Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (75)

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años, ¿qué edad tendré cuando tengas la edad 
que yo tengo?
Resolución:
Haciendo un cuadro de edades:
Pasado Presente
Jaime y 2x
Hugo X y
De donde: 2x + y = 42 
y - X = 2x - y 
2y = 3x
( 1)
. (2 )
( 2 ) e n ( 1 ) : 2x + ^ - 4 2 ^ ^
= X = 12
En (2): y = 18; luego la diferencia de edades es: 
2x - y = 6
Cuando Hugo tenga 24 años Jaime tendrá 30.
20, Un automóvil sube una cuesta a 60 km/h y la baja a 
90 km/h, el liano va a 80 km/h. Para recorrer 230 km 
de A hasta B, emplearía 3 horas, y en el regreso 
10 min más. Calcular el camino llano que hay entre
“A "y '‘B'’.
Resolución:
Graficando el recorrido:
Del enunciado: x + y + z = 230 ...{1)
,..(2)
= 3
Resolviendo (1 ), (2) y (3): y = 80 km
X
90
80 
80 60 — (3)60 '
2 1 . Dado el sistema:
(a + 1)x + y + z = a + 1 ...(1)
X + (a + 1)y + z = a + 3 ..,(2)
X + y + (a + 1)2 = -2a - 4 ...(3)
Resolverlo si: a ^ ~3
Resolución:
Sumando las tres expresiones: 
x(a I 3) -t- y(a + 3) + z(a + 3) =• O
(a + 3)(x + y + 2) = O
Por condición: a -3 , lo que implica que:
x + y + z = O
En (1 ): ax + x -r y + z = a + 1
ax = a + 1 = X =
En (2):
En (3):
ay + y + X + 2 = a + 3 
a + 3
az + X + y + z = -2a - 4 
az = -2a - 4 =. z =
22- Resolver: x + y + z = 0 ...(1)
ax + by + cz = O ...(2)
box + cay + abz = 1 ...{3)
Resolución:
Utilizando el criterio de reducción o eliminación:
(1)c;
(2 ):
(1)ab:
(3);
(I)b:
(II):
xc + ye + zc = O \ 
ax + by + cz = O * ' ^
(a - c)x +(b - c)y = O ...(I)
abx + aby + abz = O 
bcx + cay + abz
b(a - c)x + a(b - c)y = - 1 .,,(11)
b(a - c)x + b(b - e)y = O 
b(a - c)x + a(b - c)y : - i )
Luego: y =
(b - c)(b - a)y = 1 
1
( b - a ) ( b - c )
Análogamente;
1
( a - b ) ( b - c ) ’ 
23. Resolver:
1
( c - a ) ( e - b )
X + y + z = 1 
ax + by + cz = d 
a^x + b^y + c^2 = d̂
Resolución:
Utilizando la resolución de Cramer:
AS -
A S =
1 1
O b - a 
O b^-a^
1
a - a 
a^-a^
1
1
b - a 
b^-a^
b - a
b^-a^
1
c - a
e ^ - a ‘
c - a
c ^ - a ‘c - a
AS =(b - a)(c - a)(c + a) - (c - a)(b - a)(b + a) 
AS = (a - b)(b - c)(c - a)
1 1 1 I
' = (d - b)(b - c)(c - d)AX = b c
b ̂ ĉ
AX
AS
(d - b)<b - c )(c - d) 
(a - b)(c - a)(b - c)
(d - b ) (d -c ) 
( a - b ) ( a - e )
Luego-y = a ( d - a ) ( d - b )
Lueyu.y ( t , _ a ) ( b -c ) ( c - a ) ( c - b )
24, Un canal se puede hacer en 6 horas por 3 traba* 
jadores, si el primero inicia su trabajo cuando los
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otros dos han trabajado, entonces se necesita 4 
horas y media más para la obra, si el segundo tra­
bajador llega 3 horas más tarde que ios otros dos, 
se necesita 4 horas más para la obra. ¿Cuántas 
horas necesita el trabajador más ocioso para aca­
bar el canal sin la ayuda de los otros dos?
