Apuntes FIV - OptFisica

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Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 26 
APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 5 
1.3 ÓPTICA FÍSICA 
1.3.1 INTRODUCCIÓN 
Vamos a considerar ahora algunos aspectos de la óptica que no pueden ser interpretados desde el punto de vista de 
la óptica geométrica. Dijimos ya que el formalismo de rayos era una simplificación, modelábamos las ondas por las 
líneas perpendiculares a los frentes de onda. Es una simplificación porque, por ejemplo, los rayos no tienen 
información de en qué “parte” de la onda estoy, si en un máximo o en un mínimo o en algún lugar intermedio. 
Cuando superponemos dos o más ondas, la onda total dependerá fuertemente de las fases relativas de las ondas 
que estamos superponiendo: No será lo mismo superponer dos ondas que oscilan de modos que ambas tienen el 
máximo en el mismo lugar y al mismo tiempo que superponer dos ondas que cuando una está en el máximo la otra 
está en el mínimo. 
Antes de considerar el problema de la superposición de dos o más ondas, repasemos algunos conceptos de las ondas 
electromagnéticas. 
Las ecuaciones de Maxwell pueden ser combinadas para llegar a la ecuación de ondas para el campo eléctrico, 
ecuación (1.1), que se reproduce acá por comodidad: 
 
2
2
2
1 E
E
t

 =

 (1.51) 
Donde 1/ v = es la velocidad de la luz en el medio. 
Una solución para esta ecuación es por ejemplo una onda armónica plana que se propaga en la dirección k y cuyo 
campo oscila en una dirección k⊥ perpendicular a la dirección de propagación: 
 0 0
ˆ( , ) sin( · )E r t E k r t k  ⊥= − + (1.52) 
0E es la amplitud de la onda, 0( , )r t k r t  =  − + es la fase de la onda y 0 su fase inicial. 
Una onda esférica solución de (1.51) puede escribirse como 
 0
0( , ) sin( · )
E
E r t k r t r
r
  ⊥= − + (1.53) 
que es una onda esférica saliente y que tiene como diferencia principal con (1.52) que su amplitud disminuye a 
medida que se propaga, lo que está vinculado a la conservación de la energía. 
Consideremos el caso de una onda plana que se propaga en la dirección positiva del eje X, con su campo eléctrico 
oscilando en el eje Y 
 0 0 ˆ( , ) sin( )E x t E kx t y = − + (1.54) 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 27 
Aplicando la tercera ecuación de Maxwell (¡hacerlo!) podemos obtener la expresión del campo magnético 
 0 0 ˆ( , ) sin( )B x t B kx t z = − + (1.55) 
Donde sale también que 
 0
0
E
B
c
= (1.56) 
La densidad de energía  (energía por unidad de volumen) asociada a los campos eléctrico y magnético estaba dada 
por 
 
2 2
0
0
2 2
0 2
0
2 2 2
0 0 0
1 1 1
2 2
1 1 1
2 2
1 1
2 2
E B
E B
E E
c
E E E




  
 =  + 
= +
= +
= + =
 (1.57) 
Esa energía está viajando a una velocidad c en el vacío. Definiendo entonces la intensidad de una onda 
electromagnética como la energía por unidad de área y tiempo que atraviesa una superficie dada, se puede expresar 
entonces como 
 
2
0I c c E=  = (1.58) 
Para el caso de una onda plana armónica como la representada en las ecuaciones (1.54) y (1.55) nos queda 
 
2 2
0 0 0sin ( )I c E kx t  = − + (1.59) 
El ojo humano es sensible a la intensidad de la luz, ¿por qué entonces no vemos las fluctuaciones de intensidad 
implícitas en (1.59)? ¡Porque esas fluctuaciones tienen una frecuencia del orden de 1014 a 1015 s-1 para luz en el 
espectro visible! ¡No hay detector que pueda seguir ese ritmo! Es, por lo tanto, más conveniente definir una 
intensidad promedio 
 
2 2
0 0 0
2
0 0
sin ( )
1
2
I c E kx t
I c E
  

= − +
=
 (1.60) 
Donde el promedio en esta última expresión se hizo en el tiempo, durante un intervalo 2 /T  = . 
La intensidad está claramente relacionada con el vector de Poynting S que, además de la cantidad de energía por 
unidad de área y tiempo que lleva la onda e.m., indica la dirección en la que fluye la energía: 
 
2
0S c E B=  (1.61) 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 28 
y por lo tanto 
 I S= (1.62) 
1.3.2 INTERFERENCIA 
Ya que, como dijimos, ningún ojo ni equipamiento electrónico es capaz de seguir la frecuencia de las fluctuaciones 
de la intensidad (ecuación (1.59)) ¿Cómo se hace entonces para percibir el carácter ondulatorio de la luz? Mediante 
la superposición de ondas, obteniendo lo que se conoce como el fenómeno de interferencia. 
Recordemos la superposición de ondas mecánicas. La Figura 24 muestra una fotografía del experimento que 
realizaron en física 2, al superponer las ondas generadas por dos fuentes puntuales que oscilaban de la misma forma 
en un recipiente con agua. Se nota que cuando ambas ondas se superponen en un máximo (más claro en la foto) la 
amplitud total es mayor y que cuando se superponen ambas en un mínimo (negro) la foto aparece más oscura 
(interferencia constructiva) y que cuando se superponen una zona oscura de una onda con la clara de otra la zona 
aparece gris (interferencia destructiva). 
 
