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A. P. FRENCH EDWIN F. TAYLOR
MIT PHYSICS COURSE
(Massachusetts Institute of Technology)
Editorial Reverté, S. A.
Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · México
Título de la obra original: 
An Introduction to Quantum Physics 
 
Edición original en lengua inglesa publicada por 
W. W. Norton & Company, Inc., New York 
 
Copyright © by The Massachusetts Institute of Technology 
 
Versión española por 
Dr. José Aguilar Peris 
Catedrático de Termología de la Universidad de Madrid 
y 
Dr. José Miguel Aguilar Peris 
Catedrático de Mecánica Estadística de la Universidad de Sevilla 
 
 
 
Propiedad de: 
EDITORIAL REVERTÉ, S. A. 
Loreto, 13-15. Local B 
08029 Barcelona. ESPAÑA 
Tel: (34) 93 419 33 36 
e-mail: reverte@reverte.com 
www.reverte.com 
 
 
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medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, queda 
rigurosamente prohibida, salvo excepción prevista en la ley. Asimismo queda prohibida la 
distribución de ejemplares mediante alquiler o préstamo públicos, la comunicación pública y 
la transformación de cualquier parte de esta publicación (incluido el diseño de la cubierta) 
sin la previa autorización de los titulares de la propiedad intelectual y de la Editorial. La 
infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad 
intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos 
Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos. 
 
 
 
© Editorial Reverté, S. A., 1982 
ISBN 978-84-291-4167-2
 
 
Edición en papel 
Edición e-book (PDF) 
ISBN: 978-84-291-9067-0
 # 888
 © Editorial Reverté, S. A., 2012 
Prólogo 
La física cuántica trata del comportamiento de las cosas más pequeñas que 
conocemos. Realmente se trata de cosas muy pequeñas. En efecto, observemos dos 
dedos de nuestra mano verticalmente. El diámetro de un átomo guarda 
aproximadamente con el espesor de los dos dedos la misma relación que este espesor 
con el diámetro de la tierra (Jo-s cm es a 3 cm como 3 cm es a 109 cm). Nuestras 
predicciones respecto a cómo se comportan estas cosas se encuentran mediatizadas por 
las experiencias con objetos suficientemente grandes para ser vistos y manipulados; no 
importa que estas predicciones sean falsas a veces cuando se aplican a objetos tan 
pequeños como un átomo. Del mismo modo, las leyes ((clásicas)) de la física, 
particularmente la mecánica newtoniana, ideada para describir el comportamiento de 
objetos de tamaño visible deben modificarse -y en algunos aspectos completamente 
reemplazadas- a fin de explicar el comportamiento de los átomos y las partículas 
subatómicas. 
Aunque el mundo de lo muy pequeño está muy alejado de nuestros sentidos, influye 
realmente en cada experiencia diaria. Casi todo lo que vemos y tocamos Ounto con los 
impulsos nerviosos y la luz, los mensajeros del tacto y de la vista) debe su carácter a la 
sútil arquitectura de átomos y moléculas, una arquitectura cuyo código de construcción 
es la mecánica cuántica. Y cuando tratamos los fenómenos a gran escala que dependen 
de un modo directo de los detalles de los procesos atómicos -por ejemplo, láseres, 
superconductores y electrónica del estado sólido- entonces el uso explícito de lafísica 
cuántica es esencial. 
En contraste con el orden generalmente bien establecido al presentar la materia 
propia de la física clásica, existen muchos puntos de vista distintos respecto a la 
estrategia y orden de presentación apropiado para la física cuántica. La secuencia que 
hemos elegido para este libro comienza con una descripción de algunos de los ((hechos 
vitales)) del mundo atómico (Capítulos 1 y 2) y después se desplaza rápidamente a las 
consecuencias de la dualidad onda-partícula en los sistemas físicos (Capítulo 3 a 5). 
Una vez alcanzado este punto, utilizamos fotones polarizados para examinar más 
cuidadosamente la forma y significado de la descripción mecánico-ondulatoria 
V 
VI Prólogo 
(Capítulos 6 y 7). El resto del libro (Capítulos 8 a 14) extiende las ideas básicas a 
situaciones y sistemas de complejidad creciente, culminando en la estructura de átomos 
de múltiples electrones y una discusión de la radiación. 
El texto y los ejercicios proporcionan solamente una introducción bastante limitada 
pedagógicamente al mundo radicalmente diferente de lo muy pequeño. Felizmente una 
creciente intuición por la física cuántica puede también estimularse mediante un 
amplio espectro de medios auxiliares de aprendizaje. 
Este libro no es una panorámica general de (ifísica moderna)) con secciones 
separadas sobre física nuclear o física del estado sólido. Más bien se hace énfasis sobre 
las bases teóricas y experimentales de la mecánica cuántica con ejemplos procedentes 
de diversas áreas de la física seleccionados para iluminar la forma en que la teoría 
incide en la práctica. Nos hemos concentrado en el método de Schrodinger, pero hemos 
introducido la notación matricial e indicado algunas relaciones entre las dos 
descripciones. 
Este libro pertenece a la colección MIT Introductory Physics Series, preparada 
bajo los auspicios del MIT Education Research Center que concluyó su existencia 
activa en 197 3. (Los volúmenes publicados anteriormente son N ewtonian Mechanics, 
Vibrations and Waves y Special Relativity). Esta parte del trabajo fue subvencionada 
principalmente con ayudas del U.S. National Science Foundation y nos permitió como 
autores, beneficiarnos del consejo de muchas personas. Los físicos del MIT y de otras 
partes discutieron como debía organizarse esta presentación y nos proporcionaron 
críticas y consejos durante sus muchos ensayos. David Park y Walter Knight nos 
ofrecieron comentarios útiles en los primeros borradores del texto y Arthur K. Kerman 
y Leo Sartori colaboraron con uno de nosotros (EFT) en su escritura. William H. 
Ingham hizo múltiples sugerencias sobre el texto e ideó múltiples ejercicios. Charles P. 
Friedman también leyó y comentó el material y (con la guía de Félix Villars) 
contribuyó a parte del argumento del capítulo JO. David Root y James Rothstein 
resolvieron muchos de los ejercicios. Robert l. Hulsizer nos proporcionó apoyo y 
estímulo durante su época de director del Centro. Jerrold R. Zacharias y el difunto 
Francis L. Friedman, fundadores del Centro han influido sobre nuestro trabajo en 
cada etapa por su insistencia en la ((línea histórica verazJJ y en el desarrollo de la teoría 
por medio de la experiencia. Finalmente estamos profundamente agradecidos a 
diversas generaciones de alumnos del MIT y de otros centros cuyo interés e ilusión nos 
ayudó a trazar un curso sobre este fascinante tema. 
Cambridge, Massachusetts 
A. P.FRENCH 
EDWIN F. TAYLOR 
Medios audiovisuales en física 
, . 
cuanttca 
Las ideas fundamentales de la física cuántica son simples pero sutiles. Una intuición 
creciente de estas sutilezas puede ser estimulada a través de distintos tratamientos: 
experimentos de demostración, experimentos caseros y películas programadas que 
desarrollan las predicciones de la teoría. A continuación se relacionan, en eL orden de 
presentación de la correspondiente materia del libro, algunos medios de aprendizaje que 
consideramos útiles en la enseñanza en las versiones preliminares de este texto. 
Se citan las fuentes de estos materiales en los Estados Unidos. En la mayor parte de 
los casos existen fuentes alternativas en los Estados Unidos y en otros lugares. Los 
distribuidores suelen cambiar con más rapidez que los editores de libros, de tal modo 
que esta lista puede estar anticuada cuando el lector la lea. Nos excusamos si esto 
ocurre, pero creemos que el esfuerzo realizado para establecer una fuente y ordenar 
estos materiales antes de su uso en clase está justificado generosamente por la mayor 
comprensión e interés que despierta en el alumno. 
El código de ventas y alquiler de películas está codificadoen la lista del modo 
siguiente: EDC -Education Development Center (39 Chape! Street, Newton, 
Massachusetts 02160); MLA -Modern Learning Aids (Ventas, Modern Learning 
Aids, P.O. Box 1712; Rochester, New York 14603; Alquiler, Modern Film Rentals, 
2323 New Hyde Park Avenue, New Hyde Park, New York 11040). A menos que se 
diga lo contrario todas las películas son de 16 mm. 
Los materiales polarizantes (lineal, circular y plaéas de cuarto de onda) y redes 
plásticas de difracción se encuentran en las casas de material científico como Edmund 
Scientific Co. (Barrington, New Jersey 08007). En Polaroid Corporation (Polarizer 
División, Cambridge, Massachusetts 02139) pueden encontrarse grandes lámínas de 
materiales polarizantes. 
Probabilidad e incertidumbre: el punto de vista mecánico-cuántico de la 
naturaleza, por Richard P. Feynman, BBC, 60 min en blanco y negro, sonora. 
Conferencia número seis de la serie The Character of Physical Law. Fuente: EDC. La 
mejor introducción de una hora de duración que hemos visto. Feynman verifica todos 
VII 
VIII Medios audiovisuales en física cuántica 
los cambios en el experimento de interferencias de dos rendijas con partículas revelando 
muchas de las paradojas y maravillas esenciales de la fisica cuántica. No menciona que 
este experimento se ha realizado realmente con electrones (pág. 72 del texto). La pe-
lícula es demasiado larga para una sesión de conferencia de 50 min; se recomienda una 
tarde para su proyección seguida de discusión. El texto se encuentra junto con otras 
conferencias en forma impresa (Publicaciones de la BBC y Prensa del MIT), pero nadie 
debe perder la oportunidad de ver a Feynman en acción. La película puede proyectarse 
en cualquier momento del curso, pero es preferible hacerlo cuanto antes. 
Redes de difracción. Observar los espectros de las luces de la ciudad con una 
pequeña red de difracción de plástico rectangular que puede llevarse en el bolsillo es un 
espectáculo fascinante. Las luces de neón suelen ser las favoritas. Las luces azules de 
mercurio y las amarillas de vapor de sodio de las calles muestran los espectros 
característicos de estos elementos. Actualmente estas luces se están reemplazando por 
las lámparas de alta presión más eficientes, y en las cuales el ensanchamiento 
producido por las colisiones enmascara las líneas espectrales. Capítulo l. 
Experimento de Franck-Hertz, por Byron Youtz, Física PSSC 30 minutos, blanco 
y negro, sonora (Inglés o español). Fuente: MLA. Una demostración clásica de que los 
electrones requieren un mínimo de energía cinética para que los átomos de mercurio 
pasen del estado fundamental a su primer estado excitado. En "un epílogo delicioso 
James Franck recuerda el experimento original realizado en colaboración con Gustav 
Hertz y comenta su ignorancia de la teoría de Bohr en la época en que fue realizada. 
