Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (101)

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De (I); y + z< 6 - x 
Con (lil): 5 < y + z < 6 - x
Observación: x < 1 => x = 1 
En(l}:y + z < 5 1 
De(lll):y + z > 5 )
Además, de (II) y (IV): y > 2 
z > 3
(a)
6.
De (u): y = 2 A z = 3 S = (1 )(2)(3) = 6 
Indicar el sistema cuya solución gráfica es:
Resolución;
Según gráfico, la región sombreada se obtiene de 
in te rs f ic ta r la s doR re a io n e s s o m b re a d a s s inu ien tes*
El g rá f ic o c o rre s p o n d e a: y > |x|
El gráfico corresponde a: 
x + y > 1 ; x + y < 3 ; x > 0 ; y > 0 
Finalmente el sistema es;
X + y > 1 
X + y < 3
y > |x|; x > 0; y > O
7. Determinar el valor de E = — ^ , en el siguiente
sistema de inecuaciones lineales: 
z - 1 >•' X + y < z + 1
2 - 7 < x - y - ^ z - 5 
10 ■ ' X - r z 12; X , y , z e Z '
Resolución:
Sea: z - 1 x + y ■< z + 1 
z - 7 < X - y < z - 5 
1 0 ' X + z < 1 2
-.(I)
...(II)
Donde: x; y; z e Tt
En (I), resto z : - 1 < x + y - z < 1
En (11), resto z: -7 < x - y - z < - 5 (+)
Sumando: -8 < 2(x - z) < -4 
De aqui: -4 < x - z < -2 • í*' )̂
(lll) + (IV): 6 < 2 x < 1 0 = > 3 < x < 5
Observación; x = 4 e Z'
En (III): 10<4 + z< 12 
=> 6 < z < 8 =» z = l 
En ( l) ;6<4 + y<8 
=. 2 < y < 4 * y = 3GZ"
Con esto; E = ^ ^ - = 1
8. Determinar los valores enteros de “x” e “y" que 
cumplen;
3x -- 4y > 10 
x + 2y < -12 
y > - 6 
Dé como respuesta; x + y
Resolución:
3 x - 4 y > 1 0 ,..(l)
x + 2 y < - 1 2 ...(II)
y > -6 ...(III)
3(11) - (I): 3x + 6y - 3x + 4y < -36 -10 
=> lOy < -46 =» y < -4,6 
Luego: -6 < y < -4,6 => y = -5
Reemplazamos en (I) y (II):
3x - 4(-5) > 10 =, X >
X + 2(-5) < -12 => X < -2 
Dedor^de, —̂ < x < - 2 =* x = -3
O
x+ y = -8
9. ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras tiene el 
conjunto solución del sistema?
y>x= ...(1)
X + y < 2 ... (II)
Resolución:
Entonces el sistema tiene ocho soluciones enteras.
10. Sean los conjuntos;
A = {(x; y) G ZZ' / (X - 1)' + (y - 2)̂ < 1}
B = {(x; y) GIR̂ / log^y > x} 
calcular el cardinal de: A n B
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Resolución:
Graficando ambos conjuntos:
Si (x; y) A n B => x G Z A y e S, por lo que A n B 
solo tiene 3 pares de componentes enteras.
An B = {(0; 2), (1; 2). (1; 3)} n(AnB) = 3
11. Minimice: Z = 2x, + SXj 
Sujeto a: Xi + 2xj > 8 
2x, + X2 >7 
4x, + 5X2 < 29 
0; Xj > O
Resolución:
Minimizar: Z = 2x, + SXj 
Sujeto a: x, + 2Xj > 8 
2x, + X2 > 7 
4x, + 5X2 < 29
O ; x^> O
G ráfica
// fo: Z será mínimo en P.
