Masa Inerte - Cantidad de Movimiento

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CAPÍTULO 2
i .
n .
MASA INERTE
Resumen. Este capítulo se inicia con un estudio cualitativo de la
inercia, la propiedad inherente a la materia, que es responsable de
la nesistencia de ésta a variar su estado de movimiento. Se presentan
varios experimentos que ilustran los efectos inerciales y uno de ellos,
un experimento de choque, se elige como definición operativa de Ia masa
inerte. Luego sigue la conservación de la masa deducida a partir de
experimentos. Se introduce el concepto de peso y se presenta eviden-
cia -experimental acerca de la proporcionalidad entre masa y peso.
Por¡último, se estudian la unidad de masa yr un repaso del dominio de
órdenes de magnitud de las masas que se encuentran en la Naturaleza.
Entre otras materias, hemos estudiado en el primer capítulo los conceptos
de longitud y tiempo. La longitud y el tiempo, junto con la masa, que es el tema
deeste capítulo, son las tres cantidades que constituyen el-corazón de la Me-
cánica.- Asíicomo la medida de longitudes y tiempos forma parte de nuestra ex-
periencia cotidiana, la medida de la masa inerte es algo más delicada.
Cualitativamente, el significado ordinario de la palabra inercia lleva consigo
la esencia del concepto de masa. (inerte), Recordemos el debate de GALILEO de-
fendiendo que el estado de movimiento natural o no influido de un cuerpo es
aquél en el que el cuerpo se mueve con velocidad constante. La-masa inerte es
una 'medida de la perseverancia con que un cuerpo conserva este estado de velo-
cidad constante. A menudo decimos que una persona tiene mucha inercia si le
es difícil _ cambiar sus normas. Correspondientemente, decimos que un cuerpo
tiene mucha inercia cuando hemos de hacer algo relativamente violento para
alterar su estado de movimiento. Es evidente, pues, que la masa inerte de un
cfuerpo influirá en su movimiento o en sus cambios de movimiento, al interac-
tïuar con otros cuerpos. Por tanto, importa que tengamos una definición precisa
de la masa inerte, así como medios parasu medida, cuando iniciemos un análisis
cuantitativo , de las interacciones y del _movimiento. Gran parte de este capítulo
se dedica a ,este fin.
2-1 Experimentos exploratorios. Consideremos dos pelotas del tamaño de
las de tenis, *una de maderay la otra de plomo, que se muevan a lo largo del mis-
mo camino eon la misma celeridad. Aun cuando las velocidades de las dos pelo-
EXPERIMENTÓS EXPLORATORIOS _ 43
i
tas 'puedan ser exactamente,__,iguales, nos damos perefcta cuenta deque sus movi-
mientos tienen propie_da,d,e§ diferentes si intentamos detenerlas. Aun cuando po-
demos captar la pelota dernadera con relativa facilidad, la de plomo «nos haría
dar vueltas». Decimos que la pelota de plomo tiene más inercia que,la de madera
o, en otraspalabras, un mayor deseo de permaneceren su estado de movimiento
inicial. Análogamente, cuando intentamos poner en' movimiento las dos pelo-
tas partiendodel reposo, volvemos a encontrar que la de plomo ofrece mayor
resistencia a alterar su estado de movimiento. j .
Consideremos .ahora un choque entre dos bolas. Si hacemos rodar dos bolas
de madera exactamente iguales una contra otra, con celeridades iguales a lo lar-
go de una misma recta, tras el choque las bolas se separarán con celeridades
iguales. En cambio., si repetimos este experimento con una bola de madera y
otra de plomo, hallaremos que la bola de plomo altera muy poco su velocidad.
La propiedad de la bola de plomo de.tender a permanecer en movimiento es,
evidentemente, mayor que la de la otra bola. la
Podemos pasar a realizar otros experimentos con las dos bolas. .Imaginemos
un experimento en el cual se tire de las bolas, una después de otra, sobre una
mesa lisa, con «fuerzas›› iguales durante un cierto tiempo, soltando después las
bolas. Para asegurar la constancia de la «fuerza›› podríamos tirar dela bola me-
diante un resortea-largado que mantuviera constante su longitud durante la trac-
ción. Al final de la tracción, veremos que la bola de madera,ha adquirido una
velocidad mucho mayor que la de plomo. Estáclaro que la bola de plomo vuel-
ve a resistirse más a la variación de velocidad que la bola de madera. La inercia
de la bola de plomo es mayor. -
En la figura 2-l` se presenta un experimento aún más ilustrativo del concepto
de inercia. En él se pone de manifiesto un efecto análogo al que experimenta
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(al (b)
_ Fig. 2-1. Demostración de inercia.
4,4 MASA INERTB
un pasajero cuando se acelera o desacelera un coche. A los extremos de una va-
rilla se fijan dos bolas, 'pudiendo girar el conjunto en torno a un 'eje vertical.
Este sistema se monta sobre un carrito en la forma que se indica. Supongamos que
empezamos con dos bolas de plomo exactamente iguales. Al empujar el carrito
hacia adelante,-partiendo del reposo, hallamos que la varilla se mantiene en su
posición origina1,es decir, perpendicular a la dirección del movimiento. A conti-
nuación, sustituyamos una de las bolas de plomo por otra de madera de igual
tamaño. este caso, al empujar el carro partiendo del reposo, hallamos que
la varilla gira, la bola de plomo se mueve hacia atrás y la de madera hacia ade-
lante. Esto vuelve a indicar que la inercia de la bola de plomo es mayor que la
de la bola de madera. Análogamente, si el carrito se halla inicialmente en movi-
miento a velocidad constante, con la varilla apuntando a una dirección fija, cuando
detengamos el carrito la bola de plomo se moverá hacia adelante.
2-2 Medida de la masa inerte. ` Para poder medir la inercia, tendremos
que seleccionar un experimento que sirva de definición operativa. La cantidad
medida de tal manera recibe el-nombre de masa inerte, o simplemente masa del
cuerpo. Cualquiera que sea la elección realizada, tendremos que seleccionar al-
guna cantidad mensurable en el experimento y definir en función deella la masa
inerte. Se concibe, claro está, que no sean compatibles maneras diferentes de de-
finir la masa. En estas condiciones, elegiremos como definición aquella en fun-
ción de la cual resulte más sencilla la definición del movimiento. Tomaremos
el experimento de choque, antes descrito, como base para la definición opera-
tiva de masa inerte. `
Reloj R¢l0.Í B
M
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_ Reíåj A R¢10jA Re1ojB Reloj B
partido en marcha CH I112lI'ChH P?1fHd0
Fig. 2_-'-2. Dispositivo de medida empleado en la definición operativa de la masa
__inert_e. El_-,hilo que une los dos carritos A y B mantiene comprimido el resorte. Al soltar
este (quetiïando el hilo), los dos carritos se separan más. Tomando el cuerpo A como
referencia, podemos medir la masa inerte `de`B en función del cociente de las velocidades
de A y B; Tenemos mr, = --m.,(v,,/v¡,).
MEDIDA DE LA MASA 1_NE1arE. 45
l
1 I
En la figura 2-2 pueden verse dos carritos A y B sobre una pista horizontal.
Inicialmente están enreposo y unidos por un hilo. Entre los carritos existe un
resorte comprimido y cuando se quema el hilo, los carritos salen en sentidos
opuestos bajo la acción del resorte. (A este tipo de fenómeno se le llama, fre-
cuentemente, choque explosivo.)
Si, tras la explosión', las celeridades de los carritos A y B resultan ser |v,,| y
|v¿|, respectivamente, definìremos el cociente entre sus masas inertes en la forma
mb/ma -= |v,,|,/|v¡,|, dondem es el símbolo representativo de la masa inerte, O
bien, si describimos el resultado en función de las velocidades yno de las cele-
ridades, la razón de las masas inertes de B y A está definida por
mf›__ __2_<± __
ma* vb (21)
donde el signo menos se debe a los sentidos opuestos de los movimientos de A
yB. Si, tras la explosión, la celeridad de-B es igual que la de A, las masas inertes
de B y A son iguales, por definición.
Supongamos ahora que mediante experimentos del tipo que acabamos de
describir hayamos encontrado que dos carritos B y C tienen, cada uno de ellos,
una-masa inerte igual a la de A ;- es decir, mb = m, = m,,.(Los carritos A, B
y C no .tienen por qué tener formas o composiciones iguales.) Combinemos
ahora B y C formando una sola unidad y midamos la masa inerte combinada
de B -I- C relativa a A. En el choque explosivo correspondiente tendremos los
cuerpos -B y C cada uno con una masa inerte ma en un lado, y la masa única ma
de A en el otro. El resultado del experimento es que B + C adquiere una celeri-
dad que es la mitad de la de A y .esto significa que la masa inerte combinada de
B`+ C es 2m,. Análogamente, si medimos la masa inerte de un conjunto -den
cuerpos, cada uno de masa inerte mmencontramos que la masa inerte combina-
da del sistema es n Vma. En otras palabras, la masa inerte total de un sistema
de cuerpos es la suma de las masas inertes de los distintos cuerpos del sis-
tema. `
La definición anterior de masa no seria satisfactoria si el cociente entre las
masas de dos cuerpos B y C, medido en experimentos de choque con referencia
a un- cuerpo A, resultara depender de la elección del cuerpo de referencia. No
obstante, la experiencia indica que no existe tal dependencia. Además, si B y C
tienen masas iguales, es decir, si mb ± mc, determinado por comparación con A,
se encuentra que |v¿,| = |v,,] en un experimento de choque explosivo realizado
con B y C.
Conservación de la masa. Una de las propiedades más importantes de la
masa es su conservación. Ahora que disponemos de un método experimental
para comparar masas, podemos estudiar experimentos que nos lleven a hacer
verdaderamente convincente la ley de conservaciónde la masa.
45 MA.SA ¡NENE
Supongamos que se ha hallado que dos bolas de acero iguales tienen masas
iguales. .Conservemos una de ellas como patrón de comparación y partamos
la otra en pedazos, o, pulvericémosla. Si se' toman todos los pedazos o todo
elfspolvo, puede verse experimentalmente que la masa no ha variado. El se-
parar una bfiola de acero u otro cuerpo cualquiera en varias partes, no varía la
111888. .
¿Qué ocurre en las reacciones químicas? ¿Qué le ocurre a la masa de un ob-
jeto cuandoï sus 'átomos entran* en combinaciones químicas? Debemos ir' con
cuidado, eniestos casos. Si se 'oxida el plomo calentándolo en el aire se forma
litargirio (mpnóxido de plomo, PbO). No hallaremos nada acerca de la conser-
vación de lae masa si reunimos el polvo de -litargirio y volvemos a medir su masa,
ya que el 'oxígeno se ha combinado con el plomo. En vez de esto, si quisiéramos
realizar estefi, experimento, deberemos colocar el oxigeno y el plomo en un re-
cipiente cerrado, calentar el recipiente y eomparar las masas de antes y después
del calentamiento. Estamos, pues, estudiando el efecto de una combinación
química sobife la' masa y encontraremos que la masa no varía.
f Son posibles otros experimentos análogos en los cuales varía la -temperatura,
o cambian de estado los cuerpos evaporándose o fundiéndose. El resultado es
siempregel mismo: la masa se conserva.
