Soluciones de las ecuaciones de Maxwell

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Microondas : líneas de transmisión : soluciones de las ecuaciones de Maxwell /
F. Peñaranda Foix, Mariano Baquero Escudero.
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Felipe L Penaranda-Foix
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MICROONDAS
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN:
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL
Felipe Peñaranda Foix
Mariano Baquero Escudero
ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III. CONJUNTO DE SOLUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. MODOS T.E.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
V. RÉGIMEN TRANSITORIO Y PERMANENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VI. MODOS T.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VI.1. CONCEPTOS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VI.2. FRECUENCIA DE CORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
VI.3. CONSIDERACIONES DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VII. MODOS T.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
VII.1. CONCEPTOS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
VII.2. FRECUENCIA DE CORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
VII.3. CONSIDERACIONES DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
VIII. GUÍAS PARTICULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VIII.1. LA GUÍA RECTANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VIII.1.1. MODOS T.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
VIII.1.2. MODOS T.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
VIII.1.3. CARACTERÍSTICAS DE PROPAGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 46
VIII.1.4. POTENCIA TRANSMITIDA. PÉRDIDAS Y ATENUACIÓN . . . . 48
VIII.1.5. MODO FUNDAMENTAL TE10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
VIII.1.6. OTROS MODOS SUPERIORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
VIII.2. LA GUÍA CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
VIII.2.1. MODOS T.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
VIII.2.2. MODOS T.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
VIII.2.3. CARACTERÍSTICAS DE PROPAGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 58
VIII.2.4. POTENCIA TRANSMITIDA. PÉRDIDAS Y ATENUACIÓN . . . . 59
VIII.2.5. MODO FUNDAMENTAL TE11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
VIII.2.6. OTROS MODOS SUPERIORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
VIII.3. LA GUÍA COAXIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
VIII.3.1. MODOS T.E.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
VIII.3.2. MODOS T.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
VIII.3.2.1. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE LOS MODOS T.M. . 68
VIII.3.3. MODOS T.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
VIII.3.3.1. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE LOS MODOS T.E. . 70
VIII.3.4. CARACTERÍSTICAS DE PROPAGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VIII.3.5. POTENCIA TRANSMITIDA. PÉRDIDAS Y ATENUACIÓN . . . . 72
I. ANEXO I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Pág. ii ÍNDICE
I.1. COORDENADAS CARTESIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II. ANEXO II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.1. COORDENADAS CARTESIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3. COORDENADAS CARTESIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III. ANEXO III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5
III.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3. RELACIONES IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.4. EXPRESIONES ASINTÓTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.5. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA ESPECIE Y SU
DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III.6. INTEGRALES ÚTILES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. ANEXO IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ilustr. 2.-Guía rectangular (sólo un conductor)
Ilustr. 3.-Línea bifilar.
Ilustr. 4.-Línea Stripline.
Ilustr. 5.-Línea Coaxial.
I. INTRODUCCIÓN
Con estos apuntes se pretende introducir al alumno en la resolución de las ecuaciones de
Maxwell. Vamos a centrar el problema en el caso de las ondas guiadas en medios donde no hay
fuentes de ningún tipo.
Es decir, nuestro problema es resolver las ecuaciones de Maxwell en un medio lineal,
homogéneo e isótropo con simetría de traslación según el eje z. Así pues, supondremos que tenemos
una determinada geometría de conductores en el plano z=0, o plano XY, y esta geometría se
desplaza a lo largo del eje z sin variación.
En las 4 figuras superiores podemos ver sendos ejemplos de líneas de transmisión. En ellas
podemos ver la clásica línea bifilar con dos conductores circulares. Esta sección transversal es la
que se traslada por el eje z. También está representada la línea coaxial, con dos conductores
circulares también. En este caso, el espacio donde hay que resolver el problema es menor, ya que
pasa de todo el espacio de la línea bifilar a únicamente el espacio entre el conductor interior y
exterior. Estas ya son estructuras cerradas. Otra estructura similar a esta es la línea stripline, donde
los conductores son planos, y además el superior e inferior están cortocircuitados. La cuarta
estrtuctura es una guía de ondas rectangular, donde únicamente hay un conductor. Veremos que este
tipo de estructura sí puede existir solución de campo electromagnético, pero sólo para unas
determinadas frecuencias. Serán lo que se denominan modos superiores o modos T.E. y T.M. Sin
embargo, en las otras 3 estructuras, y en general todas las que tienen al menos dos conductores,
soportan otros modos aparte de los superiores. Estos son conocidos como modos T.E.M.
En un primer punto vamos a tratar la resolución de las ecuaciones de Maxwell en un medio
lineal, isótropo y homogéneo en general con simetría de traslación, y plantearemos las ecuaciones
de onda que hay que resolver, así como la resolución de todas las componentes de campo una vez
resuelta la ecuación de onda. Todo esto se va a realizar suponiendo variación sinusoidal de las
señales y por tanto de los campos. Esto, sin embargo, no supone ninguna restricción, ya que
cualquier señal se puede poner en función de una suma de armónicos de Fourier. De hecho, cuando
estemos tratanto con los modos T.E.M. volveremos a introducir la dependencia temporal en
Pág. 2 Líneas de Transmisión
general. Posteriormente veremos que el conjunto de todas las soluciones de campo electromagnético
se pueden dividir en tres conjuntos independientes, que serán las soluciones T.M., T.E. y T.E.M.
Después del planteamiento, pasaremos a estudiar más en concreto los tres conjuntos de
soluciones. Empezaremos viendo los modos T.E.M. Plantearemos unas definiciones de tensión y
corrientes, y desarrollaremos un circuito equivalente de la línea de transmisión, y así
comprobaremos que esta solución de campo y las correspondientes definiciones de tensión y
corriente se corresponde con las tensiones y corrientes de baja frecuencia a las que ya estamos
acostumbrados.
Seguidamente pasaremos a estudiar brevemente cómo se comportan las líneas de
transmisión con los modos T.E.M. cuando estamos en régimen transitorio y permanente.
Después del estudio de los modos T.E.M. pasaremos a estudiar los modos T.M. y los
modos T.E., para acabar viendo casos particulares de guías. En unas sólo apareceran estos dos
últimos conjuntos de modos, mientras que en otras aparecerán los tres conjuntos.
 1Es decir, y . Aunque en la nomenclatura utilizada en el texto no
ponemos el subíndice 0.
