Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (112)

Vista previa del material en texto

en el primer segundo, en cada segundo siguiente 
recorre 5 m más que el segundo anterior ¿Después 
de cuantos segundos los cuerpos se encuentran?
Resolución:
Llevando los datos a un gráfico:
Recorre en total:
Sl = í ^ l l l2 ( 1 7 ) + ( l-4 )(1 ) ]
Para e! primero: e, = 10x 
Para el segundo: ej = 3 + 8 + 13
X términos
Luego: 10x + |[2(3) + (x -- 1)5] = 153
X = 6
En el instante de comenzar un año no bisiesto un 
reloj señala las 11 h 40 min y 25 s, se supone que 
va adelantando, este reloj se retrasa el primer dia 
del año un segundo; el segundo día. 3 segundos; 
el tercer dia, 5 segundos y así sucesivamente. A! 
comenzar un dia del año el reloj marca la hora en 
punto, ¿cuál será el dia?
Resolución:
11 h 40 min 25 s = 42 025 s de adelanto 
1 + 3 + 5 + ... = 42 025
X dias
x̂ = 42 025 ^ X = 205
E nero F e b re ro M arzo A b ril M ayo Ju n io Ju lio
31 28 31 30 31 30 @ )
Hasta ese día se retrasará 
.-. Marcará la hora exacta: 25 de julio
Un ciclista sale de un cierto lugar A y recorre un 1 km 
el primer día, 4 km ei segundo, 7 km el tercero, y 
así sucesivamente. Después de 3 días de su par­
tida, un motociclista sale a darle alcance y recorre 
17 km el primer día, 18 km el segundo, 19 km el 
tercero y así sucesivamente, encontrándose por 
primera vez en un pueblo B y por segunda vez en 
C. Hallar la distancia entre estas 2 ciudades.
Resolución:
El primer ciclista emplea t dias para el primer en­
cuentro. ios espacios recorridos son:
1; 4; 7;... PAde razón 3.
t días 
Recorre en total:
S, - 1[(2)(1) + (t - 1)(3}] =. S, = i(3 t - 1) ,.,(1)
El segundo ciclista empleará (t - 3) días para el 
primer encuentro y sus espacios recorridos son:
17; 18; 19; ... PAde razón 1.
(t - 3) dias
s; = ¡ Í^ i[2 (1 7 ) + ( t-4 ) ]
S; = ( M 'l( t+ 3 0 ) .(II)
Pero los espacios recorridos totales son iguales, es
decir: (I) = (11)
| ( 3 t - 1 ) = ( ^ ) ¡ t + 3 0 ) ^ 3 t" - t = e + 27t-90
2t̂ - 28t + 90 = O ^ ' 14t + 45 = O
^ (t - 9)(t - 5 ) = 0 = » t i= 5 V t2 = 9 
O sea. eso ocurre a los cinco y nueve días para el 
primero.
En (I):
En 5 dias el primero recorre; ^[3(5) - 1] = 35
Q
En 9 días el primero recorre; -|[3{9) - 1] = 117
Luego, la distancia que hay entre A y B es: 
117-35 = 82
10. Calcular V en la siguiente progresión aritmética. 
4x - 4: 5; 3x
Resolución:
Por propiedad: 5 = 4x - 4 + 3x
^ 10 = 7 x -4 = x = 2
11. Calcular el término 29 en; 2; 5; 8; ...
Resolución;
â g = a, + 28r ^ ajg = 2 + 28(3) = 86
12. El tercer término de una progresión aritmética es 
18 y el séptimo, 30. Calcular la razón.
Resolución:
a, = 18; â = 30
87 = â + 4r => 30 = 18 + 4r =í r = 3
13. La suma de 3 números de una progresión aritméti­
ca es 7 y su producto es 504. Hallar los números.
Resolución:
Sean los números: a - r; a; a + r. 
a - r + a + a + r = 27 =» a = 9 
Además; 9(9 - r){9 + r) = 504 
81 - r' = 56 =» r̂ = 25 => r = +5 
Los números pueden ser: 
r = 5; 4; 9;14 
r = -5: 14; 9; 4
14. Los ángulos de un triángulo están en progresión 
aritmética cuya razón es 10. ¿Cuál es el mayor án­
gulo?
www.full-ebook.com
Resolución:
Sean los ángulos: a; a + 10°; a + 20°
Luego: a + a + 10° + a + 20° = 180°
3a = 150° ^ a = 50°
Se pide: a + 20° = 70°
15. Si la suma de 3 números en progresión aritmética 
es 150, calcular el término central.
