M Cuántica 1 Ppio de incertidumbre - Ec Schrödinger-1D - partícula libre

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MECÁNICA CUÁNTICA
• Dualidad Onda Partícula: clásicamente partículas y ondas representan
conceptos diferentes y mutuamente excluyentes. La materia y la radia-
ción presentan propiedades de partícula y onda. Aspectos corpusculares
-> predominan en la absorción y emisión de la radiación. Aspectos
ondulatorios se observan al estudiar el movimiento a través de un
sistema.
Papel fundamental de “h ”: la pequeñez de h es lo que hace imper-
ceptible el papel de las ondas de materia en el mundo macroscópico.
En lo microscópico las partículas tienen masas pequeñas -> impulsos pequeños aunque 
las velocidades sean altas -> longitudes de onda de De Broglie comparables con las 
dimensiones características de los sistemas de interés (átomos por ej.) -> propiedades 
ondulatorias observables
Sin embargo, al ser detectadas las partículas se manifiestan con sus propiedades 
corpusculares. 
HIPOTESIS de DE BROGLIE
h
E
 
. 



 kp
p
h

Es necesario un modelo más general que permita describir este 
comportamiento dual  Mecánica cuántica
Interpretación probabilística de la dualidad onda-partícula  conexión 
entre los modelos corpuscular y ondulatorio. 
Einstein unifica ambas teorías p/ la radiación, Max Born lo hace para la 
materia
(x,t)  onda asociada al fotón ψ(x,t)  onda asociada a la 
partícula
A partir de: I = (1/oc) < 
2> = N h  <  2> ~ N
N : flujo promedio medio de fotones (Einstein)
|ψ(x,t)|2 medida de la probabilidad de encontrar una partícula por unidad 
de longitud, en un determinado lugar y tiempo dado. 
Así como (x,t) representa la onda asociada a un fotón, ψ(x,t) es la onda 
de De Broglie asociada a una materia
Citas de Física Cuántica – Eisberg Resnik
Principio de incertidumbre de Heisenberg 
(1927)
En mecánica clásica el análisis estadístico es usado para 
describir sistemas complejos (ej. gas de partículas) pero 
gobernados por leyes básicas deterministas (Newton).
Conocidas las condiciones iniciales de posición e impulso, el 
movimiento futuro se determina en forma exacta
Proceso de medición: interacción del observador con el sistema. 
Física clásica: esta interacción puede minimizarse todo lo que se 
quiera.
Es cierto esto para sistemas microscópicos?? NO (Heisenberg, 1927) 
En un experimento no se puede determinar en forma simultánea el valor 
exacto de una componente del impulso, por ej. “px”, y su coordenada 
asociada “x”. La precisión depende del proceso de medición pero debe 
cumplirse : 
2
.

 xpx 2/h
• Esta limitación no tiene que ver con la calidad de los
instrumentos de medición
• Existen relaciones semejantes para otras componentes del
impulso:
• 2da. parte del ppio. de incertidumbre: 
E incertidumbre con la que se conoce la energía del sistema. 
t intervalo de tiempo característico de la medición o rapidez 
de cambio del sistema. 
2
.

 ypy
2
.

 zpz
2
.

 tE
El ppio. de incertidumbre refleja lo que es esperable que suceda en 
los experimentos a tratar de realizar una medición. Puede derivarse 
del postulado de De Broglie (verificado experimentalmente) y de 
propiedades de las ondas. 
Puesto que x y px no pueden conocerse simultáneamente en 
forma exacta no se puede determinar con precisión el futuro 
del sistema. En lugar de ello sólo se pueden predecir 
resultados probables dando probabilidades relativas de que 
ocurran
Como el hecho de observar un sistema lo perturba de una 
forma no predecible, la observación cambia el movimiento 
del sistema a un nuevo estado que no puede especificarse 
completamente -> origen de la interpretación probabilística. 
Ejemplo: 
Ejemplo: se mide la coordenada “y” de un electrón 
que pertenece a un haz de electrones que se mueve a 
lo largo de la dirección “x”, haciendo pasar el haz a 
través de una rendija delgada
 msena . 1)(m a  .
 
a

 
X
Y
p
p

X
p
h

 ; 
pa
h
ap
p
Xx
y
.