(1)
II. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL
Las ecuaciones de Maxwell en un medio sin fuentes, es decir, donde J=0 y D=0, son las
siguientes:
siendo las ecuaciones constitutivas del medio:
Si ahora calculamos el rotacional de las ecuaciones (1)-c y (1)-d , y aplicamos la siguiente
relación vectorial: ,junto con las ecuaciones (1)-a y (1)-b, obtenemos
las ecuación de onda siguientes:
Si suponemos una variación senoidal1 de los campos electromagnéticos, las ecuaciones de
onda serán las siguientes:
Pág. 4 Líneas de Transmisión
Para resolver la ecuación de onda haremos uso de una propiedad del operador L 2 en
sistemas coordenados cilíndricos -como son el cartesiano y el cilíndrico-, según la cual podemos
descomponer el operador en suma de dos operadores: , donde el primero - -
contiene todas las derivadas respecto de las componentes transversales y el segundo - -
contiene todas las derivadas respecto de la componente longitudinal o axial (en el anexo I se
muestra esto con detalle).
Además, vamos a descomponer el fasor del campo en sus componentes transversales y su
componente axial. Así pues, el fasor del campo es: , donde
 es un vector con componentes transversales únicamente, y Ez(t1,t2)f(z) es la
componente axial del campo eléctrico -de igual forma se hace con el campo magnético-. Obsérvese
que hemos distinguido entre una función dependiente de las coordenadas transversales y otra función
de la coordenada axial (método de separación de variables). Dichas coordenadas transversales serán
(x,y) en cartesianas y (r,n) en cilídricas.
Así pues, la ecuación de onda queda de la siguiente forma:
Y si aplicamos la descomposición del operador laplaciano en su parte longitudinal y axial,
tendremos:
expresión que incluimos en la ecuación de onda y donde agrupamos las componentes transversales y
longitudinales, tendremos, en el primer caso:
y en el segundo:
Líneas de Transmisión Pág. 5
 2Obsérvese que existe otra solución a la función f(z) de la forma . Esta solución se denomina
onda regresiva, mientras que la utilizada es una onda progresiva. El desarrollo que sigue está hecho
únicamente para la onda progresiva, pero esto no significa que no deba hacerse también para la onda
regresiva, ya que es también solución de las ecuaciones. De hecho, más adelante se tendrá en cuenta.
(19)
Se puede comprobar, de las dos expresiones anteriores, que si dividimos las dos por la
función dependiente de la coordenada axial f(z) (esto es sencillamente el método de separación de
variables), llegamos a que se debe cumplir:
Así pues, ya conocemos cuál es la dependencia de los campos con la coordenada axial z2.
Sólo falta sustituir este resultado en las ecuaciones de onda, llegando a:
y a:
Obsérvese que en el caso de la componente axial de campo eléctrico, tenemos una ecuación
de onda sobre un campo escalar -la componente Ez del campo eléctrico- y en el caso transversal
tenemos una ecuación de onda sobre un campo vectorial -el vector campo eléctrico menos la
componente longitudinal-.
El operador sobre un vector transversal se puede ver en el anexo I.
Así pues, y a modo de resumen, la ecuación de onda inicial la hemos descompuesto en 2
ecuaciones de onda con operadores transversales para el campo eléctrico. De igual forma podríamos
haberlo hecho para el campo magnético. En definitiva, las dos ecuaciones de onda iniciales pasan a
ser:
Aparentemente hay que resolver 4 ecuaciones de onda, pero vamos a ver que no es
necesario, y que bastará con resolver las dos ecuaciones de onda escalares (ecuaciones (19)-a y
Pág. 6 Líneas de Transmisión
(21)
(19)-c). Es decir, que nos bastarácon conocer las componentes axiales Ez y Hz de los campos para
conocer todo el campo en el interior de la guía.
Para ello, volvamos a las ecuaciones de Maxwell -ecuación (1)-, y en concreto a las dos
ecuaciones de los rotacionales, que volvemos a escribir aquí:
Si manipulo estas dos ecuaciones de tal forma que descompongo los campos -tanto el
eléctrico como el magnético- en sus componentes transversales y longitudinal, y el operador L x -o
sea, el rotacional- también en sus componentes transversales y longitudinales -ver el anexo II-,
obtenemos para la primera de ellas:
expresión que contiene al final 4 sumandos que vamos a analizar seguidamente:
1) El primer sumando se puede poner así:
La exponencial puede salir fuera ya que el rotacional es transversal. Obsérvese que este
primer sumando sólo tiene componente longitudinal -ver anexo II para
comprobarlo-.
2) El segundo sumando será:
Hemos derivado respecto a z por ser un rotacional axial. Obsérvese que en este caso, este
sumando sólo tendrá componentes transversales.
3) El tercer sumando será el siguiente:
De igual forma que en el primero, la exponencial sale fuera porque tenemos derivadas
transversales. Este sumando tendrá sólo componentes transversales.
4) Y el cuarto y último sumando es:
Evidentemente es cero, comprobándolo en el anexo II.
Líneas de Transmisión Pág. 7
Una vez vistos los cuatro sumandos, y volviendo a nuestra ecuación original -ecuación (21)-
e igualando los términos de iguales componentes -sumando transversales con transversales y axiales
con axiales-, obtenemos:
Si hacemos los mismo con la segunda ecuación del rotacional de Maxwell, obtenemos de
forma dual:
Las siguientes manipulaciones con estas 4 ecuaciones son: multiplicar la primera por jT, y
sustituir por su valor, dado por la tercera ecuación. Esto da:
Y si tenemos en cuenta las siguientes igualdades vectoriales:
nos queda la siguiente ecuación:
de la que podemos despejar las componentes transversales en función de las componentes
longitudinales, quedando:
De forma totalmente dual, podemos manipular la segunda ecuación del rotacional de
Maxwell, y obtener:
Pág. 8 Líneas de Transmisión
Así pues, hemos conseguido despejar las componentes transversales en función de las
componentes axiales. Por eso, bastará con resolver las 2 ecuaciones de onda escalares en función
de z para resolver el problema.
Por último, recordar, como ya se ha mencionado antes, que estas ecuaciones últimas son
sólo para las ondas progresivas. Es decir, para aquellas con dependencia . Existe, sin
embargo, otro conjunto similar de ecuaciones para la solución regresiva, es decir, para aquella con
dependencia .
