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PublicacionesDidacticas.com | Nº 26 Junio 2012 
 
Sucesiones 
Título: Sucesiones. Target: Profesores de Matemáticas. Asignatura: Matemáticas. Autor: Emiliana Oliván Calzada, 
Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación Secundaria. 
 
SUCESIONES. TÉRMINO GENERAL Y FORMA RECURRENTE 
Vamos a estudiar un tipo de funciones cuyo dominio de definición es  0N . Son las llamadas 
sucesiones. Esto nos permite enumerar y ordenar un conjunto de infinitos números que no tienen que 
ser necesariamente distintos. 
Definiciones: Una función   HNf  0: con H conjunto recibe el nombre de sucesión de 
elementos de H. Vamos a centrarnos en las sucesiones de números reales. 
Llamaremos sucesión de números reales a toda aplicación   RNf  0: . 
Aunque hemos definido como sucesión la aplicación f, por extensión del lenguaje llamaremos 
también sucesión al conjunto de las imágenes de f que mantienen el orden de N inducido por f, 
 
Nn
nf

)( . Llamaremos término general de la sucesión a f(n) que lo denotaremos na . A partir de 
na podemos obtener cualquier término de la sucesión. 
Formas de definir una sucesión: 
a) Conociendo el término general: Conocida la expresión de na en función de n, podemos 
conocer Nkak  sustituyendo en la expresión de na n por k. 
Ejemplo: 
2
1
n
an  término general. 
4
1
2 a , 
64
1
8 a 
b) Por recurrencia: Consiste en obtener el valor de un término de la sucesión en función del 
anterior o anteriores. Así el término general na dependerá de los k anteriores y la sucesión 
quedará completamente definida si conocemos los k anteriores. 
Ejemplo: 3,,1,1 2121   naaaaa nnn Sucesión de Fibonacci. 
 
PROGRESIONES ARITMÉTICAS ORDINARIAS (DE ORDEN 1) 
Definición: Diremos que una sucesión de números reales  
Nnn
a

 es una progresión aritmética 
ordinaria de orden 1 si cada término se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante d, 
llamada diferencia, es decir Nkdaa kk  ,1 
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Proposición: Toda progresión aritmética ordinaria de diferencia d tiene como término general 
dnaan  )1(1 
Demostración: Por inducción. 
Sabemos que 2,1   ndaa nn . Así, daa  12 ; daddadaa 21123  ,…, 
  dnadaa nn   2121 , y   dnaddnadaa nn   )1(2 111 
Proposición: Toda progresión aritmética ordinaria tiene como término general 
Rbaconbnaan  , 
Demostración: )()1( 111 dandddnaadnaa nn  . Si tomamos 
 dabyda 1 Rbaconbnaan  , 
Nota: Si Nnaada n  10 (sucesión constante) 
Definición: Interpolar m medios aritméticos ó diferenciales entre dos números dados a y b es hallar 
los m términos intermedios de una progresión aritmética de extremos a y b. La progresión queda de 
la siguiente forma:  
1
1,,...,,, 22211


 
m
ab
ddmabaabcccaa mmm 
Proposición: La suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética es igual a la mitad 
de n veces la suma de sus extremos. 
 
2
1 n
n
aan
S

 
Demostración: 
       121121
121
121
...2
:
...
....
aaaaaaaaS
Sumando
aaaaS
aaaaS
nnnnn
nnn
nnn









 
 
Y como nnn aadadaaa   1112 , nnnn aaaadadaaa   1121223 , 
tenemos:  nn aanS  12 
 
 
2
1 n
n
aan
S

 
 
 
 
 
 
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DIFERENCIAS FINITAS Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR 
Diferencias Finitas 
Definiciones: Sea la sucesión de números ,...,...,, 21 nxxx . De esta sucesión podemos obtener otra 
llamada de las diferencias primeras o de primer orden ,...,...,, 21 nxxx  donde iii xxx  1 . 
Análogamente, obtenemos la sucesión de las diferencias segundas o de segundo orden 
,...,...,, 22
2
1
2
nxxx  , donde iii xxx  1
2 y análogamente las diferencias de orden k, 
,...,...,, 21 n
kkk xxx  , donde i
k
i
k
i
k xxx 11
1 

  
i
k x lo leeremos diferencia de orden k de ix . 
Ejemplo: Obtener las sucesivas diferencias finitas de la sucesión 3, 11, 31, 69, 131, 223,… 
n
n
nn
n
n
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
1
2
2
1
2
2
3
2
1
2
2
1
1
......
















