODELAMIENTO ESTEREOSCÓPICO - ESTEREOFOTOGRAMETRÍA 
 
Sin lugar a dudas, una de las principales aplicaciones de la fotogrametría es 
medir en modelos estereoscópicos y extractar la información requerida en los 
modelos tridimensionales. Es así como, hablando de las deformaciones que se 
presentan durante y después de la excavación de un túnel, se planteo el 
fenómeno de subsidencia y su influencia en el desarrollo de un proyecto de esta 
categoría. 
 
Los especialistas de geotecnia programaron la utilización de sensores en algunos 
sitios que permitieran calcular las deformaciones que se presentarían. 
Paralelamente se vio la posibilidad de medir alguna variable que permitiera facilitar 
el cálculo de estos fenómenos utilizando la fotogrametría y en un momento dado 
poder verificar y comparar los resultados obtenidos por métodos geotécnicos con 
sensores y los resultados que se obtuvieran con la fotogrametría. Se consideró 
factible tomar fotografías sobre la cara superior del modelo geotécnico y ver la 
posibilidad de calcular movimientos de tierra en el modelo y particularmente 
verificar movimientos sobre la cara superior usando modelos digitales de 
superficie para calcular diferencias, usando fotografías tomadas al inicio de la 
excavación y una vez se terminara esta. 
 
Para iniciar el desarrollo de la investigación, se consideró que se podían 
establecer unas condiciones similares a la toma de fotografías aéreas pero sin 
una plataforma aerotransportada sino desde el terreno llevando a estudiar la 
 43
forma de tomar fotografías con recubrimiento longitudinal para recrear modelos 
estereoscópicos y generar modelos digitales de superficie. Los análisis que se 
hicieron llevaron a crear un sistema de rieles que permitiera montar las cámaras 
digitales las cuales tomarían las fotografías en determinadas posiciones para 
formar los modelos. La falta de experiencia en este tipo de investigaciones y 
ensayos, llevaron inicialmente a pensar en el uso de dos cámaras para cubrir toda 
la superficie la cual con una sola cámara no era suficiente. Sin embargo, después 
de la toma de fotografías y estudio de estas se determinó utilizar únicamente la 
cámara A para todos los estudios y análisis pues las fotografías cubrían toda el 
área que se requería para estudiar. 
 
Las condiciones físicas del laboratorio requerían que la toma de fotografías fuera a 
distancia por cuanto era imposible estar encima del modelo geotécnico y tomar las 
fotografías durante el ensayo de excavación. Se ideó un sistema tipo hidráulico 
utilizando jeringas y manguera que facilitara los disparos y tomas de fotografías 
desde el piso sin obstaculizar el ensayo. 
 
La imagen 18 muestra el montaje que se realizó para la toma de las imágenes 
fotografías. 
 
 
 
 
 
 44
 Figura 18: Montajes de la cámara superior 
 
 Fuente: Propia 
 
Para poder recrear los modelos estereoscópicos es necesario contar con puntos 
de control que permitan la orientación de las fotografías. Estos puntos son 
establecidos en terreno en su totalidad o se pueden establecer a partir de 
mediciones en terreno y en oficina a través de procesos de aerotriangulación, lo 
cual requiere de unos pocos puntos de fotocontrol medidos en terreno. 
Se optó por usar métodos de aerotriangulación y por consiguiente se determinó 
elaborar una cuadricula fija con cuerdas sobre la cara superior del modelo 
geotécnico que es la superficie sobre la cual se tomarían las fotografías y que 
facilitará establecer los puntos de fotocontrol. Esta cuadricula o malla no interfiere 
en nada con el ensayo y permanece intacta durante todo el desarrollo del mismo. 
Se fijaron unas dimensiones aproximadas de espaciamiento entre las cuerdas. La 
imagen 19 muestra el establecimiento y la distribución de las cuerdas. 
 
