Inecuaciones lineales - Teoría y Práctica.

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inecuaciones Lineales
 ¿Porque es necesario desarrollar esta 
unidad del programa?
 En diversos problemas del campo de los negocios, 
la economía y la administración se trabaja con 
condicionantes externos, que se manifiestan como 
limitaciones de cotas mínimas o máximas en los 
presupuestos, en condiciones de la demanda o de 
la oferta, el crédito, etc.
2
 Estos factores condicionantes se reflejan 
algebraicamente mediante la forma de las 
inecuaciones.
 En esta unidad del programa se va a trabajar con la 
definición de desigualdad, incorporando esta en el 
concepto de inecuación, y desarrollando luego las 
formas de resolver inecuaciones con una incógnita 
y con dos incógnitas; y luego trabajaremos con la 
resolución de sistemas de inecuaciones.
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 Estos conceptos algebraicos y técnicas tienen 
amplia aplicación en el campo profesional de 
las ciencias económicas.
 Los principios que se introducen en esta 
unidad están relacionados también con la 
programación lineal, una técnica cuantitativa 
que se va a desarrollar más extensamente y 
con mayor profundidad en otra materia más 
avanzada del programa de la carrera.
 PARA ORDENAR LOS CONCEPTOS VEAMOS 4
5
Forma de 
Resolución
Gráfica
Técnicas de 
Optimización 
Lineal
Involucran 
incógnitas
Conceptos a ser 
desarrollados:
DESIGUALDADES
Inecuaciones
Inecuaciones 
lineales con una 
incógnita
Inecuaciones 
lineales con dos 
incógnitas 
Sistemas de 
Inecuaciones 
lineales
 Los objetivos que nos planteamos son:
1. Aprender a resolver inecuaciones y sistemas de 
inecuaciones lineales con una incógnita.
2. Adquirir conocimientos y habilidades técnicas 
para resolver gráficamente sistemas de 
inecuaciones lineales identificando la región 
solución.
3. Transferir conocimientos adquiridos sobre 
ecuaciones e inecuaciones a la resolución de 
problemas de programación lineal, para los 
casos en los que se trabaja con dos incógnitas 6
Desigualdades e Inecuaciones:
Estamos familiarizados con diferentes tipos 
de relaciones: 
Igualdad: 3= 2+1; a = n; b = c + 3; etc.
LAS DESIGUALDADES SON
Relaciones del tipo: 2 < 4; 5< 8; -5>-9; 7>6; etc.
O del tipo: a ≤ b (a menor o igual que b)
c ≥ d (c mayor o igual que d)
x < y (x menor que y)
w > t (w mayor que t)
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 PROPIEDADES:
1. Si ambos miembros de una desigualdad 
le sumamos un mismo numero, el 
sentido de la desigualdad no cambia. 
2. Si ambos miembros de una desigualdad 
se los multiplica por un numero positivo 
el sentido de la desigualdad no cambia. 
3. Si ambos miembros de una desigualdad 
se los multiplica por un numero negativo 
el sentido de la desigualdad cambia.
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 Inecuación: es una desigualdad entre expresiones 
algebraicas que incluyen incógnitas:
1) 3 x + 5 ≥ 4; 2) 2z1 + x2 ≥ a; 3) x
2 + v3 ≤ w1
En fin, podemos escribir muchas formas diferentes de 
desigualdades e inecuaciones; el problema que nos 
proponemos resolver es encontrar el conjunto de valores 
de las incógnitas que en cada caso verifican esas 
desigualdades. 
De manera similar a los sistemas de ecuaciones 
ese conjunto se denomina conjunto solución.
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 Una inecuación lineal con una incógnita es 
una desigualdad entre expresiones 
algebraicas que incluyen una única variable 
y la misma esta elevada a la potencia uno.
 Ejemplos:
1. ax + b ≤ 0
2. ax + b ≥ 0
3. ax + b > 0
4. ax + b < 0 Donde a, b son números reales, 
tal que a ≠ 0
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Como se soluciona una inecuación?