III. CONJUNTO DE SOLUCIONES
A partir de las ecuaciones anteriores, podemos ver que basta con resolver las ecuaciones de
onda para las componentes axiales para tener todas las componentes de campo en el medio.
En general se suelen separar las soluciones de campo en tres conjuntos independientes de
soluciones.
Estos 3 conjuntos son conocidos como modos T.E. (modos Transversales Eléctricos o
modos H), modos T.M. (modos Transversales Magnéticos o modos E), y modos T.E.M. (modos
Transversales ElectroMagnéticos).
Los primeros son aquellos para los cuales Ez=0, por lo que entonces bastará con resolver la
ecuación que onda que es función de Hz: , y a partir de ella resolver los
restantes campos transversales. Estos son:
Los segundos modos son aquellos para los que se cumple que Hz=0, y en este caso bastará
con resolver la ecuación de onda función de Ez: , y entonces calcular los
campos transversales. Que en este caso son:
Por último, el tercer conjunto de soluciones es aquel para el cual Ez=Hz=0. Debe
observarse que en este caso las ecuaciones de onda en Ez y en Hz se cumplen directamente. Para
evitar que las componentes transversales sean también identicamente nulas, se deberá cumplir que
, es decir, hay que forzar una indeterminación en la resolución de los campos
transversales, ya que sino son idénticamente nulos. Así pues, la constante de propagación ( está
fijada directamente sin necesidad de resolver la ecuación de onda. Su valor es:
y la velocidad de fase y de grupo es:
Pág. 10 Líneas de Transmisión
Estas velocidades son, en principio, constantes con la frecuencia, y por lo tanto no existe
distorsión. Es decir, todas las frecuencias viajan a la misma velocidad y la reconstrucción de una
señal es exacta. Evidentemente este es un caso ideal, en el que suponemos que tanto , como : son
independientes de la frecuencia. Más tarde se pueden introducir variaciones de dichos parámetros
con la frecuencia e incluso añadir pérdidas. Nótese que a la constante de propagación ( le hemos
puesto el doble signo para tener en cuenta la onda progresiva y regresiva.
La solución total de campo, es decir, la solución global de las ecuaciones de Maxwell será
la suma de los tres modos o los tres conjunto de soluciones. Así pues, el campo estará formado por
ondas T.E., es decir sin componente axial de campo eléctrico, ondas T.M., o sea, sin componente
axial de campo magnético, y por ondas T.E.M., que son únicamente transversales.
En primer lugar vamos a estudiar los modos T.E.M., ya que, como se va a demostrar, son
los más conocidos y a los que estamos más acostumbrados en baja frecuencia.
IV. MODOS T.E.M.
A partir de las ecuaciones vistas, podemos concluir que los campos eléctricos y magnéticos
en una guía para los modos T.E.M. son:
En la solución anterior para E y H sólo se ha incluido la solución de la onda progresiva, no la
solución de la onda regresiva, que sería igual, pero cambiando el signo de la exponencial, o sea, el
signo de la constante de propagación.
Para el cálculo de las componentes transversales de campo, volvemos a las ecuaciones de
Maxwell originales, obteniendo:
Si nos fijamos en las dos ecuaciones anteriores, puesto que los campos eléctricos y
magnéticos sólo tienen componentes transversales, el primero de los dos rotacionales tiene
únicamente componente axial, y el segundo rotacional, es en componentes transversales. Así pues,
podemos identificar componentes, llegando a:
Obsérvese que de las cuatro ecuaciones anteriores, la primera y la tercera son exactamente las
mismas que las ecuaciones que se resuelven en estática, así pues, podemos concluir que para
resolver el campo eléctrico transversal, este puede derivar del gradiente de un potencial N, de la
forma:
Pág. 12 Líneas de Transmisión
Ilustr. 6.-Circualción del Campo Eléctrico
desde un conductor al otro.
Para calcular la función potencial, debemos resolver la siguiente ecuación:
Es decir, que para resolver los modos T.E.M. basta con resolver un problema de estática,
resolviendo el potencial de una estructura o geometría transversal.
A partir del potencial podemos calcular el campo eléctrico transversal, y a partir de él el
campo magnético de la siguiente forma:
donde hemos definido el término como la impedancia del medio.
Obviamente, sólo existirán modos T.E.M. cuando haya al menos 2 medios conductores no
cortocircuitados, ya que en caso contrario la solución es trivial N=0, y todos los campos son
idénticamente nulos.
Otro dato a recordar es que todo lo calculado para estos modos T.E.M. es para el caso
senoidal. Es decir, siempre debe estar presente la dependencia con . Si queremos volver a la
dependencia temporal hay que multiplicar por el factor anterior. Y si la señal no es senoidal,
siempre se podrá descomponer en una serie de senos y cosenos, y aplicar la teoría descrita.
Seguidamente vamos a ver cómo deducir a partir de estos modos T.E.M. las ecuaciones
circuitales a las que estamos acostumbrados, y de ahí deducir un circuito equivalente de una línea de
transmisión o guía de ondas.
Las ecuaciones que deduzcamos serán extrapoladas a un circuito equivalente, y
posteriomente veremos cómo resolver de nuevo el circuito equivalente para obtener, claro está, las
mismas ecuaciones.
Sabemos que el campo eléctrico es únicamente transversal y que deriva de un potencial N
que debesatisfacer la siguiente ecuación y las siguientes condiciones de contorno:
Así pues, podemos definir un voltaje como la
circulación del campo eléctrico desde un conductor
hasta el otro de la forma (ver figura adjunta):
Líneas de Transmisión Pág. 13
Ilustr. 7.-Definición de superficies
y líneas para la corriente.
Está claro que la integral de circulación es independiente del camino recorrido, por lo que
tenemos definido de forma únivoca una onda de voltaje de valor V0:
Podemos, de igual forma, definir una onda de corriente.
En este caso, debemos cojer la segunda ecuación de
Maxwell ( ) e integrémosla en una superficie
tal que englobe todo el espacio de la sección transversal de la
línea de transmisión, excluyendo las secciones metálicas de los
dos conductores. Es decir, que tendremos una superficie definida
por una línea en el infinito, que denominaremos L4 y dos líneas
que rodean las secciones metálicas denominadas L1 y L2.
Si aplicamos el teorema de Stokes a dicha ecuación, para
así eliminar el rotacional del campo magnético, y si además consideramos que no tenemos fuentes,
llegamos a:
La integral que es función del campo eléctrico es nula, ya que este campo es únicamente
transversal, y el vector superficie es normal a dicha superficie. También es nula la integral a lo
largo de la línea del infinito, ya que el campo magnético en esos puntos es cero.
