METODO_DE_RIGIDEZ-Reticulados

Vista previa del material en texto

CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -1- 
 
Capítulo 8 
 
Método de rigidez - Reticulados 
 
8.1- Relaciones cinemáticas para barras de reticulado 
 
A los efectos de formular el método de rigidez resulta indispensable relacionar los 
desplazamientos de los extremos de una barra de reticulado con el alargamiento de la misma, 
relaciones que se conocen como “relaciones cinemáticas”. 
Considérese una barra de longitud “l” que se extiende desde el origen definido por el 
nudo "i" al extremo definido por el nudo "j". Se considera que el origen experimenta un 
desplazamiento iU pasando al punto “ I ” mientras que el extremo "j" se desplaza jU hasta “ J ”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 
 
1X
2X
3X
ir
jr
t
iU
jU
iU−U∆
:
.
:
I i i
J j j
j i
j i
J I
R r U
R r U
Notación
r r r
r l t
r l
t versor
U U U
R R R r U
= +
= +
− = ∆
∆ =
∆ =
− = ∆
− = ∆ = ∆ + ∆
 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -2- 
 
La posición inicial esté definida por los vectores de posición ,i jr r . Los vectores de 
posición una vez deformada la barra se obtienen en función de los corrimientos nodales ,i jU U . 
La elongación de la barra es igual a la diferencia entre la longitud final y la inicial: 
e L l R l= − = ∆ − donde: R R R∆ = ∆ ⋅∆ 
Dividiendo por “ l ”: 
2
2 21 1
e R R e R R
l l l l
∆ ⋅∆ ∆ ⋅∆⎛ ⎞= − ∴ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Los materiales normalmente usados en la construcción de estructuras permiten asumir 
1e
l
ε= << , de modo que: 
2 2
2
11 1 2. 1 2. .
2
e e e R R R R le
l l l l l
⎡ ⎤∆ ⋅∆ ∆ ⋅∆ −⎛ ⎞+ ≅ + ∴ + = ∴ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
 
Recordando que R r U∆ = ∆ + ∆ y desarrollando el producto punto resulta: 
1 .
2
r re ∆ ⋅∆=
22 r U U U l+ ⋅∆ ⋅∆ + ∆ ⋅∆ −
l
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Finalmente, para pequeñas deformaciones específicas resulta: 
..
2.
U Ue U t
l
∆ ∆
≅ ∆ + (Ec. 8.1) 
 
La (Ec. 8.1) permite obtener la elongación de la barra en función de las componentes de 
desplazamientos de los nudos; se trata de una relación no lineal respecto a los desplazamientos. 
Si U∆ es pequeño, como ocurre en la mayoría de los casos de aplicación, el segundo 
término (término no lineal) del segundo miembro de (Ec. 8.1) puede despreciarse y para 
pequeñas deformaciones y pequeños giros queda: 
.e U t≅ ∆ (Ec. 8.2) 
 
Puede interpretar la Ec. (8.2) diciendo que para U∆ pequeño, la elongación de la barra 
es aproximadamente igual a la proyección del corrimiento relativo entre los extremos sobre la 
dirección de la barra indeformada. 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -3- 
 
8.2- Matriz de rigidez de una barra de un reticulado plano 
 
A continuación se procede a relacionar las fuerzas aplicadas en los extremos de una barra 
con los desplazamientos de los extremos de dicha barra. La relación se logra a través de la matriz 
de rigidez de la barra que depende de las características elásticas de la barra y de su orientación. 
Existen dos componentes de desplazamiento incógnita por nudo y se pueden plantear dos 
ecuaciones de equilibrio por nudo por lo que el tamaño de la matriz de rigidez resulta de (4 x 4). 
 
Figura 8.2 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
.
x x
i i
y y
i i
x x
j j
y y
j j
K K K K U P
K K K K U P
K K K K U P
K K K K U P
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 8.3) 
Para deducir los elementos de la matriz K , se sigue el siguiente razonamiento: 
 
 
x
iU
y
iU
y
iP
x
iP
x
iU
y
jU
y
jP
x
jP
x
jU
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -4- 
 
1
0
0
0
x
i
y
i
x
j
y
j
U
U
U
U
⎫=
⎪= ⎪
⎬= ⎪
⎪= ⎭
 (Ec. 8.4) 
El desplazamiento horizontal del nudo "i" se define igual a la unidad mientras los 
desplazamientos restantes son nulos. La elongación de la barra es según (Ec. 8.2) (hipótesis 
lineal) igual a la proyección del corrimiento unitario sobre la dirección primitiva de la barra. 
 
