06a_Modulo6-Teoria-Intensivo-Ingreso2013

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U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario – Matemática 
 
 1
 
Módulo 6 
 
Trigonometría 
 
 
 
“La matemática compara los más diversos fenómenos y descubre las analogías secretas que 
los unen” 
Joseph Fourier 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
Para comenzar a trabajar con trigonometría necesitamos primero conocer que es 
un ángulo orientado. Consideramos una semirrecta OM
�
 que puede girar 
alrededor de su origen O. Si esta rotación se efectúa en sentido contrario al de 
las agujas del reloj, diremos que la semirrecta ha rotado en sentido positivo, en 
caso contrario, el sentido será negativo. 
 
La semirrecta OM
�
 ha girado en sentido positivo 
hasta ocupar la posición ON
�����
, engendrando el 
ángulo positivo α. 
 
 
 
 
Como el sentido de giro es negativo, el ángulo 
engendrado por la semirrecta OM
�
 al girar 
alrededor del punto O hasta ocupar la posición 
ON
�����
, es negativo. 
 
 
 
Las semirrectas OM
�
 y ON
�����
 reciben el nombre de lado inicial y lado terminal 
respectivamente. 
 
M 
N 
α 
O 
N 
O 
M 
α 
Módulo 6 
 
 2
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR 
Sistema sexagesimalSistema sexagesimalSistema sexagesimalSistema sexagesimal 
De los sistemas de medición angular el más usado es el sexagesimal, cuya 
unidad es el grado sexagesimal que se define como la noventa ava parte de un 
ángulo recto: 
1
1
90
R° = 
En este sistema hay dos submúltiplos de la unidad: 
a) el minuto sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un grado: 1
1
60
°′ = ; 
b) el segundo sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un minuto: 
1
1 1601
60 60 3600
°
′ °′′ = = = . 
 
En este sistema, es usual expresar la amplitud de un ángulo en forma compleja: 
42 20 33α ′ ′′= ° 
pero a veces es necesario expresar la amplitud del ángulo como un número 
expresado en una sola unidad (forma incompleja). 
20 33
42 20 33 42 42 ,3425
60 3600
α    ′ ′′= ° = ° + + = °   
   
� �
 
Observación: la mayoría de las calculadoras hacen esta conversión 
automáticamente, consulta en el manual. 
 
 
Sistema CircularSistema CircularSistema CircularSistema Circular 
Consideramos un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia C con centro 
en el origen del sistema. 
Si centramos un ángulo orientado α, vemos que éste determina sobre la 
circunferencia un arco �AB , orientado según el mismo sentido que α. 
En el sistema circular, se asigna como medida del ángulo a la longitud del arco 
subtendido por el mismo, tomando como unidad el radio de la circunferencia, por 
esto es que suele decirse que el ángulo está medido en radianes. 
En símbolos: 
S
r
α = 
Donde S: longitud del arco y r: radio de la circunferencia. 
xxxx 
yyyy 
A 
B 
α
O 
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 3
Si consideramos un ángulo de 360° (un giro), la longitud del arco es la longitud 
de la circunferencia: 
2
360 2
r
r
π
π/° = =
/
 
Es decir, un ángulo de 360° equivale a 2π (radianes). De esta equivalencia 
podemos deducir, dividiendo m.a.m por 2 y por 4 respectivamente: 
180
90
2
π
π
° =
° =
 
Para convertir un ángulo expresado en el sistema sexagesimal al circular nos 
valdremos de una regla de tres simple. Por ejemplo: 
Expresar 30° en el sistema circular: 
180º ______
30º
30º ______ =
180º 6
x
π
π π⋅
=
 
 
Observación importante: en el sistema circular, la amplitud de un ángulo está 
dada por un número real (sin unidades). 
 
Si queremos expresar un ángulo del sistema sexagesimal dado en forma 
compleja en el sistema circular, antes de hacer la regla de tres, es necesario 
pasarlo a la forma incompleja. 
 
El pasaje del sistema circular al sexagesimal se hace de la misma manera. 
 
ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1ACTIVIDAD 1 
1) Expresar en el sistema circular los siguientes ángulos dados en el sistema 
sexagesimal: 
 )45 ) 56 25 47 ) 97 50 42 ) 320 11 30a b c dα β γ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′° = ° = ° = ° 
 
2) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos dados en el 
sistema circular: 
 
3
) ) ) 0,87 ) 1,26
6 2
a b c d
π πδ ε λ θ= = = = 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo: 
• Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto. 
• Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto. 
α 
A 
B 
C 
c 
a 
b 
Módulo 6 
 
 4
Si consideramos el ángulo agudo α, el cateto c se denomina cateto opuesto (es 
el que no determina el ángulo α) y el cateto b es el cateto adyacente, que junto 
a la hipotenusa, forma el ángulo α. 
Con los lados del triángulo podemos formar seis razones: ; ; ; ; ;
a b a c b c
b a c a c b
. 
 
Se puede demostrar que estas razones no dependen de las longitudes de los 
lados sino que dependen exclusivamente del ángulo agudo α , por eso reciben el 
nombre de funciones trigonométricas. 
Cada una de ellas recibe un nombre especial: 
• SeSeSeSenononono:::: Se llama seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto al 
mismo y la hipotenusa. 
sen
c
a
α = 
• Coseno:Coseno:Coseno:Coseno: Se llama coseno de un ángulo al cociente entre el cateto adyacente 
al mismo y la hipotenusa. 
cos
b
a
α = 
• Tangente:Tangente:Tangente:Tangente: Se llama tangente de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto 
y el cateto adyacente. 
tg
c
b
α = 
• Cotangente:Cotangente:Cotangente:Cotangente: Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. 
cotg 
b
c
α = 
• Secante: Secante: Secante: Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente. 
sec
a
b
α = 
• Cosecante: Cosecante: Cosecante: Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. 
cosec 
a
c
α = 
 
Enunciemos ahora algunas relaciones importantes entre las funciones 
trigonométricas de un mismo ángulo: 
 
1) 1) 1) 1) Relación PRelación PRelación PRelación Pitagóricaitagóricaitagóricaitagórica: 
La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual 
a 1: 2 2sen cos 1α α+ = . 
2) 2) 2) 2) La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del 
mismo: 
sen
tg
cos
α
α
α
= . 
3) 3) 3) 3) La cotangente de un ángulo es igual al cociente entre el coseno y el seno del 
mismo: 
cos
cotg
sen
αα
α
= . 
4) 4) 4) 4) La secante de un ángulo es el valor recíproco de su coseno: 
1
sec
cos
α
α
= . 
5) 5) 5) 5) La cosecante de un ángulo es el valor recíproco de su seno: 
1
cosec 
sen
α
α
= . 
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IIIIdentidades trigonométricasdentidades trigonométricasdentidades trigonométricasdentidades trigonométricas 
Las identidades trigonométricas son igualdades establecidas entre dos 
expresiones trigonométricas que se satisfacen para cualquier valor de los 
ángulos que figuran como argumentos. 
Las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo son identidades, como así 
también los casos triviales tales como cos cosα α= , etc... 
Verificar una identidad trigonométrica significa reducir sus dos miembros a una 
misma expresión. 
En la verificación de identidades no está permitido hacer pasajes de términos o 
factores (lo que significa que debemos trabajar con el primer y segundo 
miembro por separado). 
Ejemplo: Verificar la identidad 
2 2
2
2 2
1
2 2
2 2
2 2
1 tg sec
sen 1
1
cos cos
cos sen 1
cos cos
1 1
cos cos
α α
α
α α
α α
α α
α α
+ =
+ =
+ =
=
��������� 
 
ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2ACTIVIDAD 2 
Verificar las siguientes identidades: 
 
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
4 4
2
2 2
cos 1 1
) 1 cos 1 cotg ) 1
sec sec 1
cos
cos 1
)
1 2 coscos
a tg tg b sen
sen
sen
sen
c
sensen
αα α α α α
α α α
α α
α α
α αα α
 
− + = + − = − 
−
+
=
+−
 
 
FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSFUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSFUNCIONESDE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSFUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 
Recordemos que dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un 
ángulo recto. 
En un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios, ya que: 
ˆˆ ˆ 2
ˆpero 1
ˆˆ 1
A B C R
A R
B C R
+ + =
=
∴ + =
 
Notemos además, que el cateto c es 
opuesto para el ángulo Ĉ pero 
adyacente para el ángulo B̂ ; algo 
similar ocurre con b: es adyacente 
para el Ĉ , pero opuesto para el B̂ . 
 
