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Matemática Aplicada Prof. Hugo Payahuala Vera 
 1 
 Unidad IV. Progresiones y Matemáticas Financieras 
 
 
Comentario inicial 
 
 En esta unidad estudiaremos las progresiones aritméticas y geométricas y su aplicación a las 
matemáticas financieras, para ello primero definiremos el concepto de sucesión. 
 
Definición (Sucesión) 
 
Una sucesión s es una función, tal que RNs →: , cuyo dominio es el conjunto de los números naturales 
{ },...2,1=N y cuyo codominio es el conjunto de los números reales. 
 
Observación y definición 
 
 Si s es una sucesión y si Nn∈ , entonces el número real )(ns , lo denotaremos por ns y se llamará el 
−n ésimo termino de la sucesión. 
Ejemplo 
 Sea RNs →: la sucesión definida por 1)( +== nsns n , entonces 
El primer término es 2111 =+=s 
El segundo término es 3122 =+=s 
El noveno término es 10199 =+=s 
El término de orden 105 es 1061105105 =+=s , etc. 
Ejemplo 
 Sea RNs →: la sucesión definida por 1)( 2 +== nsns n , entonces 
El primer término es 21121 =+=s 
El segundo término es 51222 =+=s 
El noveno término es 821929 =+=s , etc. 
 
Progresión Aritmética 
Definición (Progresión Aritmética) 
 Una Progresión Aritmética (PA), es una sucesión en que cada término se obtiene sumándole al término 
anterior un número constante. 
Ejemplo 
La sucesión ,.....14,11,8,5,2 es una progresión aritmética, ya que cada término se obtiene del 
anterior sumándole el número 3 . 
Observación 
 Si el primer término de una Progresión Aritmética es a y el número constante que se suma a cada 
término sucesivo es d , entonces los términos de la PA son, 
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 2 
,...,)1(...,,2,, dnadnadadaa ⋅+⋅−+⋅++ 
...,,,...,,, 1321 +nn sssss 
Observación 
 De la observación anterior, se tiene que el −n ésimo término de una PA, está dado por 
dnasn ⋅−+= )1( 
Observación 
 El número constante d de una PA, se puede obtener haciendo la diferencia entre dos términos 
consecutivos de la PA, es decir, 
nn ssd −= +1 
Ejemplo 
 Dada la sucesión ...,13,9,5,1 Hallar el, a) décimo quinto término y b) el −n ésimo término. 
Solución 
 La sucesión es una PA, ya que: 
 41512 =−=− ss 
 45923 =−=− ss 
 491334 =−=− ss 
Por lo tanto, 1=a y 4=d 
Así, a) el décimo quinto término es 
574141)115(15 =⋅+=⋅−+= das 
b) el −n ésimo término es 
344)1(1)1( −=⋅−+=⋅−+= nndnasn 
Ejemplo (Depreciación) 
 Una empresa instala una máquina con costo inicial de $1.700. El valor de la máquina se deprecia 
anualmente en $150. Hallar una expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de 
deshecho es de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina? 
Solución 
El valor de la maquina al cabo del año 1 es 550.1150700.11 =−=s 
El valor de la máquina al cabo del año 2 es 400.1150550.115012 =−=−= ss 
El valor de la máquina al cabo del año 3 es 250.1150400.115023 =−=−= ss 
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 3 
Y así sucesivamente, 
Nótese que, 
150... 12312 −=−==−=− + nn ssssss 
Por lo tanto, la sucesión es una PA, con 550.11 == sa y 150−=d 
Así, el valor de la máquina al cabo de n años es, 
nndnasn ⋅−=−⋅−+=⋅−+= 150700.1)150()1(550.1)1( 
Si el valor de deshecho es $200, entonces 200=ns , es decir, 
10150700.1200 =⇒⋅−= nn 
Por lo tanto, la vida útil de la máquina es de 10 años. 
Ejemplo 
 Los pagos mensuales que Alicia hace en el banco por un crédito forman una PA. Si los pagos sexto y 
décimo son de $345 y $333, respectivamente, ¿de cuánto será su décimo quinto pago al banco? 
Solución 
 Como la sucesión de pagos forman una PA, entonces si a es el primer pago y d la cantidad constante 
que se agrega (o quita) a cada pago, entonces 6s y 10s , son respectivamente 
das
das
9333
5345
10
6
+==
+==
 
