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Non linear geomechanics applied to environmental problems in partially
saturated porous media (in spanish)
Thesis · January 2008
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1 author:
Javier L. Mroginski
National University of the Northeast
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Departamento de Mecánica Aplicada
Facultad de Ingenieŕıa
Universidad Nacional del Nordeste
GEOMECÁNICA NO LINEAL APLICADA A PROBLEMAS
AMBIENTALES EN MEDIOS POROSOS PARCIALMENTE
SATURADOS
por
Javier Luis Mroginski
Director: Dr. Ing. H. Ariel Di Rado
Co-Director: Dr. Ing. Armando M. Awruch
Tesis presentada como requisito parcial
para acceder al grado académico de
Magister en Ciencias de la Ingenieŕıa
Febrero 2008
Resumen
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas
Ambientales en Medios Porosos Parcialmente Sa-
turados
Javier Luis Mroginski
En el presente trabajo de tesis se abordan diferentes problemas referidos a la mecánica
de medios porosos saturados y parcialmente saturados, tanto en dos dimensiones como en
tres dimensiones, considerando la presencia de sustancias miscibles o inmiscibles dentro
de la estructura granular del medio. Para modelar la presencia de poluentes en el suelo se
aplicaron las ecuaciones de balance de masa y de momento lineal de la Termodinámica a
las distintas fases en que el suelo es idealizado. Por otro lado, se tuvo en cuenta dos tipos
de no linealidades en el comportamiento constitutivo del medio, la no linealidad f́ısica y
geométrica. Para el desarrollo de la primera se consideraron trabajos anteriores con buenos
resultados en suelos saturados basados en la Teoŕıa de Estados Cŕıticos, modificando la
función de fluencia (en forma cinemática e isotrópica) con la matriz de succión. El segundo
tipo de no linealidad fué descripta para materiales hipoelásticos basada en magnitudes
corotadas y permite reproducir el comportamiento de grandes deformaciones del suelo.
Los modelos matemáticos aqúı desarrollados se presentan en forma diferencial y discreta,
conformando un problema de valores de contorno cuya solución aproximada es obtenida
empleando el Método de los Elementos Finitos, para lo cual se desarrollo integramente un
software en lenguaje Fortran 90. Se presentan numerosos ejemplos académicos con el fin
de mostrar la capacidad del método para describir diferentes comportamientos mecánicos
y estados tensionales.
0
Agradecimientos
En primer lugar es mi deseo agradecer a todo el personal del Departamento de
Mecánica Aplicada y en particular al Ing. Mario Pedro Favretto si cuya determinación y
esfuerzo no podŕıa llevarse a cabo esta carrera de postgrado.
Vaya también mi más sincero agradecimiento a mis directores, Dr. Ing. H. Ariel Di
Rado y Dr. Ing. Armando M. Awruch, por la confianza depositada en mı́ para la ejecución
de esta Tesis y por ser una fuente permanente de motivación.
A las autoridades de la Facultad de Ingenieŕıa y a la Secretaŕıa General de Ciencia y
Técnica de la Universidad Nacional del Nordeste por su apoyo económico.
A mis amigos y compañeros Pablo Beneyto, Luis Kosteski y Guillermo Castro por
mostrarse dispuestos a ayudarme ante cualquier inconveniente.
Finalmente, un profundo agradecimiento a mi esposa, Cecilia, por darme la estabilidad
emocional necesaria para desempeñarse en la vida y a mis padres por enseñarme los valores
morales y por ser continuamente el ejemplo a seguir.
Javier Luis Mroginski
Febrero 2008
1
Índice general
1. Introducción 7
1.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Ecuaciones de Gobierno de la Mecánica de Medios Porosos No Satura-
dos 11
2.1. Volumen elemental representativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Cinemática de medio multifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Ecuaciones de gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Ecuaciones de balance microscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Ecuaciones de balance macroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3. Relaciones constitutivas y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Ecuaciones generales de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1. Fase sólida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2. Fase ĺıquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3. Fase gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4. Transporte de poluentes inmiscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.5. Transporte de poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Problemas No Lineales en Suelos No Saturados 39
3.1. No linealidad geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2. Forma débil de la ecuación de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Relación constitutiva objetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4. Relación constitutiva hipoelástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
ÍNDICE GENERAL
3.1.5. No linealidad geométrica en suelos no saturados . . . . . . . . . . . 44
3.2. No linealidad f́ısica. Elasto-plasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1. Teoŕıa clásica de la plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2. El modelo de estado cŕıtico aplicado a suelos . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3. Relación constitutiva para suelos saturados . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4. Adaptacióndel modelo a suelos no saturados . . . . . . . . . . . . . 52
4. Aplicación del Método de los Elementos Finitos 56
4.1. Problemas de valores de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2. Condiciones iniciales y de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Forma discreta del comportamiento de las fases . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1. Fase sólida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.2. Fase liquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3. Fase gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.4. Fase de poluente inmiscible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.5. Poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4. Modelado del transporte de poluentes inmiscibles . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5. Modelado del transporte de poluentes miscibles . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1. Sistema Desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.2. Sistema Acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Ejemplos Numéricos 72
5.1. Problemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.1. Consolidación elastoplástica unidimensional . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.2. Zapata aislada tridimensional. Análisis no lineal f́ısico. . . . . . . . 74
5.1.3. Zapata corrida. Análisis no lineal geométrico. . . . . . . . . . . . . 76
5.1.4. Talud vertical. Análisis no lineal f́ısico y geométrico. . . . . . . . . . 76
5.2. Transporte de poluentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1. Columna de suelo unidimensional. Flujo inmiscible. . . . . . . . . . 79
5.2.2. Consolidación unidimensional de suelo parcialmente saturado. Flujo
inmiscible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3. Pozo de bombeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.4. Transporte miscible en suelos no saturados. . . . . . . . . . . . . . 82
3 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
6. Conclusiones y Futuros Desarrollos 86
Bibliograf́ıa 88
I. Segunda Ley de la Termodinámica 93
Javier L. Mroginski 4
Índice de figuras
2.1. Volumen elemental representativo (REV, en inglés) . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Curva caracteŕıstica para distintos tipos de suelos, [25] . . . . . . . . . . . 24
2.3. Esquema donde se indican los parámetros a, n y m, [25] . . . . . . . . . . 25
2.4. Diferentes configuraciones de la curva Sπ−pgπ en función de los parámetros
SB, MB y LB: a) Variando LB y manteniendo constante SB y MB;
b) Variando MB y manteniendo constante SB y LB c) Variando SB y
manteniendo constante LB y MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1. Plasticidad uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Expansión cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Expansión isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1. Consolidación 3D. Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2. Trayectoria de tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3. Evolución de la presión de poro de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4. Asentamiento en función del tiempo para diferentes combinaciones de los
parámetros plásticos de la función de fluencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5. Disipación de la presión de poro da agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6. Desplazamiento en función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.7. Talud vertical. Mallado y condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . 76
5.8. Estado tensional de la presión de poro de agua a los 2 d́ıas de aplicada la
carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.9. Asentamiento superficial y presión de poro de agua para el d́ıa 20. . . . . . 77
5.10. Talud vertical: a) Deformación plástica volumétrica; b) Localización de
tensiones tangenciales; c) Estado intermedio (50% de la carga) de presión
de poro de agua; d) Estado de deformación final (factor de escala x 1.0) . . 78
5
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
5.11. Ejemplo de validación: Mallado y condiciones de borde . . . . . . . . . . . 80
5.12. Ejemplo de validación: Desplazamiento vertical vs tiempo, comparación
con resultados experimentales y numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.13. Columna de suelo unidimensional. Resultados numéricos: a) Desplazamien-
to vs. Tiempo ; b) Grado de Saturación de Poluente vs. Tiempo ; c) Presión
de Poro de Agua vs. Tiempo ; d) Presión de Poro de Poluente vs. Tiempo . 81
5.14. Mallado y condiciones de borde del problema de extracción de agua sub-
terránea en presencia de poluentes (286 elementos) . . . . . . . . . . . . . 83
5.15. Presión de poro de la agua a las 30 horas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.16. Presión de poro de la fase poluente a las 30 horas . . . . . . . . . . . . . . 84
5.17. Perfil de presión de poro de la agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.18. Perfil de concentración de poluente miscible en agua . . . . . . . . . . . . . 85
Javier L. Mroginski 6
CAṔITULO 1
Introducción
La geomecánica ambiental cubre un vasto número de problemas donde se involucran
geomateriales usualmente acoplados con el flujo de determinados fluidos y con el trans-
porte de masa.
La geomecánica ambiental trata problemas como transporte de poluentes en acúıferos
y, particularmente, en zonas no saturadas donde la deformación de la fase sólida del suelo
puede ser importante debido a la naturaleza del suelo y a los efectos de la tensión capilar.
Otra área de singular importancia dentro de la geomecánica ambiental es el estudio del
confinamiento de residuos industriales, nucleares, etc. donde el correcto diseño de los
medios de contención son un factor ambientalmente primordial.
En este trabajo se deduce un modelo matemático general para resolver problemas
geomecánicos, sin embargo, la resolución numérica se lleva a cabo sobre un modelo sim-
plificado que resulta del modelo general.
En el presente caṕıtulo se realiza un estado del arte sobre la forma en que los diferentes
autores abordan el área de la geomecánica en los últimos años.
En el caṕıtulo 2 se plantean las ecuaciones generales de gobierno de la mecánica de
medios cont́ınuos aplicada a medios porosos parcialmente saturados teniendo en cuenta
transporte de poluentes miscibles e inmiscibles. Se parten de las ecuaciones de conservación
de masa y balance de la cantidad de movimiento, y teniendo en cuenta diferentes relaciones
contitutivas, se obtienen las ecuaciones generales de gobierno para problemas multifásicos
en derivadas parciales.
En el caṕıtulo 3 se abordan los problemas no lineales de la mecánica de medios cont́ınu-
os. En una primer sección se presenta el análisis no lineal geométrico estudiado en detalle
por J.E. Manzolillo [49] y H.A. Di Rado [15], el cual será implementado numéricamente en
el caṕıtulo 3 y 4. En la siguiente sección se trata la no linealidad f́ısica de suelos saturados
y no saturados, incorporando una nueva superficie de fluencia dependiente de la succión.
El caṕıtulo 4 se plantea la solución de las ecuaciones diferenciales de gobierno deduci-
das en el caṕıtulo 2 aplicando sucesivamente el Método de Residuos Ponderados [54, 67]
y Galerkin [26] a las ecuaciones de conservación correspondientes a la fase sólida, ĺıquida
y gaseosa, y en el caso de existir poluentes en el medio poroso se tendrá para poluentes
7
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
inmiscibles,poluentes miscibles en agua y para poluentes miscibles en aire, con el fin de
arribar a los sistemas de ecuaciones algebraicas para resolver el fenómeno de transporte
de poluentes inmiscibles y miscibles, considerando elasticidad lineal y pequeñas deforma-
ciones.