 
Figura 8.3 
( )1.cose α= (Ec. 8.5) 
La fuerza que comprime la barra una magnitud “e” está dada por la ley de Hooke. 
.P K e= (Ec. 8.6) 
Nótese que se plantea el equilibrio en el sistema indeformado. Sustituyendo (Ec. 8.4) en 
(Ec. 8.3) queda: 
11
21
31
41
.1
.1
.1
.1
x
i
y
i
x
j
y
j
K P
K P
K P
K P
⎫=
⎪= ⎪
⎬= ⎪
⎪= ⎭
 (Ec. 8.7) 
La (Ec. 8.7) muestra que la primera columna de K es numéricamente igual al valor de las 
fuerzas que mantienen el estado de deformación prefijada definida en (Ec. 8.4). 
A partir de la Figura 8.3 se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( ).cos ; .cos ; .cos ; .cosx y x yi i j jP P P P P P P Pα β α β= = = − = − (Ec. 8.8) 
Es necesario respetar el sentido adoptado como positivo para fuerzas y desplazamientos. 
x
iP
y
iP
P
x
jP
y
jP P
1
t
α
β
21
11
y
i
x
i
P K
P K
=
=
41
31
y
j
x
j
P K
P K
=
=
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -5- 
 
Sustituyendo (Ec. 8.5) en (Ec. 8.6)y luego en (Ec. 8.8): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2.cos ; .cos .cos ; .cos ; .cos .cosx y x yi i j jP K P K P K P Kα α β α α β= = = − = − (Ec. 8.9) 
Reemplazando las expresiones de (Ec. 8.9) en (Ec. 8.7) se obtiene la primera columna de 
la matriz K . 
Por un razonamiento similar se puede determinar una por una las restantes columnas. 
 
Resulta conveniente destacar que se ha planteado el equilibrio en el sistema indeformado, 
como una primera aproximación al problema. 
La forma explícita de la matriz de rigidez de una barra de rigidez axial K cuyos cosenos 
directores son: 
( ) ( )1 2
.cos ; cos ; A EK
l
α γ β γ= = = ; es 
2 2
" " 1 1 2 1 1 2
2 2
1 2 2 1 2 2
2 2
" " 1 1 2 1 1 2
2 2
1 2 2 1 2 2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Nudo i
Nudo j
Nudo "i"
K K K K
K K K K
K
K K K K
K K K K
γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
⎧ ⎡ ⎤− −
⎨ ⎢ ⎥− −⎩ ⎢ ⎥=
⎢⎥− −⎧
⎢ ⎥⎨ − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
144 2 
Nudo "j"
4 4443 144424443 
 (Ec. 8.10) 
Se observa que la tercera fila de (Ec. 8.10) es igual a la primera fila cambiada de signo, la 
cuarta fila es igual a la segunda cambiada de signo, y la segunda es igual a la primera 
multiplicada por 2
1
γ
γ
. El sistema (Ec. 8.3) contiene sólo una ecuación linealmente independiente. 
La matriz K es singular y el sistema no tiene solución única ya que no se han fijado condiciones 
de vínculo para la barra. 
Si las componentes de fuerza del segundo miembro de (Ec. 8.3) no guardan las mismas 
relaciones que las filas del primer miembro, el sistema no tiene solución (no hay equilibrio). Si el 
12K
22K
32K
42K
13K
23K
33K
43K
14K
24K
34K
44K
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -6- 
 
sistema tiene solución (se cumplen las condiciones de equilibrio) hay infinitas soluciones que 
corresponden a un alargamiento de la barra seguido de un desplazamiento de cuerpo rígido. 
Si se conocen los desplazamientos de los extremos de la barra, la (Ec. 8.3) 
permite calcular la fuerza axial que solicita a la barra. 
La simetría de la matriz es una simple consecuencia del teorema de reciprocidad. 
Si se adopta como orientación de la barra a la opuesta, es decir que si la barra tiene por 
origen al nudo “i” y como extremo al nudo “j”, y se intercambian los roles entre “i” y “j”, 
cambian simultáneamente los dos cosenos directores y por lo tanto la (Ec. 8.10) no cambia. 
 
Figura 8.4 
Las ecuaciones de equilibrio (Ec. 8.3) llamadas ecuaciones "fuerza-movimiento" pueden 
escribirse particionadas de la siguiente manera: 
.ii ij i i
ji jj j j
K K U P
K K U P
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 8.11) 
O también: 
. .ii i ij j iK U K U P+ = (Ec. 8.12) 
. .ji i jj j jK U K U P+ = (Ec. 8.13) 
Nótese que ijK es una submatriz 2x2 y los vectores iP y iU son vectores de dos 
componentes. 
La (Ec. 8.11) es un sistema de dos ecuaciones vectoriales. Cada vector tiene dos 
componentes escalares (proyecciones sobre el sistema global), y por lo tanto se trata de cuatro 
ecuaciones algebraicas lineales. 
La matriz de rigidez de la (Ec. 8.10) constituye una descripción completa de las 
características elásticas de cada barra que permite plantear las ecuaciones de 
equilibrio global y de compatibilidad de desplazamientos para un conjunto de barras. 
2 bγ =
1 aγ =
t
t
1 aγ = −
2 bγ = −
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -7- 
 
8.3- Matriz de rigidez del reticulado plano (2-D) 
 
El número de incógnitas en el método de rigidez está asociado al número de grados de 
libertad o incógnitas que definen la posición de los nudos. Se define como "Grados de Libertad 
Geométricos" o simplemente "Grados de Libertad" (G.L.) a los desplazamientos necesarios para 
determinar la configuración deformada de la estructura. 
En un reticulado "ideal" con nudos perfectamente articulados, el conocimiento de la 
posición final de cada nudo es suficiente para definir la configuración deformada. En el 
reticulado plano, bastará conocer las dos componentes ( ),x yU U del desplazamiento de cada 
nudo para definir la posición deformada de los nudos. 
El número de G.L. para un reticulado plano es dos veces el número de nudos menos el 
número de condiciones de vínculo que introducen restricciones cinemáticas a los 
desplazamientos. 
La matriz de rigidez del conjunto se obtiene “ensamblando” las matrices de rigidez de 
cada una de las barras individuales, como se ilustra para el reticulado de la Figura 8.5. 
 