Capítulo l. 
Ondas máteriales, por Alan Holden y Lester Germer, Física PSSC 28 minutos, 
blanco y negro, sonora (Inglés o español). Fuente: MLA. Una película magníficamente 
realizada con el estilo de los años cincuenta que examina la evidencia de las 
propiedades ondulatorias de las partículas. Lester Germer añade un impacto personal a 
la presentación describiendo el original experimento de Davisson-Germer y 
demostrando una aplicación moderna. Capítulo 2. 
Oscilador armónico mecánico-cuántico, por Alfred Bork, 4 minutos blanco y negro, 
muda, 16 mm y cartucho super 8. Fuente: EDC. Película programada que utiliza la 
condición de que la función de ondas se aproxima a cero a distancia infinita 
engendrando funciones de onda y valores propios energéticos para el oscilador 
armónico simple. Capítulo 4. 
Valores propios energéticos en mecánica cuántica, por Harry Schey MIT 
Education Research Center, 3 minutos, blanco y negro, muda. Fuente: EDC. Este 
filme programado muestra como los mismos valores propios energéticos surgen de una 
partícula ligada cuando cada una de las cuatro condiciones límites o la continuidad se 
suspende temporalmente por turno y las energías ensayadas se modifican hasta 
satisfacer esta condición. Capítulo 4. 
Equipo de luz polarizada. Las láminas pequeñas de polarización lineal o circular y 
las de cuarto de onda cuestan poco dinero. Los ejercicios del capítulo 6 comienzan con 
algunos experimentos sugeridos con luz polarizada linealmente. Los rombos de calcita 
maclada (2 cm de tamaño es suficiente) aumentan el interés de estos experimentos 
Medios audiovisuales en fisica cuántica IX 
caseros, pero son más caros y no conocemos una fuente corriente para su adquisición. 
Polarización de fotones, por Stephan Berko, MIT. Education Research Center, 
15 minutos, color, sonoro. Fuente: EDC. Producida como parte del esfuerzo que se 
verificó en el presente texto, esta película describe la ley del cuadrado del coseno de 
transmisión a través de dos polarizadores lineales cuando los ejes de transmisión están 
girados uno con respecto del otro y presenta el experimento a muy bajas intensidades, a 
las cuales el carácter estadístico de los sucesos cuánticos se hace aparente, Capítulo 6. 
Inteiferencia en la polarización de fotones, por James L. Burkhardt, MIT 
Education Research Center, 4 minutos, color, muda. Fuente: EDC. Demuestra la 
paradoja de los haces recombinados presentada en el capítulo 7, un efecto de 
interferencia que puede utilizarse para apoyar la conclusión de que se requieren las 
amplitudes y no justamente las probabilidades para describir los fenómenos cuánticos. 
Capítulo 7. 
Serie Física Cuántica, por Judah L. Schwartz, Harry Schey, Abraham Goldberg, 
MIT Education Research Center, de 2 a 4 minutos, blanco y negro, muda, 16 mm y 
cartucho Super 8. Fuentes: 16 mm, EDC; Super 8, BFA Educational Media (2211 
Michigan Avenue, Santa Mónica, California 90404). Una serie de películas 
programadas que muestran «paquetes» de probabilidad para diversos fenómenos 
monodimensionales: partículas libres, dispersión de pozos y barreras, partículas ligadas 
(y tres títulos no relacionados a continuación demuestran la propagación en cristales). 
También se muestran la representación de momentos. Una película (QP-10, disponible 
sólo en 16 mm) indica la importante conexión entre «paquetes>> de probabilidad y 
observaciones individuales. 
QP-1 
QP-2 
QP-3 
QP-4 
QP-5 
QP-10 
QP-15 
Barreras: Dispersión en una dimensión 
Pozos: Dispersión en una dimensión 
Efectos de borde: Dispersión en una dimensión 
Espacio de momentos: Dispersión en una dimensión 
Paquetes de ond;:ts libres 
Sucesos individuales en la dispersión monodimensional 
Partícula en una caja 
Diversas figuras de los capítulos 8 y 9 proceden de estas películas. 
Experimento de Stern Gerlach, por Jerrold Zacharias, MIT. Education Research 
Center, 27 minutos, blanco y negro, sonora. Fuente: MLA. Una demostración 
experimental cuidadosa de cómo un campo magnético no uniforme desdobla un haz de 
átomos de cesio en dos haces distintos correspondientes a diferentes estados cuánticos 
de momento angular. Varias figuras del capítulo 10 están tomadas de esta película. 
Índice analítico 
PRÓLOGO V 
MEDIOS AUDIOVISUALES EN FÍSICA CUÁNTICA VII 
1 Modelos atómicos simples 1 
1-1 Introducción 1 
1-2 El átomo clásico 4 
1-3 La estructura eléctrica de la materia 4 
1-4 El átomo de Thomson 10 
1-5 Espectros de líneas 13 
1-6 Fotones 15 
1-7 El átomo de Rutherford-Bohr 21 
1-8 Nuevas predicciones del modelo de Bohr 26 
1-9 Evidencia directa de los niveles discretos de energía 26 
1-10 Espectros de rayos X 28 
1-11 Nota sobre la espectroscopia de rayos X 36 
1-12 Conclusiones 39 
EJERCICIOS 42 
2 Propiedades ondulatorias de las partículas 51 
2-1 Hipótesis de De Broglie 51 
2-2 Ondas de De Broglie y velocidades de partículas 54 
2-3 Magnitudes calculadas de las longitudes de onda de 
De Broglie 57 
2-4 Experimentos de Davisson-Germer 58 
2-5 Ampliación de los experimentos de Davisson-Germer 64 
2-6 Otras manifestaciones de las propiedades ondulatorias 
de los electrones 71 
2-7 Propiedadesondulatorias de átomos y moléculas neutras 7 4 
2-8 Propiedades ondulatorias de partículas nucleares 78 
2-9 Significado de la dualidad onda-partícula 81 
XI 
XII Índice analitico 
2-10 Coexistencia de las propiedades ondulatorias y corpus-
culares 83 
2-11 Una primera discusión sobre amplitudes cuánticas 89 
EJERCICIOS 90 
3 Dualidad onda-partícula y estados ligados 99 
3-1 Observaciones preliminares 99 
3-2 Aproximación a una ecuación onda-partícula 100 
3-3 Ecuación de Schrodinger 102 
3-4 Estados estacionarios 104 
3-5 Partícula contenida en una caja monodimensional 105 
3-6 Energía única sin cantidad de movimiento único 109 
3-7 Interpretación de las amplitudes cuánticas para estados 
ligados 110 
3-8 Partículas en cajas no rígidas 115 
3-9 Pozo cuadrado de profundidad finita 118 
3-10 Normalización de la función de onda 120 
3-11 Diagramas cualitativos de las funciones de onda de 
estados ligados 122 
EJERCICIOS 135 
4 Soluciones a la ecuación de Schrodinger en una dimensión 145 
4-1 Introducción 145 
4-2 El pozo cuadrado 145 
4-3 El oscilador armónico 151 
4-4 Energías de vibración de moléculas diatómicas 158 
4-5 Soluciones de la ecuación de Schrodinger mediante 
computador 161 
EJERCICIOS 171 
5 Otras aplicaciones de la ecuación de Schrodinger 179 
5-1 Introducción 179 
5-2 Ecuación tridimensional de Schrodinger 179 
5-3 Funciones y valores propios 181 
5-4 Partícula en una caja tridimensional 182 
5-5 Soluciones de simetría esférica 184 
5-6 Normalización y densidades de probabilidad 193 
5-7 V al ores esperados 195 
5-8 Soluciones por computador de las funciones de onda 
del hidrógeno de simetría esférica 200 
EJERCICIOS 204 
6 Fotones y estados cuánticos 213 
6-1 Introducción 213 
Índice analítico XIII 
6-2 Estados de polarización lineal 215 
6-3 Fotones linealmente polarizados 218 
6-4 La probabilidad y el comportamiento de fotones polari-
zados 222 
6-5 Estados de polarización circular 224 
6-6 Ortogonalidad e integridad 226 
6-7 Estados cuánticos 230 
6-8 Propiedades clásicas y estadísticas de la luz 232 
6-9 Conclusiones 234 
APENDICE: LUZ POLARIZADA LINEALMENTE 235 
6A-1 Producción de luz polarizada linealmente 235 
6A-2 Producción de luz polarizada circularmente 238 
Experimentos sugeridos con luz polarizada linealmente 245 
EJERCICIOS 248 
7 Amplitudes cuánticas y vectores de estado 257 
7-1 Introducción 257 
7-2 Circuito analizador 258 
7-3 Paradoja de los haces recombinados 259 
7-4 Efectos de interferencia en general 263 
7-5 Formalismo de las amplitudes de proyección 265 
7-6 Propiedades de las amplitudes de proyección 267 
7-7 Amplitudes de proyección para estados de polarización 
circular 271 
7-8 El vector de estado 274 
7-9 El vector de estado y la función de onda de Schrodinger 
para estados ligados 279 
EJERCICIOS 281 
8 Los estados cuánticos y su dependencia con el tiempo 289 
8-1 Introducción 289 
8-2 Superposición de estados 290 
8-3 Un ejemplo del movimiento en una caja 291 
8-4 Estados empaquetados en un pozo de potencial cua-
drado 294 
8-5 Relación de incertidumbre momento line~l-posición 299 
'8-6 El principio de incertidumbre y las energías del estado 
fundamental 302 
8-7 Estados espaquetados de la partícula libre 303 
8-8 Estados empaquetados para partículas en movimiento 307 
8-9 Ejemplos de estados empaquetados en movimiento 309 
8-10 Relación de incertidumbre energía-tiempo 314 
8-11 Ejemplos de la relación de incertidumbre energía-
tiempo 316 
XIV 
8-12 Forma y anchura de los niveles de energía 
EJERCICIOS 
Índice analítico 
322 
324 
9 Difusión de partículas y penetración a través de la barrera de 
potencial 335 
9-1 Procesos de difusión en función de paquetes de ondas 335 
9-2 Aproximación independiente del tiempo a los fenómenos 
de difusión 337 
9-3 Densidad de probabilidad y corriente de probabilidad 342 
9-4 Difusión en pozo unidimensional 346 
9-5 Penetración de la barrera: efecto túnel 350 
9-6 Problemas de corriente de probabilidad y penetración de 
barrera 355 
9-7 Una aproximación para cálculos de la penetración de la 
barrera 358 
9-8 Emisión de campo de electrones 360 
9-9 Corrientes de probabilidad de simetría esférica 364 
9-10 Teoría cuantitativa de la desintegración alfa 367 
9-11 Difusión de los paquetes de ondas 373 
EJERCICIOS 379 
10 Momento angular 389 
10-1 Introducción 389 
10-2 Experimento de Stern-Gerlach: teoría 392 
10-3 Experimento de Stern-Gerlach: descriptiva 395 
10-4 Magnitudes de los momentos dipolares atómicos 401 
10-5 Operadores del momento angular orbital 405 
10-6 Valores propios de Lz 408 
10-7 Valores propios simultáneos 411 
10-8 Estados cuánticos de un oscilador armónico bidimensio-
nal 416 
