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Division algebraica 
Cocientes notables
Paolo Ruffini nació en Valenta- 
no (22 de septiembre de 1765) y 
murió en Módena (l O de mayo de 
1822). Fue un matemático, profe­
sor y médico italiano. Paolo entró 
en la Universidad de Módena en 
1783 para estudiar Matemáticas,
Medicina, Filosofía y Literatura.
Finalmente, el 9 de junio de 1788,
Ruffini se graduó en Filosofía,
Medicina y Cirugía. Poco después 
consiguió su grado en Matemáti­
cas.
El 15 de octubre de 1788 fue nom­
brado profesor de Fundamentos 
de Análisis. Ruffini fue elegido 
catedrático de Elementos de Ma­
temáticas en 1791. Sin embargo, 
no era solo matemático, pues en 
1791 obtuvo la licencia para ejer­
cer la Medicina en Módena.
Paolo Ruffini es conocido como 
el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio 
que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x - a. Sin embargo, no fue 
esta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración 
de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y supe­
riores. aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego 
Niels Henrib Abel. En 1806 acepta una cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de 
Módena.
Fuente; Wífeipedia
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^ DIVISIÓN ALGEBRAICA
Es la operación que consiste en hadar una expresión 
llamada cociente dadas otras denominadas dividendo y 
divisor, de modo tal que se cumpla:
D{x) = d(x)q(x) 4- r(x) d(x) ^ d(x)
De donde;
D(x); dividendo; 
d(x); divisor;
q(x); cociente entero 
r(x); resto o residuo
r(x)q(x) + : cxiciente compieto
^ DIVISIÓN DE POUNOMIOS
Para efectuar ta división entre dos polinomios se co* 
nocen varios métodos. Presentamos a continuación 
algunos de ellos:
Método clásico
Para dividir polinomios se debe tener en cuenta los si­
guientes pasos:
Se comptetan y ordenan los polinomios con 
respecto a una sola letra o variable (en caso falte 
un término este se completará con cero).
En caso existan dos o más variables se asumirá 
solo a una de ellas como tal y ias demás harán el 
papel de números o constantes.
Se divide el primer término del 0, por el primero 
del d, obteniéndose el primer término del q. Luego 
este se multiplica por cada uno de los términos del 
divisor y el resultado se resta del dividendo.
Se baja el témiino siguiente del D. y se repite el 
paso anterior tantas veces hasta que el resto sea 
a lo más un grado menos que el grado del D (resto 
de grado máximo). O en todo caso, sí la división es 
exacta, el resto será un polinomio idénticamente 
nulo.
Ejemplos:
1. Dividir; 6x‘* + x ̂+ x^+11x + 2 
3x^ + 5x + 2
6x" + X® + x̂ + 11x + 2
-6x" - 10x" - 4x^
-9x^ - 3x ̂ + 11x
9x ̂ + 15x ̂ + 6x
12x' + 17x + 2 
- 20x - 8 
^3x - 6
r(x)
3x̂ + 5x + 2 
2x^ - 3x + 4 
q (x )
2, Dividir;
(6a® - 26aV + 5a"b + 33a^b^ - 24ab‘ + 6b") -
(2a" - 3ab + b")
Ordenando a( D;
6a^ + 5 a 'b - 2 6 a ’ b ‘ -t- 33a^b^ - 2 4 a b * *- 6b* 2 a ‘ - 3 a b + b '
6a® + g a 'b - 3a^b^ 3a^ + Ta^b - 4ab^ + 7b
1 4a ‘ Ci - 29a^b^ + 33a^b^ 
- 1 4a “ b + 2 l a V - 7a^D ’
q (a ; b )
- 8 a ’ b ’ + 2 6 a ^ b ' - 2 4 a b ‘
8 a V - 1 2 a V + 4 a b ‘
l 4 a V - 2 0 a b * + 6b*
-1 4 a 'b = + 2 la b ‘ - 7 b '
a b ' - b *
r(a ; b )
1. G(q) = G(0)--G(d)
2. THD) = ■n(d)TT<q) + Tí(r)
3. El cociente de dos potinomíos hom og^e^ 
corK> ri^ulteck> poHr^mks NMitògàiea
4. Solo en una divisan e)^da tento 
corno el divisor puedet 
c(»n(Metos y ordenados en 
o ascended cxin f> ^p e ^ a 
cocente ^tera (sigue ̂ n d o «cadp).
Método de H om er
Se emplea para dividir por lo general polinomios entre
divisores que sean de grado dos o más.
Reglas o pasos a seguir;
Se completan y ordenan los polinomios. En caso 
falte un término este se completará con cero.