Resolución;
Trabajando solo en 1 hora
1 obrero
2 obreros
3 obreros
1/x
1/y
1/z
7 ¡1 + 1 W 4 Í J - U 1
De (2):
De (3);
En (4):
6(1 + 1 
' V z ,x y 
y
r/ 1 ^ 1 \ 1 1 ^ 1 1
7(1 + 1 + 1 
\ X V zy z / \y 
y = 18 horas
3 Í l U 1 = 1 =
...(1)
-..{3)
,.,(4)
J_
18
En(1)
El más ocioso necesitará 36 horas.
25, Dos poblaciones A y B distan 90 km. De A parten 
al mismo tiempo en dirección AB. un peatón y un 
automóvil con un pasajero, en un cierto punto in­
termedio C se baja el pasajero del auto y sigue ca­
minando hasta B; el auto vuelve desde C en busca 
del peatón para llevarlo a B punto al que llegan al 
mismo tiempo el peatón que subió al auto y el pa­
sajero que se bajo de el. Hallar el tiempo total que 
duró el viaje y ei tiempo que anduvo a pie cada 
uno.
Kuto = 60 km/h; v. = 5 km/h)
Resolución:
Trasladando los datos a un gráfico:
A M N C P B
60t, Stj Stj
5t. 5t, 60t,— :— >H ̂ — -
60t,
Se pide: t = t, + ti + t3 
Se sabe: e = vt
Para el problema: 
e, = 60t,; 62 = Stji 83 =
Del dato: BOt, + 5(t2 + tj) = 90
Simplificando: 12t, + tj + t, = 18 ...(1)
También: t, + ti + 12tj = 18 ...(2)
60t, = 5t, + Stj + SOtj
11t, = 13t2 ...(3)
(1) = (2): 12 t , + t ,+ t , - t , + t 3 + 12Í3 == t , - t ^
En (1): 12t, + ^ t , + t, = 18 =* t, = 1,3 horas
tj = 1,1 horas; t, = 1,3 horas
Luego: t = 1,1 + 1,3 + 1,3 = 3,7 horas 
tp = ta + - 2,4 horas
26. Resolver: (b + c)(y + z) - ax = b - c
(c + a)(2 + x) - by = c - a
(a + b)(x + y) - cz = a - b
Resolución:
Desdoblando los factores en las ecuaciones se 
tendrá:
{b + c)y + (b + c)z - ax = b - c ...(1)
-b y + (c + a)z + (c + a)x = c - a ...(2)
(a + b)y - C2 + {a + b)x = a - b ...(3)
(1 ) + (2) + (3): (a + b + c)(x + y + z) = O
Luego, podemos decir que; x + y + z = O
En (1): (b + c)(-x) - ax = b - c
-x ta + b + c) = b - c 
c - bX = a + b + c
(1) + (2): cy + (a + b + c + c)z + ex = b - a
cy + (a + b + c)z + cz + ex = b - a
c(x + y + z) + (a + b + c)z = b - a
(a + b + c)z = b - a
z = a + b + c 
Como: X + y + z = O
b - a \ / c - by = -
y =
a + b + c / la + b + c
a - o 
a + b + c
- b + a - c + b 
a + b + c
27. Resolver:
(c + a )y + (a + b)z - {b + c)x = 2a^
(a + b)z 4 (b + c)z - (c + a)y = 2b^
(b + c)x + {c + a)y - (a + b)z = 2c^ e indicar z.
Resolución:
Haciendo: (b + c)x = m; (c + a)y = n; (a + b)z = p. 
En las ecuaciones tendremos; 
n + p - m = 2a ̂ ...(1)
m + p - n = 2b
m + n -p = 2c^
(2 )
(3)
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(1) + (2): 2p = 2(a ̂+ b̂ )
Reponiendo a y b: 2(a + b)z = 2(â + b̂ )
» (a + b)z = {a + b)(a^ - ab + b^) 
z = - ab + b^
28. Calcular n para que el sistema: 
nx + y = 1 
X + y = 2
X - y = n, sea com patib le .
