Enfriamento de Café

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M
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¿Qué se enfría más rápido, una taza de café caliente a la que se le agrega leche 
fría y después se deja que se enfríe más, o una taza de café caliente que se 
deja enfriar primero y que al final se le agregue leche fría? Es una pregunta 
recurrente en cursos de Cálculo y en cursos de Ecuaciones Diferenciales. La 
Ley de Enfriamiento de Newton la responde y en este libro “Actividades y 
Proyectos para la clase de Matemáticas” es abordada de una manera que en 
salón de clase sea más atractiva y evidente para los alumnos.
En cinco capítulos los autores de esta obra nos presentan diferentes activida-
des didácticas sobre temas variados de la matemática escolar. Las actividades 
son resultado de proyectos de investigación y de la experiencia docente de 
los participantes y ya han sido probadas en aulas de clase.
En el capítulo uno las actividades didácticas tienen como interés principal 
introducir a los alumnos en la actividad de modelar situaciones que sean 
cercanas a su vida diaria. El capítulo dos aborda temas del álgebra, materia 
que suele ser complicada para los alumnos de nivel medio, y es común que 
represente un serio obstáculo en su avance.
Las transformaciones lineales son muy importantes en la matemática pues 
aparecen en muy diversos contextos y tienen una amplia gama de aplicacio-
nes. Desarrollar este concepto basándose en el contexto geométrico puede 
tener como gran apoyo el uso de la visión, y las actividades del tercer capítulo 
permiten que el estudiante construya y desarrolle las ideas centrales de la 
transformación lineal.
El capítulo cuatro tiene algunos retos para el alumno pues las actividades 
incluidas requerirán que los estudiantes apliquen conocimientos de cursos 
previos. La creatividad aparecerá cuando los estudiantes deban diseñar un 
foco y un plato para perro, y usarán lo aprendido en cursos anteriores para 
construir una chimenea hiperbólica. El capítulo final tiene dos experimen-
tos que pueden realizarse dentro del aula de clase. Éstos permitirán que los 
alumnos obtengan leyes físicas de difícil comprensión.
ACTIVIDADES Y 
PROYECTOS PARA 
LA CLASE DE 
MATEMÁTICAS
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Actividades y proyectos para la clase de Matemáticas
© Dr. Apolo Castañeda Alonso
© Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
© Dra. Avenilde Romo Vázquez
© M. C. Elvia Rosa Ruiz Ledezma
© Dr. Fermín Acosta Magallanes
© Ing. Héctor Hernández Guzmán
© M. C. Jorge Luis Rosas Mendoza
© M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta
© M. N. E. E. Leticia del Rocío Pardo Mota
© M. C. María del Consuelo Macias González
© Dr. Mario Sánchez Aguilar
D. R. © Editorial Lectorum, S. A. de C. V., 2013
Batalla de Casa Blanca Manzana 147 A Lote 1621
Col. Leyes de Reforma, 3a. Sección
C. P. 09310, México, D. F.
Tel. 5581 3202
www.lectorum.com.mx
ventas@lectorum.com.mx
Primera edición: noviembre de 2013
ISBN: 978-847-62-7059-2
Características tipográficas aseguradas conforme a la ley.
Prohibida la reproducción parcial o total sin autorización escrita
del editor.
Impreso y encuadernado en México.
Printed and bound in Mexico.
actividades y 
proyectos para 
la clase de 
matemáticas
Alejandro Miguel Rosas Mendoza 
Editor
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ÍNDICE
Presentación 5
Autores 7
Resúmenes 9
Modelación 15
¿Qué producto conviene comprar? 17
¿Cómo varían el área y perímetro de un círculo? 19
Predicción del tipo de cambio 23
Buscando trayectorias 27
Álgebra 35
Una introducción a la factorización de expresiones algebraicas 37
El teorema del cambio de base en logaritmos 43
¿Qué plan escoges? 49
La función racional 53
Álgebra lineal 57
Propiedades de la transformación lineal en contexto geométrico 59
La transformación lineal en contexto geométrico 63
La transformación lineal en contexto geométrico-algebraico 69
Cálculo 75
Focos para navidad 77
Chimeneas hiperbólicas 81
Platos de mascotas 85
Modelación en el aula 89
Dulces y el comportamiento logarítmico 91
Newton en un horno de microondas 95
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PRESENTACIÓN
Algunas de las críticas que más frecuentemente se le hacen a la investi-
gación son su lejanía con el aula de clases, también suele mencionarse 
que se realiza en situaciones alejadas de la realidad, en ambientes con-
trolados muy diferentes a lo que sucede en un salón de clase y que se 
realiza con unos pocos alumnos seleccionados (muchas veces alumnos 
avanzados). Sin embargo, en el curso de algunas investigaciones se ha-
cen diseños didácticos que se prueban en grupos escolares, se analizan 
los resultados y posteriormente se modifican de manera que se obtiene 
una actividad didáctica más depurada que la original.
En un esfuerzo para cerrar la brecha entre las investigaciones y el aula 
de clases hemos realizado una selección de actividades didácticas en 
un amplio rango de temas y niveles educativos. A manera de apoyo 
para el profesor las actividades se presentan con una estructura que 
incluye el tema que aborda, el objetivo, los materiales necesarios para 
su aplicación, la duración en clases de una hora, sugerencias para la 
aplicación de la actividad, bibliografía mínima que da el soporte teóri-
co así como algunos elementos que el profesor puede tomar en cuenta 
al momento de hacer la evaluación de las respuestas que generarán 
sus alumnos.
Adicionalmente se han incluido sugerencias de modificación de cada 
actividad para que se le puedan hacer las adecuaciones necesarias para 
un nivel educativo diferente a aquél para el que fue diseñada.
Consideramos que es difícil escribir actividades didácticas que sean 
adecuadas a cualquier nivel educativo y más tomando en cuenta los di-
versos sistemas escolares y sus múltiples planes y programas de estudio. 
Es por esta razón que se ha incluido la mayor cantidad de elementos 
descriptores de cada actividad contenida en esta obra, en un intento 
de que el profesor tenga suficientes elementos para adecuarlas a su 
contexto escolar.
En la estructura de cada actividad presentada en esta obra hemos 
planeado que, quien decida aplicarla en su curso, pueda tomar direc-
tamente el contenido escrito entre los subtítulos “actividad” y “mate-
riales necesarios” y usarla en su clase. La sección de “sugerencias 
para su aplicación” contiene comentarios que buscan facilitar el tra-
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
bajo en el salón. Algunas de esas sugerencias surgieron al observar las 
sesiones en que se aplicaron esas actividades a grupos de estudiantes y 
los problemas inesperados que surgieron en ese momento.
Este libro contiene actividades en cinco áreas de la matemática: 
Modelación, Álgebra, Álgebra Lineal, Cálculo y Modelación en el aula. 
Todas las actividades cubren los niveles Básico, Medio, Medio Superior 
y Superior.
Esperamos que las actividades contenidas en esta obra sirvan de apoyo 
para la creatividad e inventiva que los profesores aplican en sus aulas 
cada día que se presentan ante sus alumnos. Este libro de actividades 
didácticas inició como una pequeña aventura, la cual fue creciendo 
con la participación y el apoyo de los autores participantes. Deseamos 
que al final la aventura sea provechosa para todos.
Alejandro Miguel Rosas Mendoza
Editor
México D.F., Agosto de 2013.
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AUTORES
Dr. Apolo Castañeda Alonso
Profesor Investigador 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional 
Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
Profesor Investigador 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional 
Dra. Avenilde RomoVázquez
Profesora Investigadora 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional 
M. C. Elvia Rosa Ruiz Ledezma
Profesora
Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos 11 “Wilfrido Massieu”
Instituto Politécnico Nacional 
Dr. Fermín Acosta Magallanes
Profesor
Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías 
Avanzadas
Instituto Politécnico Nacional 
Ing. Héctor Hernández Guzmán
Profesor
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli
Profesor
Facultad de Estudios Superiores de Cuautitlán
M.C. Jorge Luis Rosas Mendoza
Profesor
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología
Instituto Politécnico Nacional 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta
Profesor Investigador 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional 
M.N.E.E. Leticia del Rocío Pardo Mota
Directora
Centro de Atención Múltiple #8
Departamento de Educación Especial
Secretaría de Educación de Veracruz
M.C. María del Consuelo Macias González
Profesora
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli
Dr. Mario Sánchez Aguilar
Profesor Investigador 
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Instituto Politécnico Nacional 
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RESÚMENES
Modelación
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Mario Sánchez Aguilar, Fermín 
Acosta Magallanes, Elvia Rosa Ruiz Ledezma, María del 
Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez
¿Qué producto conviene comprar?
En esta actividad se plantea al estudiante una situación de la vida coti-
diana en la que podría utilizar la operación división para resolverla o 
inclusive argumentos no matemáticos.
¿Cómo varían el área y perímetro de un círculo?
El calcular las diferencias entre dos cantidades ha sido identificado por 
los autores como una herramienta de análisis que se utilizó durante 
la génesis del cálculo; esta noción de diferencia puede ser utilizada 
en la clase de matemáticas para estudiar la variación de magnitudes 
geométricas interrelacionadas. En esta actividad se expone un ejemplo 
de ello, en el cual se hace un análisis de la forma y la manera en que 
varía el área y el perímetro de un círculo cuando su radio cambia.
Predicción del tipo de cambio 
En la actividad se plantea la pregunta de predecir el tipo de cambio del 
peso mexicano comparado con el dólar americano a partir de datos 
reales. Para realizar la predicción se propone ajustar los datos a una 
recta de regresión lineal de manera que puedan interpretarla como 
una función lineal y así generar su predicción. Además se plantea la 
reflexión sobre la posibilidad de aplicar la matemática como ciencia 
teórica en el llamado “mundo real”.
