Economía FI - Cursado 2023 -- Clase 2B (Caja de Edgeworth)

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Facultad de Ingeniería - UNCo
Recursado Economía FI
Año lectivo 2023, clase 2B
Método de Lagrange y “Caja de Edgeworth”
Solución analítica para encontrar el óptimo en problemas de
extremos condicionados
1.- Caso general (método de Lagrange)
Sea la función F(x,y), se pide encontrar su máximo sujeto a la
restricción φ(x,y)=0.
Se sabe que:
dF= (∂F/∂y) dy + (∂F/∂x) dx (i)
La condición necesaria para la existencia de extremos es que
(∂F/∂y) y (∂F/∂x) sean cero.
A su vez,
dφ= (∂φ/∂y) dy + (∂φ/∂x) dx = 0 (ii)
Multiplico (ii) por λ, término llamado multiplicador de Lagrange.
Entonces,
λ(∂φ/∂y) dy + λ (∂φ/∂x) dx = 0 (iii)
Sumo esta expresión a (i) y luego obtengo:
(∂F/∂y) + λ (∂φ/∂y) = 0
(∂F/∂x) + λ (∂φ/∂x) = 0
φ (x,y) = 0
Ver el caso más general de tres variables en el texto HIGHER MATHEMATICS
FOR ENGINEERS AND PHYSICISTS de I. Sokolnikoff, páginas 163 y ss.
DOS CONSUMIDORES PRESTOS AL INTERCAMBIO
Consumidor A Consumidor B
Dotación inicial, QA
O= (4;16) y QB
O= (14;5)
Peras
Manzanas
14
5
Damos vuelta el 2do gráfico!!!
… Y obtenemos la Caja de Edgeworth
Caja de Edgeworth
10P
0
0
6M
10P
6M
Manzanas
de X
Manzanas
de Y
Peras de Y
Peras de X
2M
1M 5M
4M
4P 3P
7P6P
+1M
-1P
La asignación
posterior al
intercambio es
B: X tiene
6 peras y 2 
manzanas, Y 
tiene 4 manzanas
y 4 peras.
A
B
La asignación inicial previa
al intercambio es A: X
tiene 7 peras y 1 manzana , 
Y tiene 3 peras y 5 manzanas.
A
A: UX
1 = UY
1,
pero sus TMS no 
son iguales.
Todas las
combinaciones
del área
sombreada son 
preferibles a A.
Beneficios del
intercambio
Manzanas
de Y
Peras de Y
UY
1UY
2UY
3
Manzanas
de X
Peras de X
UX
1
UX
2
UX
3
B
C
D
La eficiencia en el intercambio
10P 0
0
6M
10P
6M
A
Manzanas
de Y
Peras de Y
UY
1UY
2UY
3
Manzanas
de X
Peras de X
UX
1
UX
2
UX
3
B
C
D
La eficiencia en el intercambio
10P
0
0
6M
10P
6M
¿Es eficiente B? 
¿Es eficiente C?
¿ D?
La eficiencia en el intercambio
A
Manzanas
de Y
Peras de Y
UY
1UY
2UY
3
Manzanas
de X
Peras de X
UX
1
UX
2
UX
3
B
C
D
10P 0
0
6M
10P
6M
 Las asignaciones eficientes:
 Cualquier movimiento fuera del 
área sombreada empeora el 
bienestar de uno de los dos 
consumidores.
 B es un intercambio mutuamente
beneficioso. Aumenta la curva de 
indiferencia de cada persona.
 El intercambio puede ser 
beneficioso pero no eficiente.
 Las TMS son iguales cuando las
curvas de indiferencia son 
tangentes y la asignación es
entonces eficiente.
La curva de contrato
0
Manzanas
de X
Manzanas
de Y
0
Peras de Y
Peras de X
E
F
G
Curva de
contrato
E, F, y G son eficientes
en el sentido de 
Pareto. Si un cambio
mejora la eficiencia,
todos se benefician.
La curva de contrato:
Para hallar todas las asignaciones eficientes
posibles de peras y manzanas entre X e Y,
buscamos todos los puntos de tangencia
entre cada una de sus curvas de
indiferencia.
La curva de contrato muestra todas las
asignaciones eficientes en el sentido de
Pareto (la asignación eficiente en el
sentido de Pareto se produce cuando un
intercambio posterior al óptimo hace que
el bienestar de otra persona empeore).