Si ahora denominamos a la integral a lo largo de L1 corriente I1 y la segunda a lo largo de
L2 la denominamos I2, llegamos a que se debe cumplir:
Así pues, podemos definir una onda de corriente de manera unívoca, como la circulación
del campo magnético por una línea que rodea a uno cualquiera de los dos conductores que tenemos.
El valor de la corrienta la hemos definido como I0, y será: . La onda de
corriente será, de forma similar a la onda de tensión:
También podemos ver que la corriente que circula por uno de los conductores en un sentido,
es la misma corriente que circula por el otro en sentido contrario.
Calculemos ahora los parámetros circuitales, una vez calculadas y definidas las ondas de
tensión y corrientes de forma unívoca.
Pág. 14 Líneas de Transmisión
Ilustr. 8.-Definición de dS'.
Sabemos que . Si dicha tensión la derivamos respecto la coordenada z, y
aplicamos las ecuaciones de Maxwell que relacionan campo eléctrico con campo magnético,
tendremos:
Véase la siguiente figura para ver el significado del
dS' que aparece en la ecuación anterior.
En dicha ecuación, podemos ver que aparece un
término conocido que es:
es decir, el flujo del campo magnético por unidad de
longitud M, que por definición es LI, es decir, la
autoinducción por unidad de longitud multiplicado por la corriente.
Así pues, tendremos que:
En la segunda parte de la ecuación hemos eliminado la dependencia con jT, para pasar a la
dependencia temporal, y así tener una expresión más general.
De igual forma vamos a proceder con la corriente. Esta está definida como .
Si derivamos respecto a la coordenada z, y aplicamos las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
Líneas de Transmisión Pág. 15
Ilustr. 9.-Definición de dS'.
Ilustr. 10.-Circuito equivalente
por unidad de longitud.
En la siguiente figura se observa la definición de
dS' (es de destacar que en cada definición, tanto de tensión
V como de corriente I, el vector dl de la circulación es
distinto).
En esta ocación también aparece un término que es
fácilmente reconocible:
es decir, la carga sobre la superficie del conductor por unidad de longitud Q, que por definición es
CV, es decir, la capacidad por unidad de longitud multiplicado por la tensión.
Así pues, tendremos:
También en este caso hemos eliminado en la segunda parte de la ecuación la dependencia
con jT, para pasar a la dependencia temporal, y así tener una expresión más general.
Por lo tanto, las ecuaciones que gobiernan el circuito son:
Podemos decir, a partir de estas ecuaciones, que el
circuito equivalente por unidad de longitud de una línea de
transmisión ideal es el de la figura siguiente.
Es decir, tenemos una capacidad en paralelo de valor Cdz
y una bobina en serie de valor Ldz, donde C es la capacidad por unidad de longitud de la estructura
calculada en estática (electrostática) y por lo tanto únicamente función de la geometría y donde L es
la autoinducción por unidad de longitud de la estructura calculada en estática (magnetostática), y por
ello también función sólo de la geometría de la misma.
Pág. 16 Líneas de Transmisión
 3Parámetros primarios serán la C y la L por unidad de longitud.
Ilustr. 11.-Circuito equivalente de una
celda elemental.
V. RÉGIMEN TRANSITORIO Y PERMANENTE
En este punto vamos a desarrollar la teoría de circuitos que se utiliza para analizar una línea
de transmisión. Es importante recordar que partimos de un circuito equivalente de bobina y
condensador que no sale de la nada, sino que en los puntos anteriores se han ido justificando los
distintos parámetros primarios3 del circuito equivalente que ahora se muestra prácticamente de cara,
pero que es justamente la conclusión y el circuito al que hemos llegado en el punto anterior al tratar
los modos T.E.M.
Sabemos que el circuito equivalente de una celda
elemental de línea de transmisión es el de la figura adjunta,
donde C es la capacidad por unidad de longitud calculada en
electrostática para la sección transversal de la línea, y donde
L es la autoinducción por unidad de longitud calculada en
magnetostática.
Evidentemente, a la entrada de la celda elemental
tendremos una tensión y una corrientes de valores v(z,t) e
i(z,t) respectivamente. A la salida de la celda, dichos valores
serán v(z+dz,t) e i(z+dz,t). Estos dos valores podemos
desarrollarlos en serie de Taylor alrededor del punto z, por lo que tendremos:
Si ahora aplicamos la teoría de circuitos a la malla anterior, y sabiendo que la tensión en
bornas de una bobina de valor L es , y la corriente que atraviesa un condensador de
valor C es , tenemos las dos ecuaciones que relacionan la tensión en un punto de la
línea con la corriente que la atraviesa, y que son exactamente las mismas a las que habíamos llegado
al analizar los modos T.E.M.:
Pág. 18 Líneas de Transmisión
Si manipulamos las dos ecuaciones anteriores para resolver la tensión y la corriente,
llegamos al siguiente par de ecuaciones:
Estas dos ecuaciones se denominan ecuaciones de onda unidimensionales, o ecuaciones
del telegrafista. El término c es la velocidad de propagación, y como se ve es función de los
parámetros primarios L y C.
La solución a las ecuaciones anteriores es conocida, siendo de la siguiente forma para v(z,t):
donde F1 y F2 son dos funciones en principio desconocidas o arbitrarias.
Es de observar que F1 es una función u onda progresiva. Esto es, una onda que viaja a una
velocidad c en dirección de las z positivas. Es decir, si un observador viaja por la línea a una
velocidad c, siempre medirá la misma tensión a lo largo del tiempo. Esta es la razón por la cual c
es conocida como la velocidad de propagación.
De igual forma, F2 es una fucnión u onda regresiva. Es decir, viaja en el sentido negativo
de las z a una velocidad c.
Además de la solución de la tensión, podmeos resolver la corriente, que en este caso es:
Es de observar que formalmente la solución es igual que la de la tensión, sólo cambian
algunas constantes debidas a la relación entre ambas funciones. También aparecen las funciones
progresivas y regresivas F1 y F2, con el mismo significado que antes.
Por lo tanto, la tensión y la corriente en una línea de transmisión siempre se podrá poner
como la suma de una onda progresiva más una onda regresiva. Es importante recordar cuál es la
dependencia con t y z de dichas funciones.