En el caṕıtulo 5 se muestran ejemplos de aplicación de los diversos problemas
aqúı abordados presentando casos mostrados en la bibliograf́ıa.
Para finalizar, en el caṕıtulo 6 se presentan las conclusiones extráıdas del trabajo
realizado junto con los posibles desarrollos futuros que se desprenden del mismo.
1.1 Estado del arte
Diferentes autores han estudiado la geomecánica de medios porosos atacándolo desde
distintos puntos de vista y teniendo en cuenta consideraciones e hipótesis propias. Uno de
los primeros en escribir sobre el tema es Xikui Li [45], 1992, en cuyo trabajo se plantea
que el transporte de flúıdos en medios porosos se presenta simultáneamente en dos o más
fases dentro del poro, las cuales se encuentran separadas por una superficie de interfase.
Asume tambien que no se producen reacciones qúımicas ni cambios de fases entre los
componentes. Considera que la existencia de la presión capilar puede ser escrita en forma
de serie [56], sin tener en cuenta otros factores como la curvatura del menisco, la porosidad,
la dimensión y la forma de los poros, etc.
Por otro lado las ecuaciones de gobierno para el medio poroso deformado, que inter-
actúan con las fases de fluido, son derivadas a partir de la teoŕıa de Biot [9], la conservación
de masa para la fase sólida y la conservación de cantidad de movimiento para todo el sis-
tema. En definitiva este modelo toma como variables primarias, además de las citadas en
el párrafo anterior, los desplazamientos de la fase sólida u.
Otro autor que realizo notables aportes en el tema es B.A. Schrefler, quien en su
trabajo [59], 2001, brinda un marco teórico con el cual es posible modelar los problemas
geomecánicos por medio del Método de los Elementos Finitos (MEF), asumiendo que el
medio poroso es un sistema multifase, donde los vaćıos intersticiales de la matriz sólida
del suelo (fase sólida) están ocupados con agua (fase ĺıquida), vapor de agua y aire seco
(fase gaseosa) y contaminantes. Estos contaminantes pueden o no mezclarse con la fase
ĺıquida presente en los poros, en el caso de que no se mezclen son considerados una nueva
fase por donde fluirán los contaminantes (fase inmiscible). En este trabajo no se tratan
los contaminantes que reaccionan con alguna de las fases. El modelo numérico resultante
resuelve las ecuaciones de Cantidad De Movimiento y de Balance de Enerǵıa (Entalṕıa)
para el medio multifásico completo, ecuaciones de Balance de Masa para la fase ĺıquida y
la ecuación de Transporte de Masa para poluentes en fases acuosas y no acuosas. En caso
de contaminantes inmiscibles, las dos últimas ecuaciones son sustituidas por la ecuación
de Balance de Masa propio de cada sustancia.
Casi simultáneamente con B.A. Schrefler surge un trabajo de Daichao Sheng [62],
2002, en el cual se presenta la solución bidimensional de las ecuaciones de transporte
por advección-dispersión para contaminantes con muchos componentes por el M.E.F. La
Javier L. Mroginski 8
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
1.1. Estado del arte
formulación mostrada es general, sin embargo, el estudio presentado aqúı se restringe a
no linealidad, absorción controlada e intercambio de iones inorgánicos solubles. El méto-
do de los elementos finitos esta basado en una generalización del método unidimensional
de transporte equilibrado Petrov-Galerkin (TEPG siglas en ingles) propuesto en [61]. En
el método TEPG, el término proveniente de la reacción es tratado como una parte del
término de masa acumulada; lo cual se diferencia de la mayoŕıa de las formulaciones pre-
sentadas hasta el momento donde consideran al término de reacción como una fuente. Aśı,
la ecuación de transporte posee dos incógnitas, la concentración acuosa y la concentración
anaĺıtica total. La estrategia de solución elegida es resolver las ecuaciones de transporte
acopladas con las ecuaciones de equilibrio qúımico por un método de iteración secuencial.
No se requiere hacer simplificaciones en el término de reacción cuando se resuelve las
ecuaciones de transporte, lo que significa que estas son siempre conservativas.
Seguidamente surge un trabajo de R. Juncosa [36], en 2002, donde se plantea la res-
olución del flujo multifásico no isotérmico con transporte reactivo, el cual exige postular
los principios y las leyes básicas para poder presentar con ecuaciones matemáticas el com-
portamiento del medio poroso [35]. La formulación del balance de masa de cada especie
que constituye el medio (agua, aire, solutos) en cada fase (sólida, ĺıquida, gaseosa), del
principio de conservación de enerǵıa (transporte de calor) y de las ecuaciones de equilib-
rio qúımico, plantea un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuya integración se
puede realizar con distintos esquemas. Las ecuaciones de transporte reactivo se resuelven
desacopladamente con respecto al flujo multifásico no isotérmico. Para la resolución de
las ecuaciones qúımicas se ha aplicado el método de iteración secuencial, de tal forma que
dichas ecuaciones son resueltas en forma expĺıcita a partir de la ecuación de transporte.
Para ello se define una base de especies qúımicas denominadas primarias a partir de las
cuales, y aplicando la ley de acción de masas, se puede obtener el resto de las especies,
denominadas secundarias.
Otro autor que estudio el tema es G. Klubertanz, en 2003, quien desarrollo un tra-
bajo [39] donde presenta dos formulaciones matemáticas para estudiar el flujo de fluidos
inmiscibles y miscibles en un medio poroso deformado basadas en la mecánica del medio
continuo. Afirma que el flujo inmiscible se desarrolla en un medio trifásico y está basa-
do en la teoŕıa de mezclas para medios continuos. Las variables primarias consideradas
son el desplazamiento de la fase sólida, u, presión del poro de agua, pw, y la presión del
gas, pg. La densidad espećıfica de la fase sólida se considera constante y se asume que
el comportamiento de la fase gaseosa esta gobernada por las leyes de los gases ideales.
Además se considera que la ley de Darcy es válida para ambos flujos. Por su parte, el
modelo de flujo miscible de G. Klubertanz emplea ecuaciones masa y ecuaciones de equi-
librio para todo el sistema. Las variables primarias consideradas son el desplazamiento
de la fase sólida, u, presión del fluido, pk, la concentración de poluentes y los depósitos
espećıficos de poluentes. Este modelo esta basado en las ecuaciones generales de balance
como las obtenidas por Bear y Bachmat [5] usando técnicas aproximadas combinadas con
la presencia de poluentes.
Por último B.A. Schrefler en [60], 2004, profundiza los temas estudiados por él mismo
en [59] y analiza al suelo como un medio poroso multifásico. En dicho trabajo se estu-
dian los fenómenos de transporte dentro del marco de las teoŕıas aproximadas estableci-
das por Hassanizadeh y Gray [29, 30, 31, 32, 33, 34]. B.A. Schrefler extiende el estudio
9 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
isotérmico de estos medios desarrollados en [42, 58] abarcando problemas no isotérmicos.
En este trabajo además, se tiene en cuenta la interfase entre los diferentes componentes
del medio mediante sus propiedades termodinámicas. Establece que, cualquier fluido del
medio poroso permanecerá inmiscible sólo si no hay tensión superficial en la interfase,
dado que si la tensión superficial es nula la presión capilar se anula también, con lo cual la
presión del fluido permanecerá constante. En la deducción de las ecuaciones constitutivas
se emplea sistemáticamente el procedimiento de Coleman y Noll [13] sobre la inecuación
de entroṕıa con lo cualse asegura el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica.
Por otro lado, siguiendo este procedimiento y teniendo en cuenta [28, 33], se llega a que las
conocidas leyes de Darcy, Fick y Fourier son linearizaciones de sistemas más complejos.
Javier L. Mroginski 10
CAṔITULO 2
Ecuaciones de Gobierno de la Mecánica de
Medios Porosos No Saturados
En el presente caṕıtulo se pretende deducir las ecuaciones de gobierno de las diferentes
fases que componen el medio poroso considerado, las cuales serán descriptas a partir de
sus correspondientes ecuaciones de balance. El medio poroso aqúı considerado se compone
de tres fases, sólida, ĺıquida y gaseosa, en presencia de sustancias (poluentes) que pueden
o no constitúır una mezcla con alguna de las fases fluidas anteriores.
El comportamiento de los poluentes puede describirse de dos maneras diferentes, de-
pendiendo de su capacidad de mezclarse. En el caso más común, donde los poluentes son
inmiscibles, el comportamiento del mismo se describe como una fase más de fluido. Por
otro lado, el transporte de poluentes solubles, puede ser estudiado mediante su correspon-
diente expresión de balance cuando se trata de un medio deformable, como será realizado
en este trabajo, o bien teniendo en cuenta tres procesos de transporte: advección, difusión
y dispersión. El flujo de masa de contaminantes por advección esta ligado a gradientes de
presión, el flujo de masa por difusión se debe a la concentración de gradientes de presión
y el flujo por dispersión es atribuido a variaciones de la velocidad de infiltración durante
el transporte.
Para una correcta descripción del medio no saturado bajo condiciones no isotérmicas
debe tenerse en cuenta no sólo flujo convectivo de calor y difusión de vapor, sino también el
flujo conductivo, flujo debido a gradientes de presión o efectos capilares y la transferencia
de calor latente debido a cambios de fase (evaporación y condensación) dentro del poro.
Más allá de todo ésto, debe considerarse a los granos de la fase sólida del suelo como
indeformable, lo que da como resultado un campo de acoplado de ecuaciones de flujo, de
sólidos y térmica [59].
Se asume que los componentes del suelo son qúımicamente inertes (no reaccionan
entre si). Se considerará un equilibrio termodinámico local, es decir en cada punto. De
esta manera la temperatura en un punto del medio multifásico debe ser igual para cada
componente. Esto no quiere decir que la temperatura de todo el medio debe ser uniforme,
en realidad, indica que en cada punto puede definirse el estado termodinámico sabiendo
el valor de la temperatura en un componente (que es igual a la del resto). No se tendrá en
cuenta el efecto de la deformación de la fase sólida del suelo en la ecuación de balance
11
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
de enerǵıa. Otra aclaración que convenientes realizar es que la presión de compresión
será considerada positiva para los fluidos y negativa para la fase sólida.
Para estudia el transporte de poluentes es necesario además realizar las siguientes
hipótesis adicionales, los poluentes no modifican las propiedades mecánicas del medio y
los poluentes miscibles no producen ninguna variación en las ecuaciones de balance de
momento lineal y angular y en el balance de enerǵıa [58].