El concepto de conservación de la masa debe restringirse de una manera im-
portante. No hemos estudiado aún la energía, pero basta hacer-notar que un
cuerpo aumenta su contenido energético al calentarse, y análogamente, puede
tener energías en virtud de su movimierito_o de su posición. Existe energía incluso
en una onda luminosa o en una onda de radio. Según la teoría de la Relatividad
restringida, la masa y la energia son equivalentes. Asociadas a una masa m exis-
te una cantidad de energía E = mc2,_donde c es la velocidad de la luz, y asociada
a una energía E existe una cantidad de masa m =-= E/c2. Esto significa, por ejem-
plo, que cuando un átomo de carbono se combina con una molécula de oxígeno
para formar 'anhídrido carbónico, podemos esperar que la masa de la molécula
de anhídrido carbónico sea algo menor que la suma de las masas del átomo de
carbono y dela molécula de oxigeno. Ello se debe a que en la reacción química
se. ha -desprendido algo de calor (energía) y asociada a esta energía está una masa.
En realidad, ¿la masa asociada a la energía de re`acc_iones_ químicas es del orden
de sólo una: parte en 1010 de la masa de los elementos que se combinan y- no-se
ha medido nunca. En la fusión nuclear, en cambio, esta fracción no es de una
parte en 1010?, sino casi de una' parte en 103 y -se mide fácilmente.
En la teoría de la Relatividad restringida se ve que al aumentar un cuerpo
su celeridad, ¿aumenta su masa; y así, la masa de un cuerpo que se mueve cor
una c`eleridad› v es
-' . .__ ,m __ ._
“K/T-'†°',›r7¢2 (22)
_ ¡- r I, MEDIDA DELA MASA JNERTE 41
' 0 I 4' 0 4_ 1 . *_ D' ,Of\. -o'_ ' DJ.
'. I! 1.
\ °¡. _ _,...--_----------_ .-'_.---~....-._...-. ...___ __ _ _ I --'r'----\. _ _-
donde fmo es la masa _cuand__o el cuerpo esta e_n__repp§o y c es la celeridad de la luz.
Esto significa que, por ejemplo,la masánde' un recipiente que contiene gas aumenta
al calentar dicho gas, ya que cuando se calienta éste, sus moléculas .semueven
-más rápidamente. Desde el ,punto de vista de la- conservación deišla masa debe-
mos* observar que, asociada «al calor (energía) ,utilizado para incrementarpla
celeridad de las moléculas del gas está una masa, y; ésta más la masa inicial del
gas da una suma que permanece constante. ' '
,_/E*n'*resumen, pues, .la conservación de la masa es un principio de conserva-
ció_n_,estrictamente correcto tan sólo si se incluye la masa asociada a la energía.
Beso. Existe (evidentemente) una estrecha relación entre la masa inerte de
un'cuerpo, por ejemplo la masa medida en un experimento de choque explosi-
vo, y el peso (atracción por parte de la Tierra) medido con un resortecalibrado
o con una balanza. La distinción entre masa y peso queda bastante bien defi-
nida mediante la «balanza›› de la figura 2-l(b). En el experimento descrito en
esta figura, la desigualdad de 'masas inertes de las bolas hacia girar la varilla al
poner en movimiento el carrito sobre el que se montaba la balanza. En cambio,
si quitamos del carrito la varilla con las bolas y mantenemos horizontal- y fijo
el eje de rotación, la varilla girará a causa de la diferencia de peso de las bolas.
1 Medidas de precisión (Eörvös, 1909) han demostrado que la masazinerte de
un cuerpo es proporcional a su peso y que la constante de proporcionalidad,
con la .precisión de una parte en 103, es la misma para todos los cuerpos indepen-
dientemente de su composición quimica. Veremos con mayor detalle más ade-
lante que la razón del peso a la masa de-un cuerpo es la aceleración en caida
libre- del cuerpo. El hecho de que' todos los cuerpos caen en el vací0 con -la misma
aceleración, independientemente -de su composición o forma, es uno de los re-
sultados experimentales que ponen de manifiesto la proporcionalidad entre peso
y masa. Análogamente, veremos que el período de un péndulo simple depende
de la razón del peso a la masa de la lenteja del péndulo. El hecho de que el pe-
ríodo del péndulo resulte ser el mismo, independientemente de la masa o compo-
sición de la lenteja, vuelve a poner de manifiesto la proporcionalidad entre peso
y masa. Como consecuencia. de esta proporcionalidad, no necesitamos recurrir
siempre a experimentos. de choque para comparar o 'determinar masas inertes.
Basta una determinación de los pesos de dos cuerpos mediante balanzas de pla-
tillos o dinamómetros calibrados. ,-
-¡ .
El peso de un -cuerpo varia con su posición: su masa no. En el espacio, fuera
del alcance de cualquier atracción gravitatoria sensible, el peso de un cuerpo
sezría 'prácticamente nulo _y no seria posible una comparación de masas inertesmediante los pesos. En cambio, los experimentos de choque pueden realizarse,
al menos en principio, en un lugar cualquiera. Unpéndulo es un tipo de oscila-
dor. Una masa unida al extremo de un resorte es otro tipo, y ahora el- período
de oscilación depende de la masa y de ciertas propiedades del resorte, pero no
43 MASA JNERTE
del peso de la masa. Como consecuencia, un reloj de péndulo. marcharía len_rta-
mente en la Luna, donde todos los cuerpos pesan menos, mientras que un relój
de áncora marcaria correctamente el tiempo. ' _
La variación del peso de un cuerpo con la variación de situación sobre la
superficie terrestre es relativamente pequeña. A una altura dada, por ejemplo,
al nivel del mar, el peso de 'un cuerpo es máximo en los polos y mínimo en .el
ecuador; esta variación es de un l/2 %. A una latitud dada, el peso disminuye
con la altitud y, por ejemplo, esta variación es de un l/3 % al pasar del nivel del
mar a la cumbre del Everest. W ~
Las medidas de la variación de la gravedad con la situación sobre la super-
ficie terrestre se pueden realizar 'comparando losperíodos de péndulos colocados
en posiciones diferentes. Las medidasde este tipo pueden realizarse con gran
precisión, por ejemplo, contando el número de periodos entre dos o más «coin-
cidenci_as›› de los péndulos. En 1898 se registraron medidas con péndulos en las
cuales se determinaba la variación de peso *correspondiente a una diferencia de
alturas de sólo dos metros.
2-3, Unidad de masa. Si se elige.un cuerpo patrón como unidad de masa
inerte, está claro que las masas inertes de otros .cuerpos se podrán. determinar
con el método indicado en el apartado anterior. La unidad de masa en el sistema
métrico- decimal es el kilogramo. El 'patrón internacional de un kilogramo es un
cilindro de platino que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medi-
das en Sèvres, Francia. Un gramo es la milésima parte de un kilogramo___y es,
muy aproximadamente, la masa de un centímetro cúbico de agua.--En el sistema
gravitatorio inglés de unidades de medida, la unidad de masa es el slug. Un_ slug
tiene un peso aproximado de 32 libras y una masa de 14,6 kg. En este sistema
no hay patrón demasa; más bien se basa. enun peso (o fuerza) patrón 'de una
libra.
Medida y dominio de la masa. Las medidas de masas, como las de tiempos
y longitudes, se han extendido para cubrir un dominio muy amplio. Una com-
paración de pesos equivale, según hemos visto, a una comparación de masas,
y este es, quizá, el tipo de medida de masas que nos es más familiar. Las báscu-
las con la indicación «Peso exacto, sin resortes» son dispositivos para la compa-
ración de pesos y se emplean en formas modificadas adecuadamente para cosas
tan pesadas como locomotoras (peso de unas 200 toneladas) y tan ligeras como
un milímetro de un pelo humano (masa aproximada 10-7 g). Las masas inferiores
a 10-7 ó 10-3 g se determinan con ayuda de diversos medios indirectos. Quizá
el método más común consiste en contar el número de fragmentos iguales que
componen un fragmento suficientemente grande para poderlo pesar por medios
convencionales, Por ejemplo, dos gramos de gas hidrógeno constituyen un mol
y, por tanto, contienen unas 6 ~ 1023 moléculas. Luego, una molécula dehidró-
PROBLEMAS 49
I
I
|›v
geno tendrá una masa de 3 - 10-24 g.- La comparación de masas atómicas y sub-
atómicas se ha convertido casi en un procedimiento rutinario de laboratorio en
los últimos años. En el capitulo siguiente se verán algunos fundamentos de esos
tipos de comparación. De todos los cuerpos conocidos, el electrón es el que tiene
menor masa, la cuales de 0,91 -10-27g. _ .
Por supuesto, nadie intenta pesar, literalmente, cosas como montañas u
océanos, si bien sus masas se conocen con bastante precisión. Un procedimiento
es utilizar el sentido común para medir el volumen y multiplicarlo por la masa
media por unidad de volumen o_ densidad media, estimada. Esas masas estima-
das son particularmente precisas en el caso del agua porque la densidad del agua
varia muy poco. En cambio, rocas y tierra tienen densidades muy variables y
se ha de obtener un valor medio a partir de un gran número de muestras toma-
das a diferentes profundidades y en distintos lugares. También pueden utilizarse,
para estimar la masa de cuerpos próximos grandes, tales como montañas 'o de-
pósitos minerales, métodos de péndulo análogos a los estudiados en ›1tu pireO ,h-00 ()¬ E3
con la variacion del peso. _ A
La. determinación de las masas de los cuerpos celestes plantea 'un problema
totalmente diferente. Aun cuando pudiera hallarse el volumen, la densidad suele
presentar una gran incertidumbre. Las masas de los cuerpos celestes se miden,
por tanto, estudiando su movimiento y el movimiento de los cuerpos asociados.
Por ejemplo, la masa de la Tierra se puede determinar apartir de un estudio
del movimiento de la Luna y resulta ser-de 6 ' 1024 kg. La masa del Sol revelada
por el movimiento de los planetas es 'unas 330 OOO veces mayor que la de la Tie-
rra. Algunas estrellas tienen masas centenares de veces mayores que la del Sol,
y nuestra galaxia (la Vía Láctea) tiene una masa de unos 1011 soles.
PRoELEM.As
2-le. En uno de los dos carritos de
masas desconocidas .pero iguales se coloca
una masa de -l kg. Los carritos, inicial-
mente en reposo, interactúan explosiva-
mente uno con otro y alcanzan velocida-
des' de 2 _y - 3 m/s, respectivamente.