En consecuencia: 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
Módulo 6 
 
 6
ˆ ˆsen cos
ˆ ˆcos sen
c
C B
a
b
C B
a
= =
= =
 
Utilizando las relaciones entre funciones de un mismo ángulo: 
ˆ ˆsen cosˆ ˆtg =cotg
ˆ ˆsencos
C B
C B
BC
= = 
Si hacemos lo mismo con las demás funciones veremos que, las funciones y 
cofunciones de un ángulo, son respectivamente las cofunciones y funciones de 
su complemento. 
(coseno, quiere decir, justamente seno del complemento...) 
 
 
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 
Es una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas y 
radio unitario. 
 
 
Para cualquier número real a, existe un arco de la misma que tiene longitud a y 
en consecuencia queda determinado un ángulo central cuya medida en radianes 
es también a. 
 
El extremo libre del arco determina el punto A cuyas coordenadas son (x; y). El 
segmento OA recibe el nombre de radio vector. 
Podemos ahora definir las funciones trigonométricas del número real a en 
función de las coordenadas del punto A. Resulta: 
yyyy 
xxxx O 
r = 1
A ≡ (x; y) 
xxxx 
yyyy 
O x 
y 
ρ a 
a 
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ordenada
sen
radio vector
abscisa
cos
radio vector
ordenada
tg
abscisa
abscisa
cotg
ordenada
radio vector
sec
abscisa
radio vector
cosec
ordenada
y
a
x
a
y
a
x
x
a
y
a
x
a
y
ρ
ρ
ρ
ρ
= =
= =
= =
= =
= =
= =
 
 
De acuerdo al cuadrante al que pertenezca el punto A, las funciones 
trigonométricas tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su 
abscisa y su ordenada. (El radio vector es siempre positivo.) 
 
Podemos resumir los signos de las funciones en el siguiente cuadro: 
 
 seno coseno tangente cotangente secante cosecante 
I C + + + + + + 
II C + – – – – + 
III C – – + + – – 
IV C – + – – + – 
 
ACTIVIDAD 3ACTIVIDAD 3ACTIVIDAD 3ACTIVIDAD 3 
1) Si 
7
25
sen I Cα α= ∧ ∈ , calcular las demás funciones. 
2) Sabiendo que α α= − ∧ <3
0
5
cos sen , calcular las demás funciones. 
 
 
 
 
 
Segundo cuadrante: 
abscisa negativa y 
ordenada positiva 
Primer cuadrante: 
abscisa y ordenada 
positiva 
Tercer cuadrante: 
abscisa y ordenada 
negativa 
Cuarto Cuadrante: 
abscisa positiva y 
ordenada negativa 
O xxxx 
yyyy 
Módulo 6 
 
 8
FUNCIONES TRIGOFUNCIONES TRIGOFUNCIONES TRIGOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLESNOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLESNOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLESNOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES 
Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones 
trigonométricas se obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las 
demostraciones sino que simplemente mostramos un cuadro de sus valores. 
 
 seno coseno tangente cotangente secante cosecante 
0° 0 1 0 ∞ 1 ∞ 
30° 
1
2
 3
2
 3
3
 3 
2 3
3
 2 
45° 2
2
 2
2
 1 1 2 2 
60° 3
2
 
1
2
 3 
3
3
 2 2 3
3
 
90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1 
 
Estos valores son fáciles de recordar teniendo en cuenta la siguiente regla 
mnemotécnica: 
Los senos de los ángulos notables son respectivamente 0 1 2 3 4
; ; ; ;
2 2 2 2 2
. Es 
decir, todos tienen la forma con 0;1;2;3;4
2
n
n = . Teniendo en cuenta que 0° y 
90°, 30 y 60° son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la 
columna correspondiente a la función coseno, es la del seno escrita en forma 
inversa. Para las demás funciones, se utilizan las relaciones entre las funciones 
de un mismo ángulo. 
 