2.1 Volumen elemental representativo
La mecánica clásica asume una distribución continua de las part́ıculas (sólidas y flu-
idas), para las cuales están establecidas las leyes de balance y las relaciones constitutivas.
Los fenómenos aqúı estudiados ocurren en dominios ocupados por varias fases. La fase
que siempre esta presente es la fase sólida, o esqueleto sólido, cuyos espacios vaćıos se
consideran llenos de fluidos (ĺıquidos y gaseosos) los cuales se separan entre śı por una
superficie llamada interfase. Aqúı debe enfatizarse la diferencia que existe entre fases y
componentes. Las fases son porciones qúımicamente homogéneas del sistema multifásico
cuyo comportamiento mecánico se considera uniforme. Por su parte, los componentes son
las partes individuales que conforman las fases y se comportan también en forma inde-
pendiente, un ejemplo de ésto es lo que ocurre en la fase gaseosa, la cual puede estar
compuesta por una mezcla de gases que son los componentes.
Figura 2.1: Volumen elemental representativo (REV, en inglés)
Para describir la configuración intergranular del medio multifásico hay primordial-
mente dos niveles posibles, el microscópico y el macroscópico. A nivel microscópico se
considera se considera la estructura real del medio poroso, la cual no es homogénea. A
este nivel, las ecuaciones de gobierno se plantean para cada componente por separado, lo
que dificulta en gran medida la solución del problema. Por otro lado, las propiedades mi-
croscópicas de los medios porosos son de dif́ıcil obtención. Por estos motivos, y atendiendo
a que los detalles microscópicos por lo general escapan a los intereses de la ingenieŕıa, se
considera suficientemente preciso hacer una descripción macroscópica del medio. Como
principal caracteŕıstica, esta descripción asume que en cada punto material están presentes
simultáneamente todas las fases en sus respectivas proporciones.
Javier L. Mroginski 12
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.2. Cinemática de medio multifásico
En estos procesos una fracción de volumen ηγ = dvγ/dv puede componerse por los
siguientes elementos: [7]
Fase sólida, ηs = 1 − n, donde n = (dvw + dvg + dvπ) /dv es la porosidad y dvi es
el diferencial de volumen del elemento i dentro del volumen representativo (figura
2.1)
Fase ĺıquida: ηw = nSw, donde Sw = dvw/ (dvw + dvg + dvπ) es el grado de satu-
ración de agua.
Fase gaseosa: ηg = nSg, donde Sg = dvg/ (dvw + dvg + dvπ) es el grado de saturación
del aire.
Fase de poluente inmiscible: ηπ = nSπ, donde Sg = dvπ/ (dvw + dvg + dvπ) es el
grado de saturación del poluente.
De las ecuaciones anteriores se desprende que:
Sw + Sg + Sπ = 1 (2.1)
y la densidad del medio multifásico:
ρ = ρs + ρw + ρg + ρπ = (1− n) ρs + nSwρ
w + nSgρ
g + nSπρ
π (2.2)
donde ρi = ηiρi, es la densidad de masa media, del componente i, dentro del volumen
elemental representativo.
2.2 Cinemática de medio multifásico
El movimiento del medio multifásico será descrito con la superposición de todas sus
fases π, para π = 1, 2, . . . k. Por ejemplo, para una configuración dada, cada punto es-
pacial, x, es simultáneamente ocupado por puntos materiales Xπ de todas las fases en
la configuración actual. Sin embargo, el estado de movimiento de cada fase es indepen-
diente. En la descripción Lagrangiana o Material del movimiento, la posición de cada
punto material xπ en un tiempo t, es una función de su desplazamiento con respecto a la
configuración de referencia adoptado, Xπ , y del tiempo actual t.
xπ = xπ (Xπ, t) (2.3)
Para mantener la continuidad en todo momento, el Jacobiano, J , de esta transforma-
ción debe ser distinto de cero y estrictamente positivo [48], ya que es igual al determinante
del tensor gradiente de deformación F π.
F π = grad xπ ⇐ (F π)−1 = grad Xπ (2.4)
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Debido a que la relación lagrangiana (2.3) es no-singular, la misma puede ser invertida,
lo que resulta ser la descripción Euleriana o Espacial del movimiento:
Xπ = Xπ (xπ, t) (2.5)
Sabiendo que las funciones que describen el movimiento tienen derivadas continuas es
posible determinar la velocidad y la aceleración material de una part́ıcula de la fase π si
se conoce su trayectoria.
vπ =
∂xπ (Xπ, t)
∂t
(2.6)
aπ =
∂2xπ (Xπ, t)
∂t2
(2.7)
La expresión espacial de las ecuaciones anteriores se obtiene teniendo en cuenta la
definición (2.5). Luego, usando la regla de derivación en cadena se tiene:
aπ =
∂vπ
∂t
+ vπ · grad vπ (2.8)
Además, sabiendo que la derivada material respectodel tiempo de cualquier fun-
ción diferenciable fπ (x, t) dada en coordenadas espaciales y referida a una part́ıcula en
movimiento de la fase π es:
∂πfπ
∂t
=
∂fπ
∂t
+ vπ · grad fπ (2.9)
Si se considera ahora otra fase, α, se tendrá:
∂αfπ
∂t
=
∂fπ
∂t
+ vα · grad fπ (2.10)
Restandole a la expresión (2.9) la (2.10) se tiene:
∂αfπ
∂t
=
∂πfπ
∂t
+ vαπ · grad fπ (2.11)
donde vαπ es la velocidad relativa entre las fases α y π
vαπ = vα − vπ (2.12)
Aśı se tendrán las velocidades relativas de la fase ĺıquida, gaseosa y de poluente de la
siguiente manera.
vws = vw − vs , vgs = vg − vs , vπs = vπ − vs (2.13)
Javier L. Mroginski 14
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2.3. Ecuaciones de gobierno
El estudio de la deformación es descrito por el tensor gradiente de deformación [48],
F , cuya descomposición polar permite separar la deformación total en dos tensores, uno
que incluye puramente deformaciones, U o V , y otro que tiene en cuenta nada más que
las rotaciones como cuerpo ŕıgido, R.
F = R U = V R (2.14)
2.3 Ecuaciones de gobierno
2.3.1 Ecuaciones de balance microscópico
Se tendrá en cuenta ahora las ecuaciones de balance clásicas de la mecánica del medio
continuo usadas para describir el comportamiento microscópico de una fase π. Cabe
rescatar que, en las interfases entre dos componentes diferentes, las propiedades mate-
riales y las cantidades termodinámicas pueden presentar discontinuidades.
Para una propiedad termodinámica cualquiera, ψ, la ecuación general de conservación
dentro de la fase π puede ser escrita como [48, 53]:
∂ρψ
∂t
+ div (ρψṙ)− div i− ρ b = ρG (2.15)
donde ṙ es el valor de la velocidad de la fase π en un punto fijo del espacio, ρ es la densidad
y b es el suministro externo de ψ, i es el vector de flujo asociado a ψ y G es la producción
interna neta de ψ.
En la interfase de dos componentes π y α se debe cumplir la siguiente relación [31]
[ρψ (w − ṙ) + i]|π · n
πα + [ρψ (w − ṙ) + i]|α · n
απ = 0 (2.16)
donde w es la velocidad de la interfase, nαπ es el vector unitario normal a la fase π que
ingresa en la fase α, lógicamente debe cumplirse que nπα = −nαπ, además, el śımbolo |π
indica que el termino precendente encerrado entre corchetes [ ] debe ser evaluado en la
fase π.
Para establecer ecuaciones de balance de una propiedad termodinámica definida (dis-
tinta de ψ) se cambian las variables de estado i, b y G. En la tabla 2.1 se resume las
variables que deben ser consideradas en cada caso particular [32, 43].
En tabla 2.1 E es la enerǵıa interna espećıfica, λ es la entroṕıa espećıfica, tm es el
tensor de tensiones microscópico, q es el vector de flujo de calor, Φ es el flujo de entroṕıa,
g es el suministro externo de momentum relacionado con el campo de gravedad, h es la
fuente de calor interna, S es la fuente interna de entroṕıa y ϕ es el incremento de entroṕıa.
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Cantidad ψ i b G
Masa 1 0 0 0
Momentum ṙ tm g 0
Enerǵıa E + 0,5 ṙ · ṙ tmṙ − q g · ṙ + h 0
Entroṕıa λ Φ S ϕ
Tabla 2.1: Propiedades termodinámicas para las ecuaciones de balance microscópico
Aśı, por ejemplo, para obtener de la ecuación de balance de masa se tiene las variables
de la tabla 2.1 serán:
ψ = 1 , i = 0 , b = 0 , G = 0 (2.17)
introduciendo estos valores en (2.15) la ecuación de balance microscópico de masa resulta
ser:
∂ρ
∂t
+ div (ρṙ) = 0 (2.18)
2.3.2 Ecuaciones de balance macroscópico
Las ecuaciones de balance macroscópico se obtienen a partir de la aplicación sis-
temática del método de residuos ponderados [32, 43, 58] a la ecuación de balance mi-
croscópico (2.15), donde para cada constituyente se reemplaza la variable termodinámica
y por la correspondiente propiedad microscópica según el cuadro 2.1.
Fase sólida
Partiendo de (2.18) y recordando la expresión (2.9), que representa la derivada de una
propiedad respecto del movimiento de otra fase [42], se obtiene la expresión del balance
de masa para la fase sólida
∂ρs
∂t
+ div (ρs vs) = 0 (2.19)
donde vs es la velocidad del esqueleto sólido.
dado que,
div (ρsv
s) = ρsdiv vs + grad ρs · vs (2.20)
∂ρs
∂t
+ ρsdiv vs + grad ρs · vs = 0 (2.21)
Javier L. Mroginski 16
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.3. Ecuaciones de gobierno
y teniendo en cuenta (2.2) y (2.9) nos queda:
(1− n)
ρs
∂ρs
∂t
− ∂n
∂t
+ (1− n) div vs = 0 (2.22)
Fase ĺıquida
La ecuación microscópica de balance de masa para la fase ĺıquida es similar a la
correspondiente a la fase sólida (2.19) siendo la igualdad distinta de cero (G 6= 0) dado
que el agua puede transformase en vapor y viceversa.
∂ρw
∂t
+ ρwdiv vw = −ṁ (2.23)
donde vw es la velocidad de masa de la fase ĺıquida y −ṁ es la cantidad de agua trans-
formada en vapor por unidad de volumen.