(a)¿ ¿Cuáles son las masas de los carri-
tos? (b) Se repite el experimento, colo-
cando en lugar de la masa de 1 kg un ob-
jeto de masa desconocida. Las velocidades
observadas son l,8 y - 4 m/s. ¿Cuál es
la masa del objeto?
2-2. En el procedimiento operativo
de la medida de la masa inerte 'descrito en
Ingard - 4
el texto, se requerían una regla graduada y
un reloj. Inténtese idear una modificación
de este procedimiento en la cual no sea
necesario el reloj y sólo se precisara la regla
graduada como instrumento de medida.
2-3. Proponer una definición ope-
rativa de la masa- inerte basada en el ex-
perimento descrito en la -figura 2-1.
Describir cómo se podríaconstruir una
escala de masas basada en nuestradefi-
nición. Análogamente, proponer una de-
fmición de masa basada en el experimento
descrito en el texto en el cual los cuerpos
están sometidos a tracción durante tiempos
-...-4›-.oa al JA VJ-J4l\.l 1:1
iguales. por un resorte estirado -tm cierto
valor constante. -
2-4. En ' _sus' Principio, Libro III,
Proposición 6, NEw'roN .describía un ex-
perimento en el cual utilizaba dos pén-
dulos. uno estaba constituido por
una caja de .madera suspendida ide una
cuerda de 3,35 my. Llenaba de madera una
de las cajas,-'y' en el centro de la otra colo-
caba un pedazo de oro de tamaño tal que
igualara los pesos de los dos péndulos. Se
ponían en oscilación los dos péndulos y se
encontraba que uno, seguia al otro en sin-
cronismo' durante largo tiempo.- Repitió
el experimento, comparando ahora el
péndulo lleno de madera con otros pén-
dulos que contenían sustancias tales como
plata, plomo, vidrio, arena, sal común,
agua y trigo. ¿Con que fin cree Ud. que
realizaba NBWTON estos experimentos, y
qué conclusión pudo sacar de ellos ?' -
2-5. Se mencionó 'en el texto que
un péndulo tendria mayor periodo *en la
Luna que en la Tierra y en consecuencia,
un reloj de péndulo -«atrasaria›› en la Luna.
¿Ocurriría lo mismo con un reloj de pul-
sera? Explíquese. 1 '
2-6. ¿Cree Ud. que un diapasón vi-
braria con la misma frecuencia en la Tierra
que en la Luna? Expliquese. 
c.¿±,1_>íTULo 3
cA,N'rrD.A.D DE MOVIMIENTO Y FUERZA - 1
Resumen. Concepto de cantidad de movimiento. Los experimen-
tos de. choques unidimensionales conducen al importante principio de
conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado
de particulas en interacción. Choques perfectamente inelásticos y ¿per-
fectamente elásticos. La conservación de la cantidad de movimiento
se interpreta en-función del movimiento del centro -de masa. El estu-
dio de'la ces-ión de cantidad de movimiento durante un choque conduce
al conceptode fuerza (segunda ley de Nevvton) y se deduce experi-
mentalmente que la fuerza ejercida sobre un cuerpo B por un cuerpo A
es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre A por B (tercera ley de
Newton). Se estudian las propiedades de la fuerza gravitatoria y de. la
fuerza elástica (o de muelle) y experimentos en que intervienen estas
fuerzas 'conducen a la importante 'propiedad de las fuerzas conocida
por el nombre de principio de superposición. Se estudia el significado
de «sistema» de partículas y de fuerzas «interiores›› y <<exteriores›› y
se trata el movimiento delcentro de masa en función de las fuerzas
exteriores. Por último, se estudian la cesión de cantidad de movimien-
to por un chorro de -partículasiy la fuerza correspondiente y se ilus-
tran con el caso del movimiento de los cohetes.
Podemos ya emprender enserio el estudio de las interacciones y del movi-
miento. .Al igual que en cualquier otro estudio, una parte importante de él con-
siste'en formular y preguntar las cuestiones «correctas››. El tema que queremos
abordar es muy amplio y. hay muchas preguntas que podemos formular acerca
de muchos tipos de movimiento. Al seleccionar el primer experimento ¿de movi-
miento, evitaremos los_ tipos complicados y muy especializados tales comola
caída irregular de un pedazo de papel por el aire, o las olas creadas por una
lancha rápida,,ya que estos tipos de movimiento dependen de muchos factores o
parámetros y son dificiles de analizar. En su lugar, los primeros estudios se referi-
rán a tipos demovimiento más sencillos y claros, en función de los cuales pueden
comprenderse otros más complicados. La caída libre de un.c_uerpo en el vacio,
el movimiento de un cuerpo del que tira un resorte y que está situado sobre una
superficie lisa y el movimiento planetario, pueden considerarse como ejemplos
de tales movimientos. Siaceptamos la idea general de que el movimiento de un
52 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUERZA --I
cuerpo sólo-varia a causa de la interacción con otro u otros cuerpos, el experi-
mento más sencillo sería 'un choque de dos cuerpos. -Los experimentos de este
tipo son relativamente fáciles de realizar. y de analizar, por lo que se' selecciona-
rán como punto de partida. .
Desde luego, el estudio completo del movimiento llevaría consigo experimen-
tos y el análisis de los diferentes tipos de interacción. Un programa tan extenso
nos llevaría a través de la mayor parte de la_Física y resultaría demasiado amplio
para tratarlo aquí. Limitaremos, pues, nuestros experimentos de introducción
acerca de choques a casos sencillos en los que intervengan interacciones de con-
tacto y elásticas y, con menor extensión, interacciones magnéticas., A partir de
estos experimentos mostraremos cómo surge uno de los principios fundamen-
tales de la Física: el de la conservación de la cantidad de movimiento.
0
3-1 Experimentos de choque exploratorios. ¿Cómo podemos proyectar
un experimento en el que intervenga la interacción de sólo dos cuerpos? No es
tan fácilcomo pudiera' parecer a primera vista. Por una parte, el movimiento
de un cuerpo a través del aire se halla siempre afectado por los choques con las
1019 partículas por centímetro cúbico de que está compuesta el aire. Además,
el. movimiento de un cuerpo sobre la superficie terrestre está-Í afectado por sus
interacciones con la Tierra: la atracción gravitatoria y las interacciones de
contacto. .
El efecto sobre el movimiento de la atracción gravitatoria puede eliminarse
si nos arreglamos para que los dos cuerpos considerados se muevan sobre una
pista o plano horizontal. Aun cuando permanezca el efecto, del <<rozamiento››
con la pista, siempre podrá 'hacerse suficientemente pequeño (según se .verá más
adelantecon mayor detalle) para que al abandonar el cuerpo sobre el plano o
pista se mueva sobre ella con velocidad casi constante durante un tiempo consi-
derable. El estado de movimiento del cuerpo será variado solamente por inter-
acciones con otros cuerpos que se muevan sobre la pista. Seifá, pues, posible
obtener una aproximación razonablemente buena de la interacción 'de dos cuer-
pos ideal, como indicaremos más adelante. -
Dispositivo experimental. En la figura 3-1 puede verse el dispositivo experi-
mentalcon que empezaremos. El aparato está constituido por dos carritos que
pueden moverse libremente sobre una pista de cuatro metros de longitud. Las
ruedas de los carritos tienen cojinetes y cuando se mueve un carrito. a lo largo
de la pista horizontal, su velocidad permanece prácticamente constante. Se de-
termina la velocidad midiendo el tiempo. que transcurre mientras 'el carrito re-
corre una distancia fija. Las medidas de tiempo se realizan con relojes- que se
ponen en marcha y .detienen mediante interruptores' eléctricos montados a lo
largo de la pista y que son accionados por los carritos al pasar. En el estudio de-
un choque entre dos carritos sobre la pista, suele ser necesario hacer cuatro me-¿
EXPERIMENTOS DE CHOQ UE EXPLORATORIOS 53
' i D
Fig. 3-1'. Dispositivo para experimentos de choque -unidimensional. Los relojes
se ponen en marcha y detienen eléctricamente, mediante interruptores disparados por los
carritos. F
didas de velocidad, lo que exige la presencia de cuatro relojes y cuatro pares de
interruptores.
Choques. Empezamos con dos carritos que pueden moverse libremente so-
bre la pista; nuestra misión es estudiar cómo el movimiento de uno afecta al del
otro. Los carritos no se perturbarán entre si a menos que entren en contacto
directo. Sin embargo, con imanes' montados adecuadamente, los carritos se in-
fluirán mutuamente aunque no estén en contacto real. En uno y otrc caso, cuando
los carritos estén muy separados se moverán con velocidad constante, pero cuan-
do entren en el dominio de interacción o de las <<fuerzas›› (y a cofnsecuencíade
ello cambien sus velocidades) experimentarán lo que llamamos unichoque, tanto
si los cuerpos están en contacto como si no. ' '
En primer lugar, consideraremos las velocidades de los dos cuerpos en inte-
acción antes y después del choque. Más adelante estudiaremos qué ocurre duran-
te el (a menudo muy corto) tiempo de choque. Variando las condiciones experi-
mentales, es decir, los tamaños y masas de los carritos, la naturaleza de las su-
perficies de contacto entre los carritos, el material de que están hechos, las velo-
cidades iniciales, etc., estudiaremos qué son las variables importantes y cómo
depende de esas variables el «éxito›› del choque.
Los experimentos de choque exploratorios indican que la relación entre las
velocidades' final e inicial de los cuerpos parece depender del tamaño y material
de los cuerpos y de la naturaleza de las superficies de contacto entre ellos. Para
intentar poner orden en esas observaciones, variaremos un parámetro cada vez,
empezando con las condiciones iniciales más sencillas posible. Desde el principio
resulta evidente que la masa inerte de los cuerpos, estudiada en el capítulo anterior,
54 CANTIDAD DE Mo V1M¡ENro Y FUERZA _- 1
jugará papel importante en los choques, ya que es esta propiedad la que ex-
presa la resistencia de los cuerpos a cambiar sus estados de movimiento.
¢
2
I'
I
3-2 Canfidad d_e movimiento. En el Capítulo 2 utilizamos una interacción
«explosi_ya›› como definición operativa de la masa inerte.rCon esta definición de
masa, te-¿nemos para la interacción explosiva
mava = “mbvb
donde el signo menos significa que va y vb tienen la misma dirección pero senti*
dos contrarios ylos subindices identifican a los cuerpos. El producto mv resulta
0 : ' 7
ser una cantidad importante a la que se da el nombre de cantidad de movimiento
y su -símbolo es p. Un cuerpo de pequeña masa, pero animado de una velocidad
grande, puedetener la misma cantidad de movimiento que otro más masivo
pero que lleve menor velocidad. La cantidad de movimiento, aligual que la ve-'
locidad, se toma positiva cuando se mueve el cuerpo en el sentido positivo del
eje de las x; y negativa cuando se mueve en sentido contrario.
