Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-6

Vista previa del material en texto

Luego, analizando cada caso: 
I. ~ [ {~ p v ~ q )^ ( r v ~ t ) ] = F
V V
V V
I. (~q A~ r )v [~ tA (p vq ) ] = V
F y V.
F V
II. W H p «P)== (s a w ) ] } = V
F F
V
F FW
54. De la ̂ Isedad de: (p => ~q) v (~ r : 
Hallar el valor de verdad de:
I. - ( ~ q v ~ s ) « ~ p
II. ~(~r A s) ^ (~p =» q)
III. p =, ~[q => ~{s =» r)]
Resoiución:
Del problema:
rp = V
(p=»~q) = F=» Iq _ y
(~-r^~s) = f q » { g “ y
q
Al reemplazar, se tendrá;
V F
-s)
' R A ^
y ® y
F
(~P =» q) 
F V
F
l -^=»~[q_«
V V v i
FFF
55. Hallar el equivalente del drcuito:
--------- ~p-----------
h P -
Resoiuclón:
Reduciendo el circuito;
(~ p V q ) A p 
p A (~p V q) 
p v q
Conmutativa
Absorción
56. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada 
es de S/.10, ¿en cuánto se redudrá el costo de 
esta instalación si se reemplaza este drcuito por 
uno equivalente más simple?
Resolución:
Considerando que:
 p q. = p A q
= p v q |— P— 1
— q —
El circuito mostrado es equivalente a:
[ (p V q ) A p A q ] V p A r A (~r V q)
Absordón Absordón
( p A q ) v ( r A q A p ) = p A q s — p q>
Absorción 2 llaves
Por lo tanto, las 8 llaves del drcuito mostrado pue­
den ser reemplazadas por 2.
Ahorro; (8 - 2) x S/.10 = S/.60
57. El circuito lógico más simple que representa a: 
---------- p------------- 1 I— P-
— -p.
Es:
Resolución:
Simbolizando el circuito, tenemos:
[~ p V (~ p A q A r)] A ( p V q)
Por la absorción, se tiene:
= -p A ( p V q)
= ~ p A q
El circuito equivalente resulta;
~ p q ------
58. Dada las proposiciones:
q; “ (7 es un número nactonal’’ 
p y r cualquier proposición, además se sat>e que: 
~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera.
Hallar el valor de verdad de:
¡. r - ( ~ p v ~ q )
II. [(r ̂ (p A q)] « (q A ~p) 
m. (r V ~p) A (q V p)
www.full-ebook.com
Resolución;
Del dato, q = F, además: 
( r v q ) « ( r « p ) = F
F
I. r=* p = F II. r V q = V
V F V F
p s F ; q = F-, r = V
Luego;
I. r=»(~pv~q) = V
V V V
V
II. [ r « ( p A q ) ] (qA~p) = V 
V F F V
III. ( r v~p) A ( q v p ) = F 
V V F F
V F
W F
59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor 
de verdad de las siguientes proposiciones; 
i. r A (p V r) II. ~(q A r)
l l i .(rA~q)=sp IV. p A (q » r)
Resolución:
Sabemos que: q ^ r = F 
V F
.-. q = V; r = F 
Luego;
I. r A (p V r) = F 
F V
~ ( q A r ) s V
V F
p = V IV. p A (q 
, V
• r) = F
F_,
ill. ( rA~q) 
F F 
F
.-. FWF
60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a: 
Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver 
)a película en el cine.
i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien­
te para no ver la película en el cine.
II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes, 
ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu­
la en ei cine.
Resolución:
Sean las proposiciones: 
p; ser aduito 
q: pagar diez soies 
r: ver la película en eí cine 
Luego:
Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver 
ía petíojía en el cine.
Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si­
guientes:
i. ( ~ p v ~ q ) = » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r 
= (p A q) V ~ r = r (p A q)
II. ( ~ r v p ) A q
Iii. (qAp)v(~r ) = r ^ ( p A q )
.'. i y ííl son equivalentes a la primera.
61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva­
lentes:
I. El café es agradable, a menos que se le añada 
azúcar.
II. El café es agradable s) no añadimos azúcar.
Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe.
ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe.