Buscando trayectorias
En esta secuencia se busca representar la trayectoria de un móvil 
mediante una función vectorial así como reconocer que ésta puede 
transformarse en una función de variable real. Dicha transforma-
ción requiere que el estudiante reconozca que una función vectorial 
F, F:I ⊂ R → R2, de la forma F(t) = x(t)i +y(t)j donde x y y están en función 
del tiempo y son funciones paramétricas de y(x), definida a su vez sobre 
R o sobre I ⊂ R. Para pasar de F(t) a y(x) la técnica matemática, en los 
casos donde esto es posible, consiste en eliminar al parámetro t en una 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
de las funciones paramétricas y sustituirla en la otra. Determinar la 
justificación que sustenta esta técnica y más aún exponer las razones 
que motivan el paso de una función vectorial a una función real nos 
parece que no es natural ni evidente. Las tareas de esta secuencia se 
han diseñado para conseguirlo de manera gradual.
Álgebra
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza , 
Apolo Castañeda Alonso, Leticia del Rocío Pardo Mota, Elvia 
Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes
Una introducción a la factorización 
de expresiones algebraicas 
Esta secuencia pretende fomentar en los estudiantes una idea de fac-
torización con base en la conservación de la equivalencia entre expre-
siones matemáticas: aritméticas o algebraicas.
El teorema del cambio de base en logaritmos 
En esta actividad se construye el teorema de cambio de base en loga-
ritmos utilizando gráficas de funciones concretas.
¿Qué plan escoges?
En esta actividad a los estudiantes se les presenta la posibilidad de 
adquirir un automóvil con diferentes planes de financiamiento. Para 
realizar su elección deben calcular cuál será el costo final del automóvil 
de modo que puedan elegir aquél que sea el más barato. Durante el 
desarrollo de la actividad se les solicita que calculen el interés total que 
sobre el precio de lista se paga durante el financiamiento.
La función racional
En esta actividad a los estudiantes se les presenta una tabla donde se 
concentran algunos puntos que pertenecen a una función racional 
propuesta con la idea de que el estudiante al introducir los valores en 
una pantalla de Excel observe el comportamiento numérico y gráfico 
de la función para llegar a la notación algebraica de la función. Además, 
se les proporcionan otras tablas para que analicen y relacionen con los 
comportamientos al infinito. Durante el desarrollo de la actividad se 
les solicita que lleguen a utilizar una adecuada notación matemática, 
con el fin de que se percaten de los conceptos asociados a las funciones 
racionales, como son el de infinito y el de límite, primero alrededor 
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de un valor en el dominio x = c y segundo cuando la variable indepen-
diente x crece en valor absoluto hacia los infinitos positivo y negativo. 
La función racional que hace ciertos los puntos de la tabla no es única. 
Dado que se presenta un contexto numérico, el dominio no es explícito 
y en consecuencia se permiten discontinuidades de hueco. El estudian-
te puede dar como resultado diversas funciones con las características 
mencionadas.
Álgebra lineal
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas 
Mendoza y Héctor Hernández Guzmán
Propiedades de la transformación 
lineal en contexto geométrico
En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las dos pro-
piedades que dan el carácter de lineal a una transformación en R2, esto 
en un contexto geométrico. 
La transformación lineal en contexto geométrico
En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las trans-
formaciones lineales en R2 un contexto geométrico, sin abordar las 
propiedades que le dan el carácter lineal a las transformaciones. 
La transformación lineal en contexto 
geométrico-algebraico 
Esta actividad involucra al estudiante en la construcción del modelo 
algebraico que representa transformaciones lineales en R2. La discu-
sión de la linealidad no se aborda en esta actividad. 
cÁlculo
Alejandro Miguel Rosas Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota
Focos para navidad
En esta actividad los estudiantes deben diseñar un foco utilizando una 
función cualquiera elegida por ellos y que al rotar sobre el eje x genere 
el sólido de revolución del foco. Se proporciona un ejemplo de la forma 
en que se obtiene un foco modelo flama al girar la región alrededor del 
eje x. Como una manera de incluir elementos de la vida diaria los alum-
nos también deberán realizar cálculos adicionales sobre el volumen del 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
cristal utilizado y su costo para proporcionar de manera aproximada 
el costo de producción del foco que diseñaron. 
Chimeneas hiperbólicas
En esta actividad los estudiantes realizarán la aplicación de sus cono-
cimientos sobre el cálculo de volúmenes utilizando cálculo integral. 
Basándose en la chimenea de una planta nuclearreal, los estudiantes 
deberán ajustar los valores que se les proporcionan para encontrar la 
ecuación de la hipérbola que al girar genera el hiperboloide que se 
utiliza como chimenea. Una vez que han calculado la ecuación encon-
trarán el área superficial de la chimenea y su volumen mediante téc-
nicas de cálculo integral. Finalmente utilizando el material que elijan 
construirán un modelo a escala 1cm:10m.
Platos de mascotas
En esta actividad los estudiantes deberán diseñar un plato para la co-
mida de una mascota (perro o gato) para lo cual podrán utilizar la fun-
ción que ellos elijan. Adicionalmente los estudiantes deben responder 
otras preguntas relacionadas con este ejercicio que les permita asociar 
temas no matemáticos a la solución de esta actividad.
Modelación en el aula
Alejandro Miguel Rosas Mendoza, Jorge Luis Rosas 
Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota
Dulces y el comportamiento logarítmico
En esta actividad los estudiantes realizarán un experimento en el que se 
utilizarán dulces con dos caras posibles (una lisa y la otra con una “m”). 
Los alumnos arrojarán los dulces sobre una mesa y retirarán aquellos 
cuya letra “m” quede hacia arriba. Se repetirá esta acción hasta retirar 
todos o que sólo quede uno. Al graficar los alumnos observarán un 
comportamiento del tipo decaimiento.
Newton en un horno de microondas
En esta actividad los estudiantes trabajarán con tazas de agua a diferen-
tes temperaturas iniciales de modo que puedan observar que entre más 
grande es la diferencia de temperatura de un objeto con la temperatura 
del medio es mayor la tasa de enfriamiento de ese objeto.
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MODELACIÓN
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Mario Sánchez Aguilar, Fermín 
Acosta Magallanes, Elvia Rosa Ruiz Ledezma, María del 
Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez
En este capítulo los autores nos presentan cuatro actividades didácticas 
cuya idea central es introducir a los alumnos en la actividad de modelar 
situaciones. La primera actividad aborda un problema que puede en-
frentar un alumno al llegar a una tienda y tener que tomar la decisión 
de comprar o no una presentación específica de un producto.
En la segunda actividad los alumnos enfrentarán dos diferentes formas 
de variación de variables a partir de un mismo objeto matemático: el 
círculo. “Cuando tenemos una fórmula la aplicamos y ya, pero cuando 
no hay fórmula, ¿qué se hace prof?” Es una pregunta recurrente en 
los alumnos que la tercera actividad se encamina a resolver. La última 
actividad del capítulo busca generar en los alumnos el concepto de 
función vectorial a partir de trabajar con un contexto adecuado.
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
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modelación
¿Qué producto conviene coMprar?
Juan Gabriel Molina Zavaleta y Mario Sánchez Aguilar
Tema: Aritmética.
Nivel educativo: Secundaria y bachillerato.
Objetivos: Utilizar operaciones aritméticas para tomar decisiones 
sobre el costo de los productos y fomentar valores morales entre los 
estudiantes.
Resumen de la actividad
En esta actividad se plantea al estudiante una situación de la vida coti-
diana en la que podría utilizar la operación división para resolverla o 
inclusive argumentos no matemáticos.
Actividad 
En un centro comercial los frijoles de la marca “La Moreniux” se ofre-
cen en dos presentaciones: 
1. En lata, de 440 gramos a un precio de $11.10 pesos 
2. En bolsa de plástico, de 430 gramos a un precio de $10.80 pesos
Responda:
¿Qué presentación del producto conviene comprar?
__________________________________
¿Por qué?
_____________________________________________ 
_____________________________________________ 
_______________________________________________ 
Materiales necesarios
Lápiz, papel, calculadora básica. 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Duración 
1 hora de clase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta 
tres personas. El profesor podría plantear la pregunta a cada equipo y 
darles 15 minutos de tiempo para que trabajen en ella; posteriormen-
te cada equipo expone su solución o su avance en la solución a la tarea. 
Después el profesor retoma la solución dada por alguno de los equipos 
(si es el caso) y la formaliza.
Sugerencias para la evaluación
El profesor podría evaluar los argumentos de la solución a la que llega-
ron los estudiantes en cada tarea y la actitud de los estudiantes hacia 
la discusión de la solución.
Respuesta 
Dividir el costo de cada presentación de los frijoles entre el número de 
gramos para determinar el valor del gramo en cada presentación del 
producto. El que resulte menor podría ser un candidato; sin embargo 
en esta actividad pueden aparecer argumentos no matemáticos, por 
ejemplo, una presentación del producto podría contaminar más que 
otra y dado que la diferencia real del precio es muy pequeña, entonces 
podría convenir comprar la que sale más cara por gramo porque con-
taminaría menos (de esta manera se espera fomentar los valores entre 
los estudiantes). 