Para simplificar la nomenclatura, se suelen utilizar los siguientes términos más sencillos:
Por lo tanto, la tensión y la corriente en la línea quedan:
Líneas de Transmisión Pág. 19
Ilustr. 12.-Sistema de referencia y
primera onda de tensión.
donde hemos definido el término Z0 como , y se denomina impedanciacaracterística
de la línea de transmisión.
Por último, veamos cuál es la potencia que transmite esta línea:
donde hemos definido la potencia de la onda progresiva y la potencia de la onda regresiva como
 y respectivamente. Por lo tanto, la potencia transmitida global en una
línea sin pérdidas es la diferencia entre la potencia de la onda progresiva y la potencia de la onda
regresiva.
Para aclarar algunos conceptos, y ver qué valores reales tienen las funciones F1 y F2, vamos
a ver algunos ejemplos sencillos.
Como primer ejemplo, supongamos el caso práctico de la
siguiente figura, donde en el instante t=0 se cierra el interruptor.
La fuente genera una tensión vg(t) y justo en la discontinuidad
(punto de cierre del interruptor) se generará una onda de tensión
V+, que es la forma simplificada con la que denominamos a la
función F1(t-z/c).
El valor de dicha tensión en z=0 será tal que se cumplan
las condiciones de contorno que impone el generador. Es decir:
Luego, la expresión de V+ para todo t y todo z es:
Pág. 20 Líneas de Transmisión
Ilustr. 13.-Definición de los dos sistemas de
coordenadas y las ondas de tensión V+ y V-.
Evidentemente, esta señal irá viajando
a lo largo de la línea hasta alcanzar la
resistencia de carga RL. En ese punto z=l, por
lo que tendremos la misma señal del generador
pero retardada un tiempo T que es el tiempo
que tarda la señal en recorrer toda la línea,
cuyo valor es T=l/c. Es decir, tenemos un
valor V+=vg(t-T). Está claro que esta tensión
por ella sóla no cumple las condicioens de
contorno que impone la resistencia de carga.
Por ello, se generará otra onda de tensión, que
hará que se cumplan las condiciones de
contorno en dicho punto. Esta nueva onda de
tensión la consideraremos una onda progresiva
respecto de un nuevo origen de coordenadas z', tal que respecto del anterior se cumple z'=-z+l
(véase la figura adjunta).
En este caso, denominamos a esta nueva onda V'+, y las condiciones de contorno imponen:
Es decir, la nueva onda de tensión es la onda de tensión indicente que la genera en dicho
punto multiplicada por un coeficiente de reflexión.
La expresión de V'+ para todo t y todo z' es:
Obsérvese que es una onda progresiva, que viaja en la dirección positiva de z'. Si hacemos
un cambio de variable al eje z de referencia, tenemos:
Hemos cambiado ahora el nombre a la onda de tensión, que pasa a denominarse V-, es
decir, una onda de tensión regresiva, una onda que viaja en el sentido negativo de las z.
Por lo tanto, en la línea tenemos hasta el momento dos ondas de tensión, una progresiva V+
y otra regresiva V-. Esta última onda llegará al origen z=0 transcurrido un tiempo t=T desde que se
generó, o t=2T desde el origen de tiempos. Cuando llegue al origen no se van a cumplir las
Líneas de Transmisión Pág. 21
condiciones de contorno, por lo que se generará otra onda progresiva que denominaremos V1
+, cuyo
valor será tal que se cumplan las condiciones de contorno:
Es decir, tenemos una nueva onda de tensión cuyo valor es la onda de tensión indicente (en
este caso es la onda regresiva V-) que la genera en dicho punto multiplicada por un coeficiente de
reflexión, en este caso de fuente.
La expresión de V1
+ para todo t y todo z es:
Hay que destacar que es una onda progresiva, puesto que viaja en el sentido positivo de las
z. Otro detalle es observar el retardo que tiene esta señal, al igual que V-, respecto del origen de
tiempos. En este caso es un retardo de 2T.
A partir de este instante, tenemos en la línea dos ondas progresivas, y una onda
regresiva. La nueva onda progresiva viaja ahora hacia la carga RL, carga que alcanza en el instante
t=3T, contando desde el origen de tiempos. Parece claro que en ese instante no se van a cumplir las
condiciones de contorno que impone la carga, puesto que dichas condiciones ya las cumplían V+ y
V-. Ahora tenemos una nueva onda V1
+, que generará otra onda de tensión en la carga, al igual que
pasó con V+ cuando generó la onda V-.
Considerando como antes una onda progresiva en el sentido de z', tenemos que se genera
una onda denominada V1'
+, cuyo valor, después de imponer las condiciones de contorno, es:
Es decir, como sucedió anteriormente, la nueva onda de tensión es la onda de tensión
indicente que la genera en dicho punto multiplicada por un coeficiente de reflexión de carga.
La expresión de V1'
+ para todo t y todo z' es:
Pág. 22 Líneas de Transmisión
Ilustr. 14.-Diagrama espacio-tiempo de las
ondas de la línea de transmisión.
Obsérvese, como antes también, que es una onda progresiva, que viaja en la dirección
positiva de z'. Si hacemos también un cambio de variable al eje z de referencia, tenemos:
Hemos cambiado ahora el nombre a la onda de tensión, que pasa a denominarse V1
-, es
decir, una onda de tensión regresiva, una onda que viaja en el sentido negativo de las z, al igual
que sucedía con V-.
Y a partir de aquí se pueden seguir realizando cálculos para calcular ondas progresivas y
regresivas que van apareciendo en la línea a lo largo del tiempo. Es de destacar que las ondas que
van apareciendo van estando retardadas en el tiempo, conforme se van generando.
Otro dato importante es que cada onda que se genera en la discontinuidad es únicamente
función de la onda incidente en ese momento multiplicada por el correspondiente coeficiente de
reflexión.
De forma simplificada y para aclarar conceptos
se suele utilizar un diagrama de espacio-tiempo donde se
representan estas ondas de tensión a medida que se van
generando. Dicho diagrama es el de la figura adjunta.
En él podemos ver que se representa en abcisas la
longitud de la línea, y en ordenadas el tiempo
transcurrido. En el instante t=0 y en el origen z=0 se
genera la onda V+. Esta onda viaja hasta la carga, que
alcanza en t=T, instante y punto en el cual se genera la
onda reflejada V-, que es una onda regresiva respecto
del origen de coordenadas z. Nótese de nuevo que esta
onda es progresiva respecto de un sistema de referencia
con origen en la carga y final en el generador.