Resolución:
Si el sistema: ax + by = c 
dx + ey = f 
gx + hy = j 
es compatible, se debe cumplir que:
Para el problema:
a b c
d e f
g h j
n 1 1
1 1 2
1 -1 n
= O
= O
- 1 + 2 - 1 + 2 n -n = 0 
+ 2n - n = O 
n(n + 1) = O => n = O =. n = - 1 
Comprobando y reemplazando los valores de n:
Si n = 0: y = 1 A x = 1
Si n = - 1 : x - y = -1 a x + y = 2
X - y no es independiente, el sistema tiene solución.
29. Cuando yo tenga la edad que el tiene, que es lo que 
tenías cuando el tenia la edad que yo tengo, el tendrá 
la edad que tienes y a ti te faltará 15 años para du­
plicar la edad que yo tengo ¿Cuántos años tengo, si 
hace 10 años tenía la mitad de la edad que tienes?
Resolución:
Pasado Presente Futuro
Yo y X
Tú 2 y - 1 5 ^
El z ^
10 = é •(I)
x - y = z - x =>2x = y + z ...(II)
z - X = 2y - 15 - 2 => 2z = 2y + x - 15 ...(MI)
De (I) 
En (II) 
En (II
z = 2y - 20 
2x = 3y - 20 
2y - X = 25
(1)
(2 )
(1) + 2(2): 4y = 3y - 20 + 50 .-. y = 30
<4 SISTEMAS UNEALES: EL MÉTODO DE ELI­
MINACIÓN DE GALSS Y GAUSS^ORDAN
En esta sección, presentaremos un método sistemático 
para la resolución de sistemas lineales de cualquier ta­
maño. La idea del método es bastante sencilla: ir redu­
ciendo en cada paso ei sistema a otro (equivalente) que 
tiene una ecuación menos y una incógnita menos. Este 
método es conocido como método de escalerización, 
método de eliminación de Gauss o método de elimina­
ción gaussiana. Los dos últimos nombres aluden a que 
en cada paso vamos eliminando a una o más incógnitas, 
y son un reconocimiento a quien introdujo el método: el 
matemático Cari Friederich Gauss (1777-1855).
La solución directa de sistemas de ecuaciones lineales 
conlleva esencialmente dos etapas' transformación del 
sistema original a otro sistema equivalente más simple 
y luego la solución del nuevo sistema equivalente. La 
transformación del sistema original a uno más simple 
toma muchas formas, la más importante de ellas es ei 
proceso de eliminación gaussiana.
Para los procesos de transformación de un sistema de 
ecuaciones lineales, debemos tener en cuenta algunos 
aspectos a saber:
Teorema
Si en un sistema lineal de ecuaciones se sustituye una 
ecuación por el resultado de sumar a esa misma ecua­
ción un múltiplo de otra, entonces el sistema resultante 
es equivalente al original.
Demostración: supongamos que el sistema original sea;
= b,,
(S)
a,iX, 3,2X2 
a,,x, -i- 3,2X2 
a,,x, + 3,2X2 
amiXi +
a i n X „
+ a.^x,, = b,,
+ a,nXn = b ,, 
+ a „„x „ ■ b „
y que sumamos a la ecuación j el resultado de multipli­
car ambos miembrosde la ecuación i por un número p. 
Obtenemos un nuevo sistema;
(S’)
a „X i + 3 ,2 X2 + . . . + a , „ x „ = b , .
a „x , + a,¿X2 + ... + a,„x„ = b,,
a^iX, + ... + a,„Xn + P (a ,,x , + ., + a.^x^) = pb„
a „ ,x , + a,„,x, + ... + a _ x . = b„.
Para probar que ambos son equivalentes deberemos 
ver que cualquier solución de S es solución de S' y vi­
ceversa. Es decir, que sol(S) = sol(S’), donde sol(S) y
sol(S') son los conjuntos de S y S’, respectivamente. 
Veamos primero que cualquier solución de 8 es solu­
ción de S’. Sea (u,; Uj; a„) una solución de (S). Es 
claro que (a,; a^, . â ) satisface todas las ecuaciones 
de ( S ') pues son las mismas que las de (S ) salvo, tal 
vez, la J-ésima. Como (a,; a{, ■■■'■ debe verificar la 
i-ésima yj-ésima ecuación de (S) se tiene que:
a ,,c z , + a , ; a ^ + . . . + a „ , ( i , , = b,,
a,,a, + a 2a¿ + ,,.+ a,„a„ = b,.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad 
por p y sumando miembro a miembro, se deduce inme­
diatamente que;
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a . , a , + . . . + + ( 3 ( a , , a ,
p o r l o t a n t o , t a m b i é n l a j - é s i m a e c u a c i ó n d e S ' s e s a ­
t i s f a c e .
