Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (91)

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• -1 < X - 1 < O =* ]x - 1] = 1 - X
• 4 < x + 4 < 5 =s|x + 4|:=x + 4 
En 5a ecuación'.
| 2 - x + x + 3 | - | 1 - x - x - 4 ( = 2 h - x̂ 
5 - | - 2 x - 3 | = 2^x-x^ ^ 5- |2x + 3|=2Vx-x^ 
Como 0 < x < 1 =»3<2x + 3 < 5 
= |2x + 3i = 2x + 3 
^ 5 - (2x + 3) = 2/x"-x^
De aquí: 1 - x = Vx - x̂
Elevamos al cuadrado (1 - x)̂ = x(1 - x)
(1 - X ) " - x(1 - X ) = O ^ (1 - x){1 - 2x) = O 
De donde: x = 1 v x= 1/2 
Luego: A = {1; 1/2}
Con esto: (I) es F; (II) es V; (III) es F.
Solo (II) es correcta,
5. Determinar la suma de los valores enteros que sa­
tisfacen la inecuación:
||x - 2 \ + 2 x \<
Resolución:
De ||x - 21 + 2x| < ■■■{o.)
= » -x > 0 =>x<0 condición necesaria)
Con esto: x - 2 < 2 = > | x - 2 | = 2 - x 
En(a): |2 - X + 2x| <
^ |x + 2j <
(x + 2)̂ < -X =. x̂ + 5x + 4 < O 
=> (x + 4)(x + 1) < O =» -4 < X < -1 
Intersecando con la condición necesaria:
-4 < x< -1
De aquí, los valores enteros de x son:
-4; -3; -2 : -1
X, de todos ellos: -1 0
6. Determinar el conjunto solución de la inecuación: 
|x' - 10| í |xY + 8x̂
Resolución:
Sea: |ap = â ; v a e IR 
^ |x"- 10|<x" + 8x̂
Es no (-)
De aquí: -(x“ + 8x )̂ < x"* - 10 < x'“ + 8x̂
= -x" - 8x' < x" - 10 A X * - 10 < x" + 8x" 
x" + 4x̂ - 5> O A 8x' + 10> O 
(x^- 1)(x^+5)>0 A x e E
« (x + 1)(x - 1) > O A X e IR 
( x < - 1 v x > 1 ) A X G E
Intersecando: X < -1 v x>1
CS= (-oc; -1 ] u [1; +oc)
7. Determinar la suma de los elementos del conjunto: 
M = {XElR/jx - 1|' + 3¡2x -5) = 3|x - 1| +
|1 -x [ |2x-5( }
Resolución:
Observación: |x - 1| = |1 - x|
De M: Transponiendo términos;
|x ' 1!' - 3 |x - 1| - |x - 1|i2x - 51 - 3|2x - 5| 
íx - 1|{|x - 1| - 3) = |2x - 5|(|x - 1| - 3) ...(a) 
Observación: (x - 1[ -3 = O => ¡x - 11 = 3 
De aquí: x - 1 = 3 v x - 1 = -3 
« x = 4 v x = -2 
De (a): |x - 1| = |2x - 5|
^ x - 1 = 2 x - 5 V x - 1 = -(2x - 5)
X = 4 V 
Luego: M = {4; -2; 2}
Z de elementos de M: 4
X = 2
8. Al resolver la inecuación, el conjunto solución es 
A = (a; +cc), hallar el valor de "a";
2 - 1 2 - x i - x
x^ - 2
< O
Resolución:
...(I)
2 - ] 2 - x | - x
De —¡—!— — -------< O
| x - x ^ | - 2
Observación: ¡x - x̂ | = 2 
Resolvamos: |x - x̂ | = 2 
= » x -x ^ = 2 v x - x ^ = -2 
x^- X + 2 = 0 V x ^ - x - 2 = 0 
3 x e E V (x - 2)(x + 1) = O 
=»x = 2 V X = - 1
Con esto decimos que: X # 2 a x?¿ -1. y como el 
CS = (a; +co) o sea que: x > a; quiere decir que 
X > 2 (condición necesaria).
De (I): < o
| x | l - x | - 2
De la condición necesaria:
• 2 - x < 0 = * | 2 - x | = x - 2
• 1 - x < - 1 = > | 1 - x | = x - 1
• |x| = x
2 - (x - 2) - x 
x ( x - 1 ) - 2
(x -2)
< O
> O
2(2-x ) 
x ^ - X - 2
' ' > 0
< O
(x-2) (x+1) ' '' ~ x+1
= i X + 1 > 0 = x > —1
Intersecamos con la condición necesaria x > 2 
=» CS = (2; + x ) Identificando: a = 2
9. Dados los conjuntos:
A = {(x; y) e / y > x̂ - |x[}
B = «x;y) eE = /y < lx ^ - Wl)
C = >; y)
determinar la gráfica de A n B n C,
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Resolución:
A = {(x; y) e y > x̂ - ¡x)) 
y > x " - | x | + l - l . y > ( | x | - | ) ^ l 
Su gráfica es:
Su gráfica es:
C = :x; y ) 6 I R V y < | j
Su gráfica es:
La gráfica de A n B n C es:
10. Graficar la región definida por el conjunto:
M = {(x; y) e E x IR/x̂ + y" < 4y + 16 A + 2 < y}
Resolución:
M = {(x: y) € E^/ x ̂+ ŷ < 4y + 16 a x ̂ + 2 < y}
♦ x^ + /< 4 y + 1 6 «■ x̂ + ŷ - 4y < 16
=í x̂ + (y - 2 f < 20; cuya gráfica es:
La intersección de ambas es la gráfica de M.