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se obtiene que 360=a y 3−=d 
Por lo tanto, el −n ésimo término (n-ésimo pago) es 
nndnasn 3363)3()1(360)1( −=−⋅−+=⋅−+= 
Por lo tanto, el décimo quinto pago es 
31815336315 =⋅−=s dólares 
 
Interés Simple 
Si P es una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del r⋅100 por ciento. En un año, la 
cantidad de interés I ganada está dado por, 
rPI ⋅= 
 Si la inversión es a interés simple, entonces en los años sucesivos el interés sólo se paga sobre el 
capital P y no sobre los montos de interés ganados. Es decir, al final de cada año, se agrega la cantidad 
constante rPI ⋅= , según esto, la sucesión de valores de la inversión al final de cada año es 
...,3,2,, IPIPIPP +++ 
la cual forma una PA, donde el primer término es P y la cantidad constante es rPI ⋅= 
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 4 
Por lo tanto, si tP es la inversión del monto inicial mas el Interés Simple, después de t años, entonces 
)1(. trPrPtPItPPt ⋅+⋅=⋅⋅+=⋅+= 
 
Ejemplo (Interés simple) 
 Se invierten $2.000 con interés simple a una tasa de interés anual del 12%. Hallar una expresión para el 
valor de la inversión t años después que se realizó. Calcular el valor de la inversión después de 6 años. 
Solución 
Tenemos que 000.2=P y 12,0
100
12
12100 ==⇒=⋅ rr 
Por lo tanto, la inversión del monto inicial mas el Interés Simple, después de t años, es 
tttrPPt ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅= 240000.2)12,01(000.2)1( 
Después de 6 años el valor de la inversión es, 
440.36240000.26 =⋅+=P dólares 
Observación (Suma de los primeros n términos de una PA) 
 La suma nS de los primeros n términos de una PA, donde a es el primer término y d es el término 
constante, está dada por 
[ ]dnanSn ⋅−+⋅= )1(22 
Ejemplo 
 Hallar la suma de los primeros 20 términos de la progresión L+++++ 1411852 
Solución 
 La sucesión K,14,11,8,5,2 es una PA, ya que 
,32512 =−=−ss 35823 =−=− ss , 381134 =−=− ss , 3111445 =−=− ss , 
Es decir, la diferencia de cualquier término de la sucesión y su antecesor es constante e igual a 3, o sea 3=d . 
Así, 21 == sa , 3=d y 20=n y la suma de los primeros 20 términos de la progresión es, 
[ ] 6103)120(22
2
20
20 =⋅−+⋅=S 
Ejemplo (Pago de un crédito) 
 El banco le ha dado un crédito al Sr. González por $5.000.000 a un interés mensual del 1%. Cada mes 
paga $200.000 al capital más el interés mensual del saldo pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el 
tiempo que esté pagando el crédito? 
Solución 
 La sucesión de pagos es: 
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 5 
1s = 200.000+(1% de 5.000.000)=$250.000 
2s = 200.000+(1% de 5.000.000-200.000=4.800.000)=$248.000 
3s = 200.000+(1% de 5.000.000-400.000=4.600.000)=$246.000 
4s =200.000+(1% de 5.000.000-600.000=4.400.000)=$244.000, y así sucesivamente. 
Nótese que la sucesión de pagos es una PA, con 000.2501 == sa , 000.2−=d 
Como se paga $200.000 al mes del capital, entonces el plazo total del crédito es 25
000.200
000.000.5 ==n meses. 
Por lo tanto, el total que se pagará al banco, es la suma 25S de los 25 primeros términos de la PA., es decir, 
[ ])000.2()125(000.2502
2
25
25 −⋅−+⋅⋅=S 
 [ ] 000.650.5$000.50000.502
2
25 =−⋅= 
Nótese que el interés pagado al banco es de $650.000 
Ejemplo 
 Un individuo pagará una deuda de $5.800.000 libre de interés, en cierto número de cuotas, cada una de 
ellas a partir de la segunda debe exceder a la anterior en $20.000. Si la primera cuota se de $100.000, calcular 
el número de cuotas que deberá cancelar para finiquitar la deuda. 
Solución 
La sucesión de pagos es: 
000.1001 =s 
000.120000.20000.1002 =+=s 
000.140000.20000.1203 =+=s , y así sucesivamente. 
La sucesión de pagos es una PA, con 000.100=a y 000.20=d 
Debemos determinar n de modo que la sumade pagos mensuales, nS sea el total de deuda $5.800.000. 
O sea, 
[ ] 000.800.5000.20)1(000.1002
2
=⋅−+⋅⋅= nnSn 
Simplificando la expresión anterior se obtiene la ecuación de segundo grado, 
058092 =−+ nn 
Las soluciones de esta ecuación son: 20=n o 29−=n 
Pero n no puede ser negativo ¿por qué? 
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 6 
Por lo tanto, 20=n 
Así, el individuo deberá cancelar 20 cuotas para finiquitar el crédito. 
 