Figura 8.5 
Este reticulado tiene 7 nudos y por lo tanto 14 G.L. Inicialmente no se imponen 
condiciones de vínculo. 
Al ensamblar la matriz de rigidez de la estructura completa (de orden 14x14) se 
describen dos importantes aspectos del problema: 
a) Las características elásticas y orientación de cada barra. 
b) La topología o conectividad de la estructura. 
El primer aspecto está totalmente definido a través de la matriz de rigidez de la (Ec. 8.10) 
de cada barra. El segundo aspecto se refiere a la forma en que se unen los nudos a través de las 
4P
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -8- 
 
barras (conectividades). La matriz K será de orden 14 y corresponderá a un sistema de 14 
ecuaciones de equilibrio. 
A modo de ejemplo, a continuación se desarrollan ahora en detalle las dos ecuaciones de 
equilibrio del nudo 4. 
Empleando notación matricial se plantea una ecuación vectorial de equilibrio del nudo 4 
en la que intervienen las fuerzas que ejercen las distintas barras que convergen al nudo. 
 
Figura 8.6 
Equilibrio de fuerzas: 
4
d e g h
j j i iP P P P P+ + + = (Ec. 8.14) 
La fuerza exterior 4P se descompone en cuatro fuerzas que actúan en el extremo "j" de las 
barras (d) y (e) y en el origen "i" de las barras (g) y (h). 
Compatibilidad de desplazamientos: Se describe a través de las condiciones 
4
d e g h
j j i iU U U U U= = = = (Ec. 8.15) 
La (Ec. 8.15) expresa simplemente que los desplazamientos de los extremos de las barras 
que concurren al nudo 4 son iguales al desplazamiento del nudo. 
Las fuerzas en los extremos de las barras en la ecuación de equilibrio (Ec. 8.14) pueden 
expresarse en función de los desplazamientos de los extremos por las ecuaciones fuerza-
desplazamiento (Ec. 8.12) y (Ec. 8.13). 
{ { { { { { { {
2 3 4 44 4 5 6
4. . . . . . . .
d d d d e e e e g g g g h h h h
ji i jj j ji i jj j ii i ij j ii i ij j
U U U UU U U U
K U K U K U K U K U K U K U K U P
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Teniendo en cuenta las ecuaciones de compatibilidad del tipo (Ec. 8.15), para cada nudo 
se obtiene: 
( )1 2 3 4 5 6 7 40. . . . . . 0.d e d e g h g hji ji jj jj ii ii ij ijU K U K U K K K K U K U K U U P+ + + + + + + + + = (Ec. 8.16) 
4P
hP
gPeP
dP
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -9- 
 
La expresión vectorial de la (Ec. 8.16) corresponde a las dos ecuaciones de equilibrio del 
nudo 4 que resultan ser la séptima y octava ecuaciones del sistema (14 x 14) correspondiente al 
reticulado de la Figura 8.5. 
Ensamble de la matriz de rigidez del conjuntoLa expresión vectorial (Ec. 8.16), desarrollada para el nudo 4 (a modo de ejemplo), es de 
validez general y provee una expresión sistemática de plantear las ecuaciones de equilibrio. Esta 
ecuación indica cómo se debe ensamblar la matriz de rigidez del reticulado a partir de las 
matrices de rigidez de cada barra. 
 
(Ec. 8.17) 
En la diagonal principal de la matriz (elemento 44K ) se suman las contribuciones de la 
rigidez de las cuatro barras que concurren al nudo 4. 
El elemento 42K contiene solamente el aporte de la única barra que une los nudos 2 y 4. 
El elemento 41K es nulo porque no hay ninguna barra conectando el nudo 1 con el 4. 
A manera de ejemplo a continuación se procede a ensamblar directamente la contribución 
de una barra cualquiera, por ejemplo la barra (d) que une el nudo 2 con el 4. 
 
d
jiK
e
jiK0
(**) : d e g hjj jj ii iiK K K K+ + +
(**) gijK
h
ijK 0
1U
2U
5
0
R
 
0
0
0
F−
 
1
1
x
y
R
R
0
P
0
0
4
4
x
y
P
P
3U
4U
5U
6U
7U
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -10- 
 