 
 
 45
Figura 19: Distribución de la malla que servirá de puntos de control 
 
Fuente: Propia 
 
Teniendo en cuenta que la superficie de la cara superior del modelo presenta una 
imagen muy homogénea ya que está formada por un material que aparenta una 
textura de tapete, se consideróoportuno colocar unos chinches que tuvieran la 
función de puntos de chequeo y facilitaran la identificación, interpretación y 
localización de imágenes y sirvieran para posteriores estudios y así continuar con 
futuras investigaciones 
 
Para obtener fotografías con el recubrimiento longitudinal adecuado se calculó la 
distancia en que debía existir entre fotografía y fotografía y se establecieron los 
puntos sobre los rieles donde se estacionaria la cámara para la toma de cada una 
de las fotografías. 
 
 46
Figura 20: Distribución y ubicación para las posiciones de toma de fotografías en el riel 
 
Fuente: Propia 
 
Antes de iniciar el ensayo de excavación se tomaron las fotografías de la foto 283 
a la foto 292 que forman una línea completa y que corresponde a la faja inicial. El 
anexo C muestra un mosaico con las fotos sobrepuestas una encima de la otra de 
la faja inicial. 
 
El recubrimiento longitudinal de estas fotografías es de 75 a 80% y permiten 
recrear tridimensionalmente toda la superficie de la cara superior del modelo 
geotécnico. 
 
 47
Una vez terminada la excavación del túnel se procedió a tomar nuevamente 
fotografías en las mismas posiciones aproximadas que las anteriores para recrear 
los modelos estereoscópicos finales y formar así la faja de fotografías finales. El 
anexo D muestra un mosaico de la faja con las fotografías finales sobrepuestas. 
 
Con las fotografías seleccionadas se procedió a elaborar los proyectos 
fotogramétricos y montar toda la información en el software de INPHO cuya casa 
matriz se encuentra en Alemania. Este software, de última generación, tiene 
diferentes aplicaciones y módulos que permitirán establecer el proyecto y sus 
componentes, realizar una aerotriangulación automática y generar los modelos 
digitales de superficie de forma automática. 
 
5.7.1 Establecimiento del proyecto inicial 
 
Con la fotografías de la faja inicial se procedió a elaborar y crear el proyecto 
fotogramétrico inicial.prj en el software INPHO. Se utilizara un sistema cartesiano 
métrico como sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 48
Figura 21: Establecimiento del proyecto inicial 
 
Fuente: software INPHO 
 
Las fotografías fueron tomadas con una cámara DSC_W80 de Sony que permitió 
obtener imágenes de 3072 X 2304 pixeles en formato jpg y cuyo tamaño del pixel 
es de 5 micrones. 
 
 
 
 49
Figura 22: Creación de la cámara digital en el software inpho 
 
Fuente: software INPHO 
 
Las imágenes en formato jpg fueron convertidas a formato TIF y se recrearon las 
imágenes piramidales correspondientes en archivos independientes para cada una 
de estas. Adicionalmente al cargar las fotografías, era necesario incluir las 
coordenadas de los centros de proyección de cada una de las fotos. Para eso, en 
un grafico a escala de la localización de sensores y cuadricula, se plantearon cada 
 50
uno de los centros de cada fotografía y se calculó en forma aproximada las 
coordenadas X, Y y Z de todas las fotografías 
 
Figura 23: Coordenadas de los centros de proyección de cada una de las fotografías 
 
Fuente: software INPHO 
 
Los puntos de fotocontrol se determinaron sobre toda la superficie de estudio para 
lo cual se tomaron las medidas de los puntos de la cuadricula de piola elaborada 
sobre la cara superior estableciendo los siguientes puntos con sus respectivas 
coordenadas que fueron importados al software y que se presentan en la imagen 
24 
 
 
 51
Figura 24: Lista de puntos de fotocontrol para el proceso de aerotriangulación 
 
Fuente: software INPHO 
 
Estos puntos se encuentran situados en las posiciones que se observan en el 
grafico 25 (Anexo E) 
 
 
 
 
 
 
 
 52
Figura 25: Grafico de ubicación puntos control parte superior modelo 
 
ENTRADA
SALIDA
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
4 3 2 1
SENSORES
SOPORTE SENSORES
MALLA DE REFERENCIA
MALLA CENTRAL TUNEL
DISTRIBUCIÒN DE LOS
PUNTOS DE CONTROL
PUNTOS DE CONTROL
 
Fuente: Propia 
 
Finalmente se recreo la faja de fotografías que se triangularía que incluye 10 
fotografías. 
 