La expresión anterior puede escribirseen la forma
l ..
, m,,v,,--|-'m;,v¡, -= 0, 0 bien pa + pj, = O
Es decir,¿,¿ como la cantidad de movimiento total era nula antes de que los carri-
tos se separarán (la velocidad ya por- ende la cantidad de movimiento 'de los dos
carritos eran nulas), podemos decir que la cantidad de movimiento no ha variado
o que se;¿-ha conservado (se ha mantenido nula). a consecuencia de la explosión.
En este primer ejemplo, la conservación de la cantidad de movimiento' se de-
duce de-las definiciones de masa yicantidad de movimiento. Pasaremos ahora a
estudiar experimentos de choque con condiciones iniciales más generales con el
fin de estudiar ulteriormente los intercambios de cantidad de movimiento y la
' . I
posible conservación de la cantidad de movimiento total de cuerpos en inter-
acción. '
3-3 Conservación de la cantidafd de nipvimiento. Como en nuestro primer
experimento, continuaremos haciendo que carritos interactúen por medio de
un resorte unido a uno de ellos. En la .figura 3-2 puede verse el, dispositivo ex-
perimental (véase también fig. 3-1). Se variarán tanto las condiciones iniciales
como lasrmasas de los cuerpos que choquen y se medirán las velpcidades antes
y después, de los choques. En todos los-casos será despreciable la masa del resorte.
Empezaremos con dos carritos de -igual masa. Si el cuerpo A choca con el
cuerpo B, que se halla inicialmente en reposo, hallamos que el choque lleva
al estado ¡de 'reposo y que B adquiere la velocidad que tenía A antes del choque;
es decir, hallamos que vá = va. (De ahora en adelante, las cantidades sin acento
con/SER VA crózv DE LA CANTIDAD DE Mo V1M1ENro ss
.
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9,;-›:§¡_$:-. - :- 3
A¦.,¿¦$§_,_ É fi 1,. N ,N
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`_-\4-».4›':$..Ä
il@ ® CD 
Reloj 1 Reloj 2 Reloj 3 j Reloj 4
En marcha . En marcha En marcha ¿En marcha
1 . v. e .
Detención etención Detención'-A -Detención
Fig. 3-2. Aparato para el estudio del choque de' los carritos A y B. Losïrelojes
1 y 3 miden el tiempo- que emplean A y B en recorrer una distancia fija antes de chocar,
y así se obtienen v, y- vb. Los relojes _2 y 4 miden eltiempo que emplean los carritos en
recorrer una distancia fija despues del "choque, y; así pueden 'obtenerse v',, y v'¡,. Un
sistema de relés eléctricos impide que se ponga en marcha el reloj _2 -hasta que el carrito
A haya pasado sobre el interruptor de detención del reloj l. Independientemente de la
forma de interacción y de la masa delos carritos, se- encuentra que siempre m,,v,, + m,,v,==
m,,v',, + m¿,v',, (Véase también fig. 3-1).
se referirán a condiciones antes del choque y las cantidades con acento se refe-
rirán a lascondiciones después del choque).
Supongamos ahora que tomamos carritos de masas desiguales, pero .conti-
nuamos utílizando el resorte intercalado entre los dos cuerpos y que continúe
estando B inicialmente en reposo. Cualitativamente, hacemos las siguientes ob-
servaciones. Cuando A tiene más masa que =B, los dos cuerpos A y B tienen
movimiento hacia adelante después del choque. Cuando A tiene menor masa
que B,_,el cuerpo A invierte el sentido de su movimiento y B se mueve hacia ade-
lante después del choque. No es cierto, en absoluto, que la velocidad perdida
por- A se transmita a B. Pero en nuestras observaciones persistirá una regularidad.
Independientemente de cómo sean las masasde A y B, la cantidad de movimiento
perdida por A a consecuencia del choque, pasa a B. En otraspalabras, la canti-
dad,-de movimiento total, la del carrito A más la del B, es la misma .antes que
después del choque
meva =-*mavá -l- mrvi
Como último experimento de choque con nuestros carritos amortiguados por
resorte, dejemos que ambos tengan velocidad inicial. Los resultados experimen-
tales contienen ahora cuatro velocidades, y se hace dificil adivinar los resultados
de los diversos experimentos' posibles en los -que intervienen masas y velocida-
des .diferentes. Sin embargo, en nuestros resultados persiste de nuevo una regu-
. . .
se CANTJDAD DE Mo 1/1M1ENTo Y FUERZA - I
laridad y ello- no es sino una extensión natural de lo anteriormente hallado. La
cantidad- de movimiento total antes y después del choque es la misma:
'meva + mtv» -`-= mart + muii, "0_ bien Pa + Pi .== rá + Pi (3-1)
Es decir, la variación de cantidad de movimiento del cuerpo A es igual y opuesta
ala variación de cantidad de movimiento del cuerpo B. En estos -choques, un cuer-
po puede ceder cantidad de 'movimiento a otro, pero la cantidad de movimiento
total permanece constante. r
' En la tabla ,3-le puede verse un ejemplo de datos experimentales obtenidos
en_,un choque, del tipo de resorte, entre dos carritos exactamente iguales que-se
mueven uno haciaotro -sobre la pista con celeridades diferentes. Los interrup-
tores eléctricos de la pista están separados 50 cm. Las agujas de los relojes (véase
'fig. 3-l)'completan una revolución cada segundo y pueden leerse con una pre-
cisión' del 3 X, citando el tiempo es igual o 'mayor que medio segundo. '
. ` Vemos que este resultado es compatible con el principio de conservación de
la cantidad de movimiento ,dentro de la precisión del experimento.
A continuación estudiaremos la conservación de la cantidad de movimiento
para interacciones que no sean del tipo de resorte. Si colocamos en un extremo
de uno de -los carritos un pedazo de masilla, tras el choque permanecerán unidos.
He' aquí¿un tipo de interacción totalmente diferente. En la tabla 3-2 pueden ver-
se los resultados de. dicho experimento._ Obsérvese que puesto que los carritos
permanecen juntos tras el choque, -tenemos uf, = vá. Aun cuando los detalles
-del 'movimiento' en. este choque sean totalmente diferentes de los del choque tipo
TAEL-A 3-..l_. _ Cfiooue ENTRE nos cARRrros A'v B DE MAsAs1ouA1.Es( ma = mi, -== 6,6 kg);
Disraucix ENTRE iN'rERRUr›roREs: 0,50 m.
m ir-r"flfí Iuíj -nm I firí l 1 ï|lfi|íu i r †1_ ' I ^¬ mxgï _á'L' _ -`í`
. o r
*-
;, “_ 'Tiempo A t, ` Velocidad v, ,Cantidad de movimiento p,
t r s r m/s ` kg-m/s E
. - i l
, . ' , ^- ,
n -_'_|_VB I _ U _ Í Líí T7 Í I; *_ _Í '_,.__ 1
i 0%@-2 __ 111 I L › -¡fï | - L j -- -J-- ¡ ~ -- - --
. _' 1
3' Antes del choque. l
1 , ' i
Í Cartito' A ' ' El Ai., = 0,82 va = 0,61 pa = ma - 0,61
.Carrito B v - At¿,=0,54 3 vi,-== -0,93 “H pi, -= -ma-0,93)
Después del choque - i
“- cami@ A - F Ai,',= 0,51 ví, = --o,ss l pi, = --m, «0,88
I ` I ' 1
i Carrito B Ati, = 0,88 l' vb = 0,57 vi r pi, .= ma - 0,57
_ _ _ I 1 l -ìí tii-ífi 1* fl_'_1 r __; mr' Lrx' _1 ___ _í _r_ _ L _ _ F' _'_______ ___ E' _ ,
Cantidad de movimiento tbtal antes del choque: p = pa -I- pi, = -0,32m,,
; Cantidad de movimiento total después del choque: p' =. .pá _|_ pr = ._0,31ma
11 --O-Ií_ ía@ 1 ¡_-nl ¡-1 1_ I Ji _ _ 71! _'“"| 1 mi 1 1 _J> __±n-U1- __Ií7“ `
Q Q
,J Carrito A f 0,9¡ vá = vá _: 0,55 'p;§= 2"; . 0,55
co/vsea r/,4c1óN DE LA CANWDAD of Mor/1M1f:N†o sv
TABLA 3-2. CnoQuE.1=.r~_1rRE nos cafuuros A Y B con m,,.-=2m¿, =2m.
DtsTANc1A ENTRE mrsnauproassz 50 cm.
_ _ _ _ 1' 'IY _ _ _,_ __~___,†f_*__ ~ ~ _ _ ___7 __ _ ___!_ _¡¿_-_ ~_ _ _ ¬| Ñ- _,1_4IÄ _~~ H "17-7 ¬~~ -I D-I __ ,Í __ __ , , _ ,
i
Tiempo A t, ' Velocidad U, ,Cantidad de movimiento p,
s É m/s l kg-m/s
i, Í Í _
7_¡__77ì- Í L__ ___ _ 7? I _ Í A -í | ' 11 í Z mimi, nn@ ¡__` mi ¡~~ 1.. ~~ 'Ñ __ _*
@__ Ñ1 _ --¡Í V ,ir L _,\ _,_, , 1 I, I-l I }Ú_ l ' 17 Él ¬1- Áìilíïm mí, 1 ¡rr 4r_4i_ 'mv-ya _- L1* Jì ,~,
; Antes del choque 1 Í É
Carrito A ' 0,60 va = 0,83 - pa =-i2m - 0,83 i
Carrito B i - r vb = 0 ps =-'10
Después del choque N
Carrito B v l 3 pi, =.m _- 0,55
i i
 _;.1 ji I -U2 In. 1@ “Inn-¡ ¡m r' _1 u-._ IC iii _ 1;-q in-I“'1-L"| ,SII " L7 ~7
n
Cantidad de movimiento total antes dei choque:p- = pa -f- pr, = l,6_(6)m W
, Cantidad de movimiento foiai después der' c:hoqu_e.' p' = pá _¡_ p¿=-_ 3m-,_ÍG,55 = 1 "cn I-\ en L/ 21'Pfil
i
\
' I
.;.;.'\vZ$°.;¡.;:;.,y{.;.;.- ¦.;.¿.¦§-¦§.~.;.¦.\~.°;.\-.;. .;.>~.ƒ,'.~.›.; 4;.-.$;.;.¦A};.;3j.~;. .;¿\§.'^°.g.-N. . . .° ;.;.-.-1`.^-,'.v.°.-.-'-.-.-.~.f.-.-:-.<-. .-.-:›.~«$.-.-.-.¬:~,°-.-.›:-:$2.-:-› -:~:-›. ›.-:-.- _,-1-.-.-.-.-›/-.-;,4.f.5-.<-:;~:-:-;á- ›,›. .- :-:-.~:-ví~.j.'.~¢-S' '.'.'-'-'.'.'-' ~ '.° '.'.vf- .'.~ - . '.s¬.'¦~¢ 2 ~¦*.°.v. .'.v¢$. .-.' ~ -_-.y 4° ° .'. ¬.- _ -1.-.-.-`-.¬>. ~.'.4.~.-.'.-§ -
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I / /
Fig. 3-3. _Experimento de choque con interacción magnética.
resorte, encontramos de nuevo que dentro de los errores experimentales, la can-
tidad de movimiento totalde los cuerpos es la misma antes y después del choque.