ACTIVIDAD 4ACTIVIDAD 4ACTIVIDAD 4ACTIVIDAD 4 
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones: 
2 2 2 2
1
1) sen60 cos45 cos60 sec60 sen45 cotg30
2
cos 0 cos 60 cos 0 cos 60
2)
sen30 sen90 sen30 sen90
° ⋅ ° + ° ⋅ ° − ° ⋅ ° =
° + ° ° − °+ =
° − ° ° + °
 
 
 
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICASLÍNEAS TRIGONOMÉTRICASLÍNEAS TRIGONOMÉTRICASLÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS 
Son segmentos cuyas medidas, tomando al radio de la circunferencia 
trigonométrica como unidad, representan los valores y signos de las funciones 
trigonométricas de los ángulos. 
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t
A
B0
HC
D
E F
L
c
 
sen med BA cos med OB tg med CD
cotg medEF sec medOH cosec med OL
α α α
α α α
= = =
= = =
 
Las rectas t y c se llaman respectivamente ejes de tangentes y de cotangentes. 
Como actividad te proponemos graficar las líneas trigonométricas para ángulos 
de los demás cuadrantes. 
ImportanteImportanteImportanteImportante: Los ejes de tangentes y de cotangentes no cambian de posición. 
 
 
GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASGRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASGRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASGRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1) y = sen x: SinusoideSinusoideSinusoideSinusoide o SenoideSenoideSenoideSenoide 
Características: 
a) Es continua 
b) Es periódica (período 2 π) 
c) Su dominio es ℝ. 
d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1} 
e) Alcanza su valor máximo para 
x = 
2
π
 y todos sus congruentes. 
f) Alcanza su valor mínimo para 
x = 3
2
π
 y todos sus congruentes. 
g) Sus ceros son 
x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π 
 
Observación: 2 k π, k ∈ ℤ indica un número exacto de giros, al sumarlo al ángulo 
estamos indicando todos sus congruentes. 
 
 
 
 
 
Módulo 6 
 
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2) y = cos x: CosinusoideCosinusoideCosinusoideCosinusoide o CosenoideCosenoideCosenoideCosenoide 
Características: 
a) Es continua 
b) Es periódica (período 2π) 
c) Su dominio es ℝ. 
d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1} 
e) Alcanza su valor máximo para 
x = 0 + 2 k π. 
f) Alcanza su valor mínimo para x 
= π + 2 k π. 
g) Sus ceros son 
x = 
2
π
 + 2 k π ; x = 3
2
π
 + 2 k π 
 
 
 
3) y = tg x: TangentoideTangentoideTangentoideTangentoide 
Características: 
a) Es discontinua, presenta saltos 
infinitos en 
x = 
2
π
 + 2 k π ; x = 3
2
π
 + 2 k π 
b) Es periódica (período π) 
c) Su dominio es: 
ℝ – {
2
π
 + 2 k π ; 3
2
π
 + 2 k π} 
d) Su recorrido es ℝ 
e) No tiene valor máximo ni mínimo 
f) Sus ceros son x = 0 + k π. 
 
 
 
4) y = cotg x: CotangentoideCotangentoideCotangentoideCotangentoide 
Características: 
a) Es discontinua, presenta saltos 
infinitos en 
x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π 
b) Es periódica (período π) 
c) Su dominio es: 
ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π} 
d) Su recorrido es ℝ 
e) No tiene valor máximo ni mínimo 
f) Sus ceros son x = 
2
π
 + k π 
 
 
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5) y = sec x: SecantoideSecantoideSecantoideSecantoide 
Características: 
a) Es discontinua, presenta saltos 
infinitos en 
x = 
2
π
 + 2 k π ; x = 3
2
π
 + 2 k π. 
b) Es periódica (período 2 π) 
c) Su dominio es: 
ℝ – {
2
π
 + 2 k π ; 3
2
π
 + 2 k π} 
d) Su recorrido es Rec = {y/|y| ≥ 1} 
e) No tiene valor máximo ni mínimo 
f) No tiene ceros. 
 
 
 
6) y = cosec x: CosecantoideCosecantoideCosecantoideCosecantoide 
Características: 
a) Es discontinua, presenta saltos 
infinitos en 
x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π. 
b) Es periódica (período 2 π) 
c) Su dominio es: 
ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π} 
d) Su recorrido es Rec = {y/|y| ≥ 1} 
e) No tiene valor máximo ni mínimo 
f) No tiene ceros. 
 
