Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (54)

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Elevando al cuadrado y sacando raíz cuadrada: 
S = = ^ 3 - 2 /6 + 2)
S = h - 2 l 6
2. Calcular X en:
■¡X + 4 4 + 14/x - 5 + -/x + 59 + 16Vx - 5 = 17 
Resolución:
Dándole forma a los radicales para aplicar la regla 
práctica:
^x + 44 + 2/49(x"^5") +^x + 59 + 2/64(x-5) 
Sum a Producto Suma Producto 
U § + + 764 + V(x - 5) = 17
7 + 2 / x ^ + 8 = 17 
2Vx - 5 = 2 =» Vx - 5 = 1 x = 6
3. Hallar (a + b) en: 
¡2 V/5 + 2 + J Í Í ~-~2 /a - Vb
VV5 + 1 + /VT-1 
Resolución:
Elevando al cuadrado el numerador:
U ^ = ^ { ÍJ Í+2 + n í ^ f = J 5 + 2 + - Í 5 - 2 + 2Í W ^
N^= 2V5 + 2 = 2(V5 + 1) =» N = V2VV5 + 1 
Elevando al cuadrado el denominador: 
D ^ = ( / V ^ + J V ^ }^ = V 5 + 1+V5-1+2V4 
D^= 2V5 + 4 = 2(V5 + 2) => D = / 2VV5 + 2
V 2 /7 r7 iReemplazando; V2
V2V/5+2
= Vi - Vb
Multiplicando por el factor racionalizante (Vs - 2) 
en el radicando;
V2
V2
(V5 + 1) (V5-2)
(V5+2) l(/5 - 2)
(V5 + I) (V5-2)
(V5 + 2) (V5-2)l
i-V 5 ) = Va - Vb
= ^ - Vb 
= Va - Vb
/6 - 2V5 = Va - Vb
1 i
5 + 1 5x1
V5-VT = Vi-Vb 
a + b = 6
a = 5 A b = 1
4. Transformar en radicales sencillos:
Q = + x H 2 + 2Vx® + xÑM
Resolución:
Sea: E = x* + x‘ + 1 
Haciendo un artificio se tendrá: 
E = x®+ x“ + 1 + x^- x̂
Agrupando de la manera indicada.
E = x^{x'-1) + (x^+x + 1 )(x '-x + 1)
E = x^(x-1)(x^ + x + 1)+ (x̂ + x + 1)(x^-x + 1) 
Efectuando los dos primeros paréntesis y los dos 
últimos;
E = (x^+ X + 1){x^-x + 1)
Reemplazando;
Q = x̂"* + x" + 2 + 2 + x + 1) (x̂ - X + 1)
Suma Producto
/. Q = Vx̂ + x+~1 + Vx^-x + 1
Segundo caso: -/a + Vb + Ve + Vd = Vx + /y + Vz
Donde a, b, c y d serán los datos: x, y, z serán las incóg­
nitas a determinar, esta se hará medíante transforma­
ciones que conduzcan a un sistema de tres ecuaciones 
con tres incógnitas, cuyas soluciones darán (valga la 
redundancia) los valores de x, y. z.