EJERCICIOS 424 
11 Momento angular de los sistemas atómicos 433 
11-1 Introducción 433 
11-2 Momento angular orbital total en los campos centrales 433 
11-3 Estados rotacionales de las moléculas 445 
11-4 Momento angular de spin 457 
11-5 Energía de acoplamiento spin-órbita 459 
11-6 Formalismo para el momento angular total 461 
APENDICE: LA ECUACIÓN DE SCHRt>DINGER EN 
COORDENADAS ESFERICAS 462 
EJERCICIOS 465 
Índice analitico XV 
12 Estados cuánticos en sistemas tridimensionales 473 
12-1 Introducción 473 
12-2 Modelo de Coulomb 473 
12-3 Características generales de las funciones de onda 
radiales del hidrógeno 476 
12-4 Funciones de onda radiales exactas para el hidrógeno 482 
12-5 Funciones de onda de Coulomb completas 484 
12-6 Clasificación de los estados propios energéticos del 
hidrógeno 490 
12-7 Notación espectroscópica 491 
12-8 Estructura fina de los niveles energéticos del hidrógeno 493 
12-9 Estructura fina isotópica: hidrógeno pesado 496 
12-10 Otros sistemas hidrogenoides 498 
EJERCICIOS 502 
13 Partículas idénticas y estructura atómica 509 
13-1 Introducción 509 
13-2 La ecuación de Schrodinger para dos partículas sin 
interacción 510 
13-3 Consecuencias de la identidad 512 
13-4 Estados de spin para dos partículas 516 
13-5 Simetría de intercambio y el principio de Pauli 517 
13-6 ¿Cuándo la materia es simétrica o antisimétrica? 520 
13-7 Medida del carácter de simetría 522 
13-8 Estados del átomo de helio 524 
13-9 Átomos de múltiples electrones 536 
13-10 Estructura general de un átomo masivo 545 
EJERCICIOS 546 
14 Radiación emitida por los átomos 553 
14-1 Introducción 553 
14-2 El dipolo hertziano clásico 553 
14-3 Radiación de una distribución de carga arbitraria 556 
14-4 Los dipolos radiantes y la mecánica ondulatoria 559 
14-5 Ve.locidades de radiación y períodos de vida atómicos 562 
14-6 Reglas de selección y diagramas de radiación 564 
14-7 Sistemática de los espectros de línea 572 
14-8 Momento angular de fotones 574 
14-9 La radiación dipolar magnética y el hidrógeno de la 
galaxia 576 
14-10 Notas finales 583 
EJERCICIOS 583 
XVI 
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 
BIBLIOGRAFÍA 
CONSTANTES FfSICAS Y FACTORES DE 
CONVERSIÓN 
ÍNDICE ALF ABETICO 
Índice analítico 
589 
596 
604 
607 
Introducción a la 
fisica cuántica 
Resulta difícil para un joven físico ... comprobar el estado de nuestra ciencia en 
los primeros años del decenio 1920-30 ... No fue precisamente el fracaso de las viejas 
teorías de la luz y la mecánica. Por el contrarío. Podríamos decir que habían triunfado 
en regiones en las cuales era difícil pensar que podrían aplicarse, pero triunfaron 
errátícamente ... y sobre todo el tema, flotaba la misteriosa figura de h. 
G.P. THOMSON, Symposíum on the Hístory ofModern Physícs (1961) 
Quizás he descubierto un poco de la estructura de los átomos. No digas nada a 
nadie sobre ello ... 
NIELS BOHR, carta a su hermano (1912) 
1 
Modelos atómicos simples 
1-1 INTRODUCCIÓN 
Sabemos que la fisica clásica basada en la mecánica newtoóiana y en las leyes de 
Maxwell del electromagnetismo, se adapta perfectamente al análisis del comporta-
miento de los objetos macroscópicos en función de determinadas leyes de fuerza. Pero 
en cuanto nos introducimos en el mundo del átomo, nos encontramos en presencia de 
nuevosfenómenos , que requieren el estudio de nuevos conceptos para su análisis y des-
cripción. El campo que estudia estos fenómenos, tanto a niveles atómicos como suba-
tómicos se denomina teoría cuántica. De todas formas, como el comportamiento de la 
materia depende en última instancia de las propiedades de sus átomos constituyentes, 
todo intento de comprensión de los fenómenos fisicos a escala macroscópica dependerá 
frecuentemente de la teoría cuántica. Por ejemplo, podemos hacer una gran cantidad de 
análisis sobre el comportamiento mecánico de los sólidos utilizando para ello valores de 
sus constantes elásticas, tensiones, etc. Pero si queremos explicar estos valores en fun-
ción de procesos más fundamentales, debemos acudir a la teoría cuántica. Esto ocurre 
siempre que queremos comprender la estructura de la materia. 
Las propiedades de los átomos -e incluso el hecho de su propia existencia- plan-
tean una serie de cuestiones incontestables por la fisica clásica: 
El diámetro de los átomos es de unos pocos angstroms (1 Á= w-s cm) y no hay 
apenas diferencia de tamaño entre los más ligeros y pesados (ver figura 1-1). ¿Por qué 
éste tamaño en concreto? ¿Y por qué no existe un intervalo más amplio de tamaños? 
Cuando aislamos los átomos de la radiación o de la presencia de otros átomos, la 
mayoría de ellos permanecen estables indefinidamente: no se produce un colapso ni una 
explosión. ¿Por qué no caen los electrones cargados negativamente sobre los núcleos 
positivos, y por qué como consecuencia, no se destruye el átomo con una violenta ex-
plosión de radiación? 
Cuando excitamos los átomos mediante procesos eléctricos, colisiones, o cualquier 
otro tipo de excitación, estos emiten radiaciones de longitud de onda discontinua, ca-
racterísticas del tipo de átomos excitados (ver figura 1-2). ¿Por qué emiten longitudes 
de onda discontinuas en vez de un espectro continuo? ¿Y cómo puede explicarse un es-
2 Modelos atómicos simples 
3,0 
Cs 
2,5 
~2,0 
f,. ~)l t 
.9 e 1,0 
0,5 
QL_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L_ __ L-__ L 
o 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 
número de masa atómica 
Fig. 1-1. Radios atómicos. Según aumenta el número de masa atómica la variación de tamaño 
atómico es muy pequeña. Obsérvese la variación periódica en el radio; los radios máximos son 
los de los átomos alcalinos. 
pectro particular, así cómo las diferencias entre los espectros de diferentes tipos de áto-
mos? 
Estas preguntas son sólo el principio. ¿Por qué algunos tipos de átomos son más 
reactivos químicamente que otros? ¿Por qué unas sustancias son más duras, más den-
sas, más transparentes, más elásticas, o conducen mejor la electricidad, o mejores con-
ductores térmicos, o más digeribles que otras sustancias? Todas estas preguntas pue-
den referirse a las propiedades de los átomos, y sólo las podemos comprender si cono-
cemos los hechos y los conceptos incluidos en la mecánica cuántica. 
En éste libro nos referiremos continuamente al átomo, estudiándolo desde diferentes 
puntos de vista o niveles de complejidad. En éste capítulo discutiremos algunos de los 
modelos atómicos más simples, todos desde el punto de vista clásico, aunque con un 
par de hipótesis que nos ayudarán a acercar los modelos clásicos a los sistemas cuánti-
cos observados. A pesar de su propia imperfección, estos modelos se pueden utilizar 
para correlacionar, aunque no puedan ser explicadas, muchas observaciones. Los fallos 
de estos modelos son los que nos fuerzan, repetidamente, a cambiar los modelos atómi-
cos siendo éstos cada vez más sofisticados. 
¿Por qué empezar el estudío con estos modelos imperfectos? ¿Por qué volver siem-
pre a ellos cuando conocemos de antemano la contestación «real» a estas preguntas? 
¿Por qué no empezar directamente por el estudio de la mecánica cuántica? Algunos 
lectores, bien preparado8, pueden comenzar en un capítulo posterior. Pero para la 
mayoría de los estudiantes los modelos atómicos simples son un buen inicio para pasar 
de la descripción clásica a los «verdaderos» enunciados cuánticos sobre los átomos, 
enunciados por en principio pueden resultar arduos y dificiles, pero que luego se vuel-
ven simples y naturales. 
Modelos atómicos simples 
Sodio 
Magnesio 
Hierro 
Mercurio 
QQ 
C')(J) 
"'"' U") a) 
"'"" (()(() 
"'"' 
-< 
"' N_ 
"' o o 
"' 1 
1 
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11 
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1 1 1 
(J)C') (J) 
t.r) ,...._ .. crf 
N<t> O> 
00> (() 
..,N N 
.... _ 
"' "' C') N 
1 
Fig. 1-2. Espectros de emisión de varios vapores. El diagrama de las líneas de emisión en cada 
espectro es característico de cada elemento químico. (Espectros reproducidos en G. Herzberg, 
Atomic Spectra andAtomic Structure, Dover Pub/ications, Inc., New York, 1944. Impreso con 
el permiso del editor. ) 
3 
4 Modelos atómicos simples 
1-2 EL ÁTOMO CLÁSIC0 1 
El modelo más simple del átomo es el de una esfera eléctricamente neutra, com-
pacta y de dimensiones mínimas -el fragmento más pequeño en que se puede dividir la 
materia que todavía posee la identidad, de un elemento químico dado. De acuerdo con 
este primitivo concepto, los átomos (y las moléculas que forman) no ejercen fuerzas de 
interacción entre sí, hasta que se los pone en contacto, y entonces ofrecen una resisten-
cia infmita a un intento de aproximarlos más. La drástica diferencia de comporta-
miento entre una sustancia en su forma gaseosa, por un lado, y en su fase sólida o 
líquida, por otro, es dificil de mantener con este modelo. Esta gran diferencia en el com-
portamiento no implica un gran cambio en lo que respecta a las distancias interatómi-
cas o intermoleculares. La vaporización de un sólido o un líquido a presión atmosférica 
implica normalmente un aumento en su volumen de 1000 veces, pero con respecto a la 
separación entre partículas este factor se reduce a 10. Aunque los átomos o moléculas 
en su estado de vapor se mueven casi independientemente unos de otros, la misma sus-
tancia en su fase líquida presenta un comportamiento altamente incompresible, lo que 
indica la existencia de fuertes repulsiones entre átomos, una vez que se encuentran em-
paquetados en un tipo de ordenamiento compacto. Así pues, el modelo atómico de pe-
queñas esferas con un radio más o menos defmido es un buen modelo como iniciación a 
la estructura atómica. Por supuesto,este modelo no explica las propiedades de cohesión 
de sólidos y de líquidos. 