Bibliografía
Aguilar, M. y Zavaleta, J.G. (2012). On the links between mathematics 
education and democracy: A literature review. Phytagoras, 33(2), 5-19. doi: 
http://dx.doi.org/10.4102/pythagoras.v33i2.164
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
Esta actividad puede ser modificada utilizando otros productos o 
servicios que ofrecen las diferentes compañías en el país; por ejemplo: 
Comparando los paquetes de renta mensual que ofrezcan dos compa-
ñías telefónicas ¿qué plan de renta mensual conviene contratar? Esta 
actividad se enriquece promoviendo que también se consideren los 
argumentos no matemáticos (como el impacto en el medio ambiente) 
para fomentar valores y actitudes entre los estudiantes.
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modelación
¿cóMo varían el Área y períMetro de un círculo? 
Juan Gabriel Molina Zavaleta y Mario Sánchez Aguilar
Tema: Introducción a la derivada.
Nivel educativo: Medio Superior y Superior.
Objetivo: Conocer el método de cálculo de diferencias.
Resumen de la actividad
El calcular las diferencias entre dos cantidades ha sido identificado por 
los autores como una herramienta de análisis que se utilizó durante 
la génesis del cálculo; esta noción de diferencia puede ser utilizada 
en la clase de matemáticas para estudiar la variación de magnitudes 
geométricas interrelacionadas. En esta actividad se expone un ejemplo 
de ello en el cual se hace un análisis de la forma y la manera en que 
varía el área y el perímetro de un círculo cuando su radio cambia.
Actividad 
Considérese un círculo cuya longitud inicial del radio es igual a cero 
unidades y comienza a crecer de una unidad en una unidad.
Círculo con radio de 4 unidades Tabla 1. Áreas y perímetros del 
círculo para distintos radios
Responda:
¿Qué pasa con el área del círculo cuando el radio aumenta una unidad? 
________________________________
 ¿Qué pasa con el perímetro de la circunferencia cuando el radio au-
menta una unidad? ___________________________
¿Crecen de la misma manera el área y la circunferencia?
_____________________________________
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Para responder las anteriores preguntas sobre la tabla 1, considere las 
columnas marcadas con “B” y “C” y calcule las diferencias entre las 
filas 2, 3, 4, etc., de la manera siguiente: B3 – B2 = 9.43 y C3 – C2= 6.29.
Diferencias del área: Diferencias del perímetro:
B3 – B2=
B4 – B3=
B5 – B4=
B6 – B5=
B7 – B6=
B8 – B7=
B9 – B8=
B10 – B9=
B11– B10=
C3 – C2=
C4 – C3=
C5 – C4=
C6 – C5=
C7 – C6=
C8 – C7=
C9 – C8=
C10 – C9=
C11 – C10=
 Siguiendo el razonamiento de la actividad anterior, calcule las segun-
das diferencias; es decir las diferencias de las diferencias para el área 
y el perímetro. Por ejemplo para el caso de las áreas si B11-B10=59.69 
y B10-B9=53.41 las segundas diferencias son las restas entre estas dos 
cantidades resultantes, 59.69-53.41=6.28. Observe qué ocurre con estas 
cantidades.
Materiales necesarios
Calculadora, lápiz, papel; también puede utilizarse un software de 
geometría dinámica como GeoGebra.
Duración 
1 hora de clase o un día de trabajo extra clase.
Sugerencias para la aplicación
La actividad se pude abordar por fases, considerando primero el caso 
de las áreas y después el perímetro. Las tres preguntas tienen la inten-
ción de abrir la discusión con los estudiantes; la respuesta inmediata 
a las primeras dos preguntas que pueden proporcionar los pupilos 
es que en ambos casos el área o el perímetro aumentan; sin embargo 
responder a la tercer pregunta requiere calcular diferencias. La activi-
dad puede ser utilizada para trabajar de manera individual como una 
introducción al estudio de la variación de cantidades en un contexto 
geométrico-aritmético; esto podría proporcionar una base sólida para 
la asimilación de este tipo de conocimientos.
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modelación
Respuestas
Diferencias del área:
 B3 - B2 = 12.56637 - π = 9.42478
 B4 - B3 = 28.27433 - 12.56637 = 15.70796
 ፧
 B11 - B10 = 314.15927 - 254.469 = 59.69026
Diferencias del perímetro: 
 C3 - C2 = 12.56637 - 6.28319 = 6.28319
 C4 - C3 = 18.849556 - 12.56637 = 6.28319
 ፧
 C11 - C10 = 62.83185 - 56.54867 = 6.28319
acerca de las segundas diferencias: El hecho de que los valores 
constantes, obtenidos durante el cálculo de las primeras diferencias 
para el caso de la circunferencia y de las segundas diferencias del área 
sean aproximadamente igual a 2π, se encuentra estrechamente ligado 
al concepto de derivada, ya que la idea de diferencia es la base de 
la estructura de dicho concepto matemático. En el caso que se está 
tratando al calcular las segundas diferencias de los valores del área se 
obtiene 6.28319 ≈ 2π; de manera similar al derivar con respecto a r dos 
veces la fórmula para calcular el área de un círculo A = πr2, se tiene que:
A = πr2
A' = 2πr
A" = 2π
Sugerencias para la evaluación
La calificación puede basarse en los cálculos correctos de las diferen-
cias y verificar si los estudiantes advirtieron las diferencias en la forma 
en que varía el aumento de área con respecto al perímetro.
Bibliografía
Aguilar, M. (2006). Introducción a la derivada en un contexto tecnológico-va-
riacional. Números, 64(1), 1-10. Obtenido de http://www.sinewton.org/nume-
ros/numeros/64/ideas_02.pdf 
Newton, I. (1686). Philosophia Naturalis Principia Mathematica. Londini: 
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22
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Jussu Soc, Regiæ ac Typis J. Strater. Obtenido de http://www.gutenberg.org/
files/28233/28233-pdf.pdf
Newton, I. (1711). Analysis per quantitum series, fluxiones, ac differentias: 
cum enumeratione linearum tertii ordinis. Londini: Ex officina Pærsoniana. 
Obtenido de http://www.wilbourhall.org/pdfs/newton/Analysis1711WH.pdf
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
Esta actividad puede ser modificada para resolver otras situaciones; 
ejemplo:
A continuación se presentan tres tablas numéricas. A partir de las ta-
blas se puede preguntar a los alumnos: Determina cuál de estas tablas 
corresponde a una función lineal, cuál a una función cuadrática y cuál 
a una función cúbica.
x y
-3 -78
-2 -57.75
-1 -40.5
0 -26.25
1 -15
2 -6.75
3 -1.5
Tabla 1
x y
-3 624
-2 404.25
-1 243
0 131.25
1 60
2 20.25
3 3
Tabla 2
x y
-3 -29.25
-2 96
-1 221.25
0 346.5
1 471.75
2 597
3 722.25
Tabla 3
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modelación
predicción del tipo de caMbio
Fermín Acosta Magallanes y Elvia Rosa Ruiz Ledezma
Tema: Línea recta 
Nivel educativo: Medio Superior y Superior
Objetivo: Conocer aplicaciones de la función lineal como instrumen-
to predictivo. Se usa la recta de regresión lineal para mostrar aplica-
ciones de la función lineal.
Resumen de la actividad
En la actividad se plantea la pregunta de predecir el tipo de cambio del 
peso mexicano comparado con el dólar americano a partir de datos 
reales. Para realizar la predicción se propone ajustar los datos a una 
recta de regresión lineal de manera que puedan interpretarla como 
una función lineal y así generar su predicción. Además se plantea la 
reflexión sobre la posibilidad de aplicar la matemática como ciencia 
teórica en el llamado “mundo real”.
Actividad
Al examinar el mundo real, los datos difícilmente se comportan de 
acuerdo a una regla matemática exacta, como los puntos sobre una rec-
ta o parábola. Entonces es necesario usar aproximaciones. Para ajustar 
un conjunto de datos del mundo real por medio de una recta utilizamos 
el método de ajuste de mínimos cuadrados. Por ejemplo, si considera-
mos cinco datos dados como parejas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5) 
y suponemos que queremos encontrar la recta que mejor ajusta a los 
puntos (es decir, queremos encontrar la recta que “mejor” represente 
al grupo de puntos) dada por 
y = mx+b
Utilizamos las siguientes fórmulas, considerando n = 5 en este ejemplo
,x x x x x x y y y y y yi
i
i
i
1 2 3 4 5
1
5
1 2 3 4 5
1
5
= + + + + = + + + +
= =
/ /
 
y x y x y x y x y x y xi i
i 1
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5= + + + +
=
/
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xi
i
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
1
5
= + + + +
=
/
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
,S x
x
S y x
y x
5 5xx i
i i
xy
i
i i
i i i i
i
2 1
5 2
1
5
0
5
0
5
1
5/ / /
= - = -
=
=
= =
=
^ ^ ^h h h/ /
Finalmente las fórmulas para obtener m y b son:
m S
S
y b n
y m x
xy
xy i
n
i i
n
i1 1/ /
= =
-= =
Como ejemplo, considere el problema de predecir el tipo de cambio 
del peso mexicano frente al dólar americano para el día 13 de Mayo de 
2013, dados los siguientes datos obtenidos de la página de internet del 
sat (Servicio de Administración Tributaria en México)
Día Mayo (2013)
6 12.0851
7 12.1074
8 12.0733
9 12.0393
10 11.9807
Para mayor facilidad podemos ampliar la tabla a 
Número de dato Día (xi) Mayo (yi) xi
2 xi yi
1 6 12.0851 36 72.5106
2 7 12.1074 49 84.7518
3 8 12.0733 64 96.5864
4 9 12.0393 81 108.3537
5 10 11.9807 100 119.807
SUMA 40 60.2858 330 482.0095
xi
i
n
1=
/ yi
i
n
1=
/ xi
i
n
2
1=
/ y xi i
i
n
1=
/
De esta manera podemos aplicar las fórmulas y obtener
, . , . , .S S m b10 0 2769 0 02769 12 27868xx xy= =- =- =
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25
modelación
De donde se obtiene 
. .y mx b x0 02769 12 27868= + =- +
Y sustituyendo obtenemos nuestra predicción al sustituir x = 13 en la 
ecuación
. . .y 0 02769 13 12 27868 11 91871)=- + =
Ahora, formule un reporte en donde responda las siguientes preguntas:
1. Considere el día en que vive y consulte el tipo de cambio del peso 
mexicano frente al dólar americano. 
