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Draft version June 25, 2009
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COSMOLOGÍA DE BRANAS Y EL MODELO DE RANDALL-SUNDRUM: UNA INTRODUCCIÓN.
Maŕıa José Guzmán M.∗
(Dated: June 25, 2009)
Draft version June 25, 2009
ABSTRACT
Este trabajo se entiende como una introducción a los conceptos fundamentales de Cosmoloǵıa de
Branas, esto es logrado a partir del modelo más simple: el modelo de Randall-Sundrum. Este modelo se
caracteriza por describir nuestro universo de 4 dimensiones como una hipersuperficie (llamada brana),
inmerso en un espacio de 5. Proponiendo acciones apropiadas, se gúıa la derivación de las ecuaciones
análogas a las ecuaciones de Einstein, las cuales también son derivadas en detalle, como ejercicio
académico. Luego de obtenidas, se interpreta f́ısicamente el significado de los términos obtenidos e
introducidos, y las implicancias que tienen en la Cosmoloǵıa del Universo.
Subject headings:
1. INTRODUCCIÓN
Nuevas teoŕıas en f́ısica moderna, tales como teoŕıa de
cuerdas, han motivado el desarrollo de Cosmoloǵıa de
Branas, tema del que trata este trabajo. La relación en-
tre ambas es la introducción de dimensiones adicionales
a nuestro conocido espacio-tiempo de 4 dimensiones, lo
cual en teoŕıa de cuerdas se logra compactificando las
dimensiones adicionales de la forma propuesta en los
trabajos de Kaluza y Klein (5). En el modelo sugerido
por Horava y Witten (5) llamado Teoŕıa - M (la cual in-
cluye un conjunto de teoŕıas de cuerdas), se proponen 11
dimensiones para el espacio-tiempo, la última dimensión
poseyendo simetŕıa Z2, lo cual significa básicamente que,
siendo ξ la dimensión adicional, se cumple que ξ = −ξ.
La analoǵıa con cosmoloǵıa de branas subyace en que
en esta última, se agrega una sola dimensión espacial
adicional, denotada con la letra y, la cual posee simetŕıa
Z2, y las restantes dimensiones son las tradicionales tres
espaciales y una temporal.
Uno de los primeros modelos de este tipo, corresponde
a los propuestos por Randall y Sundrum en 1999 (6),
(7), el más simple de ellos consta de introducir una
quinta dimensión con simetŕıa Z2. Para que el hecho
de agregar nuevas dimensiones sea compatible con la
Relatividad General, debe cumplirse, o que la dimensión
adicional se enrolle sobre śı misma (proceso denominado
compactificación), o que el espacio adicional introducido
no contenga materia. Ya que en el modelo de branas,
la dimensión y se extiende hasta el infinito, la condición
para que la teoŕıa tenga validez f́ısica es que el contenido
de materia se encuentre confinado a una única coor-
denada de la 5ta dimensión, que usualmente se escoge
y = 0, por simplicidad. Para intentar explicar este
concepto complejo de brana en 4 dimensiones, recur-
ramos a la analoǵıa t́ıpica, que consiste en imaginar una
superficie 2D, tal como una hoja de papel, pero infinita
en extensión, inmersa en un sistema de coordenadas
(x, y, z). Suponiendo la hoja de papel confinada a ser
paralela al plano (x, y), la dimensión adicional podŕıa
ser asociada con el eje z, y la brana (hoja de papel),
restringida a estar en z = 0, contiene a todo el universo
∗mjguzma1@uc.cl
visible. En cosmoloǵıa de branas es lo mismo, sólo que
la brana tiene 4 dimensiones y contiene toda la materia
visible (y no visible), en un principio. Cosas como una
posible constante cosmológica, de acuerdo a la teoŕıa,
se encontraŕıan en el espacio 5D. El término utilizado,
en general, para este espacio, es bulk, dentro del cual
encontramos a la brana que es nuestro universo.