¿Son muy grandes los átomos?, ¿de qué están hechos? Las respuestas a estas dos 
preguntas son hoy en día bien conocidas, pero no tuvieron solución durante mucho 
tiempo. Aunque a partir de las propiedades de líquidos y gases se estimaron sin rigor al-
gunos tamaños atómicos (ver ejercicios), la principal clasificación sobrevino con el des-
cubrimiento de la subestructura esencialmente eléctrica de los átomos. En la siguiente 
sección veremos los hechos que llevaron a este descubrimiento. 
1-3 LA ESTRUCTURA ELÉCTRICA DE LA MATERIA 
Las leyes de la electrolisis 
Entre 1831 y 1834 Michael Faraday llevó a cabo una serie de experimentos decisi-
vos sobre la descomposición electroquímica (electrolisis) de sustancias en disolución. 
Hacía pasar corriente entre dos electrodos suspendidos en varias soluciones y medía las 
cantidades relativas de sólido o gas liberado en cada electrodo. Por ejemplo, la electroli-
sis del agua aporta oxígeno gaseoso en un electrodo y un volumen doble de hidrógeno 
1 Un buen libro sobre modelos atómicos simples es, F. L. Friedman y L. Sartori, The C/assica/ Atom, Addison-Wes 
ley, Reading, Mass. 1965. 
Modelos atómicos simples 5 
gaseoso en el otro electrodo. Lo primero que descubrió Faraday fue que la cantidad to-
tal (masa de sólido o volumen de gas) de cualquier producto sometido al experimento 
era proporcional a la cantidad de electricidad que pasabaa través de la solución. 
Luego, comparando gran variedad de sustancias encontró que las masas relativas de 
los diferentes elementos liberados en la electrolisis estaban (para una misma transferen-
cia de carga) en la misma proporción en la que estos elementos se combinaban, entre sí, 
en las reacciones químicas. (Antes de que Faraday llevara a cabo sus experimentos, ya 
se conocían las masas de los elementos que se combinaban entre sí; ya que habían sido 
estandarizadas tomando como unidad el gas hidrógeno.) El término que se utiliza hoy 
en día para esta medida es el equivalente-gramo: por ejemplo, un gramo de hidrógeno 
se combina con 8 gramos de oxígeno para dar 9 gramos de agua; el equivalente-gramo 
del oxígeno es por lo tanto de 8 gramos). 
Faraday interpretó sus resultados electrolíticos en función del transporte de co-
rriente por iones positivos o negativos (individualidades atómicas o fragmentos molecu-
lares) cargados con cantidades características de electricidad. En sus propias palabras 
« ... si adoptamos la teoría o fraseología atómica, tendremos que los átomos de cuerpos 
que son equivalentes en una reacción química, tienen asociadas cantidades iguales de 
electricidad». 2 
Los experimentos sobre la electrolisis de Faraday permiten deducir la cantidad de 
carga necesaria para liberar un equivalente gramo de cualquier elemento. En términos 
modernos, la cantidad de carga transportada por un equivalente gramo de cu.alquier es-
pecie iónica se denomina faraday. 
1 Faraday (F) = 96 485 culombios (1-1) 
Moléculas, átomos y iones 
Para el total entendimiento de las observaciones de Faraday es necesario compren-
der que la molécula es la unidad básica de la sustancia química. Un hecho fundamental 
fue el descubrimiento de que una molécula puede contener más de un átomo de sus ele-
mentos constituyentes. Cuando las propiedades combinatorias de los átomos se com-
prendieron con claridad (más o menos en los años de la muerte de Faraday, 1867), fue 
posible escribir fórmulas dignas de confianza para las moléculas : N2, H20, etc. Poco 
después se pudieron medir las cantidades de sustancias puras que contenían números 
iguales de moléculas; y para ello se utilizó un patrón. Este patrón de medida es lamo-
lécula-gramo, llamada frecuentemente mol. Un mol de una sustancia pura es (aproxi-
madamente) la masa en gramos correspondiente a su peso molecular, tomando como 
unidad el átomo de hidrógeno3• Por lo tanto, un mol de agua, H20, tiene una masa de 
2 M. Faraday, Experimental Researches in Electricity, Serie VII, Junio 1834, reimpreso por Publicaciones Dover, 
Nueva York, 1965. 
' La definición moderna de mol utiliza una referencia estándar que es exactamente igual a 12 g del isótopo C 12 del 
carbono. 
6 Modelos atómicos simples 
18 g: 2 g por los átomos de hidrógeno de cada molécula y 16 por el oxígeno. (Esta es, 
por supuesto la misma proporción 1 :8, expresada por los equivalentes gramo.) Cuando 
se aplica el concepto de mol a un elemento (como el helio o el hidrógeno atómico) se le 
llama átomo-gramo. Aunque en un. mol de cada sustancia pura hay un número N igual 
de moléculas, las proporciones relativas en que se combinan los elementos no nos basta 
para obtener el valor de éste número N, al que llamamos número de Avogadro. Para 
calcular el número de A vogadro es necesario medir por lo menos una propiedad de un 
átomo o molécula individual. Para esto puede utilizarse la carga transportada por un 
ion atómico molecular en la electrolisis. Tomemos como ejemplo la electrolisis del 
agua, en la que 
Cada uno de los iones atómicos del hidrógeno en esta relación transporta dos uni-
dades (negativas). El paso de un faraday de electricidad libera un equivalente gramo 
(igual a medio átomo gramo) de oxígeno. En el caso de que se pudiese encontrar la uni-
dad atómica básica de carga, se podría deducir el número absoluto de átomos que hay 
en un átomo gramo de cada elemento. El descubrimiento del electrón permitió este cál-
culo. 
El descubrimiento del electrón 
El descubrimiento del electrón como un constituyente de todo tipo de átomos, fue 
obra de J. J. Thoril.son en 1897~ Fue la culminación de varias décadas de experiencias 
en las que distintos investigadores estudiaron las descargas eléctricas de los gases a 
baja presión. Se había establecido la emisión de algún tipo de rayos, llamados rayos ca-
tódicos, desde un electrodo cargado a un potencial altamente negativo en un tubo so-
metido al vacío. ¿Estos rayos eran partículas o un tipo de radiación electromagnética? 
Había evidencias a favor de las dos interpretaciones, y fue Thomson quién a través de 
sus experimentos esclareció la cuestión. 
La figura 1-3a muestra el instrumental básico que Thomson utilizó. Los rayos ca-
tódicos pasan desde C a través de las rendijas de colimación G y H, y luego entre las 
placas metálicas cargadas J y K, hasta chocar finalmente contra una pantalla fluores-
cente que se encuentra en uno de los extremos del tubo en el que se ha hecho el vacío. 
Una bobina (que no consta en el dibujo) suministra un campo magnético paralelo a las 
placas J y K (y perpendicular al haz de rayos catódicos) a lo largo de la longitud l de 
las placas. De esta forma se igualan las fuerzas eléctricas y magnéticas. Si los rayos ca-
tódicos están formados por partículas de masa m y carga e viajan a lo largo del espacio 
con una velocidad v, tenemos 
Feléctrica = eE (cgs) [= eE (SI)] 
evB 
Fmagnética =-e- (cgs) [= evB (SI)] 
' J. J. Thomson, Phil. Mag. 44, 293 (1897). 
Modelos atómicos simples 
+ 
(a) 
Placa J (+) '===============:::::i 
-~-------------V 
---
_ .... 
---
Placa K (-) ==============~ 
(b) 
Fig. 1-3. (a) Aparato de rayos catódicos de J. J. Thomson. (Nota: Se utilizó un electroimán 
(que no se muestra en la figura) para producir un campo magnético en la región comprendida 
entre las placas para equilibrar la fuerza eléctrica sobre los rayos catódicos.) (b) Deflexión de 
los rayos catódicos por el campo eléctrico (con un campo magnético nulo). La componente hori-
zontal de la velocidad es constante; la trayectoria del haz es parabólica en la región entre las 
placas. La deflexión angular viene dada por tg 9 = vtfv. 
7 
donde E y B son las intensidades de campo eléctrico y magnético. (Las unidades en que 
vienen dadas estas ecuaciones son gaussianas, con e en unidades electrostáticas (u.e.s.). 
La expresión correspondiente en las unidades del sistema internacional viene encerrada 
entre paréntesis.) Cuando los campos se ajustan de forma que produzcan fuerzas igua-
les y opuestas, el haz que pasa no se desvía y se cumple 
cE 
v =---¡¡ (cgs) 
De esta forma se puede calcular la velocidad de las partículas de los rayos cató-
dicos. Midiendo luego la desviación del rayo, sometido sólo a un campo eléctrico o 
magnético, se puede deducir la relación carga-masa. Si (como hizo Thomson) conside-
ramos sólo la desviación producida por el campo electrostático, obtenemos una acele-
ración eE/m (perpendicular al rayo incidente) durante el tiempo 1/v en que las partículas 
viajan entre las placas causantes de la desviación. Por tanto, la componente de la velo-
8 Modelos atómicos simples 
cidad transversal v1 que llevan las partículas es eEl/mv,y el cambio de dirección del haz 
cuando emerge del campo al que se le ha sometido (Fig. 1-3b) es 
tg () = ~ = eEI/mv = e E/ 
v v mv 2 
Como v podemos expresarla en función de las magnitudes medidas E y B, susti-
tuyendo obtenemos 
e 
m [= B~l tg O (SI)] 
En sus experimentos Thomson descubrió que la velocidad de las partículas era muy 
alta (aproximadamente la décima parte de la velocidad de la luz) y que el valor de e/m 
era 2000 veces más grande que la proporción entre carga y masa más alta encontrada 
en la electrolisis (para el ion H+). El valor de e/m, según los datos obtenidos reciente-
mente, para los rayos catódicos (electrones) es 
.!.__ = 5,2728 x 1017 ues/g = 1,7588 x 1011 culombio/kg 
m 
(1-2) 
Thomson no pudo asegurar si este valor de e!m tanalto era debido únicamente a 
que el valor de m era muy pequeño, en cuyo caso la carga sería la misma que se había 
puesto de manifiesto en la electrolisis, o si es que era debido a una carga intrínseca muy 
grande. Pero pudo demostrar que ésta nueva partícula, el electrón, con su peculiar pro-
porción entre carga y masa, era un constituyente de todas las sustancias que utilizó 
como material para el cátodo. 