2. Elija una cierta cantidad de datos (mínimo 5). En el ejemplo fue-
ron cinco datos, pero podría cambiar la cantidad si así lo considera 
¿Cuántos datos podría elegir como mínimo para ajustar una recta? 
¿Cuántos datos podría elegir como máximo para ajustar una recta?
3. Ajuste sus datos usando el método de mínimos cuadrados. ¿Qué 
significado tiene la pendiente m? ¿Qué interpretación le puede dar 
a la ordenada al origen b?
4. Grafique los datos y la recta ajustada. ¿La recta ajustada “represen-
ta” adecuadamente el conjunto de puntos? Justifique su respuesta. 
5. Usando la función lineal obtenida encuentre un valor de tipo de 
cambio como valorfuturo. ¿Cuántas estimaciones considera que 
puede predecir en el futuro con base en sus datos? Si cambia la can-
tidad de datos para hacer la predicción ¿Cambiaría su estimación 
para el tipo de cambio?
6. Probablemente tus datos no coinciden con los puntos sobre una 
recta. ¿Te parece válido que se ocupe la recta para representar los 
datos? 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Materiales necesarios
Calculadora, lápiz, papel. Requiere buscar información por internet. 
Duración 
1:30 hora de clase o un día de trabajo extraclase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad se puede trabajar de manera individual o colaborativa. 
Como se requiere información que se puede obtener en Internet se 
puede dejar como actividad extraclase. En el nivel medio superior se 
sugiere que la actividad sea asignada como trabajo extraclase y cola-
borativa para fomentar la discusión del grupo. 
Sugerencias para la evaluación
Se puede evaluar como primer rubro el repetir el ejemplo con detalle 
en los cálculos. Se sugiere evaluar el nivel de argumentación de las 
respuestas y la exactitud de los cálculos sobre valores futuros.
Bibliografía
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadís-
tica para ingeniería y ciencias (9a. ed.). México: Pearson. 
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
La actividad puede cambiarse a cualquier grupo de datos que se com-
porten de manera aproximadamente lineal. Consideraciones sobre la 
calidad del ajuste se pueden obviar ya que el análisis en este sentido es 
cualitativo. Se puede trabajar en la clase con una computadora y pro-
yector para encontrar la información y verificar las fórmulas y gráficas 
con cualquier hoja de cálculo, por ejemplo excel, o en algún labora-
torio de cómputo. Se puede cerrar la actividad comentando sobre la 
necesidad de “ajustar” la teoría a la realidad, para encontrar las aplica-
ciones que tanto nos piden los alumnos en clase. Es posible introducir 
el concepto de estadística para trabajar los datos y probabilidad para 
manejar errores.
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modelación
buscando trayectorias
María del Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez
Tema: Funciones vectoriales
Nivel educativo: Primer año de universidad (los estudiantes deben 
saber calcular la primera y segunda derivada de una función)
Objetivo: Esta secuencia se conforma por diferentes tareas con el ob-
jetivo de que los estudiantes conozcan una aplicación de las funciones 
vectoriales: la representación de la trayectoria de un móvil. Para lo 
cual, se requieren los conceptos de vector posición, vector velocidad y 
vector aceleración.
De esta manera, una trayectoria seguida por un móvil puede repre-
sentarse como una sucesión de posiciones a través de los vectores posi-
ción, los cuales tienen el mismo origen. La velocidad y la aceleración 
también son representadas vectorialmente (vector velocidad y vector 
aceleración). 
Resumen de la actividad
En esta secuencia se busca representar la trayectoria de un móvil me-
diante una función vectorial así como reconocer que ésta puede trans-
formarse en una función de variable real. Dicha transformación requie-
re que el estudiante reconozca que una función vectorial F, F: I ⊂ R→ R2, 
de la forma F(t) = x(t)i +y(t)j donde x y y están en función del tiempo y son 
funciones paramétricas de y(x), definida a su vez sobre R o sobre I ⊂ R. 
Para pasar de F(t) a y(x) la técnica matemática, en los casos donde esto 
es posible, consiste en eliminar al parámetro t en una de las funciones 
paramétricas y sustituirla en la otra. Determinar la justificación que 
sustenta esta técnica y más aún exponer las razones que motivan el 
paso de una función vectorial a una función real nos parece que no es 
natural ni evidente. Las tareas de esta secuencia se han diseñado para 
conseguirlo de manera gradual.
Descripción
La secuencia está compuesta de 5 tareas, propuestas en un contexto 
no matemático, en el cual un ingeniero llamado Pepito Creatividad 
debe analizar la trayectoria de diferentes móviles y ha sido diseñada 
utilizando el programa computacional Geogebra con el objetivo 
de poder graficar tanto las trayectorias como los vectores posición, 
velocidad y aceleración. Conocer Geogebra no es un requisito para 
los estudiantes que enfrenten la secuencia, para las actividades 1 y 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
2 se ha relatado una guía de uso de las funciones del programa que 
son requeridas. Dichas guías son suficientes para desarrollar toda la 
secuencia. 
Actividad
tarea 1
Pepito Creatividad es un ingeniero a quien se la ha solicitado encontrar 
la trayectoria de un móvil conocido como “luna”, las primeras informa-
ciones que recibe le indican que “luna” pasa por los siguientes puntos: 
a, b, c, d, e, f y g; cuyas coordenadas son:
a = (-3.93, 0.92), b = (-2.5, 3.93), c = (0, 6.75), d = (2.43, 6.49), 
e = (4.5, 3.94) y f = (6, 0.75)
Con ayuda de geogebra, localiza en el plano XY las coordenadas an-
teriores.
Coloca aquí el plano con los puntos localizados (Figura 1):
 
Figura 1
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29
modelación
tarea 2
Para determinar la trayectoria del móvil “luna”, Pepito Creatividad de-
cide trazar el vector posición para cada uno de los puntos. En la figura 
2 se ha trazado el vector posición r0 correspondiente al punto a, cuyas 
coordenadas son (-3.93, 0.92).
Figura. 2 Vector posición r0
Con ayuda de Geogebra traza los vectores posición r, para cada uno 
de los puntos localizados anteriormente, donde r0 estará asociado al 
punto a, r1 estará asociado al punto b, r2 al punto c y así sucesivamente.
 
Figura 3 
Vectores posición
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
tarea 3
El ingeniero recibe una nueva figura (Figura 3), donde se muestran 
más puntos por los cuales pasó el móvil “luna”. 
Figura 3. Puntos por donde pasa el móvil luna.
a. Utilizando la Figura 3 traza el vector posición para cada uno de 
los puntos a, b, c, d, e y f.
b. Al trazar los vectores posición de los puntos a, b, c, d, e y f (Figura 
2) y de los puntos a, b, c, d, e y f (Figura 3). ¿Podrías generar una 
gráfica de la trayectoria que siguió “luna”?
c. ¿Podrías decir con certeza que la trayectoria que encuentras en el 
inciso anterior es la que siguió el móvil luna? 
¿Por qué sí?
¿Por qué no?
d. Pepito está interesado en conocer las posiciones que ha seguido 
“luna” pero esta vez con respecto del tiempo. Consideremos que 
en esta trayectoria cada punto es de la forma P(x(t), y(t)) donde 
x(t)= 2t – 3. Para conocer las posiciones con respecto del tiempo 
completa la tabla, para los puntos en letras minúsculas consulta 
la figura 3:
 
Figura 4 
Gráfica de la trayectoria de “luna”
Actividades y proyectos.indd 30 10/9/2013 12:05:09 AM
31
modelación
Punto x(t) y(t) x(t) = 2t - 3 t
A -3.93 0.92
a
B -2.5 3.93
b
C 0 6.75
c
D 2.43 6.49
d
E 4.5 3.94
e
F 6.0 0.75
f
e. Pepito quiere conocer cuáles son las posiciones que ocupó “luna” 
en los siguientes tiempos, t=-2, -1, 0.5, 2, 3, 4 y 5. Pepito sabe que 
la posición r(t) está dada por r(t)= x(t)i +y(t)j. Completa la siguiente 
tabla: 
t x(t)= 2t - 3 y(t) = 3 + 4t - t2 r(t)= x(t)i +y(t)j
-2
-1
0.5 -2 4.75 -2i+4.75j
2
3
4
5
f. Pepito quiere conocer con qué velocidad se desplazó “luna” en los 
tiempos t = -2, -1, 0.5, 2, 3, 4 y 5. Conociendo la trayectoria r(t) de 
un móvil, es posible realizar el cálculo de la velocidad de la siguien-
te manera: v(t) = r'(t). Completa la siguiente tabla:
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
t r(t) v(t)
-2
-1
0.5
2
3
4
5
tarea 4
Un móvil llamado “espejo humeante” tieneuna trayectoria descrita en 
un plano por r(t), con la siguiente forma r(t) = f(t)i + g(t)j = < f(t), g(t)>. 