2 4
2
4
d d
ii ijd
d d
ji jj
K K
K
K K
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 (Ec. 8.18) 
:diiK Se suma a la contribución de las barras (a) y (c) para dar 22K . 
:dijK Resulta ser 24K . 
:djiK Resulta ser 42K . 
:djjK Se suma a la contribución de las barras (e), (g) y (h) para dar 44K . 
Lo indicado para la barra (d) es totalmente general, y para una barra genérica (*) que une 
el nudo "i" con el nudo "j" se tiene: 
* *. .i ii i ij jP K U K U= + + contribución de las otras barras 
* *. .j ji i jj jP K U K U= + + contribución de las otras barras 
(Ec. 8.19) 
Para ensamblar la matriz del conjunto se parte inicialmente de una matriz (2n x 2n) cuyos 
coeficientes son todos nulos, donde “n” es el número de nudos del reticulado, y se acumulan en 
dicha matriz las contribuciones de todas las barras que integran la estructura. 
Por ejemplo, la contribución de la barra (*) será según la (Ec. 8.19) la indicada en la 
Figura 8.7. 
 
Figura 8.7 
Propiedades de la matriz de rigidez 
1) La matriz de rigidez del reticulado plano es cuadrada y de orden 2n, donde n es el 
número de nudos. Para una barra en 3 dimensiones, la matriz sería de orden (3n x 3n). 
2) Es una matriz simétrica como consecuencia que las matrices de las barras individuales 
son también simétricas. 
*
iiK
*
jjK
*
ijK
*
jiK
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -11- 
 
3) La matriz de rigidez, tal como resulta del proceso de ensamble antes descrito, es una 
matriz singular (determinante nulo) de modo que el sistema de la (Ec. 8.17) no tiene solución 
única porque no se han impuesto las condiciones de vínculo que restringen los desplazamientos 
del cuerpo rígido. Para impedir desplazamiento de cuerpo rígido en el plano hay que dar por lo 
menos tres condiciones de vínculo apropiadas que restrinjan los desplazamientos de un cuerpo 
rígido en el plano. 
Condiciones de vínculo 
Habiendo ya considerado las relaciones constitutivas, las ecuaciones de equilibrio y las 
cinemáticas (o de compatibilidad), sólo resta introducir las condiciones de vínculo (apoyos). El 
nudo 1 es un apoyo fijo y el nudo 5 es un apoyo móvil, de modo que se tienen tres 
desplazamientos nulos: 
5
1 5
0
;
0 0
xU
U U
⎡ ⎤⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 8.20) 
Las columnas primera, segunda y décima que van a ser multiplicadas por cero, no son 
necesarias para resolver el sistema de ecuaciones ya que los respectivos desplazamientos son 
nulos en función de las condiciones de vínculo impuestas, y pueden ser omitidas del sistema de 
ecuaciones a resolver. 
Las filas primera, segunda y décima se pueden también omitir del sistema de ecuaciones y 
resolver un sistema 11 x 11 que permita determinar los 11 desplazamientos desconocidos. 
Una vez calculados los 11 desplazamientos (sin considerar las filas primera, segunda y 
décima), se pueden utilizar las ecuaciones primera, segunda y décima para obtener las reacciones 
de apoyo desconocidas (Ec. 8.17). 
La diagonal principal de la matriz tiene todos sus elementos distintos de cero, los que 
además son siempre positivos. Esto concuerda con el hecho que para producir un desplazamiento 
en una dirección y sentido dado se requiere aplicar en dicho nudo una fuerza distinta de cero, y 
en general del mismo signo que el desplazamiento. Como además los elementos de la diagonal 
son los únicos que se obtienen sumando la rigidez de las distintas barras, éstos resultan ser 
dominantes (mayores) respecto a los restantes elementos de la matriz. 
Observando la Figura 8.7 se deduce que si los números que definen los nudos extremos 
de una barra difieren en pocas unidades, las cuatro submatrices de esa barra se ubican muy cerca 
de la diagonal principal (es evidente que cualquiera sea la numeración, las submatrices iiK y jjK 
van siempre sobre la diagonal principal). 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -12- 
 
Una numeración óptima de los nudos debería permitir que todos los elementos no nulos 
de la matriz estén próximos a la diagonal principal. De esta manera se obtiene una matriz de tipo 
"bandeada" como se indica en la Figura 8.8. 
 
Figura 8.8 
Para lograr una adecuada optimización computacional, dentro de la banda puede haber 
también algunos elementos nulos, pero fuera de la banda todos los elementos deben ser nulos. 
Ejemplo: 
 
Figura 8.9 
En el caso (a) se obtiene una matriz con elementos no nulos desparramados en toda la 
matriz mientras que con la numeración (b) ninguna barra tiene extremos cuya enumeración 
difiera en más de dos unidades y se obtiene una banda como se indica en la siguiente figura. 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -13- 
 
 
En ambos casos, antes de introducir las condiciones de vínculo se tiene una matriz 
simétrica de orden (24x24). El ancho de la banda tiene importancia desde el punto de vista 
computacional o de programación, pero no afecta la validez del método cualquiera sea el 
esquema de numeración que se adopte. El caso (b) permite ciertas ventajas de ordenamiento 
computacional y requiere menos capacidad de memoria porque la parte fuera de la banda no 
necesita ser calculada o almacenada.Además, por simetría sólo se requiere calcular y guardar en 
memoria la diagonal principal y la mitad del resto de la matriz. 
Para ilustrar los cambios del sistema de ecuaciones a resolver según las condiciones de 
vínculo, a continuación se introducen variantes al reticulado de la Figura 8.5. 
 
