Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (44)

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P rinc ip io de ia m ultip licac ión
Si un evento puede realizarse de n, maneras diferen­
tes y si confinuando el procedimiento se puede pasar 
o realizar otro segundo procedimiento de nj maneras 
diferentes y así sucesivamente. Ei número de maneras 
en que los eventos pueden realizarse en el orden indi­
cado estará expresado por;
n, X Oj X n , ...
Ejemplo:
Una persona tiene 3 pares de zapatillas y 2 pares de me­
dias. ¿de cuántas formas diferentes puede colocárselas?
Resolución;
zapatillas (pares) medias (pares)
La primera zapatilla puede usarla con las medias x o y 
(2 maneras diferentes), igual la segunda y la tercera, es 
decir, en total habrán;
3 x 2 = 6 formas diferentes de usarlas. 
P rinc ip io de la adición
Sí un evento (1) puede realizarse de n, maneras o for­
mas diferentes y otro evento (2) puede realizarse de n2 
maneras diferentes; pero no puede pasarse del evento 
(1) al evento (2). Entonces el total de formas diferentes 
que puede realizarse el evento (1) o (2) estará dado 
por; n, + nj
Ejemplo:
Si para ir al cine una persona puede tomar 2 colectivos 
o 3 ómnibus. ¿De cuántas formas diferentes podría via­
jar para cumplir su objetivo?
Resolución;
Puede tomar uno de los 2 colectivos de 2 formas dife­
rentes o uno de los 3 ómnibus de 3 formas diferentes. 
En total de; 2 + 3 = 5 formas diferentes.
Variaciones
Se llama variaciones, coordinaciones o regias de n ma­
neras tomados de k en k a los diferentes grupos que 
se puedan formar con k elementos de tal manera que 
un grupo se diferencia de otro en un elemento o en el 
orden de sus elementos.
Ejemplos:
1. Sean los elementos a. b, c, d.
Entonces las variaciones de 4 elementos tomados 
de 2 en 2 serán;
ab ac ad be bd cd
ba ca da cb db do
Como se observa ab, ba son grupos diferentes.
Notación: se denota de la siguiente manera: \C. y se 
le© variaciones de n elementos tomados de k en k.
2. ¿Cuántas banderas bicolores diferentes pueden 
formarse con los colores amarillo, negro y blanco?
Resolución:
Sea el conjunto; {amarillo, negro, blanco} de donde 
los bicolores diferentes se pueden disponer así; 
amarillo - negro; amarillo - blanco; negro - blanco; 
blanco - amarillo; blanco - negro; negro - amarillo
El total de banderas diferentes que pueden for­
marse es 6.
Es decir; V 5 = 6 o V 2 = 3 x 2
En general:
O también:
■’r" factores
V" = n ( n - 1) (n-2) .
( n- r ) !
3. En un campeonato de 10 equipos, un periódico 
deportivo ofrece un premio al que acierte la cla­
sificación final de los 3 primeros equipos. ¿Cuán­
tas soluciones debe enviar un aficionado para que 
asegure el premio?
Resolución:
Sea abe el equipo ganador, en ese sentido prime­
ro, segundo y tercer lugar; bac es otro grupo, por­
que en este caso b es el primero, a el segundo y 
c el tercero, como se observa (abe) y (bac) son 
grupos diferentes con los mismos elementos, por 
lo tanto será:
wio 101 71x 8 x 9 x 1 0
" T T -----------7!
.-. V',̂ ’ = 720 soluciones
Variaciones con repetición
Son aquellas cuyos elementos pueden repetirse una 
o varias veces, se representa po r V R " núm ero m ayor 
de VR^
Formula: VR: = n'
Ejemplos:
1. ¿Cuántos números de 4 cifras existen? 
Resolución;
Sean los números abcd en que txx! pueden valer 
(0; 1; 2; ...; 9) y “a" solo (1; 2; 3; ...; 9); los números
serán de ia forma Ibcd, 2bcd, 3bcd 9bcd. Con
bcd se puede hacer las variaciones con repetición 
de 10 objetos tomados de 3 en 3.