Siendo f(t) y g(t) dos funciones paramétricas, es decir, están en función 
del tiempo. Para poder reconocer la expresión analítica de la función 
real (definida en r) de una curva dada por ecuaciones paramétricas, 
sería deseable eliminar el parámetro. En este caso, el parámetro es t, 
por lo que es necesario despejarlo en una ecuación y sustituirlo en la 
otra. 
a) Si x(t) = t2 + 2t y y(t) = t - 3 tomando en cuenta la información anterior, 
elimina el parámetro t.
b) Con la ayuda de Geogebra realiza la gráfica de la función real de la 
trayectoria r(t) del móvil “espejo humeante”.
Si la trayectoria del móvil “espejo humeante” esta descrita por: 
r(t) = (t2 + 2t)i+( t - 3)j
 
Figura 6 
Trayectoria r(t) del móvil “espejo humeante”
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33
modelación
c) Determina la posición de dicho móvil para los siguientes tiempos 
dados en segundos:
Tiempo (t) -250 0 300 720 1200
r(t)
Tabla 1. Posición del móvil espejo humeante
d) ¿Podrías encontrar la posición del móvil para cualquier tiempo 
dado?
e) ¿Por qué sí? O ¿Por qué no?
Cuando se conoce la trayectoria r(t) de un móvil, es posible realizar el 
cálculo de la velocidad de la siguiente manera: v(t) = r'(t) 
f) Encuentra la velocidad para los siguientes tiempos:
Tiempo (t) 0 250 300 720 1200
v(t)
Tabla 2. Velocidad del móvil espejo humeante
Cuando se conoce la trayectoria r(t) de un móvil, es posible realizar 
el cálculo de la aceleración de la siguiente manera: a(t) = v'(t) = r''(t)
g) Encuentra la aceleración para los siguientes tiempos:
Tiempo (t) 0 150 300 720 1200
a(t)
Tabla 3. Aceleración del móvil espejo humeante
h) Realiza una gráfica de la trayectoria que siguió el móvil “espejo 
humeante” y marca los vectores posición, los vectores velocidad y los 
vectores aceleración para t= 0, 150, 300, 720 y 1200.
Materiales necesarios
Para realizar esta actividad se requiere el programa computacional 
Geogebra, el cual puede descargarse gratuitamente en la red. Por lo 
tanto, se requiere computadoras o tabletas electrónicas. 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Duración 
Dos sesiones de dos horas. 
Sugerencias para la aplicación
Se sugiere que esta secuencia sea resuelta por parejas de estudiantes 
en un laboratorio de cómputo. Se deja a consideración del profesor la 
decisión de mencionarles a los alumnos que la tabla del inciso (d) de 
la Tarea 3 se completa despejando “t” para cada punto en mayúsculas. 
Por ejemplo, “A” es x(t)= - 3.93 y x(t)= 2t – 3, entonces –3.93 = 2t – 3 por 
lo tanto t = 0.465
Sugerencias para la evaluación
La Tarea 1 solicita sólo la ubicación de los puntos utilizando el pro-
grama Geogebra, se considera que los estudiantes no tendrán ningún 
problema en resolverla. Las tareas 2 y 3, solicitan representar la tra-
yectoria de un móvil a través de los vectores posición que tienen el 
mismo origen, dicha representación puede hacerse sin reconocer la 
función vectorial, pero si la relación posición con respecto del tiempo. 
Para completar las tablas los estudiantes tendrán que hacer cálculos 
simples basados en la sustitución de los valores de t en las expresiones 
algebraicas. Las tareas 4 y 5 implican reconocer la función vectorial y su 
paso a una función de variable real, estas son las tareas más complejas 
de la secuencia, los estudiantes deberán calcular la primera y segunda 
derivada de la función vectorial, para encontrar la velocidad y acelera-
ción del móvil, las cuales deberán ser graficadas junto con los vectores 
posición. Los estudiantes que logren hacer esta última gráfica habrán 
concluido satisfactoriamente la secuencia.
Bibliografía
Macias, C. (2012). Uso de las nuevas tecnologías en la formación matemática de 
ingenieros (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn, México.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente.
La secuencia puede modificarse en las actividades 4 y 5 para tratar con 
mayor detalle el paso de la función vectorial a la función de variable 
real, agregando algunas tareas que permitan mostrar porque tratar al-
gunos problemas con estos dos tipos de funciones resulta conveniente. 
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ÁLGEBRA
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza , 
Apolo Castañeda Alonso, Leticia del Rocío Pardo Mota, Elvia 
Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes
El álgebra es la primera materia abstracta de matemáticas que enfren-
tan los alumnos de nivel medio, y es común que represente un serio 
obstáculo en el avance escolar de los estudiantes. La primera actividad 
busca motivar el tema de factorización basándose en la conservación 
de la equivalencia.
Combinando la graficación y el álgebra la segunda actividad aborda la 
construcción del útil teorema de cambio de base en logaritmos. En la 
tercera actividad los alumnos podrán argumentar qué plan de finan-
ciamiento de un automóvil eligen y finalmente en la cuarta actividad 
generarán funciones racionales que cumplan con características (res-
tricciones) específicas.
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álgebra
una introducción a la factorización 
de expresiones algebraicas
Juan Gabriel Molina Zavaleta
Tema: Factorización de expresiones algebraicas.
Nivel educativo: Secundaria y bachillerato.
Objetivo: Estudiar la descomposición en factores de expresiones alge-
braicas.
Resumen de la actividad
Esta secuencia pretende fomentar en los estudiantes una idea de fac-
torización con base en la conservación de la equivalencia entre expre-
siones matemáticas: aritméticas o algebraicas.
Actividad 
priMera parte: 
Un primer acercamiento a la factorización
La factorización es una operación mediante la cual una expresión ma-
temática se escribe de manera equivalente utilizando la multiplicación 
(o producto). 
Ejemplos:
6 = 2(3) o también 2(1+1+1), 6= (1+1+1)(2), 6= (4-1)(1+1)
Recuerden que el paréntesis es utilizado en matemáticas para expresar 
una multiplicación. En los ejemplos anteriores el resultado de las ope-
raciones planteadas siempre es 6. El 6 fue escrito de otra manera (de 
hecho de varias formas), pero no dejó de ser 6, ésta es la idea básica de 
la factorización: encontrar una representación equivalente de alguna 
expresión matemática utilizando la multiplicación. En cada ejemplo, 
las expresiones que se multiplican se llaman factores; así en la expre-
sión 6= 2(1+1+1) los factores son: 2 y (1+1+1).
Pregunta 1. ¿Cuántas formas de factorizar el 6 existen?
Respuesta: Existen infinitas porque son infinitas las combinaciones de 
números para hacerlo.
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38
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Pregunta 2. En matemáticas ¿para qué podría ser de utilidad la facto-
rización?
Respuesta: Existen muchas tareas que para ser resueltas requieren que 
se utilice la factorización: simplificar expresiones algebraicas, graficar 
funciones cuadráticas o polinomiales, resolver ecuaciones, etc. Por 
ejemplo, supongan que al resolver determinado problema les resulta 
250
3500 , si desea simplificar la expresión se podría factorizar:
( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
250
3500
25 10
35 100
5 5 2 5
7 5 10 10
5 5 10
7 5 10 10
= = =
( ) ( )( )
250
3500
5
7 10
5
7 5 2
14= = =
Nota: En la expresión ( )( )
( )( )( )
5 5 10
7 5 10 10
 las líneas sobre los factores 
indican que los factores se anulan entre sí; esto ocurre por 
la siguiente situación:
Una propiedad usada aquí es que el orden de los factores no altera el 
producto.
Ejercicios 1:
Proponga una factorización para cada una de las expresiones:
a)15; b)21; c)45; d) 9
4 ;
e) 16
1 ; f) 64
1- ; g) 2
1 ; h) 9
4- ;
segunda parte
Factorizacionescon literales
Es común que la factorización se aplique a expresiones que incluyen 
literales (o variables). Por ejemplo: 
6x = 2x(3) o también 6x = 2x(1+1+1), 6x = (x+x+x)(2), 6x = (4x - x) (1+1)
Otro ejemplo: 6x3 = 2x(3x2) o también, 6x3 = 2x(x2+x2+x2), 
6x3 = (x2+x2+x2)(2x), 6x3 = (4x2 - x2) (x+x) 
( )( )( )
( )( )( )
( )( )(
( )
) ( )( )(
( )
)
( )
5 5 2 5
7 5 10 10
5
5
10
10
5
7 10
1 1 5
7 10
5
7 10
= = =
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39
álgebra
Cada una de las expresiones anteriores son equivalentes a 6x3. Si es-
tuviera involucrada otra literal la factorización se realizaría en forma 
semejante: 6x3z4 = (2xz)(3x2z3)
En estos casos que se han involucrado literales se ha utilizado una 
propiedad de los exponentes: xnxm = xn+m
Uno de los aspectos centrales de la factorización es conservar la equivalencia de 
la expresión factorizada. 
Ejercicios 2:
Proponga una factorización para cada una de las expresiones:
a)15x2z3; b)21x2y2r9; c)45ab; d) s q9
4
2 3
e)
a
16
5
 f) xy64
8
- ; g) x
1
2 ; h)x 9
4- 
tercera parte: 
El “corazón” de la factorización, la propiedad distributiva 
de los números reales respecto a la suma.
La factorización también puede ser aplicada a expresiones que se están 
sumando; la expresión 20+12 puede ser factorizada como 4(5)+4(3), 
como ambas partes comparten el factor 4, se puede expresar que 
4(5)+4(3)=4(5+3) y que es equivalente a 4(5+3) = 4(5)+4(3). A esta rela-
ción se le llama propiedad distributiva de los números reales respecto a la suma, 
la cual se enuncia así: Si x,y,z son números reales, entonces x(y+z) = xy + xz
Un ejemplo usando literales: Factorizar la expresión 25x3 -10x, esto es 
igual a 5x(5x2) - 5x(2) = 5x(5x2-2); igual que en los casos anteriores 
existen infinidad de factorizaciones; otra factorización podría ser 
( )x x x x25 10 10 2
5 13 2- = - ; usar una u otra factorización depende de la 
tarea que estemos resolviendo.