A lo largo de este trabajo mostraremos algo del bagaje
necesario para comprender, intuitivamente, las ideas
expuestas con anterioridad y algunas más, como por
ejemplo las relaciones de fine-tunning que deben cumplir
los parámetros f́ısicos de la brana y el bulk para que la
teoŕıa sea consistente, y por otro lado, las implicancias
cosmológicas de este modelo. Debido a la complejidad
que conllevan modelos más avanzados, tales como la ex-
istencia de dos o más branas, o la presencia de un campo
escalar en el bulk, nos restringiremos sólo al modelo más
simple con una sola brana, y con constante cosmológica
negativa en el bulk (lo cual es llamado espacio anti de
Sitter (AdS)), y llegaremos a la ecuación de Friedmann
modificada, para compararla con el caso clásico, y las
implicancias que conlleva este nuevo modelo cosmológico.
2. COSMOLOGÍA “CLÁSICA”: ECUACIONES DE EINSTEIN
Antes de pasar a estudiar un modelo cosmológico
alternativo, debemos conocer bien el actual, con el fin
de tener una base sobre la cual comparar. En esta
sección veremos brevemente la importancia de llegar
a las Ecuaciones de Einstein, a partir de las cuales se
derivan las ecuaciones de Friedmann, las cuales son el
fundamento de la cosmoloǵıa moderna.
Tenemos que el espacio-tiempo en Relatividad General
es descrito por la métrica gµν , la cual nos indica “distan-
cias” entre “eventos”. La geometŕıa del Universo entero
se encuentra descrita por gµν . Observacionalmente, ve-
mos que el universo se encuentra en expansión, luego ésto
nos mueve a encontrar su ecuación de movimiento. En
Mecánica Clásica el movimiento de todo sistema se en-
cuentra descrito por la acción S, la cual es una función
de las coordenadas de posición y velocidad. Utilizando el
principio de mı́nima acción, se encuentran las ecuaciones
de movimiento del sistema. En este caso, el Universo
2
completo es nuestro sistema, y las ecuaciones que lo rigen
son las Ecuaciones de Einstein, cuya forma tensorial cor-
responde a (ver Apéndice A para su derivación):
Rµν −
1
2
Rgµν = 8πGTµν (1)
las cuales dan origen a la ecuación de Friedmann(
ȧ
a
)2
=
8πGρ
3
− kc
2
a2R20
+
Λ
3
(2)
y la ecuación de aceleración
ä
a
= −4πG
3
(
ρ+
3p
c2
)
+
Λ
3
(3)
Con ambas, obtenemos la ecuación de fluido
ρ̇+ 3
ȧ
a
(ρ+ p) = 0 (4)
Entonces, el universo se encuentra caracterizado por el
factor de escala a, que nos indica qué tan rápido se ex-
pande, y por la densidad total ρ, la constante cosmológica
Λ, y la curvatura k del espacio.
3. COSMOLOGÍA DE BRANAS
En esta sección veremos atisbos de la formulación
matemática del modelo más simple de branas, correspon-
diente a una sola brana inmersa en el bulk de 5 dimen-
siones.
La solución estática del modelo de Randall-Sundrum
se obtiene a partir de la propuesta de una acción de
Einstein-Hilbert y la acción de la brana:
SEH = −
∫
dx5
√
−g(5)
(
R
2κ5
+ Λ5
)
(5)
Sbrane =
∫
dx4
√
−g(4)(−σ) (6)
Donde el parámetro Λ5 es la constante cosmológica del
bulk, y σ es la tensión de la brana (constante). Pro-
poniendo un ansatz para la métrica de la forma
ds2 = e−2K(y)ηµνdxµdxν + dy2 (7)
e imponiendo las condiciones de juntura (junction con-
ditions), podemos obtener las ecuaciones de Einstein.