 
223
92
30131
662
02469
638
01831
620
1211
8
3
432
iiiii xxxxx 
 
Obtención del término general de una sucesión 
Vamos a ver cómo obtener nx en función de las diferencias finitas 1
1
11 ,...,, xxx
n . Por definición 
tenemos que 112 xxx  y 1
2
12 xxx  y utilizando estas igualdades tenemos: 
1
2
111
2
111223 2 xxxxxxxxxx  
1
3
1
2
11
3
1
2
1
2
12
2
23 2 xxxxxxxxxx  
Escribiremos esto con la siguiente notación:   2(13 1  xx y  
2(
13 1  xx 
Y por inducción se prueba que   1(1 1


n
n xx y  
1(
1 1


n
n xx 
 
 
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En consecuencia, usando el binomio de Newton tenemos: 
1
1
1
2
11
1
1
....
2
1
1
1
0
1
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x nn













 





 





 
 
Ejemplo: Obtener el término general de la sucesión 3, 11, 31, 69, 131,223 (la del ejemplo anterior) 
0...00
4
1
6
3
1
12
2
1
8
1
1
3
0
1





 





 





 





 





 

nnnnn
xn 
 
   
16
6
321
12
2
)2)(1(
8)1(31 3 



 nn
nnnnn
nxn 
Progresiones Aritméticas de orden superior 
Definición: Llamamos progresión aritmética de orden k  0Nk a la sucesión de números que 
obtenemos al calcular los valores numéricos de un polinomio de grado k para los valores consecutivos 
de la variable Nn 
0...)( 0
1
10 
 aconanananfa k
kk
n 
Ejemplo: 1)( 3  nnnf es una progresión aritmética de orden 3. 
Proposición: Dada una progresión aritmética de orden k>1, la sucesión de las diferencias primeras 
es una progresión aritmética de orden k-1. 
Demostración: 
    0,...11... 0
1
101
1
10 


 aconananaxananax k
kk
nk
kk
n 
.....101 


k
nnn nkaxxx 
Notar que de la misma forma la sucesión de las diferencias segundas es una progresión aritmética 
de orden (k-2) y análogamente las de orden k son constantes no nulas y las de órdenes superiores 
nulas. 
Proposición: Si las diferencias de orden k de los números ,...,...,, 21 nxxx son constantes no nulas, los 
ix son términos consecutivos de una progresión aritmética de orden k (se supone n>k) 
Demostración: 
 
 
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11
2
11
1
1
1
2
11
1
....
2
1
1
1
1
1
....
2
1
1
1
0
1
x
k
n
x
n
x
n
x
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
k
n
n





 





 





 














 





 





 
 
, que es un polinomio de grado k en la 
variable n. 
Teorema: La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de orden k es: 
111
1
..
21
x
k
n
x
n
x
n
S kn 


















 
Demostración: 
Si nxxx ,...,, 21 son términos de una progresión aritmética de orden k: 













 





 





 
  1
1
1
2
11
1
1
....
2
1
1
1
0
1
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x nn 



















 




























































 





 


























1
1
...
1
1
1
1
...
32
1
1
...
2
1
1
1
...............................................................................................
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
11
1
1
1
1
2
11
1
2
113
112
11
k
n
k
n
k
k
k
k
x
n
n
x
n
n
x
n
x
n
xnxS
sumando
x
n
n
x
n
x
n
xx
xxxx
xxx
xx
nn
n
i
in
n
n
 
1
1
1
2
11
1
..
21
x
n
n
x
n
n
x
n
x
n
S nnn
 
























 
Y como 001 
 ixik porque la progresión es de orden k, obtenemos que: 
111
1
..
21
x
k
n
x
n
x
n
S kn 


















 
 
 
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Ejemplo: Calcular la suma de los cubos de los n primeros números naturales: 
3333 ...321 nSn  
Nos piden calcular nS con 
3
1 1x , 
3
2 2x , 
3nxn  
216
91
30125
661
02464
637
01827
619
128
7
1
432
iiiii xxxxx 
 
Se trata de una progresión aritmética de orden 3. 
Así: 1
3
1
2
11
4321
x
n
x
n
x
n
x
n
Sn 























 
        
    
   
     
 
     
2
2
2
32
2232
22
1
2
12
4
11210
4
62933162481014
4
32323814144
4
4
321
2121
2
7
1
6
24
321
12
6
21
7
2
1
1














 








n
n
nn
n
nnnn
n
nnnnnnnn
n
nnnnnn
n
nnn
nnnn
nnnnnnnnn
nSn
 
 
 
 
 
