Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (51)

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en una mesa rectangular dando de frente al público 
asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponer­
se los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo 
Cono no pueden estar separados?
Resolución:
Según el enunciado, los 4 alcaldes del Cono Norte 
deben sentarse juntos, a la derecha o a la izquierda 
de los 3 alcaldes del Cono Sur que también están 
juntos. Habría 2 formas en que pueden ubicarse, 
pero a su vez, los 4 alcaldes pueden ordenarse de 
|4_ = 24 formas diferentes y los otros 3 alcaldes se 
ordenan dejs = 6 formas.
.-. El total de formas es: 2 x 24 x 6 = 288
70. Se han matriculados 5 caballeros y 7 señoritas en 
el curso inicial de Química, en el cual las prácticas 
se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se 
deben formar grupos bipersonales, necesariamen­
te formados por un caballero y una señorita, ¿De 
cuántas maneras pueden seleccionarse dichos 
grupos si un caballero decide no trabajar con 2 de 
sus compañeras?
Resolución:
Sea el caballero señalado como A, se presentan 
los siguientes casos:
a) Si A no forma del grupo, se debe elegir un caba­
llero de 4 posibles y una señorita de 7 posibles, 
esto es: 4 x 7 = 28 formas
b) Si A forma parte del grupo, falta elegir a la se­
ñorita que acompaña a A, pero no elige a 2 de 
sus compañeras, sólo lo hace de 5 posibles, 
existiendo 5 formas.
De (a) y (b): 28 + 5 = 33 es el número total de 
formas para seleccionar los grupos.
71. Sumar: 5C3-i- 5"C ̂ 5""'C", ---- + ------ + H---------2-2 3 4 n+1
Resolución:
Multipliquemos y dividamos por (n + 1). Además 
ordenemos convenientemente.
n1 n + 1
n+ 1 1 CaX5 Í c í x 5̂ + ^ ^ ^C 2 x 5' +
+I!_L4c>5"^ n + 1 "
Aplicando proceso inverso a ia degradación de ín­
dices se tiene;
^ ^ [C r 'x 5 + C2''x5‘ + Cr'x5^+.., + Cn;;x5"’ ’¡ 
Sumamos y restamos: 1 = CS*'=C"Ti
^ ^ 1 c" - ' + c r ' X 5 + c r ’ X 5^+c r ’ X . . .
+ c:;!Íx5 '’ * '- c : ; ! í ]
Observe que la expresión en corchete exceptuan­
do el último término, viene a ser el desarrollo de
(1 + 5)"’ \ luego nos quedará:
—^ [(1 + 5 f - ’ -c " :, '¡ = n + 1’- ' " ‘ n + 1
72. Señale el valor del término central en el desarrollo 
de (x̂ " + X "̂ + 2)̂ " si se sabe que es equivalente a:
[4n
|12 - n |5n- 12
Resolución
( x '" - X ' " + 2 ) ' " = [ (x " + x - " ) f ' (x " + x - " ) " "
Sea te es el término central.
Lugar de = - ^ + 1 = 2n + 1
Luego: t, = t^,., = =
|4n _Por condición:
|4n 
[2n [2a 
Í4n
[2n l2n I l2 -n l5n- 12
=> 2n = 12 - n A 2n = 5n - 12 n = 4
L = c^:' - c:®
73. Hallar el equivalente de:
^ Cí 2Ĉ 3C3 4C4 nC"
S = - ^ + —̂ + ^ ^ + —̂ + ... + — ^3 3' 3' 3" 3"
Resolución:
Degradación de índfces:
Aplicando en lo pedido se tendrá:
o _ nC2 , , nCp_iO — -------H------ ?---- -̂---- 7— + —
3 3 ̂ 3 ̂ 3"
Extraemos (n/3) y ordenamos asi:
c r v c n i ) ^ c r ’U )+ . . .+ c - í ( ¿ )
La expresión en corchete es el desarrollo de +■3 j
- ® ^ i ( l í ’
74. Hallar2n en:(C:C"2C3...C;;)(1!2!3!... n!)̂ = (40 320)® 
Resolución:
Reduzcamos e! primer miembro; 
(C?C2C3...C")(1!2!3! ... n!)̂
_ n! n! ni
(n-1)!1! (n-2)!2 l
{n \ f
0,„x(1!2!3l...n!)^
X 1!2!3!.,.(n - 1)!n!(n - 1)!(n-2)!(n-3)!,..1!