 
 
py
h
p
p
XX
Y
.


hpy
Y
 .
Por la relación de De Broglie
Por otro lado
La onda asociada a la partícula es difractada por la rendija. El intentar 
medir la coordenada “y” introduce una incertidumbre en el impulso py
del electrón que se deflecta por un ángulo entre - y . Antes de pasar 
por la rendija, py era cero (exacto) y se sabía poco de su posición “y”. 
Luego de pasar por la rendija el impulso y está entre –py y py
 ya
(py~ py)
El fenómeno de difracción implica 
interferencia entre partes de la 
onda de una misma partícula y no 
entre partes diferentes de ondas 
correspondientes a distintas 
partículas
Propiedades de las ondas de materia
El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser derivado 
combinando las relaciones de De Broglie con propiedades válidas 
para todas las ondas. 
Para ondas que viajan sin distorsión: ).( tvxf 


Onda que se propaga hacia la derecha.
Onda que se propaga hacia la izquierda
F (x)
x
La onda viaja sin distorsión
Caso Particular: ondas armónicas
).(
2
cos.).(2cos.)cos(.),( 000 vtxy
T
tx
ywtkxytxy 




Frecuencia:
T
1

Velocidad de fase
λ: Longitud de ONDA
Los ceros de y(x,t) se encuentran en:
kwtknxnwtkx nn /2/)12(2/)12(  
 kwdtdxv n // Velocidad con que se mueven los 
nodos y 
todos los puntos de la onda
t = t0
)cos(0 tkxyy  )(0 tkxsenyy ó
En forma más general: )(exp.),( 0 tkxiytxy 
en tres dimensiones: )(exp),( 0 trkiytry 

k

Vector de ondas, indica la dirección de propagación de la onda

2
k

Si se trata de una onda de partículas monocromática en 1D no existe 
incertidumbre  -> el impulso (h/) está definido y px = 0. La 
incertidumbre en la posición “x” será x= pues la amplitud es constante 
en todo el eje “x”
Si se quiere una onda con amplitud variable para generar un pulso o 
paquete de ondas localizado en el espacio se debe superponer ondas 
armónicas mezclando frecuencias
PAQUETE DE ONDAS  ONDA LOCALIZADA
Superposición de ondas con frecuencias y 
longitudes de onda diferentes  análisis de 
Fourier
2/1.
2/1.


t
xk

)..(.),( txksenAtxy
iii  
   dktkxsenkAAi )()( Para distribuciones continuas: 
Velocidad del paquete  velocidad de grupo
i
i
g
kdk
d
V


Medios dispersivos ( por ej.: Luz en vidrio)
V
p/todo tipo de ondas
A(k)
De Broglie: p = h /  ; E = h  /2
Ppio. de incertidumbre de Heisemberg
Representación de una partícula como una onda de materia. (a) 
partícula con masa m y velocidad vo. (b) Superposición de ondas de 
materia con un rango de longitudes de onda centradas 
en o = h /mvo  paquete de ondas
ONDAS DE PARTÍCULAS
onda defunción :),(),( txtxy 
dxtxdxxP
2
),()( 
Probabilidad de encontrar una 
partícula entre x y x+dx en un dado 
tiempo t  1D
INTERPRETACIÓN DE MAX BORN (Nóbel 1954): 
Max Born
Postulados de la mecánica cuántica
1. La partícula tiene asociada una función de onda compleja 
2. Ecuación de Schrödinger en 1-D:
3. Deben ser finitas, continuas y simplemente 
valuadas para todo x y t. 
4. Densidad de probabilidad de encontrar 
a la partícula en x en el tiempo t
),( tr


t
)t,x(
i)t,x().t,x(V
x
)t,x(
m2 2
22











x
t)(x,
y ),(


 tx
2* ),(),().,( txtxtx  
1),(
2



dxtxCONDICIÓN DE NORMALIZACIÓN:
),( tx
E

Autovalores de Energía.
Autofunciones.
DATOS: V(r) + las condiciones de contorno
)(.)().()
)()()(
.(
2 2
2
2
2
2
22
rErrV
z
r
y
r
x
r
m















En tres dimensiones:
Si V(x,t) es independiente del tiempo (x,t) es separable en su 
dependencia temporal y espacial: 
)/exp()(),( iEtxtx 
)(.)().(
)(
.
2 2
22
xExxV
x
x
m







Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Cálculo de valores 
medios
Valor de expectación de la
posición:
En general para cualquier 
función f(x):
( , )x xp x t dx


 
“Toda la información se extrae de la 
función de onda”
   
   *
*
( , ) , ,
( , ) , ,
xp x t dx x t x x t dx
x
p x t dx x t x t dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   *( ) , ( ) ,f x x t f x x t dx 


 
Por 
ejemplo:    
2 * 2, ,x x t x x t dx 


 
• Ver ejemplos
Ejemplos: 
Partícula Libre
Para una partícula libre 0)( rV

1D:


..
2 2
22
E
xm





0.
.2
22
2






Em
x
Para una partícula libre
m
k
m
p
E
.2
.
.2
222 

)1(
)1(
Por lo tanto 
de
0.2
2
2





k
x
ikxAx  exp.)(
ikxAx  exp.)(
Soluciones  onda plana
)]()[cos(
)(exp.)(
kxisenkxA
kxiAx


x
Pregunta: cómo expresaría la función de onda espacio-temporal ??