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Unidad 3
INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Tema 1
Funciones, generalidades
MATEMÁTICAS
Subtemas
Subtemas del tema 1:
 	1 Pares ordenados, plano cartesiano, representaciones, distancias y pendiente. 	2 Definición de función y su representación gráfica en el plano. Regla de la recta 	vertical. 
	3 Dominio y rango de una función, forma gráfica y analítica. 
3
 En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes .
 
Ejemplos :
En un almacén , a cada producto le corresponde un precio. 
Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente en º F.
A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una presión hidrostática.
 Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.
El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.
EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.
El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al tiempo.
El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.
El área de un circulo con el radio.
Funciones
Definición.
Una Función es una relación en la que cada elemento de la variable independiente x, que se conocerá como Dominio de la función le corresponde un solo elemento del conjunto de valores de la variable dependiente y denominado Rango de la función. 
Dominio; Rango; Función.
Función
Conceptos:
Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales 	 está definida la función y se denota Dom f.
Rango : es el conjunto de todos los valores que toma la 	 variable dependiente (Y), y se denota Ran f.
Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable 	 independiente, también aumenta la variable 	 dependiente.
Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable 	 independiente, la variable dependiente disminuye.
Función
Definición:
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.
	
	Se expresa como: f: A B
 x f(x) = y
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y
Función
Conceptos Fundamentales:
Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.
f(x)
A
B
f
a
x
b = f(a)
f(x)
Conceptos Fundamentales:
La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”. 
A
B
f
a
x
b = f(a)
f(x)
Función
Rango o Recorrido de f:
	Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.
1
2
3
4
5
6
7
Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
7
A
B
f
Función
Luego para la función f denotada:
Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}
Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
7
A
B
f
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .
Clasificación
a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.
	Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.
Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A
B
f
b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido. 
a
b
c
d
1
2
A
B
f
c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. 
a
b
c
1
2
3
A
B
f
I. Función Lineal
Es de la forma f(x) = mx + n
	con	m : Pendiente
		n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el 	 eje Y (coeficiente de posición).
	
	Ejemplo:
	La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3. 
I. Función Lineal
Análisis de la Pendiente
	Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.
Si m < 0, entonces la función es decreciente.
Si m = 0, entonces la función es constante.
Si m > 0, entonces la función es creciente.
I. Función Lineal
 I)
II)
X
Y
n
m > 0
n > 0
X
Y
n
m < 0
n > 0
X
Y
n
m > 0
n < 0
X
Y
n
m < 0
n < 0
III)
IV)
I. Función Lineal
Tipos de funciones especiales:
a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:
1
2
f(x)
x
1
2
-1
-1
I. Función Lineal
Tipos de funciones especiales:
b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:
f(x)
x
●
c
con c > 0
f(x)
x
●
c
con c < 0
I. Función lineal
Propiedades:
El dominio de la función lineal son todos los números IR.
Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.
Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.
I. Función Lineal
Evaluación de una función lineal:
	Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.
	
	Ejemplo
	La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:
	f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos
 f(x): costo en pesos
	3 km = 3000 m
	Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:
	f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650
	Por 3 kilómetros se pagan $2650.
I. Función Lineal
	Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:
 		2250 = 0.8x + 250 / -250
		2000 = 0.8x / :0.8
 2500 = x
	Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.
I. Función Lineal
		Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un 	decrecimiento aritmético.
Ejemplo:
			f (x) = 2x + 1
			f (0) = 2· 0 + 1 = 1
			f (1) = 2· 1 + 1 = 3
			f (2) = 2· 2 + 1 = 5
			f (3) = 2· 3 + 1 = 7
			
+2
+2
+2
I. Función Lineal
Gráficamente
1
2
3
5
1
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL. 
Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),
 .
 
 La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) , mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje de ordenadas).
Una sola variable x del dominiopuede conectar con varias de la variable y o rango. Por esto, se puede comprobar que una relación x con y, se hace mediante la prueba de la línea vertical. Trace una línea vertical movible en su gráfica, si esta interfecta a la línea del gráfico entonces la relación no es una función. 
¿Cuál de estas relaciones no es una Función?
La Prueba de la Línea Vertical.
Respuesta: _La gráfica B. La relación enter x e y no es únivoca.
La función lineal.
Las funciones lineales tienen la forma:
En donde m es la pendiente y b la intersección de la línea de la función en el eje y. Por ejemplo:
La Pendiente es: 4 / 1 esto es: la distancia vertical entre la distancia horizontal)
Y la intersección con el eje y es: 1.
R: 1; 4 / 1
Objetivo
Definir funciones de una variable real y obtener su representación en el plano de coordenadas bidimensionales.
Introducción
En las presentes láminas se abordan las definiciones de relacionadas con las funciones, sus diferentes clasificaciones, así como sus respectivos procedimientos de resolución. 
28
ACTIVIDAD DE INICIO
Lluvia de ideas sobre la temática de: 
¿Qué es una función?
ACTIVIDAD DE CIERRE
Conclusiones y preguntas sobre la clase
Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.
ó
Realizar la pregunta por vía chat de Zoom
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía, 5ta edición. Arya, Lardner, Ibarra. Pearson Education.
Matemáticas para Administración y Economía, 10ma edición. Haeussler, Paul. Pearson Education. 
Fundamentos matemáticos para bachillerato, 3ra edición. Baquerizo, Ramos, Carrión. ESPOL.
Haeussler Jr, Ernest f; Paul, Richard s; Wood, Richard J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: Pearson, (4 Ejemplares disponibles en Biblioteca).
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS. : EDITORIAL BONUM, (1 Ejemplar disponible en Biblioteca) 
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2
R
 
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{
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f(x)
y
 
 
D
 
x 
 
R /
x 
R 
 
 
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x 
 
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R
 
R
 
:
f
 
®
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Gráfica A
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8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
-6,0
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-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
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Gráfica B.
-5,0
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-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
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Gráfica C.
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-0,5
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0,5
1
1,5
2
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-4
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0
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6
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Gráfica D.
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b
mx
y
b
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x
y
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0,25
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0,50
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1,4 Gráfico de una función lineal.
-2
-1
0
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3
4
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0,000,501,001,502,002,50
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