=» (n!)" x n! = (n!)" ' ^
Luego, tendremos; (n!)" ' ’ = (40 320)®
PQro: 40 320 = 8! (n!)" ' ' = (8!)®n = 8
2n = 16
75. Hallar e! término independiente de x en el desarro-
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Resolución:
Supongamos que el TI de x ocupa el lugar: k + 1 
De aquí: t,_, = | 1 1 8 -3k
Por ser TIdex =■ 1 8 -3 k = 0 ^ k = 6 
En(l):t, = T I = C ' ( | f ( 4 f
76. Sean rn, n y p los coeficientes de tres términos con­
secutivos en la expansión de: B(x; y) = (x + y f 
Haliar: a, si: m + 2n + p = Ci“
Resolución:
Los coeficientes de los términos en la expresión 
son los coeficientes binomiales. Si m, n y p son ios 
coeficientes de tres términos consecutivos, enton­
ces supongamos que:
m = Ck: n = _ i ; p = , 2
Entonces en el dato; C® + 2C®, 1 + 2 = C?®
^a + 1. ^3-1 ^30 pk3-t2 _ 3̂0^ ^k-1 ^ '^k.2 — ^t2 ^ — ^̂ 2
De donde: a -1- 2 = 30 a = 28
77. Con respecto a las proposiciones siguientes, indi­
car cuáles son verdaderas;
l. 2[n - (n - 1) In - 1 = [n + |n - 1 ; n e S”
II
la in + 1In + 1 __
111. ¿ kin ^ In + 1 - 1
k 1
Resolución:
I. 2ln_ - nin - 1 + In - 1 = 2(n - (n + In - 1
- In + In - 1 ...(V)
r, n n + 1 - 1 n+1 1
In -r 1 h + 1 n -I 1 |n + 1 
1 1 ...(V)
'II. I k k - t i k ± S Ll + l i - [2
k=1 k-1
+ l4 - (3 + ... + In + 1 - |n
= ln + 1 - l l = In + 1 - ll ...(V)
Todas son verdaderas.
78. Hallar el equivalente de:
T = C" + 3Cj + 5Cj + 7C" + ... + nC„ 
Resolución:
De la sumatoria se deduce que n es impar Apli­
cando degradación de ambos índices, superior e 
inferior, en cada número combinatorio, resulta;
T = nCS ' + nCo’ ’ + nCj ' + nCg ’ + ,.. + nC^j
T -n {c s ' + c r ' + c^ V c r ’ + ... + c:¡:;}
.-. T = n{2"-^}
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMIS ION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2001 - 1)
En la suma combinatoria 
n /n -1 
2)^( 2S = , donde n ̂3, n g IN
Al simplificarse se obtiene siempre:
A) Un número primo B) Un cuadrado perfecto
C) Un número impar D) Un número par
E) Un múltiplo de 4
Resolución:
Del problema:
n(n-1) (n -1 )(n -2 ) 1S = ----^— + ------- g = .^(n - 1)(n + n - 2)
S = (n - 1)̂ , es un cuadrado perfecto
Clave: 6
PROBLEMA 2 (UNI 2003 -1)
En un examen un estudiante debe resolver 10 pregun­
tas de las 13 dadas. Si tiene que contestar necesaria­
mente por lo menos 3 de entre las 5 primeras, entonces
el número de maneras en que puede elegir las 10 pre­
guntas es:
A) 80 B) 220 C) 276
D)286 E)316
Resolución:
Del problema:
T o ta l-13 menos 3)
l 8 (las restantes)
El número de maneras de elegir 10 preguntas será:
C^xCf + C!xC6+C®xC^ =276
Clave: C
PROBLEMA 3 (LINI 2 0 0 4 - 1)
De 6 números positivos y 5 números negativos se es­
cogen 4 números al azar y se multiplican. Entonces, el 
número de maneras en que el producto resultará posi­
tivo es:
0 330A) 45 
D) 480
B) 170 
E )1080
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Resolución:
Para que el producto de cuatro números sea positivo, 
existen tres casos: dos positivos y dos negativos, cua­
tro positivos y cuatro negativos.