Progresión Geométrica 
Definición (Progresión Geométrica) 
 Una Progresión Geométrica (PG), es una sucesión en que cada término se obtiene multiplicándole al 
término anterior un número constante, no nulo, llamado razón común de la PG. 
Observación 
 Para hallar el número constante o razón común de una PG, basta determinar el cuociente entre un 
término cualquiera y el término que le antecede. 
Ejemplo 
 La sucesión 2, 6, 18, 54, 162, … es una PG, ya que 
3...
54
162
18
54
6
18
2
6 ===== que es la cantidad constante que se multiplica a cada término de la PG para 
obtener el término siguiente. 
Ejemplo 
 La sucesión L,
24
1
,
12
1
,
6
1
,
3
1 −− es una PG, con razón común 
2
1− 
Observación 
 Si el primer término de una PG es a y la razón común es r , entonces los términos de la PG son: 
L,,,, 32 ararara
 
Observación 
 De la observación anterior se tiene que el n-ésimo termino ns de una PG, esta dado por 
1−⋅= nn ras 
Ejemplo 
 Hallar los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18, 54, 162,… 
Solución 
 La sucesión es una PG, con 2=a y 3=r , por lo tanto el quinto término es 
16232 155 =⋅=
−s y el n-ésimo es 132 −⋅= nns 
Ejemplo 
 Los términos cuarto y noveno de una PG son 
2
1
 y 
243
16
, respectivamente. Hallar el sexto término. 
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 7 
Solución 
 Debemos encontrar a y la razón común r . 
Tenemos que 
2
13
4 == ars y 243
168
9 == ars 
Dividiendo la segunda ecuación por la primera, se obtiene 
3
2
3
2
243
32
2
1
243
16
5
5
3
8
=⇒




==⇒÷= rr
ar
ar
 
Reemplazando este valor de r en la primera ecuación, se tiene que 
16
27
22
3
3
2
2
1
2
1
3
2
3
333
=
⋅
=




÷=⇒=




⋅ aa 
Por lo tanto, 
9
2
24316
3227
3
2
16
27
5
5
6 =⋅
⋅=




⋅=⋅= ras 
Es decir, el sexto término de la PG es 
9
2
 
Ejemplo (Depreciación) 
 Una máquina se compró en $10.000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. Hallar 
una expresión para el valor después de n años. Si el valor de deshecho es $3.000, ¿cuál es la vida efectiva de 
la máquina, es decir, el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que el valor de desecho? 
Solución 
 La sucesión de valores al final de cada año es, 
 Valor al final del año 1 es %20000.101 −=s de 000.8000.10 = 
 Valor al final del año 2 es %20000.82 −=s de 400.6000.8 = 
 Valor al final del año 3 es %20400.63 −=s de 120.5400.6 = 
 Valor al final del año 4 es %20120.54 −=s de 096.4120.5 = 
Y así sucesivamente, 
 La sucesión de valores al final de cada año es una PG, con 000.8=a y razón común 
5
4
8,0
000.8
400.6
400.6
120.5
120.5
096.4 =====r 
Por lo tanto, 
El valor de la máquina después de n años es 
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 8 
nnn
n
n ras 




⋅=




⋅⋅=




⋅=⋅=
−
−
5
4
000.10
5
4
4
5
000.8
5
4
000.8
1
1
 
Ahora debemos calcular n , tal que 000.3<ns , 
O sea, 
4,5
8,0log
3,0log
10
3
log
5
4
log
10
3
5
4
000.3
5
4
000.10 ≈<⇒<⋅⇒<





⇒<




⋅ nn
nn
 
Es decir, la vida efectiva de la máquina es de 6 años (es más de 5,4 años) 
Observación (Suma de los primeros n términos de una PG) 
 Si el primer término de una PG es a y la razón común es r , con 1≠r la suma nS de los primeros n 
términos de la PG, está dada por, 
r
ra
S
n
n −
−⋅=
1
)1(
 