Calculando P:
X , + 2 x 2 = 8 K 3 x , + 3 X2 = 1 5
2x, + X2 = 7 J X, + X2 = 5
Luego: x, = 2 a X2 = 3
Z ,̂„ = Z(2: 3)= 2(2) + 3(3)= 13
12. El gerente de un equipo de béisbol desea comprar 
bates y pelotas que cuestan $12 y $3 cada uno, 
respectivamente. Por lo menos se requiere cinco
bates y diez pelotas, y el costo total no debe pasar
de $180. ¿Cuántas posibles compras existe?
Resolución:
Sean: x: n.° de bates; y: n.° de pelotas 
Entonces: x > 5 ...(I)
y>10 ...(II)
12x + 3y < 180 
4x + y<60 ...(III)
(III)- (If): 4x + y - y <60 - 10
= » 4x < 50 = > X < 12,5 
Luego: 5 < x < 12,5 
x = 5: 10 < y A y < 40 
=» 10 < y < 40 => "y" toma 31 valores 
=> hay 31 posibles compras.
X = 6: 10 < y A y < 36 
=> "y" toma 27 valores 
=> hay 27 posibles compras.
X = 7: 10 < y a y < 32 
=> "y" toma 23 valores 
=» hay 23 posibles compras.
Y así sucesivamente.
Por lo tanto, el número total de compras es: 
'31 +3 '31 + 27 + 23 3 = 12 = 34(6) = 204
13. Encontrar el máximo valor de: Z = 4x + 3y
Si (x; y) e {(x + y) e / 30x + 20y < 1800; 
x + y < 8 0 ; x > 0 A y > 0 )
Resolución:
Maximizar: Z = 4x + 3y
Restricciones:
Graficando:
30x + 20y < 1800 
x + y < 80 
x > O A y > O
La solución óptima se encuentra en el punto P e f„,. 
Calculando las coordenadas de P.
2,: 30x + 20y = 1800 
3x + 2y = 180 
Z2: x + y = 80
=> X + 2(x + y) = 180 
^ x= 20; y= 60 == P = (20; 60)
Luego: Z„^, = Z(20; 60) = 4(20) + 3(60)
2™.,= 260
14. Determinar el máximo valor de; 2x, + 3X2 
Sujeto a: x, + 2X2 < 6 
5x, + 3X2 < 15
X , > O A X 2 > O 
Resolución:
Maximizar: f(Xi; x̂ ) = 2x, + Sxj 
Sujeto a: x, + 2xj < 6 
5Xi +3X2 < 15 
X, > O A y> O
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Graficando:
La solución óptima se encuentra en P e f„ (cual­
quier otra recta paralela a fo que pase por la región 
factible que contiene puntos de esta, donde f toma­
rá valores menores que en P). Calculando P:
X, + 2X2 = 6 A 5x, + 3X2 = 15
Luego: =
- f = 24 , «• ‘ 'mdx 7 ^ 7 7
15. Si X, y, z e Z“", determinar el número de soluciones 
del sistema.
X + y + z = 6 
,x + y - z = 4
Resolución:
X, y z e 2Z* A
íx + y + z = 6 ̂ | x + y = 5
|x + y - z = 4 1 z =1
El conjunto solución S es de la forma.
S = {(x; y: 1 ) / x + y = 5 A x: y 6 2''}
De: x + y = 5
1 4 « (1;4; 1)eS
2 3 => (2: 3 : 1 ) e S
3 2 ( 3 ; 2 ; 1 ) e S
4 1 ^ (4; 1; 1)eS
n(S)-4
16. Determinar el máximo valor que asume: 2x + y 
Sujeto a: y < x + 2
y < -X + 3 
,x> O A y > O
Resoiución:
Se pide el máximo de: f(x; y) = 2x + y 
Restricciones f y < x + 2 
y < -X + 3 
X > O A y > O
Graficando:
La recta f^ (fm // fo) aquella que contiene a la so­
lución óptima, f será máxima en (3; 0).
f „ , . - f (3;0)-2(3) + 0 = 6
17. Un hombre pone una pareja de conejos en un lugar 
cercado por todos lados. ¿Cuántos conejos tendrá 
al cabo de un año si se supone que cada pareja 
engendra cada mes una nueva pareja que, a su 
vez, es fértil a partir del segundo mes de vida?