Figura 24. Superposición de dos ondas sobre una superficie de agua. 
Algunos han disfrutado de un experimento similar con ondas de sonido; las dos fuentes “puntuales” son ahora dos 
parlantes y el medio que se propaga es el aire. Si ambos parlantes son alimentados con la misma señal senoidal, las 
ondas de presión (el sonido) generan un patrón similar, con una longitud de onda del orden del metro. 
Si utilizamos ondas de luz deberíamos poder generar el mismo patrón de interferencia, pero hay una dificultad 
adicional: ¡es muy difícil tener dos fuentes puntuales de luz que emitan de manera sincronizada! Como vimos en los 
dos ejemplos anteriores, es relativamente sencillo lograr dos fuentes puntuales o casi puntuales de ondas mecánicas 
que generen ondas con la misma frecuencia y longitud de onda, pero no es fácil en el caso de ondas 
electromagnéticas en el visible. Recordemos que siempre la emisión de luz viene de electrones que realizan 
transiciones entre dos estados de energía distintos en un átomo (o un conjunto de átomos), es por eso que no es 
sencillo conseguir que dos átomos emitan luz al unísono (o deberíamos decir más propiamente: al unífoto). Cuando 
trabajamos con luz, por lo tanto se define el concepto de coherencia para indicar cuándo contamos con dos ondas 
que tengan esta propiedad tan sencilla de obtener en mecánica y tan difícil de conseguir en óptica. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=XvnrBLiTnUKRLM&tbnid=dj4095y0AtndpM:&ved=&url=http://www.carola.cl/?m%3D200706&ei=068TUrqPKMGmigLX0YCYDw&bvm=bv.50952593,d.cGE&psig=AFQjCNFSrq3Zq5YFxAyZ4P5aD7U5dY-43g&ust=1377108112608473
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 29 
Coherencia: diremos que dos ondas son coherentes cuando la diferencia de fase entre 
dos puntos cualesquiera de ellas se mantiene constante en el tiempo. 
Esta definición implica evidentemente que las ondas deben tener la misma frecuencia (y por lo tanto la misma 
longitud de onda), pero con eso no alcanza. Si las ondas no tienen la misma frecuencia o si tienen la misma 
frecuencia pero sus diferencias de fase varían aleatoriamente en el tiempo, entonces se dice que las ondas son 
incoherentes. 
Experiencia de Young 
Una forma simple de conseguir dos fuentes coherentes es utilizando el esquema usado por Thomas Young (1773-
1829), que se muestra en la Figura 25. 
 
Figura 25. Interferencia entre dos fuentes de luz coherente. 
Una fuente de luz 
0S (que puede ser por ejemplo una ranura en una pantalla) ilumina una segunda pantalla que 
tiene dos ranuras paralelas. Haciendo uso del principio de Huygens, que dice que cada punto del frente de ondas se 
puede considerar como un emisor secundario de ondas, a la salida de la segunda pantalla tenemos entonces dos 
fuentes de luz coherentes, que producirán sobre la última pantalla la figura de interferencia. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=VtVd1S54xs3itM&tbnid=hWS5IPuGqIRuRM:&ved=0CAUQjRw&url=http://varinia.es/blog/2011/03/28/experimento-de-la-doble-rendija-de-young/&ei=xL0TUti8DoKbiALb5IDYCw&psig=AFQjCNFN5G6UMUAix67dwKKOdr2QI9nz2w&ust=1377111698715856Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 30 
 
Figura 26. Ilustración de las diferencias de fase de las dos ondas superpuestas en función de 
la diferencia de caminos de acuerdo al punto de observación sobre la pantalla. 
Consideremos la Figura 26: En aquellos lugares de la pantalla donde las ondas lleguen en fase se producirá 
interferencia constructiva (y se corresponderá con una zona de máxima intensidad en la pantalla) y en aquellos 
lugares donde lleguen en oposición de fase la interferencia será destructiva (y se corresponderá con una zona de 
oscuridad en la pantalla). 
Hagamos entonces las cuentas correspondientes a esta situación. Sea 
1E el campo debido a la fuente 1S en un 
punto P de la pantalla y 2E el campo debido a 2S en el mismo punto, tendremos: 
 
1
2
1 0 1
2 0 2
2 1 2 1
0
2 1 2 1
0
" " " "
cos( )
cos( )
_______________________
2 cos cos
2 2
2 cos cos
2 2
T
Amplitud nuevaonda
E E kr t
E E kr t
E E
r r r r
E k k t





= −
+
= −
 −  +   
=    
   
− +   
= −   
   
 (1.63) 
en donde hemos llamado 
ir a la distancia entre la fuente iS (ver Figura 27) y el punto de observación sobre la 
pantalla. Hemos supuesto que ambas ondas tienen la misma amplitud 0E y que sus vectores de campo eléctrico 
oscilan en la misma dirección (que se ha omitido en la ecuación). 
La superposición es una nueva onda que se propaga en promedio como las dos ondas anteriores que la constituyen 
pero vemos claramente los efectos de la interferencia en la nueva “Amplitud” de la onda resultante que depende del 
punto de observación (a través de la diferencia de caminos 1r y 2r ). En aquellos puntos que 2 1r r− sea tal que el 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=XFROoibX1rfjlM&tbnid=mIg0HHecd1atXM:&ved=0CAUQjRw&url=http://experimentoyoung.blogspot.com/&ei=474TUoqiG6P_igKtoYDgCw&psig=AFQjCNFN5G6UMUAix67dwKKOdr2QI9nz2w&ust=1377111698715856
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 31 
coseno se anule, habrá interferencia destructiva, y en los lugares donde 
2 1r r− sea tal que el coseno sea 1 ó -1, 
entonces la intensidad será máxima y tendremos interferencia constructiva. Escribámoslo formalmente: 
Interferencia constructiva 
Ocurrirá cuando 
 