La solución de esas inecuaciones anteriores 
requiere de la aplicación lógica y ordenada 
de las 3 propiedades que enunciamos en 
laminas anteriores, encontrando 
expresiones que son equivalentes pero de 
una interpretación mas simple y directa:
x +3 < 5 → x +3 – 3 < 5 -3 → x < 2
Por tanto las soluciones son todos los números 
menores que 2 (PRESENTAR EN GRAFICO) 11
Representación grafica de la inecuación x < 2:
(notar que el conjunto no debe incluir el 2)
x < 2
… -1 0 1 2 3 4 …
Representación de la inecuación x < 2 como un conjunto: S3 = {x / x ϵ R ᶺ x < 2}
La misma solución se puede representar como un intervalo: S = (- ∞ , 2)
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Ejercicios de Aplicación Practica para 
Resolver:
1. 1+4z < -2z-3
2. -⅜ x + 2 > 1
3. 2 x - ⅔ ≥ 0.5
4. 4( x - ⅕) < {(x /2) – 1}
5. (x -4)/3 ≤ (2 – 3 x )/3
6. 5 x -3 ≥ 10
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 La solución de una inecuación lineal con una
incógnita se puede expresar, o representar, 
como un conjunto, como un intervalo o bien 
gráficamente.
 EJERCICIO: Exprese las soluciones de las 
inecuaciones dadas en la lamina anterior 
sucesivamente de las 3 maneras diferentes.
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 Sistema de inecuaciones lineales con una 
incógnita: un sistema de inecuaciones es un 
conjunto de inecuaciones cuya solución 
será el conjunto de puntos que verifique 
simultáneamente todas las inecuaciones de 
dicho sistema. El conjunto vacio puede ser 
la solución de un sistema de inecuaciones 
lineales. 2 x -3 ≤ 5 (1)
EJEMPLO: - 1/3 x + 2 < 1 (2)
escribirlas➔ 5 x – 5 ≥ 10 (3) 15
Como pueden ver hemos numerado las
inecuaciones. Esto permite trabajar de manera
más ordenada. Para resolver el sistema de
inecuaciones primero se obtienen las soluciones
de cada una de las inecuaciones. Luego se
determina la solución del sistema como el
conjunto de todos los puntos que satisfacen
simultáneamente todas las inecuaciones. O sea,
se trata de la intersección de todos los puntos
que son solución para cada una de las
inecuaciones del sistema. 16
 (1) 2x – 3 ≤ 5 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4→ S1 = {x / x ϵ R ᶺ x ≤ 4 }
 (2) – 1/3 x + 2 < 1 → -1/3 x < 1-2 → x > (-3) (-1) → S2 = {x / 
x ϵ R ᶺ x > 3}
 (3) 5x + 5 ≥ 10 → 5x ≥ 5 → x ≥ 1 → S3 = {x / x ϵ R ᶺ x ≥ 1}
➢ Tenemos 3 conjuntos: S1 S2 S3 -cada uno de ellos es 
solución de una de las inecuaciones del sistema-
➢ La solución del sistema en su conjunto es la intersección 
de las soluciones de cada inecuación:
➢S = S1 ∩S2 ∩ S3= (3, 4] (PRESENTAR Grafico)
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Nuevos Ejemplos para resolver en casa:
a) -x < 6+ 2x (1)
x -2 ≤ 1 (2)
7 x > 10 + 2x (3)
b) 3x +2 ≤ 2 (1)
(-x+5)/2 < (x+1)/2 (2)
(-2x)/3 -1 ≥ 2 (3)
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Inecuaciones Lineales con 2 incógnitas:
Una inecuación lineal con 2 incógnitas puede
llevarse mediante operaciones algebraicas a
una expresión del tipo de las siguientes:
1. ax + by + c ≥ 0
2. ax + by + c > 0 
3. ax + by + c ≤ 0
4. ax + by + c < 0
Donde a,b,c, son números reales tal que :
a≠0 ᶺ b≠0
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 La solución de una inecuación con dos 
incógnitas estará formada por el conjunto 
de los pares ordenados de números reales 
(x,y) que verifiquen la correspondiente 
desigualdad.