• En caso existan dos o más variables se asumen a 
una de ellas como tal y las demás harán el papel 
de números o constantes.
Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes 
del dividendo, y en forma vertical los coeficientes 
de divisor, todos cambiados de signo a excepción 
del primero.
Se divide el primer coeficiente del dividendo por 
el primero del divisor, obteniendo el primero del 
cociente. Luego este se multiplica por cada uno 
de los coeficientes del divisor que han cambiado 
de signo, y los resultados se colocan dejando una 
columna de lado.
• Se reduce la siguiente columna y se repite el paso 
anterior, tantas veces hasta que la última opera­
ción efectuada caiga debajo del último coeficiente 
del dividendo. Llegado este momento se reduce 
las columnas que falten; separando los coeficien­
tes dei cociente y el resto respectivamente. 
Esquema gráfico:
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Ejemplos:
1- Dividir: 21x" + 5x3+ 10x ̂+ 8 x - 7
7x" - 3x + 3 
Resolución:
Aplicando Horner;
7 21 : 5 i 10 . 8 -7
+ 3 : 9 i -9 ,
-3 . 6 -6
3 -3
3x̂ + 2x+ 5x -- 10
q(x) r{x)
2. Hallar el cociente entero y el residuo de dividir; 
15x ̂- 9x ̂+ 56x" + 70x ̂+ 73x - 23 
3x3+ 7x+ 11
Resolución:
Aplicando el método de Horner:
3 15 -9 56 70 0 73 -23
0 0 -35 -55
-7 0 21 33
-11 0 -49 -77
0 -84 -132
5x3 _- 3x" + 7x + 12 -16x^ - 88x -155
q(x) r{x)
Luego se obtiene que:
q(x) = 5x̂ - 3x̂ + 7x + 12 (cociente entero) 
r(x) = -16x^ - 88x - 155
Calcular A y C, si ta división:
4x" + 4x‘' + 3x^ + Ax^ + 3x + C 
2x^ + X + 2 
deja como residuo: 2(x - 5)
Resolución:
Como el divisor es de grado 2, empleamos el mé­
todo de Horner:
2 4 4 3 A 3 C
-1 -2 -4
-2 2
-1 -2
-2 1 2
A-1
-n - 2n
2 1 -1 n (5 - n)x + (C - 2n)
r(x)
De donde: A - 1 = n ^ A = 2n + 1
Pero del dato: (5 - n)x + C - 2n = 2(x - 5)
=5 (5 - n)x + (C -2n) = 2x - 10 
Igualando términos: 5 - n = 2=» n = 3
C - 2n = -10 = C = -4
A= 2(3) + 1 = 7
4. Determinar m y n, si la división;
es exacta.
x̂ - 2x + 4
Resolución:
Completando el dividendo y utilizando el método 
de Horner:
1 -3 0 m - 2n
2 2 -4
-4 -2 4
-12 24
-1 -6 (m - 8) (24 - 2n)
Por ser exacta: (m - 8)x + (24 - 2n) = O
Luego: m - 8 = 0=>m = 8 
24 - 2n = O « n = 12
Cuánto vale (m + n + p)
si: 6x® + 11x* - lOx* + 8x’ + mx̂ + nx + p
es divisible por: 3x̂ + x̂ + x + 2
Resolución;
Como los dos polinomios están ordenados y com­
pletos respecto a “x”, y como el divisor es de grado 
3, podemos efectuar por Horner;
3 6 11 -10 8 m n p
-1 -2 -2 -4
-1 -3 -3 -6
-2 5 5 10
-2 -2 -4
2 3 - 5 2 (m-3) (n + 8 )(p -4 )
Por ser divisible; (m - 3)x̂ + (n + 8)x + (p - 4) = O 
=>m = 3;n = -8 y p = 4 
m + n + p = 3 - 8 + 4 = - 1
6. En la siguiente división:
9x" + 6ax3 + (a ̂+ 3b)x' + abx + 9a'
3x + ax - b 
El residuo obtenido es de grado cero e igual a;
6ab + b^ Calcular: S =
a
Resolución:
Primero hallaremos "a" y "b” por Horner;
3 9 6a (â + 3b) ab 9â
-a -3a 3b
b ab
- 2ab 2b̂
3 a 2b Ox + 9â + 2b"
r(x)
Por condición, el residuo es de grado cero, es de­
cir, un número, luego;
9a ̂+ 2b ̂= 6ab + b̂ = 9a ̂- 6ab -i- b̂ = O
^ (3a - b)^ = O => 3a = b
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