La carga elemental 
Al mismo tiempo que se realizaban los experimentos de Thomson sobre los electro-
nes libres, se iban obteniendo evidencias sobre el tamaño de la carga transportada por 
los iones electrolíticos. Estos experimentos consistían en la medida de la carga total 
transportada por una nube de gotitas a la que se habían adherido los iones. El tamaño 
medio de las gotas (y su número) se dedujo de la velocidad de sedimentación de la 
nube. Estos experimentos fueron el preludio del cálculo de la unidad fundamental de 
carga e, realizado por R. A. Millíkan en sus experimentos de la «gota de aceite». 5 
Millikan demostró lo que él mismo llamó «la naturaleza unitaria de la electricidad», 
es decir el hecho de que la carga eléctrica está cuántizada y que se transfiere en forma 
de múltiplos enteros de e. La primera evidencia de ésto fue obtenida en 1909. Sin em-
bargo, las medidas precisas que obtuvo de e se retardaron bastante, de forma que 
' Un estudio completo de estos experimentos se encontrará en el propio trabajo de Millikan; ver R. A: Millikan, The 
E!ectron, Universidad de Chicago Press, Chicago, 1963. 
Modelos atómicos simples 9 
cuando Niels Bohr publicó su teoría cuántica para el átomo de hidrógeno en 1913, és-
tas todavía no habían aparecido. Bohr utilizó un valor de e calculado mucho antes 
(1900) por Max Planck en un trabajo sobre el análisis teórico de la radiación térmica 
(Ver «Fotones», sección 1-6). Planck6 encontró que 
e = 4,69 X 10-10 ues 
El valor de la carga elemental, de acuerdo con las medidas modernas, es 
e = 4,80324 X ro-lO ues = 1,6022 X 19-19 Culombio (1-3) 
Conociendo el valor de e, y la proporción existente entre la carga y la masa del elec-
trón (Ec. 1-2), podemos calcular la masa del electrón: 
4 80324 X 10-10 
m= ~,2727 X 1Q17 = 9,109 X 10-2Bg 
Masas atómicas y tamaños 
Ahora ya podemos calcular el número de Avogadro, N. Si hacemos la suposición 
de que e es la magnitud de la carga del electrón y que a su vez es la carga más pequeña 
que cualquier ion puede transportar en la electrolisis, podremos igualar las ecuaciones 
1-1 y 1-3 para calcular el número de átomos o moléculas que tiene un mol; es decir, el 
número de A vogadro, N: 
-f._- 96 485 - 6 022 X 1023 
N- e - 1,6022 X 10-19 - ' (1-4) 
Con el valor de esta constante que acabamos de establecer, podemos calcular los 
valores de las masas atómicas individuales (dividiendo el valor del peso del átomo-
gramo por N), así como los volúmenes y los radios atómicos. Para calcular el radio, 
podemos utilizar las densidades de los elementos en su forma sólida. Si la densidad es p 
y el peso atómico es A, el número de átomos n, por unidad de volumen viene dado por 
pN 
n=-y 
Fig. 1-4. Una distribución cúbica simple de átomos. La distancia entre centro y centro de los 
átomos vecinos es 2R y cada átomo ocupa realmente un cubo de lado 2R. 
6 M. Planck, Verth, Dtsch. Phys. Ges. 2, 244 (1900). 
10 Modelos atómicos simples 
El volumen por átomo Va es por tanto igual a 1/n. Para calcular el radio atómico R, 
suponemos un simple empaquetamiento cúbico de átomos en un sólido (figura 1-4). 
Los centros atómicos se encuentran separados entre sí por una distancia 2R y cada 
átomo ocupa el volumen de un cubo de lado 2R: 
1 A 
V = (2R)3 =-=- (1-5) 
a n pN 
de modo que 
R = _l_ (~) "3 
2 pN 
En la tabla 1-1 se relacionan algunos resultados de los cálculos realizados para dife-
rentes sustancias. Aunque este análisis no es muy exacto, sí nos da una idea sobre el 
punto antes mencionado, en el que dijimos que tanto los átomos ligeros como los pesa-
dos tenían aproximadamente el mismo radio y que éste era del orden de 1 Á. Este he-
cho es un dato importante en la teoría de la estructura atómica. En la siguiente sección 
descubriremos el modelo atómico que J. J. Thomson describió basándose en este hecho 
y en el cual el átomo contiene electrones individuales. 
TABLA 1-1: Radios atómicos de varios elementos calculados 
a partir de la densidad del elemento en su estado sólido. 
Densidad en el Radio atómico 
estado sólido Peso atómico R (A) 
g/cm3 A según la Ec. 1-5 
Carbono 3,5 12 0,9 
Aluminio 2,7 27 1,3 
Hierro 7,8 56 1,2 
Molibdeno 9,0 96 1,3 
Bario 3,8 137 2,9 
Platino 21 ,4 195 1,2 
Uranio 18,7 238 1,4 
Compárense estos resultados con los de la figura 1-1, calculados de manera simi-
lar, pero más cuidadosa, porque se tuvo en cuenta la estructura particular de cada 
caso. 
1-4 EL ÁTOMO DE THOMSON 
Después del descubrimiento del electrón, J. J. Thomson desarrolló un modelo 
teórico del átomo, considerando a éste como una bola material cargada positiva-
Modelos atómicos simples 11 
mente, que correspondía a la mayor parte de la masa atómica, y en cuyo interior esta-
rían distribuidos los electrones. El radio de esta bola de carga positiva sería el radio del 
átomo, es decir, R = 10-8 cm. Existían razones para creer que los electrones eran casi 
cargas puntuales en esta escala de tamaños. Un cálculo basado en la teoría clásica elec-
tromagnética indicó que el radio del electrón venía dado por 
e2 
r = -- = 2 8 x IQ-13 cm 
o mc2 ' (1-6) 
Si aplicamos directamente la relatividad especial obtenemos directamente este 
mismo resultado; para ello hay que suponer que la masa del electrón es la masa equiva-
lente de la energía potencial electrostática de carga e confinada en una esfera de radio 
r0, de forma que podemos escribir 
e2 
Energía = mc2 =- (cgs) 
ro 
[= _e_2 (SI)] 
47Tf!oro 
[Esta ecuación la debemos escribir con signos de «aproximadamente igual» porque la 
energía propia potencial depende de los detalles de la distribución de carga a lo largo de 
r0, aunque el orden de magnitud de la energía potencial púede realmente expresarse de 
la forma e~j1r0 (cgs).] 
Maxwell ya había demostrado (en 1864) que la luz debía entenderse como una ra-
diación electrpmagnética, y H. Hertz demostró en 1887 que la radiación se emitía me-
diante cargas aceleradas. Según esto, era natural suponer que las líneas del espectro 
eran producidas por movimientos periódicos de los electrones en el interior del átomo. 
Realmente, ya en 1896 (un año antes de que Thomson descubriera el electrón como 
una partícula libre). P. Zeeman estudió el desdoblamiento de varias líneas del espectro 
cuando el foco se sometía a la acción de un campo magnético interno. Estos resultados 
fueron interpretados por H. A. Lorentz llegando a la conclusión de que la radiación era 
producida por partículas cargadas con una relación q/m unas 2000 veces mayor que la 
del ion H+; es decir, el electrón de J. J. Thomson.7 
Es fácil calcular el orden de magnitud de la frecuencia que cabe esperar para las os-
cilaciones lineales de un electrón a través del centro de un átomo de Thomson. Si para 
simplificar los cálculos suponemos que la densidad de carga positiva es uniforme hasta 
el radio R (ver la figura 1-5), una carga puntual q a una distancia x del centro experi-
menta una fuerza que viene dada por la expresión 
7 Para un estudio completo del desarrollo del electromagnetismo y del comienzo de la teoría atómica, y de las relacio-
nes que existen entre ambas, ver Sir Edmund Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, Harper 
and Row, New York, 1960. 
12 Modelos atómicos simples 
Fig. 1-5. Átomo de Thomson de un sólo electrón. La fuerza sobre la carga puntual q, colocada 
a una distancia del centro O es debida a la carga contenida en el interior de una esfera de radio 
x. 
pues (según la ley de Gauss) la fuerza sobre la carga puntual es debida a la fracción 
x3/R 3 de carga total, que actúa como si toda ellaestuviese concentrada en el centro de 
la esfera.8 La ecuación para el movimiento lineal del electrón a través del centro es, por 
lo tanto, 
m d2x = qQx (cgs) 
df- R3 
Si tomamos el átomo de hidrógeno como el ejemplo más simple, tenemos que Q = 
e, q = - e, y la ecuación anterior toma la forma 
d2x e2 
-=---x (cgs) 
dt 2 mR 3 
Esta es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple. La frecuencia v se 
obtiene sustituyendo en esta ecuación la solución x = A sen 2rtv!, resultando 
e2 
4rr 2 v 2 =--
mR3 
v=z~ (;ar2 (cgs) 
Si hacemos é ~ 2 x 10-19 (ues)\ m~ 10-27 g, R ~ 10-s cm, obtenemos v ~ 2 x 
1015 s-1, lo que nos define una longitud de onda')..= c/v = 1500 A. Este es el orden de 
magnitud correcto. [La longitud de onda de una raya típica del espectro en la región vi-
sible es~ 5000 A (verde)] De todas formas, con este modelo simple sólo podemos ob-
tener esta frecuencia. (Cualquier órbita elíptica del electrón, siempre que éste perma-
nezca dentro de la esfera uniforme de carga positiva, tiene la misma frecuencia que la 
calculada para la oscilación lineal; ver los ejercicios.) 
Thomson trabajó mucho en modelos detallados de átomos que tuvieran varios elec-
trones, pero con un éxito muy limitado. Su mayor logro fue el descubrimiento de varias 
8 De nuevo escribimos las ecuaciones del electromagnetismo primero en el sistema gaussiano. 
Modelos atómicos simples 13 
disposiciones estables de electrones dentro de la nube de carga positiva, pero el pro-
blema del espectro era irresoluble desde éste punto de vista. (Recuérdense la gran diver-
sidad de espectros atómicos, como se indican en la figura 1-2.) 
Antes de empezar con el siguiente modelo atómico (un modelo totalmente diferente 
propuesto por Niels Bohr después del descubrimiento de Rutherford del núcleo 
atómico) veremos la descripción de algunos espectros simples que éste nuevo modelo es 
capaz de interpretar de forma brillante. 