 
 
 53
Figura 26: Información de la faja inicial 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
El proyecto creado con todos sus componentes puede ser sometido a los 
procesos que se requieren para la orientación de las fotografías. En la imagen 27 
se observan los números que corresponden a los centros de proyección de cada 
fotografía y la numeración de los puntos de fotocontrol. 
 
 
 
 
 
 54
Figura 27: Centros de proyección faja inicial 
 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
5.7.2 Proceso de aerotriangulación 
 
Para realizar la aerotriangulación automática utilizando el software Match AT de 
INPHO será necesario medir los puntos de fotocontrol en cada una de las 
imágenes donde aparezca el punto y el software se encargará de generar en 
forma automática utilizando la correlación de imágenes los puntos TIE que 
servirán para las respectivas orientaciones de las fotografías y de los modelos 
estereoscópicos. 
 
 55
La imagen 28 muestra las pantallas que el software genera para permitir la 
medición de cada punto de control en la respectiva imagen. 
 
Figura 28: Medición de puntos de control 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
Una vez medidos los puntos de fotocontrol se procede a establecer los parametros 
para realizar la generacion de puntos TIE en forma automatica y proceder a 
realizar el ajuste de las fotografias y calcular las coordenadas terreno de todos 
estos puntos generados automaticamente. 
 56
 
La selección y determinacion de puntos TIE se hace utilizando la correlacion de 
imágenes a traves de dos metodos que corresponden a los metodos de: método 
de minimos cuadrados LSM (Least Square Matching) o niveles de gris y al 
metodo de feature o caracteristicas FBM (Feature Based matching) 
 
Figura 29: Parámetros y valores estratégicos para la correlación de imágenes 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
 57
Igualmente se establecen unos valores para los coeficientes de correlacion de 
mas del 92% que garanticen la precision en la selección y medicion de estos 
puntos TIE automaticos. 
 
Figura 30: Coeficientes de correlación 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
El software hace la extraccion de puntos y realiza el ajuste de todas las fotografias 
de la faja llevandolas a orientar absolutamente todas las imágenes. 
 
 58
Los resultados finales completos obtenidos en el ajuste se pueden observar en el 
anexo F que incluye la informacion concerniente a los errores y las precisiones 
obtenidas despues de ajustar todas las fotografias. Se puede observar que los 
errores en la determinacion de puntos homólogos no se supera los 3.3 micrones 
en el eje X y 2.5 micrones en el eje Y en los errores medios cuadraticos , lo que 
resulta en un proceso de muy buena precision. 
 
Figura 31: Resultados de ajustes de las fotografías 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
 59
Igualmente se calculan los errores en los puntos de fotocontrol cuyos errores son 
de pocos milimetros y los errores medios caudraticos estan del orden de 10 
milimetros en X, 8 milimetros en Y y 13 milimetros en Z que resultan ser valores 
con buena precision, como se puede ver en la imagen 32 
 
Figura 32: Calculo de errores de puntos de fotocontrol 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
Igualmente el proceso de aerotriangulación además de calcular puntos TIE con 
sus respectivas coordenadas terreno permite calcular las orientaciones exteriores 
 60
de cada una de las fotografías incluidas en el proceso como se observa en la 
imagen 33. 
 
Figura 33: Orientaciones exteriores de las fotografías 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
5.7.3 Generación de Modelos Digitales de Superficie 
 
Con las fotografías orientadas se procedió a elaborar el modelo digital de 
superficie DSM en formaautomática utilizando Match T de la misma casa INPHO 
que realiza igualmente por correlación de imágenes el DSM. 
 61
 
Estos modelos digitales de superficie se elaboran utilizando las imágenes 
piramidales remuestreadas con menor resolución sobre las cuales se buscan los 
puntos homólogos y se van refinando a medida que el algoritmo trabaja con uno 
de los overview o imagen piramidal de mejor resolución hasta alcanzar la imagen 
original la cual utiliza para calcular el valor correspondiente a la altura del punto en 
estudio. 
 