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
cos 1ó -1
2
2 2
2
r r
k
r r
k n kr kr n n
r r r n
  

− 
= 
 
−
=  − =   =  − =
 = − =
 (1.64) 
Que se corresponde con la idea intuitiva de que la diferencia de caminos recorridos por las ondas sea igual a un 
múltiplo de la longitud de onda o que la diferencia de fase entre las ondas sea un múltiplo de 2 . 
Interferencia destructiva 
Ocurrirá cuando: 
 
 
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
cos 0
2
(2 1) (2 1) (2 1)
2 2
(2 1)
2
r r
k
r r
k n kr kr n n
r r r n

 

− 
= 
 
−
= −  − = −   =  − = −
 = − = −
 (1.65) 
que, de nuevo, se corresponde con lo que se espera: la interferencia es destructiva cuando las ondas llegan en 
contrafase al punto de observación de la pantalla, es decir, cuando el desfasaje de las ondas es un múltiplo impar de 
 , o equivalentemente, cuando la diferencia de caminos recorridos por las ondas sea igual a un múltiplo impar de 
media longitud de onda. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 32 
 
Figura 27. Notación utilizada en la descripción del experimento de Young 
 
La diferencia de caminos 
2 1r r r = − (ver Figura 27) para un punto de observación P sobre una pantalla alejada se 
puede aproximar por 
 sinr d  (1.66) 
Por lo tanto la interferencia constructiva ocurrirá cuando 
 sind n = (1.67) 
y la interferencia destructiva cuando 
 sin (2 1)
2
d n

 = − (1.68) 
La expresión para la intensidad media I sobre la pantalla la podemos expresar entonces combinando (1.63) con 
(1.60): 
 
2
0 2 1
0
2
20 0
2 2
0 0
2 cos
2 2
sin
4cos
2 2
sin
4 cos 4 cos
2 2
c r r
I E k
c E kd
kd kyd
I I I
D

 

−  
=   
  
 
=  
 
   
= =   
   
 (1.69) 
Donde 0I es la intensidad media sobre la pantalla debida a una sola fuente. La intensidad media total entonces es 
nula en los lugares donde la interferencia es destructiva y es ¡cuatro veces! la intensidad de cada fuente en los 
lugares donde la interferencia es constructiva. La energía por supuesto se conserva y si se promedia espacialmente 
sobre la pantalla obtenemos una energía promedio de 02I , como debe ser. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 33 
Hay otras formas, además de la experiencia de Young de conseguir interferencia de dos ondas coherentes, aquí 
mostramos dos de ellas: 
Interferómetro de Michelson 
 
Figura 28. Esquema del interferómetro de Michelson. 
Vamos a ver su importancia histórica cuando veamos la teoría especial de la relatividad, ahora nos basta con entender 
que el haz se divide en el divisor de haz (espejo semiplateado), una parte recorre el camino “horizontal” de ida y vuelta 
y la otra parte del haz recorre el camino “vertical”. Si ambos caminos son iguales la interferencia será constructiva, si 
a partir de ese punto uno de los espejos se desplaza en / 4 , entonces ahora la interferencia será destructiva. 
Películas delgadas 
 
Figura 29. Interferencia de los dos frentes de onda que se reflejan en las superficies de una 
película delgada. 
El desfasaje (cuando el haz incidente I incide normalmente) entre las ondas reflejadas representadas por los rayos 
A y B en un punto arbitrario de observación estará dado por: 
 
0 02 (¿ ?) [ (¿ ?)]
B A
nk d
  
   
 = −
= + + − +
 (1.70) 
Donde vamos a aclarar qué significan nk y lo que aparece entre paréntesis con signos de pregunta. 
En primer lugar nk es el vector de onda dentro del medio con índice n , es decir nk k n=  , pues n
n