 
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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 
Definición: Diremos que una sucesión de números reales  
Nnn
a

 es una progresión geométrica si 
cada término ka se puede obtener a partir del anterior 1ka multiplicándolo por una cantidad 
constante r llamada razón, es decir 1 kk ara )2( k 
Proposición: Toda progresión geométrica de razón r tiene como término general 11
 nn raa . 
Demostración: Por inducción.  raa 12
2
1123 rarraraa  
2
11

 
n
n raa 
1
1
2
11

 
nn
nn rarraraa 
Definición: Intercalar m medios geométricos entre dos números dados a y b es hallar m términos 
intermedios de una progresión geométrica de extremos a y b. La progresión quedaría de la forma: 
1
1
22211 ,,...,,, 

  m
m
mmm
a
b
rrabaabcccaa 
Así, ,..., 221 racrac  
 
Proposición: El producto de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica, 
denotado nP , es igual a  
n
nn aaP  1 
Demostración: 
Sean naaa ,...,, 21 los n primeros términos de una progresión geométrica. Entonces: 
       
nn
n
n
n
n
n
n
nnnnnn
nnn
nnn
aaaa
r
a
raaa
aa
r
a
raaa
aaaaaaaaaaP
aaaaP
aaaaP













112
1
223
1112
1121121
2
121
121
.....
.....
.....
 
Entonces:    nnn
n
nn aaPaaP  11
2
 
 
 
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Proposición: La suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica, que 
denotamos nS , es igual a 1
1
1
1 


 rcuando
r
r
aS
n
n 
Demostración: Sean naaa ,...,, 21 los n primeros términos de una progresión geométrica. 
 
1
1
1
11
1
:tanRe
....
....
1
1
111
11
1321
1321


















rsi
r
r
aS
r
rraa
r
ara
SararSaraSrS
dos
arararararSr
aaaaaS
n
n
n
n
nnnnnn
nnn
nnn
 
Nota: Si 1r la progresión es constante 1anSn  
 Si 1r la progresión es oscilante 






imparnsiaS
parnsiS
n
n
1
0
 
 
SERIES 
Definiciones: Una serie S es la suma de los infinitos términos de una sucesión 
Saaaa
i
in  

1
21 ...... . Una serie es convergente si la suma de los infinitos términos es finita 
y es divergente si la suma de los infinitos términos es infinita. 
Para calcular la suma anterior se calcula 


n
i
in aS
1
 y se hace el límite de dicha suma cuando 
n . 





n
i
i
n
i
i aaS
11
lim 
Series Aritméticas 
Si  na es una progresión aritmética, la serie   





1
1
1
1
ni
i dnaaS se dice serie aritmética. 
Proposición: Una serie aritmética no es convergente. 
Demostración. 
 
 
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Sea  na es una progresión aritmética, 
  
 

















2
2
lim
2
2
lim
2
1
lim
2
limlim
1
2
2
1111
ndadn
dndnna
n
dnaa
n
aa
SS
n
nn
n
n
n
n
 
Nota: El límite será  si 0d y  si 0d 
 
Series Geométricas 
Si  na es una progresión geométrica, la serie 



1i
iaS se dice serie geométrica: 
aaDenotamos
ararararaS nn
n


 



1
21
1
1 ......
 
Proposición: Una serie geométrica es convergente si 1r . 
Demostración: 
Sea  na progresión geométrica. 
r
r
aS
n
n



1
1
. 
r
r
aSS
n
n
n
n 


 1
1
limlim , veamos distintos casos: 
Caso 1: 





 r
a
r
r
arr
n
n
n
11
1
lim01 
Caso 2: 111  rórr . 
 
  
 






















ana
r
rrr
a
r
r
ar
n
vecesn
n
n
n
n
n
lim1...1lim
1
...11
lim
0
0
1
1
lim:1
1
1r
  










 parnsia
imparnsiaa
a
r
r
a
nn
n ,00
,1
2
11
lim
1
1
lim: 
Caso 3: 



 r
r
ar
n
n 1
1
lim1 , no converge. 
Notas: 
 
 
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a) En el estudio de la convergencia de una serie no influye la supresión de un número finito de 
términos de la serie. 
b) La condición necesaria (pero no suficiente) para que una serie 

1n
na sea convergente es que 
0lim 

n
n
a 
APLICACIONES 
Cálculo de las fracciones generatrices de números decimales periódicos. 
a) Decimal periódico puro: Sea el número: 
99
414
99
10
10
18
4
10
1
1
1
10
18
4
10
1
10
18
4...
10
1
...
10
1
1
10
18
4
...
10
18
...
10
18
10
18
4...001801804....18184184
2
2
2
2
0
22222
242
























n
nn
n
 
b) Decimal periódico mixto: Sea el número: 
 