Observación 
 En el caso en que 1=r , la PG se transforma en 
...+++ aaa 
Y la suma de los n primeros términos es 
aaaaSn ++++= ... ( n sumandos), cuya suma es anSn ⋅= 
Ejemplo 
 Calcular la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 2, -4, 8, -16, … 
Solución 
 La sucesión es una PG, con 2=a y 2−=r 
Por lo tanto, la suma de los 10 primeros términos es 
682
3
)024.11(2
)2(1
))2(1(2 10
10 −=
−⋅=
−−
−−⋅=S 
Ejemplo 
 Cada año una persona invierte $1.000 en un plan de ahorro del cual percibe intereses a una tasa fija del 
8% anual. ¿Cuál es el valor de este plan de ahorros al décimo año? (incluir el pago actual) 
Solución 
 Se tiene que 
Ahorro de $1.000 el 1er año, a 10 años de intereses es: 
1010 )08,1(000.1)08,01(000.1 ⋅=+⋅ 
Ahorro de $1.000 el 2do. Año, a 9 años de intereses es: 
9)08,1(000.1 ⋅ 
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 9 
Ahorro de $1.000 el 3er. Año, a 8 años de intereses es: 
8)08,1(000.1 ⋅ y así sucesivamente, 
Ahorro de $1.000 el 10mo. Año, a 1 años de intereses es: 
1)08,1(000.1 ⋅ , mas el ahorro del año actual de 
$1.000 
Por lo tanto, el total del plan de ahorro al décimo año, incluido el ahorro actual es la suma, 
000.1)08,1(000.1)08,1(000.1)08,1(000.1 1910 +⋅++⋅+⋅ L 
Escribiendo de menor a mayor los términos de la suma anterior, se observa que se trata de la suma de los 11 
primeros términos de una PG, con 000.1=a y razón común 08,1=r . 
Por lo tanto, 
625.16
8,0
)33,1(000.1
08,11
))08,1(1(000.1
1
)1( 1111
11 ≈−
−⋅=
−
−⋅=
−
−⋅=
r
ra
S dólares 
Observación (suma de una PG infinita) 
 La suma S de la progresión geométrica infinita, 
L++++= 32 arararaS
 
está dada por, 
r
a
S
−
=
1 , siempre que 11 <<− r 
Ejemplo 
 Hallar la suma de la sucesión infinita L+−+−
27
1
9
1
3
1
1 
Solución 
 Los términos de la sucesión infinita forman una PG infinita, con 1=a y 
3
1−=r 
Por lo tanto, la suma es 
4
3
3
1
1
1
1
=





−−
=
−
=
r
a
S 
 
 
 
 
 
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 10 
Matemáticas Financieras 
Algunas de las aplicaciones que estudiaremos de las progresiones a las matemáticas financieras son: 
Planes de Ahorro, Anualidades y Amortización. 
Planes de Ahorro 
 Antes de dar una definición formal, el tipo más simple de plan de ahorro es el que consiste en pagos 
regulares de una cantidad fija de dinero, que se realiza en el plan (por ejemplo, al término de cada mes o una 
vez al año) y el saldo invertido en el plan gana intereses a una tasa fija. 
Ejemplo 
 Cada mes una persona deposita $100 en un plan de ahorros que gana intereses al %
2
1
 mensual. 
Calcular el valor de sus ahorros: 
 a) Inmediatamente después de efectuar el vigésimo quinto depósito 
 b) Después de realizar su n -ésimo depósito. 
Solución 
a) El primer depósito estará en el plan de ahorros durante 24 meses y su valor será: 
24)005,1(100 ⋅ 
El segundo depósito estará en el plan de ahorros durante 23 meses y su valor será: 
23)005,1(100 ⋅ 
El tercer depósito estará en el plan de ahorros durante 22 meses y su valor será: 
22)005,1(100 ⋅ 
Y así sucesivamente, 
El penúltimo depósito (depósito 24) estará solo un mes en el plan de ahorros y su valor será: )005,1(100 ⋅ 
El último depósito, que es al inicio del mes 25, no gana intereses, por lo tanto su valor es: 100 
Por lo tanto, el valor total del plan de ahorros es la suma de todos estos valores, es decir, 
242 )005,1(100)005,1(100)005,1(100100 ⋅++⋅+⋅+= LS 
Esta es una suma de los términos de una PG, con 100=a , 005,1=r y 25=n 
Por lo tanto, 
( )
91,655.2
005,11
)005,11(100
1
)1( 25
25 =−
−⋅=
−
−⋅=
r
ra
S
n
 