1) Se agrega un apoyo móvil en el nudo 3 en dirección horizontal. 
En el método de las fuerzas se tendría ahora una estructura hiperestática, pero en el 
método de rigidez simplemente se elimina la sexta columna (que multiplica a 3 0
yU ≡ ) y no se 
considera la sexta ecuación, con lo que se reduce en uno el número de incógnitas a calcular. 
2) Se agrega una barra que une los nudos 2 y 5. 
1U
2U
3U
4U
5U
6U
7U
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -14- 
 
En el método de rigidez bastará sumar la contribución de las cuatro submatrices de 
rigidez de la nueva barra pero no aumenta el número de incógnitas resolver. 
De estos dos ejemplos se concluye que en el método de rigidez no interesa el 
grado de indeterminación estática, sino únicamente la indeterminación geométrica que 
está relacionada con el número de nudos y número de condiciones de vínculo. 
3) Se agrega un apoyo elástico en dirección vertical en el nudo 3. 
Si el apoyo elástico (resorte) tiene rigidez constante de valor “k” resulta que para 
desplazar en dirección vertical al nudo 3 en un valor unitario, además de la rigidez del reticulado 
habrá que vencer la rigidez del resorte. Para tenerlo en cuenta se debe sumar el valor “k” al 
coeficiente de la diagonal principal de la sexta fila y columna. 
4) Se reemplaza el apoyo 5 por un apoyo elástico. 
Se suma la rigidez del resorte sobre la diagonal principal al elemento de la décima fila y 
columna. En este caso, el desplazamiento vertical del nudo 5 pasa a ser una incógnita más 
( )5 0yU ≠ y el sistema a resolver es de 12 x 12. 
8.4- Esfuerzos en barras 
 
El "esfuerzo computacional" de la solución por el método de rigidez está determinado 
casi exclusivamente por el tiempo requerido para resolver el sistema de ecuaciones. 
Una vez hallados los desplazamientos, la determinación de los esfuerzos en las barras 
resulta muy simple. Primero se determina la elongación de la barra según (Ec. 8.2) y luego se 
calcula la fuerza según (Ec. 8.6). Para el caso de una barra genérica cuyo origen es el nudo "i" y 
su extremo el "j", se tiene: 
( )1 2,t γ γ= ; ( ).e U t= ∆ ; .F K e= ; .A EK L= 
( ) ( ) ( );x x y yj i j i j iU U U U U U U⎡ ⎤∆ = − = − −⎣ ⎦ 
( ) ( )1 2. . .x x y yj i j iF K U U U Uγ γ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ (Ec. 8.21) 
Si la proyección del corrimiento relativo ( )j iU U− sobre la dirección t (que se ha 
definido de "i" hacia "j") resulta positiva, la barra se ha alargado y está por lo tanto traccionada. 
Conclusión: 
Si el valor dado por (Ec. 8.21) resulta positivo, implica esfuerzo de tracción para 
la barra considerada. 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -15- 
 
Un “procedimiento alternativo” consiste en efectuar el producto .K U indicado en la 
ecuación fuerza-desplazamiento (Ec. 8.3) para obtener las fuerzas en los extremos de la barra. 
Como las fuerzas en los extremos son iguales y opuestas, será suficiente aplicar la (Ec. 8.12). 
 
11 12 13 14. . . .
x y x y x
i i j j iK U K U K U K U P+ + + = 
21 22 23 24. . . .
x y x y y
i i j j iK U K U K U K U P+ + + = 
(Ec. 8.22) 
Finalmente: 
( ) ( )2 2x yi i iP P P= + (Ec. 8.23) 
El esfuerzo será de compresión si la resultante iP tiene el sentido de "i" hacia "j". El 
lector puede comprobar que reemplazando (Ec. 8.22) en (Ec. 8.23) y utilizando los elementos de 
K dados por (Ec. 8.10) se llega a la (Ec. 8.21). 
 
8.5- Reticulados Espaciales (3-D) 
 
Los mismos conceptos desarrollados para el reticulado plano pueden generalizarse para el 
reticulado espacial. Bastará tener presente que las fuerzas y los desplazamientos tienen en este 
caso tres componentes (según x, y, z). Todas las expresiones vectoriales, como son las 
ecuaciones (Ec. 8.1), (Ec. 8.2), (Ec. 8.11), (Ec. 8.12), (Ec. 8.13), (Ec. 8.14), (Ec. 8.15), etc. 
mantienen su vigencia. 
Para obtener una expresión explícita de la matriz de rigidez de una barra de reticulado 
similar a (Ec. 8.10), se procede de una manera totalmente análoga a la empleada para el caso 
plano. 
x
iP
y
iP
iP
[ ]. iii ij i
j
U
K K P
U
⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -16- 
 