 
 
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Llamaremos problema directo al siguiente: 
“Dado un ángulo, encontrar el valor de una función trigonométrica”,por 
ejemplo, haciendo uso de la calculadora: 
 cos 23º15’ = 0,91879121… 
El problema inverso es: 
“Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el ángulo”. Por ejemplo: 
Si sen α = 0,43421; hallar α 
Se dice que α es el arco seno de 0,43421 y se expresa: 
 α = arc sen 0,4321 
 α = 25º 44’ 6” 
De igual manera se procede para las demás funciones. 
Pero notemos que el valor de α no es único, porque además de los infinitos 
congruentes con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del 
problema. Para ello, recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo 
cuadrante, entonces, el ángulo del segundo cuadrante es: 
180º – (25º 44’ 6”) = 154º 15’ 54” 
Módulo 6 
 
 12
Es conveniente trabajar siempre con el valor positivo de la función (entonces 
obtendremos un ángulo del primer cuadrante) y después, de acuerdo al signo de 
la función, ubicar los ángulos correspondientes de la siguiente forma: 
Llamando α al ángulo del primer cuadrante: 
a) Segundo cuadrante: 180º – α 
b) Tercer cuadrante: 180º + α 
c) Cuarto cuadrante: 360º – α 
 
Ejemplo: Si α = −tg 3 , hallar α. 
( )α = − 3arc tg 
como la tangente es negativa, los ángulos que cumplen con esta condición son 
del segundo o del cuarto cuadrante. 
Buscamos 3 60arc tg = ° 
En consecuencia, el ángulo del segundo cuadrante es 1 180 60 120α = ° − ° = ° 
y el del cuarto cuadrante es 2 360 60 300α = ° − ° = ° . 
 
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus elementos teniendo como datos 
dos de ellos. Se dan cuatro casos, llamados casos clásicos: 
1. Datos: La hipotenusa y un ángulo agudo 
2. Datos: Un cateto y un ángulo agudo 
3. Datos: La hipotenusa y un cateto 
4. Datos: Los dos catetos. 
Para resolver triángulos rectángulos son suficientes las definiciones de seno, 
coseno y tangente y el teorema de Pitágoras. 
 
No desarrollaremos aquí los casos clásicos, que pueden consultarse en cualquier 
texto de trigonometría, sino que veremos aplicaciones a problemas. 
 
Ejemplo 1: 
Calcular la longitud de la sombra que proyecta un poste vertical de 3 m de 
altura, cuando el sol está a 48° sobre el horizonte. 
Resolución: 
Es fundamental hacer un gráfico de la situación para saber qué debemos aplicar: 
 
Poste: 
h = 3 m 
Sombra: x 
48°
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Como se desprende del gráfico, calcular la longitud de la sombra es hallar el 
cateto adyacente al ángulo de 48°, conociendo el cateto opuesto que es la altura 
del poste. 
El siguiente paso es buscar una función trigonométrica del ángulo dado como 
dato, que relacione la altura del poste (cateto opuesto) con la longitud de la 
sombra (cateto adyacente). Dicha función es la tangente. En consecuencia: 
3 3
tg48 2,70
tg48
m m
x m
x
° = ⇒ = =
°
 
 
Ejemplo 2: 
La base de un rectángulo mide 4 cm y su altura 
2 cm. Calcular: 
a) la longitud de su diagonal; 
b) el ángulo que forma la diagonal con la base. 
 
Resolución: 
Para hallar la longitud de la diagonal, vemos que ésta es la hipotenusa del 
triángulo rectángulo que tiene por catetos a la base y a la altura del rectángulo. 
Por teorema de Pitágoras: 
( ) ( )2 2 2 2 24 2 16 4 20 2 5d cm cm cm cm cm cm= + = + = = 
Para calcular el ángulo, buscamos una función del mismo que vincule a los datos, 
esta función es la tangente: 
2 1
tg
4 2
1
2
26 33 54
cm
cm
arc tg
α
α
α
= =
⇒ =
′ ′′= °
 
 
 
RESORESORESORESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
Para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos), aplicaremos dos 
teoremas que no demostraremos: 
 
1) 1) 1) 1) Teorema del CosenoTeorema del CosenoTeorema del CosenoTeorema del Coseno 
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados 
de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicado por el 
coseno del ángulo que ellos forman. 
 
 
= + −2 2 2 ˆ2 cosa b c b c A 
= + −2 2 2 ˆ2 cosb a c a c B 
= + −2 2 2 ˆ2 cosc a b a b C 
 
 
 
4 cm
2 cm
α 
d 
A 
B 
C 
b c 
Módulo 6 
 
 14
2) 2) 2) 2) Teorema del SenoTeorema del SenoTeorema del SenoTeorema del Seno 
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos 
opuestos. 
 