 = . 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=7ElPktFrWyUolM&tbnid=yiCQAjnc2LW6SM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.um.es/leq/laser/Ch-10/F10s0p4.htm&ei=sBAUUpmkIebfiALF1YHgBg&psig=AFQjCNEvBOQ_-DFOIinBkoNgTNDa-C-h3A&ust=1377132951994797
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=hY31xAj-w5G6JM&tbnid=UPjkP0QNwZwwVM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.cienciaenaccion.org/es/2013/experimento-186/iridiscencias-caseras.html&ei=ABgUUsHSHqTziQKWxoCICQ&psig=AFQjCNE0uuxJxWj9-5ZJN-dgJBFtKoz8_g&ust=1377134503889604
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 34 
Lo que está entre paréntesis con signo de pregunta indica que hay que tener en cuenta que puede haber saltos de 
fase en  en las reflexiones. El concepto es similar al de las ondas mecánicas: cuando una onda que se propaga por 
ejemplo en una cuerda llega a un lugar donde la densidad de la cuerda cambia, parte de la onda se reflejará. Si el 
medio hacia donde va la onda es más denso que el medio desde donde viene, la onda reflejada se invierte (o lo que 
es lo mismo, la fase de la onda reflejada “salta” en  ). Si, en cambio, el medio hacia donde va la onda es menos 
denso que el medio de donde procede la onda se refleja sin cambiar su fase. Aquí pasa lo mismo reemplazando 
“mayor densidad” por “mayor índice de refracción”. 
La fase de la onda reflejada 
A será igual a una fase 0 asociada al camino recorrido hasta el punto de observación 
más una fase extra de  si es que 
1n n . Si, en cambio, 1n n , entonces 0A = . 
La fase de la onda reflejada 
B será igual a la fase 0 asociada al camino recorrido que coincide con el de la onda 
A , más la fase asociada al camino extra que recorre en el medio de índice n , esto es, 2d k n más una fase extra 
de  si es que 
2n n . Si, en cambio, 2n n , entonces 0 2B d k n = + . 
Como siempre que interfieren dos ondas, una vez determinadas las diferencias de fase entre las ondas, la 
interferencia será constructiva si 
 2B A n    = − = (1.71) 
Y será destructiva si 
 (2 1)BA n    = − = − (1.72) 
Tratamiento Fasorial 
En el caso de sumar sólo dos ondas, nos basta la relación trigonométrica que ya usamos en (1.63): 
cos cos 2cos[( ) / 2]cos[( ) / 2]     + = − + , pero si tenemos que sumar más ondas, la cosa se 
complica. Una manera sencilla y elegante de tratar la suma de ondas es el tratamiento de fasores. 
Podemos pensar una onda electromagnética como la parte real de un número complejo, sabiendo que: 
 cos Re( )ie  = (1.73) 
De esta forma 
 1
1
0 0 0
( , )
( , ) cos( ) Re i
x t
E x t E kx t E e  

 = − + =   (1.74) 
Así, un fasor, es una representación compleja del campo electromagnético en un punto y un instante dado, esto es, 
un número complejo, en donde su módulo es la amplitud del campo y su ángulo es la fase de la onda. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 35 
 
Figura 30. Fasor asociado al campo eléctrico. 
Si se quiere superponer varias ondas, por ejemplo 
 
1 0 1
2 0 2
3 0 3
( , ) cos( )
( , ) cos( )
( , ) cos( )
________________________
?T
E x t E kx t
E x t E kx t
E x t E kx t
E
 
 
 
= − +
+ = − +
= − + (1.75) 
la cuenta se vuelve más compleja, pero el concepto de la suma en el plano complejo es sencillo 
 
Figura 31. Suma de fasores 
El campo total 
TE es la parte real del fasor asociado TE que es la suma de los números complejos asociados 
1 2 3,E E y E , ya que la parte real de la suma de varios números complejos es igual a la suma de sus partes reales. 
 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 36 
APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 6 
1.3.3 INTERFERENCIA CON N FUENTES COHERENTES EQUIESPACIADAS 
Extendamos ahora la interferencia que hemos visto para dos fuentes al caso de un número arbitrario N de fuentes 
coherentes, todas de la misma amplitud 
0E espaciadas cada una con la siguiente en una distancia d , como 
muestra la Figura 32 
 
Figura 32 . Interferencia de N fuentes en un punto de observación P 
Si la pantalla está lo suficientemente lejos (muchísimo más de lo que se ve en la figura) todos los rayos que van 
desde c/u de las fuentes hasta el punto de observación P tendrán el mismo ángulo  con respecto a la dirección 
horizontal de la figura. El campo total 
TE en P estará dado por la contribución de todos los campos en P debidos 
a cada una de las fuentes 
 
1 2 3( ) ...T NE E E E E = + + + + (1.76) 
Esta suma puede resultar complicada tratando de evaluarla usando identidades trigonométricas, pero resulta 
relativamente sencilla si utilizamos el concepto de fasores. 
El fasor correspondiente al campo debido a la primera fuente en el punto P , en un instante t , tendrá alguna 
dirección particular, que no será relevante. Lo que sí es relevante, es que el fasor correspondiente al campo de la 
fuente 2 en el mismo punto y en el mismo instante, sólo diferirá del fasor de la fuente 1 en que su fase estará 
avanzada un poco más, debido a que recorre un camino un poco mayor. Más precisamente la diferencia de caminos 
es 2 1 sinr r r d = − = y por lo tanto la diferencia de fases será sink r kd  = = . Exactamente lo mismo 
pasa entre las fuentes 2 y 3; 3 y 4; y así sucesivamente hasta 1 y N N− . Por lo tanto el diagrama de fasores será 
como se muestra en la Figura 33. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 37 
 
Figura 33. Diagrama fasorial en el punto P, en el instante t, debido a la contribución de 4 
fuentes. 
La amplitud del campo total 
TE y la de cada fuente 0E están entonces relacionados de la siguiente forma 
 
( )
0
2 sin / 2
2 sin( / 2)
TE R
E R


= 
=
 (1.77) 
Dividiéndolas se obtiene 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
sin / 2
sin / 2
sin / 2
sin / 2
sin sin / 2
sin sin / 2
TE E
N
E
Nkd
E
kd







=
=
=
 (1.78) 
La intensidad media en el punto de observación ( )P  la obtenemos usando (1.60) 
 
( )
( )
( )
( )
22
0 0
2
2
0 2
sin sin / 2
( )
2 sin sin / 2
sin sin / 2
( )
sin sin / 2
Nkdc E
I
kd
Nkd
I I
kd