Por último comentar que la tensión en la línea
será siempre la suma de las ondas progresivas y
regresivas que existan en cada momento en la línea.
Asímismo, la suma de todas las ondas progresivas será la onda progresiva total de la línea, y la
suma de todas las ondas regresivas será la onda regresiva global de la línea. Lo importante es ver
que las sucesivas ondas progresivas y regresivas no aparecen al mismo tiempo sino que van
apareciendo a lo largo de este a base de reflexiones en la carga y en el generador. Es decir, si a
cada una de las ondas progresivas anteriomente calculadas le damos un subíndice i, desde i=1 hasta
N, indicando este índice una unidad temporal, tendremos que la onda progresiva total hasta ese
instante será:
y si hacemos igual con las ondas regresivas, tendremos:
Líneas de Transmisión Pág. 23
Y entonces, la tensión global es, como ya sabemos:
Como un primer ejemplo, supondremos que el generador es una batería de valor V0. En este
caso, las ondas de tensión que van apareciendo progresivas y regresivas son:
Ondas Progresivas Ondas Regresivas
... ...
La expresión general de las onda progresivas que van apareciendo es:
y para las ondas regresivas:
Por lo tanto, la suma de todas las ondas progresivas es la onda progresiva en régiman
permanente, de valor:
Y la onda regresiva en régimen permanente es:
Pág. 24 Líneas de Transmisión
Si ahora sumamos las dos ondas, veremos cuál es la tensión en la línea en régimen permante
cuando cerramos un interruptor que une una batería de tensión continua V0 e impedancia Rg y una
línea de transmisión ideal terminada con una carga de resistencia RL. Dicho valor es:
Se puede comprobar que dicho valor coincide con el esperado de un análisis en continua.
Como un ejemplo más complejo, pero más práctico a la vez, podemos ver el transitorio
cuando el generador es cosenoidal:
vg(t)=V0 cos(wt)
En este caso, las distintas ondas de tensión que van apareciendo son:
Ondas Progresivas Ondas Regresivas
... ...Se puede comprobar, de lo anterior, que el término general para las ondas progresivas es:
Y para las ondas regresivas,
Podemos comprobar cuál es la onda progresiva en regimen permanente, que será la suma de
todas las Vi
+ para todo i. Así pues:
Líneas de Transmisión Pág. 25
Ilustr. 15.-Coeficiente de reflexión.
Haciendo igual para las ondas regresivas, tenemos:
Por último, se puede verificar que estos resultados
coinciden con los ya clásicos del régimen permanente en
una línea de transmisión con generador senoidal.
Para complicar un poco más los ejemplos, y que no
aparezca sólo el coeficiente de reflexión, podemos poner
este otro ejemplo donde se introduce el concepto de coeficiente de transmisión.
Sea el circuito de la figura, donde en el intante t=0 se cierra el interruptor. Podemos ver
que tenemos dos líneas de transmisión de longitudes e impedancias características distintas. Incluso
sus velocidades de propagación pueden ser diferentes, siendo este el caso más general.
Es evidente, como en los casos anteriores, que inicialmente se genera una onda de tensión
progresiva en la línea a, que llamaremos Va1
+, y cuyo valor es tal que se han de cumplir las
condiciones de contorno (suponemos condiciones iniciales de la línea nulas, aunque en las
ecuaciones se van a incluir para saber cómo se han de tener en cuenta):
donde las condiciones iniciales son V0a para la tensión de la línea e I0a para la corriente, definida en
el mismo sentido que la corriente progresiva. En nuestro caso esos valores son cero, por lo que nos
queda la onda inicial ya conocida:
donde vg(t) es V0, como se ve en la figura del ejemplo.
Pág. 26 Líneas de Transmisión
 4Esta condición se deduce del circuito en concreto en el que estamos. Si, por ejemplo, justo en la
resistencia R1 hubiera un interruptor, las condiciones iniciales de cada línea serían distintas, y habría que
encontrar en este caso otra relación entre ellas.
Ilustr. 16.-Generación de la onda progresiva
en b y regresiva en a.
Evidentemente, esta onda progresiva viajará hacia la discontinuidad del final d ela línea a,
tardando un tiempo Ta=la/ca, donde ca es la velocidad
de propagación de esta primera línea. Transcurrido este
tiempo, llegamos a la resistencia R1, donde esta única
tensión no cumple las condiciones de contorno. Por ello
suponemos que se generan dos ondas de tensión para
que sí se cumplan las condiciones. Esta dos ondas serán
una regresiva sobre la línea a y otra onda progresiva
inicial sobre la línea b. Esto puede verse en la siguiente
figura. A estas ondas las vamos a denominar Va1
- y
Vb1
+.
Las condiciones de contorno que se deben cumplir en la discontinuidad son las siguientes,
donde se introducen de nuevo las condiciones iniciales de la línea a y las de la línea b, que son la
tensión inicial V0b y la corriente inicial I0b:
De estas dos ecuaciones podemos despejar Va1
- y Vb1
+ en función de Va1
+ que es la onda que
las genera.
En este caso, y sabiendo que las condiciones iniciales V0a, V0b, I0a e I0b deben cumplir las
siguiente condición4:
Por ello, las nuevas ondas de tensión en cada línea son:
En este caso hemos definido los términos Da y Jab que son, respectivamente, el coeficiente
de reflexión en R1 sobre la línea "a" y el coeficente de transmisión en R1 de la línea "a" a la
línea "b". Estos términos están dibujados en el esquema anterior.
Líneas de Transmisión Pág. 27
Ilustr. 17.-Diagrama de dos líneas.
Así pues, tenemos ahora una onda de tensión regresiva sobre la línea a y una onda
progresiva sobre la línea b, que se han generado al mismo tiempo t=Ta. La onda regresiva volverá
sobre la línea a como ya se ha visto en ejemplos anteriores, llegará transcurridos t=2Ta al
generador, y se reflejará con un coeficente de reflexión D1 sobre el generador, para tener otra onda
progresiva, y así sucesivamente.
Por su parte, la onda progresiva en la línea b viajará hacia la carga R2, donde llegará
transcurrido un tiempo t=Tb desde su generación. Este tiempo Tb es el tiempo de propagación sobre
esta línea, definido como Tb=lb/cb, donde cb es la velocidad de propagación en esta segunda línea.