1-5 ESPECTROS DE LÍNEAS 
Desde hace mucho tiempo se sabe que los espectros nos dan información sobre los 
átomos que los producen. Esta información es especialmente clara si se consigue que 
los átomos que emiten la radiación sean casi independientes unos de otros, como ocurre 
en la descarga de un gas a baja presión, en contraste con lo que ocurre en el caso de un 
sólido incandescente. Entonces encontramos que la radiación emitida está concentrada 
dentro de regiones estrechas de longitud de onda (por ejemplo, ¡:J¡}../A ~ 1 o-5) formando 
las líneas espectrales clásicas. 
Desde el punto de vista de la fisica clásica, la única explicación razonable es que las 
longitudes de onda son una expresión de las vibraciones características dentro del 
átomo. Además, desde el punto de vista más simple, cada longitud de onda necesita 
una periodicidad diferente del átomo. De todas formas, la mayoría de los espectros son 
demasiado complicados como para poder explicarse cuantitativamente en función de la 
mecánica de las vibraciones atómicas. 
Históricamente, el punto de mayor esperanza fue la regularidad de las famosas se-
ries de Balmer del hidrógeno (figura 1-6): En 1885 J. J. Balmer9 (que era maestro de es-
cuela secundaria en su país de origen, Suiza) descubrió que éstas longitudes de onda se 
ajustaban a la siguiente relación empírica: 
n '!. o 
'A = 3646 --A 
" n 2 - 4 
(n = 3, 4, 5 . . . ) 
Por supuesto esta relación no suministró la clave del mecanismo real de la radia-
ción atómica. 
Un paso muy importante se dió con el descubrimiento de que el recíproco de A era 
una magnitud más significante que A mismo. Se encontró que si las líneas del espectro 
eran caracterizadas por 1/A y no por A, los valores de 1/A para muchas líneas de un es-
pectro dado son iguales a las sumas o diferencias de las longitudes de onda recíprocas 
de otras líneas, tomadas del mismo espectro por parejas. Estas relaciones fueron descu-
biertas en los espectros de muchos elementos, y fueron publicadas por J. R. Rydberg10 
en 1900 y por W. Ritz 11 en 1908. Este descubrimiento (conocido por el principio de 
combinación de Rydberg-Ritz) fue el que hizo posible la descripción de un espectro 
• J. J. Salmer, Ann. Phys 25 , 80 (1885). 
10 J. R. Rydberg, Report of Intl. Phys. Cong. at Paris, 11 , 200 (1900). 
11 W. Ritz, Phys. Z. 9, 521 (1908); Astrophys. J. 28, 237 (1908). 
14 
•<( 
o 
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1 
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Intervalo aproximado de longitudes 
de onda visibles 
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H, H, 
(a) 
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(b) 
Línea Color 
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1 1 
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(") 
co 
(") 
1 
1 
H, H, H, H~ 
Continuo 
>..(Á) 
6563 
4861 
4341 
4102 
H, Violeta extremo 3970 
Modelos atómicos simples 
Fig. 1-6. Serie de Balmer. (a) Espectro de Balmer en el que se pueden distinguir las doce pri-
meras líneas. La posición del límite de Balmer está marcada. (b) Espectro de Balmer en el que 
se ha utilizado una dispersión superior; las líneas individuales pueden verse aproximadamente 
hasta n = 20. (Espectro reproducido de G. Herzberg, Atomic Spectra and Atomic Structure, 
Dover, Publications, Inc., New York, 1944. Impreso con autorización del editor.) 
complicado con la ayuda de un número pequeño de «términos» básicos, tal como se 
muestra en la figura 1-7. Cada linea horizontal del diagrama representa «un término de 
la escala» expresado en cm-I, y la longitud de la flecha vertical entre dos términos es el 
valor de 1/A. para una posible linea espectral. (Más adelante veremos que no todas las 
Modelos atómicos simples 
escandia 111 
o 
:::--
1 
E 
50 000 ~ "' 
62819-
84 834 ......_ 
:::-- 87434/ 1 
E 87 439 
~ 
1 1 
-
o 
.5 e 
·B 
"' 100 000 ~ o 
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137191/ 
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o. 
150 000 "' o; 
¡;l 
" .j. 
199 495 ...._ 
199 693 200 000 
Fig. 1-7. Diagrama de términos para el escandia doblemente ionizado. Cada flecha vertical re-
presenta una línea espectral observada. La longitud de cada flecha es proporcional al número 
de onda de la línea espectral. En este caso particular, se han calculado catorce números de 
onda utilizando sólo nueve valores términos. 
15 
diferencias matemáticamente posibles son válidas, pero ésto no resta importancia al re-
sultado básico). 
En el caso de las series de Balmer, si utilizamos el recíproco de las longitudes de 
onda, obtenemos 
(n = 3, 4, 5 .. . ) (1-7) 
donde RH es «la constante de Rydberg>> determinada experimentalmente para el hi-
drógeno, y que vale 109 700 cm-1• Por tanto el valor de 1/'A para cualquier línea en el 
espectro de Balmer se obtiene de la diferencia de dos términos, la constante RH/4 y el 
término variable RH/n2• Como veremos más adelante, esto se corresponde directamente 
con la diferencia energética existente entre un nivel de energía particular en el átomo de 
hidrógeno y cada uno de los otros niveles. 
1-6 FOTONES 
El hecho de que el inverso de la longitud de onda sea un parámetro más interesante 
para definir las líneas del espectro, que la misma 'A, es profundamente importante. Esto 
es debido, como ahora sabemos, al hecho de que la energía radiante está cuantizada en 
unidades llamadas fotones, que tienen una energía E proporcional a la frecuencia óptica 
16 Modelos atómicos simples 
e inversamente proporcional a la longitud de onda (v = c/'A). Esto es lo que se expresa 
en la famosa ecuación 
E=hv (l-8) 
donde h es la constante de Planck: 
h = 6,6262 X 10-27 erg-S = 6,6262 X 10-34 J .S (1-9) 
Si hay alguna magnitud que pueda decirse que caracterice a la física cuántica, es la 
constante de Planck. Aunque Max Planck introdujo primero la constante (en 1900) 
para el cálculo de la forma del espectro continuo de radiación de espectros incandes-
centes, 12 fue Einstein 13 (en 1905, el mismo año en el que publicó su teoría especial de la 
relatividad) quien propuso el concepto de fotóny postuló la ecuación 1-8. Esta ecua-
ción aún llega más lejos, ya que no sólo sirve para la descripción de la energía radiante, 
sino que también describe la estructura energética de los átomos que emiten la radia-
ción espectral característica. 
La ecuación E = hv es realmente muy extraña: ya que relaciona la teoría clásica 
(«onda de frecuencia v») con la teoría cuántica («cuanto de energía E»). El significado de 
esta relación será examinado cuidadosamente más tarde. 
Cuando se trabaja con radiaciones de longitudes de onda contenidas en el visible o más 
cortas, no podemos normalmente medir la frecuencia; es demasiado alta: 
v =~ = 3 x 1010 cm/s = lO'sHz 
>.. 5000 x 10-8 cm 
(ciclos/s) 
Pero podemos medir las longitudes de onda por medio de las redes de difracción, y otros 
mecanismos. Por ello normalmente es conveniente escribir la ecuación (1 -8) en la forma 
he 
Efotón=T 
En la física atómica se suelen medir las energías en electron-voltios: 
1 e V= 1,602 X I0-19 julios= 1,602 X I0- 12 erg 
(1-1 0) 
Es ya clásico que en lo que respecta a los espectros atómicos, el valor de las longitudes 
de onda se expresa en angstroms. Por tanto, es conveniente expresar las magnitudes h y he 
en las correspondientes unidades. Obtenemos así 
h = 4,136 x I0- 15 eV-s (1-11) 
he= 12 400 e V-Á 
Luego podemos escribir numéricamente la ecuación 1-10 de la siguiente forma: 
12 400 
E fotón(eV) = >..(A) (1-12) 
Por tanto el espectro visible (4000-7000 Á) representa un intervalo de energías del 
Modelos atómicos simples 
. : : 1 : r ! .. i 
i : ·:. 1 : 1. i J : 
qo lOO 110 
Fig. 1-8. Relación entre la energía cinética máxima de losfotoelectrones y la frecuencia de la 
luz incidente. Este gráfico es de un artículo de Millikan de 1916. En ordenadas se representa el 
voltaje de retardo necesario para detener lafotocorriente. La pendiente de la línea recta da di-
rectamente la dependencia de Kmax con v. Obsérvese el cálculo de h realizado por Mi/likan en el 
ángulo iriferior derecho. (Figura tomada de R. A. Millikan, Phys. Rev. 7,.355 (1916). Repro-
ducido con permiso de la University of Chicago. Press .) 
17 
fotón desde 1,8 a 3,0 e V, indicándonos ésto que el electrón-voltio es una unidad energética 
válida para fotones en la región del visible. 
Cuando en un principio Einstein introdujo el concepto de fotón, tenía una evidencia 
muy limitada para sostener su aseveración. Sin embargo, la idea ha sido ampliamente 
confirmada y hoy en día tenemos tres tipos de evidencia que indican la validez de la 
ecuación E = hv para fotones individuales. 
El efecto fotoeléctrico 
Cuando la luz incide sobre la superficie de un metal limpio (que en la práctica, sig-
nifica, una superficie purificada en el vacío y mantenida allí), algunas veces se despren-
den electrones. A éstos electrones se les llamafotoelectrones, y su desprendimiento por 
causa de la luz es el efecto fotoeléctrico . Para un valor dado de v o A. de la luz incidente, 
hay una dispersión de las energías de los fotoelectrones que puede llegar hasta cero. Sin 
embargo, la energía cinética máxima (K ma .. ) de un fotoelectrón está claramente definida 
y varía linealmente con v como muestra la figura 1-8, que reproduce las primeras medi-
das definitivas del proceso, obtenidas por R. A. Millikan en 1916. La energía K max no 
depende de la intensidad de la luz incidente, sino sólo de su frecuencia. (Experimental-
18 Modelos atómicos simples 
mente una intensidad incidente alta, a una frecuencia fija, proporciona mayor número 
de fotoelectrones, pero no más energía para cada fotoelectrón.)Además, por debajo de 
una frecuencia cmmbral» mínima v0 para la luz incidente, no se desprenden electrones 
indiferentemente de la intensidad de la luz incidente. La frecuencia umbral v0 es una ca-
racterística del tipo de metal que se utilice como fotoemisor. 