1.®'caso: C2XC2 = 150 maneras
2.° caso: C® = 15 maneras
3.®' caso: C® = 5 maneras
Total de maneras: 150 15 + 5 = 170
Clave: B
PROBLEMA 4 (LNI 2 0 0 4 • II)
En una exposición en el Museo de Arte de París, se van 
a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de 
Rembrandt y 2 cuadoros de Van Gogh. ¿De cuántas 
maneras puede ser ubicados los cuadros, de modo que 
los de Rembrandt se encuentren siempre juntos?
A) 288 
D) 17280
B )1728 
E) 36 288
C )2880
Resolución;
Tenemos:
p,, pj, P3 => 3 cuadros de Picasso 
R,, Rj, R3, R4 => 4 cuadros de Rembrandt 
V,, V̂ => 2 cuadros de Van Gogh
Para que los 4 cuadros de Rembrandt estén juntos, se 
toma como uno solo. Luego; Pg = 6!
Además los 4 cuadros de Rembrandt pueden permutar­
se entre ellos; P4 - 4!
Finalmente: n.° de maneras = 4! x 6! = 17 280
Clave:D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 5 -1)
Para elaborar un examen de 6 preguntas se dispone de 
un banco de 5 preguntas fáciles, 4 intermedias y 3 pre­
guntas difíciles. De cuántas formas puede elaborarse 
dicho examen si el número de preguntas fáciles debe 
ser estrictamente mayor que ias intermedias y el nú­
mero de estas a su vez mayor o igual que las difíciles.
A) 30 
D) 180
B) 60 
E) 274
C) 120
Resolución:
Según el enunciado, disponemos de:
5 preguntas fáciles 
4 preguntas intermedias 
3 preguntas difíciles
Debemos seleccionar 6 preguntas además se debe 
cumplir:
N.° Preg. N.° Preg. N.° Preg. 
fáciles intermedias difíciles
(A) 5
(B) 4
(C) 4
(D) 3
C^xC?xC^ = 4 
C !xC 2xC^= 30 
C!xC?xC? = 60 
C^xC^xC? = 180
Luego, el total de formas para elaborar dicho examen 
es: 4 + 30 + 60 + 180 = 274
Clave: E
PROBLEMA 6 (UNI 2 0 1 2 -1 )
El dueño de un concesionario automotriz desea vender 
todos los autos que le quedan, los cuales son de dife­
rentes modelos, pero en el salón de exhibición entran 
solo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras 
diferentes de ordenar la exhibición ¿cuántosautos le 
quedan por vender?
A) 4 B)5 0 6 D)7 E) 8
Resolución:
Por condición del problema:
1.° 2.“ 3.“
n (n -1 ) (n -2 ) = 210
n = 7 autos
Clave; D
PROBLEMA 7 (LINI 2 0 1 3 • II)
Un juego de azar (tipo lotería) consiste en elegir 5 nú­
meros diferentes de los primeros 30 números naturales. 
Cada persona que participa en este juego compra 26 
jugadas diferentes. Calcule la cantidad mínima de juga­
dores que se necesita para ganar el juego.
A )2349 B)3915 C)5481
D)6264 E)7047
Resolución:
{1:2; 3; ...; 30}
E: Cada persona elige 5 números diferentes 
Como no interesa el orden, sino el grupo de 5 números 
distintos: porejemplo{1; 3: 5; 7: 9}o{2: 4:10; 20; 25}..., 
esto se puede hacer de:
C30^ 30x29x28x27x26 ^naneras 
* 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Y como cada persona hace 26 jugadas, el número mini-
Ĉ °mo de personas para asegurar el triunfo es: = 5481
Clave: C
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