11. Detenninar el intervalo al cual pertenece "a", de tal 
manera que la desigualdad: 
x̂ - 8x + 20 ^ Q
ax ̂+ 2(a + 1)x + 9a + 4 
se verifique para todo valor de x.
Resolución:
x̂ - 8x + 20 < 0; V X effi
ax ̂+ 2(a + 1)x + 9a + 4 
Como x̂ - 8x + 20 > 0; V X e E 
=» ax̂ + 2{a + 1 )x + 9a + 4 < 0; v x e E 
Por propiedad: a < O a a < O 
a < O A 4(8 + I f - 4(a)(9a + 4) < O 
= > a < 0 A a ^ + 2a + 1 - 9â - 4a < O 
» a < O A 8â + 2a - 1>0 
=» a < O A (4a - 1)(2a + 1) > O 
« a < 0 A 2 a + 1 < 0
a < 4
a < O A a <
12. Representar en el plano cartesiano la región: 
A= {(x; y) A (X + y)x < 0} 
Resolución:
A= {(x; y) e E^/(x + y)x < 0}
Usando la propiedad;
ab<0 => (a>0 a b<0) v (a<0 a b> 0)
Se tiene que: (x + y)x < O
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=» (x + y > 0 A x < 0 ) V (x + y < 0 a x > 0 )
M N
=. A = M u N
• M:x + y > 0 A x < 0 = » y > - x A x < 0
X = o ^ y = -X 
La zona más oscura representa a M.
La zona más oscura representa a N 
A = M u N será:
X + X + 18 
2 - x + X -1 > O
Resoiución:
x ! + x + : i 8 + x - i > o2 - x
x ̂+ x+ 18 + ( x - 1)(2- x)
2 - x > O
4x+ 16 
2 - x > O X + 4
x - 2 < O
+ - . +
=. x e ( - 4 ; 2 )
14. Dado los siguientes conjuntos: 
A = x e S/
1 +1x1 “ 2
B = y e IN/_ m _ < i
1 +|y| 2
determinar el número de elementos de A n B.
Resolución :
• De: A = x TLÌ- f \ J_ > _L 
x | " 2
Como: 1 + |x| > O, V X e E A ¡xl > O 
^ 2 ^ > 1 + |x¡
¡x[ + 1 - 2 j[7 i <0 =* ( í m - l f < O
- ( / ¡ 7 ¡ - i f = 0
(pues un cuadrado no puede ser negativo) 
=• ^fx] =1 =>x = 1 v x = -1 
(ambos son enteros)
A = {1;-1}
|y| ^De; B = y e IN/-
1 +|y| 2
- 2|y| < 1 + ly| - |y| < 1 
Como y G IN =» B = {1}
A+ B = {1} ^ N(An B) = 1
-1 < y < 1,
15. Si a + 1 < 0: hallar el conjunto solución de 
•lax^ + X < 1 - ax
Resolución:
a + 1 < 0 = » a < -1 
■íaxFTx < 1 - ax
=» ax ̂+ X > O A 1 - ax > O a ax̂ + x < 1 - ax 
=> x ( -a x -1 )< 0a x > + - a - a x ^ - (a + 1 )x +1 >0
^ ( o < x < - - ^ A x > j jA -ax^ - ( a+1) x -1+ 2>0
^ (o < x a (-ax - 1)(x + 1) + 2 > O
> 0 +
La segunda desigualdad se satisface para todos 
1los x de 
CS =
0; - - a
0; - - a
16. Determinar a qué intervalo deberá pertenecer m,
3 x - 8para que la gráfica de f(x)
x̂ - x + 1
• + m + 4 se
encuentre siempre sobre el eje x, para todo valor 
real de x.
Resolución:
La gráfica de f debe estar siempre por encima del 
eje X , es decir; f(x) > O, v x e E
3 x - 8 
x̂ - x + 1
m + 4 > O, v x e m
(m + 4)x^ - (m + 1)x + m - 4 O, V X e IR
x" - X + 1 
Como: x ^ - x + 1 > O, v x e E 
=» (m + 4) x̂ - (m + 1)x + m - 4 > O, V x e E
=»m + 4 > 0 a A < 0
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=» m + 4 > O A (m+1)^- 4(m + 4)(m - 4) < O
=» m > -4 a 3m̂ - 2m - 65 > O
=í m > -4 A (3nn + 13)(m - 5) > O
=»m> -4 a / m < - 4 ^ v m > 5
m > 5 => m e <5; + o o )
17. Determinar qué condición debe satisfacer "a”, para 
que cualquiera que sea el valor real atribuido a x, 
el trinomio x̂ + 2x + a, sea superior a 10.