Conocer y aplicar aquellas condiciones no es algo que
concierna a este trabajo, por lo tanto sólo nos remitire-
mos a utilizar los resultados de (4), entre las ecuaciones
(10) y (11), luego de haber impuesto las condiciones de
juntura:
6K ′2 = −κ25Λ5 (8)
3K ′′ = κ25σδ(y) (9)
La ecuación 8 es simple de resolver, dándonos:
K(y) =
√
−κ
2
5
6
Λ5y (10)
Para que el término de la exponencial en 7 nos quede
con valores no-imaginarios, Λ5 debe ser negativo, lo cual
describe un espacio anti de Sitter (espacio con constante
cosmológica negativa), como se mencionó con anteriori-
dad. Sobre 9, integramos entre −� y �:
3
∫ �
−�
K ′′dy = κ25σ
∫ �
−�
δ(y)dy
y calculamos el ĺımite de la expresión cuando � → 0, de
tal forma de obtener el valor de la expresión sobre la
brana (y = 0). Usamos además, el hecho de que el bulk
tiene simetŕıa Z2. Entonces,∫ �
−�
K ′′dy =
κ25σ
3
∫ �
−�
δ(y)dy∫ �
−�
K ′′dy = 2
∫ �
0
K ′′dy =
κ25σ
3
∫ �
−�
δ(y)dy
Λ5 = −
1
6
σ2κ25 (11)
Y se obtiene que la constante cosmológica del bulk
y la tensión de la brana están relacionados de forma
directa. A esta relación se le conoce como fine-tunning,
y nos dice que la constante cosmológicano puede tomar
cualquier valor, sino que debe estar relacionado con la
tensión de la brana.
Con el fin de encontrar la ecuación de Friedmann para
la brana, y otras relaciones que se obtienen en el camino,
haremos uso de los resultados obtenidos en (4), haciendo
uso de las condiciones de juntura (8) en el contexto de
teoŕıa de branas (9), proponiendo el siguiente ansatz para
la métrica
ds2 = a2b2(dt2 − dy2)− a2δijdxidxj (12)
se obtienen las siguientes ecuaciones que imponen
condiciones sobre el tensor de Einstein y los parámetros
a y b,
a2b2G00≡3
[
2
ȧ2
a2
+
ȧḃ
ab
− a
′′
a
+
a′b′
ab
+ kb2
]
(13)
=a2b2[ρB + ρδ(y − yb)] (14)
(15)
a2b2G55≡3
[
ä
a
− ȧḃ
ab
− 2a
′2
a2
− a
′b′
ab
+ kb2
]
(16)
=−a2b2T 55 (17)
(18)
a2b2G05 ≡ 3
[
− ȧ
′
a
+ 2
ȧa′
a2
+
ȧb′
ab
+
a′ḃ
ab
]
= −a2b2T 05 (19)
a2b2Gij ≡
[
3
ä
a
+
b̈
b
− ḃ
2
b2
− 3a
′′
a
− b
′′
b
+
b′2
b2
+ kb2
]
δij(20)
=−a2b2[pB + pδ(y − yb)]δij (21)
(22)
En las 4 ecuaciones, la primera expresión es la que se
obtiene de las ecuaciones de Einstein, luego, mediante
la definición del tensor de Einstein Gνµ, se obtiene la
expresión del medio (en las 4 ecuaciones). Finalmente,
la parte de la derecha corresponde a la descomposición
del tensor materia-enerǵıa T νµ .
Para resolverlas, se utiliza el mismo procedimiento
para obtener 11, i.e. integrar entre −� y �, y hacer tender
3
a cero los ĺımites. Se obtienen condiciones en la brana,
para los parámetros a y b, que están dados por (4), y se
corresponden con las condiciones de juntura,
a′
a
|y=0 =
1
6
abρ (23)
b′
b
|y=0 =
1
2
ab(ρ+ p) (24)
Las cuales se obtienen a partir de 13 y ??, respectiva-
mente, con ρ y p la densidad y presión en general. De la
ecuación ?? se obtiene
ρ̇+ 3
ȧ
a
(ρ+ p) = 0 (25)
la cual es idéntica a 4. Vemos que resolviendo las ecua-
ciones en la brana, se obtienen los mismos resultados del
modelo tradicional.