Resolución:
Sean los números: a - r; a: a + r
Por dato: a - r + a + a + r=150=>3a = 150
.-. a = 50
16. Calcular el sexto término en la progresión aritméti­
ca- X A-ca. 3, 2- . .
Resolución:
06 = a, + 5r ^ as = -| +
a« = 7/6
17. Un hombre avanza en el primer segundo de su ca­
rrera 6 m y en cada segundo posterior avanza 25 cm 
más que el anterior. ¿Cuánto avanza en el octavo 
segundo y que distancia habrá recorrido hasta ese 
momento?
Resolución:
Del enunciado: a, = 6 m; r = 25 = 0,25 m 
- ag = a, + 7r = 6 + 7(0.25) = 7,75 m 
2(6)4 7(0,25)
Distancia: S, = 8 = 55 m
18. Calcular la razón de una progresión aritmética, sa­
biendo que el ténnino 42 es 5 y el primer término es 1.
Resolución:
Por dato: 842 = 5; a, = 1
= a, + 41r = . 5 = 1 + 41r 4 = 41r
r = 4/41
19. En la siguiente progresión aritmética, calcular el 
término que ocupa el lugar 32,
3: 6: 9:...
Resoiución:
a32 = a, + 31r => 832 = 3 + 31(3) = 96 
3,2 - 96
20. El término central de una progresión arttmética es 
4. Si la progresión es de 21 términos, calcular la 
suma de dichos términos.
Resolución:
Sabemos que: a. =
21. Hallar la suma de los 50 primeros términos de: 
-5; -13; -21; ...
Resolución:
2(-5 ) + (49)(-8)
Sen — 50 S,n= -10 050
22. Hallar la suma de los 20 primeros números im­
pares.
Resoiución:
Se pide: 1 + 3 + 5
20 sumandos
2(1)+19(2) 20 = 400
23. Calcular la suma; S = 2-t-4 + 6 + 8 + 
Resolución:
S = 2(1 + 2 + 3 + 4 + .„ + 52)
52(53)
104
S = 2 = 2756
24. Luego de interpolar 3 medios aritméticos entre 6 
y 30, se forma una progresión de 5 términos cuyo 
término central es:
Resolución:
6 30
3 medios aritméticos
Ei lugar central de toda la PA será el tercero;
aj = 6 + 2(6) = 18
25. En la progresión aritmética 2; 15, luego de in­
terpolar 8 medios aritméticos, se pide calcular el 
noveno términos de la progresión.
Resolución;
Hallando la razón; r =
.■.a,=.2 + 8 ( f
1 5 -2 
8 + 1 
122
13
9
26. Calcular el número de medios aritméticos de la si­
guiente progresión aritmética: -5; -2 ; ... ; 19
Resolución
. 24
m + 1 
m = 7
m + 1
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P 6 )
Es una sucesión de números en donde un término 
cualquiera (después del primero) es igual al inmediato 
anterior multiplicado por una razón constante, llamada 
razón de progresión.
www.full-ebook.com
Notación:
• t2l
t,: primer término 
t„: último término 
n; número de términos 
q; razón
Ŝ : suma de los n términos 
de una PG limitada 
Ŝ : suma limite o suma de 
términos de una PG de­
creciente e ilimitada.
P„: producto de términos de 
una PG limitada.
C las ificac ión
Las progresiones pueden ser;
Progresión geométrica creciente: cuando su razón 
es mayor que 1 (q > 1).
:: 3: 6; 12; 24; ^ q = 2
Progresión geométrica decreciente: cuando su razón 
es mayor que cero pero menor que 1 (O < q < 1 ).
; : 16; 8; 4; 2; 1 => q = 1/2
Progresión geométrica oscilante; cuando su razón 
es menor que cero (q < 0),
: 2; -6; 18: -54 = q = -3
Progresión geométrica trivia les: cuando su razón es 
igual a uno (q = 1).
: ; 3; 3; 3; 3; 3; 3 =» q = 1 
Propiedades
1. En una progresión geométrica se cumple que el 
cociente entre 2 términos consecutivos es cons­
tante e igual a la razón.
Ejem plo :
Sea : : a; b; c; d
Cálculo del enésimo o último término:
Sea: :: t,; t̂ ; t j ; t .
De donde: t, = t,q°
tj= t,q 
ta = t,q^
En general; tn = t,q"' 
E jem p los:
t37 = t,q"
El término central de una PG con un número impar 
de términos es igual a la raiz cuadrada de los tér­
minos extremos.
tcltv t„
k términos k términos
te-
i Donde; b = aq""*’ =í q =
4.
Demostración;
• t , - t , q “
• L, = t,q̂ ...(II)
(l)/(ll);
El producto de los términos equidistantes de los 
extremos es constante e igual ai producto de los 
términos extremos.
