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Unidad 1
NÚMEROS REALES Y EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Tema 1
Números reales
Tema 2
Expresiones algebraicas
MATEMÁTICAS
Prof. Carlos Plúas Rodríguez
Subtemas del tema 1:
 1 Clasificación de los números reales.
 2 Representación decimal. 
 3 Operaciones entre números reales, propiedades y valor absoluto.
 4 Razones y proporciones, aplicaciones.
Subtemas
Subtemas del tema 2:
 1 Propiedades de los Exponentes y radicales.
 2 Productos Notables.
 3 Factorización.
 4 Racionalización. 
3
Objetivo
Aplicar las diferentes definiciones, propiedades de razones, proporciones y expresiones algebraicas para la correcta resolución de ejercicios.
Introducción
En las presentes láminas se aborda una serie de problemas o ejercicios sobre razones, proporciones y expresiones algebraicas como: las propiedades de los exponentes, radicales y de productos notables.
4
ACTIVIDAD DE INICIO
Lluvia de ideas sobre la temática de: 
RAZÓN Y PROPORCIÓN. 
Razones y proporciones
Razón
Razón Aritmética
Razón Geométrica
Proporción
Proporción 
Aritmética
Proporción 
Aritmética Directa
Proporción Aritmética Continua 
Proporción Geometrica
Proporción Geométrica Discreta	
Proporción Geométrica continua 
Razón
Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.
PROPORCIÓN
Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.
La razón
 X : Y
 
esto indica que la razón es un .
 X>Y
Si las razones 
forman una proporción, 
 se lee 
“r es a s como u es a v”. 
Ejemplos
Suponga que en un curso hay 33 hombres y 35 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y mujeres del curso es:
En una caja hay 8 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es:
Ejemplos
Un rectángulo mide 60 cm de ancho y 20 cm de alto. Hallar la razón entre su anchura y su altura.
RAZÓN ARITMÉTICA
Es la diferencia de dos cantidades.
Ejemplo: 
La razón aritmética de 6 y 4 es:
Donde:
6 es el antecedente 
4 es el consecuente
RAZÓN GEOMÉTRICA
 Es el cociente de dos cantidades.
 Ejemplo: 
 La razón geométrica de 8 y 4 es:
 Donde:
 8 es el antecedente 
 4 es el consecuente
PROPORCIONALIDAD ARITMÉTICA
Es la igualdad de dos razones aritméticas.
Ejemplo:
Donde:
9 y 8 son extremos 
7 y 10 son medios
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
Es la igualdad de dos razones geométricas.
Ejemplo:
Donde:
1 y 6 son extremos 
2 y 3 son medios
PROPORCIONALIDAD ARITMÉTICA
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
En general:
Si 	
Ejemplo: 
=
 
En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
En general:
Si a - b = c – d
 a + d = b + c
Ejemplo:
9 – 7 = 10 - 8
9 + 8 = 7 + 10
 Ejemplo:
 Suponga que en un curso 
 hay 33 hombres y 35 
 mujeres. 
 Entonces “la razón” 
 entre H y M del curso es 
 se lee “33 es a 35”
Ejemplo:
 Forman proporción las 
 siguientes razones.
 
RAZONES 
PROPORCIÓN
Ejemplos
Forman proporción las siguientes razones 2/8 y 4/16 
Forman proporción las siguientes razones 2/6 y 5/15 
Durante 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 75 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de anuncios verás?
Proporciones
 geométricas
Continuas: cuando sus medios son iguales.
Ejemplo: 
Discretas: cuando sus medios no son iguales.
Ejemplo: 
Proporciones 
aritméticas
Discretas: cuando sus medios no son iguales.
Ejemplo: 
15 – 10 = 12 – 7
Continuas: cuando sus medios son iguales.
Ejemplo: 
28 – 21 = 21 - 14
MEDIA PROPORCIONAL: 
Es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua.
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
SI entonces 
EJEMPLO 1
Si entonces: 
En el ejemplo anterior: 
 4 es la media proporcional
Cuarta proporcional:
Es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta.
Ejemplo:
Halla una cuarta proporcional entre 4; 8 y 5; x
Ejemplo:
Halla una cuarta proporcional entre 4; x y 5; 10
Tercera proporcional:
Es el primer o cuarto término de una proporción geométrica continua.
 