Ejemplo:
Transformar a radicales simples;
Vi2 + V84 + V24 + / ^
Resolución:
Sea: Vl2 + V84 + V ^ + V ^
Elevando al cuadrado miembro a miembro: 
12+V84+V24-HVM=x+y+z-f2/xy+2V«+2/^ 
12+2V2T+2/6+2/Í4=x+y+z+2/)^+2V3E‘+2/yz 
De donde;
+ z = 12 ..,(1)
xy = 21 ,..(11)
xz = 6 ...(III)
yz = 14 ...(IV)
Resolviendo (II) (III) y (IV) que verifiquen (I) se tendrá: 
x = 3; y = 7; z = 2
Vl2 + Vá4 + V^+V56 = V3 + V7 +V2 
Forma práctica:
^ + b + c + 2Váb+2Vic + 2Vbc = J(Va + /b+Vc)^ 
= Va + Vb + Ve
Ejemplos:
• '/1O+V24+V6O+V4O = ^0+2V6+2VÍ5+2VTÓ
1 1 4 1
3 + 2 + 5 3x2 3x5 2x5 
= V3 + V2 + V5
V14- 2V35- 2VT4 + 2VTO =-V7 + Vs + V2
l i l i
7 + 2 + 5 5x7 7x2 5x2
Tercer caso: ^/a±Vb = x ± /y
Donde: C = V̂a ̂- B (racional) 
Además; 4x̂ - 3Cx - A =0; y = x^-C
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Ejemplo:
V̂io -/T o8 = X - /To 
C = ^/100- 108 C = - 2 
4 x U 6 x - 10 = O =. x= 1
y = 1 ^ - ( - 2 ) ^ y = 3
^ h o - - f m = 1 - /3 
<4 RACIONAUZACIÓN
Es el proceso que consiste en transformar un denomi­
nador (o numerador) irracional, en otro racionai a través 
de un factor denominado factor racionalizante.
Factor racionalizante (F,)
El factor racionalizante es una expresión irracional, tal 
que al multiplicar a otra también irracional la convierte 
en una expresión completamente racional.
Casos que se presentan
Cuando el denominador es un monomio: en estos 
casos el factor racionalizante estará expresado por otro 
radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponen­
tes del radicando estarán expresados por la diferencia 
existente entre el índice original de la raiz y los expo­
nentes que afectan a sus letras.
Ejemplos:
1. Racionalizar: ^
' / i V
Resolución:
2. Racionalizar 
A
A
A(F,) _ A(F,)
’/ ¡ V 3b
y2
AF F'2
A F FLa expresión racionalizada es: — ^
x^y
3. Racionalizar:
Resolución:
N N
5 ^ 1 4 . , 3/ x ’ y 
Racionalizar: - 
Resolución:
3 3
/̂54
Racionalizar: -
F,
xy
NR NF,
x^y
’/54
V3^X2"
®/3"x2"
30
3̂ /144 _ ^/Í44 
3x2 2
■ / ^
Resolución:
30 30 _ 3pv^, _ , 4; ^ 
/̂675 5x3
6. Simplificar:
V2 VÍ6
Resolución:
Racionalizando cada fracción tendremos: 
18 ^ ' / 4 , 24 „ /̂4 _ 18^/4 , 24^/4 _
Simplificar: ^ + ^
Resolución:
De manera similar al anterior:
15 /̂3 ,
W^/3 ^/3"/9
= 5V 3+2W
8. Reducir: V s x V ?
x>z“
Resolución;
En este caso, racionalizamos el denominador y 
luego simplifícamos la fracción:
/xz®^3xV^z xzVl2x*'y®ẑ
i 5̂ 2̂ x̂ yz" 2xyz
5,/Í2?yz‘
9. Reducir:
V25a^bc
) 
e
abc®/3â b abe
Resolución:
De modo similar al anterior:
^¡2V \ ^ 3^(5/4^)
/̂2 (̂3a^bc) ® /2 ^ \^ ^V / ^c 2
Cuando el denominador presenta radicales de la 
forma *"/a ± *"/b ; para estos casos el factor racionali­
zante estará expresado por la conjugada del denomina­
dor que se empleará tantas veces liaste que el denomi­
nador quede transformado en una expresión algebraica 
racional.
Ejemplos:
1. Racionalizar N
/á + /b 
Resolución;
N N / i - / b \ NF,
/ i + /b / a / b \ / á - / b , 
A
a - b
2. Kacionalizar:
Resolución:
A
'* /a - ‘'/b
Va - “Vb /̂a - ■’/b \ ̂ / ̂+ “/b /\ /á 4- /b 
N
a -b
3. Racionalizar;
+ ®/y
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Resolución:
N _ N .