Ejercicios 3: 
Proponga una factorización para cada una de las expresiones:
a) x x3 2+ = b) x x3 2- = c) x x
1 1
3 2+ = 
d) x y x18 23 2 3- + = e) a b c abc a b c3 2 2 2 2- + =
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40
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
En los ejemplos que se han venido utilizando en esta exposición se 
puede apreciar que la complejidad de las factorizaciones realizadas ha 
ido aumentando; si el estudiante domina las leyes de los exponentes, 
las leyes de los signos y operaciones como la multiplicación, podrá ir 
proponiendo factorizaciones más complejas.
Materiales necesarios
Cuaderno, lápiz, sacapuntas y goma de borrar.
Duración 
3 horas de clase, una por cada etapa.
Sugerencias para la aplicación
La actividad se pude abordar en tres clases de una hora y está pensada 
para ser expuesta por el profesor. Las preguntas planteadas tienen la 
intención de promover la discusión con los estudiantes.
Respuestas
Las respuestas pueden ser otras expresiones equivalentes a las que se 
sugieren a continuación.
Ejercicios 1: 
a) ( )15 3 5= ; b) ( )21 7 3= ; c) ( )45 9 5= ; d) ( )( )9
4
3
2
3
2= ; 
e) 16
1
4
1
4
1
$= ; f) 64
1
32
1
2
1
$- =- ; g) 2
1
2
1
2
1
$= ; h) 9
4
3
2
3
2
$- =- ;
Ejercicios 2:
a)15x2z3 = 3(5)x2z3; b)21x2y2 r9 = 7 xzr(3xyr8) c) 45ab =9a(5b); 
d) s q sq sq9
4
3
2
3
2
2 3 2 $= ; e) a a a16 4 4
6 3 3
$= ; f)
xy x y
64
8
8
2
8
4
$- =- ;
g) x x x
1 1 1
2 $= ; h) ( )( )x x x9
4
9
2
9
2
=
Ejercicios 3:
a) ( )x x x x 13 2 2+ = + ; b) ( )x x x x 13 2 2- = - ; c) ( )x x x x
1 1 1 1 13 2 2+ = + 
d) ( )x y x x y18 2 2 1 93 2 3 3 2- + = - ; e) ( )a b c abc a b c abc a b abc13 2 2 2 2 2- + = - +
Sugerencias para la evaluación
La evaluación puede basarse en las factorizaciones correctas de los ejer-
cicios y en la participación del estudiante en el transcurso de la clase.
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41
álgebra
Bibliografía
Bernabé, A. (2012). Valores prácticos y epistémicos de la factorización de expresiones 
algebraicas (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
El profesor podría plantear factorizar expresiones algebraicas que se 
relacionen con los contenidos matemáticos que esté estudiando.
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43
álgebra
el teoreMa del caMbio de base en logaritMos
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas 
Mendoza y Apolo Castañeda Alonso
Tema: Álgebra.
Nivel educativo: Bachillerato y superior.
Objetivos: Deducir el teorema del cambio de base en logaritmos: Para 
cualesquiera números reales positivos a, b y x, con a y b distintos de 
1, se tiene que
log log
log
x a
x
a
b
b
=
Resumen de la actividad
En esta actividad se construye el teorema de cambio de base en loga-
ritmos utilizando gráficas de funciones concretas.
Actividad 
Considérese la función y1 = 5 graficándola:
 
Figura 1. Gráfica de la función y1 = 5
Si se dibuja en el mismo plano a las funciones: y1 = 5 y y2 = 3
x se obtiene 
la grafica siguiente:
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44
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Figura 2. Gráfica de las funciones y1=5 y y2=3
x 
Responda:
¿Al observar las gráficas de las funciones mostradas en la figura 2, se 
puede afirmar que para algún número real m, y2(m) = y1(m)? Es decir, 
¿se intersectan y1 y y2?
Respuesta: Sí, lo cual implica que 3m=5 (Ecuación 1)
La ecuación 1 se resuelve aplicando la función inversa de y2, log3x, en 
ambos lados de la igualdad, por tanto: m=log35
A continuación se involucra una nueva función: y3=2
x, ésta se grafica 
junto con las funciones y1 y y2 :
Figura 3. Gráfica de las funciones y1=5, y2=3
x y y3=2
x
Responda: 
¿Al observar las gráficas de las funciones mostradas en la figura 3, se 
puede afirmar que para algún número real n, y3(n)=y1(n)?
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45
álgebra
Respuesta: Sí; entre las funciones y1 y y3 ocurre una situación semejan-
te a la que se dio entre las funciones y1 y y2:
Para algún número real n,
( ) ( )
log
y n y n
n
2 5
5
n
3 1
2
.
.
=
=
= 
(Ecuación 2)
Por tanto de las ecuaciones 1 y 2 se tiene que para ciertos números 
reales m y n:
3m=2n=5
3m=2n
(Ecuación 3)
Responda: ¿Existe algún número real q tal que 3q=2?
Respuesta: Sí. Si graficamos la función constante y4=2, cortará a la 
función y2=3
x en algún valor q
Figura 4. Gráfica de las funciones y4=2, y2=3
x 
Por tanto ocurre que 3q=2. Sustituyendo este valor en la Ecuación 3, 
se tiene:
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46
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Para ciertos números reales m, n y q se cumple, 3m=(3q)n, y por las pro-
piedades de los exponentes la expresión se reduce a:
3m=3nq
De lo anterior se concluye que, m=nq (Ecuación 4)
Por los desarrollos anteriores, se conoce el valor de m, n y q, (q=log32) 
Por tanto la ecuación 4 puede expresarse:
log35= log2 5 log3 2
De donde se obtiene que:
log log
log
5 2
5
2
3
3
=
(Ecuación 5)
En la ecuación 5 se interpreta que el logaritmo con base dos de cinco 
es expresado como cociente de logaritmos con base tres: entonces se 
ha realizado un cambio de base. 
Lo que se ha construido es un caso particular del teorema del cambio de 
base de un logaritmo, el cual expresa:
Para cualesquiera números reales positivos a, b y x, con a y b distintos 
de 1,
log log
log
x a
x
a
b
b
=
Si b se elige igual al número e, la constante de Euler, la expresión ante-
rior se expresa por convención:
log ln
lnx a
x
a =
Donde ln se conoce como el logaritmo natural.
Materiales necesarios
Lápiz, papel, calculadora científica o graficadora. 
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47
álgebra
Duración 
1 hora de clase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad está pensada paraser expuesta por el profesor; en el 
transcurso de la ponencia el profesor puede ir planteando las pregun-
tas de la activad a los estudiantes para involucrarlos en la construcción 
de la expresión matemática. 
Sugerencias para la evaluación
El profesor podría evaluar las participaciones de los estudiantes en el 
transcurso de su exposición del tema.
Respuesta 
Por la modalidad de la actividad esta sección no es necesaria. 
Bibliografía
Castañeda, A., Rosas, A., y Molina, G. (2010). El discurso matemático escolar 
de los logaritmos en libros de texto. Premisa, 12(44), 3-18.
Molina, J.G., Castañeda, A. y Rosas, A. (2011). El teorema del cambio de base 
de logaritmos: Una nota de clase. Premisa, 13(50), 23-27.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
Esta actividad puede ser enriquecida en clase abordando la discusión 
de las siguientes preguntas:
¿Qué ocurre si en la ecuación 5 se cambia el valor de la base 3 por 
algún otro valor?
a. Si es positivo
b. Si es negativo
c. Si es cero
d. Si es 1
¿Cuál es la razón de que se excluyen los números negativos, el 0 y el 1 
como bases?
¿Por qué razón al cambiar la base , con valores permitidos, la igualdad 
se conserva?
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49
álgebra
¿Qué plan escoges?
Alejandro M. Rosas Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota
Tema: Interés simple y compuesto
Nivel educativo: Medio Superior y Superior
Objetivo: Conocer aplicaciones de la función exponencial. Uso del 
interés simple y compuesto para calcular el costo final de un auto.
Resumen de la actividad
En esta actividad a los estudiantes se les presenta la posibilidad de 
adquirir un automóvil con diferentes planes de financiamiento. Para 
realizar su elección deben calcular cuál será el costo final del automóvil 
de modo que puedan elegir aquél que sea el más barato. Durante el 
desarrollo de la actividad se les solicita que calculen el interés total que 
sobre el precio de lista se paga durante el financiamiento.
Actividad
En esta práctica van a trabajar con la función exponencial aplicada a las 
finanzas, para lo cual van a necesitar conocer una fórmula que permite 
calcular las mensualidades que deben pagarse para cubrir una deuda.
Amortización de una deuda: Si un préstamo de A pesos se amortiza 
en n años a una tasa de interés anual de r% (en decimal) capitalizada 
mensualmente, entonces las cuotas mensuales están dadas por
( )
M r
A r
1 1 12
12
n12
=
- + -
Ahora deben resolver la siguiente situación: Una persona desea com-
prar un automóvil modelo 2014, su precio es de $205,900. A modo de 
financiamiento se le presentan las siguientes opciones:
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50
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
1. Enganche de $35,000 y el resto en 36 mensualidades fijas de $5,649.20 
2. Sin pago de enganche, al total se le agrega el 15.5% y se divide en 
36 mensualidades fijas. 