90
377
90
8
10
1
1
9
10
10
8
10
1
1
10
1
1
1
10
8
10
1
1
10
1
10
8
10
1
4...
10
1
...
10
1
1
10
8
10
1
4
...
10
8
...
10
8
10
8
10
1
4...0080080104814
22
0
22
32

























n
nn
n

 
Aplicaciones de matemática financiera. 
Definiciones: Llamamos capital financiero a la medida de cualquier activo real ó financiero 
expresado por su cuantía o por su vencimiento o momento de disponibilidad. Por tanto, 
representaremos cualquier capital por el par ordenado ),( tC , siendo C la cuantía del capital (en 
unidades monetarias) y t el momento de disponibilidad del capital (en años). Son varias las funciones 
matemáticas que podemos utilizar como leyes financieras. Veremos las leyes sumativas, cuando en el 
tiempo considerado no se acumulan los intereses para producir nuevos intereses (capitalización 
simple) ó leyes multiplicativas, cuando se acumulan los intereses (capitalización compuesta). 
Se llama interés al beneficio que se obtiene cuando se presta dinero, lo denotamos por I. Se llama 
rédito o tanto por ciento al interés recibido por 100 unidades monetarias, lo denotamos por R. Se 
llama capital a la cantidad prestada, se denota por C. 
Capitalización simple: 
 
 
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Las magnitudes definidas anteriormente se relacionan entre sí por una proporcionalidad 
compuesta. 
100
11001100
)(
0
00tRC
I
I
R
tCtIC
R
añostIC




 . Como 
100
00
CRt
CCICC ff  







100
10
R
CC f siendo fC el capital final. 
Capitalización compuesta: 
Sea C el capital inicial y tC el capital al cabo de t años. Así: 








100
1
100
1
R
C
RC
CC 
100
100
1
100
1
100
1
2
1
1
112
R
CdeahoraesI
R
C
R
C
RC
CICC

















 
Y por inducción tenemos: 
t
t
R
CC 






100
1 
Sumas de potencias (naturales) de números naturales. 
Las progresiones aritméticas de orden superior sirven para calcular sumas de potencias (naturales) 
de números naturales. Ejemplo visto anteriormente: cálculo de la suma de los cubos de los n primeros 
números naturales. 
ASPECTOS DIDÁCTICOS 
Las progresiones y sucesiones se empiezan a estudiar en 3º ESO, siendo interesante que los 
alumnos conozcan la fórmula del cálculo del término general y de la suma de progresiones aritméticas 
y geométricas. Son interesantes para pasar de números periódicos a fracciones generatrices y para 
realizar problemas de interés simple y compuesto. ● 
Bibliografía 
Benedicto M., C. y Negro F., A.: Matemáticas 1º BUP 
Fernández de Troconoz, A. y Belda, E.: Análisis algebraico. 
Goldberg, S.: Ecuaciones diferenciales finitas. 
Grupo cero: Matemáticas 1º BUP 
 
 
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Hernández Aina, F. y otros: Matemáticas 1º BUP 
Jolley, L: Summation of series. 
Markushevich, A.I: Sucesiones recurrentes. 
Rey Pastor, J.: Elementos de análisis algebraico. 
Scheid, F: Análisis numérico. 
Varios autores: El material para la enseñanza de las matemáticas. Editorial Aguilar. 
 
 
 
 
 
 
Los neumáticos del automóvil III 
Título: Los neumáticos del automóvil III. Target: Ciclo Formativo de Grado Medio de Electromecánica. Asignatura: 
Circuitos de fluidos. Suspensión y dirección.. Autor: Juan Pedro Gassó Bas, Técnico especialista en Mecánica y 
Electricidad del Automóvil, Profesor de Ciclos Formativos de Mantenimiento de vehículos. 
 
Como ya se indicó en los artículos anteriores “Los neumáticos del automóvil I y II”, todas las 
nomenclaturas vistas hasta ahora serán necesarias identificarlas correctamente, aunque existen 
algunas nomenclaturas más. Algunas de las nomenclaturas que se van a ver en este artículo puede 
que no se encuentren en algunos neumáticos, ya que son nomenclaturas que determinan 
características concretas de algunos neumáticos: 
PRESIÓN DE INFLADO 
Los neumáticos están fabricados para soportar una presión interna mucho más elevada que la que 
determina el fabricante de vehículos, teniendo en cuenta que un fabricante puede indicar en el 
vehículo la presión máxima de aire que puede soportar un vehículo. Como norma general, un 
neumático de un turismo convencional, puede llegar a tener aproximadamente 2 bares de presión 
en neumáticos delanteros y 2,5 bares de presión en neumáticos traseros, aunque dependerá si el 
vehículo va cargado o no. 
 Aun así, los fabricantes de neumáticos indican mediante nomenclatura en el flanco, la presión 
máxima que puede soportar el neumático (foto I), pudiendo alcanzar valores muy por encima de los 
que marca el fabricante del vehículo, alcanzando incluso los 50 bares de presión.