Resolución:
x̂ + 2x + a > 10; V x eE 
=> x*+ 2x + a -10 > 0; V X e E 
Por propiedad;
1 > O A ( 2 f - 4 ( a - 10) < O 
=» 1 - (a - 10) < 0 ^ a > 11 
a > 11
18. Resolver: - 2x + 5 < 3x + 8 < 6x - 10 
Resolución:
-2x + 5 < 3x + 8 < 6x - 10
=» -2x + 5 < 3x + 8 A 3x + 8 < 6x - 10
» - ^ < x a 6 < x = > 6 < x
CS = (6: +oo)
19. Si a > b > O y S es el conjunto solución de la ecua­
ción: |x - a| -I- b = (x -h a[ - b, hallar ei conjunto S.
Resolución:
| x - a | + b = |x-Ha| -b a a > b > 0 
= (x< - a A a - x - i - b = - x - a - b ) v
{ - a < x < a A a - x + b = x + a - b ) v 
( x > a A x - a + b = x + a - b ) 
=> (X < - a A a -I- b = - a - b ) (F)
- a < x < a A x = ' ^ j v ( x > a A - a + b=a-b)(F) 
=9 (X e 0) V (x = b) V (x e 0) == X- b S = {b}
20. Determinar eí conjunto solución de la ecuación:
15 - |x 2|i - |3x 2)
Resolución:
Recuerde que: (aj = |b | =* a = b v a = - b ,
- 15 - Ix - 211 = |3x - 21 
^ 5 - jx - 2[ = 3x - 2 V 5-|x - 2|= 2 - 3x 
=» jx - 2j= 7 - 3x V jx - 21 = 3x + 3 
A B
En A-, ix - 21 = 7 - 3x
7 - 3 x > 0 a ( x - 2 = 7 - 3 x V x - 2 = 3 x - 7 )
X < I A x = | v x = |
;k < | a x = | ) v (x < 1 a x = |
En B: [X - 2| = 3x + 3
3x + 3> 0 A ( x - 2 = 3x-f-3 v x - 2 = -3x - 3) 
- x > - 1 A ( x = - | v X = - 1 )
^ ^X>-1 A X = - - | ) V ^X>-1 A X =
(xe(J)) V
CS = 1- i
4’ 4
21. Dado el conjunto:
A = { X e E/ ||x - 2| - |x - 3||- 3x = 4}, 
determinar: n(A).
Resolución:
A= { X e E/ |jx -2|-|x - 3|| = 3x + 4}
^ ||x - 2| - |x - 311 = 3x + 4
=» ( X < 2 A 12 - X + x - 31 = 3x + 4) v
(2 < X < 3 A I X - 2+x - 3| = 3x + 4) v
( X > 3 A |x - 2 - X + 31 = 3x + 4)
=» ( X < 2 A 1 = 3x + 4) V (2 < X < 3 A
12x - 51 = 3x + 4) V ( X > 3 a 1 = 3x + 4)
^ (x< 2 ^ x = -1 ) A [ 2 < x < 3 h
(2x -5 = 3x + 4 V 2x - 5 = -3x -4)] v 
( X > 3 A x= -1)
2 < x < 3 A íx = - 9 V x = -l^ (x= -1) V
V (x e 0 ) =» (X = -1) V (x G 
Luego; A = {-1 } n(A) = 1
x= -1
22. Determinar el conjunto solución de la ecuación:
)x - 7| + I x - 5| = |x - 2|
Como respuesta dar la suma de las soluciones por 3. 
Resolución:
|x - 71 + |x - 5| = |x - 21 
- > ( X < 2 A 7 - x ( - 5 - x = 2 - x ) v
( 2 < x < 5 A 7 - x + 5 - x = x - 2 ) v 
( 5 < x < 7 A 7 - x - x - 5 = x - 2 ) v 
( x > 7 a x - 7 + x - 5 = x - 2 )
^ ( x < 2 A x = 10) V | 2 < x < 5 a x - V
(5 < x < 7 A X = 4) V (x > 7 A X = 10)
=• (X G 0 ) V ^x = V ( x e 0 ) V ( x = 10)
=» X, = ^ V Xj = 10 
Se pide: 3(Xi + X2) = 44
23. Determinar la suma de raíces de: ¡xl + I x - 21 = 5 
Resolución:
Ixl + Ix - 21 = 5
=» ( x < O A - x - x + 2 = 5 ) V ( 0 < x < 2 )
A x + 2 - x = 5) V ( x > 2 A x + x - 2 = 5)
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