Teniendo ahora en cuenta (2.2), (2.9) y (2.20) nos queda:
∂ (nSwρ
w)
∂t
+ nSwρ
wdiv vw = −ṁ (2.24)
Desarrollando en primer lugar la derivada temporal de la expresión anterior se tiene:
Swρ
w ∂n
∂t
+ nρw ∂Sw
∂t
+ nSw
∂ρw
∂t
+ nSwρ
wdiv vw = −ṁ (2.25)
trabajando algebraicamente, teniendo en cuenta además (2.13) y (2.20), se llega a la
siguiente relación
∂n
∂t
+
n
Sw
∂Sw
∂t
+
n
ρw
∂ρw
∂t
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) + ndiv vs = − ṁ
Swρw
(2.26)
la cual al ser sumada con (2.22) se consigue eliminar el término ∂n/∂t
(1− n)
ρs
∂ρs
∂t
+ div vs +
n
ρw
∂ρw
∂t
+
n
Sw
∂Sw
∂t
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) = − ṁ
Swρw
(2.27)
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Fase gaseosa
La fase gaseosa aqúı considerada esta compuesta por dos componentes, aire seco (ga)
y vapor de agua (gw). Dado que ambos componentes son miscibles y se comportan en
forma similar pueden ser tratados como una sola fase, pero ocuparán el mismo diferencial
de volumen, nSg.
La ecuación de balance microscópico de esta fase esta dada nuevamente por (2.18) en
el caso de despreciar la producción interna de masa de cada especie debido a las reacciones
quimicas entre ambas [29]. Aśı, la ecuación de balance para aire seco es:
∂
∂t
(nSgρga) + div (nSgρgav
ga) = 0 (2.28)
Similarmente, usando el supeŕındice gw, se tiene la ecuación de balance para el vapor
de agua:
∂
∂t
(nSgρgw) + div (nSgρgwvgw) = ṁ (2.29)
Combinando las expresiones (2.28) y (2.29), la ecuación de balance de masa para la
mezcla de aire seco y vapor de agua será:
∂
∂t
(nSgρg) + div (nSgρgv
g) = ṁ (2.30)
con ρg = ρga + ρgw y vg = 1/ρg (ρgav
ga + ρgwvgw)
Desarrollando (2.30) y teniendo en cuenta (2.9) y (2.20), nos queda una expresion que
se asemeja a (2.24)
∂ (nSgρ
g)
∂t
+ nSgρ
gdiv vg = ṁ (2.31)
Nuevamente trabajando algebraicamente con esta expresión y teniendo en cuenta
además (2.13) y (2.20), se llega a
∂n
∂t
+
n
Sg
∂Sg
∂t
+
n
ρg
∂ρg
∂t
+
1
Sgρg
div (nSgρ
g · vgs) + ndiv vs =
ṁ
Sgρg
(2.32)
la cual al ser sumada con (2.22) se consigue eliminar el término ∂n/∂t
(1− n)
ρs
∂ρs
∂t
+ div vs +
n
Sg
∂Sg
∂t
+
n
ρg
∂ρg
∂t
+
1
Sgρg
div (nSgρ
g · vgs) =
ṁ
Sgρg
(2.33)
Javier L. Mroginski 18
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.3. Ecuaciones de gobierno
Poluentes inmiscibles
Cuando el poluente presente en el medio poroso no tiene la propiedad de mezclase con
alguna de las fases no sólidas claramente, entonces se encontrará formando parte de una
nueva fase, π. Una manera de estudiar este fenómeno es considerar que el comportamiento
del poluente será similar a la fase ĺıquida [59], con lo cual es posible plantear las ecuaciones
de conservación en forma similar a dicha fase.
La ecuación de balance de masa para poluentes inmiscibles será por lo tanto similar a
(2.27) pero sin el término de generación interna, ṁ = 0.
(1− n)
ρs
∂ρs
∂t
+ div vs +
n
ρπ
∂ρπ
∂t
+
n
Sπ
∂Sπ
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.34)
Poluentes miscibles
El tratamiento del problema de transportede contaminantes solubles (ya sea en agua
o aire) se plantea empleando las ecuaciones de conservación de masa del soluto correspon-
diente, según este se disuelva en la fase ĺıquida o gaseosa. Para el caso de tener contami-
nantes solubles en agua, la ecuación de conservación es [59]:
Swc
π
w
ρs
(1− n)
∂ρs
∂t
+ ncπw
∂Sw
∂t
+ nSw
∂cπw
∂t
+ div (nSwc
π
w · vws)
+ Swc
π
wdiv vs = Iw + div (ρπDπ
w grad cπw) (2.35)
y si se considera poluentes solubles en aire, la ecuación de conservación es:
Sgc
π
g
ρs
(1− n)
∂ρs
∂t
+ ncπg
∂Sg
∂t
+ nSg
∂cπg
∂t
+ div
(
nSgc
π
g · vgs
)
+ Sgc
π
gdiv vs = Ig + div
(
ρπDπ
g grad cπg
)
(2.36)
donde Iα representa el intercambio entre las distintas fases y Dπ
α es el tensor de dispersión
efectivo, entre la fase difusiva π y la fase donde la difusión se esta llevando a cabo α
(siendo α = w, g) [30].
2.3.3 Relaciones constitutivas y de estado
Para completar la descripción del comportamiento mecánico se requiere definir las
relaciones constitutivas. Las equaciones de balance desarrolladas en la sección anterior
permite la elaboración de teoŕıas constitutivas un poco elaboradas, especialmente si estas
equaciones de balance son validas en las interfases [33].
19 Javier L. Mroginski
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Tensor de tensiones en las fases fluidas
Aplicando de segunda ley de la termodinánica el medio poroso multifásico (ver
Apéndice I) el tensor de tensiones en las fases fúıdas puede ser escrito como
tγ = −ηγpγI (2.37)
con I el tensor identidad o delta de Kronecker δij, p
γ es la presión en la fase γ y ηγ es la
fracción de volumen de la fase γ. Como se observa claramente el tensor de tensiones en
fases fluidas no posee componentes desviadoras.
Tensor de tensiones en la fase sólida
Nuevamente, al aplicar de segunda ley de la termodinánica el medio poroso multifásico
(ver Apéndice I) se demuestra que el tensor de tensiones en la fase sólida es
ts = (1− n) (ts
e − Ips) (2.38)
mientras que la presión en la fase sólida es [51]
ps = Swp
w + Sgp
g + Sπp
π (2.39)
y el tensor de tensiones efectivo es
σ′ = (1− n) ts
e (2.40)
Introduciendo (2.39) en (2.38)
ts = (1− n) [ts
e − I (Swp
w + Sgp
g + Sπp
π)] (2.41)
La fracción de volumen (1− n) indica que ts es la tensión ejercida sobre la fase sólida
por unidad de area y el término ts
e se define en el Apéndice I. Con el objeto de obtener
la tensión total, σ, se suma la expresión (2.41) con (2.37) escrita para las fases ĺıquidas,
gaseosas y de poluentes.
σ = ts + tw + tg + tπ =
(1− n) [ts
e − I (Swp
w + Sgp
g + Sπp
π)]− nSwp
wI − nSgp
gI − nSπp
πI =
(1− n) ts
e − I (Swp
w + Sgp
g + Sπp
π) (2.42)
Esta expresión puede ser ordenada de la forma más conocida en la mecánica de suelos
[24, 40]
σ = σ′ + I (pwSw + pgSg + pπSπ) (2.43)
Javier L. Mroginski 20
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2.3. Ecuaciones de gobierno
Densidad de la masa sólida
Al considerar que la fase sólida es compresible se puede obtener una relación de la
variación temporal de la densidad de la masa sólida a partir de la ecuación diferencial de
conservación de masa [58]
∂ (ρsV s)
∂t
= 0 (2.44)
Asumiendo que la densidad de la masa sólida es una función de ps (2.39), de la tem-
peratura y del primer invariante del tensor de tensiones efectivo se tiene,
1
ρs
∂ρs
∂t
= − 1
Vs
∂Vs
∂t
=
1
Ks
∂ps
∂t
− βs
∂T
∂t
− 1
3 (n− 1)Ks
∂ (trσ′)
∂t
(2.45)
donde se tuvo en cuenta
1
ρs
∂ρs
∂ps
=
1
Ks
1
ρs
∂ρs
∂T
= −βs
1
ρs
∂ρs
∂ (trσ′)
=
1
3 (n− 1)Ks
(2.46)
donde Ks es coeficiente de compresibilidad del grano, βs es el coeficiente de expansión
térmico del grano y trσ′ es el primer invariante del tensor de tensiones efectivo.
Teniendo en cuenta ahora la relación constitutiva para el primer invariante del tensor
de tensiones efectivo [48].
∂trσ′
∂t
= 3KT
(
divvs +
1
Ks
∂ps
∂t
− βs
∂T
∂t
)
(2.47)
donde KT es el módulo de deformación volumétrico.
Teniendo en cuenta la definición de la constante de Biot [10]
(1− α) =
KT
Ks
(2.48)
y las expresiones (2.47) y (2.45) se obtiene,
1
ρs
∂ρs
∂t
=
1
1− n
[
(α− n)
1
Ks
∂ps
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
(2.49)
Para granos incompresibles 1/Ks = 0, α = 1, lo cual no implica que el esqueleto sólido
sea ŕıgido, dado que se reacomodan los espacios vaćıos.
21 Javier L. Mroginski
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Ecuación de estado para la fase ĺıquida
La ecuación de estado para el agua ha sido desarrollada por [21] y viene dado por:
ρw = ρwoexp [−βwT + Cw (pw − pwo)] (2.50)
donde el supeŕındice o indica que se trata del estado inicial, βw es el coeficiente de ex-
pansión térmica y Cw es el coeficiente de compresibilidad. Teniendo en cuenta sólo los
terminos de primer orden del desarrollo en serie de (2.50) se obtiene
ρw = ρwo [1− βwT + Cw (pw − pwo)] (2.51)
siendo su variación en el tiempo
1
ρwo
∂ρw
∂t
=
1
Kw
∂pw
∂t
− βw
∂T
∂t
(2.52)
donde Kw = 1/Cw es módulo de masa del agua. La ecuación anterior puede ser obtenida
también a partir de la expresión diferencial de la ecuación de balance de masa [42] de la
siguiente manera. La ecuación diferencial de conservación de masa para la fase ĺıquida es
∂ (ρwV w)
∂t
= 0 (2.53)
Desarrollando esta derivada y teniendo en cuenta que ρw = ρw (pw, T ) se tiene,
1
ρw
∂ρw
∂t
= − 1
V w
∂V w
∂t
=
1
ρw
(
∂ρw
∂pw
∂pw
∂t
+
∂ρw
∂T
∂T
∂t
)
(2.54)
haciendo
1
ρwo
∂ρw
∂pw
=
1
Kw
1
ρwo
∂ρw
∂T
= −βw
(2.55)
se obtiene
1
ρwo
∂ρw
∂t
=
1
Kw
∂pw
∂t
− βw ∂T
∂t
(2.56)
Javier L. Mroginski 22
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.3. Ecuaciones de gobierno
Ecuación de estado para la fase gaseosa
La fase gaseosa puede ser considerada como una mezcla perfecta de gases ideales, aire
seco y vapor de agua. Aśı es posible usar las leyes de gases ideales relacionando la presión
parcial, pgγ, del componente γ, la concentración de masa, ρgγ, del componente γ en la fase
gaseosa y la temperatura absoluta θ.