L a v e r i f i c a c i ó n d e q u e c u a l q u i e r s o l u c i ó n d e S ’ e s t a m ­
b i é n s o l u c i ó n d e S e m p l e a e s e n c i a l m e n t e e l m i s m o a r ­
g u m e n t o . I g u a l q u e a n t e s e s c l a r o q u e ( a , ; 02; . . . ; a J 
d e b e v e r i f i c a r t o d a s l a s e c u a c i o n e s d e ( S ) s a l v o t a l v e z 
l a j - é s i m a . P o r l a j - é s i m a e c u a c i ó n e n S ' s a b e m o s q u e :
a,,a, + ...+ a,„a„ + P(a,,a, + ...-I- a,pa„) = b, + pb„ 
en tanto que la i-ésima implica
a , i a i + a , 2t t 2 + . . . + a ^ O n = b j
M u l t i p l i c a m o s a m b o s m i e m b r o s d e l a i - é s i m a p o r p, 
y r e s t a m o s d e l a e c u a c i ó n q u e o c u p a e l l u g a r j , p a r a 
c o n c l u i r .
3)1«! + a,2(̂ 2 + ••• + a¡na„ = b|
E s t o m u e s t r a q u e ( a , : a ¡ \ . . . ; a ^ ) e s o l ( S ) y l a p r u e b a 
e s t á c o n c l u i d a .
E l t e o r e m a a n t e r i o r e s e l f u n d a m e n t o t e ó n c o d e l m é ­
t o d o d e e l i m i n a c i ó n q u e p r e s e n t a r e m o s y n o s a s e g u r a 
q u e e n c a d a p a s o r e s p e t a r e m o s l a e q u i v a l e n c i a e n t r e e l 
s i s t e m a d e p a r t i d a y e l d e l l e g a d a .
E n e l p r o c e s o d e e l i m i n a c i ó n h a y v e c e s e n q u e e s 
i m p r e s c i n d i b l e i n t e r c a m b i a r e c u a c i o n e s . J u n t o c o n l a 
t r a n s f o r m a c i ó n d e s u m a r a u n a e c u a c i ó n u n m ú l t i p l o d e 
o t r a , e s t o e s t o d o l o q u e n e c e s i t a r e m o s p a r a e l m é t o d o 
d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s , o e s c a l e r i z a c i ó n . A d e m á s d e 
e s t a s o p e r a c i o n e s r e c u r r i r e m o s a l a d e m u l t i p l i c a r u n a 
e c u a c i ó n p o r a l g ú n n ú m e r o d i s t i n t o d e c e r o . L l a m a r e ­
m o s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s a e s t a s o p e r a c i o ­
n e s . E s d e c i r , a l a s s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s e f e c t u a d a s 
a l a s e c u a c i o n e s d e u n s i s t e m a l i n e a l :
1 . S u m a r a u n a e c u a c i ó n u n m ú l t i p l o d e o t r a .
2 . I n t e r c a m b i a r d e l u g a r d o s e c u a c i o n e s .
3 . M u l t i p l i c a r u n a e c u a c i ó n p o r u n n ú m e r o d i s t i n t o d e
N o t e m o s q u e c u a n d o u n a e c u a c i ó n e s s u s t i t u i d a p o r e l 
r e s u l t a d o d e s u r n a r l e u n m ú l t i p l o d e o t r a , l a i n f o m i a c j ó n 
c o n t e n i d a e n l a e c u a c i ó n e l i m i n a d a n o d e s a p a r e e : 
e s t á i n ^ l f c i t e e r t t a n u e v a e c u a c i ó n , p o r q u e i a e c u a - 
c i ^ s u s t i t u i d a e n t t ’ó « > n u n c o e f i c i e n t e n o n u l o e n l a 
f o r m a c i ó n d e e s t a n u e v a e c u a c i ó n ( e n l a m a y o f i a 
l o s c a s o s e s t e c o e f i c í d n t e s e r á i g u a l a 1 ) . E s t a n u e v a 
e c u a c i ó n , j u n t o c o n l a q u e s e u s ó e n l a c o m b i n a c i ó n 
i i n e ^ , p e r m i t e n i ^ c u p e r a r l a e c u a c i ó n e N m i n d d a .
Notación m a tric ia l
A l t r a b a j a r c o n u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , l a r e p r e ­
s e n t a c i ó n d e l a s i n c ó g n i t a s ( x . y , z , o x , x „ , e t c . )
n o d e s e m p e ñ a n i n g ú n p a p e l i m p o r t a n t e y p u e d e u s a r s e
c u a l q u i e r a . D e h e c h o , p a r a d e t e r m i n a r l a s s o l u c i o n e s 
d e u n s i s t e m a e s s u f i c i e n t e c o n c o n o c e r l o s c o e f i c i e n ­
t e s y e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e d e l m i s m o . N a t u r a l m e n t e 
n o a l c a n z a c o n c o n o c e r l o s v a l o r e s d e e s t o s n ú m e r o s , 
s i n o q u e e s n e c e s a n o s a b e r e l l u g a r q u e o c u p a n : a q u é 
e c u a c i ó n p e r t e n e c e n y a q u é i n c ó g n i t a m u l t i p l i c a n . P o r 
e s t o r e s u l t a c o n v e n i e n t e i n t r o d u c i r l a n o c i ó n d e m a t r i z . 
L l a m a r e m o s m a t n z A d e m f i l a s p o r n c o l u m n a s ( o s i m ­
p l e m e n t e m a t n z m x n ) d e e n t r a d a s .
a i = 1; 2: . . . ; m a j = 1; 2; n
E n u n c u e r p o K , a u n o r d e n a m i e n t o r e c t a n g u l a r d e n ú ­
m e r o s .
a , , a ,2 a ,
^ _ a ^ , a -
E n g e n e r a l i n d i c a r e m o s c o n m a y ú s c u l a s l a s m a t n c e s , y 
c o n l a l e t r a m i n ú s c u l a c o r r e s p o n d i e n t e a s u s e n t r a d a s . 
P o r e j e m p l o , a l a m a t r i z A c o n e n t r a d a s a , , l a i n d i c a r e ­
m o s p o r :
A = ( ( a , , ) )
j = 1; n
o m á s b r e v e m e n t e A = ( ( a , ^ ) ) , c u a n d o l a s d i m e n s i o n e s 
e s t é n c l a r a s . E l p r i m e r í n d i c e i , i n d i c a l a f i l a y e l s e g u n ­
d o í n d i c e j , l a c o l u m n a a l a q u e p e r t e n e c e l a e n t r a d a . 
D o s m a t r i c e s s o n i g u a l e s s i t i e n e n e l m i s m o t a m a ñ o y 
l a s m i s m a s e n t r a d a s e n l a s m i s m a s p o s i c i o n e s . D i c h o 
d e o t r o m o d o , s i A y B s o n d o s m a t r i c e s m x n . e n t o n ­
c e s A = B s i y s o l o s i :
a , j = b , , V , = 1; m ; j = 1; . . . : n
D o s m a t r i c e s d e d i s t i n t o t a m a ñ o j a m á s p u e d e n s e r 
i g u a l e s .
D a d o u n s i s t e m a l i n e a l d e e c u a c i o n e s :
a „ x , -I- 3, 2X2 -I- 
82, X , 4 - 822X 2 +
3m1̂ l 3m2̂ 2
-f a,„x„ = b,,
+ 32n>̂n = bj,
+ a^,x„ = b„,
L l a m a r e m o s m a t r i z d e l s i s t e m a a l a m a t r i z A , c u y a d i ­
m e n s i ó n m X n e s i g u a l a l t a m a ñ o d e l s i s t e m a , f o r m a d a 
p o r s u s c o e f i c i e n t e s . E s t o e s :
A =
L l a m a r e m o s m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a a l a m a t n z 
m X { n + 1)
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