V;" = 10 ̂^ 1000
En total será 9 x 1000 = 9000 números
Hallar el número de boletos distintos posibles en 
una jornada de tas apuestas mutuas de fútbol en 
que se juegan 14 partidos.
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Resolución:
Entiéndase que en un partido de fútbol existen 3 
posibilidades:
Si el equipo 1 gana, se marcará el 1.
Si el equipo 2 gana, se marcará el 2.
Si ambos empatan, se marcará el x.
Analizando, observa que se trata de variaciones 
con repetición de los elementos 1; 2 y x, tomados 
14 a 14, es decir, el número de posibilidades para 
los boletos a emitirse estará dado por:
Para nuestro caso: V = 3’“ = 4 782 969 
boletos.
Permutaciones
Se llama permutaciones de n elementos a los diferen­
tes grupos que se pueden formar con todos tos elemen­
tos, de tal manera que un grupo se diferencia del otro 
en el orden de sus elementos.
Ejemplo:
Sean los elementos a, b, c, entonces las permutaciones 
de 3 elementos serán: abe, acb, bac, bca, cab, cba.
Notación: se le denota de la siguiente manera: P„, y se 
lee permutaciones de n elementos.
Ejemplos:
1. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 
Juan y Carlos en una carpeta de dos asientos?
Resolución:
Las formas pueden ser Juan y Carlos o Carlos y 
Juan en ese orden, es decir, 2.
Pero: 2 = 1 x 2 = 2!
P2 = 2!
2. ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse 
las tetras a, b, c?
Resolución:
Sea el conjunto a, b, c, los diferentes grupos de 
tres elementos que se puedan formar son: abe, 
bca, cba, cab, acb y bac.
En total son 6 las formas diferentes en que pueden 
colocarse: P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 
De los ejemplos 1 y 2, puede deducirse y se de­
muestra que las permutaciones de n elementos 
tomados todos a la vez estarán dados por:
P. = n!
¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco 
delanteros de un equipo de fútbol si los extromos 
permanecen invariables?
Resolución:
Asumiendo que los delanteros sean A, B, C, D y E, 
si tuviesen la disposición que se indica, se obs erva
que A y E son inamovibles eso significa que solo 
los tres centrales (B; C y D) son los que pueden 
cambiar de ubicación, entonces el número total de 
formas estará expresado por:
P3 = 1 X 2 X 3 = 6 formas distintas
4. Con las cifras 0; 1 ; 2: 4, ¿cuántos números de cin­
co cifras no repetidas pueden escribirse?
Resolución:
Aquí habría que considerar que el O es cifra no sig­
nificativa si figura como primer numeral, en conse­
cuencia, habría que descartar las posibilidades de 
la Oabcd
Que son: P4 - 4! = 24
Luego, el total de fíL'merales con cinco cifras no repe­
tidas estará dado por:
P5 - P, = 5! - 4! = 120 - 24 = 96
Como se ha observado se restan todos los nume­
rales cuya primera cifra es O,
En total son 6 las formas diferentes en que pueden 
colocarse.
P3 = 3! = 1 X 2 X 3 = 6
Permutaciones c ircu la res
Son agrupaciones donde no hay primer ni último ele­
mento por hallarse todos en una línea cerrada se repre­
senta P í se demuestra.
P ' = ( n - 1 ) !
Ejemplo:
¿De cuántas formas se pueden disponer 5 muchachos 
para formar una rueda?
Resolución:
Pg = (5 - 1)! = 4! = 24 maneras.
Perm utaciones con repetición
El número de permutaciones de n elementos con la 
condición de que en todas, los elementos b,, bj, bj, 
b„ entran, respectivamente, a,, 82, 83......a,, veces es:
p : ni
3̂32.33 ai. a ila jlaa l.-aJ
Ejemplo;
Hallar el número de permutaciones distintas que se 
pueden formar con las letras de la palabra COMPUTA­
DORA.