 
( )1 2 3, ,t γ γ γ= 
Donde: 
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2
x x
j i
x x y y z z
j i j i j i
r r
r r r r r r
γ
−
=
− + − + −
 
Los cosenos directores ( )1 2 3, ,γ γ γ se calculan a partir de las coordenadas de los nudos "i" 
y "j", y la ecuación fuerza-desplazamiento resulta: 
 
 
 
 
(Ec. 8.24) 
El armado de la matriz sigue el mismo procedimiento desarrollado para el caso plano. 
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se pueden calcular las fuerzas en las barras utilizando 
una expresión similar a la (Ec. 8.21). 
( ) ( ) ( )1 2 3. . . . . . .x x y y z zj i j i j iF K e K U t K U U U U U Uγ γ γ⎡ ⎤= = ∆ = − + − + −⎣ ⎦ (Ec. 8.25) 
 
 
 
 
2
1 1 2 1 3
2
1 2 2 2 3
2
1 3 2 3 3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
x x
i i
y y
i i
z z
i i
x x
j j
y y
j j
z
j j
K K K U P
K K K U P
K K K U P
U P
U P
U P
γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 igual y cambiada de signo
igual y cambiada de signo igual
z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
y
iU
y
iP
x
iP
x
iU
y
jU
y
jPxjP xjU
z
iU
z
iP
z
jU
z
jP
1γ
3γ
2γ
t
t
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -17- 
 
Ejercicio Nº 1: 
Calcular los esfuerzos en las barras (2-7) y (7-12) 
 
Datos: 
Para todas las barras: 24,00A cm= ; 22100000 /E kg cm= 
Nudo 7 8 9 10 11 12 
xU 0,04 0,01 -0,02 0,02 0,01 -0,01 
yU -0,01 0,02 0,001 -0,001 0,03 0,02 
zU -0,001 -0,001 -0,002 -0,002 -0,002 -0,002 
 
Posición de los nudos: 
( ) ( ) ( )12 7 20;1;6 ; 2;1;3 ; 2;0;0P m P m P m= = = 
Barra (12-7): 
Cosenos directores: 
( ) ( ) ( ) ( )12 7 1 2 312 7
1 1. 2;0;3 ; ;
13
P P t
P P
γ γ γ− = − = =
−
. 
1 2 30,5547 ; 0 ; 0,832γ γ γ= − = = 
( ) ( )12 712 7360,55 ; 23297,408
Kgl cm K
cm− −
= = 
( ).e U t= ∆ ; .F K e= 
z
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -18- 
 
( ) ( ) ( )12 7 0,01;0,02; 0,002 0,04; 0,01; 0,001U U U∆ = − = − − − − − 
( ) ( ). 0,05;0,03; 0,001 . 0,5547;0,00;0,832 0,0269029U t cm∆ = − − − = 
( )12 7 626,8F Kg− = 
Barra (7-2): 
Cosenos directores: ( )0,00;0,3162;0,9488t = 
( ) ( ) ( ) ( )7 2 0,04; 0,01; 0,001 0;0;0 0,04; 0,01; 0,001U U U∆ = − = − − − = − − 
( ) ( ) 3. 0,04; 0,01; 0,001 . 0,00;0,3162;0,9488 4,11 10e U t cm−= ∆ = − − = − × 
( ) ( )7 2 7 2316,2 ; 26563,13
Kgl cm K
cm− −
= = 
( )7 2 109, 2F Kg− = − 
Ejercicio Nº 2: 
Escribir el sistema de ecuaciones de equilibrio: 
Datos: 
 
Coordenadas de los nudos: 
Nudo Coord. x Coord. y 
1 0 0 
2 3 0 
3 0 4 
4 3 4 
5 3 8 
α
2
1 2 3 4 5 6
2
1000 ; 20º
6,00
2100000 /
P Kg
A A A A A A cm
E kg cm
α= =
= = = = = =
=
 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -19- 
 
Barras 1, 3 y 5: 
1 2
.400 ; 31500
0 ; 1
A E Kgl cm K
l cm
γ γ
= = =
= =
 
 
 
0 0 0 0
0 31500 0 31500
0 0 0 0
0 31500 0 31500
⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Barras 2 y 6: 
1 2
.500 ; 25200
0,6 ; 0,8
A E Kgl cm K
l cm
γ γ
= = =
= =
 
 
 
9072 12096 9072 12096
12096 16128 12096 16128
9072 12096 9072 12096
12096 16128 12096 16128
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Barra 4: 
1 2
.300 ; 42000
1 ; 0
A E Kgl cm K
l cm
γ γ
= = =
= =
 
 
 
42000 0 42000 0
0 0 0 0
42000 0 42000 0
0 0 0 0
−⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 2−
 
1 2
3 3
1
1 6
4 6
4
2
−
 
3
3
3
4
4
5
5
0
0
0
0
.
2 3
4 5
4 5
6 5 6 5
x
y
x
y
x
y
U
U
U
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -20- 
 