Al llegar esta onda a la carga, se reflejará con un coeficiente de reflexión D2, generando una onda
regresiva en la línea b, onda denominada Vb1
-. Esta volverá sobre la línea hasta alcanzar de nuevo la
discontinuidad de R1, transcurrido un tiempo t=Ta+2Tb desde el cierre del interruptor. Al llegar
ahí, no se cumplirán por ella sóla las condiciones de contorno, y se generarán dos ondas de tensión.
Una reflejada hacia la misma línea b, que será una onda progresiva, y otra transmitida sobre la línea
a, que será una onda regresiva sobre esta línea. Estas ondas se superpondrán a todas las existentes
en cada línea, y tendrán un valor de:
Estos resultados se obtienen después de imponer las condiciones de contorno en la
resitencia. Obsérvese que de nuevo las nuevas ondas de tensión son función únicamente de la onda
incidente que las genera y de unos coeficientes que hemos denominado Db y Jba que son,
respectivamente, el coeficiente de reflexión en R1 sobre la línea "b" y el coeficente de transmisión
en R1 de la línea "b" a la línea "a". Estos términos están también dibujados en el esquema
anterior.
En la figura adjunta podemos ver el
diagrama de espacio-tiempo para este circuito.
Los distintos valores de las ondas de tensión
son:
LÍNEA A LÍNEA B
Va1
-=DaVa1
+ Vb1
+=JabVa1
+
Va2
+=D1Va1
- Vb1
-=D2Vb1
+
Va2
-=DaVa2
+ Vb2
+=DbVb1
-
Va11
+=JbaVb1
- Vb11
+=JabVa2
+
En el diagrama se indican también los
tiempos Ta y Tb de propagación de cada línea.
Para ver la tensión en un punto
cualquiera de la línea a lo largo del tiempo,
bastará con dibujar una vertical sobre el punto,
e ir viendo en cada instante de tiempo qué
ondas han llegad a ese punto y cuales no. De igual forma, si queremos ver en un intante
determinado la tensión a lo largo de la línea, dibujaremos una línea horizontal en el instante dado, e
Pág. 28 Líneas de Transmisión
Ilustr. 18.-Circuito con elemento reactivo.
iremos viendo que tensión tenemos hasta ese instante. No olvidémonos nunca, además de que sobre
todas estas ondas de tensión están las tensiones y corrientes iniciales.
Para finalizar con este conjunto de ejemplos, vamos a considerar un último ejemplo donde
la carga es una carga reactiva, es decir donde hay bobinas o condensadores. Este ejemplo es útil
para ver cómo utilizar la transformada de Laplace en este tipo de problemas.
De nuevo el planteamiento es similar a los ya
vistos antes. Tenemos el circuito de la figura, donde en el
instante t=0 se cierra el interruptor. Como antes, para
que se cumplan las condiciones de contorno, se genera
una onda progresiva denominada V+ (no olvidarse de la
scondiciones iniciales, caso de que las hubiera), que llega
a la carga después de un tiempo t=T=l/c.
La carga, en este caso, es reactiva, ya que hay
una resistencia y una bobina en serie. De nuevo tendremos que cumplir las condiciones de contorno
que impone dicha carga, que en este caso son:
donde VL es la tensión en el final de la línea, y cuyo valor es VL=V+(t)+V-(t). Esta tensión V-(t) es
la onda de tensión regresiva que hay que calcular para que se cumplan las condiciones de contorno.
Por otra parte, la corriente I es la corriente que atraviesa la carga que es a su vez la misma que
tiene la línea en z=l, cuyo valor es I=(V+(t)-V-(t))/Z0.
La dificultad de la ecuación anterior es la existencia de la derivada temporal, término que
no aparecía cuando las cargas eran puramente resistivas. Para eliminar esta derivada, la mejor
solución es utilizar la transformada de Laplace. Si la aplicamos sobre dicha ecuación, esta queda:
si de ahí despejamos V-(s), tendremos que vale:
donde, como anteriormente, hemos definido un coefiente de reflexión en la carga DL(s). Así pues,
ya tenemos el valor de la onda reflejada en la carga en el dominio de Laplace. Para calcularla en el
dominio del tiempo bastará con calcular la transformada inversa de Laplace. Así pues:
Líneasde Transmisión Pág. 29
Ilustr. 19.-Tensión en el generador
debida a la carga reactiva.
Para el ejemplo de la figura, si suponemos que el generador de señal es una batería de
corriente continua V0, tenemos que:
por lo que la onda regresiva V-(s) es:
cuya transformada inversa es:
La referencia de tiempos es en este caso respecto del instante de creación de la onda
reflejada V-, o sea, desde t=T.
Si por ejemplo el generador está adaptado, entonces Rg=Z0, y podemos comprobar que en
régimen permanente, es decir, cuando t64, la tensión en la carga es:
que es el resultado que cabía esperar.
En la siguiente figura vemos la tensión en bornas
del generador en función de tiempo, cuando la tensión de
continua V0 es la unidad, la impedancia del generador y la
de la línea es de Z0=Rg=50 S, la resistencia de la carga es
R=75 S, la bobina es de L=1 nH, la velocidad de
propagación en la línea es la de la luz y la longitud de la
misma l=1.5 cm.
Podemos ver que hasta que no llega la onda
reflejada en la carga, el valor de la tensión es únicamente
V+, y cuando llega la reflexión se suman las dos. También
vemos que con el tiempo se alcanza rápidamente el
régimen permanente, es decir, cuando la bobina es un
cortocircuito.
Pág. 30 Líneas de Transmisión
VI. MODOS T.M.
VI.1. CONCEPTOS GENERALES
A partir de la solución de las ecuaciones de Maxwell, vistas anteriormente, podemos decir
que los campos eléctricos y magnéticos en una guía para los modos T.M. son:
En la solución anterior para E y H sólo se ha incluido, como se hizo en los modos T.E.M. la
solución de la onda progresiva, no la regresiva, que también es solución, y que supone cambiar el
signo a la exponencial.
Obsérvese que la constante de propagación ( es función de K2, cuyo valor es T2:,, y de
otra constante Kc
2, cuyo valor, en principio, es desconocido.
Para encontrar este valor, hay que recordar cómo se calculan los campos. Puesto que la
componente axial de campo eléctrico Ez es distinta de cero, esta debe cumplir la ecuación de onda:
donde se observa que se utiliza la constante Kc.