Resolución:
Simbolizando las proposiciones, tenemos: 
p ; el café es agradable 
q ; se le añade azúcar
I. p, a menos que q = p a q
II. p si no q = ~q =» p
III. si q, p = q » p
ÍV. si q, no p = q => ~p
Expresando tas condicionaíes en función de a y v 
i. p A q
íí. ~q=»p = ~(~q)vp = q v p
i ii. q=» p 2 ~ q V p
IV q « - - p = ~ q v ~ p = - . (pAq)
Luego: ninguna proposición es equiváiente a otra.
62. Dado; p * q = {[(p =» q) =# q] v q} a p 
Simplificar:
{ [ ( ~ p ‘ q ) A (r * ~ q ) ] * (p « q ) } « (p V r) 
Resolución:
Tenemos ei operador (*) 
p ‘ q = { [ (p=»q)=»q]vq}Ap
= { [~ (~ p V q ) V q ] V q } A p (doble condicionaí) 
= ( [ ( p A ~ q ) y q l v q } a p (Morgan)
= [{p V q) V q] A p (absorción)
= p (Asociando y absorción)
Reempiazando en ía expresión a simplificar: 
{ [ ( ~ p * q ) A ( r * ~ q ) ] ’ ( p « q ) } (p v r)
= [ ( - P * q ) A (r * ~ q ) I« (p V r), (def. *)
= ( - P A r) «■ (p V r), (def. *)
= [(~P A r) A (p V r)] V ~[(~p A r) V (p V r)], (bicon- 
dicional)
= {~ p A [ r A ( p v r ) ] } V [(p V ~r) a (~p a ~ r)], (Morgan) 
= (~ p a r) V { {(p V ~r) A ~r] a ~p} (absorción)
= (~p A r) V (~r A ~p), (absorción)
= ~p A (r V ~r). (distributiva)
= -p A V, (tercio excluido)
= ~ p
63. D ada las p roposic iones;
p : Edy trabaja cuando gana más de 20 dólares 
diarios.
q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por sU salario.
www.full-ebook.com
Simbolizar la proposición:
Lolo no trabaja o se preocupa por su salario a me­
nos que Edy trabaje cuando gane más de 20 dó­
lares díanos.
Resolución:
Desdoblando la proposición tenemos: 
q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por su sa­
lario.
m : Lolo trabaja, 
n : se preocupa por su salario.
Es decir: q = m a ~n
Formalizando la proposición propuesta, resulta: 
No “m” o “n" a menos que “p” 
s (~m V n) A p, por Morgan 
= ~(m A ~n) A p 
= ~qAp
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (tN I 2001 > I)
Simbolizar lògicamente la expresión "Juan Pérez saldrá 
elegido y será congresista, si y solo sí obtiene apoyo en 
su provincia".
A) P es q, r B) p. q => r C) (p a q) r
D)(p Aq)=»r E)p=»(q, r, s)
Resolución:
Simbolizando la expresión: 
p: saldrá elegido 
q: será congresista 
r: obtiene apoyo en su provincia 
••• (P A q) « r
Clave: C
PROBLfMA 2 (liN I 2003 - 1)
Si se asumen las siguientes premisas:
Sí me pagan, trabajo
• Si no me pagan, renuncio
Si me dan un incentivo, no renuncio
* Me dan un incentivo o denuncio a la empresa 
No trabajo
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son conclusio­
nes lógicas de estas premisas?
I. No renuncio
II. No me dan un incentivo
III. Denuncio a la empresa
A ) l y t l 8)1 y lll
D ) l ; l l y l l l E) Solo II
Resolución;
Si me pagan, trabajo
p => t 
Si no me pagan, renuncio
O H y Ili
~ p ^ r 
Si me dan un incentivo, no renuncio
s » ~r
Me dan un incentivo o denuncio a la empresa
s V q
No trabajo 
~t
Por tanto, a partir de la última premisa: 
~t =» ~p: no me pagan 
~p =» r: renuncio 
r = ~s: no me dan incentivo 
~s A q: denuncio a la empresa
Clave: C
PROBI£MA 3 (UNI 2004 - II)
Respecto de: “Si gana Perú, no voy a estudiar”. Indique 
la altemativa que se puede concluir:
A) Si estudié, ganó Perú
B) Sí no ganó Perú, estudié
C) Si no estudié, ganó Penj
D) Si fui a estudiar, no ganó Perú
E) Nunca, estudio porque siempre gana Perú
Resoiución:
Deí enunciado;
Sí gana Perú, no voy a estudiar 
p ~ q 
Si aplicamos la propiedad de transposición: q ^ ~p 
Se concluye; si fui a estudiar, no ganó Perú.