=
=
 (1.79) 
Donde 
0I es la intensidad media en el punto P debido a una única fuente. Por supuesto, si tomamos 2N = en 
(1.79) deberíamos obtener la expresión (1.69) que dedujimos de otra forma en el experimento de Young. 
Veamos ahora cómo es esta función. 
Máximos: 
La intensidad será máxima cuando todos los fasores estén alineados, y esto equivale a un desfasaje entre fasores 
consecutivos  igual a 2 o un múltiplo de 2 . 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 38 
 
2
sin 2
sin entero
máx
máx
máx
n
kd n
n n
d
 
 


=
=
=
 (1.80) 
Equivalentemente se puede ver lo mismo analíticamente de la expresión (1.79). 
Mínimos: 
La intensidad media será igual a cero cuando el numerador sea cero, pero siempre que no se haga cero al mismo 
tiempo el denominador. 
 
sin
2
sin entero, no múltiplo de 
mín
mín
Nkd
m
m
m N
N d




=
=
 (1.81) 
Desde el punto de vista de los fasores, si los N fasores forman un polígono regular de lado N , la suma 
evidentemente dará cero. Esto ocurrirá cuando 2 /m N = siempre que m no sea un múltiplo de N . Esta 
condición lleva exactamente al mismo resultado que (1.81). 
 
Figura 34. Distribución de intensidad sobre una pantalla producida por 5 fuentes coherentes 
equiespaciadas. 
La Figura 34, muestra cómo se vería la distribución de intensidades cuando 5N = . Es importante notar que si uno 
toma el valor de la intensidad en un máximo se obtiene 
 
2
0máx
I N I= (1.82) 
Por lo que la distribución de la energía es cada vez más estrecha a medida que se aumenta el número de fuentes. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 39 
Red de Difracción 
Cuando el número N de fuentes coherentes o de ranuras iluminadas por una haz plano es muy grande, la Figura 
34 se vuelve esencialmente una distribución de los máximos principales y los máximos secundarios se hacen 
indistinguibles. A este conjunto de ranuras muy grande se lo llama red de difracción (¡aunque sería más propio 
llamarlo red de interferencia! Vamos a ver la difracción en la siguiente sección). 
En la Figura 35 se muestra cómo se vería sobre una pantalla lejana el patrón de intensidades producido por una red 
de difracción que se ilumina con 2 longitudes de onda distintas. 
 
Figura 35. Interferencia producida por una red de difracción con dos longitudes de onda 
distintas. 
Por lo tanto, una de las aplicaciones de las redes de difracción es el poder resolver las distintas longitudes de onda 
en haz del que se pretende estudiar su composición. Si las longitudes de onda son muy similares, se necesitará ir a 
órdenes de difracción altos o tener una red con mayor número de ranuras. 
Vamos a decir que podemos resolver dos máximos de interferencia cuando la separación entre ellos sea al menos la 
mitad del ancho del pico4. En nuestro caso, la mitad del ancho del pico coincide con la separación entre mínimos 
consecutivos, por lo tanto, diremos que podemos resolver dos longitudes de onda  y '  = +  cuando: 
 
mitad del separación entre máximos
ancho del pico
'
n n
d d Nd
  
− = (1.83) 
Operando llegamos a 
 poder separador o poder de resoluciónnN


=

 (1.84) 
Esta última cantidad nos indica la capacidad de una red para resolver/separar/distinguir dos longitudes de onda. 
 
 
 
4 Este criterio se denomina Criterio de Rayleigh 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 40 
APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 7 
1.3.4 DIFRACCIÓN 
Además de la interferencia, otra forma en la que se manifiesta el carácter ondulatorio de la luz es el fenómeno 
conocido como difracción. Cuando una onda plana pasa por una abertura suficientemente chica (ver Figura 36), la 
energía no seguirá fluyendo en la misma dirección que venía, sino que se esparcirá (o difractará) dando lugar a una 
figurade intensidades que no es la que se esperaría de la sombra geométrica de la abertura, eso es la difracción. 
 
Figura 36. Difracción de una onda plana al atravesar una abertura. 
Una forma sencilla de tratarla matemáticamente es usando el modelo fasorial, como hicimos en el caso de la 
interferencia de N fuentes, sólo que ahora debemos sumar sobre un número infinito de fuentes puntuales. 
Consideremos entonces el caso de la Figura 37. 
 
Figura 37. Difracción por una abertura de ancho a, visto como una interferencia de un 
número muy grande de ondas. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=zrwgusuNGTA9uM&tbnid=653GV-668M8yvM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.smkbud4.edu.my/Data/sites/vschool/phy/wave/diffraction.htm&ei=uhgdUti-GsL1iwKywoCABg&bvm=bv.51470160,d.cGE&psig=AFQjCNHn9hm41JQSpF4eUEscNTUb0dnfUQ&ust=1377724967129173
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 41 
En el punto P a una distancia muy grande de la abertura5 se juntarán los rayos que dejaron la abertura con el 
ángulo  . La diferencia de fase  entre dos de esos rayos separados en la abertura por una distancia x va a 
ser, como se muestra en la Figura 37, igual a 
 sink x  = (1.85) 
El número total de “fuentes” que nos imaginamos en la abertura debe ser tal que N x a = . El diagrama fasorial 
en el punto de observación P en un instante dado será entonces como muestra la Figura 38. 
 