Estos resultados son dificiles de explicar por métodos clásicos. Si suponemos que 
los electrones que se desprenden en el metal son el resultado de la aplicación de un 
campo eléctrico en una onda electromagnética, la energía cinética máxima adquirida 
por los fotoelectrones debería ser mayor cuanto mayor fuera la intensidad de luz inci-
dente; que es justo lo contrario de lo que obtenemos en el resultado experimental. 
Sin embargo, de acuerdo con el concepto de Einstein sobre el fotón, el proceso 
básico es la absorción de un cuanto de energía E = hv para un electrón individual. 
La mayoría de estos electrones perderán parte o toda su energía en su recorrido a tra-
vés del metal. De todas formas, algunos de los electrones situados cerca de la superficie 
escaparán con una energía máxima de retención. Incluso estos electrones de energía 
máxima Uunto con los restantes electrones que escapan) deberán pagar una cctasa de 
energía»: deben remontar un salto de energía potencial en la superficie del metal. La al-
tura de este salto mide la tenacidad con que el metal sujeta sus electrones y tiene valo-
res diferentes para distintos metales. La altura del salto W recibe el nombre defunción 
trabajo del metal y toma un valor típico de unos pocos electrón-voltios. Incluso los 
electrones más energéticos no abandonan el metal, si no reciben una energía que se en-
cuentre en exceso respecto a la función trabajo; éste es un hecho que explica la existen-
cia de una frecuencia umbral v0 = W/h, por debajo de la cual no se emite ningún elec-
trón. De acuerdo con el modelo del fotón, los electrones de energía máxima poseen una 
energía que viene dada por: 
Kmax = hv- W = h(v- 110 ) (l-13) 
que está de acuerdo con el resultado experimental de la figura 1-8. La medida de la pen-
diente de esta línea nos da un valor numérico para la constante de Planck h. En la prác-
tica se mide el potencial de retención V necesario para impedir que los electrones de 
máxima energía (eV =Kmax) salten y se representa la función: 
h he 1 
V=-v-c/J=-·--cp 
e e A. 
(1-14) 
donde e/>(= W/e) es una medida de la función trabajo, expresada en unidades de poten-
cial eléctrico. 14 
Las ecuaciones 1-13 y 1-14 se basan en el hecho observado de que la luz de mayor 
12 M. Planck, Ann Phys. 1, 69 (1900);[o también ver M. Planck, The Theory of Heat Radia/ion (trad. por Morton 
Masius), Dover Publications, New York, 1959). 
13 A Einstein, Ann. Phys. 17, 132 (1905); [traducido por A. B. Arons y M. B. Peppard, Am. J. Phys. 33,367 (1965)]. 
14 La interpretación física de la función trabajo es lo suficientemente compleja para no tratarla aquí. Ver F. Bitter y H. 
Medicus, Fields and Particles, American Elsevier •. 1973, p. 149. 
Modelos atómicos simples 
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0,2 
(a) 
12,5 
10,0 
7,5 
5,0 
2,5 
voltaje de aceleración V0 (kV) 
(b) 
Fig. 1-9. (a) Espectros de Bremsstrahlung producidos por electrones de diferentes energías que 
chocan contra un blanco metálico. Cada espectro tiene un corte brusco a una longitud de onda 
mínima A.m. (b) La frecuencia máxima de emisión, correspondiente a la mínima longitud de 
onda A.m es proporcional al voltaje de aceleración V0• [Datos de C. T. Ulrey, Phys. Rev.ll, 401 
(1918)) 
19 
intensidad no ocasiona la energía cinética máxima posible. De acuerdo con la hipótesis 
del fotón, un haz de mayor intensidad sólo contiene un mayor número de electrones de 
la misma energía, y por lo tanto, libera mayor número de fotoelectrones, sin que ésto 
afecte a su distribución energética. 
Otro soporte a la interpretación del fotón viene dado por el tiempo de retardo que 
existe desde que el haz de luz incide hasta la salida de la corriente fotoeléctrica. De 
acuerdo con la imagen ondulatoria la energía del haz de luz se distribuye uniforme-
mente en el espacio y en el tiempo. Si conocemos el tamaño aproximado de un átomo, 
podremos estimar la velocidad a la que se deposita la energía sobre el área que presente 
el átomo al haz. Parece razonable esperar que la fotocorriente comienceal mismo 
tiempo que la energía alcanza el valor suficiente para liberar un fotoelectrón. Para un 
haz incidente muy débil, el tiempo de retardo esperado es de varias horas (ver los ejerei-
cios). Por otro lado de acuerdo con la hipótesis del fotón, la energía radiante llega en 
forma de cuantos individuales, distribuidos al azar, y hay alguna posibilidad de que el 
primer fotón que llegue libere un fotoelectrón. 
El trabajo experimental confirma la hipótesis fotónica: Lawrence y Beams demos-
traron en 1928 que los fotoelectrones son a veces emitidos en un tiempo menor de 3 x 
w-9s después de la primera iluminación, incluso con un haz de luz incidente tan débil 
20 Modelos atómicos simples 
que el tiempo de retardo esperado según el modelo ondulatorio sería mucho más 
largo. 15 
El efecto fotoeléctrico es una fuerte evidencia (aunque no concluyente) de la exis-
tencia de los fotones. Así mismo, el hecho de que en los experimentos se obtenga el 
mismo valor de h para distintos metales refuerza esta evidencia. Una nueva evidencia 
se obtiene del límite de longitud de onda corta para los rayos X y el efecto Compton, 
que ahora discutiremos. 
Límite de longitud de onda corta para los rayos X 
Cuando se bombardea un blanco metálico con electrones que han sido acelerados 
por medio de un potencial considerable (digamos de 5 a 50 kV), se obtiene lo que se 
llama bremsstrahlung (palabra alemana para la «radiación de enfrenamiento»). El es-
pectro de esta radiación es continuo y cubre un intervalo muy amplio de longitudes de 
onda. Clásicamente, éste espectro podría explicarse utilizando las ecuaciones del 
campo de radiación de una carga acelerada (o decelerada). Pero los espectros observa-
dos muestran (figura 1-9a) una característica que el cálculo clásico no puede explicar; 
esta característica es un corte brusco a una longitud de onda mínima (máxima energía 
del fotón). Esta longitud de onda mínima, Am, que es la misma para todos los metales, 
varía sistemáticamente con el voltaje de aceleración V0 según la siguiente ley deducida 
por Duane y Hunt: 16 
_I_ =...!.._ v. 
Am he 
. Por tanto, definiendo V m = c!A.m, obtenemos 
(energía '?áxima) = h " = V e = ( energí~ ci?ét~ca del J' ' del foton m o electron mcidente (1-15) 
Los datos experimentales obtenidos de ésta ecuación se muestran en la figura 1-9b. 
Este fenómeno se asemeja al inverso del efecto fotoeléctrico. Obtenemos la máxima 
energía posible del fotón cuando toda la energía cinética de un electrón incidente se 
transforma en energía de un solo fotón. En el enunciado de la ley de Duane y Hunt no 
aparece la función trabajo porque es prácticamente despreciable en comparación 
con las energías del fotón y el electrón (del orden de 0'1 por ciento). 
El Efecto Compton 
El efecto Compton es una demostración de la dinámica de los fotones individuales 
en los procesos de colisiones. El fotón no es sólo un cuanto de energía radiante sino que 
también transporta una cierta cantidad de movimiento lineal p ; los choques entre foto-
nes y electrones (o fotones y otras partículas) se pueden analizar utilizando las leyes de 
conservación de energía y cantidad de movimiento de partículas (relativistas) en movi-
miento. 
" E. O. Lawren.ce y J. W. Bearns, Phys. Rev. 32, 478 (1928). 
16 W. Duane y F. L. Hun.t, Phys. Rev. 6, 166 (1915). 
Modelos atómicos simples 21 
Todas las observaciones están de acuerdo en que estos choques son coherentes con 
la ecuación p =Ele para el caso de un fotón individual de cualquier energía. Esta es la 
misma relación que existe entre la cantidad de movimiento y la energía en el estudio 
clásico de la radiación electromagnética. 
El comp<;>rtamiento de los fotones individuales como partículas en este sentido di-
námico fue demostrado primero por A. H. Compton en una serie de experimentos reali-
zados entre 1919 y 1923.17 Demostró que cuando los fotones de los rayos X chocaban 
contra electrones libres, los fotones sufrían una pérdida de energía, que se manifestaba 
en forma de un aumento en su longitud de onda, que era precisamente la cantidad que 
le correspondería si se tratase de un choque elástico entre dos partículas considerando 
al fotón como una partícula con una cantidad de movimiento p =Ele= hvlc. Conviene 
tener en cuenta, a este respecto, como la relación clásica entre longitud de onda y fre-
cuencia para la radiación electromagnética puede convertirse en un enunciado de la 
longitud de onda asociada a los fotones con una cantidad de movimiento determinada: 
e he he h 
,\=-=-=-=-
IJ hv E Eje 
Es decir, 
h 
,\=-
p 
(1-16) 
Esta es una relación extremadamente importante; más adelante veremos que su 
campo de acción se extiende más allá de los fotones. 
La mayor parte de lo expuesto anteriormente referente a los cuantos de energía es 
posterior, y no anterior, a la teoría atómica de Bohr. La teoría de Bohr se basó en el 
concepto fotónico de la radiación, el cual se entendió como una hipótesis, ya que 
cuando Bohr expuso su primer trabajo, la existencia del fotón no había sido deducida. 
Como en este texto no tratamos de hacer una relación histórica, hemos decidido, para 
ganar en claridad, presentar la evidencia de la existencia del fotón antes de discutir la 
teoría de Bohr. 
1-7 EL ÁTOMO DE RUTHERFORD-BOHR 
El descubrimiento de Rutherford del núcleo, basado en los famosos experimentos 
de dispersión de la partícula alfa realizados en su laboratorio por Geiger yMarsden en 
190918 exigió una imagen de la estructura atómica completamente diferente a la des-
crita anteriormente por Thomson en su modelo. En 1911 Rutherford en una publica-
ción19 explicó con detalle los datos referentes a esta dispersión, haciendo para ello la su-
17 A. H. Compton, Phys. Rev. 22, 409 (1923). Para más detalles sobre el estudio de la dinámica relativista del proceso 
ver, por ejemplo, el volumen Special Relativity de esta serie. 
18 H. Geiger y E. Marsden, Proc. Roy. Soc. A 82, 495 (1909). 
19 Rutherford, Phi/. Mag. 21, 669 (1911). Para un estudio de la •dispersión• de Rutherford ver, por ejemplo, el volu-
men Newtonian Mechanics en esta serie. 