N4. Racionalizar:
Resolución:
______ N N .
/6 + /Í5 + /2 + 75 /2(y3 + 1) + y5(/3 + 1)
N
(/3 + l){/5 + /2) (/5’-1 ) ( / Í - /2 )
NR F, NF F_ ____ M '2_______ ̂ '2
(3 -1 M 5 -2 ) 6
5. Racionalizar: , — ^ —
V36+ 12(/2 + /3 + /6)
Resolución:
2 :
^36 + i2(/2 + /3 + /6) V e ^ e T ^ T fT iT fT iT f
 ____2________ 2 Jé., ^
/6(/3+/2+1) /6((1+/2) + /3] /6 ¡{1+/2)-/3]
2/6F,^ /6.F,^ /2 2-/3F,̂ -/3F,,
~6{3 + 2 / 2 - 3 ] ' 6/2 ' Tf “ 12 " ~6~^
El denominador racionalizado es 6.
6. Racionalizar: A =
^ + / 3 - / 5 
Resolución;
Agrupando en el denominador de modo que la 
suma de los dos prin:>€ros radicandos (2 + 3) den 
el otro (5);
F,
6 ,.{i/^J^)+J5] 6F, _6F, /6
(/2 + /3)-/5 [(/2 + /3 )+^l S+2/6-5 2/6 /6
/6F,
A =
A =
7, Racionalizar: Q =
/ Í 0 - / 6 + / 5 - / 3
Resolución:
Agrupando los dos primeros términos y facíorizan- 
do /2 en el denominador:
Q =
Q =
/2{/5 -/3 ) + ( /5 -/3 )
{■/5-/3)(/2+1),/5 + /3 1 /2-1 2(1)
8. Racionalizar y simplificar cada uno de los casos 
siguientes:
I 2/2
/5 - /2
3
IV.
200
/ 5 - / 2 /Í25
/ 2 - /3
2 /3 -3 /2
/2 - / 5
/4 - / ÍÓ
/x - 1 - /x + 1 
/)T- 1 + /x + 1
VI. 2+/3_^ 2 -/3
Í 2- ñ Í 2+ ^
Resolución:
Analizando cada caso propuesto, tendremos que: 
2/2 ,./5 + /2 2/10+4
• / 5 - / 2 /5 + /2 3
I. - p ^ x ^ ^ Í ^ + ^ x ^ = (/5 + /2) + 8/5 
/5 - /2 /5 + /2 5 / 5 / 5
M / 2 - / 3 ,,2 /3 + 3 /2 2 /6 + 6 -6 -3 /6 - / 6 / 6
■ 2/3-S/2 2/3+S/2 12-18
IV ^ - / 5 1 .,/2 /2
/2 ( /2 - /5 ) /2 /2 2
/x-1 + /x+1 /x -1 - /x + i x - i- x -1
_ x-1+x+1-2/)?^ 2x-2/x^-1 a ~ í
------------T2 - T2 ^
,,, (2+/3)^ ^ (2 -j3 )^
'''■ 'V(2-/3)(2+/3) ^(2+/3)(2-/3)
4 - 3 
2 + /3 ^ 2 -/3
1 1 
Reducir la expresión:
= 4
1
3/2 -2 /3 3/2 +2 /3 3/3 +3/2
Resolución:
Efectuando los dos primeros sumandos y raciona­
lizando el tercero:
6/ 2 + 4/3 + 12/2 - 8/3 1
(3 /2 -2 /3 )(3 /2 + 2/3) 3(/3 + /2) (/3 - /2)
1 8 /2 -4 /3 / 3 - / 2 9 /2 -2 /3 /3 - /2
10/ 2 - 3/3 10/2
3 " 3
10. Racionalizar: / x - y
/x + y - / ^ y
Resolución;
Observando el denominador podemos determinar 
la respectiva expresión racionalizante:
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