Resolución;
Haciendo un esquema, donde: (*) es una pareja
de conejos; (__) es la pareja anterior y (/ \) es la
descendencia, se tiene.
Se tiene la sucesión de Fibonaci.
Donde: â = a, = 1 a a„ +, = â + a ^ , . v n e Di. 
Luego de un año, la cantidad de parejas de cone­
jos será a,2 = 233.
Por lo tanto, el n,° total de conejos es: 2(233) = 466
18. Un sastre tiene 80 de tela de algodón y 120 m̂ 
de tela de lana. Un traje requiere 1 m̂ de algodón 
y 3 m̂ de lana; y un vestido de mujer requiere 2 
de cada una de las dos telas. Calcular el número 
de trajes y vestidos que debe confeccionar el sas­
tre para maximizar los beneficios; si ur̂ traje y un 
vestido se venden al mismo precio.
Resolución:
Haciendo un cuadro con los datos:
Algodón
Lana
Sean:
Traje
1
3
x: n.' 
y: n.
vestido
2
2
de trajes 
' de vestidos
m'
80
120
Restricciones: í x + 2y < 80 
3x + 2y < 120 
X > O a y 2 O
Si “k” es el precio de cada prenda, entonces la fun­
ción objetivo será: f(x; y) = k(x + y)
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Graficando:
f tomará el máximo valor en Pe f„,. Calculando las 
coordenadas de P.
X + 2y = 80 
[3x + 2y= 120
Se deben confeccionar: 20 trajes a 30 vestidos
x= 20 A y = 30
19. Hallar el máximo valor de Z = 3x + 6y, tal que:
X + y < 80
2x + I < 80 
X > O A y > O
Resolución:
Maximizar: Z = 3x + 6y
Sujeto a: 
Graficando:
X + y < 80
4x + y < 160; x > O a y > O
Z será máximo en P = (0; 80)
Luego: Z^=Z(0; 80) = 3{0)+6(80) Z ^ = 480
20. Sea el siguiente sistema de inecuaciones 
3x' + 2y < 4
2x - 3y" < -2 
Entonces el conjunto solución está representado 
por la región:
Resolución:
3x̂ + 2y < 4 => y < - | x ^ + 2
2x - 3 / < -2 ^ X < | / - 1
Graficando cada relación, se obtiene:
Luego, la solución del sistema es la región IV.
21. Una editorial planea utilizar una sección de planta 
para producir dos libros de texto. La utilidad unitaria 
es de $2 para el libro 1, y de $3 para el libro 2. El 
texto 1 requiere 4 h para su impresión y 6 h para su 
encuadernación. El texto 2 requiere 5 h para impri­
mirse y de 3 h para ser encuademado. Se dispone 
de 200 h para imprimir y de 210 h para encuadernar. 
Determinar la máxima utilidad que puede obtener.
Resolución:
Haciendo un cuadro de los datos:
Impresión 
En cuadernac
Texto 1 
4 
6
Texto 2 
5 
3
Horas
200
210
Sean: x: n.° de unid, del libro 1.
y: n,° de unid, del libro 2.
Restricciones: 4x + 5y < 200
6x + 3y< 210
x > O A y > O
Función objetivo: U(x; y) = 2x + 3y 
Graficando:
U será máxima en P, cuyas coordenadas son:
4x + 5y = 200 ^ x - 25 A y - 20 
6x + 3y = 210
Luego; U,,,= U(25; 20) - 2(25) + 3(20)
.-. U„4.= 110 dólares22. Minimizar la función f(x; y)= 2x +8y sometidas a 
las restricciones;
X > 0; y > O 
2x + 4y > 8 
2x - 5y < O 
-x + 5y < 5
Resolución:
Minimizar: f(x: y) = 2x + 8y
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