22 Modelos atómicos simples 
posición de que toda la carga positiva y la mayor parte de la masa atómica estaba cen-
trada en un espacio que era mínimo comparado con el volumen total ocupado por el 
átomo. Medidas posteriores demostraron que el radio nuclear es 10 000 veces menor 
que el radio atómico (que es menor de 10-12 cm). 
Aceptando este modelo nuclear del átomo, Niels Bohr en 1913 propuso una teoría 
que explicaba totalmente el espectro del átomo de hidrógeno. 20 Bohr forzó una cone-
xión entre la relación de Einstein E = hv correspondiente a los fotones y la imagen new-
toniana de los electrones en las órbitas alrededor del núcleo atómico. Los dos postula-
dos principales de Bohr fueron los siguientes: 
l. Un átomo posee cierto número de «estados estacionarios» posibles. En cada uno 
de estos estados los electrones describen movimientos orbitales de acuerdo con las leyes 
de Newton, pero (en contra de las predicciones del electromagnetismo clásico) no irra-
dian energía en tanto permanecen en órbitas ftjas. 
2. Cuando el átomo pasa de un estado estacionario a otro, causa de un cambio de 
órbita (un «salto cuántico») de uno de los electrones, se emite radiación en forma de un 
fotón. La energía del fotón es justamente la diferencia de energía entre los estados ini-
cial y ftnal del átomo. La frecuencia clásica v viene relacionada con esta energía por 
medio de la expresión de Planck-Einstein: 
No reproducimos aquí la secuencia de argumentos que Bohr utilizó respecto a las 
consecuencias de estos postulados. En su lugar haremos uso de la fórmula de Balmer 
(ecuación 1-7), deducida experimentalmente, para determinar las órbitas estacionarias 
del hidrógeno. 
Comenzaremos aplicando la mecánica clásica a un electrón en una órbita (supuesta 
circular) correspondiente a uno de los estados estacionarios de Bohr (ftgura 1.10). El 
electrón (de carga e) se muevecon velocidad ven un círculo de radio r alrededor de un 
protón central ftjo (carga e). Según la segunda ley de Newton tenemos21 
mv 2 e 2 ) F= ma =--=- (cgs 
r r 2 
(1-18) 
La energía total del electrón es negativa (el cero de energía corresponde a un elec-
trón estacionario a la distancia r = oo) y viene dada por 
2 
E= ! mv2 - !...__ 
r 
Teniendo en cuenta la ecuación 1.18, esta expresión puede tomar la forma 
20 N. Bohr, Phil. Mag. 26, 1 (1913). 
21 Véase Newtonian Mechanics, Pág. 198. En el análisis que sigue utilizaremos sólo unidades cgs. 
Modelos atómicos simples 
e2 
E=- ! mv2 =--
2r 
23 
(1-19) 
El valor negativo de la energía total corresponde naturalmente al hecho de que debe 
suministrarse energía para extraer el electrón del átomo. 
De acuerdo con la ecuación 1-19, cualquier cuantización de la energía del sistema 
(restricción a ciertos valores permitidos) supone una restricción correspondiente avalo-
res discreto de radio de la órbita. Llamaremos E" a las energías y rn a los radios, siendo 
n un número entero, partiendo de n = 1 en el estado de energía más bajo (más nega-
tivo), el cual según la ecuación 1.19 posee el radio más pequeño de la órbitaY 
Consideremos ahora un salto cuántico desde una órbita inicial de energía E 1 y radio 
r 1 a una órbita de menor energía de radio rf y energía E.r De acuerdo con el modelo de 
Bohr esta transición viene acompañada de la emisión de un fotón de energía igual a la 
diferencia de energía entre los dos niveles: 
(1-20) 
Este resultado es consistente con la ecuación 1.7 de la serie de Balmer si el radio r1 
de la órbita inicial es proporcional a n2• Esta correspondencia exige que la órbita final 
de las transiciones de Balmer corresponda a la órbita n = 2 (22 = 4). Así se obtiene una 
interpretación directa de dicha serie como resultante de las transiciones al estado n = 2 
a partir de diversos estados energéticos superiores n = 3, 4, 5 ... Si esta interpretación es 
correcta, los radios de las órbitas estacionarias en el hidrógeno vienen dadas por 
1 
l 
¡ 
\ 
.,.. ,.,..-- ....... , 
./ ' 
/ ' 
/ ' , 
/ ' 1 \ 
protón 
\ { electrón 
\ l (- e) 
\ ' / ' / ' / ............ ,......; ..... ...,., .. --
Fig. 1-1 O. Trayectoria de un electrón alrededor de un protón en una órbita circular que corres-
ponde a uno de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno de Bohr. 
22 Agradecemos el siguiente argumento a Paul A. Tipler. Foundations of Modern Physics Worth, New York, 1969, 
pág. 163. 
24 Modelos atómicos simples 
n = 1, 2, 3 . .. (1-21) 
en donde a0 representa el radio de la órbita más pequeña y se denomina radio de Bohr. 
Además los valores cuantizados de la energía en el átomo, según la ecuación 1.19 son 
e2 
En=--2--2 
aon 
n = 1, 2, 3 . .. (1-22) 
Evidentemente, comparando estos resultados con el segundo término de la expre-
sión de Balmer, 1-7, se obtiene para el radio de Bohr el valor 
e2 
ao = 2hcRH (1-23a) 
Utilizando el valor determinado experimentalmente para RH puede calcularse el ra-
dio del hidrógeno en su estado de energía más bajo. Más adelante calcularemos a0 en 
función de constantes físicas fundamentales. 
De este modo, partiendo de los postulados de Bohr, un análisis clásico apoyado en 
la fórmula de Balmer, deducida empíricamente, nos permite deducir los valores de las 
energías de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno, así como el radio de hi-
drógeno en su estado mínimo de energía o estado fundamental. Se cuenta que el mismo 
Bohr dijo: «En cuanto ví la fórmula de Balmer, todo el asunto se aclaró en mi mente». 
La primera solución al problema del átomo de hidrógeno en este famoso artículo de 
1913 dependía de una combinación algo arbitraria de las ideas clásicas y cuánticas. 
Posteriormente Bohr utilizó ampliamente un principio general poderoso (llamado prin-
cipio de correspondencia) que requiere que las predicciones clásicas y cuánticas con-
cuerden en el límite de números cuánticos grandes (en nuestro caso el número n). Como 
aplicación deducimos el valor teórico de a0 aplicando el principio de correspondencia a 
la frecuencia de la radiación emitida. Para valores grandes de n, la energía del fotón 
emitido cuando el átomo pasa del estado n + 1 al estado n puede escribirse como una 
aproximación a la teoría de Bohr. La ecuación exacta es 
Para valores grandes de n, la expresión anterior toma aproximadamente, la forma 
e2 2 
Erotón = hv = - ·3 2a0 n 
es decir, 
(Teoría de Bohr para valores grandes de n) 
(Teoría de Bohr para valores grandes de n) 
En el análisis clásico correspondiente, la frecuencia de la radiación es igual a la fre-
cuencia de la órbita del electrón. Utilizando las ecuaciones 1-18 y 1-21, obtenemos 
para el cuadrado de esta frecuencia 
Modelos atómicos simples 
2 
e 
25 
(clásica) 
El principio de correspondencia exige una concordancia entre estas dos prediccio-
nes para el cuadrado de la frecuencia de radiación cuando n es muy grande: 
(n grande) 
Esto nos da un valor de a0 evaluado directamente de las constantes físicas funda-
mentales: 
h2 
a0 = 4 2 2 = 0,529 Á 1T me (l-23b) 
Este valor corresponde en términos generales a otras medidas independientes del 
radio del hidrógeno. Por ejemplo, la separación de los átomos de hidrógeno en la mo-
lécula de hidrógeno H2 es de 0,74 A, de acuerdo con un radio de 0,37 A para cada 
átomo constituyente. 
Utilizando el valor teórico de a0 podemos calcular, a partir de la ecuación l-23a un 
valor para la constante de Rydberg RH: 
e2 21T2 me4 
R H = -
2
h = h 3 = 109 500 cm - 1 (teórico) ca0 e 
Este es un valor que se aproxima mucho al valor experimental 109 700 cm-1• Esta 
concordancia es impresionante ya que el cálculo de a0 utilizando el principio de corres-
pondencia incluye constantes cuyos valores son de antemano conocidos.23 
El esquema de Bohr sobre los estados de energía predice la existencia de otras mu-
chas líneas del espectro además de las series de Balmer. De hecho, deben existir líneas 
para todas las longitudes de onda A. definidas por 
( 
fl¡ = 1, 2, 3 . .. ) 
n¡ > n1 
(1-24) 
La serie de Balmer es aquella que esta formada por líneas con nf = 2. La serie de 
líneas correspondientes a nf = 3 fue observada por Paschen en la región del infra-
rrojo.24 Poco después de que Bohr publicara su teoría, Lyman25 buscó y encontró la se-
rie de nf = 1, que no había sido observada anteriormente por encontrarse en la región 
del ultravioleta. La serie para n, = 4 (serie de Brackett) y para nf = 5 (serie de Pfund) 
fueron también encontradas de acuerdo con la predicción teórica.26 Estas observacio-
nes dieron mucho prestigio al modelo de Bohr. 
23 Hemos ignorado, entre otras cosas, una pequeña corrección debida al hecho de que el protón no es infinitamente pe-
sado, de modo que, el protón y el electrón tienen un centro de masas común. Esto convierte a RH en un valor un poco 
más pequeño que la constante de Rydberg R00 para núcleos infmitamente pesados. Ver ejercicios. 
24 F. Paschen, Ann. Phys. 27, 565 (1908). 
" T. Lyman, Phys. Rev. 3, 504 (1914). 
26 F. Brackett, Nature 109, 209 (1922); H. A. Pfund, J. Opt Soc. Am. 9, 193 (1924). 
26 Modelos atómicos simples 
Además, la teoría de Bohr predecía un valor para el radio del átomo de hidrógeno 
en su estado fundamental (a0 = 0,53 Á) que estaba dentro del orden de magnitud acep-
tado, y un valor de la energía necesaria para liberar completamente un electrón desde el 
estado de energía más bajo del hidrógeno (también llamada energía de ionización -E1 
= e2/2a0 = 13,6 eV) que correspondía con el observado. 
1-8 NUEVAS PREDICCIONES DEL MODELO DE BOHR 
En el primer artículo sobre su teoría, Bohr observaba que los espectros de Balmer 
procedentes de la luz de las estrellas presentaban 30 o más líneas, mientras que las 
fuentes usadas en el laboratorio sólo daban lugar a una docena de líneas. Bohr expli-
caba este hecho suponiendo que en la atmósfera luminosa de una estrella existen presio-
nes inferiores y, por tanto, mayores distancias interatómicas