Las ecuaciones de estado de una gas perfecto, aplicado a aire seco(ga), vapor de agua
(qw) y aire húmedo (g) son [42]
pga = ρgaθR/Ma
pgw = ρgwθR/Mw
ρg = ρga + ρgw
pg = pga + pgw
Mg =
(
ρgw
ρg
1
Mw
+
ρga
ρg
1
Ma
)−1
(2.57)
donde Mγ es la masa molar del componente γ y R es la constante universal de los gases.
Curva caracteŕıstica del suelo
Los primero modelos de elementos finitos para suelos no saturados [37] no consideraban
la variación del grado de saturación con el tiempo, lo cual daba como resultado sistemas
de ecuaciones de simétricos de sencilla solución. Posteriormente, haciendo un análisis
más riguroso, numerosos autores [1, 7, 25, 47, 57, 64] que estudiaron el comportamiento
de suelos parcialmente saturados encontraron que existe una relación entre el grado de
saturación, Sw, y la succión, pgw = pg − pw, la cual denominaron curva caracteŕıstica.
Los modelos matemáticos que emplean esta relación [42, 46] poseen gran capacidad
de predicción al ser comparados con resultados experimentales, sin embargo pierden la
simetŕıa del sistema de ecuaciones, conduciendo a soluciones más costosas desde el punto
de vista computacional.
Por su lado, P.A. Beneyto [7, 8], basándose en la morfoloǵıa de la relación Grado
de Saturación-Succión, propuso un modelo para suelos no saturados capaz de resolver
alternativamente el sistema simétrico o no simétrico según la importancia que adquiera
la variación la curva caracteŕıstica.
Los autores Fredlund and Xing dieron [25], en 1994, una expresión matemática de la
curva caracteŕıstica que se adapta fácilmente a numerosos tipos de suelo (ver figura 2.2),
dicha expresión fue empleada en este trabajo y es la siquiente:
Sw =
1−
 ln
(
1 + pgw
pgw
r
)
ln
(
1 + 106
pgw
r
)

[
Sw0
(ln (e+ (pgw/a)n))
m
]
(2.58)
23 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de laIngenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
donde pgw
r es el valor de succión correspondiente al contenido residual de agua y Sw0 es
el grado de saturación inicial. En la figura 2.3 se aprecia el significado de algunos de los
coeficientes de (2.58): a = pgw
i valor de la succión en el punto de inflexión de la curva
caracteŕıstica, m = 3,67 ln
(
Sw0
Swi
)
pgw
r siendo Swi
el valor del grado de saturación en el
punto de inflexión, n = 1,31m+1
m Sw0
3,72 · s · pgw
i , s =
Sw0
pgw
p −pgw
i
pendiente.
Figura 2.2: Curva caracteŕıstica para distintos tipos de suelos, [25]
Otra ecuación de fundamental importancia en este trabajo es la derivada de (2.58)
respecto de la succión [18]:
∂Sw
∂pgw
=
1−
ln
(
1 + pgw
pgw
r
)
ln
(
1 + 106
pgw
r
)

{
Sw0(−m)
[
ln
(
e+
(
pgw
a
)n)](−m−1)

(
n
(
pgw
a
)(n−1) (
1
a
))(
e+
(
pgw
a
)n)
 +

(
1
pgw
r
)
(
ln
(
1 + 106
pgw
r
)) (
1 + pgw
pgw
r
)

{
Sw0(
ln
(
e+
(
pgw
a
)n))m
}
(2.59)
Dado que, con la presencia de sustancias inmiscibles en el suelo, el problema se torna
multifásico, surge una nueva relación de succión pgπ = pg − pπ, siendo pπ la presión de
poro de poluente [51]. En virtud de que la nueva fase inmiscible se comporta similar a la
Javier L. Mroginski 24
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
Figura 2.3: Esquema donde se indican los parámetros a, n y m, [25]
fase ĺıguida, pero no igual, debe plantearse una nueva relación Sπ−pgπ. Para este trabajo
se adopto la siguente expresión:
Sπ = sb− (sb−mb) tanh (lb pgπ) (2.60)
donde sb, mb y lb con parámetros de ajuste que permiten adaptar la curva a distintas
configuraciones.
Al igual que la curva caracteŕıstica de Fredlund and Xing, esta relación tiene la ca-
pacidad de adoptar diferentes formas (ver figura 2.4). Otra propiedad importante de esta
expresión es que al ser más simple que la (2.58) puede ser invertida con facilidad, lo cual
agiliza el cálculo numérico del problema, no siendo necesario la implementación de un
algoritmo iterativo (como ser el de Newton-Raphson) para obtener el valor de succión
para un grado de saturación dado.
2.4 Ecuaciones generales de campo
Las leyes de balance macroscópicos son ahora transformadas introduciendo las rela-
ciones constitutivas definidas en la sección 2.3.3
2.4.1 Fase sólida
El comportamiento de la fase sólida puede ser descripta con suficiente precisión por
medio de la ecuación de balance de momento lineal, la cual se obtiene a partir de (2.15)
estableciendo correctamente las variables de estado i, b y G [42].
LT σ + ρg = 0 (2.61)
25 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
Figura 2.4: Diferentes configuraciones de la curva Sπ − pgπ en función de los parámetros
SB, MB y LB: a) Variando LB y manteniendo constante SB y MB; b) Variando MB
y manteniendo constante SB y LB c) Variando SB y manteniendo constante LB y MB
Javier L. Mroginski 26
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
siendo: ρ la densidad del medio multifásico (2.2),
ρ = ρs + ρw + ρg + ρπ = (1− n) ρs + nSwρ
w + nSgρ
g + nSπρ
π (2.62)
el operador diferencial:
LT =
∂/∂x 0 0 ∂/∂y 0 ∂/∂z
0 ∂/∂y 0 ∂/∂x ∂/∂z 0
0 0 ∂/∂z 0 ∂/∂y ∂/∂x
(2.63)
y el tensor de tensiones σ, que aprovechando su simetŕıa puede ser expresado como vector
σT = {σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx} (2.64)
2.4.2 Fase ĺıquida
Derivando la relación entre los grados de saturación de las diferentes fases (2.1) con
respecto al tiempo y despejando ∂Sg/∂t se tiene
∂Sg
∂t
= −∂Sw
∂t
− ∂Sπ
∂t
(2.65)
Teniendo en cuenta la ecuación de estado de la fase ĺıquida (2.52), la definición de
presión en la fase sólida (2.39) y la densidad de la fase sólida (2.49), en la ecuación de
balance macroscópico de la fase ĺıquida (2.27), se tiene
[
(α− n)
Ks
∂ps
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
+ div vs +
n
Kw
∂pw
∂t
− βwn
∂T
∂t
+
n
Sw
∂Sw
∂t
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) = − ṁ
Swρw
(2.66)
(α− n)
Ks
∂ (pwSw + pgSg + pπSπ)
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
+ α div vs +
n
Kw
∂pw
∂t
− nβw
∂T
∂t
+
n
Sw
∂Sw
∂t
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) = − ṁ
Swρw
(2.67)
(α− n)
Ks
[
Sw
∂pw
∂t
+ pw ∂Sw
∂t
+ Sg
∂pg
∂t
+ pg
(
−∂Sw
∂t
− ∂Sπ
∂t
)
+ Sπ
∂pπ
∂t
+ pπ ∂Sπ
∂t
]
− βs (α− n)
∂T
∂t
+ α div vs +
n
Kw
∂pw
∂t
− nβw
∂T
∂t
+
n
Sw
∂Sw
∂t
27 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) = − ṁ
Swρw
(2.68)
[
Sw
(α− n)
Ks
+
n
Kw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ
]
∂pπ
∂t
+ α div vs
+ [− (α− n) βs − nβw]
∂T
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pw − (α− n)
Ks
pg +
n
Sw
]
∂Sw
∂t
+
(α− n)
Ks
[pπ − pg]
∂Sπ
∂t
+
1
Swρw
div (nSwρ
w · vws) = − ṁ
Swρw
(2.69)
Considerando el operador diferencial (2.63) el término div vs puede ser expresado
como:
div vs = mT ∂ε
∂t
= mTL
∂u
∂t
(2.70)
siendo
mT = [1, 1, 1, 0, 0, 0]T (2.71)
Por su parte el valor de div (nSwρ
w · vws) puede aproximarse en forma discreta a [42]:
div (nSwρ
w · vws) = ∇T
[
kkrw
µw
(−∇pw + ρwg)
]
(2.72)
donde k es la permeabilidad intrinsica, krw es la permeabilidad relativa de la fase ĺıquida
y µ es la viscosidad dinámica.
Introduciendo (2.70) y (2.72) en la ecuación de balance para la fase ĺıquida (2.69),
multiplicando miembro a miembro por Sw y anulando el término ∂T/∂t y ṁ = 0 para
problemas isotérmicos, se tiene:
[
S2
w
(α− n)
Ks
+
nSw
Kw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SwSg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SwSπ
]
∂pπ
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Swp
w − (α− n)
Ks
Swp
g + n
]
∂Sw
∂t
+ Sw
(α− n)
Ks
[pπ − pg]
∂Sπ
∂t
+
1
ρw
∇T
[
kkrw
µw
(−∇pw + ρwg)
]
= 0 (2.73)
Para los términos ∂Sw/∂t y ∂Sπ/∂t es posible hacer la siguiente consideración [8]
n
∂Sw
∂t
= n
∂Sw
∂pgw
∂pgw
∂t
= Cw
∂pgw
∂t
= Cw
(
∂pg
∂t
− ∂pw
∂t
)
n
∂Sπ
∂t
= n
∂Sπ
∂pgπ
∂pgπ
∂t
= Cπ
∂pgπ
∂t
= Cπ
(
∂pg
∂t
− ∂pπ
∂t
) (2.74)
Javier L. Mroginski 28
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
Donde n∂Sw/∂p
gw = Cw es la derivada de la curva caracteŕıstica (Sw − pgw)[25] del suelo
estudiado y los términos de succión pgw y pgπ están dados por
pgw = pg − pw
pgπ = pg − pπ (2.75)
Dado que la fase π se comporta como un fluido es factible realizar un análisis similar
a caso anterior implementando una nueva curva Sπ − pgπ, definiendo n∂Sπ/∂p
gπ = Cπ de
igual manera [55]. Una forma de variación posible es mediante el empleo de la tangentes
hiperbólicas [11].