Así, el plan de ahorros despuésde efectuar el vigésimo quinto depósito es de 91,655.2$ 
b) El valor de los ahorros después del n -ésimo depósito, es 
 
( ) [ ]1)005,1(000.20
005,11
)005,11(100
1
)1( −⋅=
−
−⋅=
−
−⋅= n
nn
n r
ra
S 
 
Siguiendo el mismo razonamiento del ejemplo anterior podemos determinar en general el valor de un 
Plan de Ahorros: 
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 11 
Observación (Plan de Ahorro) 
 Si una cantidad de dinero P se deposita cada período de tiempo (un mes, un trimestre, un año o 
cualquier otro período de tiempo de longitud fija) a una tasa de interés de i⋅100 por ciento en cada periodo, 
entonces el valor del Plan de Ahorros inmediatamente después que se hace el n -ésimo depósito es: 
12 )1()1()1( −+⋅+++⋅++⋅+= nn iPiPiPPS L 
Que es la suma de los n primeros términos de una PG, con Pa = y ir += 1 
Por lo tanto, 
[ ] [ ]1)1(1)1( −+⋅=−+⋅= nnn ii
P
i
iP
S
 
 
Anualidades 
Definición (anualidad) 
 Una anualidad es una sucesión de pagos de cierta cantidad fija de dinero que se realizan a intervalos 
regulares de tiempo, con interés compuesto. 
Observación (tipos de anualidades) 
Hay varios tipos de anualidades, siendo las más comunes la Anualidad ordinaria o vencida, la anualidad 
anticipada y la anualidad diferida. 
1. Anualidad ordinaria o vencida, es aquella en que los pagos se hacen al final de cada periodo de tiempo. 
 
 
 
Observación 
 El ejemplo anterior del plan de ahorros es una anualidad vencida de $100 mensuales 
Observación (Valor Futuro de una anualidad) 
 La expresión 
[ ] [ ]1)1(1)1( −+⋅=−+⋅= nnn ii
P
i
iP
S 
se llama el valor futuro después de n periodos de una anualidad vencida P por periodo, cuando la tasa es 
i⋅100 por ciento en cada periodo. 
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 12 
 La próxima observación da una expresión que nos permite calcular el valor A de una anualidad, en que 
los pagos de la anualidad son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante n períodos, 
empezando un periodo después que se adquiere la anualidad a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo. 
Observación 
 Si se adquiere una anualidad cuyo valor es A , en que los pagos de la anualidad sean iguales a P , 
pagados en intervalos de tiempo regulares durante n periodos, empezando un período después que se adquiere 
la anualidad a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces 
[ ]ni
i
P
A −+−= )1(1
 
 
Observación (Valor Presente de una anualidad vencida) 
El valor de A de la observación anterior se llama Valor Presente de la anualidad vencida P por 
periodo para n períodos. Es decir, el valor presente A de una anualidad P , es el valor que se debe pagar para 
adquirir dicha anualidad. 
Ejemplo 
 Una persona debe pagar al final de cada mes $200 por 5 años. Hallar el valor presente de la anualidad si 
la tasa aplicada es del 24% nominal (anual) capitalizable mensualmente. 
Solución 
 Se trata de una anualidad vencida, ya que el pago se hace al final de cada mes. 
Los datos son: 
 200=P , 5=n años 125 ⋅= meses 60= meses, 
tasa nominal %24= anual, entonces la tasa (efectiva) mensual es de %2
12
24 = , es decir, 02,0=i 
Por lo tanto, el valor presente de la anualidad es 
[ ]ni
i
P
A −+−= )1(1 
 
 [ ]60)02,01(1
02,0
200 −+−= 
 
 18,952.6= 
Es decir, esta persona debe adquirir una anualidad (préstamo inicial) de de $6.952,18, por lo cual 
pagará durante 60 meses a una tasa nominal de 24% anual, la cantidad fija de $200 mensuales. 
 