Los experimentos con el resorte py con la masilla han ofrecido ejemplos de
interacciones de contacto. Unos imanes montados adecuadamente permitirían
la interacción de los carritos sin que entraran verdaderamente en contacto (fig. 3-3).
También en este casó, los experimentos detallados muestran resultados que están
de- acuerdo con el principio de conservación de la cantidad de movimiento.
Podríamos seguir ensayando todos los tipos deinteracción imaginables, pero
ya hemosensayado una muestra reducida aunque variada y consideraremos ya
establecido el principio de conservación de la cantidad de movimiento. La evi-
dencia más fuerte que lo respalda es, desde luego, que ha resultado útil en
casos muy diferentes encontrados en el estudio del movimiento en el des-
arrollo de la Ciencia y lo consideraremos como uno de los principios fun-
damentales de la Física.
ss 5 CANTJDAD De Mo Vmtezvro Y ,FUERZA 1
EJBMPÉO. A unicarrito que puede rodar libremente sobre una pista horizontal,
se fija un La 'masa total del rifle y el carrito es m1 =-- 10 kg. Se dispara horizontal-
mente hacïia la derecha una bala demasa mg =-†- 0,005 kg y se observa que recorre en
1 = 0,2 s ima distancia 12 = 50 ma partir del punto de disparo. Durante ese tiempo,
¿qué distancia y en qué sentido habrá recorrido el carrito (con el rifle unido a é1)?
Elsistema (carrito, rifle y bala) no tenía cantidad de movimiento antes de la ex-
plosión ylìlo mismo debe ocurrir después:
1
¢
É 'm1v'1+ m2U'2 = 0
Si podemos hallar-la velocidad, del carrito vj también podremos hallar la distancia
que recorrferá en el tiempo r. '
i 'mg F
I v'1 -= ---uff;
'ml
. 'mg
11 -'= 11,11' = ----0,21'
'm1 '-1
. i
La velocidad de la bala era vé = lg/1-, y tenemos
i
Í Z1 = --n-1-212 = --Q39-9-ã- 50 -`= -0,025m == --2,5cm
'm1 10
(El signo menos indica que el carrito se mueve hacia la ivquierda).
F
EIEMPLÓ. Por el espacio exterior se mueve un cuerpo de masa M con velocidad
V. Se quiere romper el cuerpo en dos partes tales que la masa de una sea la décima
parte de la; masa total. La separación explosiva debería ser tal que después dela ex-
plosión la fparte más pesada quedara en reposo, mientras la más ligera continuara
en la direcïçión inicial del movimiento. (Esto es análogo a la separación 'de un satélite
artificial de su cohete). ¿Con qué velocidad continuará la parte pequeña?
Podemos considerar que estos cuerpos sólo se ejercen interacciones entre si, pudién-
dose despreciar la influencia de los demás cuerpos. Por tanto, se conservará la can-
tidad de niovimiento. La cantidad de movimiento total antes de la explosión es MV.
Después dé] choque debe tener el mismo valor (ma = 0,9M, mb = 0,lM)., _
 øq í ix 1 :_ '_ 
1 i Cantidad de movimiento { 'Cantidad de movimiento 0
, ` antes después i
4
Cuerpo ' 0,9MV A 0 i
I Cuerpo 0,lMV i 0,lMv{,
i Cantidad de movi- i - i
'1
miento t'ptal ï p = MV -- p' = 0,1Mv¿ r___ v
1 ¢
Por tanto, con p -= p', _
' Í MV = o,1Mv5,
vi; == 10V'
cHoQ of-rs RERFEGTAMENTE Erfísrrcos rr romLMENTIJ 1NnLA'sr1cos 59
, _ _ \ .
, .
\
3-4 Cheques perfectamente elásticos y totalmente inelásticos. Aun cuando la
gonservación de la cantidad de movimiento se aplica a todas las interacciones,
debe quedar claro que las velocidades ¿de los cuerpos después del choque suelen
ser diferentes"para interacciones diferentes, incluso siendo las mismas las velo-
cidades iniciales. En lo`s`"choques tipo resorte, observamos en la tabla 3-1 que la
magnitud' dela velocidadareiativa de los dos cuerpos, es decir, la diferencia entre
las velocidades de A y B, no es muy diferente antes y despuésdel choque. Según
la Tabla 3-1, estas velocidades relativas resultan ser v,-1 - vb =- 0,61 - (-0,93)
'--=i= 1,54 m/s y uf, - ví, = -0,88 -- 0,57 = -1,45 m/s. En el choque «tipo
plástico›› descrito en la tabla -3-2, observamos que la velocidad relativa de los cu-
erpos es nula después del choque. _ '
A' menudo se utiliza la variación de velocidad relativa entre los cuerpos en
colisión, como medio burdo para clasificar las interacciones. Se acostumbra a
llamar choque perfectamente elástico a aquél en que la velocidad relativa de los
dos cuerpos después del choque es igual y de 'signo contrario a la existente antes
de él:
Q
ví, - vi, = -(va -- vb) (perfectamente elástico, una dimensión) (3-2)
Los demás choques reciben el nombre de inelásticos, y aquellos en que la ve-
locidad relativa después' del choque es nula reciben el nombre de totalmente in-
elásticos.'
uf, -- vi, -= 0 (totalmente inelástico, una dimensión) (3-3')
-o
En el experimento de tipo explosivo utilizado en la definición de masa inerte,
estudiado en el apartado 2-2, la velocidad relativa antes de quemar el hilo que
.unía los carritos era nula, no siéndolo después. Con un' poco de imaginación,
podemos pensar- en otros ejemplos de esta naturaleza, por ejemplo, interacciones
o choques en que la magnitud de la velocidad relativa aumenta a consecuencia
de la interacción .o choque. Según todos sabemos, las interacciones de.este tipo
(a las .que llamaremos interacciones de tipo explosivo) tienen todas una caracte-
rística en común: asociado -a la interacción existe algún cambio físico definido.
Por ejemplo, en nuestro primer experimento el resorte cambiaba del estado de
estar comprimido al de estar distendido. Un triquitraque situado entre los dos
carritos y dispuesto de manera que explote en el instante del choque sería otro
ejemplo de choque-del tipo explosivo. Al explotar, el triquitraque sufre un cambio
en su estado físico. En cambio,.los choques perfectamente elásticos no llevan
consigo cambios físicos de los cuerpos que chocan. En los choques amortigua-
dos por muelle, que veíamos eran Casi perfectamente elásticos, el muelle -se
hallaba en su estado natural indeformado tanto antes como después de la in-
'teracción-.
60 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUERZA - 1
n '~ .--o
s ' -_
J Q
_ . 'Í' ..
. Veremos que el hecho de que la magnitud de la velocidad relativa no acostum-
bre a aumentar en los choques, tiene un profundo significado. Si hubieran choques
en los cuales creciera la magnitud de la velocidad relativa y en los que no se pro-
dujeran cambios físicos en los cuerpos que' intervienen, `se podrían construir
las llamadas máquinas de movimiento perpetuo. Sugerimos que el lector especule
acerca de la_naturaleza de dichas máquinas..Por ejemplo, una bola situada .en-
tre dos paredesrigidasparalelas ganaría celeridad cada vez que chocara contra
una pared si, en la interacción entre bola y paredes, la velocidad relativa aumen-
tara siempre. Sin embargo, no se han encontrado interacciones de ese tipo: Estu-
diaremos más adelante la ausencia de dichas interacciones yde esta observación
haremos una ley 0 «principio››- de la Naturaleza. Hemos visto que la mayoría
de los choques llevan consigo una; disminución de las velocidad@ relativas de
los cuerpos y en este caso, si profundizamos en los hechos, también puede ha-
llarse siempre algún cambio ¿en el estado físico de los cuerpos. Estos temas se
estudian mucho mejor atendiendo a la energia cinética, concepto que introduci-
remos más adelante. '
'EIEM1=Lo. En tm choque perfectamente elástico entre dos carritos situados sobre
una pista, las velocidades de los cuerpos son va = 3 m/s y vb == -2 m/s. Las masas
de los cuerpos son m., = l kg y _m¿, = 2 kg. ¿Cuáles son las velocidades de los cuer-
pos después del choque? _ _
Sean vf, y ví las velocidades de los cuerpos después del choque. La conservación de
la cantidad- de movimiento nos da
mava + mw@ = movi + mrvi
Como el choque es elástico,
vá -- vi = -(vt -- vt)
¢
A
Eliminando vá entre estas ecuaciones, obtenemos para la velocidad vf, :
vt __ (ma - mbiva -I- 2mz›v¿›
a "" "`___'_'_"`_"""“""'“"'“"""*“
ma + mb
y análogamente, para vi:
ví = (mb - m,,)v¡, ~I- 2mav,,
ma + mb
En este ejemplo particular obtenemos
vá =-,É1.Í`_?_)':31__ïš' 2("'9) __: __l¿1. m/s,
ufb = --2:;-j-6 =%m/S
CENTRO DE MASA 61
3-5 Centro de masa. En este apartado no vamos a introducir nada nuevo
en principio. Sólo indicaremos, introduciendo el concepto de centro de masa de
los cuerpos en interacción, cómo puede interpretarse en forma sencilla, útil e
interesante, el principio de conservación de la cantidad de movimiento.
Sean xa y xb las coordenadas ,de dos cuerpos en interacción, medidas a partir
de un origen arbitrario de un sistema fijo de coordenadas. Por el momento, consi-
deraremos como sistema fijo de coordenadas a un sistema solidario con la Tierra.
Frecuentemente llamaremos a este sistema sistema del laboratorio. Todos nuestros
resultados experimentales y las leyes del movimiento que sigan se referirán a
este sistema de coordenadas fijo del «laboratorio››. En un capitulo posterior
estudiaremos la influencia del movimiento del sistema de coordenadas.