Teniendo en cuenta las relaciones (2.74) en (2.73).
[
(α− n)
Ks
Sw
(
Sw − pwCw
n
+ pgCw
n
)
+
nSw
Kw
− Cw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sw
(
Sg + pwCw
n
− pgCw
n
+ (pπ − pg)
Cπ
n
)
+ Cw
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sw
(
Sπ − (pπ − pg)
Cπ
n
)]
∂pπ
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
1
ρw
∇T
[
kkrw
µw
(−∇pw + ρwg)
]
= 0 (2.76)
O bien,
α21L
∂u
∂t
+ α22
∂pw
∂t
+ α23
∂pg
∂t
+ α24
∂pπ
∂t
+
1
ρw
∇T
[
kkrw
µw
(−∇pw + ρwg)
]
= 0 (2.77)
con
α21 = α SwmT
α22 =
(α− n)
Ks
Sw
(
Sw − pwCw
n
+ pgCw
n
)
+
nSw
Kw
− Cw
α23 =
(α− n)
Ks
Sw
(
Sg + pwCw
n
− pgCw
n
+ (pπ − pg)
Cπ
n
)
+ Cw
α24 =
(α− n)
Ks
Sw
(
Sπ − (pπ − pg)
Cπ
n
)
(2.78)
2.4.3 Fase gaseosa
Partiendo de la ecuación de balance de masa para la fase gaseosa (2.33) e introduciendo
la ecuación de estado para la mezcla gaseosa (2.57) se tiene
29 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
(1− n)
ρs
∂ρs
∂t
+ div vs +
n
Sg
∂Sg
∂t
+
n
ρg
∂
∂t
[
1
θR
(pgaMa + pgwMw)
]
+
1
Sgρg
div (nSgρ
g · vgs) =
ṁ
Sgρg
(2.79)
Considerando ahora la densidad de la fase sólida (2.49) y la expresión para la presión
en la fase sólida (2.39) en la relación anterior
[
(α− n)
Ks
∂ps
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
+ div vs +
n
Sg
∂Sg
∂t
+
n
ρg
∂
∂t
[
1
θR
(pgaMa + pgwMw)
]
+
1
Sgρgdiv (nSgρ
g · vgs) =
ṁ
Sgρg
(2.80)
Sg (α− n)
Ks
∂
∂t
(pwSw + pgSg + pπSπ)− Sgβs (α− n)
∂T
∂t
+ α Sgdiv vs
+ n
∂Sg
∂t
+
nSg
ρg
∂
∂t
[
pgMg
θR
]
+
1
ρg
div (nSgρ
g · vgs) =
ṁ
ρg
(2.81)
Agrupando términos, teniendo en cuenta la tasa del grado de saturación de la fase
gaseosa (2.65) y considerando que el problema en estudio es isotérmico se tiene:
[
(α− n)
Ks
SgSw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
S2
g
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SgSπ
]
∂pπ
∂t
+ αSg div vs
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pw − pg)− n
]
∂Sw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pπ − pg)− n
]
∂Sπ
∂t
+
nSgMg
ρgθR
∂pg
∂t
+
1
ρg
div (nSgρ
g · vgs) =
ṁ
ρg
(2.82)
Procediendo en forma similar a la fase ĺıquida se tienen en cuenta las expresiones (2.70)
y (2.72) en la expresión anterior, obteniéndose:
[
(α− n)
Ks
SgSw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
S2
g
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SgSπ
]
∂pπ
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pw − pg)− n
]
∂Sw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pπ − pg)− n
]
∂Sπ
∂t
+ αSg mTL
∂u
∂t
+
nSgMg
ρgθR
∂pg
∂t
+
1
ρg
∇T
[
kkrg
µg
(−∇pg + ρgg)
]
= 0 (2.83)
Javier L. Mroginski 30
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
Teniendo en cuenta las consideraciones llevadas a cabo en (2.74)
[
(α− n)
Ks
SgSw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
S2
g
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SgSπ
]
∂pπ
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pw − pg)− n
]
Cw
n
(
∂pg
∂t
− ∂pw
∂t
)
+
[
(α− n)
Ks
Sg (pπ − pg)− n
]
Cπ
n
(
∂pg
∂t
− ∂pπ
∂t
)
+ αSg mTL
∂u
∂t
+
nSgMg
ρgθR
∂pg
∂t
+
1
ρg
∇T
[
kkrg
µg
(−∇pg + ρgg)
]
= 0 (2.84)
[
(α− n)
Ks
SgSw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
S2
g
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SgSπ
]
∂pπ
∂t
+
Cw
n
∂pg
∂t
[
(α− n)
Ks
Sg (pw − pg)− n
]
− Cw
n
∂pw
∂t
[
(α− n)
Ks
Sg (pw − pg)− n
]
+
Cπ
n
∂pg
∂t
[
(α− n)
Ks
Sg (pπ − pg)− n
]
− Cπ
n
∂pπ
∂t
[
(α− n)
Ks
Sg (pπ − pg)− n
]
+ αSg mTL
∂u
∂t
+
nSgMg
ρgθR
∂pg
∂t
+
1
ρg
∇T
[
kkrg
µg
(−∇pg + ρgg)
]
= 0 (2.85)
[
(α− n)
Ks
Sg
(
Sw −
Cw
n
(pw − pg)
)
+ Cw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
(
Sg +
Cw
n
(pw − pg) +
Cπ
n
(pπ − pg)
)
− Cw − Cπ +
nSgMg
ρgθR
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
(
Sπ −
Cπ
n
(pπ − pg)
)
+ Cπ
]
∂pπ
∂t
+ αSg mTL
∂u
∂t
+
1
ρg
∇T
[
kkrg
µg
(−∇pg + ρgg)
]
= 0 (2.86)
la cual puede ser expresada de manera similar a (2.77)
α31L
∂u
∂t
+ α32
∂pw
∂t
+ α33
∂pg
∂t
+ α34
∂pπ
∂t
+
1
ρg
∇T
[
kkrg
µg
(−∇pg + ρgg)
]
= 0 (2.87)
31 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
con
α31 = αSg mT
α32 =
(α− n)
Ks
Sg
(
Sw +
Cw
n
(pg − pw)
)
+ Cw
α33 =
(α− n)
Ks
Sg
(
Sg −
Cw
n
(pg − pw)− Cπ
n
(pg − pπ)
)
− Cw − Cπ +
nSgMg
ρgθR
α34 =
(α− n)
Ks
Sg
(
Sπ +
Cπ
n
(pg − pπ)
)
+ Cπ
(2.88)
2.4.4 Transporte de poluentes inmiscibles
Como se mencionó con anterioridad, en el estudio del transporte de poluentes en
medios porosos es necesario diferenciar si éstos tienen la capacidad o no de disolverse en
alguna de las fases no sólidas existentes (ĺıquida o gaseosa). En esta sección se planteará el
estudio del transporte de poluentes, o materia, inmiscibles dejando el problema de polu-
entes miscibles para la siguiente sección.
Cuando la materia no puede mezclarse con la fase ĺıquida claramente está formando
parte de una nueva fase, π, y el planteo de las ecuaciones de conservación se lleva a cabo
en forma idéntica a caso de la fase ĺıquida.
La ecuación de balance de masa para poluentes inmiscibles [59] es por lo tanto muy
similar a la correspondiente a la fase ĺıquida pero sin el término de generación interna,
ṁ = 0, y fue introducida en (2.34)
Teniendo en cuenta dicha expresión y nuevamente las ecuaciones (2.39), (2.49) y (2.52)
se tiene:
[
(α− n)
Ks
∂ps
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
+ div vs +
n
Kπ
∂pπ
∂t
− βπn
∂T
∂t
+
n
Sπ
∂Sπ
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.89)
(α− n)
Ks
∂ (pwSw + pgSg + pπSπ)
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
+ α div vs +
n
Kπ
∂pπ
∂t
− nβπ
∂T
∂t
+
n
Sπ
∂Sπ
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.90)
(α− n)
Ks
[
Sw
∂pw
∂t
+ pw ∂Sw
∂t
+ Sg
∂pg
∂t
+ pg ∂Sg
∂t
+ Sπ
∂pπ
∂t
+ pπ ∂Sπ
∂t
]
Javier L. Mroginski 32
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
− βs (α− n)
∂T
∂t
+ α div vs +
n
Kπ
∂pπ
∂t
− nβπ
∂T
∂t
+
n
Sπ
∂Sπ
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.91)
[
(α− n)
Ks
Sw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ +
n
Kπ
]
∂pπ
∂t
+ α div vs
+
[
(α− n)
Ks
pw
]
∂Sw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pg
]
∂Sg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pπ +
n
Sπ
]
∂Sπ
∂t
+ [− (α− n) βs − nβπ]
∂T
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.92)
Finalmente se obtiene:
[
(α− n)
Ks
Sw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ +
n
Kπ
]
∂pπ
∂t
+ α div vs
+
[
(α− n)
Ks
pw
]
∂Sw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pg
]
∂Sg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pπ +
n
Sπ
]
∂Sπ
∂t
− βπs
∂T
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.93)
con βπs = [(α− n) βs + nβπ]
Procediendo en forma similar a las fases anteriores, se tiene en cuenta primeramente
la expresión (2.65) y luego (2.70), (2.72) y (2.74) en las expresión diferencial de balance
de masa (2.93).