Responda:
a. ¿Qué mensualidad debe pagar en cada caso? 
b. ¿Cuál es el monto final que cubre en cada caso? 
c. ¿Qué porcentaje extra se paga en cada caso? 
d. ¿Qué plan le conviene más? 
3. Utilice la fórmula de amortización de una deuda y calcule las men-
sualidades y el monto final que se genera al financiar el monto de 
$205,900 con el 9.85% de interés anual a pagar en tres años en men-
sualidades (En este caso no se paga enganche). Vuelva a responder 
las preguntas anteriores tomando en cuenta los tres planes. 
4. Responda: ¿Por qué si se aplica la tasa más baja de las tres opciones 
en el último caso se obtiene ese monto final? Si no realiza los cálcu-
los correspondientes, ¿cuál plan escogería? 
Materiales necesarios
Calculadora, lápiz, papel
Duración 
1 hora de clase o un día de trabajo extraclase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilzada para trabajar de manera individual 
pues permite conocer y aplicar conceptos de interés simple y compues-
to. Puede verse también como una actividad de aplicación de la fun-
ción exponencial.
Respuestas
opción 1: Mensualidad $6,649.20, costo total: $238,371.20, i=15.77%
opción 2: Mensualidad $6,605.96, costo total: $237,814.50, i=15.50%
opción 3: Mensualidad $6,629.32, costo total: $238,655.63, i=15.91%
Sugerencias para la evaluación
Esta actividad requiere que los alumnos calculen correctamente los 
porcentajes y mensualidades de manera exacta. Las respuestas a la 
pregunta ¿qué plan te conviene más? Pueden estar basadas en consi-
deraciones personales como presupuesto inicial (fondos para dar el 
Actividades y proyectos.indd 50 10/9/2013 12:05:20 AM
51
álgebra
enganche) y presupuesto mensual (para pagar las mensualidades) por 
lo que la decisión de los alumnos en la posición del comprador del auto 
posiblemente no sea la opción de menor costo total. La calificación 
puede basarse en el cumplimiento de la fecha de entrega, los cálculos 
correctos de las mensualidades, los costos totales calculados y la justi-
ficación completa de su elección.
Bibliografía
Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la administración, 
economía y ciencias sociales (7ma. ed.). México: Mc Graw Hill.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente.
Esta actividad puede ser modificada de acuerdo al contexto escolar de 
los estudiantes. En vez de un automóvil puede utilizarse el costo de una 
motocicleta, una bicicleta, etc. 
Para el caso de alumnos de primaria y secundaria podría intentarse 
utilizar el costo de una tableta electrónica, una computadora portátil 
o un teléfono inteligente. También se sustituiría el cálculo de la amor-
tización por una combinación de intereses como: 15% primer año, 10% 
segundo año y 5% tercer año.
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álgebra
la función racional
Elvia Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes
Tema: La función racional.
Nivel educativo: Medio Superior.
Objetivo: Conocer el comportamiento numérico de las funciones ra-
cionales, intentando establecer la relación con su gráfica y su expre-
sión algebraica.
Resumen de la actividad
En esta actividad a los estudiantes se les presenta una tabla donde se 
concentran algunos puntos que pertenecen a una función racional 
propuesta con la idea de que el estudiante al introducir los valores en 
una pantalla de Excel observe el comportamiento numérico y gráfico 
de la función para llegar a la notación algebraica de la función. Además, 
se les proporcionan otras tablas para que analicen y relacionen con los 
comportamientos al infinito. Durante el desarrollo de la actividad se 
les solicita que lleguen a utilizar una adecuada notación matemática, 
con el fin de que se percaten de los conceptos asociados a las funciones 
racionales, como son el de infinito y el de límite, primero alrededor de 
un valor en el dominio y segundo cuando la variable independiente x 
crece en valor absoluto hacia los infinitos positivo y negativo. La fun-
ción racional que hace ciertos los puntos de la tabla no es única. Dado 
que se presenta un contexto numérico, el dominio no es explícito y en 
consecuencia se permiten discontinuidades de hueco. El estudiante 
puede dar como resultado diversas funciones con las características 
mencionadas.
Actividad
1. Introduce los valores de x y y de la siguiente tabla en una hoja de 
Excel y posteriormente grafícalos. 
Tabla 1
x y
 -7 0.7
 -6 0.66667 
 -5 0.625
 -4 0.57143
 -3 0.5
 -2 0.4
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
x y
 -1 0.25
 0 0
 1 -0.5
 2 -2.0
 4 4.0
 5 2.5
 6 2.0
 7 1.75
 8 1.6 
2. Copia en este espacio lo que estás viendo en la pantalla.
Como puedes darte cuenta en la tabla 1 omitimos dar a xel valor de 
3, por lo que a continuación se te proporcionan otras dos tablas para 
que encuentres el valor de la ordenada cuando la abscisa se acerca al 
valor de 3.
Tabla 2 Tabla 3
x y
3.1 31
3.01 301
3.001 3001
3.0001 30001
x y
2.9 -29
2.99 -299
2.999 -2999
2.9999 -29999
3. Responde:
a. En la tabla 2 ¿qué sucede con la variable y cuando la variable x 
se está acercando al valor 3 con valores que son mayores que 3? 
_______________________________________
b. En la tabla 3 ¿qué sucede con la variable y cuando la variable x 
Actividades y proyectos.indd 54 10/9/2013 12:05:21 AM
55
álgebra
se está acercando al valor 3, con valores que son menores que 3? 
______________________________________
c. Sugerido por las tablas, concluye ¿qué valor le asignarás a la ordena-
da (variable y) para el valor ? ______________________________
d. Completa la siguiente expresión matemática.
( )lim f x
x 3
=
" -
( )lim f x
x 3
=
" +
e. ¿Qué valores te sugiere la tabla 1 para responder los siguientes 
límites?
( )lim f x
x
=
"3
( )lim f x
x
=
" 3-
4. Escribe una expresión matemática de la función racional que contie-
ne los valores dados en la tabla 1 (Para escribir la expresión algebrai-
ca que hace ciertos los puntos que se te proporcionaron en la tabla 1 
debes tener en cuenta los límites que se te solicitaron anteriormente 
y comprobar que es correcta la expresión sustituyendo los valores de 
x en la expresión que le asignaste). 
Materiales necesarios
 Computadora, calculadora, lápiz, papel
Duración 
1 hora de clase o un día de trabajo extraclase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilizada para trabajar de manera individual 
ya sea con una graficadora, computadora o calculadora, lápiz y papel. 
Durante la etapa de diseño se consideró que el estudiante pudiera apli-
car conceptos de infinito y límite en el tema de funciones racionales por 
lo que se requiere que el alumno ya haya estudiado el tema de límites 
o se encuentre estudiándolo. 
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Respuestas
1. - Utilizando la tabla 2 se observa que f(x) se está acercando a +∞
2. - Utilizando la tabla 3 se observa que f(x) se está acercando a - ∞
3. - Utilizando la tabla 1 se observa que f(x) se está acercando a 1
4. - Una de las expresiones algebraicas que hacen ciertos los valores de 
la tabla 1 es ( )f x x
x
3= - . La solución es única salvo factores comunes 
en el numerador y denominador. 
Sugerencias para la evaluación
Esta actividad requiere que los alumnos interpreten correctamente los 
datos contenidos en las tablas para responder los límites, que conoz-
can como obtener un límite cuando x tiende a una constante y tiende 
al infinito.
La calificación puede basarse en la entrega de la actividad y las res-
puestas que tan cercanas fueron a las correctas, observando que tanto 
el estudiante interpretó los valores numéricos.
Bibliografía
Thomas, G. (2005). Cálculo una variable (11ra.ed.). México: Pearson
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente.
Esta actividad puede ser modificada de acuerdo al nivel escolar de 
los estudiantes del medio superior o superior, alternativamente como 
una aplicación del estudio del tema de límites en un contexto gráfico 
y algebraico. 
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ÁLGEBRA LINEAL
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas 
Mendoza y Héctor Hernández Guzmán
Las transformaciones lineales son muy importantes en la matemática 
pues aparecen en muy diversos contextos y tienen una amplia gama 
de aplicaciones. Desarrollar este concepto basándose en el contexto 
geométrico puede tener como gran apoyo el uso de la visión. Las tres 
actividades contenidas en este capítulo permiten que el estudiante 
utilice referentes visuales que les permitan construir y desarrollar las 
ideas centrales de la transformación lineal.
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álgebra lineal
propiedades de la transforMación 
lineal en contexto geoMétrico
Juan Gabriel Molina Zavaleta y Alejandro M. Rosas Mendoza
Tema: La linealidad en una transformación en R2.
Nivel educativo: Superior.
Objetivo: Estudiar las dos propiedades de la transformación lineal en 
contexto geométrico.
Resumen de la actividad
En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las dos pro-
piedades que dan el carácter de lineal a una transformación en R2, esto 
en un contexto geométrico. 
Actividad
Una transformación (o mapeo) T es lineal si:
1. ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + , para toda u y v en el dominio de T, y
2. T(cu) = cT(u), para toda u y todos los escalares c.
(Lay, 2001, p.70)
responda para cada caso:
¿Es posible que exista una transformación lineal que convierta los vec-
tores de la Figura 1 en los vectores de la Figura 2? ¿Por qué?
1.)
Figura 1 Figura 2
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60
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
2).
Figura 1 Figura 2
3).
Figura 1 Figura 2
Materiales necesarios
Lápiz, papel, compás. 