La situación del centro de masa de los dos cuerpos en el sistema de coorde-
nadas fijo se define en la forma t
a a "i" mbxbX = fi¬”5----- 3-41ms -I- mi ( '
Este punto divide a la distancia entre los-cuerpos .en dos partes d.,yd1,,indica-
das en la figura 3-4,de tal manera que mada = mbdb. El lector debe couvencerse
por sí mismo de que este resultado se deduce directamente de la definición dada
por la ecuación (3-4).
m° c.m.
w
v il X _
-mi-xd ------u_-1 l
;,----É----xr,
Fig. 3-4. Centro de masa. V
Si son iguales las masas de los dos cuerpos, el centro de masa será el punto me-
dio del ,segmento limitado por los dos cuerpos. Está claro que el centro de masa
se mueve con los cuerpos y este movimiento tiene algunaspropiedades sencillas
muy útiles. Por esta razón introducimos y utilizamos este concepto..
Cuando en un tiempo At, se desplazan los dos cuerpos distancias respecti-
vamente iguales a Ax., y Ann, , el desplazamiento correspondiente del centro de
masa es AX -= (ma Arca -I- mb Arab)/(ma + mb), y dividiendo porì At obtenemos
la velocidad del centro de masa:
V.: meva "i" mbvb 3 pa 'i' pb __
'ma -i- mb me + mb (3 5)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUERZA -- Io\l\)
_.3Z3........,....¬....
Cgmp ; = maya _|T mm, = pa -1- pb permanece constante según el principio de
conservación de lacantidad de movimiento, se deduce que Íla ve_1ocidad_dei cen-
tro de mtrsa es la misma antes que después del choque. Además, la cantidad de
movimiento total del sistema puede expresarse como el producto dela masa
total delisistema por la velocidad-deltcentro de masa:
P =»pl+pt = <m.,+†åt>v'
Si la cantidad de movimiento total es nula, el centro de masa tendrá velocidad
nula y, por tanto, permanecerá inmóvil.
'EJnMPIÍ_o. Dos -muchachos de masas 40 y 60 kg están de pie sobre una superficie
de hielo exenta de rozamientos, asiendo una barra-recta de longitud m entre ellos.
Partiendo .fde los extremos de la barra, los muchachos tiran de sí mismos a lo largo
de fla barra hasta llegar a encontrarse ¿Qué distancias habrán recorrido sobre el hielo
uno y otrfo muchacho? Despréciese la masa de la barra.
El centro de masa se halla inicialmente en reposo, y como la interacción de los
muchachos es sólo entre ellos, el centro de masa permanecerá en reposo. Por tanto,
los muchachos deberán encontrarse en el centro de masa. La distancia del muchacho
A,_de` 40 al centro de rnasa, es '
._ -..›- - 3
§= mbxb 60
5 =-----=-------l2=75.'~2
X 'ma -I- 'mb 40 -j- 60 J m
Por tanto,“f A recorre 7,2 m y B 4,8 m.
Interacción entre tres o más cuerpos. La cantidad de movimiento .total de
tres o más cuerpos que sólo puedan interactuar entre sí se mantiene constante,
al igual que la cantidad de movimiento total de dos cuerpos. En el caso más ge-
neral, en él que se produce la interacción simultánea de tres o más cuerpos, de-
bemos recïurrir a la experimentación para poner de manifiesto que se conserva
la cantidad de movimiento. No vamos a insistir en los detalles de este tipo de
experimento, pero podemos ver lo razonable que resultaïel principio de conser-
vación de la cantidad de movimiento en este caso de tres (0 más) cuerpos median-
te el siguiénte experimento imaginario.
Imaginemos tres cuerpos A, B y C cuyas cantidades de movimiento son pa,
p¡,,y pc. Lá 'cantidad de movimiento total inicial es, pues, pa -I- pj, + pc. Haga-
mos chocair ahora A. y B y poco después B y C. La cantidad de movimiento
combinádaj de A y B, es decir, pa -i- ps, no varía cuando chocan A _y B, ni tam-
poco la cantidad de movimiento pc de C, ya que éste no participa en el choque.
Por tanto, la cantidad de movimiento total pa- -|- pj, _+ p., no variará a causa
del choque; entre A y B. El mismo razonamiento puede también poner de mani-
fiesto que la cantidad de movimiento total no variará a consecuencia del choque
entre dos miembros cualesquiera de _un grupo aún mayor. Este razonamiento
cos/sra VA crónica LA CANTIDAD DE Mo V1M1ENro DURANTE UN cHoQt/E es
no demuestra que-¿se conserve la cantidad de-V movimiento cuando se produce la
interacción simult'ánea_¿de_ tres o_ más cuerpos, pero la experiencia corrobora
nuestra idea. Tenemos"
n.+r›t+r›¢›+---=r›a+t>i+vt+--- (3-6)
El centro- de masa de un, grupo de muchos cuerpos (o muchas partículas)
se define enla forma: '
,__ _"_';_«-'ì.r_l:_ †31bf'=.t_+. vmzfc .-7
XI” ma+mb+m¢`+--- (3 )
y la velocidad correspondiente del-centro de masa es
V = (3-8)
ma+mt+m_,s+-H
Si las interacciones de los distintos cuerpos- sólo pueden realizarse entre ellos,
su cantidad de movimiento se mantendráiconstantê y de la ecuación 3-8 se de-
duce que la velocidad de su -centro de masa permanece constante;
Todos los objetos tienen un punto que es su centro de masa. La materia está
compuesta de átomos y para hallar el centro de masa de un objeto, podemos
imaginar una aplicación directa (pero muy engorrosa) de la expresión (3-7) en
la que se representarán los 'átomos por A, B, C,..., para hallar X. En el caso de
muchos cuerpos, (cubos, esferas, capas esféricas,\barras rectas uniformes, etc.)
su simetría permite localizar el centro de masa por simple inspección. Obsérvese
que el centro de masano precisa hallarse realmente dentro del material de un
cuerpo; por ejemplo, el centro de masa de una herradura es un punto matemá-
tico en el espacio.
3-6 Conservación de la cantidad de movimiento durante un choque. El
principio de conservación de la cantidad de movimiento obtenido de los experi-
mentos que hemos "estudiado, se refiere a las condiciones antes y. después del
choque. Aun cuando es razonable admitir que la-conservación de la cantidad
de movimiento estambién aplicable durante u-n choque, resulta-dificil en la ma-
yoría de los casos el estudio del movimiento de los cuerpos en colisión durante
los tiempos, relativamente cortos, de duración del choque. No obstante, podemos
proyectar un experimento en el cual el tiempo de interacción es relativamente
largo, con lo que se hacen posibles las medidas de la velocidad. En la figura 3-5
puede verse dicho experimento/ Se separan dos discos unidospor una gomita,
se sueltan y se fotografían con iluminación estroboscópica a medida que se mue-_
ven uno hacia otro. Si. se conserva la cantidad de movimiento durante la in-
teracción, el centro de masa de los cuerpos se moverá con celeridad constante,
64 CANTIDAD DE Mo V1M1EN'ro Y FUERZA _- 1'
J
` ,
Fig. 3-5. Movimiento en un plano de dos discos suspendidos conectados por
un resorte.
1
r\x \
Í x\\X xa
1 \
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J \
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r__ X/ _
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ø/X/Í
*
¡f¡¡¡¡¡.¡
Fig. 3-6'._ El centro de masa de los dos cuerpos en interacción de la figura_3 - 5
se mueve con celeridad constante (masas de los discos, ma =`l,5 kg y mb == 2 kg). La
cantidad de movimiento se conserva durante la interacción. `
ya que su cantidad de movimiento total puede expresarse como procluctod-e su
masa total por la velocidad del centro de masa. En la figura 3-6 pueden verse
las coordenadas x-de los dos discos, representadas gráficamcnte en función delos
tiempos transcurridos, También puede verse la situación del centro de masa y
como la gráfica de x en función de t es recta, sacamos la conclusión de que
la velocidad del centro de masa es consfinte. Por tanto, también será cons-
tante la cantidad de movimiento total y este caso sacamos la conclusión de
que es válida la conservación de la canti de movimiento incluso durante las
interacciones. Admitiremos que esto es ärpre cierto.
.
-_'v' .
F
3-_-7 Fuerza. .-En nuestro estudio' interacciones vistas hasta "ahora,
nos hemos -ocupado principalmente de lgjìicantidad de movimiento total de un
_,... _
sistema de cuerpos en interacción. Sin embàäo, en muchos casos con los que hemos
._ ._ _'.
_ \. .
›'-_'
_o _.
' FUERZA es
de tratar en la práctica, nos puede interesar el movimiento de uno, solo de los
cuerpos del sistema. -En el caso de una piedra que caiga en el vacío hacia la Tierra,
por ejemplo, se tiene una interacción entre la piedra y la Tierra, yf de acuerdo
con el principio de conservación de la cantidad de movimiento, la ganancia de
cantidad de movimiento por parte de la piedra viene contrarrestada por una
ganancia igual y opuesta de cantidad de movimiento 'por parte de la Tierra. Su
centro de masa permanece en reposo. ¿Pero lo que nos interesa es poder obser-
var solamente el movimienito de la piedra y en esto no nos ayuda gran posa el prin-
cipio de conservación de ìla cantidad de movimiento.
Además, la conservación dela cantidad de movimiento total' no diferencia
un tipo de interacción o choque de otro, si queremos introducir una medida
de la «intei.sidad›› de la interacción, deberemos considerar la variación' de canti-
dad de movimiento de uno de los cuerpos en interacción-. Desde luego, nos damos
cuenta de que la variación total de cantidad de movimiento de un cuerpo puede
-r la misma en interacciones diferentes. Por ejemplo, un cuerpo que se haga
rebotar sobre un resorte blando y largo, puede sufrir la misma variación de can-
tidad de movimiento que si lo hiciera sobre un resorte corto y duro', En otras
palabras, se puede dar a un cuerpo la misma velocidad o. cantidad de movimiento'
final mediante un empuje intenso, y corto o mediante un empuje débil y_prol_onë
gado. Por tanto, si se quieren distinguir entresí las interacciones con arreglo
a los intercambios de cantidad de movimiento, no será suficiente especificar- las
cesiones totales de cantidad de movimiento. Deberemos introducir y utiliiar una
cantidad que se refiera a las velocidades de cesión de cantidad de movimiento.
Cn 'D
_;Fr-¿
\-I P
1 / /
pd ì pa É
Ps Pb
` PG Pa
ví i ví
cl D _ , F I, , .¬ A-,,.¿ ~.__ï___L- I un . J.. ,A ,.¿
¿1 fe ¿1 ¿2
(11) (bi
D
Fig. 3-7. Diagrama de las cantidades de movimiento de un choque entre dos_
cuerpos A y B. El choque se inicia en t == tj y finaliza en t = tg. Durante el choque, A'
aumenta su celeridad y B la disminuye. En (a) las variaciones de cantidad detmovi-
miento tieneniluigar lentamente y la interacción es débil. En (b) las variaciones de can-
tidad de movimiento tienen lugar más rápidamente y la interacción es más fuerte. ~
Ingard - S '
66 t CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y FUERZA -- I,L a . '
I
1
Refirámonos ahora a uno de los experimentos de choque anteriores y estu-
diémoslo; más detalladamente. Consideremos el caso' en que A y B se mueven en-
el sentidn positivo del eje x, con vb > v_,,. A consecuencia del choque, A aumenta
su celeridad y B la -disminuye, como se ilustra -gráficamente en_la figura 3-7. Du-
rante el choque, la cantidad de movimiento de A aumenta en Ap,,=p{, -- pa.