 
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 13 
Ejemplo 
 El señor Hernández al cumplir 65 años de edad, desea adquirir una anualidad que le pagará $5.000 cada 
año por los próximos 10 años, el primer pago lo recibirá al cumplir 66 años. Su compañía de Seguros le dará 
una tasa de interés anual del 8% en la inversión. ¿Cuánto deberá depositar inicialmente con el propósito de 
adquirir dicha anualidad? 
Solución 
Se trata de una anualidad vencida, ya que el primer pago lo recibirá al cumplir los 66 años, es decir, al 
final de los 65 años. 
Debemos determinar el valor presente A de dicha anualidad. 
Los datos son: 
 000.5=P , 10=n años y la tasa efectiva es 08,0=i 
Por lo tanto, el valor presente de la anualidad es 
[ ]ni
i
P
A −+−= )1(1 
[ ] 550.33)08,01(1
08,0
000.5 10 =+−= −A 
Es decir, el Sr. Hernández al cumplir los 65 años, deberá depositar en su compañía de seguros, la 
cantidad de $33.550, para poder recibir $5.000 anuales durante 10 años. 
Ejemplo 
Una persona se retira a la edad de 65 años y usa sus ahorros de toda la vida de $120.000 para adquirir 
una pensión anual. La compañía de seguros de vida le ofrece una tasa de interés del 6% y estima que su 
esperanza de vida es de 15 años. ¿De cuanto será la anualidad (esto es la pensión mensual máxima) que 
recibirá? 
Solución 
 Se trata de una anualidad vencida, ya que su primera pensión anual, será al final de los 65 años. 
En este caso debemos calcular el valor P de la anualidad. 
Los datos son: 
 000.120=A , 15=n años y la tasa 06,0=i 
Por lo tanto, 
[ ]
n
n
i
Ai
Pi
i
P
A −
−
+−
⋅=⇒+−=
)1(1
)1(1 
 
 53,355.12
)06.01(1
000.12006.0
15 =+−
⋅=⇒ −P 
Por lo tanto, esta persona recibirá una pensión anual de $12.355,53 durante 15 años. 
 
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2. Anualidad anticipada, es aquella en que los pagos se hacen al inicio de cada período. 
 
 
 
Observación (Valor Futuro de una anualidad anticipada) 
 La expresión 
[ ])1()1( 1 ii
i
P
S nn +−+=
+
 
 
[ ] )1(1)1( ii
i
P n +⋅−+=
 
se llama el valor futuro después de n periodos de una anualidad anticipada P por periodo, cuando la tasa es 
de i⋅100 por ciento en cada periodo. 
Observación (Valor Presente de una anualidad anticipada) 
Si se adquiere una anualidad anticipada cuyo Valor Presente es A , en que los pagos de la anualidad 
son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante n periodos, a una tasa de i⋅100 por 
ciento en cada periodo, entonces 
[ ]1)1()1( +−+−+= nii
i
P
A
 
 
[ ] )1()1(1 ii
i
P n +⋅+−= −
 
Ejemplo 
 Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorro al inicio de cada mes. Si dicha cuenta paga 1,3% 
de interés mensual capitalizable al mes. ¿Cuánto ha ahorrado al cabo de un año? 
Solución 
 Se trata de una anualidad anticipada, en la cual nos piden el valor futuro de dicha anualidad. 
Los datos son: 250=P , 013,0=i y 12=n meses 
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Por lo tanto, el valor futuro es, 
[ ])013,01()013,01(
013,0
250 112
12 +−+=
+S 
 4,265.3= 
Por lo tanto, al cabo de un año el trabajador ha ahorrado $3.265,4 
Ejemplo 
 Una empresa constructora desea comprar una máquina excavadora que vale $200.000, con un crédito 
del banco, mediante cuotas iguales mensuales anticipadas durante 5 años de plazo, con una tasa del 18% 
nominal, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de las cuotas? El banco le paga al contado al vendedor 
de la máquina. 
Solución 
 Se trata de una anualidad anticipada, en la cual nos piden el valor del pago o de las cuotas P . 
Los datos son: 
 Valor presente 000.200=A , 
 Tasa nominal 18%, capitalizable mensualmente 015,0
12
18,0 ==⇒ i 
 5 años 60125 =⋅=⇒ n meses 
Por lo tanto, debemos despejar P de la fórmula del valor presente de una anualidad anticipada. 
Es decir, 
[ ]160)015,01()015,01(
015,0
000.200 +−+−+= P7,003.5= 
Así, el valor de las cuotas que debe pagar al banco la empresa constructora es de $5.003,7 durante 5 años. 
 
3. Anualidad diferida, es aquella anualidad vencida en que el primer pago se hace a partir del segundo 
período de tiempo o posterior, en este caso, hay un período de gracia. Es decir, el primer pago se hace después 
de haber transcurrido un cierto número de períodos de tiempo 
 
 
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Observación (Valor Futuro de una anualidad diferida) 
 La expresión 
 
[ ]1)1(; −+= −knkn ii
P
S
 
se llama el valor futuro después de kn − periodos de una anualidad diferida P por periodo, cuando la tasa es 
de i⋅100 por ciento en cada periodo y k es el número de periodos diferidos o de gracia. 
 