 
ˆ ˆ ˆsen sen sen
a b c
A B C
= = 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 175 N y 225 N. Si las direcciones de las 
fuerzas forman un ángulo de 50º 10’, encontrar la intensidad de la resultante y 
el ángulo que forma con la fuerza más grande. 
Resolución: Primeramente hagamos un gráfico de la situación: 
 
Veamos cómo hemos calculado el ángulo B̂ : 
En el paralelogramo ABCD: ˆˆ ˆ ˆ 360DAB B BCD D+ + + = ° 
Pero, como los ángulos opuestos son congruentes: ( )ˆ ˆ2 360DAB B+ = ° 
Entonces: 
 
ˆ ˆ 180
ˆ ˆ180 180 50 10 129 50
DAB B
B DAB
+ = °
′ ′⇒ = ° − = ° − ° = °
 
 
Aplicando el teorema del coseno: 
2 2 2
2
225 175 2 225 175 cos129 50
131693,8291
131693,8291
362,9
b
b
b
b N
′= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
=
=
=
 
Para hallar el ángulo que la resultante forma con la fuerza de 225 N, aplicamos 
el teorema del seno: 
175 sen129 50175 362,9
sen 0,370307
sen sen129 50 362,9
0,370307
21 40
arc sen
α
α
α
α
′⋅ °
= ⇒ = =
′°
=
′= °
 
 
b = ?
c = 225
a =175 
a =175 
50°10’ 
129°50’
B 
D C 
A 
A 
B 
C 
b c 
 U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario – Matemática 
 
 15
ÁREA DE UN TRIÁNGULOÁREA DE UN TRIÁNGULOÁREA DE UN TRIÁNGULOÁREA DE UN TRIÁNGULO 
Todos conocemos la fórmula 
2
b h
A
⋅
= , pero existen otras expresiones que 
permiten calcular el área de un triángulo: 
 
1) El área de un triángulo es igual al 
semiproducto de dos lados, 
multiplicado por el seno del ángulo 
que ellos forman: 
1 ˆsen
2
Área b c A= ⋅ ⋅ 
 
 
2) Fórmula de Herón: ( ) ( ) ( )Área p p a p b p c= − − − , donde p se denomina 
semiperímetro y es 
2
a b c
p
+ += . 
 
 
FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSFUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSFUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSFUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS 
Las funciones trigonométricas no son distributivas con respecto a la suma ni a la 
resta de ángulos. Las expresiones que permiten hallar el seno, coseno y 
tangente de la suma o diferencia de dos ángulos son las siguientes: 
 
a) a) a) a) Seno de la suma y diferencia de dos ángulosSeno de la suma y diferencia de dos ángulosSeno de la suma y diferencia de dos ángulosSeno de la suma y diferencia de dos ángulos 
( )
( )
sen =sen cos cos sen
sen sen cos cos sen
α β α β α β
α β α β α β
+ ⋅ + ⋅
− = ⋅ − ⋅
 
 
b) b) b) b) Coseno de la suma y diferencia de dos ángulosCoseno de la suma y diferencia de dos ángulosCoseno de la suma y diferencia de dos ángulosCoseno de la suma y diferencia de dos ángulos 
( )
( )
cos cos cos sen sen
cos cos cos sen sen
α β α β α β
α β α β α β
+ = ⋅ − ⋅
− = ⋅ + ⋅
 
 
c) c) c) c) Tangente de la suma y diferencia de dos ángulosTangente de la suma y diferencia de dos ángulosTangente de la suma y diferencia de dos ángulosTangente de la suma y diferencia de dos ángulos 
( )
( )
tg tg
tg
1 tg tg
tg tg
tg
1 tg tg
α βα β
α β
α βα β
α β
++ =
− ⋅
−− =
+ ⋅
 
 
Ejemplo: 
Hallar las funciones de 75°, haciendo 75° = 45º + 30º. 
Resolución: 
( ) ( )+
° = ° + ° = ° ⋅ ° + ° ⋅ ° = ⋅ + ⋅ =
2 3 12 3 2 1
sen75 sen 45 30 sen45 cos30 cos 45 sen30
2 2 2 2 4
 
A 
B 
C 
b c 
Módulo 6 
 
 16
( ) ( )
( )
−
° = ° + ° = ° ⋅ ° − ° ⋅ ° = ⋅ − ⋅ =
++° + ° +/° = ° + ° = = = = = +
− ° ⋅ ° − −− ⋅
/
2 3 12 3 2 1
cos75 cos 45 30 cos45 cos30 sen45 sen30
2 2 2 2 4
3 3 3
1tg45 tg30 3 33 3tg75 tg 45 30 2 3
1 tg45 tg30 3 3 3 3 3
1 1
3 3
 
ACTIVIDAD 5ACTIVIDAD 5ACTIVIDAD 5ACTIVIDAD 5 
Calcular: 
1) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,sen sen cos cosα β α β α β α β+ − + − , si 
2
3
sen α = y 
1
2
cos β =. 
2) ( ) ( ),tg tgα β α β+ − si 
1
2
4
tg y senα β= = . 
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO 
Las funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de las 
funciones de la suma de dos ángulos, haciendo 2 α = α + α. 
Las fórmulas correspondientes son: 
( )
( )
( )
2 2
2
sen 2 2sen cos
cos 2 cos sen
2 tg
tg 2
1 tg
α α α
α α α
α
α
α
=
= −
=
−
 
 
Ejemplo: Calcular las funciones de 180° sabiendo que es el duplo de 90°. 
Resolución: 
( )
( ) 2 2 2 2
sen180 sen 2 90 2 sen90 cos90 2 1 0 0
cos180 cos 2 90 cos 90 sen 90 0 1 1
° = ⋅ ° = ⋅ ° ⋅ ° = ⋅ ⋅ =
° = ⋅ ° = ° − ° = − = −
 
Surge un problema para calcular la tangente de 180° pues necesitamos la de 
90°, pero ésta no está definida. Entonces, en lugar de usar la fórmula de la 
tangente del duplo de un ángulo hacemos: 
sen180 0
tg180 0
cos180 1
°
° = = =
° −
 
 
ACTIVIDAD 6ACTIVIDAD 6ACTIVIDAD 6ACTIVIDAD 6 
Calcular ( ) ( ) 2
2 y 2 si
3
sen cos cosα α α = . 
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTFUNCIONES TRIGONOMÉTFUNCIONES TRIGONOMÉTFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITADRICAS DEL ÁNGULO MITADRICAS DEL ÁNGULO MITADRICAS DEL ÁNGULO MITAD 
Dado un ángulo α, el ángulo mitad es 
2
α
. Las fórmulas que proporcionan las 
funciones de la mitad del ángulo, 
2
α
, conociendo la de cos α son: 
 U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario – Matemática 
 
 17
1 cos
sen
2 2
1 cos
cos
2 2
1 cos
tg
2 1 cos
α α
α α
α α
α
  −
= 
 
  +
= 
 
  −
=  + 
 
 
Por ejemplo, calcularemos las funciones de 22° 30’, que es el ángulo mitad de 
45°: 
2 2 2
11 cos45 2 2 2 22 2sen22 30
2 2 2 4 2
−−− ° − −′° = = = = = 
2 2 2
11 cos45 2 2 2 22 2cos22 30
2 2 2 4 2
+++ ° + +′° = = = = = 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−−− ° −/′° = = = = =
+ ° + ++
/
− ⋅ − − −−= = = = =
−+ ⋅ −
−= = −
	��
���
	����
�����
2
2
racionalizando nuevamente
racionalizando
2 2 2
11 cos45 2 22 2tg22 30
1 cos45 2 2 2 2 2
1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
4 2 22 2 2 2 2
2 2 2
2 1
2
 
 
ACTIVIDAD 7ACTIVIDAD 7ACTIVIDAD 7ACTIVIDAD 7 
Verificar las siguientes identidades: 
 
α
α α α α α αα α
α
  
⋅ = − + ⋅ = +  
   −
2
2
2
2
2 tg
21) 2sen cos : cos 2) cos sen 2sen cos 1 sen2
2 2 2 2 2 21 tg
2
 
 
 
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTOTRANSFORMACIONES EN PRODUCTOTRANSFORMACIONES EN PRODUCTOTRANSFORMACIONES EN PRODUCTO 
En ocasiones es conveniente expresar la suma o diferencia de dos senos o dos 
cosenos como un producto de funciones trigonométricas, (en otras, conviene 
expresar un producto como una suma o resta). Para ello nos valdremos de las 
siguientes fórmulas: 
 
a) TransformacTransformacTransformacTransformación en producto de la suma de dos senosión en producto de la suma de dos senosión en producto de la suma de dos senosión en producto de la suma de dos senos 
sen sen 2sen cos
2 2
α β α βα β    + −+ =    
   
 
Módulo 6 
 
 18
Ejemplo: 
° + ° ° − °   ° + ° = ⋅ = ⋅ ° ° =   
   
60 30 60 30
sen60 sen30 2sen cos 2 sen45 cos15 2
2 2
⋅ 2
2
° = °cos15 2 cos15
 
 
b) Transformación en producto de la diferencia de dos senosTransformación en producto de la diferencia de dos senosTransformación en producto de la diferencia de dos senosTransformación en producto de la diferencia de dos senos 
sen sen 2cos sen
2 2
α β α βα β    + −− =    
   
 
 
c) Transformación en producto de la suma de dos cosenosTransformación en producto de la suma de dos cosenosTransformación en producto de la suma de dos cosenosTransformación en producto de la suma de dos cosenos 
cos cos 2cos cos
2 2
α β α βα β    + −+ =    
   
 
 
d) Transformación en producto de la diferencia de dos cosenosTransformación en producto de la diferencia de dos cosenosTransformación en producto de la diferencia de dos cosenosTransformación en producto de la diferencia de dos cosenos 
cos cos 2sen sen
2 2
α β α βα β    + −− = −    
   
 
 
Estas fórmulas sirven también para calcular la suma o diferencia entre un seno y 
un coseno, por ejemplo: 
( )
por ser ángulos
 complementarios
sen30 cos50 cos 90 30 cos50 cos60 cos50
60 50 60 50
2cos cos 2cos55 cos5
2 2
° + ° = ° − ° + ° = ° + ° =
   ° + ° ° − °
= ° ⋅ °   
   
	���
����
 
 
ACTIVIDAD 8ACTIVIDAD 8ACTIVIDAD 8ACTIVIDAD 8 
1) Aplicando transformaciones en producto, hallar el valor numérico de las 
siguientes expresiones: 
) 15 cos15 )cos75 75a sen b sen° + ° = ° − ° = 
 
2) Verificar la identidad: 
2 3
2
cos cos2 cos3
sen x sen x sen x
tg x
x x x
+ +
=
+ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario – Matemática 
 
 19
 
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 
 
 
Actividad 1:Actividad 1:Actividad 1:Actividad 1: π
1) ) )0,98488 )1,70772 )5,58840
4
a b c d 
 ′ ′′ ′ ′′° ° ° °2) )30 )270 )49 50 50 )72 11 34a b c d 
 
Actividad 2: Actividad 2: Actividad 2: Actividad 2: A cargo del alumno. 
 
Actividad 3:Actividad 3:Actividad 3:Actividad 3: α α α α α= = = = =24 7 24 25 25
1) ; ; ; ;
25 24 7 24 7
cos tg cotg sec cosec 
 α α α α α= − = = = − = −4 4 3 5 5
2) ; ; ; ;
5 3 4 3 4
sen tg cotg sec cosec 
 
Actividad 4:Actividad 4:Actividad 4:Actividad 4: 1) 1 
 2) –2 
 
Actividad 5:Actividad 5:Actividad 5:Actividad 5: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 15 2 15 5 2 3 5 2 3
1)
6 6 6 6
32 5 15 32 5 15
2)
11 11
sen sen cos cos
tg tg
α β α β α β α β
α β α β
+ − − ++ = − = + = − =
+ −+ = − =
 
 
Actividad 6:Actividad 6:Actividad 6:Actividad 6: ( ) ( )2 14 5
2 2
9 9
sen cosα α= = − 
 
Actividad 7:Actividad 7:Actividad 7:Actividad 7: A cargo del alumno. 
 
Actividad 8Actividad 8Actividad 8Actividad 8:::: 
1) 
6 2
) )
2 2
a b − 
2) A cargo del alumno (sugerencia: asociar las funciones de x y de 3x para 
aplicar transformaciones en producto).