3
3
4
4
5
5
51072 12096 42000 0 9072 12096
12096 47628 0 0 12096 16128
42000 0 51072 12096 0 0
.0 0 12096 79128 0 31500
9072 12096 0 0 9072 12096
12096 16128 0 31500 12096 47628
x
y
x
y
x
y
U
U
U
U
U
U
− − − ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥
− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0
0
0
0
939,7
342,02
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Ejercicio Nº 3: 
En la estructura del ejercicio anterior calcular los esfuerzos en las barras si los 
desplazamientos son los dados a continuación: 
 
 Nudo 
Desp. 
3 4 5 
xU 0,2465017 0,2241279 0,59117511 
yU 0,0397756 -0,0904091 -0,1410425 
Barra 1: 
( ) ( )1 31500. 0,2465 0 .0 0,03977 0 .1F = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 20 ; 1 ; 31500
KgK
cm
γ γ= = = 
1 1252,93F Kg= 
Barra 2: 
( ) ( )2 25200. 0,224128 0 .0,6 0,090409 0 .0,8F = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 20,6 ; 0,8 ; 25200
KgK
cm
γ γ= = = 
2 1566,04F Kg= 
 
β
α
( )
( )
1
2
cos
cos
α γ
β γ
=
=
( ) ( )1 2. . .j i j iBarra x x y yF K U U U Uγ γ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -21- 
 
Barra 3: 
( ) ( )3 31500. 0,22412 0 .0 0,09040 0 .1F = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 20 ; 1 ; 31500
KgK
cm
γ γ= = = 
3 2847,88F Kg= − 
Barra 4: 
( ) ( )4 42000. 0,2241 0,2465 .1 0,0904 0,03977 .0F = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 21 ; 0 ; 42000
KgK
cm
γ γ= = = 
4 939,70F Kg= − 
Barra 5: 
( ) ( )( )5 31500. 0,5911 0,22412 .0 0,141 0,090409 .1F ⎡ ⎤= − + − − −⎣ ⎦ 
1 20 ; 1 ; 31500
KgK
cm
γ γ= = = 
5 1594,95F Kg= − 
Barra 6: 
( ) ( )6 25200. 0,59117 0,2465 .0,6 0,14104 0,039 .0,8F = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 20,6 ; 0,8 ; 25200
KgK
cm
γ γ= = = 
6 1566,17F Kg= 
Nota: por tratarse de una estructura isostática se pueden comprobar fácilmente los 
resultados por cualquier método de análisis estático disponible. 
Ejercicio Nº 4: 
Determinar las fuerzas en las barras del reticulado cuya base es un triángulo equilátero. 
Todas las barras: 24,00A cm= 400l cm= 
Lado del triángulo base: 200d cm= 
Carga: ( )= 200;-100;0 P 6 2= 2,1 10 
KgE
cm
× 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -22- 
 
 
Coordenadas de los nudos: 
Nudo Coord. x Coord. y Coord. z 
1 0 0 0 
2 100 173,205 0 
3 200 0 0 
4* 100 57,735 0 
4 100 57,735 382,971 
( )14 100;57,735;382,971=
uur
 
Barra 1: 
1 2 30, 25 ; 0,144338 ; 0,957427γ γ γ= = = 
1 4
1
4
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / 1312,50 757,77 5026,49
/ / / / / / 757,77 437,50 2902,05
/ / / / / / 5026,49 2902,05 19250
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎦
 
⎥
 
Barra 2: 
1 2 30,00 ; 0,288675 ; 0,957427γ γ γ= = − = 
h
3
h
z
z
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -23- 
 
2 4
2
4
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / 0 0 0
/ / / / / / 0 1750 5804,1
/ / / / / / 0 5804,1 19250
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Barra 3: 
1 2 30, 25 ; 0,144338 ; 0,95427γ γ γ= − = = 
3 4
3
4
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / 1312,50 757,77 5026,49
/ / / / / / 757,77 437,50 2902,05
/ / / / / / 5026,49 2902,05 19250
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ − −⎢
⎢ −
⎢−⎢⎣ ⎦
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
 
Ecuaciones de equilibrio de nudo 4: 
4
4
4
2625 0 0 200
0 2625 0 . 100
0 0 57750 0
x
y
z
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Desplazamientos: 
4
4
4
0,076190476
0,038095238
0,000000000
x
y
z
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Esfuerzos en las barras: 
( ) ( ) ( )1 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0,25;0,1443;0,9574F K U t= ∆ = −⎡ ⎤⎣ ⎦
r r
 
1 284,53F Kg= 
( ) ( ) ( )2 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0,00; 0,2886;0,9574F K U t= ∆ = − −⎡ ⎤⎣ ⎦
r r
 
2 230,94F Kg= 
( ) ( ) ( )3 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0,25;0,1443;0,9574F K U t= ∆ = − −⎡ ⎤⎣ ⎦
r r
 