 La manera de expresar la solución de este 
tipo de inecuaciones es a través de su 
representación grafica en un plano 
cartesiano. 20
 En el caso de una inecuación con una 
incógnita despejábamos “x”, y para 
representar la solución gráficamente, se 
tomaba como referencia un punto 
determinado en la recta que representa los 
números reales.
 Luego verificamos si el conjunto solución se 
encuentra a la derecha o a la izquierda de 
ese punto en la recta. 21
En el caso de inecuaciones con dos incógnitas,
despejamos “y”; en la relación no queda una 
constante, sino que nos queda una recta, la 
cual surge de pasar “y” al segundo miembro 
de la inecuación. De esta manera, ahora la 
solución se verifica en función de si los 
puntos que cumplen con la condición de la 
inecuación están por encima o por debajo de 
esa recta. Ejemplo:
4x-2y≥ 6 → 2x-3 ≥ y (GRAFICAR EN PLANO)
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Como sabemos, para graficar una recta basta 
encontrar dos puntos que pertenecen a ella.
Con ese par de valores (x,y) que verifican la 
ecuación de la recta podemos graficar:
Si x=0 → y= -3; si x=3/2 → y=0
Así, tenemos los puntos (0,-3) y (3/2,0) → Los 
llevamos al plano y verificamos.
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3 y=2x-3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
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La recta divide el plano en dos 
semiplanos:
Para saber cual de los semiplanos contiene el conjunto de 
puntos solución, escogemos un punto ensayo. Sea el 
punto (0,0). Con x=0 e y=0 reemplazamosen el primer 
miembro de la inecuación 4x-2y ≥6; 4.0-2.0=0; como 
“O” es “menor “ que 6, entonces no pertenece al 
conjunto solución. Vemos de inmediato que los puntos 
que verifican la inecuación (o sea el conjunto solución) 
corresponden a los puntos que se colocan encima de la 
recta, el semiplano que se encuentra sobre la recta.
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Ahora, desde el punto de vista analítico 
vemos que la solución es: 
S = {(x,y) ϵ R2 / y ≥ 2x-3}
Un nuevo ejemplo, ahora con la siguiente 
inecuación:
2x+y<2; despejando: y<-2x+2 →
→ S={(x,y) ϵ R2 / y < -2x+2}
EJERCICIO DE TAREA: Busque gráficamente la solución y 
verifique para la igualdad: y = -2x+2
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Cuando se esta en presencia de una
desigualad estricta, entonces los puntos
que se encuentran sobre la recta que
separa los semiplanos no pertenecen al
conjunto solución. La solución para cada
restricción se puede representar en un
semiplano por encima o por debajo de la
correspondiente recta. En lugar de utilizar
la técnica de un punto de ensayo, también
se puede decidir de la siguiente manera:
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Siendo la desigualdad del tipo y≤ ax+b; el 
conjunto solución serán todos los puntos que 
están por debajo de la recta y = ax+b.
Si en cambio la desigualdad del tipo y ≥ ax+b; 
el conjunto solución van a ser todos los 
puntos que están por encima de la recta: 
y = ax+b
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De manera análoga al caso de sistemas con 
una incógnita, en estos sistemas ahora la 
solución será aquella región del plano que 
satisfaga simultáneamente todas las 
inecuaciones.
De manera grafica esto se verificaría en la 
región donde se produce la intersección de 
las respectivas soluciones de cada 
inecuación.