El punto de partida en cada nivel piramidal es un DSM aproximado el cual ha sido 
generado en el nivel anterior. Al inicio se parte de un plano horizontal que se 
introduce como una aproximación inicial. 
 
La resolución de la grilla del DSM es cada vez dos veces mas fina que el DSM 
aproximado anterior. Los modelos digitales de superficie DSM se generan con 
una grilla de puntos con separación de 16 milímetros lo que genera una nube de 
puntos con mucha redundancia garantizando alta calidad en la generación del 
DSM. El anexo G contiene todos los parámetros, las características y valores que 
se requieren y se derivan de los procesos de generación del DSM. 
 
Este DSM que de ahora en adelante lo llamaremos modelo digital de terreno inicial 
o DTM inicial se puede almacenar en diversos formatos será utilizado para 
compararlo con el DTM que se obtenga de un proceso similar pero con las 
fotografías finales. 
 
 62
5.7.4 Establecimiento del proyecto final 
 
Para realizar el mismo trabajo con las imágenes tomadas después de perforado el 
túnel se elaboró un nuevo proyecto final.prj, utilizando los mismos parámetros que 
el inicial e incorporando las fotografías de la 535 a la 544, las cuales fueron 
convertidas al formato TIF y se les crearon las imágenes piramidales igualmente. 
 
El anexo D muestra el mosaico con las fotografías finales sobrepuestas 
estableciendo la nueva faja a trabajar. 
 
 Igualmente se le calcularon los centros de proyección aproximados y se 
importaron en el software. Se cargaron los puntos de fotocontrol que se utilizaron 
para el ejerció inicial y se recreo la faja a trabajar como se puede observar en la 
imagen 34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63
Figura 34: Centros de proyección faja final 
 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
Se procedió a realizar la medición de los puntos de fotocontrol y a ejecutar la 
aerotriangulación con el software Match AT generando los puntos TIE y realizando 
el respectivo ajuste. (Anexo H) 
 
Los resultados obtenidos fueron igualmente de la precisión que los anteriores con 
errores medios cuadráticos de 3.7 mm. en X y 2.6 mm. en Y en la determinación 
de puntos homólogos en la orientación relativa. 
 
 
 
 
 
 64
Figura 35: Orientación relativa faja final 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
En la orientación absoluta los errores alcanzados son del orden de 9 mm. en X, 8 
mm. en Y y 10 mm. En Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 65
Figura 36: Errores en los puntos de fotocontrol en la faja final 
 
Fuente: software match at de inpho 
 
De igual manera se procedió a elaborar el DSM con las imágenes finales 
orientadas usando también el software Match T en forma automática. La grilla que 
se trabajo en este caso fue similar al espaciamiento entre perfil y perfil es decir de 
16 mm. Y lo mismo entre punto y punto a lo largo de los perfiles. 
El DSM final o de ahora en adelante DTM final deberá ser comparado con el DTM 
inicial para verificar los cambios en las alturas de los diversos puntos en toda la 
superficie superior del modelo geotécnico. (Anexo I) 
 
 
 
 
 66
5.7.5 Proceso de comparación entre el DTM inicial y el DTM final 
 
Estos modelos digitales se generaron en un formato .dtm para ser leído a su vez 
por el software MGE Terrain Modeler de Intergraph en un ambiente de 
MicroStation el cual ha sido creado para manipular y analizar modelos digitales de 
terreno y crear las salidas necesarias de acuerdo con la representación que se 
requiera. 
 
Analizados los datos observamos que el suelo tuvo un hundimiento al planteado 
en la hipótesis relacionado con los problemas de subsidencia. Se generó una grilla 
regular que mostrara los valores de altura de cada uno de los puntos 
muestreados. 
Figura 37: Grilla de los puntos muestreados 
 
Fuente: software mge terrain modeler de intergraph 
 67
Esto mismo se hizo con el DTM final para comparar las dos salidas y comprobar 
las alturas que se calcularon en cada caso. 
 
Se pudo constatar que hay diferencia de 8 milímetros en la zona céntrica que 
corresponde a lo largo de la perforación del túnel. 
 