[
(α− n)
Ks
Sw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ +
n
Kπ
]
∂pπ
∂t
+ α div vs +
[
(α− n)
Ks
pw
]
∂Sw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
pg
](
−∂Sw
∂t
− ∂Sπ
∂t
)
+
[
(α− n)
Ks
pπ +
n
Sπ
]
∂Sπ
∂t
+
1
Sπρπ
div (nSπρ
π · vπs) = 0 (2.94)
Trabajando algebraicamente y multiplicando miembro a miembro por Sπ se tiene
[
(α− n)
Ks
SπSw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
SπSg
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
S2
π +
nSπ
Kπ
]
∂pπ
∂t
+ α Sπm
TL
∂u
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπp
w − (α− n)
Ks
Sπp
g
]
Cw
n
(
∂pg
∂t
− ∂pw
∂t
)
33 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
+
[
(α− n)
Ks
Sπp
π − (α− n)
Ks
Sπp
g +
nSπ
Sπ
]
Cπ
n
(
∂pg
∂t
− ∂pπ
∂t
)
+
1
ρπ
∇T
[
kkrπ
µπ
(−∇pπ + ρπg)
]
= 0 (2.95)
Sπ
{
(α− n)
Ks
Sw −
[
(α− n)
Ks
(pw − pg)
]
Cw
n
}
∂pw
∂t
+ Sπ
{
(α− n)
Ks
Sg
+
[
(α− n)
Ks
(pw − pg)
]
Cw
n
+
[
(α− n)
Ks
(pπ − pg) +
n
Sπ
]
Cπ
n
}
∂pg
∂t
+ Sπ
{
(α− n)
Ks
Sπ +
n
Kπ
−
[
(α− n)
Ks
(pπ − pg) +
n
Sπ
]
Cπ
n
}
∂pπ
∂t
+ α Sπm
TL
∂u
∂t
+
1
ρπ
∇T
[
kkrπ
µπ
(−∇pπ + ρπg)
]
= 0 (2.96)
[
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sw − (pw − pg)
Cw
n
]]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sg + (pw − pg)
Cw
n
+ (pπ − pg)
Cπ
n
]
+ Cπ
]
∂pg
∂t
+
[
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sπ − (pπ − pg)
Cπ
n
]
+
nSπ
Kπ
− Cπ
]
∂pπ
∂t
+ α Sπm
TL
∂u
∂t
+
1
ρπ
∇T
[
kkrπ
µπ
(−∇pπ + ρπg)
]
= 0 (2.97)
expresada de manera similar a (2.77) se tiene
α41L
∂u
∂t
+ α42
∂pw
∂t
+ α43
∂pg
∂t
+ α44
∂pπ
∂t
+
1
ρπ
∇T
[
kkrπ
µπ
(−∇pπ + ρπg)
]
= 0 (2.98)
con
α41 = α Sπm
T
α42 =
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sw − (pw − pg)
Cw
n
]
α43 =
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sg + (pw − pg)
Cw
n
+ (pπ − pg)
Cπ
n
]
+ Cπ
α44 =
(α− n)
Ks
Sπ
[
Sπ − (pπ − pg)
Cπ
n
]
+
nSπ
Kπ
− Cπ
(2.99)
Javier L. Mroginski 34
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
2.4.5 Transporte de poluentes miscibles
El tratamiento del problema de transporte de contaminantes solubles (ya sea en agua
o aire) se plantea empleando las ecuaciones de conservación de masa del soluto correspon-
diente [59], según este se disuelva en la fase ĺıquida (2.35) o gaseosa (2.36). Por otro lado,
algunos autores afirman que éste flujo no afecta el comportamiento de la fase sólida por
lo cual no presenta acoplamiento con las restantes fases [39, 36], de esta manera cabe la
posibilidad de ser resuelto luego de que las variables primarias fueron obtenidas, lo cual
será motivo de discusión en caṕıtulos posteriores.
Al igual que en la sección 2.4.4 la variable primaria a considerar puede optarse entre
presión del poluente pπ, o concentración del poluente en la fase ĺıquida cw, o en la fase
gaseosa cg. Para este trabajo de tesis se escogió la concentración como variable primaria.
Contaminantessolubles en agua
La diferencia entre el modelo de transporte de poluentes solubles en agua o aire reside
en la ecuación de conservación de masa.
En el caso de tener contaminantes solubles en agua, la ecuación de conservación esta
dada por (2.35).
Considerando primeramente la densidad de la fase sólida (2.49) se tiene:
Swc
π
w
[
(α− n)
Ks
∂ps
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
+ ncπw
∂Sw
∂t
+ nSw
∂cπw
∂t
+ div (nSwc
π
w · vws) + Swc
π
wdivvs = Iw + div (ρπDπ
w grad cπw) (2.100)
Las expresiones (2.39) y (2.65) en el caso de flujo de sustancias solubles sufren una
ligera modificación en virtud de que el problema se torna trifásico, es decir,
ps = pwSw + pgSg (2.101)
Sw + Sg = 1 ⇒ ∂Sg
∂t
= −∂Sw
∂t
(2.102)
reemplazando (2.101) en (2.100) y trabajando algebraicamente se tiene,
Sw
[
(α− n)
Ks
∂ (pwSw + pgSg)
∂t
− βs (α− n)
∂T
∂t
− (1− α) div vs
]
+ n
∂Sw
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) + Swdiv vs =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.103)
35 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
Sw
(α− n)
Ks
∂ (pwSw + pgSg)
∂t
− Swβs (α− n)
∂T
∂t
− Sw (1− α) div vs + n
∂Sw
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) + Swdiv vs =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.104)
Sw
(α− n)
Ks
[
Sw
∂pw
∂t
+ pw ∂Sw
∂t
+ Sg
∂pg
∂t
+ pg ∂Sg
∂t
]
− Swβs (α− n)
∂T
∂t
− Sw (1− α) div vs + n
∂Sw
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) + Swdiv vs =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.105)
[
S2
w
(α− n)
Ks
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
]
∂pg
∂t
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n
]
∂Sw
∂t
+[
pgSw
(α− n)
Ks
]
∂Sg
∂t
− Swβs (α− n)
∂T
∂t
+ α Swdiv vs+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.106)
Procediendo en forma similar a las fases anteriores, se tiene en cuenta primeramente
la expresión (2.65) modificada en (2.102) y luego (2.70), (2.72) y (2.65) en las expresión
diferencial de balance de masa para poluentes solubles en la fase ĺıquida (2.65). Además
se considera flujo isotérmico.
[
S2
w
(α− n)
Ks
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
]
∂pg
∂t
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n
]
∂Sw
∂t
−
[
pgSw
(α− n)
Ks
]
∂Sw
∂t
+ α Swdiv vs +
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws)
=
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.107)
[
S2
w
(α− n)
Ks
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
]
∂pg
∂t
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
∂Sw
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.108)
Javier L. Mroginski 36
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
2.4. Ecuaciones generales de campo
[
S2
w
(α− n)
Ks
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
]
∂pg
∂t
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
Cw
n
(
∂pg
∂t
− ∂pw
∂t
)
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.109)
[
S2
w
(α− n)
Ks
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
]
∂pg
∂t
−
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
Cw
n
∂pw
∂t
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
Cw
n
∂pg
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.110)
[
S2
w
(α− n)
Ks
−
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
Cw
n
]
∂pw
∂t
+
[
SgSw
(α− n)
Ks
+
[
pwSw
(α− n)
Ks
+ n− pgSw
(α− n)
Ks
]
Cw
n
]
∂pg
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.111)
[
(α− n)
Ks
[
S2
w − pwSw
Cw
n
+ pgSw
Cw
n
]
− Cw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
[
SgSw + pwSw
Cw
n
− pgSw
Cw
n
]
+ Cw
]
∂pg
∂t
+ α SwmTL
∂u
∂t
+
nSw
cπw
∂cπw
∂t
+ div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.112)
expresada de manera similar a (2.77) se tiene
αw
41L
∂u
∂t
+αw
42
∂pw
∂t
+αw
43
∂pg
∂t
+αw
44
∂cπw
∂t
+div (nSw · vws) =
Iw
cπw
+
div (ρπDπ
w grad cπw)
cπw
(2.113)
con
αw
41 = α SwmT
αw
42 =
(α− n)
Ks
Sw
[
Sw − pwCw
n
+ pgCw
n
]
− Cw
αw
43 =
(α− n)
Ks
Sw
[
Sg + pwCw
n
− pgCw
n
]
+ Cw
αw
44 =
nSw
cπw
(2.114)
37 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
Contaminantes solubles en aire
En el caso de tener contaminantes solubles en aire se procede en forma análoga a la
sección anterior modificando únicamente la ecuación de conservación de masa [59], dada
por (2.36)
Sgc
π
g
ρs
(1− n)
∂ρs
∂t
+ ncπg
∂Sg
∂t
+ nSg
∂cπg
∂t
+ div
(
nSgc
π
g · vgs
)
+ Sgc
π
gdiv vs = Ig + div
(
ρπDπ
g grad cπg
)
(2.115)
Llegándose a la siguiente ecuación:
[
(α− n)
Ks
[
SwSg − pwSg
Cw
n
+ pgSg
Cw
n
]
+ Cw
]
∂pw
∂t
+
[
(α− n)
Ks
[
S2
g + pwSg
Cw
n
− pgSg
Cw
n
]
− Cw
]
∂pg
∂t
+
nSg
cπg
∂cπg
∂t
+ α Sgm
TL
∂u
∂t
+ div (nSg · vgs) =
Ig
cπg
+
div
(
ρπDπ
g grad cπg
)
cπg
(2.116)
expresada de manera similar a (2.77) se tiene
αg
41L
∂u
∂t
+αg
42
∂pw
∂t
+αg
43
∂pg
∂t
+αg
44
∂cπw
∂t
+div (nSg · vgs) =
Ig
cπg
+
div
(
ρπDπ
g grad cπg
)
cπg
(2.117)
con
αg
41 = α Sgm
T
αg
42 =
(α− n)
Ks
Sg
[
Sw − pwCw
n
+ pgCw
n
]
+ Cw
αg
43 =
(α− n)
Ks
Sg
[
Sg + pwCw
n
− pgCw
n
]
− Cw
αg
44 =
nSg
cπg
(2.118)
Javier L. Mroginski 38
CAṔITULO 3
Problemas No Lineales en Suelos No Saturados
En este caṕıtulo se pretende indroducir dos no linealidades al problema de la consol-
idación de suelos parcialemente saturados. Primeramente se hará una breve descripción
de la no linealidad geométrica de los cuerpos sólidos llegándose a una relación constitu-
tiva hipoelástica no simétrica que puede ser simplificada, sin generar mayores errores, a
una relación simétrica [20]. Dicho modelo, desarrollado para sólidos, será aplicado luego
a las ecuaciones de gobierno de medios porosos no saturados del caṕıtulo 2 para con-
seguir el modelado de la consolidación de suelos con grandes deformaciones. La restante
no linealidad ha ser introducida es la no linealidad f́ısica, donde se presentará un criterio
de fluencia para suelos parcialmente saturados basado en la Teoŕıa de Estados Cŕıticos
[2, 17] mediante la incorporación de la succión como parámetro independiente. El modelo
elasto-plástico obtenido combina una expansión cinemática e isotrópica de la función de
fluencia [50].
3.1 No linealidad geométrica
Dentro del campo de la mecánica de los medios continuos es muy importante conocer
con suficiente aproximación el comportamiento de los materiales estructurales. La res-
puesta de éstos, al ser sometidos a cargas, puede presentar diversas particularidades, tales
como no linealidades y dependencia del tiempo, entre otras. El modelado matemático
de estos comportamientos tiende a ser cada vez más general, representándose con mayor
exactitud los procesos reales que experimenta el material.