Finalmente, de 16 se obtiene, luego de hacer los sigu-
ientes cambios de variable: dτ = abdt, a = exp(α(t)), y
usando 25, que
d(H2e4α)
dα
=
2
3
Λ5e4α +
d
dα
(
e4α
ρ2
36
)
donde se ha definido aH = da/dτ . Integrando esta
ecuación, se obtiene que
H2 =
ρ2
36
+
Λ5
6
+
µ
a4
(26)
Y separando la densidad de enerǵıa total y la presión
en partes provenientes de la tensión de la brana y de la
materia, tal que ρ = ρM +σ y p = pM −σ, se obtiene de
reemplazar ρ en 26, que
H2 =
(ρM + σ)2
36
+
Λ5
6
+
µ
a4
H2 =
ρM
2σ
σ
18
+
( σ
18
)
ρM +
(
σ2
36
+
Λ5
6
)
+
µ
a4
En (4), se sugiere las identificaciones de las siguientes
expresiones:
8πG
3
=
σ
18
(27)
y (
σ2
36
+
Λ5
6
)
=
Λ4
3
(28)
de tal forma que podamos escribir
H2 =
8πG
3
ρM
(
1 +
ρM
2σ
)
+
Λ4
3
+
µ
a4
(29)
la cual corresponde a la ecuación de Friedmann en la
brana.
4. INTERPRETACIÓN FÍSICA
En 28 vemos la introducción del término Λ4 el cual,
como su sub́ındice lo sugiere, se encuentra en el único
espacio de 4 dimensiones disponible, la brana, y se iden-
tifica con una constante cosmológica en ella, distinta de
la que se asocia con el bulk, pero interrelacionadas medi-
ante esta relación de fine-tunning. Sin embargo, para que
28 sea consistente con 11, y ya que en la derivación de
13 a 20 y las subsiguientes ecuaciones se asume κ5 ≡ 1,
se obtiene Λ4 = 0. Esto, pues
σ2
36
+
Λ5
6
=
σ
36
− σ
2
36
κ25 = 0 =
Λ4
3
⇒ Λ4 = 0
Entonces, para que el modelo sea consistente, la con-
stante cosmológica debe estar asociada al bulk y no
a la brana, y a su vez debe cumplir una relación de
fine-tunning con la tensión σ.
La tensión de la brana tiene directa relación con la
densidad de enerǵıa y la presión. Aunque no se indica
expĺıcitamente en el desarrollo de las ecuaciones el
propósito de introducir σ, de las relaciones ρ = ρM +σ y
p = pM −σ vemos que, tal como ρ y p, σ posee unidades
de enerǵıa por unidad de volumen, y contribuye de
forma positiva a la densidad de enerǵıa, pero ejerce
una presión negativa a la presión total (todo eso dentro
de la brana, por supuesto). Es preciso distinguir de
la materia, la cual tiene ρM y p y se encuentra en la
brana, del parámetro σ, que es una propiedad intŕınseca
de ella.
Finalmente, debemos interpretar lo que predice la
ecuación 29 con respecto a la tradicional ecuación de
Friedmann (
ȧ
a
)2
=
8πG
3
ρ− κc
2
R20a
2
+
Λ
3
(30)
Primero que todo, a lo largo de nuestro desarrollo,
podemos identificar la constante a introducida en 12,
como el factor de escala que describe la expansión de
la brana (Universo). Luego, también tenemos una
parámetro de Hubble H, dado por H = dadτ /a (con τ
el tiempo cósmico), que describe la tasa de expansión, al
igual que en la cosmoloǵıa tradicional. En 12, notamos
que la métrica describe una expansión isotrópica sólo en
y = 0, no nos asegura isotroṕıa en regiones fuera de la
brana, lo cual tampoco nos concierne, pues queremos que
el modelo se ajuste a los observables.