 Observación (Valor Presente de una anualidad diferida) 
Si se adquiere una anualidad con k periodos diferidos o de gracia, cuyo Valor Presente es A , en que 
los pagos de la anualidad son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante kn − periodos, 
a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces 
[ ] kknkn iii
P
A −+− +⋅+−= )1()1(1; 
Ejemplo 
 Un productor agrícola obtiene un préstamo de $50.000 que deberá ser cancelado en 10 años, mediante 
cuotas iguales anuales, la primera dentro de 3 años. Determinar el valor de las cuotas si el banco le cobra una 
tasa de interés efectiva de 12%. 
Solución 
Se trata de una anualidad diferida con un periodo de gracia de 3 años. 
Debemos encontrar el valor de la cuota anual, dado el valor presente de la anualidad. 
Los datos son: 
Valor presente de la anualidad, 000.50=A 
Tres años de gracia o diferidos 2=⇒ k 
Tiempo de la anualidad 10= años 
Tasa efectiva de 12% 12,0=⇒ i 
Hay que despejar P de la fórmula del valor presente de una anualidad diferida 
Es decir, 
[ ] 2210 )12,01()12,01(1
12,0
000.50 −+− +⋅+−= P 
 7,625.12= 
Por lo tanto, el productor agrícola deberá pagar 7 cuotas anuales de $12.625,7 después de 3 años de 
otorgado el préstamo. 
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Ejemplo 
 Una empresa industrial estima que la utilidad anual que generará un proyecto es de $500.000 dólares a 
partir (o inicio) del año 3. La tasa de reinversión de los fondos liberados es de un 20% anual. El proyecto 
concluye al término de 18 años continuos de explotación. Determinar el monto de la reinversión en el año 18. 
Solución 
 Se trata de una anualidad diferida y nos piden el valor futuro de dicha anualidad. 
Los datos son: 
000.500=P 
2=k , las utilidades se generan a partir del año 3 (dos años de gracia) 
2,0=i 
20=n , dos años de gracia, más los 18 años continuos de explotación. 
 Hay que calcular knS − , de la fórmula del valor futuro de una anualidad diferida, es decir, 
[ ]1)2,01(
2.0
000.500 220
18220 −+==
−
− SS 
 [ ]1)2,1(000.500.2 18 −= 
2,333.058.64= 
Por lo tanto, el monto de la reinversión al finalizar el proyecto es de $64,058 millones de dólares. 
 
Amortización 
Definición (Amortización) 
 Una amortización es el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de 
pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes, en intervalos de tiempos iguales o diferentes. 
Observación 
 La amortización de una deuda presenta el mismo problema que el pago de una anualidad. Por lo tanto, 
los problemas de amortización se resuelven utilizando las fórmulas y resultados de las anualidades. 
Ejemplo 
 Una pequeña empresa solicitará un préstamo al banco, el cual fija una tasa de interés del 1% mensual y 
un plazo de 24 meses para pagar la deuda. La empresa se compromete a pagar la deuda con pagos mensuales 
de $1.500. ¿Cuánto es lo máximo que puede pedir al banco? 
Solución 
Este problema de amortización se puede considerar como una anualidad vencida, en la cual debemos 
calcular el valor presente A . 
Los datos son: 
 500.1=P , 01,0=i y 24=n 
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Reemplazando estos valores en la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos 
[ ]24)01.01(1
01.0
500.1 −+−=A 
08,865.31= 
Por lo tanto, la pequeña empresa puede pedir al banco máximo $31.865,08 dólares. 
Ejemplo 
 Un matrimonio tiene un ingreso anual de $45.000. El banco les dará un crédito hipotecario para adquirir 
su nueva vivienda, de modo que los pagos correspondan a la tercera parte de sus ingresos. Si la tasa de interés 
es del 1,2% mensual amortizado en 25 años. ¿Cuál es el valor máximo de la vivienda que desean adquirir?? 
Solución 
Este problema de amortización se puede considerar como una anualidad vencida, en la cual debemos 
calcular el valor presente A . 
Los datos son: 
250.13)12()000.45( =÷÷=P mensuales 
3001225 =⋅=n meses 
012,0=i mensual 
Reemplazando estos valores en la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos 
[ ]300)012,01(1
012,0
250.1 −+−=A 
 80,258.101= 
Por lo tanto, a lo mas pueden adquirir una vivienda cuyo valor se a de $101.258,80 dólares 
Ejemplo 
 Durante sus años en la universidad, un estudiante acumula préstamos de modo que al titularse, la 
deuda es de $8.000. El préstamo acumula intereses al 8% anual y debe liquidarlo en pagos únicos al término de 
cada año. ¿Cuánto deberá pagar el estudiante cada año con el propósito de saldar la deuda en 5 años? 
Solución 
 Este problema se puede considerar como una anualidad vencida, en que el valor presente 000.8=A y 
nos piden el valor de la cuota P . 
Los datos son: 
000.8=A , 8,0=i y 5=n (años) 
Reemplazando estos valores en la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos 
[ ]5)08,01(1
08,0
000.8 −+−= P 
 