Clave: O
PROBUEMA 4 (UNI 2006 • I)
Si la mentira es un antivalor, por tanto es negativa, sin 
embargo, no es mentira que sea negativa. Luego es 
correcto afirmar que:
A) La mentira es un antivalor
B) No es verdad que la mentira sea un antivalor y negativa
C) La mentira es negativa
D) Es falso que la mentira no sea un antivalor
E) Todas las anteriores son válidas
Resolución:
De los datos podemos definir:
La mentira es un antivalor: p 
Es negativa: q 
Entonces: p q
~(~q)
Por lo tanto, la mentira es negativa
Clave- C
www.full-ebook.com
PROBLEMA 5 (tN I 2007 - 1)
Indique la fórmula que representa el siguiente circuito 
lógico:
entrada
y .
salida
A) (p A q) A (r A s) 
C) (p V q) V (r V s) 
E ) ( p v q ) A ( r v s )
Resolución:
B) (pv q) A( rA s) 
D) ( p A q ) v ( r v s )
entrada q /
_E/_
J /_ salida
La fórmula lógica es: (p v q) a (r v s)
Clave: E
PROBLEMA 6 (tN I 2007 • II)
Dadas ias inferencias:
I. Si ella compra un vestido, entonces comprará za­
patos. Ella compra zapatos, por lo tanto ella com­
pra un vestido.
II. Si Luislee Caretas está bien informado. Luís está 
bien informado, entonces Luis lee Caretas.
ill. Si estudio, obtengo buena nota. Si no estudio, me 
divierto. Por lo tanto, obtengo buena nota o me di­
vierto.
Son válidas:
A) Solo I 
D ) l y l f
B) Solo ti 
E) II y lll
C) Solo
Resolución:
Analizando:
I. Compra un vestido = p 
Compra zapatos = q 
Del enunciado p ^ q 
Luego: q ^ p (no es válido)
II. Luis lee Caretas = p 
Está bien informado = q 
Del enunciado; p =» q 
Luego: q ^ p (no es válido)
Iti. Estudio = p
Obtengo buena nota = q 
Me divierto = r 
Del enunciado; p q 
~p=»r
.-. q V r(si es vàlido)
Clave: C
PROBLEMA 7 (tN I 2011 - 1)
Si:
p o q = (pAq)=»q 
p © q = p=»(pvq)
Simplifique; [(r □ s) ^
A )t B)^
D) r «=» ~s E) r
Resotución:
Si
p D q = (p A q )= » q 
= ~ (p A q ) V q 
= {~ p V ~ q ) V q 
= ~ p V (~ q V q)
t ] « [
r
» ~ t
-( tes)]
c )~ t
p □ q = V 
p ® q = p = » ( p v q ) 
= - p V (p V q)
= (~p V p) V q 
= V V q
p ® q = V
Simplificando;
(V =» t) «■ F
t ^ F 
.-. ~ t
... (equivalencia lógicas) 
...(leyes de Morgan) 
...(Ley asociativa)
...(Tautología) 
...(equivalencia lógica)
... (Ley asociativa)
... (tautología)
(rDs)=»t ~ ( t® s )
V [ V J
Clave: C
PROBlfMA 8 (UNI 2012 - I)
Señale el circuHo equivalente a la proposición 
[(p =» q) =» p] A [~ p =» (~ p =» q)]
B) - ^ q - 
D) ^ ~ q -
A) — / p - 
C) - ^ ~ p - 
E) — / p — / q - 
Resoluclón:
Considerando: A a B 
A = (p =» q) =» p 
= (~p V q) =» p 
= ~(~p V q) V p 
= (p A ~q) V p 
A = p
Entonces; A AB = p A (p v q ) 
A a B = p
B = ~p=>(~p^q) 
= p V (~p =» q) 
= p v p v q 
B = p V q
Clave: A
PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1)
Si la proposición (p v ~q) => (r » ~s), es falsa. El valor 
de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es;
A) FFW B)FWF OVFVF
D )W FF E)FVFF
Resolución:
(P V ~q)
i
p: puede ser V o F 
q: puede s e rF oV
www.full-ebook.com