En 29, es posible ver una interesante propiedad que com-
parten todos los modelos de branas, la cual se obtiene de
considerar el ĺımite ρM � σ. Este ĺımite consiste en
considerar una densidad de enerǵıa tan grande que la
tensión sea despreciable. Vemos de 29 que en este ĺımite,
H es proporcional a ρM en vez de
√
ρM , el cual es el caso
tradicional cuando vemos el caso ρM � Λ5, k. Esto nos
dice que, en el mundo de las branas, la tasa de expansión
es mayor, lo cual no debe contradecir lo ya sabido, luego
los valores de σ y κ5 tendrán que cumplir determinadas
restricciones. stas pueden ser encontradas, por ejem-
plo, imponiendo que en la época de la nucleośıntesis las
correcciones a la ecuación de Friedmann tradicional, de-
bido a la teoŕıa de branas, sean despreciables, de otra
forma las abundancias de los elementos se veŕıan alter-
adas. También, esta teoŕıa predice desviaciones de la ley
de Newton para la fuerza entre dos masas (10), las cuales
imponen valores para las variables tal que κ−35 > 10
5TeV
y σ ≥ (100GeV )4. Esta desviación puede ser expresada
como una en el potencial gravitatorio V (r), tal que (4)
V (r) =
G5m1m2
r
(
1 +
l2
r2
+O(r−3)
)
(31)
4
con el parámetro l dependiendo directamente de las
constantes en el bulk, tal que l2 = −6/(κ25Λ5), y repre-
sentando una medida de la curvatura del espacio-tiempo
del bulk. Experimentos basados en balanzas de torsión,
tales como (11), no muestran desviaciones del tipo 31
a escalas del orden milimétrico, luego el valor de l debe
estar bajo este valor, si es que la descripción del mundo
de branas es correcta.
Para obtener mayor riqueza en la teoŕıa, se han de-
sarrollado a partir de la idea central, consistente en una
brana inmersa en un espacio 5D, modelos más comple-
jos que proveen explicaciones a fenómenos tan variados
como lo son el problema de la inflación, el problema de
jerarqúıa en f́ısica de part́ıculas (5), y el big bang, como
surgido a partir de la colisión de dos branas dentro del
bulk. En aras de la comprensión, y debido a su comple-
jidad matemática, estos modelos no serán tratados aqúı,
no obstante el lector puede remitirse a las referencias (4)
y (5), y las referencias alĺı citadas.
5. CONCLUSIONES
Resulta motivante analizar la viabilidad de mod-
elos cosmológicos, sobre todo cuando se introducen
propiedades tan abstractas como lo es una quinta di-
mensión, o el confinamiento de la materia del Universo a
una hipersuperficie, pues si con estos modelos vemos un
atisbo de solución a problemas de la cosmoloǵıa actual,
nos lleva esto a pensar en la realidad f́ısica más allá de la
introducción de una nueva coordenada en las ecuaciones
o de un parámetro en la acción.
En este trabajo no se hizo más que interpretar el sig-
nificado de los parámetros que caracterizan la brana y el
bulk, y estudiar las relaciones entre ellos. Además, en el
Apéndice A, se incluye una derivación de las ecuaciones
de Einstein mediante el principio de mı́nima acción, de
forma análoga a como debeŕıa hacerse en el caso de
branas, lo cual resulta un buen ejerciciode manejo de
tensores y para familiarizarse con los conceptos de Rel-
atividad General. En algún trabajo posterior tal vez
sea posible llevar a cabo un estudio de las condiciones
de juntura, las cuales como pudo verse en el desarrollo
del modelo Randall-Sundrum, resultaban ser vitales a la
hora de derivar las relaciones de fine-tunning entre los
parámetros pertinentes.
Vemos que queda mucho trabajo por hacer respecto a
la verificación experimental de esta teoŕıa; algo que re-
sultaŕıa interesante es derivar predicciones a nivel cos-
mológico/extragaláctico, tal como un hecho que no fue
mencionado en el desarrollo de este trabajo, pero que
puede ser encontrado en las referencias citadas (4), y
consiste en estudiar las fluctuaciones de densidad prim-
igenias, pues modelos que incluyen un campo escalar en
el bulk, predicen variaciones respecto a las predicciones
de la cosmoloǵıa actual.