Figura 38. Diagrama fasorial para la difracción por una abertura. 
Como en la sección anterior, entonces podemos escribir el campo total 
TE en el punto P y el campo de cada una 
de las “fuentes” E 
 
( )
( )
2 sin / 2
2 sin / 2
TE R
E R

 
=
=
 (1.86) 
Dividiendo ambas ecuaciones y despejando 
TE queda 
 
( )
( )
sin / 2
sin / 2
TE E



= (1.87) 
Si el campo total en la abertura es 
0E entonces el valor del campo de cada fuente será 0 /E E x a = . Además 
podemos reemplazar en el denominador de (1.87) sin( / 2) / 2  , por lo que obtenemos 
 
( )
( )
( )
0
0
0
sin / 2
/ 2
sin sin / 2
sin / 2
sin sin / 2
sin / 2
T
T
E x
E
a
kaE x
a k x
ka
E E
ka



 


=
=
=
 (1.88) 
Por lo tanto la intensidad queda 
 
5 La difracción a una distancia lejana de la abertura se suele llamar difracción de Fraunhofer. 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 42 
 
( )
( )
2
2
0 0 2
2
0 2
sin sin / 21
2 ( sin / 2)
sin sin / 2
( )
( sin / 2)
ka
I c E
ka
ka
I I
ka






=
=
 (1.89) 
 La Figura 39 muestra esta función. 
 
 
Figura 39. Distribución de intensidades en función del ángulo de observación debida a la 
difracción por una ranura de ancho a 
 
El denominador se anula para sin 0 = que a la vez anula el numerador, de modo que en el límite 
 
0( 0)I I = = (1.90) 
Los mínimos se obtienen cuando el numerador se anula: 
 
 
sin
2
sin {0}
mín
mín
ka
n
n n
a




=
=  −
 (1.91) 
 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 43 
1.3.5 INTERFERENCIA + DIFRACCIÓN 
Incluyamos el efecto de la difracción al caso de la interferencia con N fuentes. Podemos considerar ahora que el 
fasor correspondiente a una de las ranuras (ya no puntual, sino de ancho a) será como el del campo 
TE la Figura 
38. Sólo debemos sumar N de esos fasores como en la Figura 33, de modo que nos queda la expresión (1.79), pero 
ahora 
0I es la intensidad debida a la difracción por una ranura de ancho a , tal como lo describe (1.89). Juntando 
estas dos ecuaciones, obtenemos: 
 
( )
( )
( )
( )
2 2
0 2 2
sin sin / 2 sin sin / 2
( )
sin sin / 2sin / 2
ka Nkd
I I
kdka
 


= (1.92) 
El patrón de intensidades en función del ángulo de observación  será el gráfico debido a la interferencia de N 
fuentes (Figura 34) modulado por la difracción (Figura 39). La 
 
Figura 40. Intensidad en función del ángulo de observación debido a la interferencia de 4 
fuentes considerando el efecto de la difracción (línea punteada) 
 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 44 
1.3.6 PRINCIPIO DE BABINET 
El principio de Babinet nos dice que la difracción de Fraunhofer producida por una abertura cualquiera cuando 
incide sobre ella una onda plana y la de una abertura complementaria son idénticas salvo en 0 = . 
Podemos escribir la suma fasorial en un punto P lejano, cualquiera como 
 
0 exp[ ( , )]T
Abertura
E E ikR x y dA=  (1.93) 
Donde ( , )R x y es la distancia entre el punto ( , )x y de la abertura y el punto P 
Se puede escribir la abertura como una función, de modo que 
 
0 ( , )exp[ ( , )]T
xy
E E A x y ikR x y dxdy=  (1.94) 
donde 
 
1 si pasa luz por la abertura
( , )
0 si no pasa luz por la abertura
A x y

= 

 (1.95) 
Si elijo la abertura complementaria 
 ( , ) 1 ( , )A x y A x y= − (1.96) 
Pues ahora pasa luz donde antes no pasaba y viceversa. El campo debido a esta nueva abertura quedará 
 
 0
0 0
1 ( , ) exp[ ( , )]
exp[ ( , )] ( , )exp[ ( , )]
T
T
xy
xy xy
E
E E A x y ikR x y dxdy
E ikR x y dxdy E A x y ikR x y dxdy

= −
= −

 
 (1.97) 
La primera integral es una función delta de Dirac, que da cero en todos lados salvo en el origen ( 0 = ). La segunda 
integral coincide con el campo debido a la abertura original. 
Al tomar el cuadrado, como la función delta de Dirac sólo es distinta de cero en el origen, resulta que las 
intensidades de ambas aberturas ( , )A x y y ( , )A x y son las mismas salvo en 0 = . 
 
 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 45 
APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 8 
1.4 POLARIZACIÓN 
Nos queda finalmente hacer unas consideraciones finales acerca de la dirección de oscilación de los campos 
eléctrico y magnético. 
1.4.1 POLARIZACIÓN LINEAL 
Consideremos una onda plana como en la sección (1.3.1), donde habíamos puesto por ejemplo los campos 
 
0 0
0 0
ˆ( , ) sin( )
ˆ( , ) sin( )
E x t E kx t y
B x t B kx t z
 
 
= − +
= − +
 (1.98) 
que están representados en la Figura 41. 
 