El objetivo espećıfico de este trabajo de tesis es mostrar una formulación, y la imple-
mentación de las ecuaciones incrementales de elementos finitos, para el análisis no lineal
f́ısico y geométrico de materiales que no poseen un potencial elástico de enerǵıa alma-
cenada [49]. Se propone además una simplificación en el cálculo de la matriz de rigidez
material de los elementos finitos para mantener la simetŕıa del sistema de ecuaciones a
resolver [19] que disminuyen el costo computacional requerido para resolver problemas de
gran envergadura [4].
39
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
3.1.1 Ecuación de equilibrio
Sea B la configuración geométrica inicial de un cuerpo continuo, ϕ (X, t) la función de-
formación, y S = ϕ (B) la configuración geométrica deformada y en equilibrio en el tiempo
t. Con X ∈ B se definen las coordenadas materiales o Lagrangianas, y con x = ϕ (X, t)
las coordenadas espaciales o Eulerianas. La descripción Lagrangiana de la ecuación de
movimiento, o ecuación de conservación de momento, viene dada por [48].
divP + ρg = ρa (3.1)
donde P es el primer tensor de Piola-Kirchhoff, ρ es la densidad de masa en la config-
uración inicial ya son las fuerzas de inercia. Además la fuerza unitaria de superficie en
una porción ∂B, con versor normal n0 del contorno resulta: t̄0 = P · n0|∂B
En problemas estáticos las aceleraciones (o fuerzas de inercia) son despreciadas, con
lo cual la expresión (3.1) se modifica de la siguiente manera, obteniéndose la ecuación de
equilibrio:
divP + ρg = 0 (3.2)
La forma en tasas de esta ecuación, necesaria en las soluciones incrementales, se ob-
tiene asumiendo que las cargas de masa g y las de superficie t̄ son independientes de
la configuración, es decir, no dependen de la deformación ϕ. Entonces, la ecuación de
equilibrio en tasas se escribe como:
divṖ + ρġ = 0 (3.3)
expresión válida para un incremento de carga dado por ġ y ˙̄t en un cierto tiempo fijo t.
3.1.2 Forma débil de la ecuación de equilibrio
La deducción de la forma débil de (3.3) puede verse en las referencias [6, 49, 63] con
ligeros cambios entre versiones, llegando a:
∫
ϕ(B)
δL : [Lντ + Lτ ]
dϕ (B)
J
=
∫
ϕ(B)
δvġρ dϕ (B) +
∫
∂ϕ(B)
δv ˙̄t d∂ϕ (B) (3.4)
donde ġ y ˙̄t son las tasas de cambio de las cargas de masa y de superficie, respectivamente,
en la configuración actual; τ es el tensor de tensiones de Kirchhoff; L ≡ ∇v = ∂v/∂x es
el gradiente espacial de la velocidad; Lvτ es la derivada de Lie de la tensión de Kirchhoff,
simétrica y definida como:
Lντ = F ṠF T = τ̇ −Lτ − τLT = Cτ : D o Lντij = Cτ
ijklDkl (3.5)
Javier L. Mroginski 40
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
3.1. No linealidad geométrica
siendo Cτ el tensor constitutivo asociado a Lvτ ; D la parte simétrica de L conocida
como velocidad de deformación; S el segundo tensor de Piola-Kirchhoff; y F = ∂x/∂X el
gradiente de deformación, cuyo determinante es el Jacobiano de la deformación, definido
en el Caṕıtulo 2. Con lo cual,
∫
ϕ(B)
δL : [Cτ : D + Lτ ]
dϕ (B)
J
=
∫
ϕ(B)
δvġρ dϕ (B) +
∫
∂ϕ(B)
δv ˙̄t d∂ϕ (B) (3.6)
Ésta es la forma débil de la ecuación de equilibrio expresada en tasas, que permite
calcular, en un cierto tiempo t, la velocidad espacial actual v, para una cierta carga, dada
por el miembro derecho de (3.6), sobre una cierta configuración ϕ en la que se halla en
equilibrio un cierto campo de tensiones τ .
3.1.3 Relación constitutiva objetivas
En las soluciones incrementales las ecuaciones constitutivas relacionan tasas de ten-
siones con tasas de deformaciones espećıficas:
σ̇ = C : D (3.7)
Pero la anterior no es una ecuación válida cuando se producen rotaciones de cuerpo
ŕıgido, como se muestra en el caṕıtulo 3 de Belytschko et. al. [6]. Las rotaciones como
cuerpo ŕıgido son tenidas en cuenta por las tasas objetivas de los tensores de tensiones.
Uno de estos tensores objetivos es la tasa de Jaumann de la tensión de Cauchy:
σ∇J = CσJ : D (3.8)
donde σ∇J es el tensor constitutivo de cuarto orden, que contiene las caracteŕısticas del
material, correspondiente a esta medida de tensiones. Por lo tanto, la forma correcta de
la ecuación (3.7), para el cálculo de la tasa del tensor de Cauchy, es:
σ̇ = σ∇J + Wσ + σW T = CσJ : D + Wσ︸︷︷︸
material
+ σW T︸ ︷︷ ︸
rotacion
(3.9)
Se aprecia que el cálculo de la tasa del tensor de Cauchy está compuesto de dos partes:
la respuesta objetiva del material, debido a deformaciones espećıficas, y el cambio de las
tensiones debido a las rotaciones de cuerpo ŕıgido.
Por último, también se pueden definir la ecuación constitutiva en términos de magnitud
corrotada, (indicadas con la barra superior •̄)[49], especialmente usada en esta tesis:
˙̄τ = C̄
τ
: D̄ (3.10)
41 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
Una ecuación como la (3.10), es insensible a cualquier movimiento espacial superpuesto
de cuerpo ŕıgido. En [15] se demostró que los tensores materiales, al igual que un escalar, y
los tensores espaciales definidos en configuración corrotada se mantienen inalterados ante
movimientos espaciales superpuestos de cuerpo ŕıgido (indicadas con •+), por lo tanto,
D̄
+
=
(
R+
)T
D+R+ = RT QT QDQT QR ≡ D̄ (3.11)
y
τ̄+ =
(
R+
)T
τ+R+ = RT QT QτQT QR ≡ τ̄ (3.12)
De esta manera la tasa de la tensión corrotada de Kirchhoff resulta:
˙̄τ = RT (τ̇ −Ωτ + τΩ) R (3.13)
Con lo cual además de D̄
+
= D̄ se tiene que τ̄+ = τ̄ también es insensible a rotaciones
de cuerpo ŕıgido.
3.1.4 Relación constitutiva hipoelástica
Las descripciones hipoelásticas de la respuesta del material son muy cómodas cuando
se desea modelar en conjunto plasticidad y no linealidad geométrica. Sin embargo, la
enerǵıa no es conservada en un ciclo cerrado de deformación elástica para materiales
hipoelásticos [6], pero si las deformaciones elásticas son pequeñas el error en la enerǵıa
es muy pequeño, es decir, el trabajo remanente de un ciclo cerrado de deformación no es
significativo [12].
Las ecuaciones constitutivas en tasas de la forma (3.5) que no derivan de un fun-
cional de enerǵıa almacenada se denominan relaciones hipoelásticas. En forma genérica,
las relaciones hipoelásticas, se expresan como:
σ∇ = Cσ∇ : D o τ∇ = Cτ∇ : D (3.14)
donde σ∇ y τ∇ son cualquiera de las tasas objetivas de la tensión de Cauchy y Kirch-
hoff, respectivamente, y, Cσ∇ y Cτ∇ son sus correspondientes tensores constitutivos. En
hipoelasticidad es común considerar que alguno de estos C es igual al tensor constitu-
tivo constante obtenido de la teoŕıa de elasticidad infinitesimal, en consecuencia, ese C
poseerá simetŕıa mayor y como la tasa de deformación D y las tasas objetivas de tensiones
son simétricas, C también posee simetŕıa menor [49].
En la elección de la ecuación constitutiva hipoelástica, que gobernará la respuesta del
material, se tienen en cuenta distintos requerimientos. Uno de estos requerimientos es la
independencia de las constantes del material respecto del sistema coordenado cartesiano
Javier L. Mroginski 42
Geomecánica No Lineal Aplicada a Problemas Ambientales...
3.1. No linealidad geométrica
adoptado como referencia. Considerando una relación como la (3.14), τ∇ = Cτ∇ : D, la
indiferencia referencial del material requiere que:
τ∇+ = Cτ∇+ : D+ (3.15)
Recordando la transformación objetiva de los tensores de segundo orden [49],
(•)+ = Q (t) (•) Q (t)T (3.16)
la ecuación (3.15) se puede escribir como,
Qτ∇QT = Cτ∇ : QDQT o QimQjnτ
∇
mn = Cτ∇
ijklQkpQlqDpq (3.17)
y reordenando se tiene
τ∇mn =
(
QimQjnQkpQlqDpqC
τ∇
ijkl
)
Dpq (3.18)
Pero la relación constitutiva es τ∇ = Cτ∇ : D, por lo tanto debe cumplirse:
Cτ∇
mnpq = QimQjnQkpQlqC
τ∇
ijkl , ∀Qij (3.19)
condición que se satisface sólo para un material isotrópico. Para eliminar esta restricción,
se elige la relación constitutiva (3.10) en términos de los tensores tasa de la tensión
corrotada de Kirchhoff y tasa de deformación corrotada, insensibles a rotaciones de cuerpo
ŕıgido, es decir, τ̄+ ≡ τ̄ y D̄
+ ≡ D̄. En consecuencia:
˙̄τ
+
= C̄
τ
: D̄
+ ≡ ˙̄τ = C̄
τ
: D̄ (3.20)
cumpliéndose la condición (3.15) para toda rotación ŕıgida, no imponiendo restricciones
a este tensor constitutivo, pudiendo ser C̄
τ
no isotrópico. Sin embargo, el material fuera
isotrópico, resulta:
C̄τ
ijkl = λδijδkl + µ (δikδjl + δilδjk) (3.21)
siendo δij el delta de Kronecker, y:
λ =
ν E
(1 + ν) (1− 2ν)
o µ =
E
2 (1 + ν)
(3.22)
las constantes de Lamé en función del módulo Young E y del coeficiente de Poisson ν.
Otro de los requerimientos a tener en cuenta en la elección de la ecuación constitutiva
hipoelástica es la simetŕıa de la matriz de rigidez tangente de los elementos finitos, nece-
saria para acelerar la solución del sistema de ecuaciones que resulte de aplicar elementos
43 Javier L. Mroginski
Maestŕıa en Ciencias de la Ingenieŕıa
Facultad de Ingenieŕıa. UNNE.
finitos y reducir la demanda de almacenamiento en memoria en el cálculo computacional
[4]. La matriz σ es simétrica por ser simétrico el tensor de Cauchy y el tensor constitutivo
Cτ
ijkl posee simetŕıa mayor [15].
Recurriendo