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Resolveremos el siguiente sistema:
4x-2y ≥ 6 (1)
3x+y ≥ 2 (2)
La región solución para la 1ra inecuación:
(1) 4x-2y≥6→y≤ 2x-3→S1={(x,y)ϵ R
2 / y≤2x-3}
➔y=0 → x=3/2 ; x=0 → y=-3
En el grafico tendremos un semiplano que va 
a estar debajo de la recta y= 2x-3
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Ahora resolveremos para la otra inecuación:
(2) 3x+y ≥ 2
La región solución para la 2da inecuación es:
(2) 3x+y ≥ 2→y≥-3x+2→S2={(x,y)ϵR
2/y≥-3x+2}
➔y=0 → x= 2/3 ; x=0 → y= 2
En el grafico tendremos ahora un semiplano 
que estará encima de la recta y=-3x+2, 
como muestra la lamina a continuación. 
Naturalmente, la solución esta en la 
intersección de estos 2 semiplanos: 31
S1={(x,y)ϵ R
2 / y≤2x-3}
y=-3x+2 3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
S2={ (x,y)ϵR
2/y≥-3x+2} 
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y=2x-3
Ejercicio:
4+2y ≥ 3 (1)
2x-y ≥ 2 (2)
1) Resolver el ejercicio
2) Presentar la solución en forma grafica
3) Expresar la solución como conjuntos
Pintar en el grafico el área del conjunto de 
puntos que simultáneamente satisfacen el 
sistema de inecuaciones lineales planteado 
en el problema anterior. 33
Las inecuaciones lineales son desigualdades matemáticas que involucran una o más variables, y están compuestas por 
expresiones lineales. Estas desigualdades pueden representarse gráficamente en un plano cartesiano, y su solución 
corresponde a un conjunto de valores que satisfacen la desigualdad dada. 
Para resolver inecuaciones lineales, es importante comprender las propiedades de las operaciones matemáticas y cómo 
éstas afectan la desigualdad. Al igual que en las ecuaciones lineales, se pueden aplicar diversas operaciones para 
simplificar la inecuación y encontrar la solución.
Una de las propiedades fundamentales de las inecuaciones lineales es la capacidad de representar regiones en el plano 
cartesiano. Dependiendo de la desigualdad dada, la región de solución puede ser una recta, un semiplano o todo el 
plano. Esto permite visualizar de manera clara cuáles son los valores que satisfacen la inecuación.
Al igual que en las ecuaciones lineales, las inecuaciones lineales pueden tener una sola solución, ninguna solución o un 
conjunto infinito de soluciones. La diferencia radica en que, en el caso de las inecuaciones, se trata de un conjunto de 
valores que cumplen con la desigualdad establecida.
Es importante mencionar que al resolver inecuaciones lineales, es necesario prestar atención a las operaciones de 
multiplicación y división, ya que éstas pueden cambiar el sentido de la desigualdad. Por ejemplo, al multiplicar o dividir 
por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Otro aspecto relevante es la representación gráfica de las soluciones. Al graficar una inecuación lineal en el plano 
cartesiano, es posible identificar la región que satisface la desigualdad y determinar si se incluye o no el límite superior o 
inferior.
En resumen, las inecuaciones lineales son herramientas fundamentales en las matemáticas, ya que permiten modelar 
situaciones del mundo real en las que intervienen cantidades variables. Su resolución requiere comprender las 
propiedades de las operaciones matemáticas y su impacto en las desigualdades, así como la capacidad de representar 
gráficamente las soluciones.
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	Diapositiva 1
	Diapositiva 2: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 3: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 4: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 5: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 6: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 7: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 8: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 9: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 10: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 11: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 12: Inecuaciones Lineales
	Diapositiva 13: Aplicaciones Practicas
	Diapositiva 14: Aplicaciones Practicas
	Diapositiva 15: Aplicaciones Practicas
	Diapositiva 16: Aplicaciones Practicas
	Diapositiva 17: Aplicaciones Practicas
	Diapositiva 18: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 19: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 20: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 21: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 22: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 23: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 24: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 25: MATEMATICA III 11va Semana
	Diapositiva 26: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 27: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 28: Otras Actividades Practicas
	Diapositiva 29: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
	Diapositiva 30: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
	Diapositiva 31: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
	Diapositiva 32: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
	Diapositiva 33: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
	Diapositiva 34: Resumen: