Astrodinámica - Alberto Abad M

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Astrodinámica
Alberto Abad
© Astrodinámica
© Alberto Abad, 2012
Grupo de Mecánica Espacial
Universidad de Zaragoza
Zaragoza. Spain.
e-mail: abad@unizar.es
web: web: http://gme.unizar.es
ISBN papel: 978-84-686-2857-8
Editor Bubok Publishing S.L.
Impreso en España/Printed in Spain
iii
Para Pili,
Pablo, Cristina,
Cari y Alejo.
iv
Índice general
Prólogo y agradecimientos XI
I Sistemas de referencia en Astrodinámica 1
1 Sistemas de referencia en IR3 3
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 El espacio af́ın IR3: sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Producto escalar: IR3 como espacio eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Ángulos y funciones circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Producto vectorial y mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Sistemas de referencia ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Otras propiedades de los distintos productos de vectores . . . . . . 11
1.8 Ángulo orientado entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Coordenadas cartesianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Trigonometŕıa esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10.1 Fórmulas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10.2 Regla del pentágono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10.3 Analoǵıas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.4 Algoritmo para la resolución de triángulos esféricos . . . . . 22
2 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 25
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Rotaciones en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Composición de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Rotación de un vector alrededor de un eje . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Rotaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Rotaciones y cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Fundamentos de los sistemas de referencia en el espacio 37
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Sistema de referencia horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Sistema de referencia horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
v
vi Índice general
3.4 Sistema de referencia ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Sistema de referencia ecĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Relación entre los sistemas de referencia espaciales . . . . . . . . . 43
3.7 Sistema de referencia geográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 Sistema de referencia planetográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Sistemas de referencia espaciales precisos 53
4.1 Movimientos del polo y del equinoccio . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Sistemas de referencia espaciales precisos . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Transformaciones entre sistemas de referencia precisos . . . . . . . 60
4.3.1 Movimiento del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Cambios de origen en el ecuador intermedio . . . . . . . . . 64
4.3.3 Precesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.4 Nutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.5 Tratamiento actual de la precesión y nutación . . . . . . . . 68
4.3.6 Desviación entre los sistemas Eo
�o
y S
G
. . . . . . . . . . . . 70
4.3.7 Transformación general de coordenadas . . . . . . . . . . . 71
4.4 Relación de los sistemas precisos con los sistemas idealizados . . . 71
5 Referencia temporal 73
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Relojes basados en la rotación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1 Tiempo sidéreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Ángulo de rotación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.3 Tiempo solar y tiempo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.4 Tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Movimiento orbital de la Tierra: el año . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Relación entre el tiempo sidéreo y el tiempo medio . . . . . . . . . 82
5.5 Escalas de tiempo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5.1 Tiempo de efemérides y tiempo atómico internacional . . . 84
5.5.2 Tiempo universal coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.3 Tiempo de zona y tiempo oficial . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Escalas modernas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7 Tiempos coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.8 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.9 Determinación de una época . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
II Movimiento kepleriano 95
6 Revisión de elementos de dinámica clásica 97
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Movimiento de una masa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Sistemas inerciales y no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Movimiento de una part́ıcula en su plano . . . . . . . . . . . . . . 101
Índice general vii
6.5 Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Ecuaciones de Lagrange y de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.8 Ecuación de Hamilton–Jacobi y ecuación de Delaunay . . . . . . . 107
7 Movimiento kepleriano 109
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Propiedades de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.1 Elipses: 0  e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.2 Parábolas: e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3.3 Hipérbolas: e > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Ley de gravitación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.6 Movimiento relativo o kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7 Funciones f y g de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8 Integración del problema kepleriano 123
8.1 Modelo orbital kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Deducción de la primera y segunda leyes de Kepler . . . . . . . . . 126
8.4 Tercera ley de Kepler: unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5 Ley horaria del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5.1 Formulación regularizada del movimiento kepleriano . . . . 131
8.5.2 Caso parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5.3 Caso eĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5.4 Resolución de la ecuación de Kepler . . . . . . . . . . . . . 136
8.5.5 Caso hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9 Órbitas keplerianas 141
9.1 Caracterización de las órbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Elementos orbitales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Variables no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 Sistemas de referencia orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 Sistema espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.2 Sistema nodal–espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4.3 Sistema nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.4.4 Sistema apsidal . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 149
9.4.5 Sistema orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.4.6 Sistema de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.5 Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales . . . 151
9.5.1 Determinación de la órbita a partir de las condiciones iniciales152
9.5.2 Cálculo de efemérides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.6 Intersección de dos órbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.6.1 Pertenencia de un punto a una órbita . . . . . . . . . . . . 154
viii Índice general
9.6.2 Intersección de órbitas no coplanarias . . . . . . . . . . . . 155
9.6.3 Intersección de órbitas coplanarias . . . . . . . . . . . . . . 155
9.6.4 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.7 Variaciones de los sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.8 Variables polares–nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.9 Variables de Delaunay en el movimiento eĺıptico . . . . . . . . . . . 160
10 Formulación universal del problema kepleriano 163
10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2 Funciones V de Stump↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3 Funciones V
0
,V
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.4 Formulación universal del problema kepleriano . . . . . . . . . . . 169
10.5 Coeficientes de transición en forma cerrada . . . . . . . . . . . . . 172
11 Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos 175
11.1 Problema de transferencias orbitales y problema de Lambert . . . 175
11.2 Órbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.2.1 Plano de la órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.2.2 Ángulo de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.3 Elementos del triángulo OP
1
P
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.4 Hodógrafa en P
1
y P
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.5 Órbitas de enerǵıa mı́nima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.6 Órbitas de enerǵıa h > h
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.7 Conjunto de las órbitas que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . 185
11.8 Tiempo de tránsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.9 Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantes . . 187
III Movimiento orbital 189
12 Movimiento orbital 191
12.1 Ecuaciones del movimiento orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.2 Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.3 Ecuaciones de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.4 Perturbaciones de corto y largo periodo y seculares . . . . . . . . . 197
12.5 Método de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.6 Perturbaciones de primer orden en el movimiento orbital . . . . . . 199
12.7 Propagadores orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.8 Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE . . . . . . . . . . . . . . 203
13 Problema de n cuerpos 207
13.1 Formulación del problema de n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.2 Modelo planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.3 Perturbación luni-solar del satélite artificial . . . . . . . . . . . . . 210
13.4 Problema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.4.1 Problema restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Índice general ix
13.4.2 Problema restringido circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.4.3 Puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.4.4 Curvas de velocidad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14 Atracción de sólidos 219
14.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
14.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
14.3 Potencial gravitatorio de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.4 Modelos de potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.5 Evaluación del potencial planetario y la fuerza derivada . . . . . . 228
14.6 Potencial terrestre en variables polares nodales . . . . . . . . . . . 230
14.7 Ecuaciones del movimiento en el sistema planetográfico . . . . . . 231
15 Otras perturbaciones 235
15.1 Rozamiento atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
15.2 Presión de radiación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.3 Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
15.3.1 Semidiámetros y distancia angular . . . . . . . . . . . . . . 241
15.3.2 Condiciones para un eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
15.3.3 Área de un segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
15.3.4 Magnitud del eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.3.5 Eclipses en satélites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . 246
15.4 Perturbaciones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15.5 Perturbaciones emṕıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
IV Navegación espacial 249
16 Navegación espacial 251
16.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.2 Satélites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
16.2.1 Satélites de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
16.2.2 Satélites de navegación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
16.2.3 Satélites de observación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 257
16.2.4 Satélites cient́ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
16.2.5 Estaciones espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.2.6 Veh́ıculos de transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.2.7 Basura espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
16.3 Navegación interplanetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
16.3.1 Viajes a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
16.3.2 Viajes a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16.3.3 Exploración del sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
x Índice general
17 Órbitas de satélites artificiales terrestres 271
17.1 Movimiento del satélite sobre la superficie terrestre . . . . . . . . . 271
17.1.1 La órbita en la superficie terrestre: traza . . . . . . . . . . . 272
17.1.2 Visibilidad de un satélite desde una estación . . . . . . . . . 276
17.2 El problema principal del satélite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
17.3 Efectos sobre el satélite de otras perturbaciones . . . . . . . . . . . 279
17.4 Clasificación de los satélites artificiales según su órbita . . . . . . . 281
17.4.1 Órbitas bajas (LEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
17.4.2 Órbitas medias (MEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
17.4.3 Órbitas geoestacionarias (GEO) . . . . . . . . . . . . . . . 282
17.4.4 Satélites Molniya y Tundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
17.4.5 Satélites heliośıncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
17.4.6 Órbitas de transferencia geoestacionarias (GTO) . . . . . . 285
18 Maniobras orbitales 287
18.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.2 La velocidad y la navegación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.3 Propulsión de naves espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
18.4 Lanzamiento de satélites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
18.5 Corrección de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
18.5.1 Corrección general de la órbita . . . . . . . . . . . . . . . . 302
18.5.2 Cambio del plano orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
18.5.3 Corrección de la órbita en su plano . . . . . . . . . . . . . . 305
18.5.4 Cambio de la forma de laórbita . . . . . . . . . . . . . . . 306
19 Transferencias y encuentros orbitales 309
19.1 Transferencias orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
19.1.1 Transferencias de Hohmann y bieĺıptica . . . . . . . . . . . 310
19.1.2 Transferencia óptima en dos maniobras . . . . . . . . . . . 314
19.2 Encuentros orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
19.2.1 Maniobra de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
19.2.2 Encuentro directo en transferencias generales . . . . . . . . 317
19.2.3 Encuentros en transferencias de Hohmann . . . . . . . . . . 318
19.3 Viaje a Marte en una órbita de transferencia de Hohmann . . . . . 321
20 Navegación interplanetaria 323
20.1 Sondas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
20.2 Esfera gravitacional de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
20.3 Salida del campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . . . 327
20.4 Entrada en el campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . 329
20.5 Impulso gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Bibliograf́ıa 335
Índice alfabético 337
Prólogo y agradecimientos
La Tierra es la cuna de la inteligencia,
pero no se puede vivir siempre en una cuna.
Konstantin E. Tsiokovsky, 1911.
La tecnoloǵıa espacial es responsable de una buena parte de los avances tec-
nológicos actuales. La investigación y desarrollo en cuestiones cient́ıficas y técnicas
relativas a los satélites artificiales y la navegación espacial resultan fundamenta-
les para un rápido avance cient́ıfico y tecnológico. Son muchas las actividades
cotidianas que no podŕıamos realizar de no existir satélites artificiales orbitando
alrededor de la Tierra. En efecto, en las noticias de televisión son frecuentes las
conexiones con páıses de otros continentes; recibimos canales de televisión a través
de las antenas parabólicas; hablamos con otros páıses por teléfono con igual o me-
jor cobertura que en la misma ciudad; vemos fotograf́ıas de las borrascas, lo que
permite la predicción del tiempo; sabemos los minutos que faltan hasta que llegue
el próximo autobús; tenemos información de los minutos y segundos que lleva de
ventaja el ciclista escapado sobre el pelotón que lo persigue, etc. Además, hay
otros usos más sofisticados, como el poder obtener imágenes de galaxias extre-
madamente alejadas, hacer un seguimiento del avance de la desertificación en los
Monegros, una estimación de la nieve acumulada en el Pirineo, localización de una
colonia de linces ibéricos, detectar bancos de pesca, o hacer llegar la educación a
lugares remotos, como la selva brasileña, por poner unos cuantos ejemplos. Pero
todas estas posibilidades son relativamente recientes; el primer satélite artificial,
el Sputnik I se lanzó en 1957. La era espacial, en el momento de escribir estas
ĺıneas, no tiene más que 55 años.
Uno de los aspectos fundamentales para el éxito de una misión artificial es el
xii
establecimiento de una órbita precisa que le permita desarrollar, durante el mayor
periodo de tiempo posible, la misión para la que ha sido concebido. Los funda-
mentos del análisis del movimiento orbital de los satélites artificiales, aśı como el
de otras naves espaciales cuyo propósito sea la exploración del espacio exterior,
se basan en las consecuencias de la ley de gravitación universal enunciada por
Newton. Esta ley, que determina el movimiento de cualquier cuerpo en el espacio,
natural o artificial, dio lugar a la Mecánica Celeste, que nació como la disciplina
cient́ıfica que estudia el movimiento de planetas, cometas, asteroides y cualquier
otro cuerpo sometido a la ley de gravitación de Newton.
Las caracteŕısticas especiales de alguno de los problemas dinámicos planteados
en el estudio de las órbitas de los satélites artificiales llevaron a definir una nueva
disciplina cient́ıfica, la Astrodinámica, heredera de la Mecánica Celeste, que estu-
dia principalmente el movimiento en el espacio de los objetos artificiales. Aunque
la causa fundamental del movimiento sigue siendo la ley de gravitación de Newton,
en Astrodinámica hay que considerar otro tipo de fuerzas no gravitacionales que
modifican las consecuencias de esta ley. Por otro lado, la Astrodinámica añade a la
Mecánica Celeste un nuevo problema, como es el diseño de complejas trayectorias
para las naves espaciales que les permitan realizar, con las limitaciones energéticas
actuales, cualquier recorrido por el sistema solar. El presente libro pretende dar
una visión general de los principales puntos que aborda la Astrodinámica, para
ello se ha dividido en cuatro partes: sistemas de referencia, movimiento kepleriano,
movimiento orbital y navegación espacial.
En la primera parte del libro se aborda un problema previo a la navegación
espacial, la determinación precisa de la posición y velocidad de un cuerpo en el
espacio. En primer lugar se realiza un repaso de una serie de herramientas básicas,
que van, desde el concepto de ángulo y vector, hasta el de sistema de referencia y
el estudio de las rotaciones de estos sistemas. Una vez establecidos los conceptos
básicos se pasa al estudio de los sistemas de referencia astronómicos considerando
las variaciones de estos sistemas debidas a los pequeños movimientos de los planos
fundamentales del ecuador y la ecĺıptica. En este punto se han introducido todas
las recomendaciones y normas dictadas por la Unión Astronómica Internacional
(IAU) en el año 2000, y en vigor desde el año 2003, que vienen a modificar las
teoŕıas de la precesión y nutación de los años 1976 y 1980. Finalmente se estudia
el parámetro que actúa de variable independiente en las teoŕıas dinámicas, esto es,
el tiempo. Puesto que cualquier misión espacial establecerá su referencia temporal
a través de un reloj, se estudian los distintos tipos de relojes y tiempos que nos
da la Astronomı́a.
En la segunda parte del libro se estudia en profundidad el movimiento ke-
pleriano. Las leyes de Kepler describen el comportamiento de la solución de un
modelo teórico basado en el movimiento relativo de dos masas puntuales que inter-
accionan gravitacionalmente de acuerdo con la ley de Newton. No solo se integra
el problema, sino que se realiza un estudio cualitativo exhaustivo del mismo, que
es necesario para comprender la complejidad del modelo orbital real. Se analiza
la geometŕıa de este movimiento, aśı como distintos conjuntos de variables que lo
xiii
describen y varios sistemas de referencia asociados a las órbita keplerianas. Final-
mente se estudia el problema de contorno consistente en el análisis del conjunto
de órbitas keplerianas que pasan por dos puntos.
La tercera parte trata del modelo orbital real. Se analizan los distintos efec-
tos que pueden modificar una órbita kepleriana: forma no esférica de la Tierra
y de los planetas; atracción gravitacional de otros cuerpos; frenado atmosférico;
presión de radiación solar; efectos relativistas; etc. Se estudia la formulación del
problema de tres cuerpos, que es el siguiente en complejidad al modelo keple-
riano de dos cuerpos, y se analiza un caso particular, el problema restringido, que
determina muchas de las caracteŕısticas dinámicas de la navegación interplaneta-
ria. Finalmente, se obtienen las ecuaciones que permiten estudiar los modelos de
movimiento orbital a partir de aproximaciones al modelo kepleriano.
La parte final aborda los aspectos que se refieren a la navegación espacial,
tanto de satélites artificiales como de sondas interplanetarias. El primer caṕıtulo
de esta parte analiza la historia del primer medio siglo de navegación espacial,
no tanto desde un punto de vista cronológico, sino describiendo la historia de
cada tipo de misión, procurando dar de esta forma una visión más coherente
de la industria espacial actual. Se estudian por separado los satélites artificiales
y la navegación interplanetaria.En los primeros se analiza la interacción entre
éstos y la Tierra, que condiciona el tipo de misión en función de las zonas de
la Tierra que el satélite sobrevuela. También se estudian los distintos tipos de
maniobras, incluido el lanzamiento, que permiten modificar una órbita; aśı como
las trasferencias orbitales, o conjunto de maniobras que conectan órbitas sin un
punto en común. El último caṕıtulo estudia los conceptos básicos para el diseño
de las trayectorias interplanetarias a partir de la unión de fragmentos de órbitas
keplerianas.
El presente libro ha sido escrito después de muchos años de estar encargado
de la docencia de las asignaturas de Astronomı́a y Mecánica Celeste de la licen-
ciatura de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza. Parte de las notas escritas
como consecuencia de dicha docencia se plasmaron en un libro titulado Curso de
Astronomı́a y escrito en colaboración con José Angel Docobo y Antonio Elipe.
A ellos quiero agradecer el uso, en éste libro, de ciertas partes del anterior, con
objeto de dejar cerrados algunos temas. De esta forma, el lector interesado úni-
camente en Astrodinámica no tendrá la necesidad de navegar en otro libro más
orientado a la Astronomı́a.
Con este libro he intentado llenar una laguna en la literatura en español de
temas de Astrodinámica, pues son muy escasos los libros de estas caracteŕısticas
que pueden encontrarse en las libreŕıas. Escribir el libro en español me ha hecho
reflexionar sobre la adaptación de los términos cient́ıficos a nuestra lengua y me
ha conducido a unas consideraciones sobre terminoloǵıa que, equivocadas o no,
he intentado plasmar en el libro. En este punto quiero agradecer a mi colega Luis
Floŕıa sus fruct́ıferas e ilustrativas conversaciones sobre el tema. El inglés se ha
convertido en la lengua común de la ciencia, es por ello corriente que determinados
xiv
términos no se traduzcan o la traducción sea poco meditada. Al escribir este libro
he intentado utilizar una terminoloǵıa que se adapte al máximo a las palabras y
conceptos del español y a su significado cient́ıfico. Esto debe ayudar a realizar una
correcta interpretación de dichos términos cuando se pretende hacer divulgación
de temas especializados a personas no expertas en la materia o no familiarizadas
con la literatura técnica escrita en inglés. Aśı, en este libro he usado palabras no
estándar como cónicas enlazadas en lugar de patched conics, órbitas de aproxima-
ción en lugar de flyby o swingby, etc. Al final de la obra, en el ı́ndice alfabético se
han incorporado algunos de estos términos comunes en inglés con una indicación
de la traducción usada en el libro.
También resulta relacionado con el lenguaje otro aspecto que podŕıa no men-
cionar y dejar pasar desapercibido pero del que prefiero que quede constancia
escrita. Aśı como he intentado ser riguroso en la elección de la terminoloǵıa en
español y por adelantado pido excusas por los posibles fallos cometidos en este
empeño, también he prescindido de una norma de nuestro lenguaje que creo debe
ser modificada. Es norma del español usar la coma como separador de la parte de-
cimal de un número. A este respecto, creo firmemente que el lenguaje matemático,
que es un lenguaje universal, debe estar por encima de cualquier localismo que
únicamente lo dificulta. Aunque es bien cierto que la coma o el punto únicamente
constituyen dos formas diferentes de representación de un mismo concepto, que
es el número real, es también útil disponer de un representación universal que sea
interpretada en la misma forma por cualquier persona. Por ello he optado por el
uso del punto en lugar de la coma como separador decimal.
La escritura de un libro de texto cient́ıfico requiere la realización de profundas
revisiones para garantizar la calidad del producto final. Sin embargo, la experien-
cia me indica que en cada revisión (no profesional) de un texto del tamaño de éste,
siempre se encuentran nuevas erratas. No pienso que este libro quede totalmente
exento de las mismas, por lo que intentaré, dentro de lo posible, informar al lector
de todas las que se vayan encontrando después de la edición definitiva. Para ello
puede consultarse la página web: gme.unizar.es/pages/libroastrodinamica, donde
se informará, periódicamente, de las mismas, aśı como de toda información útil
relacionada con el libro. A lo largo del próximo año aparecerá también, como se
menciona en el caṕıtulo 12, el softwareOrbits, paquete deMathematica que com-
plementa este libro. En la página web: gme.unizar.es/software/orbits, aparecerán
instrucciones sobre su descarga y uso.
Quiero terminar este prólogo entrando en el apartado de agradecimientos. Es
dif́ıcil intentar agradecer en unas pocas ĺıneas a todos cuantos, de alguna forma,
han colaborado, directa o indirectamente, en la escritura de este libro, al fin y al
cabo, la escritura del libro está ı́ntimamente relacionada con una trayectoria pro-
fesional de más de 30 años. Por otro lado, quiero ser breve y no deseo olvidarme
de nadie, aśı que comenzaré con un agradecimiento genérico a todos los miembros
del Grupo de Mecánica Espacial de la Universidad de Zaragoza y a todos los cole-
gas y amigos de las Universidades de La Rioja, Santiago de Compostela, Murcia,
Cartagena, Pamplona y del Real Observatorio de la Armada.
xv
Por otra parte, es de justicia escribir unas lineas aparte, y muy destacadas,
para todos los miembros del grupo APSIDE (Asociación para la Promoción Social
de la Investigación y el Desarrollo Espacial), sección aragonesa del proyecto SSETI
(Student Space Exploration and Technology Initiative) a quienes dedico de manera
especial este libro y que son quienes, de alguna forma, me han creado la obligación
moral de escribirlo, terminarlo e intentar que sea una herramienta útil para todos
aquellos estudiantes interesados en la industria espacial.
El proyecto SSETI nació hace unos años como una iniciativa de la Agencia
Espacial Europea (ESA) para formar a jóvenes estudiantes en el ámbito espacial.
El proyecto pretend́ıa agrupar universidades de toda Europa formando equipos
que seŕıan capaces de diseñar, construir y lanzar satélites. La novedad consist́ıa en
que todo el proyecto estaŕıa dirigido y formado exclusivamente por estudiantes,
contando con el apoyo de expertos de la Agencia y profesores de las universidades.
Como primer objetivo se planteó la construcción y env́ıo al espacio del satélite
ESEO (European Student Earth Orbiter). Itziar Barat y Rubén Castro, estu-
diantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, asumieron el
liderazgo de un grupo de compañeros de las licenciaturas de Matemáticas y F́ısi-
cas y se encargaron del análisis de misión de ESEO, es decir, el diseño de la órbita
y de todos los aspectos astrodinámicos derivados de la misma. Además conven-
cieron a Antonio Elipe, que fue decano de la Facultad de Ciencias y Director del
Instituto de Matemáticas y Aplicaciones de Aragón, y a mi mismo, para actuar
como profesores tutores del proyecto Los miembros del SSETI han ido cambian-
do, en su mayor parte por terminar sus estudios de licenciatura. A lo largo de
estos años varias generaciones de estudiantes han ido desarrollando sin desánimo
el proyecto. Además de los ya mencionados debo nombrar también a Isaac Toda
y Eva Tresaco en la segunda generación, a Julia Maŕın-Yaseli, David Vicente y
Alejandro Vaquero en la tercera y el último por ahora, Jonatan Peris, que ha
conseguido que la llama de la ilusión no se extinga. No son los únicos y ruego al
resto de sus compañeros que me perdonen y que hagan suyo mi homenaje a todo
el grupo.
La falta de estabilidad de los grupos, que necesariamente deb́ıan cambiar al-
gunos miembros cada año, hicieron ver a los organizadores de la ESA que los
objetivos iniciales de ESEO eran demasiado ambiciosos, por lo que se planteó la
necesidad de desarrollar un proyecto algo menos exigenteque, por su duración,
no desmotivara a los participantes. Aśı nació SSETI-Express, un satélite artificial
más pequeño desarrollado en dos años y lanzado al espacio el d́ıa 27 de Octubre de
2005. Aunque la señal de dicho satélite se perdió por problemas en las bateŕıas,
podemos calificar sus resultados como de profundo éxito. Este éxito animó al
uso de la experiencia adquirida para alcanzar mayores objetivos, como el pro-
yecto ESMO (European Student Moon Orbiter) que trataba de enviar una nave
a orbitar en torno a la Luna. Diversos acontecimientos posteriores, junto con la
crisis económica, minimizaron los objetivos propuestos, aunque afortunadamente
todav́ıa subsiste una pequeña llama encendida, en espera de tiempos mejores.
xvi
Para un profesor nada hay tan importante como el éxito de sus alumnos, en
este caso comprobado y reconocido. Por ello, quiero enviarles a todos ellos mi
agradecimiento más profundo, por ser los culpables de la finalización del libro
y por haber logrado que recuperara la ilusión por la docencia y demostrarme,
y demostrar a muchos otros, que con voluntad y con esfuerzo cualquier joven
preparado es capaz de conseguir lo que se proponga.
Zaragoza, Agosto de 2012
Alberto Abad
Parte I
Sistemas de referencia en
Astrodinámica
1
Caṕıtulo 1
Sistemas de referencia en IR3
1.1 Introducción
El objetivo del presente caṕıtulo es recordar el concepto de sistema de refe-
rencia en IR3, necesario para situar la posición de los astros y otros objetos en el
espacio. Para ello, efectuaremos un breve repaso de las propiedades básicas del
espacio vectorial real IR3 y de todos los conceptos asociados al mismo como los
productos escalar, vectorial y mixto, ángulos, etc., que serán de gran importancia
en el desarrollo del libro.
Estas notas no constituyen un tratado de álgebra, de hecho, será necesaria una
revisión de un libro especializado para una mejor comprensión de algunos de los
conceptos aqúı utilizados. Sin embargo, hemos preferido profundizar en algunos
aspectos, como el de sentido de un ángulo y la orientación de los sistemas de
referencia, pues estos conceptos, de gran importancia en la Astrodinámica, son a
menudo tratados sin demasiado rigor.
La trigonometŕıa esférica ha sido la herramienta tradicional para resolver pro-
blemas de Astronomı́a de Posición, donde el concepto de distancia entre puntos,
imposible de medir por observación directa, es cambiado por el de distancia an-
gular, sustituyendo los puntos de IR3 por su proyección en una esfera de radio
arbitrario (tomado como unidad de longitud). En este libro, salvo en una oca-
sión, hemos utilizado el cálculo vectorial y matricial en lugar de las fórmulas de
la trigonometŕıa esférica, lo que conduce a relaciones más fáciles de entender y
que no contienen ambigüedades. Sin embargo, con objeto de que el lector pueda
comprender algunas de las demostraciones que aparecen en libros clásicos de As-
trodinámica desarrollaremos brevemente en este caṕıtulo los fundamentos de la
4 Sistemas de referencia en IR3
trigonometŕıa esférica.
1.2 El espacio af́ın IR3: sistemas de referencia
El espacio IR3 puede ser considerado como un conjunto de elementos, llamados
puntos, que se representan por letras mayúsculas: O,P,Q, S, . . .; o bien, como el
conjunto de vectores x de un espacio vectorial real de dimensión tres.
Estas dos formas de ver IR3 pueden relacionarse si consideramos un punto
cualquiera O 2 IR3, que llamaremos origen, y asociamos a cada punto P un vector
de IR3, que llamaremos x = OP , y que geométricamente representa el segmento
(vector) que une el punto O con el punto P . Si consideramos otro punto Q, tal
que y = OQ, podremos poner QP = OP � OQ = x � y. De esta forma hemos
dotado a IR3 de una estructura de espacio af́ın.
Si consideramos una base (i
1
, i
2
, i
3
) de IR3 el elemento x 2 IR3 puede repre-
sentarse por tres números reales (x
1
, x
2
, x
3
), que son llamados componentes del
vector en dicha base, de manera que x = x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
.
Al conjunto formado por el origen y la base {O, i
1
, i
2
, i
3
} le llamaremos sistema
de referencia de IR3. En este sistema de referencia el vector correspondiente al
origen O tiene sus tres componentes nulas.
1.3 Producto escalar: IR3 como espacio eucĺıdeo
Llamaremos producto escalar de dos vectores x,y, al número real
x · y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
, (1.1)
donde (x
1
, x
2
, x
3
), (y
1
, y
2
, y
3
) son las componentes de x,y en la base (i
1
, i
2
, i
3
).
Aunque el valor obtenido con esta definición depende de la base donde estemos
trabajando, puede demostrarse fácilmente que el valor del producto escalar es
independiente de la base en la cual se calcule. El producto escalar nos permi-
tirá definir los conceptos de ángulo y distancia.
Diremos que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar sea cero.
Llamaremos longitud o norma de un vector al escalar
kx k =
p
x · x = (x2)1/2.
De esta forma, la distancia entre dos puntos P,Q vendrá dada por la norma del
vector QP = OP �OQ.
Todo vector x puede ser expresado en la forma
x = kx k x̂,
Ángulos y funciones circulares inversas 5
donde x̂ representa un vector de norma unidad en la misma dirección que x y por
lo cual será llamado dirección. Esta propiedad permite caracterizar un vector por
su norma y su dirección.
El producto escalar de vectores verifica además las siguientes propiedades:
x · y = y · x,
x · (y + z) = x · y + x · z,
(�x) · y = �(x · y),
x · x � 0,
x · x = 0 () x = 0.
(1.2)
La introducción de los conceptos de producto escalar y distancia y sus propie-
dades permiten considerar IR3 como espacio eucĺıdeo.
↵
2⇡ � ↵
x
y
Figura 1.1: Ángulo entre dos vectores.
Llamaremos ángulo entre dos vectores
x,y, al número real ↵ que verifica
x · y = kx kky k cos↵. (1.3)
Las propiedades de la función coseno,
aśı como la propia geometŕıa de la figura
1.1, nos indican la existencia de dos po-
sibles soluciones de la anterior ecuación
que se corresponden con los dos ángulos
↵, 2⇡ � ↵.
1.4 Ángulos y funciones circulares inversas
Observando la figura 1.1 podemos pensar en un ángulo como el arco o trayec-
toria recorrido por el vector x hasta llegar a la dirección ocupada por el vector y.
Para llegar a y puede pasarse varias veces por su posición, lo que equivale a dar
varias vueltas y se corresponde con las propiedades de periodicidad de la función
coseno. Aśı pues, desde el punto de vista de la definición anterior, el ángulo entre
dos vectores o direcciones puede considerarse idéntico si le restamos o sumamos
un número entero de vueltas, esto es, un múltiplo de 2⇡.
Con objeto de evitar esta múltiple definición y precisar más este concepto
definiremos en IR una relación de equivalencia R
2⇡
de la siguiente forma: dados
x, y 2 IR diremos que x está relacionado con y, esto es xR
2⇡
y, si y solo si existe un
k 2 ZZ tal que x� y = 2k⇡. El conjunto A de las clases de equivalencia definidas
por R
2⇡
coincide con el conjunto cociente IR /2⇡ZZ y hereda la estructura de grupo
conmutativo. Los elementos de A serán llamados ángulos.
Un representante cualquiera de cada clase de A, que viene dado por un número
real, será llamado determinación del ángulo ↵. Llamaremos determinación prin-
cipal de ↵ al número real perteneciente al intervalo [0, 2⇡) que sea representante
6 Sistemas de referencia en IR3
de una clase de IR /2⇡ZZ. Obtener la determinación principal de un ángulo es lo
mismo que calcular el resto de la división del número real que representa el ángulo
por 2⇡ o bien obtener el valor congruente (módulo 2⇡) de éste número.
Obsérvese que podemos definir un isomorfismo entre el conjunto A de ángulos
y el intervalo [0, 2⇡) a través de la determinación principal de cada ángulo. Por
ello, a partir de aqúı, cuando hablemos de ángulo nos referiremos siempre a su de-
terminación principal o a su valor ↵ 2 [0, 2⇡). Deesta forma quedarán justificadas
igualdades del tipo ↵+ ⇡ = ↵� ⇡ y otras que aparecen cuando obtenemos la de-
terminación principal de una combinación lineal de ángulos cuyo valor, obtenido
por reglas aritméticas, excede de 2⇡ o es menor que 0.
En ocasiones la práctica común exige la elección de otra determinación para
los ángulos, basada en una definición de los mismos en el intervalo (�⇡,⇡]. Esta
representación se establecerá para los ángulos definidos expĺıcitamente en dicho
intervalo o en un subintervalo de éste.
Las funciones trigonométricas o circulares
sen, cos : IR �! [�1, 1],
tan : IR �! IR[{�1,1},
son tres1 funciones suprayectivas y periódicas, de periodo 2⇡, cuyas propiedades
suponemos de sobra conocidas.
A pesar de no ser biyectivas, su periodicidad permite la definición de una
serie de funciones inversas llamadas arco coseno (acos), arco seno (asin) y arco
tangente (atan) que serán biyectivas si restringimos el intervalo de definición
acos : [�1, 1] �! [0,⇡],
asen : [�1, 1] �! [�⇡
2
,
⇡
2
],
atan : IR[{�1,1} �! [�⇡
2
,
⇡
2
].
(1.4)
Esta determinación de cuadrante es la usada habitualmente por todos los lengua-
jes de programación y calculadoras cuando se invocan las funciones inversas de
las circulares. Nótese además que la función acos aśı definida, cuando se usa para
la obtención del ángulo entre dos vectores, determina el menor de los dos posibles
o ángulo agudo.
Habitualmente el uso de las funciones arco coseno, arco seno y arco tangen-
te viene asociado a la resolución de ecuaciones del tipo cos↵ = x, sen↵ = x,
ó tan↵ = x. Si el significado geométrico de ↵ en dichas ecuaciones se restringe al
intervalo de definición de las funciones, la solución de cada una de esas ecuaciones
será única y vendrá dada por las funciones acos, asen, atan, respectivamente. En
1Las funciones sec, cosec, cotan, pueden considerarse funciones auxiliares de sen, cos y tan y
sus propiedades fácilmente deducibles a partir de ellas por lo que no son consideradas en esta
exposición.
Ángulos y funciones circulares inversas 7
caso contrario, si la solución puede ser un ángulo cualquiera en su determina-
ción principal, tendremos dos posibles soluciones por cada ecuación, que vendrán
expresadas por las funciones arccos, arcsin, arctan en lugar de acos, asen, atan,
cos↵ = x () ↵ = arccosx ()
⇢
↵
0
= acosx,
↵
1
= � acosx,
sen↵ = x () ↵ = arcsenx ()
⇢
↵
0
= asenx,
↵
1
= ⇡ � asenx,
tan↵ = x () ↵ = arctanx ()
⇢
↵
0
= atanx,
↵
1
= ⇡ + atanx.
(1.5)
Cuando conozcamos simultáneamente el coseno y el seno de un ángulo, cos↵ =
x, sen↵ = y, éste podrá ser encontrado sin ambigüedad tomando la solución
común de entre las dos obtenidas a partir de arccosx, arcsen y. Al igual que en
algunos lenguajes de programación, que definen una función arco tangente con
dos argumentos para resolver dicho caso, en lo que sigue utilizaremos la función
atan(x, y) que determina, sin ambigüedad, el ángulo ↵ que forma el punto (x, y) 2
IR2�{(0, 0)} con el eje Ox del plano, esto es, cuyo coseno es x/
p
x2 + y2 y cuyo
seno es y/
p
x2 + y2.
↵ = atan(x, y) ()
8
>
<
>
:
cos↵ =
x
p
x2 + y2
,
sen↵ =
y
p
x2 + y2
.
(1.6)
Nótese que hemos usado un orden de variables distinto a la función atan2 de
FORTRAN, pues hemos considerado que esta forma concuerda más con el lengua-
je habitual de las Matemáticas, donde la primera coordenada x suele representar
el coseno, y la segunda, y, el seno.
Propiedad.- La ecuación
tan
↵
2
= x, (1.7)
tiene una única solución dada por la expresión
↵ = 2atanx. (1.8)
En efecto, aplicando la función inversa
↵
2
= arctanx =
⇢
atanx,
⇡ + atanx,
(1.9)
y llamando ↵
0
,↵
1
a las dos soluciones, se tendrá
↵
1
= 2(⇡ + atanx) = 2⇡ + 2atanx = 2atanx = ↵
0
.
8 Sistemas de referencia en IR3
Propiedad.- Las dos soluciones de la ecuación
A = C cos↵+ S sen↵, A,B,C 2 IR, (1.10)
vienen dadas por la expresión
↵ = atan(C, S)� arccos
✓
Ap
C2 + S2
◆
. (1.11)
En efecto, si llamamos M,m, a las constantes definidas por
C = M cosm, S = M senm,
o lo que es igual
M =
p
C2 + S2, m = atan (C, S) ,
podremos poner
A = M cosm cos↵+M senm sen↵ = M cos(m� ↵),
de donde invirtiendo se llega a
m� ↵ = arccos
✓
A
M
◆
,
y finalmente
↵ = m� arccos
✓
A
M
◆
.
1.5 Producto vectorial y mixto
Como sabemos, dos vectores linealmente independientes de IR3 determinan un
plano. Además, podemos definir dos direcciones distintas, ortogonales al plano,
equivalentes a los conceptos relativos de encima y debajo del plano. Por otro lado,
las dos direcciones ortogonales al plano son opuestas entre si. Para caracterizar
estas dos direcciones estableceremos el concepto de producto vectorial.
Supongamos dos vectores x,y que forman entre si un ángulo2 ↵ = acos(x ·y).
Llamaremos producto vectorial de dos vectores x,y, y lo representaremos por
x⇥ y, a un vector que se caracteriza por:
Su norma, kx⇥ y k = kx kky k sen↵.
Su dirección, ortogonal al plano definido por x,y, que viene definida por la
dirección de avance de un sacacorchos o tornillo3 cuando gira para llevar el
vector x hacia el vector y por el camino más corto (ángulo agudo ↵).
Sistemas de referencia ortonormales 9
x
y
x⇥ y
xy
x⇥ y
Figura 1.2: Producto vectorial de dos vectores.
La figura 1.2 representa los dos posibles vectores x⇥y según la posición relativa
de x e y. Puede observarse también que las dos únicas direcciones ortogonales al
plano definido por dichos vectores se representan por los vectores x⇥ y e y ⇥ x,
que además verifican la relación
x⇥ y = �y ⇥ x.
Al producto escalar de un vector x por el vector resultante del producto vec-
torial de otros dos y⇥z, que puede también denotarse como [x,y, z] = x ·(y⇥z),
se le suele llamar producto mixto de tres vectores.
1.6 Sistemas de referencia ortonormales
La definición de ortogonalidad nos permite definir un sistema de referencia
donde los vectores de la base son ortogonales4 entre si
i
1
· i
2
= i
1
· i
3
= i
2
· i
3
= 0.
A dicho sistema de referencia le llamaremos sistema de referencia ortogonal. Si
además los vectores tienen norma unidad
i
2
1
= i
2
2
= i
2
3
= 1,
el sistema será llamado sistema de referencia ortonormal.
De acuerdo con lo visto en el apartado anterior, dados dos vectores ortogonales
y unitarios i
1
, i
2
, existen únicamente dos direcciones ortogonales al plano definido
2Como se ha dicho antes hemos elegido el menor de los dos posibles o ángulo agudo.
3Recuérdese que un sacacorchos avanza hacia arriba cuando gira en sentido contrario a las
agujas del reloj y hacia abajo en caso contrario.
4Tres vectores de IR3 ortogonales entre si son linealmente independientes.
10 Sistemas de referencia en IR3
por i
1
y i
2
. Estas dos direcciones son las representadas por los vectores i
1
⇥ i
2
e
i
2
⇥ i
1
, que en ambos casos tienen norma unidad de acuerdo con la definición de
producto vectorial.
De esta forma se llega a las dos posibles elecciones de sistemas de referencia
ortonormales: sistema directo (llamado también sistema dextrógiro o de orienta-
ción positiva) cuando i
3
= i
1
⇥ i
2
y sistema retrógrado (sistema levógiro o de
orientación negativa) cuando i
3
= i
2
⇥ i
1
.
i
1
i
2
i
3
i
1
i
2
i
3
Figura 1.3: Sistema de referencia de orientación positiva (izquierda) y de orientación
negativa (derecha). Nótese la posición distinta de los vectores i1, i2 en ambos sistemas.
Propiedad.- Para todo sistema ortogonal directo se verifica
1.
i
3
= i
1
⇥ i
2
, i
1
= i
2
⇥ i
3
, i
2
= i
3
⇥ i
1
. (1.12)
2. Dados dos vectores x = x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
, y = y
1
i
1
+ y
2
i
2
+ y
3
i
3
, su
producto vectorial se puede expresar como
x⇥ y = (x
2
y
3
� x
3
y
2
)i
1
+ (x
3
y
1
� x
1
y
3
)i
2
+ (x
1
y
2
� x
2
y
1
)i
3
=
�
�
�
�
�
�
i
1
i
2
i
3
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
�
�
�
�
�
�
.
(1.13)
3. Dados tres vectores x = x
1i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
, y = y
1
i
1
+ y
2
i
2
+ y
3
i
3
y
z = z
1
i
1
+ z
2
i
2
+ z
3
i
3
, su producto mixto se puede expresar como
[x,y, z] =
�
�
�
�
�
�
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
�
�
�
�
�
�
. (1.14)
Otras propiedades de los distintos productos de vectores 11
Propiedad.- Para todo sistema ortogonal retrógrado se verifica
1.
i
3
= i
2
⇥ i
1
, i
2
= i
1
⇥ i
3
, i
1
= i
3
⇥ i
2
, (1.15)
2. Dados dos vectores x = x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
, y = y
1
i
1
+ y
2
i
2
+ y
3
i
3
, su
producto vectorial se puede expresar como
x⇥ y = (y
2
x
3
� y
3
x
2
)i
1
+ (y
3
x
1
� y
1
x
3
)i
2
+ (y
1
x
2
� y
2
x
1
)i
3
=
�
�
�
�
�
�
i
1
i
2
i
3
y
1
y
2
y
3
x
1
x
2
x
3
�
�
�
�
�
�
.
(1.16)
3. Dados tres vectores x = x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
, y = y
1
i
1
+ y
2
i
2
+ y
3
i
3
y
z = z
1
i
1
+ z
2
i
2
+ z
3
i
3
, su producto mixto se puede expresar como
[x,y, z] =
�
�
�
�
�
�
x
1
x
2
x
3
z
1
z
2
z
3
y
1
y
2
y
3
�
�
�
�
�
�
. (1.17)
Las dos propiedades anteriores caracterizan los sistemas directos y retrógrados
cuya representación gráfica puede verse en la figura 1.3.
La definición de producto vectorial no es útil para el cálculo del mismo. Para
realizar este cálculo es necesario acudir a una de las expresiones (1.13) o (1.16).
Hay que hacer notar aqúı que únicamente la primera es usada en la mayoŕıa de
los libros y las libreŕıas de los lenguajes de programación. Esto supone que de
manera impĺıcita dichos libros y programas trabajan con un sistema de referencia
ortogonal directo.
En Astronomı́a, se utilizan dos sistemas de coordenadas, horizontales y hora-
rias, que se definen habitualmente a través de sistemas de referencia retrógrados.
En este libro, con objeto de evitar el problema generado por las distintas propie-
dades del producto vectorial, utilizaremos únicamente sistemas directos, para lo
que redefiniremos las coordenadas asociadas a los sistemas retrógrados.
1.7 Otras propiedades de los distintos productos
de vectores
Daremos a continuación otras propiedades de los productos de vectores que
son independientes de la orientación de la base elegida para su cálculo. Estas
propiedades serán usadas a lo largo del libro.
12 Sistemas de referencia en IR3
Propiedad .- Las relaciones siguientes son válidas independientemente del siste-
ma de referencia en el que expresemos los vectores:
x⇥ (y + z) = x⇥ y + x⇥ z, (1.18)
(x⇥ y)2 = kx k2ky k2 � (x · y)2, (1.19)
(x⇥ y)⇥ z = (x · z)y � (y · z)x, (1.20)
x⇥ (y ⇥ z) = (x · z)y � (x · y)z. (1.21)
Propiedad.- El área de un triángulo de vértices O,P,Q viene dada por el valor
de kx⇥ y k/2, siendo x = OP, y = OQ.
Propiedad.- Dados dos vectores ortogonales a, b, y un escalar c, el sistema
x⇥ a = b,
x · a = c,
(1.22)
tiene como única solución
x =
a⇥ b+ ca
a · a . (1.23)
En efecto,
a⇥ b = a⇥ (x⇥ a) = (a · a)x� (a · x)a,
de donde despejando se llega a la solución.
1.8 Ángulo orientado entre dos vectores
La ecuación (1.3) nos ha permitido introducir el concepto de ángulo y su
medida a través del producto escalar. La solución de dicha ecuación conduce,
como se ve en la figura 1.1, a dos valores, ↵ y 2⇡�↵, que representan igualmente
al ángulo salvo que las propiedades geométricas de un determinado problema
restrinjan el rango de valores a un subintervalo de [0, 2⇡).
También podremos discriminar uno de los dos posibles valores cuando defina-
mos un sentido de recorrido de los ángulos y tomemos uno de los dos vectores
como origen (de aqúı en adelante x). Generalmente se considera sentido de giro
positivo al recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y sentido de gi-
ro negativo al recorrido en sentido de las agujas de un reloj. En dinámica suele
hablarse también de sentido directo y sentido retrógrado respectivamente. Habi-
tualmente se considera positivo el signo de los ángulos medidos en sentido directo
y negativo los medidos en sentido retrógrado.
La anterior definición contiene también una ambigüedad, pues el sentido posi-
tivo se transforma en negativo, y viceversa, cuando miramos la figura desde el otro
Ángulo orientado entre dos vectores 13
lado del plano determinado por los vectores x,y. Dicha ambigüedad quedará eli-
minada fijando, mediante el producto vectorial de los dos vectores, el subespacio
desde el cual observamos el giro.
Para fijar los conceptos de ángulo directo o retrógrado entre dos vectores x,y,
o ángulo que va de x a y en sentido positivo o negativo, debemos fijar, en primer
lugar, una orientación o dirección n, definida a partir del vector (x⇥y)/kx⇥y k o
del vector (y⇥x)/kx⇥y k. Fijado n, hablaremos de ángulo directo, o recorrido en
sentido positivo o directo, como aquel que lleva el vector x hacia y en el sentido de
giro contrario a las agujas del reloj visto desde la dirección del espacio definida por
el vector n. Un ángulo retrógrado, o recorrido en sentido negativo o retrógrado,
es el ángulo recorrido en sentido contrario al anterior. Habitualmente todos los
libros usan, sin mencionarlo, la orientación definida por n = (x⇥ y)/kx⇥ y k.
El concepto de sistema ortogonal directo nos va a permitir determinar, de una
manera precisa, el ángulo directo entre dos vectores x,y, una vez hayamos definido
la orientación n. En efecto, por ser n ortogonal a x podemos definir un sistema
de referencia ortonormal directo formado por los vectores {i
1
= x/kx k, i
2
=
n⇥x/kn⇥x k, i
3
= n}. Notemos que por ser n y x ortogonales se tiene kn⇥x k =
kx k y por tanto i
2
= (n⇥x)/kx k. El vector ŷ, que pertenece al plano formado
por i
1
y i
2
podrá expresarse como
ŷ = p i
1
+ q i
2
,
o lo que es igual
y = ky kp i
1
+ ky kq i
2
.
Si llamamos ↵ = atan(p, q) tendremos que
y = ky k cos↵ i
1
+ ky k sen↵ i
2
,
de donde podremos poner
ky k cos↵ = y · i
1
=
x · y
kx k , ky k sen↵ = y · i
2
=
y · (n⇥ x)
kx k =
n · (x⇥ y)
kx k ,
y finalmente
kx kky k cos↵ = x · y, kx kky k sen↵ = n · (x⇥ y), (1.24)
o lo que es igual
↵ = ↵(x,y,n) = atan (x · y, n · (x⇥ y)) . (1.25)
La expresión (1.25) nos da de manera precisa y única el valor del ángulo que va
de x a y en sentido positivo desde la orientación definida por el vector n.
14 Sistemas de referencia en IR3
1.9 Coordenadas cartesianas y polares
Las componentes (x, y, z) de un vector x = x i
1
+ y i
2
+ z i
3
, expresado en un
sistema de referencia ortogonal directo {i
1
, i
2
, i
3
}, serán llamadas coordenadas
cartesianas o coordenadas rectangulares y representan:
Las proyecciones del vector x sobre los ejes Ox, Oy y Oz o direcciones i
1
, i
2
e i
3
respectivamente.
Los cosenos directores, o cosenos de los ángulos que forma el vector x con
los ejes Ox,Oy y Oz:
x = kx k cos(x, i
1
) = x · i
1
,
y = kx k cos(x, i
2
) = x · i
2
,
z = kx k cos(x, i
3
) = x · i
3
.
En Astronomı́a, donde en ocasiones la medida de la distancia a los astros no
es conocida, resulta de particular importancia el uso de las coordenadas polares
esféricas que separan la distancia al origen de las otras coordenadas angulares.
Para definir las coordenadas polares esféricas (figura 1.4) consideraremos, en
primer lugar, un vector l de norma igual a kx k y cuya dirección representa la
intersección del plano formado por x e i
3
con el plano Oxy formado por i
1
e
i
2
. Llamaremos longitud � al ángulo desde i
1
hasta l medido en sentido directo
tomando como orientación la definida por el vector i
3
. La longitud puede tomar
un valor cualquiera � 2 [0, 2⇡).
Llamaremos latitud � al ángulo entre l y x. Este ángulo se considera positivo
si el vector x está en el lado del espacio correspondiente a i
3
y negativo si está en
el correspondiente a �i
3
. De esta forma � 2 [�⇡/2,⇡/2].
Por último llamaremos distancia r a la norma kx k.
Las coordenadas (r,�,�) serán llamadas coordenadas polares esféricaso sim-
plemente coordenadas esféricas y se caracterizan principalmente por separar la
distancia r de las cantidades angulares adimensionales �,�.
En ocasiones hablaremos de la colatitud o ángulo �̃ = ⇡/2 � � 2 [0,⇡] entre
i
3
y x y de la colongitud o ángulo �̃ entre i
2
y l, medido en sentido retrógrado.
Fácilmente comprobamos que también se verifica �̃ = ⇡/2� � 2 [0, 2⇡).
El uso de la colatitud y la colongitud permite usar los sistemas de coordenadas
(r,�, �̃), (r, �̃,�), (r, �̃, �̃) como alternativa al sistema de coordenadas polares
esféricas.
Observando la figura 1.4 se deduce fácilmente que un vector unitario l̂ pertene-
ciente al plano Oxy y que tiene una longitud �, forma tres ángulos (�,⇡/2��,⇡/2)
con los tres vectores de la base, por lo que sus componentes, dadas por los cosenos
directores serán
l̂ = cos� i
1
+ cos(
⇡
2
� �) i
2
+ cos
⇡
2
i
3
= cos� i
1
+ sen� i
2
.
Coordenadas cartesianas y polares 15
�
�
�̃
�̃
i
1
i
2
i
3
x
l
Figura 1.4: Coordenadas polares esféri-
cas.
De esta forma, se tendrá, por un lado
l = r cos� i
1
+ r sen� i
2
,
y por otro,
x = r cos� l+ r cos �̃ i
3
= r cos� l+ r sen� i
3
,
por lo que finalmente se llega a la expre-
sión del vector en coordenadas polares
esféricas
x = r cos� cos� i
1
+
r sen� cos� i
2
+
r sen� i
3
,
(1.26)
lo que demuestra que las coordenadas cartesianas pueden expresarse en función
de las polares esféricas en la forma:
x = r cos� cos�,
y = r cos� sen�,
z = r sen�.
(1.27)
Asimismo, invirtiendo las relaciones anteriores obtenemos las coordenadas esféri-
cas en función de las rectangulares:
r =
p
x2 + y2 + z2,
� = asen
z
r
,
� = atan(x, y).
(1.28)
Puesto que el paso de cartesianas a polares y el de polares a cartesianas serán
muy usados a lo largo del libro estableceremos, de aqúı en adelante una nota-
ción más compacta que establece el nombre de una función que a través de los
algoritmos (1.27) y (1.28) realiza la transformación.
Llamaremos cart() a la función que obtiene el vector x = (x, y, z) a partir del
vector de coordenadas polares (r,�,�),
x =
0
@
x
y
z
1
A =
0
@
r cos� cos�
r cos� sen�
r sen�
1
A = cart(r,�,�). (1.29)
Para referirnos a cada una de sus componentes podremos usar las funciones:
x = cart
1
(r,�,�), y = cart
2
(r,�,�), z = cart
3
(r,�,�). (1.30)
16 Sistemas de referencia en IR3
Por otro lado, la función polar() representará la inversa de la anterior, es decir,
nos dará el vector de coordenadas polares en función del vector en cartesianas
(r,�,�) = polar(x). (1.31)
Para referirnos a cada coordenada polar por separado usaremos las funciones
siguientes:
r = polar
r
(x), � = polar
�
(x), � = polar
�
(x). (1.32)
Combinando el uso de la colatitud y colongitud con las coordenadas polares
podremos poner:
x = r sen �̃ cos� i
1
+ r cos �̃ cos� i
2
+ r sen� i
3
, (1.33)
x = r cos� sen �̃ i
1
+ r sen� sen �̃ i
2
+ r cos �̃ i
3
, (1.34)
x = r sen �̃ sen �̃ i
1
+ r cos �̃ sen �̃ i
2
+ r cos �̃ i
3
, (1.35)
o bien usando la función cart() escribiremos
x = cart(r,
⇡
2
� �̃,�) = cart(r,�,
⇡
2
� �̃) = cart(r,
⇡
2
� �̃, ⇡
2
� �̃).
1.10 Trigonometŕıa esférica
Una de las caracteŕısticas de la observación astronómica es la imposibilidad de
una medición visual directa de la distancia al astro, pudiéndose medir únicamente
distancias angulares. Las coordenadas polares resultan perfectamente adaptadas
a la premisa anterior pues separan la distancia r al astro de las dos coordenadas
angulares.
Desde un punto de vista práctico prescindir de la distancia equivale a suponer
todos los astros proyectados sobre una esfera de radio arbitrario que tomaremos
como unidad. Esta esfera es llamada esfera celeste. En el caso de las órbitas de
los cuerpos del sistema solar y de las naves espaciales la distancia es mucho me-
nor que la distancia a las estrellas por lo que debe ser tomada en consideración,
sin embargo, los parámetros angulares de su órbita pueden separarse y ser estu-
diados sustituyendo la órbita por su proyección en la esfera celeste que será una
circunferencia.
La necesidad de relacionar puntos en una esfera nos lleva a considerar una
herramienta muy usada en Astronomı́a clásica: la trigonometŕıa esférica. En este
libro se ha limitado al máximo el uso de triángulos esféricos, sin embargo, por
claridad en la lectura de otros libros de Astrodinámica y Mecánica Celeste se
estudian en este apartado las fórmulas básicas de la trigonometŕıa esférica: las
fórmulas de Bessel.
Comenzaremos recordando que la intersección de la esfera con un plano que
pase por su centro es una circunferencia que llamaremos ćırculo máximo. Si el
plano no pasa por el centro de la esfera el ćırculo será llamado ćırculo menor.
Trigonometŕıa esférica 17
Por otro lado, dados dos puntos en una esfera, existe uno y solo un ćırculo
máximo que pasa por ellos, pues estos dos puntos, junto con el centro determinan
un plano que corta a la esfera en dicho ćırculo máximo. Nótese que el ćırculo
máximo es el equivalente a la recta en la geometŕıa plana.
En geometŕıa plana, queda perfectamente determinado el concepto de seg-
mento de recta como la parte de la recta que une dos puntos. Sin embargo, dados
dos puntos en la esfera, al ser cerrado el ćırculo máximo que los une, quedan
determinados dos segmentos y no uno. Para evitar confusiones consideraremos
únicamente como segmento que une dos puntos al menor de ambos.
Uno de los parámetros que representan un segmento de recta es su longitud.
Esto ocurre también cuando consideramos un segmento de ćırculo máximo, sin
embargo, puesto que al trabajar en la esfera se pretende eliminar el concepto
de distancia, o lo que es igual las dimensiones de longitud, deberemos sustituir
el concepto de longitud del segmento por algún otro concepto equivalente. Para
ello, basta recordar la expresión l = r✓, que relaciona la longitud del segmento
de circunferencia con el producto del arco que éste abarca por el radio de la
circunferencia. Si consideramos el radio como unidad de distancia, la longitud
del segmento equivale al arco. Aśı pues, a partir de ahora, cuando hablemos de
longitud del segmento que une dos puntos de la esfera, entenderemos como tal el
arco que dicho segmento abarca, expresado en radianes.
Tres puntos no alineados en un plano forman un triángulo plano, que queda
caracterizado por seis parámetros: la longitud de los tres lados y los ángulos que
forman entre si los tres lados. Si tomamos tres puntos sobre una esfera podemos
unirlos dos a dos por medio de segmentos de ćırculo máximo (figura 1.5). La figura
formada en la esfera por estos tres segmentos será llamada triángulo esférico.
a
b c
A
B
C
Figura 1.5: Triángulo esférico.
Un triángulo esférico viene caracterizado también por seis elementos: la lon-
gitud de sus tres lados (a, b, c), que como hemos dicho antes viene expresada en
18 Sistemas de referencia en IR3
radianes, y por sus tres ángulos (A,B,C) que quedan definidos por los tres ángulos
que forman entre si los planos que definen cada par de ćırculos máximos. Debido
a la forma de elegir el segmento entre los dos posibles, los tres lados verifican la
relación a 2 [0,⇡], b 2 [0,⇡], c 2 [0,⇡]. De la misma forma esto obliga a que se
verifiquen también las relaciones A 2 [0,⇡], B 2 [0,⇡], C 2 [0,⇡].
La trigonometŕıa esférica permite obtener los seis elementos de un triángulo
esférico a partir de tres cualesquiera de ellos.
1.10.1 Fórmulas de Bessel
Con objeto de encontrar las fórmulas que nos permitirán resolver un triángulo
esférico, definiremos un sistema de referencia en el que el origen coincida con el
centro de la esfera. De esta forma los vectores, de norma unidad, que unen el origen
con cada vértice del triángulo esférico serán llamados a = OA, b = OB, c = OC.
⇡
2
� c ⇡
2
� b
A
A
a
b
c
Figura 1.6: Vectores que definen los vérti-
ces del triángulo.
Elegiremos un sistema dereferen-
cia ortogonal directo de forma que
i
3
= a, y b esté en el plano formado
por Oxz. Aśı, atendiendo a la figura
1.6, podemos deducir que:
a = i
3
,
b = sen c i
1
+ cos c i
3
,
c = sen b cosA i
1
+
sen b senA i
2
+ cos b i
3
.
(1.36)
Puesto que el ángulo entre cada par de
vectores es igual al lado que forman
sus vértices podremos poner, por un
lado
b · c = cos a,
y por otro, sustituyendo el valor de los
vectores dado por las relaciones (1.36),
obtendremos
b · c = cos b cos c+ sen b sen c cosA.
Igualando las dos últimas ecuaciones se obtiene la expresión
cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA, (1.37)
que es la conocida como primera fórmula de Bessel o fórmula del coseno.
Tanto en la anterior como en todas las fórmulas de la trigonometŕıa esférica
podemos permutar las tres letras que representan lados y ángulos distintos. De esta
forma las fórmulas obtenidas no serán únicas. En particular, la primera fórmula de
Bessel debe leerse de la siguiente forma: el coseno de un lado es igual al producto
Trigonometŕıa esférica 19
de los cosenos de los otros dos lados más el producto de los senos de los otros dos
lados por el coseno del ángulo opuesto al primer lado. Aśı tendremos tres y no
una fórmula del coseno.
Por otro lado, llamaremos A,B,C a los vectores unitarios ortogonales a los
planos que contienen cada lado del triángulo esférico y cuya expresión viene dada
como
C =
a⇥ b
ka⇥ b k , B =
c⇥ a
k c⇥ a k , A =
b⇥ c
k b⇥ c k , (1.38)
o lo que es igual
A =
� cos c senA sen b
sen a
i
1
+
cosA cos c sen b� cos b sen c
sen a
i
2
+
senA sen b sen c
sen a
i
3
,
B = senA i
1
� cosA i
2
,
C = i
2
.
(1.39)
Los extremos de los vectores A,B,C forman otro triángulo esférico (figura
1.7), que es llamado triángulo polar, cuyos lados son a0 = ⇡ �A, b0 = ⇡ �B, c0 =
⇡ � C y cuyos ángulos son A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � b, C 0 = ⇡ � c.
⇡
2
�A
A
a
b
c
A
B
C
Figura 1.7: Triángulo polar.
Por ser ⇡ � B el ángulo entre A y
C tendremos, por un lado, que
kA⇥C k = kA kkC k sen(⇡ �B)
= senB,
y por otro lado
sen2 B = kA⇥C k2 = (A⇥C)·(A⇥C).
Si sustituimos las expresiones dadas
en (1.39), desarrollamos y efectuamos
ciertas simplificaciones, llegaremos a la
igualdad
sen a senB = sen b senA. (1.40)
Escribiendo esta expresión para to-
das las permutaciones de letras se obtiene la segunda fórmula de Bessel o fórmula
de los senos que puede también expresarse en la forma siguiente
sen a
senA
=
sen b
senB
=
sen c
senC
. (1.41)
Por último, si calculamos el producto escalar de A por C, tendremos por un
lado
A ·C = cos(⇡ �B) = � cosB,
20 Sistemas de referencia en IR3
y por otro
A ·C =
� cos b sen c+ sen b cos c cosA
sen a
,
lo que lleva finalmente a obtener la tercera fórmula de Bessel
sen a cosB = cos b sen c� sen b cos c cosA. (1.42)
Las tres fórmulas de Bessel son válidas para cualquier triángulo esférico, por
tanto lo serán también para el triángulo polar. Aśı pues si las aplicamos para los
elementos a0 = ⇡ � A, b0 = ⇡ �B, c0 = ⇡ � C,A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � c, C 0 = ⇡ � c,
obtendremos, por un lado
cosA = � cosB cosC + senB senC cos a, (1.43)
que será llamada primera fórmula polar, y por otro
senA cos b = cosB senC + senB cosC cos a, (1.44)
que será llamada tercera fórmula polar.
La segunda de Bessel aplicada al triángulo polar vuelve a dar la misma ex-
presión, por lo que ha sido omitida y es la razón por la que no hemos definido
ninguna segunda fórmula polar.
1.10.2 Regla del pentágono de Neper
Las fórmulas de Bessel se simplifican cuando alguno de los elementos, bien
sea un lado o un ángulo, vale 90�. A un triángulo de este tipo le llamaremos
respectivamente triángulo rectilátero o triángulo rectángulo.
Neper reunió todas las formulas de Bessel particularizadas para ambos casos y
consiguió enunciar una regla muy simple, llamada regla del pentágono de Neper,
que relaciona entre si todos los elementos de estos triángulos.
Estas reglas van asociadas a cada uno de los pentágonos dibujados en las
figuras 1.8(a), 1.8(b). Estos pentágonos pueden modificarse con una permutación
cualquiera de las letras en él representadas.
Hay dos reglas para cada pentágono que se pueden enunciar de la siguiente
forma:
El coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las
cotangentes de los elementos situados en vértices contiguos.
El coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de los
senos de los elementos situados en vértices opuestos.
Trigonometŕıa esférica 21
A = 90�
a
B C
90� � c 90� � b
(a) Triángulo rectángulo.
a = 90�
180� �A
b c
90� � C 90� �B
(b) Triángulo rectilátero.
Figura 1.8: Pentágono de Neper.
1.10.3 Analoǵıas de Neper
Las cinco fórmulas de Bessel, y las que se derivan de la posible permutación
de letras, permiten la resolución de cualquier tipo de triángulo esférico a partir
de tres datos del mismo. Sin embargo, con objeto de discriminar de forma sencilla
entre dos posibles soluciones es conveniente el uso de otro conjunto de fórmulas,
obtenidas a partir de las anteriores, que serán llamadas analoǵıas de Neper.
Las analoǵıas de Neper5 pueden escribirse como:
tan
A
2
= cos
b� c
2
sec
b+ c
2
cot
B + C
2
,
tan
a
2
= sec
B � C
2
cos
B + C
2
tan
b+ c
2
.
(1.45)
Veremos únicamente la obtención de la primera, pues el resto se obtiene de
manera idéntica. Para ello, reuniremos convenientemente las expresiones (1.41)
llegando a
sen a (senB + senC) = senA (sen b+ sen c),
por otro lado, aplicando dos de las permutaciones de las terceras fórmulas de
Bessel (1.42), se llega a
sen a(cosB + cosC) = (1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c),
que divididas nos conducen a
senB + senC
cosB + cosC
=
senA (sen b+ sen c)
(1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c)
.
5Existen otras expresiones similares, pero éstas nos dan la información suficiente para com-
pletar el algoritmo del próximo apartado.
22 Sistemas de referencia en IR3
Usando simples relaciones trigonométricas se llega finalmente a
tan
B + C
2
= cos
b� c
2
sec
b+ c
2
cot
A
2
,
que coincide con la primera de las expresiones (1.45).
1.10.4 Algoritmo para la resolución de triángulos esféricos
Podemos encontrar un algoritmo muy simple para resolver cualquier triángulo
esférico si tenemos en cuenta las siguientes propiedades derivadas de las funciones
trigonométricas:
Cualquier lado o ángulo de un triángulo esférico está en el primer o segun-
do cuadrante luego para determinarlo uńıvocamente se precisa conocer su
coseno.
La tangente del ángulo mitad determina, sin ambigüedad el cuadrante de
cualquier ángulo.
La resolución de un triángulo esférico del que conocemos tres elementos se
realizará mediante seis conjuntos de fórmulas que representan casos idénticos salvo
una permutación de letras.
1. Tres ángulos (A,B,C) conocidos.
Solución única obtenida a partir de las tres fórmulas polares del coseno.
2. Tres lados (a, b, c) conocidos.
Solución única obtenida a partir de las tres fórmulas del coseno.
3. Conocidos dos lados y un ángulo de manera que el ángulo no sea opuesto a
ninguno de los dos lados. Esto corresponde a los tres casos: (a, b, C), (a, c, B),
(b, c, A).
Cada uno de estos casos tiene solución única en la que el tercer lado se
obtiene por aplicación directa de la fórmula del coseno, y una vez obtenido
éste, los otros dos ángulos se obtienen como en el segundo caso por aplicación
de las fórmulas del coseno.
4. Conocidos dos ángulos y un lado de manera que el lado no sea opuesto
a ninguno de los dos ángulos. Esto corresponde a los tres casos: (A,B, c),
(A,C, b), (B,C, a).
Cada uno de estos casos tiene solución única en la que el tercer ángulo se
obtiene por aplicación directa de la fórmula polar del coseno, y una vez
obtenido éste, los otros dos lados se obtienen como en el primer caso por
aplicación de las fórmulas polares del coseno.
Trigonometŕıa esférica 23
5. Conocidosdos lados y un ángulo de manera que el ángulo sea opuesto a
alguno de los dos lados. Esto corresponde a los seis casos: (a, b, A), (a, b, B),
(a, c, A), (a, c, C), (b, c, B), (b, c, C).
Cada uno de estos casos tiene solución doble. Por ejemplo el caso (a, b, A)
se resuelve aplicando en primer lugar la fórmula de los senos para obtener
B. Del seno se obtienen dos valores B
1
, B
2
que serán llevados junto con los
de (a, b, A) a las analoǵıas de Neper para obtener c y C. El resto de casos se
resuelve también con una aplicación de la fórmula de los senos y luego las
dos analoǵıas de Neper.
6. Conocidos dos ángulos y un lado de manera que el lado sea opuesto a alguno
de los dos ángulos. Esto corresponde a los seis casos: (A,B, a), (A,B, b),
(A,C, a), (A,C, c), (B,C, b), (B,C, c).
Cada uno de estos casos tiene solución doble. Por ejemplo el caso (A,B, a)
se resuelve aplicando en primer lugar la fórmula de los senos para obtener
b. Del seno se obtienen dos valores b
1
, b
2
que serán llevados junto con los
de (a, b, A) a las analoǵıas de Neper para obtener c y C. El resto de caos se
resuelve también con una aplicación de la fórmula de los senos y luego las
dos analoǵıas de Neper.
La indicación de solución única o doble de cada uno de los seis casos representa
únicamente el número máximo de soluciones. En todos los casos puede haber
menos soluciones. La anulación de la solución obtenida se realizará cuando se
obtenga un valor mayor que la unidad para un seno o un coseno o al aplicar las
analoǵıas de Neper se obtenga un ángulo mayor que 180�.
24 Sistemas de referencia en IR3
Caṕıtulo 2
Cambios del sistema de
referencia: rotaciones
2.1 Introducción
Si tenemos un punto P , referido a un sistema de referencia {O, i
1
, i
2
, i
3
}, y
queremos expresarlo en el sistema {O0,f
1
,f
2
,f
3
} debemos transformar la expre-
sión del vector OP en la base inicial {i
1
, i
2
, i
3
} en la expresión del vector O0P en
la base del sistema final {f
1
,f
2
,f
3
}. Para ello debemos realizar dos operaciones:
una traslación del origen, dada por la relación OP = OO0 +O0P ,
un cambio de base para expresar los tres vectores de la relación anterior en
la base del sistema final.
En adelante prescindiremos de la traslación, suma del vector OO0, por la sim-
plicidad de esta operación y porque en la práctica casi todos los cambios de sistema
de referencia que trataremos en este libro mantienen fijo el origen.
Un cambio entre dos bases ortonormales de IR3 con la misma orientación
será llamado rotación del sistema de referencia.
26 Cambios del sistema de referencia: rotaciones
2.2 Rotaciones en IR3
Sea un vector x 2 IR3 que, expresado en la base1 I = {i
1
, i
2
, i
3
}, tiene la
forma
x = x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ x
3
i
3
, (2.1)
mientras que en la base F = {f
1
,f
2
,f
3
} se escribe
x = X
1
f
1
+X
2
f
2
+X
3
f
3
. (2.2)
Para relacionar las componentes de x en ambas bases tendremos en cuenta,
por un lado, que por ser F base de IR3 cualquier vector de IR3 podrá ser expresado
en dicha base, por tanto, podremos escribir:
i
1
= r
11
f
1
+ r
12
f
2
+ r
13
f
3
,
i
2
= r
21
f
1
+ r
22
f
2
+ r
23
f
3
,
i
3
= r
31
f
1
+ r
32
f
2
+ r
33
f
3
,
(2.3)
mientras que, por ser I base de IR3, cualquier vector de IR3 podrá ser expresado
en dicha base en la forma:
f
1
= s
11
i
1
+ s
12
i
2
+ s
13
i
3
,
f
2
= s
21
i
1
+ s
22
i
2
+ s
23
i
3
,
f
3
= s
31
i
1
+ s
32
i
2
+ s
33
i
3
.
(2.4)
Por ser las bases ortonormales, las componentes de un vector pueden obtenerse
a través de los cosenos directores, luego se tendrá
r
ij
= cos(i
i
,f
j
) = i
i
· f
j
= cos(f
j
, i
i
) = s
ji
,
lo que permite finalmente escribir:
f
1
= r
11
i
1
+ r
21
i
2
+ r
31
i
3
,
f
2
= r
12
i
1
+ r
22
i
2
+ r
32
i
3
,
f
3
= r
13
i
1
+ r
23
i
2
+ r
33
i
3
.
(2.5)
Si en la igualdad (2.2) sustituimos los vectores f
i
por las expresiones dadas
en (2.5), y la igualamos, componente a componente, a (2.1), obtendremos tres
relaciones que en forma matricial se podrán poner como
0
@
x
1
x
2
x
3
1
A =
0
@
r
11
r
12
r
13
r
21
r
22
r
23
r
31
r
32
r
33
1
A
0
@
X
1
X
2
X
3
1
A . (2.6)
1Cuando no haya ambigüedad en el origen identificaremos con el mismo nombre al sistema
de referencia y a la base que lo forma.
Rotaciones en IR3 27
De la misma forma, sustituyendo en la igualdad (2.1) los vectores i
i
por las
expresiones dadas en (2.3) e igualando, componente a componente, a (2.2) obten-
dremos la relación inversa de (2.6) en la forma
0
@
X
1
X
2
X
3
1
A =
0
@
r
11
r
21
r
31
r
12
r
22
r
32
r
13
r
23
r
33
1
A
0
@
x
1
x
2
x
3
1
A . (2.7)
De aqúı en adelante, dado un vector cualquiera x de IR3, utilizaremos un
sub́ındice que coincida con el nombre de un sistema de referencia para indicar el
vector columna formado por las componentes de x en la base de dicho sistema de
referencia. De esta forma xI ,xF serán:
xI =
0
@
x
1
x
2
x
3
1
A , xF =
0
@
X
1
X
2
X
3
1
A .
Por otro lado, llamando
RIF =
0
@
r
11
r
12
r
13
r
21
r
22
r
23
r
31
r
32
r
33
1
A , (2.8)
a la matriz cuyas columnas son las componentes de la base F en términos de la
base I, la relación (2.6) se podrá poner como
xI = RIFxF , (2.9)
mientras que la matriz
RFI =
0
@
r
11
r
21
r
31
r
12
r
22
r
32
r
13
r
23
r
33
1
A , (2.10)
permite poner la ecuación (2.7) en la forma
xF = RFIxI . (2.11)
A partir de las propiedades anteriores se demuestra que la inversa de una
matriz de rotación coincide con su traspuesta
RFI = R�1
IF = RT
IF .
Las matrices que cumplen esta importante propiedad son llamadas matrices or-
togonales.
La notación anterior, que usa dos sub́ındices que representan los nombres
de los dos sistemas de referencia, no presenta ningún tipo de ambigüedad en
la expresión de la rotación. Sin embargo, esto no sucede aśı cuando se define
28 Cambios del sistema de referencia: rotaciones
el concepto de matriz de rotación. Revisando la literatura nos encontramos dos
definiciones distintas que responden a dos convenios diferentes. Los dos convenios
son correctos siempre que no se mezclen entre si.
Convenio A.- Llamaremos matriz de rotación entre los sistemas de referencia I
y F , y la representaremos por el śımbolo R a la matriz RIF que permite expresar
el vector xI como producto de la matriz R por el vector xF .
Convenio B.- Llamaremos matriz de rotación entre los sistemas de referencia I
y F , y la representaremos por el śımbolo eR a la matriz RFI que permite expresar
el vector xF como producto de la matriz eR por el vector xI .
Puede parecer absurdo introducir en este texto ambos convenios, sobre todo
después de haber establecido inicialmente una notación que no contiene ninguna
ambigüedad, sin embargo, hemos preferido introducir las dos notaciones con ob-
jeto de no modificar expresiones que son de uso común en la comunidad cient́ıfica,
en la que no siempre coincide el convenio utilizado para expresar las rotaciones.
Siempre que sea posible utilizaremos los sub́ındices para evitar confusiones, en
otros casos utilizaremos la notación con o sin tilde para especificar el convenio
utilizado sin recordarlo en cada caso.
2.3 Composición de rotaciones
Supongamos que partimos de un sistema de referencia S
1
y vamos aplicando
sucesivamente rotaciones que pasan de S
1
a S
2
, de S
2
a S
3
, etc. Llamaremos,
respectivamente,
R
i
= RSiSi+1
, eR
i
= RSi+1Si
,
a las matrices de cada rotación en ambos convenios.
Sustituyendo sucesivamente el vector xSi
por el producto RSiSi+1
xSi+1
se
podrá poner
xS1
= RS1S2
RS2S3
. . .RSn�1Sn
xSn
, (2.12)
obteniéndose la matriz de giro como producto de las sucesivas matrices de giro en
el orden en que éstos se producen.
La expresión (2.12) puede ponerse también en la forma
xS1
= RxSn
, xSn
= eRxS1
, (2.13)
donde hemos llamado
R