APÉNDICE A - DERIVACIÓN COMPLETA DE LAS
ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN A PARTIR DE LA
ACCIÓN DE HILBERT
FÓRMULAS ÚTILES
Śımbolo de Christoffel:
Γσµν =
1
2
gσλ(gλµ,ν + gλν,µ − gµν,λ) (A-1)
Tensor de Riemann:
Rρµλν = Γ
ρ
νµ,λ − Γ
ρ
λµ,ν + Γ
ρ
λσΓ
σ
µν − ΓρνσΓσλµ (A-2)
Tensor de Ricci:
Rµν = Rαµαν (A-3)
Escalar de Ricci:
R = Rµµ = g
µνRµν (A-4)
Derivada covariante de un tensor Aρνµ:
Aρνµ;λ = A
ρ
νµ,λ + Γ
ρ
λσA
σ
νµ − ΓσλνAρσµ − ΓσλµAρνσ (A-5)
DERIVACIÓN
La elección clásica, más simple, de un Lagrangiano en
Relatividad General (GR) es la siguiente (1), (2), (3)
SH =
∫ √
−gRdnx (A-6)
donde g es el determinante de la métrica gµν , y R el
escalar de Ricci definido en (A-4). SH es conocido
como la acción de Hilbert, y a partir de ella podemos
derivar las famosas Ecuaciones de Campo de Einstein,
las cuales son la base de la cosmoloǵıa moderna. La
motivación para la elección de A-6 como la acción se
basa en que deseamos una función que dependa de la
métrica y sus derivadas hasta de segundo orden, y que
a la vez sea una función escalar. Conocemos (A-2) un
tensor que cumple estas caracteŕısticas, y un escalar
A-4 que, como es derivado de A-2, también las cumple.
Podŕıan ser potencias de R, o incluso funciones f(R) las
que fueran introducidas en la acción, pero la opción más
simple, claramente, es R.
De acuerdo con el principio variacional, las ecuaciones
de movimiento se derivan minimizando la acción, lo cual
es equivalente a decir que δSH = 0, y ésto significa variar
el integrando de (A-6). Ya que el Lagrangiano es sólo
función de gµν , la variación se hace respecto a la métrica.
En el desarrollo de las ecuaciones veremos que es más
conveniente tomar la variación con respecto al inverso de
la métrica gµν . Entonces
δSH =
∫
δ(
√
−gR)dnx =
∫
δ(
√
(−g))Rdnx+
∫ √
(−g)δ(R)dnx = 0
(A-7)
Pero, usando (A-4), se obtiene que
δSH =
∫
δ(
√
(− g))Rdnx+
∫ √
(− g)δ(gµνRµν)dnx
(A-8)
δSH =
∫
δ(
√
(−g))Rdnx+
∫
R
√
(−g)δ(gµν)dnx+
∫
gµν
√
(−g)δ(R)dnx
(A-9)
Y por lo tanto, debemos calcular 3 variaciones
δS1 =
∫
δ(
√
(− g))Rdnx
δS2 =
∫
Rµν
√
(− g)δ(gµν)dnx
δS3 =
∫
gµν
√
(− g)δ(Rµν)dnx
5
Una relación útil puede ser obtenida a partir de gµλgλν =
δµν . Ya que δ
µ
ν no vaŕıa, y tomando la variación en
términos de la métrica, obtenemos que
−δgµλgλν = δgρνgµρ
multiplicando por gρθ,
−δgµλgλνgρθ = δgρνgµρgρθ
−δgµλgλνgρθ = δgρνδµθ
aplicando la delta de Kronecker,
δgρν = −gρµgλνδgµλ
intercambiando (ρ ←→ µ) y (λ ←→ σ), finalmente se
obtiene una relación entre variaciones de la métrica y las
de su inversa
δgµν = −gµρgνσδgρσ (A-10)
Esto será util para expresar todas las variaciones de la
métrica en términos de δgµν .
Ahora, lo único que nos queda por hacer es comenzar a
calcular. Comenzaremos con δ
√
−g (Exercise 21.1 Grav-
itation). El śımbolo de variación se define tal que, para
una función f(x),
δf(x) = f(x)− f(x)
con f(x) una pequeña variación de la función, que pode-
mos asumir f(x) ≈ f(x+ δx), y por Taylor, f(x+ δx) ≈
f(x) + ∂f(x)∂x δx. Entonces,
δf(x) ≈ ∂f(x)
∂x
dx (A-11)
Usamos la fórmula de Laplace para el determinante
(con suma de acuerdo a convención de Einstein)
g = gµν g̃µν
y la relación que existe entre la matriz inversa en
términos del determinante y la matriz de cofactores g̃µν
es
gµν =
1
g
g̃µν
A partir de la fórmula de Laplace, y tomando la derivada
respecto a un elemento espećıfico de matriz, llegamos a
que
∂g
∂gµν
= g̃µν = ggµν
Entonces, usando (A-11), se obtiene que
δ
√
(− g) = ∂
∂gµν
[
(−g)1/2
]
δgµν
δ
√
(− g) = −1
2
√
−g
∂g
∂gµν
δgµν
δ
√
(− g) = 1
2
√
−ggµνδgµν (A-12)
Para la integral S2, ya se tiene la variación con respecto
a la inversa de la métrica, por tanto no es necesario hacer
cálculo alguno.
Finalmente, para la integral S3 debemos calcular la
variación del tensor de Ricci, y expresarla en función
de variaciones de la métrica. Para hacer ésto es pre-
ciso insertar A-1 en A-2, ésta en A-3, y este resultado
en A-4. Comenzamos variando el śımbolo de Christof-
fel. Tomando una variación con respecto a la métrica,
se tiene que Γρνµ cambia a Γ
ρ
νµ + δΓ
ρ
νµ. Como la diferen-
cia entre dos tensores, δΓρνµ, debe ser un tensor también,
y utilizando las fórmulas para la derivada covariante, se
obtiene que
5λδΓρνµ = ∂λ(δΓρνµ)+Γ
ρ
λσ(δΓ
σ
νµ)−Γσλν(δΓρσµ)−Γσλµ(δΓρνσ)
(A-13)
Si tomamos la derivada covariante de Γρλµ respecto a ν,
se obtiene que
5ν δΓρλµ = ∂ν(δΓ
ρ
λµ) + Γ
ρ
νσ(δΓ
σ
λµ)− (A-14)
Γσνλ(δΓ
ρ
σµ)− Γσνµ(δΓ
ρ
λσ)
Pero,
δ(Rρµλν) = ∂λ(δΓ
ρ
νµ)− ∂ν(δΓ
ρ
λµ) + Γ
ρ
λσ(δΓ
σ
νµ)(A-15)
+(δΓρλσ)Γ
σ
νµ − Γρνσ(δΓσλµ)− (δΓρνσ)Γσλµ
y como
5λ δΓρνµ −5νδΓ
ρ
λµ = ∂λ(δΓ
ρ
νµ)− ∂ν(δΓ
ρ
λµ)(A-16)
+Γρλσ(δΓ
σ
νµ) + Γ
σ
νµ(δΓ
ρ
λσ)− Γ
σ
λµ(δΓ
ρ
νσ)− Γρνσ(δΓσλµ)
simplificando términos, se obtiene una forma muy simple
para la variación del tensor de Riemann:
δ(Rρµλν) = 5λδΓ
ρ
νµ −5νδΓ
ρ
λµ (A-17)
Entonces, el tensor de Ricci estará dada por la com-
presión de los sub́ındices primero y tercero del tensor
de Riemann, pero la variación de éste está en función de
variaciones de los śımbolos de Christoffel en A-17, luego
δRµν = δRρµρν = 5ρδΓρνµ −5νδΓρρµ (A-18)
Entonces, la variación de S3 nos queda como
δS3 =
∫
dnx
√
(−g)gµν [5λ(δΓλνµ)−5ν(δΓλλµ)] (A-19)
En A-19 se introdujo la inversa de la métrica, debido
a A-4. Si la inversa de la métrica pasa multiplicando
a las variaciones de los śımbolos de Christoffel, y recor-
dando que en todo sistema de coordenadas 5λgµν = 0
(el hecho que localmente la métrica tenga la forma de la
métrica de Minkowski), implica que 5λgµν = 0, pues si
gµλgλν = δµν , entonces gλν 5λ gµλ + gµλ 5λ gλν = 0, y
como gλν , gµλ 6= 0, se demuestra lo requerido.