Figura 41. Representación de los campos de una onda electromagnética linealmente 
polarizada. 
Centrémonos en la expresión del campo eléctrico para todo lo que digamos a continuación, porque lo que sea 
válido para el campo eléctrico será también válido para el magnético ya que son siempre perpendiculares entre sí. 
Cuando el campo tiene una dirección de oscilación definida se dice que la onda está linealmente polarizada, como 
en el caso de la ecuación (1.98). 
Una expresión más general para el campo eléctrico es una que permita una oscilación en una dirección arbitraria en 
el plano YZ, como la que sigue 
 
0 0
0 0
ˆ( , ) sin( )
ˆ( , ) sin( )
y y x
z z y
E x t E kx t y
E x t E kx t z
 
 
= − +
= − +
 (1.99) 
Será una onda linealmente polarizada si 0 0 0, , 2 ,...z y   − =   , y forma un ángulo ( )1 0 0tan /z yE E
−=
con el eje Y. 
1.4.2 POLARIZACIÓN CIRCULAR 
y 
z 
x 
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 46 
La misma expresión genérica 
 
0 0
0 0
ˆ( , ) sin( )
ˆ( , ) sin( )
y y x
z z z
E x t E kx t y
E x t E kx t z
 
 
= − +
= − +
 (1.100) 
Dará lugar a una polarización circular si 
 
0 0
0 0
3 5
, , ,...
2 2 2
y z
z y
E E
  
 
=
− =   
 (1.101) 
La Figura 42 muestra esta situación. De acuerdo al sentido en el que gira el vector E , la onda se denomina circular 
derecha o circular izquierda. Si al fijar el tiempo, la curva que surge de unir todas las puntas del vector E es una 
hélice positiva, entonces la denominamos circular derecha (Figura 42). Si, en cambio da una hélice negativa, 
entonces se denomina circular izquierda6. 
 
Figura 42. Oscilación del campo eléctrico en una onda circularmente polarizada a derecha 
(rojo). Se muestran simultáneamente las componentes Y (azul) y Z (verde). 
Cuando la diferencia de fase es, como en este caso, de 1/4 de vuelta(o ¼ de long. de onda en diferencia en 
desplazamiento en X) se dice también que las ondas están en cuadratura. 
 
 
 
6 Esta nomenclatura es arbitraria, de hecho otros usan justo la convención opuesta. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=BotLdoRqFDzcqM&tbnid=18fLk1iLiF_NgM:&ved=0CAUQjRw&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_polarization&ei=XM0jUpHTEYS6iwLLp4H4AQ&psig=AFQjCNFzkyCs9Mnnsj3zLeXe78_LB2Gp1Q&ust=1378164246046818
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 47 
 
1.4.3 POLARIZACIÓN ELÍPTICA 
El caso más general de la ecuación (1.100), para cualquier diferencia de fase entre las componentes Y y Z y para 
amplitudes arbitrarias en ambos ejes produce una onda elípticamente polarizada. La 
 
Figura 43. Oscilación del campo eléctrico en una onda lineal, circular y elípticamente 
polarizada (azul). Se muestran simultáneamente las componentes Y (rojo) y Z (verde) y la 
proyección en el plano YZ (violeta). 
 
1.4.4 ALGUNAS FORMAS DE POLARIZAR LA LUZ 
La luz que sale de las fuentes habituales que conocemos lo hace con una polarización aleatoria y que fluctúa en el 
tiempo. En el modelo cuántico (que veremos más adelante), cualquier emisión de luz se corresponde con la 
superposición de una infinidad de emisiones de partículas de luz (fotones) cada una producida por electrones que 
cambian de un estado de energía (mayor) a otro (menor). Los fotones que salen llevan impulso angular y se puede 
asociar el estado de polarización con el impulso angular del fotón. Como la emisión de un fotón no está 
correlacionada con la de otro (salvo en un láser) es de esperar que el estado de polarización de una fuente de luz 
típica sea una distribución aleatoria de todos los estados posibles. 
Hay varias formas de obtener luz linealmente polarizada a partir de luz natural. Para entender su funcionamiento es 
necesario que previamente recordemos cómo es el patrón de emisión de un dipolo radiante. 
Cuando una onda electromagnética de una dada frecuencia incide sobre una carga (en general un electrón) o un 
conjunto de cargas (alguna molécula) las hará oscilar en la dirección del campo y con su misma frecuencia. Las 
cargas aceleradas emitirán radiación en direcciones que formarán un patrón como el que se muestra en la Figura 
44. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=QCzjswB0GVy7tM&tbnid=RacD1GL3qMqNTM:&ved=0CAUQjRw&url=http://montelibanoindustrial.blogspot.com/2010_04_26_archive.html&ei=wswjUqj1LcmxiQKgsYDYAw&bvm=bv.51495398,d.cGE&psig=AFQjCNFzkyCs9Mnnsj3zLeXe78_LB2Gp1Q&ust=1378164246046818
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 48 
 
Figura 44. Patrón de radiación angular de un dipolo radiante donde se indica la dirección de 
oscilación del campo emitido. 
Polarización por absorción selectiva 
Si un haz de luz natural, que está polarizado aleatoriamente incide sobre un arreglo de átomos o de moléculas que 
sólo puede oscilar en una única dirección (Figura 45), entonces la luz incidente que oscila en esa dirección será 
absorbida y reirradiada en todas direcciones. Por otro lado, la luz incidente que oscila en la dirección opuesta no 
puede hacer oscilar cargas y será transmitida completamente. A la salida del polarizador entonces tendremos luz 
linealmente polarizada. 
 
Figura 45. Polarización por absorción selectiva mediante un polarizador lineal. Su eje de 
absorción es horizontal y su eje de transmisión es vertical. 
Si a la salida de un polarizador lineal ubicamos otro que cuyo eje de transmsión forme un ángulo  con el primero, 
como se muestra en la Figura 46. 
E 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=akmAr4-H5d2BvM&tbnid=Evm1V8sjgqjvJM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.albertoclaveriafoto.com.ar/blog/?p%3D302&ei=SegjUu_PJYaZiAKXgYG4Ag&psig=AFQjCNFs4Jrn0sye99UEzowOuKYhkWvYSA&ust=1378171331017856
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 49 
 
Figura 46. Polarizadores lineales puestos en forma consecutiva 
Si el campo linealmente polarizado antes del segundo polarizador es 
0E y su intensidad 0I , entonces a la salida del 
segundo polarizador la amplitud del campo es 
 
0 cosE E = (1.102) 
Y la intensidad 
 
2
0 cosI I = (1.103) 
Esta ley se conoce como Ley de Malus. 
Si llamamos 
NI a la intensidad de luz incidente sobre el primero de los polarizadores lineales podemos establecer la 
relación entre 
NI e 0I asumiendo que NI es una combinación de campos con polarización lineal cuyo ángulo 1 
con respecto al eje de transmisión del primer polarizador tiene una distribución uniforme entre 0 y 2 : 
 
2
2
0 1 1
0
0
1
cos
2
1
2
N
N
I I d
I I

 

=
=

 (1.104) 
Polarización por reflexión (Brewster 1812) 
Cuando un haz incide sobre una superficie de un medio material el campo hará oscilar las cargas en la superficie 
produciendo un patrón de radiación como mostramos en la radiación dipolar. Si la luz transmitida forma un ángulo 
de 90° con la reflejada (ver Figura 47) entonces la radiación dipolar de las cargas que oscilan en la dirección 
contenida en el plano del dibujo no tendrá componente en la dirección del rayo reflejado, de manera que la luz 
reflejada está polarizada linealmente con el vector eléctrico perpendicular al plano del dibujo. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=f0rcdfB_P1xtHM&tbnid=BaEPQMKcjutHlM:&ved=0CAUQjRw&url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/phyopt/polcross.html&ei=--ojUqrzDOTcigKXqYDQDQ&psig=AFQjCNG1kWkZu94LcBy7HaOqT-u1gAr6XQ&ust=1378171899294713
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 50 
 
Figura 47. Esquema de polarización por reflexión. 
El ángulo de incidencia cuando esto ocurre se denomina ángulo de Brewster o de polarización y depende de la 
relación de índices entre el medio desde donde incide la luz y el medio hacia donde se transmite: 
 
1 2
1 2
2
1
sin sin
sin cos
tan
B R
B B
B
n n
n n
n
n
 
 

=
=
=
 (1.105) 
Polarización por dispersión 
Teniendo en cuenta como en los casos anteriores el patrón de radiación dipolar, cuando un haz de luz no polarizada 
incide sobre una molécula, en las direcciones perpendiculares al haz incidente la luz dispersada estará polarizada 
linealmente (Figura 48). 
 
Figura 48. Polarización por dispersión 
Polarización por birrefringencia 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=_FJ5biO5Epy1GM&tbnid=h9VHBg7pBA7LNM:&ved=0CAUQjRw&url=http://es.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica&ei=v_MjUs6-PKerigLWiYAY&psig=AFQjCNEB7sjIof5YIOvjn2fmRMZhYWuNgw&ust=1378174112761901
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=HnxoklLULK8JlM&tbnid=-6eofqbolnxiTM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.grincef.nurr.ula.ve/EULA-2007/Polarizaci%F3n/contenido/polarizacion_13.htm&ei=w_cjUoPYOMiKiAK3z4DQBg&psig=AFQjCNGUBZKTghRzBjffGCZFRpnvt6V-Ww&ust=1378175156027711
 
Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 51 
Algunos cristales presentan distintas propiedades ópticas en distintas direcciones, por ejemplo, tienen un índice de 
refracción llamado ordinario (
on ) si el campo oscila en una dirección y otro extraordinario ( en ) si oscila en la 
dirección perpendicular. Si sobre un material de este tipo incide una onda circularmente polarizada, sus 
componentes se desfasarán al recorrer el cristal y a la salida la onda tendrá en general otro estado de polarización. 
El desfasaje adicional a la salida de un cristal así de ancho d será: 
 ( )e ok n n d = − (1.106) 
 Si / 2 = se dice que la lámina es una lámina de ¼ de onda. Con esta lámina se obtendrá a la salida una onda 
linealmente polarizada a 45° con respecto a los ejes principales cuando sobre ella incida una onda circularmente 
polarizada. El efecto recíproco también esválido: cuando incide una onda linealmente polarizada a 45°, a la salida se 
obtendrá una onda circularmente polarizada (Figura 49). 
 
Figura 49. Cambio del estado de polarización usando una lámina de ¼ de onda. 
Cuando estos cristales además se cortan en algunos planos es posible separar espacialmente las dos componentes 
de polarización de la luz incidente (Figura 50). 
 
Figura 50. Cristal birrefringente cortado en una dirección no paralela al eje óptico. 
 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=mSnS-6YSYUqNiM&tbnid=LYHdNwRLmapsVM:&ved=0CAUQjRw&url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/phyopt/quarwv.html&ei=Uf0jUoDoDK7iigLw6IHgDA&psig=AFQjCNEHMYg-2392jLckrSuFL8DmYu9hzA&ust=1378176679024207