Ejemplo:
Hallar una tercera proporcional entre 9 y 4
Proporcionalidad
Proporcionalidad Directa
Proporcionalidad Inversa
Proporcionalidad compuesta
3
Es una relación entre números o magnitudes, esa relación puede darse en dos sentidos: Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra baja y viceversa. 
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
PROPORCIONALIDAD:
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo 1 
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de 
mar contendrán 5200 gramos de sal?
Planteamos el problema:
 
1. Se observa que existe la proporción:
 
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
2. Y como en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos
3. Luego despejamos la variable x
 
Por lo tanto en 200 litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal
Ejemplo 2 
Un automóvil gasta 15 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
 
 
 
 
Por lo tanto con 6 litros de gasolina se podrán recorrer 40 Km en automóvil
Ejemplo 1
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? 
	Hombres	3	6	9	…….	18
	Días 	24	12	8	…….	x
Observamos que los productos
 
Por tanto 
 entonces x = 4; 
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
PROPORCIONALIDAD INVERSA
	Número
de vacas	220	450
	Número 
de días 	45	x
Ejemplo 2 
Un ganadero tiene hierba suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de hierba a 450 vacas? 
Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. 
 X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Se cumple que 
Donde: 
 
	Vacas	Días
	220	45
	450	x
Por lo tanto podrá alimentar a 450 vacas con la misma cantidad de hierba durante 22 días
Ejemplo 3 
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? 
Recordar que como es inversa, escribimos la proporción invirtiendo solo una de las fracciones:
 
 
 
Por lo tanto la capacidad de cada tonel será de 50 lts para envasar la misma cantidad de vino en 32 toneles. 
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Se denomina proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones en las que intervienen más de dos magnitudes ligadas por la relación de proporcionalidad. Entre estas magnitudes puede intervenir la proporcionalidad directa, inversa o una combinación de ambas:
Ejemplo 1
Tres obreros trabajando 8 horas diarias realizan un trabajo en 15 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 5 obreros trabajando 9 horas?
	Número
Obreros	Horas
diarias	Días
Laborados
	3	8	15
	5	9	X
Ahora si observamos las horas diarias con los días, en donde 8 horas diarias tardan 15 días, si trabajan 9 horas diarias tardaran menos días por lo tanto estamos ante una proporción inversa.
 ;
; 
 
  
 
Lo cual nos indica que se demoraran 8 días en terminar el trabajo con 5 obreros y trabajando 9 horas diarias.
Inversa
Inversa
Si observamos en la tabla la columna de obreros con la de días, 3 obreros tardan 15 días podemos decir que 5 obreros tardaran menos por lo tanto estamos ante una proporción inversa.
 Ejercicio 2
Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000 kg de ropa. ¿Cuánto lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias?
	Horas/día	Días	Kg
	8	5	1000
	10	12	x
Directa
Directa
 
 
 
 
 
Por lo tanto se lavarán 
 de ropa en 12 días trabajando 10 horas diarias.
Expresiones algebraicasUna expresión algebraica es la representación simbólica de operaciones, donde los símbolos son combinación de números y letras. Ejemplos:
En todo término se distingue el coeficiente numérico y el factor literal. 
Una Expresión Algebraica simple es llamada Término y está compuesta por una parte numérica, llamada coeficiente; y por una parte literal:
Expresiones algebraicas
Sin embargo el término puede estar formado sólo por un número, en tal caso se lo denomina Constante. 
Tipos de Expresiones algebraicas
 
Ejercicios:
Fracciones
 
Operaciones
 
Ejemplos sobre expresiones algebraicas
Si x ∈ R ∧ ¬ (x = 0) ∧ ¬ (x = 1), la expresión algebraica:
x/(x-1) 
(x-1)/x 
x 
1/x 
1 + (1/x)
Ejemplos sobre expresiones algebraicas
Ejemplos sobre expresiones algebraicas
Simplificación de expresiones algebraicas numéricas y literales, exponenciales, con radicales 
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas numéricas y literales.
Exponentes
Existen expresiones algebraicas que poseen potencias de la forma “a”. Una potencia es una manera abreviada de presentar un producto de un mismo factor, es decir:
Donde a se llama BASE y n se llama EXPONENTE.
Para simplificar expresiones algebraicas que contienen potencias habrá que hacer uso de las leyes de los exponentes.
Leyes de los Exponentes
Radicales (Exponentes Fraccionarios)
 
Ejercicios
Productos notables
Binomio al cuadrado:
Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son:
Suma por diferencia:
 
Productos notables
Binomio al cubo:
Productos notables
Trinomio al cuadrado o cuadrado de un trinomio:
Productos notables
Suma de cubos:
Productos notables
ACTIVIDAD DE CIERRE
Conclusiones y preguntas sobre la clase
Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.
ó
Realizar la pregunta por vía chat de Zoom
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía, 5ta edición. Arya, Lardner, Ibarra. Pearson Education.
Matemáticas para Administración y Economía, 10ma edición. Haeussler, Paul. Pearson Education. 
Fundamentos matemáticos para bachillerato, 3ra edición. Baquerizo, Ramos, Carrión. ESPOL.
Haeussler Jr, Ernest f; Paul, Richard s; Wood, Richard J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: Pearson, (4 Ejemplares disponibles en Biblioteca).
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS. : EDITORIAL BONUM, (1 Ejemplar disponible en Biblioteca) 
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