Demostración:
• t =
(l)/(li); ^ f = ^ -
...(I)
•••(íí)
Si el producto de todos los términos de una PG 
limitada se obtiene al extraer raíz cuadrada al pro­
ducto de los términos extremos elevados al núme­
ro de términos-
6.
Así; P„ =
La suma de tos términos de una PG limitada es 
igual al primer término multiplicado por la razón 
elevada ai número de términos menos uno, sobre 
la razón menos uno.
Es decir: ^ t^íq*^- 1) t „q - t , 
q - 1 q - 1
La suma límite de (os témiínos de una PG decre­
ciente e ilimitada es igual al primer término dividido 
entre uno menos la razón.
S - o < q < 1
n — CO
M edios geom étricos
Son los términos correspondientes entre los términos 
extremos de una PG.
Interpolación de medios geométricos. Interpolar m 
medios geométricos entre los números “a” y “b" es for­
mar una PG en donde el primer término es “a”, el último 
"b" y el número de términos es “m + 2".
Así; (m + 2) términos
a ;... ; b 
m m edios geométricoswww.full-ebook.com
Ejemplos:
1. Calcular el número de términos de la siguiente pro­
gresión: : : 2; 8; 8192
Resolución:
De la progresión: t, = 2; = 8192; q = ^ = 4
Por formula; t„ = * 8192 = 2
Expresándolo en base 4: 4® = 4'"' =̂ n - 1 = 6 
n = 7
2. Entre 3 y 768 y entre 7 y 112 se han interpolado el 
mismo número de medios proporcionales. Hallar la 
razón de la segunda progresión, si es el doble de 
la segunda.
Resolución:
Para:
X m e d io s
3; ...;768 
X m e d io s
= 768
Para:
Pero por dato; q, = 2qj 
Reemplazando: '*V256 = 2('‘"̂ /T6)
256 = 2'-’ x16 ^ 2®= 2 " ’ x2"
Luego: 2̂ = 2**’ ^ x + 1 = 4 = ^ x = 3 
Se pide: qj = V256 = 4
3. La diferencia entre la suma de los "n + 1" primeros 
términos de una PG con la suma de los "n" prime­
ros términos es "x", y la diferencia entre la suma de 
los “n + 2" primeros términos de dicha progresión 
con la suma de los "n" primeros términos es "y". 
Hallar la razón de dicha progresión.
Resolución:
Por dato:
• S.+1 - S„ = X =. t^,i = x ...{I)
• - S„ - y t,., + t,.j = y ...{II)
( II)-d ): U^ = y - x 
t„
q =
4. Calcular el producto de los 10 términos de una PG 
cuyo sexto y último término son, en orden, 4 y 0,25.
Resolución;
De tos datos; t« = 4; t,o = 0,25 
Escribiendo t,g, en función de t̂ : 
t,o = t̂ q̂ - 0,25 = 4q- - q - ^
De: t , - t , q ' = ^ = 2̂
Se pide: P,„ - = 2 '̂
5. El limite de la suma de los términos de una PG 
decreciente hasta el infinito es 64, y el segundo 
termino es 16. Hallar el primer término de dicha 
progresión.
Resolución;
_ t,Se sabe que: Ŝ = 1 -q
Multiplicando y dividiendo entre "q" tendremos:
— Í lS - : .6 4 
(1 - q ) q
Reemplazando: tj = t,q = 16
16 = 64{q - q̂ ) =» 4q̂ - 4q + 1 = O
(2q- 1)̂ = 0 - q = ¿
6. Una bola se deja caer desde una altura de 100 m 
cada vez que toca el piso rebota los 2/3 de la altura 
a la cual se elevó la vez anterior. Hallar la suma de 
las alturas que alcanza la bola.
Resolución:
Llevando los datos a un gráfico;
' f i b ' ' / 2 f ' ' \
i' 1 ÿ ! Í
La suma de los espacios recorridos estará dada por:
Como se observa es la suma de los términos de 
una PG decreciente e ilimitada.
Factorizando h:
11 + 1 + | f + . . . - h3 3/ = 3h1 -2/3
Luego, el espacio total recorrido será; 
3h = 3(100) = 300 m
7. De un depósito que contiene 729 litros de ácido 
puro se ha extraído A litros y se ha rellenado con 
agua, después del mezclado total (hasta que se 
obtenga una solución homogénea) del depósito 
se ha extraído de nuevo A litros y se ha rellenado 
con agua revolviendo la mezcla escrupulosamen­
te. Después de repetir 6 veces tales operaciones 
el liquido del deposito contenía 64 litros de ácido 
puro. Determinar el valor de A
Resolución:
En el deposito:
www.full-ebook.com