Finalmente, podemos escribir A-19 como
δS3 =
∫
dnx
√
−g5σ [gµνδΓσνµ − gµσδΓλλµ] (A-20)
La ecuación A-20 puede ser interpretada como una in-
tegral sobre un diferencial de volumen dnx
√
−g, de la
derivada covariante de una función de la métrica (pues
las variaciones en Λ también son función de la métrica).
Luego, la integral debe ser equivalente a la función misma
evaluada en el contorno, el cual se hace tender a infinito.
Escogemos que la función valga cero en la frontera, y
el término completo se hace cero. Si no hiciéramos esta
elección, obtendŕıamos un término constante en la acción
principal, lo cual no altera las ecuaciones de campo
6
obtenidas al variar la acción.
Por lo tanto,
δSH = δS1 + δS2 (A-21)
δSH =
∫
dnxRδ(
√
−g) +
∫
dnx
√
−gRµνδ(gµν) (A-22)
δSH =
∫
dnx(
√
−gRµνδgµν +R(−
1
2
√
−ggµνδgµν))
(A-23)
δSH =
∫
dnxδgµν
√
−g(Rµν −
1
2
Rgµν) (A-24)
Donde, el paso de A-23 a A-24 fue posible gracias a A-10.
Entonces, igualando a cero A-24, obtenemos que
Rµν −
1
2
Rgµν = 0 (A-25)
Las cuales corresponden a las Ecuaciones de campo de
Einstein en el vaćıo. Si inclúımos un término para la
materia en la acción, i.e. proponiendo una acción de la
forma
S =
1
16πG
SH + SM (A-26)
lo cual se corresponde con agregar un lagrangiano para
la materia LM en el integrando de A-6. Tomando A-26,
variando e igualando a cero, se obtiene
1√
−g
δS
δgµν
=1
16πG
(
Rµν −
1
2
Rgµν
)
+
1√
−g
δSM
δgµν
= 0
(A-27)
A partir de lo cual se define el tensor de enerǵıa momen-
tum
Tµν = −2
δSM
δgµν
1√
−g
(A-28)
De tal forma que se obtiene las Ecuaciones de campo de
Einstein
Rµν −
1
2
Rgµν = 8πGTµν (A-29)
REFERENCES
[1]Misner, Thorne, Wheeler - Gravitation
[2]Carroll, Sean - Spacetime and Geometry
[3]Weinberg, Stephen - Gravitation and Cosmology
[4]Brax, van de Bruck, arXiv:hep-th/0303095v1
[5]D. Langlois, arXiv:hep-th/0209261v1
[6]L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 3370,
arXiv:hep-th/9905221
[7]L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690,
arXiv:hep-th/9906064
[8]W. Israel, Nuovo Cim. B 44S10, 1 (1966), Erratum-ibid. B 48, 463
(1966)
[9]R. Battye and B. Carter, arXiv : hep− th/0101061v1
[10]Maartens R. 2001, arXiv : gr − qc/0101059
[11]Hoyle C. D. et al 2001 Phys. Rev. Lett. 86 1418
	Introducción
	Cosmología ``clásica'': Ecuaciones de Einstein
	Cosmología de Branas
	Interpretación física
	Conclusiones