En los ploteos de las mallas de punto de los proyectos inicial y final se pueden 
apreciar la diferencia de elevación de los puntos a lo largo de la trayectoria de la 
perforación del túnel. (ANEXO J) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68
CONCLUSIONES 
 
• El análisis y evaluación de los resultados obtenidos a partir del proceso 
fotogramétricos con las imágenes digitales permitió determinar los 
desplazamientos que se presentaron en el terreno como consecuencia de 
la perforación del túnel en diferentes etapas. 
 
• El montaje de las cámaras fue muy práctico ya que lo que se pretendía era 
no generarle movimiento al modelo, y el traslado a lo largo del este fue 
parte importante ya que se requería de un traslapo en cada una de las 
tomas para poder hacer su estudio respectivo. 
 
• La hipótesis planteada inicialmente pudo ser comprobada, demostrando 
que la fotogrametría es una herramienta muy útil como soporte para otras 
áreas permitiendo compartir en proyectos multi interdisciplinarios 
 
• El uso de cámaras digitales no métricas, aunque presenten distorsiones y 
errores, son de gran ayuda para el desarrollo de proyectos en campos 
como la geotecnia para realizar mediciones y poner a disposición de los 
técnicos disciplinarios los resultados que se obtengan. 
 
• La fotogrametría fue muy útil para la determinación de vectores de un punto 
determinado de un suelo modelado, por medio de cámaras no métricas. 
 69
 
• Los resultados obtenidos de la subsidencia del suelo por el método de la 
fotogrametría fue de 8 mm y la subsidencia que nos arrojaron los LVDT fue 
del orden de 10 mm esto quiere decir que el método fotogramétrico puede 
arrojar valores similares a aquellos que se midan con sensores. 
 
• Basados en esta investigación, se puede establecer una metodología que 
permita con el uso de la fotogrametría terrestre digital medir deformaciones 
y realizar seguimiento de desplazamientos en los modelos geotécnicos que 
se construyan en Geolab. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70
RECOMENDACIONES 
 
• Se recomienda realizar pruebas iniciales de todo el proceso de toma de 
fotografías que asegure el correcto desarrollo del proyecto. 
 
• Es importante contar con fotografías del modelo iniciales para así 
determinar las diferencias que se presentan y los desplazamientos por 
medio de los puntos de chequeo que se ubiquen en el modelo. 
 
• Es indispensable trabajar a la par con el grupo interdisciplinario cuándo se 
está haciendo el llenado del modelo para poder ubicar y tener en claro la 
ubicación de los puntos de control y chequeo. 
 
• Se recomienda estudiar otras maneras de obturación de la cámara, para 
facilitar su manejo. 
 
• Estudiar alternativas para elaborar la malla de referencia que se hizo en la 
parte superior del modelo para que las medidas sean más exactas. 
 
• Adicionalmente a los productos fotogramétricos elaborados para este 
proyecto, se recomienda estudiar la posibilidad de realizar ortofotos que 
permitan hacer otras mediciones. 
 
 71
• Vale la pena seguir profundizando en el estudio y aplicación de la 
fotogrametría terrestre en estudios geotécnicos para lo cual se requieren 
calcular mejor las distorsionesque se puedan presentar con cámaras 
digitales no métricas y su calibración y en posteriores procesos usando las 
imágenes digitales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72
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 76
 
 
 
 
 
 
 
 77
 
 
78
 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
1
2
3
4
5
6
7
9
8
10
11
13
14
15
16
17
12
18
TESTIG O S INSTALADO S EN
EL FRENTE DEL M O DELO
 
 79
 
 
 
 
 
 
 
 80
 
 
 
 
 