Evidentemente, los detalles de esta variación de la cantidad' de movimiento
durante el choque serán diferentes para interacciones difenentes. Un resorte- largo
y blando, hará que- la cantidnd de movimiento_varíelenta11Íente durante un tiempo
largo, mientras que un' resorte duro y corto originaria la misma variación de
cantidad il; de movimiento en un tiempo mucho menor. Coino medida de la «in-
t¿ensidad›i de la interacción utilizaremos la variación de cantidad de -movimientot . _ , _ ._del tcuerpo en unidad de tiempo, a la que daremos el nombre de fuerza ejercida
sobre el iícuerpo. `
Aun cuando no se conozcan los detalles de la curva que da la cantidad de
movimiento en función del tiempo, puede determinarse una variación media en
unidad de tiempo de la cantidad de movimiento. Si el choque empieza en el ins-
tante t1 finali-za en el instante t2,'~la variación media en unidad de tiempo de
.lafcantidád de movimiento es (på - pa)/(tg - tl) = Ap,/At. -La fuerza media
(promedio en el tiempo) que se ejerce sobre A (representada por Fa) en el inter-
valo"-de iiempo At es, pues, por definición:
i °____'é_2_q____piz""pa. __
F“""At"t,--t, (39)
1›
Como laiconservación de la cantidad de movimiento exige que Ap, = --Apb, se
deduce que las fuerzas ejercidas sobre A y B, F., = Ap,/At y F1, = Apr,/At,
respectivámente, son de igualmagnitud pero de signos contrarios, es decir,
i
'.
._.ê_12_e_..__ê_12.2_.._ _g F,... M ._ M... P, (310)
.I _ .
É 9
'f
Í
Unidades de fuerza. -La unidad de fuerza es una unidad de- variación de can-
tidad de imovimiento en unidad de tiempo. Si elegimos domo unidades de lon-
gitud, masa y tiempo, el metro, el kilogramo y el segundo, respectivamente, la
unidad de cantidad de- movimiento será el kg - m/s y lai- unidad de fuerza co-
rrespondiente sería el kg - m/s2. A esta unidad se le llama newton, N, y al siste-
; - ` 0 .
ma de unidades basado' en el metro, kilogramo y segundo se le da el nombre
de _sistema Giorgi. ° 0
En elìsistema cgs las unidades de longitud, masa y tiempo son el centímetro
(l0*2m),_ el gramo (l0"3kg) y el segundo. La unidad de fuerza correspondiente,
g - cm/s2§Írecibe el nombre de dyna (10-5N). `
Existetambién el sistema terrestre, que toma 'como unidades fundamentales
FUERZA 67
las de longitud, fuerza y tiempo. La de longitud es elmetro, la de fuerza el ici-
Iopond (9,8 N) y la de tiempo el sdgtfndo.
EJEMPLQ. Se lanza una pelota de baseball a una velocidad de 2,5 m/s, siguiendo
una trayectoria 'horizontal hacia el bateador. Éste batea la pelota que vuelve por el
mismo camino que llevaba antes, estando ahora animada de una velocidad de 5,0 m/s.
La pelota pesa 140 g. ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre el bate, si el tiempo de
contacto entre él y la pelota es 0,01 s? _
Las magnitudes de las cantidades de movimiento antes y después del choque son
|p1|= 0,140 .- 2,5 = 0,-35 kg-m/s = 0,35 N~s
Y
|p2| = 0,140 - 5,0 = 0,70 kg~m/s = 0,70.N°s
.dt
La magnitud de la cantidad de movimiento cedida es, pues, de 1,05 N-s y la fuerza
media es '
¬ _ Ap _ l',05_
. IFI-IM'-0,01-105 N.
Fuerza instantánea. Hasta ' ahora sólohemos considerado -la fuerza media
que se ejerce sobre un cuerpo 'durante un intervalo de tiempo finito At. Para
describir la interacción más detalladamente, introduciremos la fuerza instantánea.
En el capítulo 1 estudiamos el 'significado de la velocidad instantánea v, y supo-
nemos que el lector ya se ha farniliarizado con-reste concepto[:Supongamos ahora
que determinamos la cantidad de movimiento instantanea pa ; mv, de un cuer-
po A durante un choque y la representamos gráficamente en función del tiempo,
como se indica en la figura 3-8. En este ejemplo, el choque comienza en t _--= 0,2 s
y finaliza en t = 0,5 s-. La variación total de cantidad de movimiento es 40 - 10 =--
30 kg-m/s y la fuerza media es, pues, F, = 30/0,3. = 10ON. Lafuerza instantánea
o velocidad instantánea de variación de la cantidad de movimiento en un instan-
te t, está definida por la «pendiente›› _de la tangente geométrica a la curva repre-
sentativa de la cantidad de movimiento p -=p(t)' en el instante t. (Si las unidades
de cantidad de movimiento y tiempo no se representan por longitudes iguales
sobre las escalas p y t deberemos, desde luego, considerar los factores de escala
correspondientes parawdetermfinar la fuerza a partir de- la pendiente de la tan-
gente).' La pendiente máxima de la curva-de la figura 3-8 y la fuerza máxima son
60/0,3 = 200 N. Midiendo la pendiente de la gráfica de la cantidad de movi-
miento en función del tiempo, obtenemos una curva para la fuerza, según se
indica en la figura.
68 CANTIDAD DE MO_VIMIENTO Y FUERZA -I
.-
60t 
' V /
; /
,_ Im/s C11 C.
Cantidadde
movimientop,kg »-1tøCO›P~c:›O_oo g
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0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
t Tiempo t, s_
Fig. 3-8. Ejemplo de la dependencia del tiempo de la cantidad de movimiento
y de la fuerza, en un choque. La fuerza está determinada por la pendiente de la curva
representativa de la cantidad de movimiento.
La interpretación geométrica y la definición de la fuerza dada anteriormente
son equivalentes a la definición analítica que dice que la fuerza es la derivada res-
pecto al tiempo de la cantidad de movimiento. Asi pues, matemáticamente, la
fuerza instantánea que se ejerce sobre ~-'im cuerpo, A será
U._. def» _. . L». ._Fa, -- -ãï - Illa dt
donde, desde luego, dv,/dt es la aceleración del cuerpo A.
_ No importa cuál de los dos cuerpos empleamos para calcular la cesión de can-
tidad de movimiento, ya que la cantidad ganada por un cuerpo es iguala la per-
dida por- el' otro. Por tanto, -si representamos por dp,/dt, a la variación en unidad
de tiempo de la cantidad de movimiento del cuerpo A, la variación en unidad de
\/ FUERZA Z 69
tiempo -dpi,/dt, de la cantidad de movimiento del otro cuerpo B debe ser igual a
ella salvo el signo, es decir, f. '
Épfl, . t ¿Ptdt _ dt t
' a
En consecuencia, en virtud de la .conservación de la cantidad de movimiento,
.1§S___f\1¢1'ëš}S 93% Sg§i;¢_r_<;_e_n, sqbre__los ,Cuc pre
iguales en magnitud pero de signo contrario:
-mp Viìiï Í7_†¬___† V_¬_,____-L *__ ~- r 1-4-I-*'~"*"""“""-"r"""""'”'
__Fa =-:gi -i-F1, (3-12)
Esta relación se conoce con el nombre de tercera-ley de Newton. La segunda ley
de Newton es la definición de l _c_i_ó_1_1_d_e_La_¿:_a_n_tid_ad_d3_rnQyimientoa fuerza en fun _ _, ,
dada por la ecuación 3-ll,_y laprimeraiey expresa que mmemo 
intetjactúa con,ni_ng_ú_13__çg_t¿'9_ç_L_;;ç_rpo. se mueve con velocid_a_d__c_r_›n,gt,ante¿
Podríamos preguntarnos por-'qué no introducimos la variación de la cantidad
de movimiento por unidad de espaciodp/dx en vez de dp/dt. En principio, tam-
bién podríamos ,haber introducido esta variación de cantidad de movimiento,
pero pronto habríamos visto que dp/dx no es una cantidad útil. En primer lu-
gar, las variaciones unitarias dp/dx para A y para B no tendrían igual magnitud,
ya que para una variación dada de cantidad de movimiento Ap, .= -Apb, los
cuerpos no suelen desplazarse distancias iguales. Otra razón importante de que
dp/dx sea menos adecuada para la descripción de interacciones está relacionada
con el. importantísimo principio de superposición de las'fuerzas válido para la
definición dp/dt pero no para la dp/dx de fuerza.
Para determinar una fuerza debemos conocer la cantidad de movimiento en
función del tiempo, y solamente después de estudiar primero el movimiento
de un cuerpo podremos hallar la fuerza que sobre él actúa. Históricamente, el
resultado más famoso de un análisis de. movimiento conducente af una ley para
la fuerza es, quizá, la ley de NE_.WTo1~},-; -'de la Gravitación Universal, deducida del
estudio del movimiento planetario (véase capítulo 10). 4
La experiencia acumulada y el conocimiento del movimiento en? diversas con-
diciones hacen que en muchos casos, como ocurre en muchos problemas cientí-
ficos y técnicos, las fuerzas sean conocidas y el problema consista en hallar el
movimiento correspondiente a la fuerza dada. El conocimiento de la ley de la
fuerza significa, desde luego, que conocemos las cantidades de las que depende
la fuerza y también la naturaleza de esta dependencia. Las fuerzas gravitatorias y
electrostáticas dependen de la distancia que separa .los cuerpos en interacción.