Resolución:
Hay 2 letras A y O; hay una letra: C, M, P, U, T, D, R, 
total 11 letras, luego:
11!
2 !2 !
= 9 979 200
Combinaciones
Se llama combinaciones de n elementos tomados de k 
en k al número de maneras en que se pueda agrupar los
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n elementos en gnjpos de k elementos cada uno de tal 
manera que cada gaipo se diferencie por lo menos en un 
elemento.
Número combinatorio:
c :
índice superior 
índice inferior
Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k 
en k.
Ejemplo:
Hallar el número de maneras en que se pueden ao^^psr 
4 elementos a, b. c, d en grupos de 2, de rr,añera que 
cada gnjpo se diferencie en un eler^i^nto.
Resolución:
Sea el conjunto = a, b, c, d.
Los grupos serán, ab, ac, ad, be, bd, cd.
De donde ©n: Cj = 6
Tratemos de expresarlo en fundón de 4 y 2:
4!r'* — 4 x 3 x 2 x 10 2 - 3 x 2 x 1 ---------- 4!
2!x2!
De aqui se tiene como consecuencia la siguiente re­
lación:
Fórmula matemática:
c:: = n!
(n -k )!k !
51
3! 2!
30! 
28! 2!
5 x 4 x 3 ! 5 x 4
3! 2! 2
30x29x28!
donde: n, k e Di 
n > k
= 10
28! 2! = 15x29 = 435
Forma simplificada
c: = ni
(n-k) !k!
n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - k + 1) ( n - k ) l' ( 1x2x3 . . . k) (n-k) l
k factores
Qr, ^ n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) 
' 1 x 2 x 3 . . ,k
4 x 3 fs 
50 50 X 49 X 48C f =
p 7 /C . - : j
1x2x3
7 X 6 X 5 X 4
x 2 x 3 x 4
= 25x49x 16
= 35
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se puede escoger una comisión 
de 4 personas de un grupo de 7 personas?
Resolución:
7! 4 ! x 5 x 6 x 70 ' = 314! 6x4! = 35 maneras
Combinaciones con repetición
Se define: =
Ejemplo:
¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres fac­
tores podrán obtenerse con los cuatro factores primos
2; 3; 5; 7?
Resolución:
Según el enunciado, nada se opone a que en los fac­
tores primos de cada producto haya dos o tres factores 
iguales.
Dos productos solo podrán ser diferentes cuando ten­
gan factores distintos, luego los diferentes productos 
serán las combinaciones con repetición de 4 elementos 
tomados de 3 en 3.
6!c r : = C U 313! = 20
Estos productos son:
2 x 2 x 2 = 8 
2 x2 x3 = 12 
2 X 2 X 5 = 20
2 X 2 x 7 = 28
3 X 3 X 7 = 63 
3 X 5 X 5 = 75 
3 x 5 x 7 = 105 
3 x 7 x 7 = 147
2 x 3 x3 = 18 
2 X 3 X 5 = 30 
2 x 3 x 7 = 42 
2 X 5 X 5 = 50
5 x 5 x 5 = 125 
5 x 5 x 7 = 175 
5 x 7 X 7 = 245 
7 x 7 x 7 = 343
2 X 5 X 7 = 70
2 X 7 X 7 = 98
3 X 3 X 3 = 27 
3 x 3 x 5 = 45
Coeficiente bínómico [( )]
________k factores
nSe define k
n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) 
1 x2 x3 ...k
Donde; n e IR a k e E
Solo cuando n e IN; C¡J = n
k '
c u
Ejemplos:
7\ 7 x 6 x 5
3/ 1 x 2 x 3
1/1 .\/1
1/2 
4
= 35
1x2 x3x4 24
i ) ^ 
128
- 2 ( - 2 ) ( - 2 - 1 ) ( - 4 ) - 2 x 3 x 4 .
3 1 x 2 x 3 1 x 2 x 3
Propiiedades de los núm eros com binatorios
1. ( '" existe si y solo si n g Z*. k g 2Z a n > k
2. C " ^ (combinaciones complementarias)
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