Duración 
2 horas de clase o un día de trabajo extra clase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta 
tres personas. El profesor podría plantear la primer pregunta a cada 
equipo y darles 15 minutos de tiempo para que trabajen en ella; poste-
riormente cada equipo expone su solución o su avance en la solución 
a la tarea. Después el profesor expone la manera de resolver la tarea 
o redondea la solución dada por alguno de los equipos (si es el caso) y 
luego les encarga que resuelvan la siguiente tarea, y así hasta cumplir 
con las tres tareas.
Sugerencias para la evaluación
Dado que la tarea tiene un grado medio de complejidad, el profesor 
podría evaluar el porcentaje de la solución a la que llegaron los estu-
diantes en cada tarea y la actitud de los estudiantes hacia la discusión 
de las soluciones a cada tarea.
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61
álgebra lineal
Respuestas
La solución al caso 1:
No podría existir tal transformación lineal; en la figura 1 se muestran 
dos vectores linealmente dependientes y en la figura 2, dos vectores 
linealmente independientes. Observemos la figura 1, B = kA, para al-
gún escalar k, entonces se debería cumplir T(B) = T(kA) = kT(A), es decir 
T(A) y T(B) en un principio deberían ser linealmente dependientes y 
no lo son. 
La solución al caso 2:
Sí podría existir una transformación lineal, en la figura 1 y 2 se mues-
tran vectores dependientes linealmente, se observa gráficamente que 
T(B) = T(kA) = kT(A), para algún escalar k; también se observa que po-
dría ocurrir que T(A+B) =T(A) + T(B).
La solución al caso 3:
Sí podría existir la transformación lineal; correspondería con una 
transformación de “trasquilado”.
Bibliografía
Hernández, H. (2013). Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la trans-
formación lineal en R2 (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México. 
Lay, D. (2001). Algebra lineal y sus aplicaciones. México: Printece Hall. 
Molina, J.G. y Oktaç, A. (2007). Concepciones de la transformación lineal en 
contexto geométrico. Relime, 10(2), 241-274.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente.
Esta actividad puede ser modificada utilizando otros casos con más 
vectores; también se podrían solicitar las fórmulas de las transforma-
ciones que representan las transformaciones lineales.
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álgebra lineal
la transforMaciónlineal en 
contexto geoMétrico
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Héctor Hernández 
Guzmán y Alejandro M. Rosas Mendoza
Tema: Transformaciones lineales geométricas.
Nivel educativo: Superior.
Objetivo: Estudiar transformaciones lineales geométricas.
Resumen de la actividad
En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las trans-
formaciones lineales en R2 un contexto geométrico, sin abordar las 
propiedades que le dan el carácter lineal a las transformaciones. 
Actividad 
Observen el triángulo de la figura 1 en el plano xy:
Figura 1
respondan: 
Tarea 1. 
Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 2, ¿cómo queda dibu-
jado el triángulo de la figura 1? 
Figura 2
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64
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Notas: El sistema de ejes xy en gris representa la posición original (la 
mostrada en la figura 1) y el sistema de ejes x’y’ representan la posición 
de cómo quedó el plano xy al moverse y es allí donde se debe mostrar 
cómo queda dibujado el triángulo. 
Tarea 2. 
Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 3, ¿cómo queda dibu-
jado el triángulo de la figura 1? 
Figura 3
Tarea 3. 
Observen el vector de la figura 4: 
Figura 4
Tarea 4. 
Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 5, ¿cómo queda dibu-
jado el vector de la figura 4?
Figura 5
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65
álgebra lineal
Nota: En este caso el sistema de ejes x’y’ representa la posición final 
del sistema de ejes xy después de moverse.
Materiales necesarios
Lápiz, papel, compás. 
Duración 
2 horas de clase o un día de trabajo extra clase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de tres 
personas o individualmente. El profesor podría plantear la primer pre-
gunta a cada equipo y darles 15 minutos tiempo para que trabajen en 
ella; posteriormente cada equipo expone su solución o su avance en 
las solución a la tarea. Después el profesor expone la manera de resol-
ver la tarea o redondea la solución dada por alguno de los equipos (si 
es el caso) y luego les encarga que resuelvan la siguiente tarea, y así 
hasta cumplir con las tres tareas. 
Sugerencias para la evaluación
Dado que la tarea es compleja, el profesor podría evaluar el porcentaje 
de la solución a la que llegaron los estudiantes a cada tarea y la actitud 
de los estudiantes hacia la discusión de las soluciones a cada tarea.
Respuestas
TAREA 1:
La solución a la tarea 1 es la siguiente:
Que los estudiantes ubiquen en los ejes x e y a las unidades de los 
puntos que definen al triángulo, figura T1-1.
 
 Figura T1-1 Figura T1-2
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66
actividades y proyectos para la clase de matemáticas
En la figura T1-1 se utilizan rectas paralelas a los ejes para ubicar las 
unidades x e y en sus respectivos ejes.
Posteriormente deberán ubicar estas unidades x e y en los ejes primos y 
determinar la posición de cada punto. En la figura T1-2 se muestra que 
se emplea un círculo con centro en el origen y radio x para determinar 
la posición de x en el eje primo, es decir x'; se procede de forma seme-
jante para ubicar la componente y en el eje y'. Los estudiantes podrán 
utilizar cualquier objeto que les permita hacer tal tarea, puede ser una 
regla, un pedazo de papel, etc. Posteriormente con rectas paralelas 
a los ejes primos deberán determinar la posición de cada punto del 
triángulo y trazarlo, figuras T1-3 y T1-4.
 
 Figura T1-3 Figura T1-4
TAREAS 2 y 3:
La solución a las tareas 2 y 3 se realiza con el mismo método; las res-
puestas son:
 
Tarea 2 Tarea 3
Actividades y proyectos.indd 66 10/9/2013 12:05:27 AM
67
álgebra lineal
Bibliografía
Hernández, H. (2013). Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la trans-
formación lineal en R2 (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México. 
 Molina, J.G. y Oktaç, A. (2007). Concepciones de la transformación lineal en 
contexto geométrico. Relime, 10(2), 241-274.
Sugerencias de modificación para temas 
afines o nivel educativo diferente
Esta actividad puede ser modificada utilizando otros movimientos de 
los ejes; cambiando figuras a ser transformadas. Por ejemplo se puede 
utilizar el dibujo de una letra del alfabeto y solicitar a los estudiantes 
el movimiento de ejes que se requeriría para transformar tal letra en 
cursiva. 
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álgebra lineal
la transforMación lineal en contexto 
geoMétrico-algebraico 
Juan Gabriel Molina Zavaleta, Héctor Hernández 
Guzmán y Alejandro M. Rosas Mendoza
Tema: La forma algebraica de la transformación lineal en R2:
T y
x
b d
a c
y
x
bx dy
ax cy
= = +
+8 8 8 ;B B B E
Donde y
x` j es un vector en R2 y a, b, c y d son números reales.
bx dy
ax cy
+
+c mes el vector transformado, la imagen del vector y
x` j bajo la 
transformación T.
Nivel educativo: Superior.
Objetivo: Construir la expresión algebraica de la transformación li-
neal en R2.
Resumen de la actividad
Esta actividad involucra al estudiante en la construcción del modelo 
algebraico que representa transformaciones lineales en R2. La discu-
sión de la linealidad no se aborda en esta actividad. 
Actividad 
Tarea 1. 
Se han movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4, 7) se ha 
dibujado como el vector C, ver la figura 1. ¿Cuáles son las coordenadas 
del punto (x'1 ,y'1) en el plano xy ? Se sabe que el ángulo entre el eje x 
y el eje x' es de 45º. 
Figura 1
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actividades y proyectos para la clase de matemáticas
Tarea 2. 
Continuando con el caso anterior. ¿Cuáles son las coordenadas del 
punto (x’2 ,y’2) en el plano xy? Se sabe que el ángulo entre el eje x y el 
eje y’ es de 60º.
Figura 2
Tarea 3. 
Continuando con el mismo caso. ¿Cuáles son las coordenadas del vec-
tor C en el plano xy?
Materiales necesarios
Lápiz, papel, compás, goma de borrar. 
Duración 
2 horas de clase o un día de trabajo extra clase.
Sugerencias para la aplicación
Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta 
tres personas o individualmente. El profesor podría plantear la pri-
mer pregunta a cada equipo y darles 15 minutos de tiempo para que 
trabajen en ella; posteriormente cada equipo expone su solución o 
su avance en las solución a la tarea. Después el profesor expone la 
manera de resolver la tarea o redondea la solución dada por alguno 
de los equipos (si es el caso) y luego les encarga que resuelvan la si-
guiente tarea, y así hasta cumplir con las tres tareas. Es muy posible 
que esta tarea requiera intervenciones del profesor para recordar a 
los estudiantes cómo determinar los lados de un triángulo rectángulo 
conociendo uno de sus lados y también la definición de las funciones 
trigonométricas seno y coseno.
Sugerencias para la evaluación
Dado que la tarea tiene un grado medio de complejidad el profesor 
podría evaluar el porcentaje de la solución a la que llegaron los estu-
diantes en cada tarea y su actitud hacia la discusión de las soluciones.
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álgebra lineal
Respuestas
Tarea 1:
Puede ser semejante a la siguiente:
1. Deben determinar que el valor de la componente x del vector (4,7); 
es 4. Se emplea una circunferencia para ubicar el valor de x en el 
eje x’ (pues en el eje x' la componente x también es 4). Ver la figura 
T1-1. 
 
Figura T1-1 Figura T1-2
2. Luego deberán ubicar al punto (x’, y’) respecto al plano xy, para ello 
podrían construir un triángulo rectángulo como se muestra en la 
figura T1-2. En otras palabras, expresar el punto en términos de 
las coordenadas (x, y).
3. Finalmente en la solución numérica del problema el estudiante