3 515,47F Kg= − 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -24- 
 
Ejercicio Nº 5: 
Calcular las fuerzas en las barras del reticulado plano 
 
Matrices de rigidez de las barras: 
Barra 1: 
( )1 11;0 ; 60 ; 350000
Kgt l cm K
cm
= = = 
1 2
1
2
/ / / / / / / /
/ / / / / / / /
/ / / / 350000 0
/ / / / 0 0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Barra 2: 
( )2 20;1 ; 80 ; 262500
Kgt l cm K
cm
= = = 
1 3
1
3
/ / / / / / / /
/ / / / / / / /
/ / / / 0 0
/ / / / 0 262500
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Barra 3: 
( )3 30,6; 0,8 ; 100 ; 420000
Kgt l cm K
cm
= − − = = 
2 2 2
1 2 3
6
2
10 10 20
4000 2000 2,1 10
A cm A cm A cm
Kg KgP Kg K E
cm cm
= = =
= = = ×
 
 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -25- 
 
2 3
2
3
151200 201600 151200 201600
201600 268800 201600 268800
151200 201600 151200 201600
201600 268800 201600 268800
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Sistema de ecuaciones de equilibrio: 
2 3
2
2
2
3
3
3
501200 201600 151200 201600 0
201600 268800 201600 268800
.151200 201600 153200 201600
201600 268800 201600 351300
x
y
x
y
U
U
U
U
− − ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
4000
0
0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Desplazamientos: 
2
2
3
3
0,0085714286
1,161547619
1,500000000
0,0152380952
x
y
x
y
U
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Fuerzas en las barras: 
( ) ( )1 350000. 0,0085714; 1,1615476 . 1;0F = −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 3000F Kg= 
( ) ( )2 262500. 1,5000; 0,0152381 . 0;1F = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
2 4000F Kg= 
( ) ( )3 420000. 1,508571;1,1463095 . 0,6; 0,8F = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
3 5000F Kg= − 
 
( )
( )
1
2
tan 0,0188
tan 0,0194
θ
θ
=
=
1θ
2θ
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -26- 
 
Fuerza en el resorte: 
. 2000 1,5 3000R K U Kg= = × = 
Ejercicio Nº 6: 
La torre arriostrada del croquis tiene una carga horizontal en la dirección del eje "y". 
Determinar el esfuerzo en todas las barras. 
2
1 2 3
2
4
0,07065
2,0
A A A cm
A cm
= = =
=
 
 
Longitudes en metros. 
Coordenadas de los nudos: 
Nudo Coord. x Coord. y Coord. z 
1 0,00 -4,47 0,00 
2 4,00 2,00 0,00 
3 -4,00 2,00 0,00 
4 0,00 0,00 0,00 
5 0,00 0,00 5,00 
 
Barra 1: 
( ) ( ) ( )
1 2 3
0;0;5 0; 4,47;0 0;4,47;5,00
.670,80 ; 221,18
0 ; 0,666 ; 0,745
A E Kgl cm K
l cm
γ γ γ
− − =
= = =
= = =
 
 
 
4
5
z
1
2
3
4
5
x
y
(1)
(2)
(3)
(4)
4,47
4,00
4,00
2,00
2,00
100
5,00
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -27- 
 
0 0 0 0 0 0
0 98,3 109,9 0 98,3 109,9
0 109,9 122,9 0 109,9 122,9
0 0 0 0 0 0
0 98,3 109,9 0 98,3 109,9
0 109,9 122,9 0 109,9 122,9
⎡ ⎤
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
 
Barra 2: 
( ) ( ) ( )
1 2 3
0;0;5 4;2;0 4; 2;5
.670,80 ; 221,18
0,596 ; 0,298 ; 0,745
A E Kgl cm K
l cm
γ γ γ
− = − −
= = =
= − = − =
 
 
 
78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,3
39,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15
98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9
78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,3
39,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15
98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9
− − −⎡ ⎤
⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢ ⎥
− − −⎣ ⎦
 
Barra 3: 
( ) ( ) ( )
1 2 3
0;0;5 4;2;0 4; 2;5
.670,80 ; 221,18
0,596 ; 0,298 ; 0,745
A E Kgl cm K
l cm
γ γ γ
− − = −
= = =
= = − =
 
 
 
78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,3
39,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15
98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9
78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,3
39,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15
98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9
− − −⎡ ⎤
⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −
⎢ ⎥
− − −⎣ ⎦
 
Barra 4: 
1 2 3
.500 ; 8400
0 ; 0 ; 1
A E Kgl cm K
l cm
γ γ γ
= = =
= = =
 
 
 
CAPITULO 8 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -28- 
 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 8400 0 0 8400
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 8400 0 0 8400
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎣ ⎦
 
Sistema de ecuaciones de equilibrio del nudo 5: 
157,3 0 0 0
0 137,6 11,6 . 100
0 11,6 8768 0
x
y
z
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0,0000
0,72674
0,00096
x
y
z
U
U
U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Esfuerzos en las barras: 
( ) ( )1 1 1. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,00;0,666;0,745F K e= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 107,0F Kg= − 
( ) ( )2 2 2. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,596; 0,298;0,745F K e= = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
2 48,08F Kg= 
( ) ( )3 3 3. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,596; 0,298;0,745F K e= = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
3 48,08F Kg= 
( ) ( )4 4 4. 8400. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0;0;1F K e= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
4 8,06F Kg=