Las fuerzas electromagnéticas, nucleares y de contacto dependen, en general,
delas velocidades relativas de los cuerpos así como de las- distancias que los se-
paran. Las diferencias fundamentales entre las fuerzas, junto a las dependen-
CA NTJDAD DE Mo V1M'¡ENTo Y FUERZA _ I`l©
cias que aicabamos de mencionar, son las propiedades inherentes a la materia
responsable de la existencia de las fuerzas. La carga eléctrica determina la fuietza
electrostática, la masa pesante determina la fuerza gravitatoria, y las corrientes
eléctricas -determinan la fuerza electromagnética. `
o
3-8 Fuerza gravitatoria. La fuerza más aparente y que nos es más fami-
liar es, tal vez, la fuerza gravitatoria local, la atracción hacia la Tierra que ex-
perimentan todos los cuerpos en la superficie terrestre. Según se indicó en- el ca-
pítulo 1,,-los primeros estudios experimentales de caída libre establecieron la
importante propiedad de este movimiento de que todos los cuerpos, independien-
temente de sus masas o velocidades iniciales, caían con la misma aceleración
constante en el vacío, g=9,8l m/s2. ¿Quénosdice este resultado acerca de la
propiedad-jde la fuerza gravitatoria? La fuerza viene dada por F.-= ma, donde a
es la aceleración. El hecho de que la aceleración a == F/m permanezca constante
(a = g) cuando se varia m eligiendo cuerpos diferentes en el .experimento de la
caida libre, indica que la fuerza debe ser proporcional a la masa inerte m. En
otras palabras, si tuviéramos que introducir una propiedad de la materia que
co_nsideráramos responsable-de la atracción gravitatoria, esta propiedad aumen-
taría proporcionalmente a la masa inerte. En el capítulo lO daremos un análisis
detallado Íde la fuerza gravitatoria, y por el momento bastará resumir alguna
de las propiedades fundamentales.
1 _
Í _________________,_______í_
Para la__descripció'n de las interacciones en general, precisamos saber (1) cóm_o de-
pende la fnerza de interacción entre los cuerpos de cantidades tales como la separa-
ción de los šcuerpos y sus velocidades relativas, y (2) a qué propiedad inherente a los cuer-
pos se debe la fuerza. Por ejemplo, la carga eléctrica creadora de las fuerzas eléctricas
es una de ïdichas propiedades inherentes. La propiedad de la materia a la que consi-
deramos se debe la fuerza gravitatoria recibe el nombre de masa pesanre. Por defini-
ción, el cociente entre las masas pesantes de dos cuerpos A y B está medido por el
cocienteeritre las fuerzas que les ejerce la Tierra cuando están situados en un mismo
lugar. Si se miden dichas fuerzas mediante estudios de aceleración y resultan ser F.,
y Fa, el cociente entre las masas pesantes MQ y Msestlentonces,
1..
. .
i _1*í.«±=Fe A'
',- Ma Fa
De los -experimentos de caida libre sabemos 'que F., = m.,gyF¿, = m1,g,con lo que
Fi _ .ini (m = masa inerte).
=. F5 mb
Por comparación, pues, vemos que el cociente entre las masas pesantes de dos cuerpos
debe ser igual al' cociente entre las masas inertes. En otras palabras, la masa pesante'
FUERZA GRA VITA TORIA 71
es proporcional a-la masa inerte, M =_ (const)m. Si la unidad de masa pesante se
'toma igual-a la de masa iner_t_e,_ obtenemos M == m. _ '
Debido a esta proporcionalidad, hallada experimentalmente, entre las masas pe-
sante e inerte y a la elección de las mismas unidades para ambas, las magnitudes de
estas cantidades se describen siempre por el mismo número y queda enmascarada la
distinción entre ellas. En la práctica cotidiana no se suele. distinguir entre los .dos con-
ceptos de masa y a ambos se les llarria, simplemente, «masa››. Recordemos, de todas
maneras, que las masas inerte y`pesante' de un cuerpo surgen de dos propiedades di-
ferentes de la materia :- la resistencia a alterarel movimiento y la propiedad a la cual
se debe la atracción gravitatoria., '
 
La fuerza gravitatoria, pues, queda adscrita a una propiedad de la materia,
la masa pesante, que poseen todos los cuerpos materiales. La interacción gravi-
tatoria es siempre una fuerza atractiva. Se mencionó en el capitulo l que la base
de la descripción cuantitativa por NBWTON de la interacción gravitatoria estaba
constituida por las-tres leyes de KEPLER del movimiento, las cuales describian
algunas caracteristicas del movimiento de los planetas alrededor del Sol,--y por
tanto', expresaban algunas propiedades de la interacción entre el Sol y sus plane-
tas. introduciendo el concepto de fuerza, NEWTON demostró cómo podía des-
cribirse la interacción de manera concisa y' pudo formular la ley de la fuerza gra-
vitatoria (para más detalles véase el capítulo IO)
F = G tlf-lili (3-13)
T .
Las cantidades M1 y M2 son las masas pesantes de las partículas en' interacción
y r es la distancia que las separa. Queda' implícito que las dimensiones de las
partículas son pequeñas frente a la distancia que las separa. En un apéndicese
demostrará que, en el caso de una esfera, la fuerza gravitatoria creada por ella
es la misma que la creada por una masa puntual situada en el centro de la- esfera
y cuya masa fuera' igual a la de ésta. 0
NEWTON 'propuso que esta ley tuviera validez general para dos partículas
materiales cualesquiera en interacción, que fueran pequeñas frente a la distancia
que las separa. También propuso que G es una constante universal, la misma
para todos los cuerpos, independiente de su constitución química .o física. El
valor de esta constante universal depende, claro está, de la elección de unidad
para la masa pesante M. Eligiendo la unidad de masa pesante igual a la de masa
inerte, p. e. un kilogramo, y expresando la distancia en metros, la constante de
la gravitación universal G resulta ser '
¡.
G 2 6,67- l0"11N~m2/kgz
72 CANTIDAD DE_ MOVIMIENTO Y FUERZA '--1
La ley de la gravitación universal ha sido comprobada experimentalmente en el
laboratorio, por el famoso experimento de Cavendish (I-797).
Si aplicamos la ecuación (3-13)' a la interacción entre la Tierra-y un cuerpo
en la superficie terrestre, tenemos r =- R, donde R es el radio de la Tierra; si
representamos por m la- masa del cuerpo y por M la de la Tierra, obtenemos
F ='m(GM/R2). Como también tenemos que F = mg, la aceleración constante local
de caída libre estará relacionada con la masa y el radio terrestres por la ecuación
Como se indicó en el capitulo 2, a la Fuerza gravitatoria mg que se ejerce sobre
un cuerpo se le da el nombre de peso del cuerpo. El peso, pues, en contraste con
la masa inerte, no es una propiedad inherente o invariante del cuerpo, ya :que
depende de las propiedades de la Tierra yï' de la distancia a la Tierra. En reali-
dad, además de dependeride la distancia,-, existe también una 'ligera variación
del eso de un cuer o ue se debe `a su situación sobre la Tierra; el eso aumenta- W . . s P
gradualmente del ecuador a los polos. No obstante, la variación es inferior a
un 1 %. En el capitulo ll se estudiará esta variación.
EJEMPLO. Hemos visto que la aceleración de .un cuerpo en caída libre en la super-
ficie terrestre es constante e igual a g =- 9,8 m/sz. (a) ¿Cuál es el peso' de un cuerpo de
masa M = =l kg, l g? Los pesos son Mg =- 9,8 N y 980 dynas, respectivamente. (b)
La fuerza gravitatoria creada por la Tierra es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia al centro de la Tierra. El radio terrestre es de 6,4 - lOfim. ¿A qué altura
sobre la superficie terrestre debe llevarse un cuerpo de l'0O kg para que su peso dis-
minuya 40 kilopond? - ' _
Representado por R el radio terrestre y por h la altura sobre la superficie de la Tie-
rra, tenemos '
too __: (R + M2
too _-'25 R2
h 100 41+?-\/7s'\/si
h 4
es decir, h 2 106 m. Sin embargo, recordemos que aun cuando un cuerpo pierde peso
a medida que asjc¡ena'e, su masa inerte permanece constante.,
Movimiento alo largo de una vertical. Consideremos ahora el movimiento de
un cuerpo a lo largo de una vertical. Describiremos el movimiento respecto a
un eje de coordenadas y tal que y †= 0 en el suelo y el sentido positivo de la y
FUERZÄ CRA VITATORIA 2 '73
o
sea hacia arriba. Si es m la masa del cuerpo, la fuerza que se ejerce sobre él será
F,, = --mg. Si se proyecta el cuerpo hacia arriba partiendo del suelo con la ve-
locidad vo en r = O, obtenemos de m(dv,,/dt) = -mg la siguiente expresión para
la velocidad uy en un instante posterior 1:
vy = vo - gt -(3-15)
Análogamente, hallamos para la posición (véase cap. 1)
t2
y=W+-%› « wa@
En la figura 3-9 pueden verse representadas gráficamente estas relaciones. La
velocidad se anula. en el instante 10' (dado por to = vo/g) que corresponde a una
posición ymx = h,dada por
9 9 292 29
La posición y es nula evidentemente en el instante de partida t= Q, y también
cuando t --¬ 2110/g = 2¿0, que representa el instante en que el cuerpo alcanza de
nuevo el suelo tras haber subido y bajado. Como el tiempo de subida es to y el
tiempo total de ida y vuelta es 2r0, el tiempo de bajada estambién to, como era
de esperar. _ ,
Si se hubiera iniciado el movimiento' en la posición y --= yo en ,un instante
1 = to en lugar de desde el suelo, y= 0, en 1 = 0, las expresiones para la velo-
cidad y la posición se obtendrían de las ecuaciones (3-15) y (3-16) sin mas que
sustituir 1'. por 1- to e y por y - y0.Obsérvese que, en este caso general, vo pue-
de ser positiva o negativa.
EJEMPLO. Desde la superficie terrestre se lanza hacia arriba en el instante t = 0
y con una velocidad de 20 m/s, un cuerpo A de masa 2 kg. Un segundo más tarde,
se deja caer desde una altura de 20 m un cuerpo B cuya masa también es de' 2 kg.
¿Cuándo y dónde chocarán los cuerpos? (Tómese gcxlO m/sz.)
Las posiciones de A y B vienen dadas por las ecuaciones
ya =- 20: -- 10:2/2 = 20: - st-'Z
y
yr, = 20 - 1o(r-1)?/2 =.- 20 - su - 1)2
Haciendo ya = ys, obtenemos t = 3/2 s como instante del choque y l8_,'Z5 m como
altura a la que tiene lugar dicho choque. Además, inmediatamente antes del choque
la velocidad de A es 20 - l0(3/2) = 5 m/s y la velocidad de B es 0 - lO - O,$_ = -5 m/s.
74 CANTIDAD DE M0 VIMIENTO Y FUERZA -- I
vr
A
f L
vo
l
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_Fig. 3-9. Velocidad y posición de una partícula lanzada hacia arriba con ve-
locidad up desde el suelo, y ,.= 0, representadas en función del tiempo.
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La fuerza -gravitatoria es, tal vez, la causa más familiar de movimiento unifor-
memente acelerado, pero también hay otras. Siempre que Sea constante lafuerza
aplicadata un cuerpo, también será constante la aceleración e igual a a = F/m.
En el cafso de la fuerza gravitatoria ilustrado en la figura-3-9, la aceleración es
_a = -g,l, donde el signo menos- se debe a que tomamos la coordenada y de- la
posición ¿creciente hacia arriba, mientras que la fuerza F y la aceleración