 
 81
 82
E N T R A D A
S A L ID A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
4 3 2 1
S E N S O R E S
S O P O R T E S E N S O R E S
M A L L A D E R E F E R E N C I A
M A L L A C E N T R A L T U N E L
P U N T O S D E C O N T R O L
1 0 0
1 0 0 .4 0
1 0 0 .8 0
1 0 1 .1 9
1 0 1 .6 0
1 0 2 .0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 .3 9 1 0 0 .4 1 1 0 0 .4 0
1 0 0 .8 0 1 0 0 .8 1 1 0 0 .8 0
1 0 1 .1 8 1 0 1 .2 1 1 0 1 .2 0
1 0 1 .5 9 1 0 1 .6 1 1 0 1 .6 0
1 0 1 .9 9 1 0 2 .0 1 1 0 2 .0 0
S E N S O R E S Y P U N T O S D E C O N T R O L
 
83 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
 
 
 
85 
 
 
 
 
86 
 
 
 
 
 
87 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
 
92 
 
N° PUNTO N° PUNTO Vx Vy Vx^ 2 Vy^ 2
X1 10,100 X2 10,1018920 0,001892000 0,00000358
Y1 20,200 Y2 20,2000110 0,000011000 0,000000000121
X1 10,100 X2 10,0984080 0,001592000 0,000002534
Y1 20,400 Y2 20,3983900 0,001610000 0,000002592
X1 10,100 X2 10,0982080 0,001792000 0,000003211
Y1 20,600 Y2 20,5997390 0,000261000 0,000000068
X1 10,100 X2 10,0996360 0,000364000 0,000000132
Y1 20,800 Y2 20,8010890 0,001089000 0,000001186
X1 10,300 X2 10,3038700 0,003870000 0,000014977
Y1 20,200 Y2 20,1966980 0,003302000 0,000010903
X1 10,300 X2 10,3019850 0,001985000 0,000003940
Y1 20,400 Y2 20,3967620 0,003238000 0,000010485
X1 10,300 X2 10,3015570 0,001557000 0,000002424
Y1 20,600 Y2 20,5976260 0,002374000 0,000005636
X1 10,300 X2 10,3018710 0,001871000 0,000003501
Y1 20,800 Y2 20,8010890 0,001089000 0,000001186
X1 10,500 X2 10,5021060 0,002106000 0,000004435
Y1 20,200 Y2 20,1955270 0,004473000 0,000020008
X1 10,500 X2 10,5014210 0,001421000 0,000002019
Y1 20,400 Y2 20,3961620 0,003838000 0,000014730
X1 10,500 X2 10,5018210 0,001821000 0,000003316
Y1 20,600 Y2 20,5988250 0,001175000 0,000001381
X1 10,500 X2 10,5017060 0,001706000 0,000002910
Y1 20,800 Y2 20,8011740 0,001174000 0,000001378
X1 10,700 X2 10,7027700 0,002770000 0,000007673
Y1 20,200 Y2 20,1971260 0,002874000 0,000008260
X1 10,700 X2 10,7033990 0,003399000 0,000011553
Y1 20,400 Y2 20,3968760 0,003124000 0,000009759
X1 10,700 X2 10,7030560 0,003056000 0,000009339
Y1 20,600 Y2 20,5988540 0,001146000 0,000001313
X1 10,700 X2 10,7032840 0,003284000 0,000010785
Y1 20,800 Y2 20,8012890 0,001289000 0,000001662
6
2 2
3 3
TABLA Nº 2 DATOS TABLERO DE PRUEBA FOTO DSC07537 (PUNTOS EXACTOS - PUNTOS 
LEIDOS)
PUNTOS  EXACTOS PUNTOS LEIDOS
4 4
6
7 7
8 8
15 15
10
11 11
10
13 13
14 14
21 21
16 16
17 17
19 19
20 20
N° PUNTO N° PUNTO Vx Vy Vx^ 2 Vy^ 2PUNTOS  EXACTOS PUNTOS LEIDOS
X1 10,900 X2 10,9003210 0,000321000 0,000000103
Y1 20,200 Y2 20,2000390 0,000039000 0,000000002
X1 10,900 X2 10,9021490 0,002149000 0,000004618
Y1 20,400 Y2 20,3983610 0,001639000 0,000002686
X1 10,900 X2 10,9022350 0,002235000 0,000004995
Y1 20,600 Y2 20,5985400 0,001460000 0,000002132
X1 10,900 X2 10,9019490 0,001949000 0,000003799
Y1 20,800