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Por lo tanto, 
65,003.2
)08,1(1
640
5
=
−
= −P 
Así, el estudiante deberá pagar $2.003,65 dólares cada año, durante cinco años para pagar su deuda. 
Observación (Saldo o Capital insoluto de un crédito) 
 Si A es el capital actual o presente de un crédito, P es el valor de la cuota de la anualidad, entonces el 
Saldo o Capital Insoluto del crédito, después del k -ésimo pago está dado por, 






−
−





−
=





− pagoésimokelhasta
realizadospagoslosdeSuma
pagoésimokdelfinalal
deudaladeTotal
pagoésimokdeldespues
insolutoCapitaloSaldo
 
 k
k SiA −+⋅= )1( 
Por lo tanto, 
[ ]1)1()1( −+−+⋅=





−
kk i
i
P
iA
pagoésimokdeldespues
insolutoCapitaloSaldo
 
 
Ejemplo (Saldo o Capital insoluto de un crédito) 
 Una persona adquiere el día de hoy un crédito de $50.000 a una tasa del 24% anual capitalizable 
trimestralmente que amortiza mediante 4 pagos cuatrimestrales iguales, el primero de los cuales vence dentro 
de 3 meses ¿de cuánto será cada pago?. Hacer una tabla de amortización de la deuda, que incluya, N° cuota, 
Valor de la cuota, Interés del Saldo, Amortización y Saldo o Capital Insoluto. 
Solución 
Datos: 
000.50=A 
%24=i anual capitalizable trimestralmente 06,04/24,0 ==⇒ i 
4=n trimestres 
Entonces, el valor de la cuota es, 
[ ] 57,429.14$)06,1(1
06,0
000.50 4 =⇒−= − PP 
Por lo tanto, 
El saldo del crédito después del primer pago es, 
[ ] 43,570.3857.429.14000.531)06,1(
06,0
57,429.14
)06,01(000.50 11 =−=−⋅−+⋅= 
El saldo del crédito después del segundo pago es, 
[ ] 09,455.2691,724.29180.561)06,1(
06,0
57,429.14
)06,01(000.50 22 =−=−⋅−+⋅= 
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El saldo del crédito después del tercer pago es, 
[ ] 09,455.2691,724.298,550.591)06,1(
06,0
57,429.14
)06,01(000.50 33 =−=−⋅−+⋅= 
El saldo del crédito después del cuarto pago es, 
[ ] 085.6312385,123.631)06,1(
06,0
57,429.14
)06,01(000.50 44 =−=−⋅−+⋅= 
Esta información se puede resumir en la siguiente tabla de amortización del crédito, 
 
Monto del Crédito Hipotecario 50.000,00 
tasa cuatrimestral 0,06 
Plazo 4 cuatrimestres 
Cuota cuatrimestral 14.429,57 
 
N° Cuota 
Pago del 
periodo Intereses Amortización Saldo 
0 
 
0,00 0,00 0,00 50.000,00 
1 
 
14.429,57 3.000,00 11.429,57 38.570,43 
2 
 
14.429,57 2.314,23 12.115,34 26.455,09 
3 
 
14.429,57 1.587,31 12.842,26 13.612,82 
4 
 
14.429,57 816,77 13.612,82 0,00 
 
TOTALES 57.718,28 7.718,31 50.000,00 
 
 
 
El interés se obtiene, aplicando la tasa del crédito al saldo del periodo anterior. 
La amortización es la diferencia entre el Pago y los intereses de un mismo periodo. 
El Saldo o Capital Insoluto, es la diferencia entre el saldo del periodo anterior y la amortización del periodo 
actual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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