Una vez resuelta esta ecuación para la componente Ez, el resto de componentes, sabiendo
que Hz es nula, son:
Como se ve, son únicamente función de Ez. Por lo tanto, lo fundamental será resolver la
ecuación de onda anterior, para así obtener la solución de los modos T.M.
La ecuación de onda, cuando se impongan las condiciones de contorno apropiadas al campo
eléctrico axial, tendrá infinitas soluciones, que nos dará los infinitos valores propios Kc, que
denominaremos Kcn, para cada valor de n. A su vez, para cada valor propio, tendremos una
solución de campo Ezn que cumplirá la ecuación de onda, y a partir de ella, las componentes Etn y
Htn. Diremos pues, que cada una de estas soluciones es un modo T.M., y los distinguiremos con un
subíndice n. Hablaremos pues de los modos T.M.n.
Cada modo tendrá su propia constante de propagación (n, definida como:
Se puede comprobar que las componentes transversales se pueden reescribir como:
Pág. 32 Líneas de Transmisión
Podemos observar que dichas componentes transversales de campo eléctrico y magnético
son ortogonales entre sí. Además, la relación entre ellas es un valor, que por similitud con otras
expresiones de campo en las ondas planas, llamaremos impedancia de modo ZTMn. Esta relación es:
Y de esta forma, el campo magnético queda:
Conviene decir también que, puesto que la componente axial de campo eléctrico Ez cumple
las condiciones de contorno impuestas por el medio de transmisión, el resto de componentes de
campo eléctrico y magnético también cumplen sus correspondientes condiciones. Por ejemplo, si la
línea de transmisión es una guía de paredes metálicas, las componentes tangenciales de campo
eléctrico sobre sus paredes deben ser cero. Así pues, en la ecuación de onda para resolver el campo
axial impondremos que . Es fácil comprobar que la componente transversal
tangencial también será nula en el contorno y que, por lo tanto, la componente normal de campo
magnético también lo será. Así pues, se cumplen todas las condiciones de contorno.
VI.2. FRECUENCIA DE CORTE
Volviendo a la constante de propagación (n -que pasaremos a denominar únicamente (,
aunque sepamos que existe una para cada modo T.M.n-, es de observar que es una raíz cuadrada,
cuyo radicando puede ser positivo o negativo para cada valor de Kc en función de la frecuencia, ya
que el resto de valores -, y :- son constantes.
En un primer caso supongamos que el radicando es negativo, es decir, que la frecuencia es
suficientemente alta como para hacer K2=T2,:>K2
c. Entonces, la constante de propagación
podremos ponerla como: (=j$, donde $ es real y positiva y de valor: . Y en este
caso, todas las componentes de campo serán proporcionales a: , y por lo tanto podremos
decir que hay propagación, ya que los campos no se atenuarán a medida que progresan en z.
Líneas de Transmisión Pág. 33
Ilustr. 20.-Variación de " y $ en función de la
frecuencia.
El segundo caso es suponer que la frecuencia no es lo suficientemente alta como para hacer
negativo el radicando. En este caso, la constante de propagación será: (=", donde " es real y
positiva y de valor: . Y todas las componentes de campo serán proporcionales a:
. En este caso, no hay propagación del modo, ya que los campos se van atenuando a
medida que progresamos en z. Esta atenuación no supone calentamiento, ya que estas pérdidas no
son tales. En ningún momento se ha dicho que los medios tuvieran pérdidas, por lo tanto estas
pérdidas sólo suponen un almacenamiento de energía.
Es evidente que existe una frecuencia límite, hasta la cual no hay propagación, y a partir
de la cual sí hay propagación. Esta frecuencia límite recibe el nombre de frecuencia de corte del
modo. Su valor es: , y, como se ha comentado antes, es función del medio
-constante dieléctrica y permeabilidad magnética- y del modo, ya que este fija la constante Kc.
Obsérvese que este concepto de frecuencia de corte no existe en los modos T.E.M., ya que para
estos siempre existe propagación (véase el punto VIII.3 dedicado a la guía coaxial), puesto que la
constante de propagación es siempre imaginaria pura para el caso de medios ideales, es decir, sin
pérdidas. En el caso de que aparecieran pérdidas, seguiría habiendo propagación, pero a su vez irían
disminuyendo las amplitudes de los campos debido a las pérdidas. Estas sí suponen un
calentamiento, puesto que sí son pérdidas reales.
En la figura adjunta (Ilustr. 20) se
representa la constante de propagación ( en sus
dos formas " y $ en función del cociente f/fc
(frecuencia de trabajo entre frecuencia de
corte). Se observa que la constante $ tiende a
valer asintóticamente lo mismo que la
constante de propagación del modo T.E.M.
Este concepto de frecuencia de corte es
fundamental para todos los modos T.M. y
también, según veremos, para los T.E., donde
el comportamiento de la constante de
propagación será totalmente similar al
comentado en este apartado.
La constante $ se suele escribir en
función de la frecuencia de corte como:
Pág. 34 Líneas de Transmisión
A veces, en lugar de la frecuencia de corte se utiliza la longitud de onda de corte, definida
como: . Por último, otro concepto importante es la longitud de onda en la guía.
Siempre se ha definido la longitud de onda como la distancia entre dos puntos de una onda con igual
fase. En los modos T.E.M. esta longitud de onda tiene el valor de: . Este valor
coincide con: , donce c es la velocidad de propagación de la luz en el medio donde
estemos. Es decir, que en los modos T.E.M., la longitud de onda en la guía es la longitud de onda
asociada tradicionalmente a la frecuencia en el medio, es decir, a una onda plana que viajara por el
espacio libre, relleno únicamente con el material del que esté realizada la guía. Sin embargo, en los
modos T.M. (y también en los T.E.), esto no es cierto, ya que la constante $ no tiene el mismo
valor. En este caso la longitud de onda en la guía es:
donde 8 sí que es igual a la longitudde onda en el espacio libre.
Por último, una vez definida la frecuencia de corte, vamos a reeescribir la impedancia del
modo en función de ella:
Nótese que para valores de frecuencia por encima de la frecuencia de corte la impedancia es
positiva, lo cual supondrá propagación o transmisión de potencia. Sin embargo, para valores
inferiores, la impedancia pasa a ser imaginaria, lo cual supondrá que no hay transmisión de
potencia, sino que tendremos reflexión. Igual que sucede con cualquier elemento reactivo, como una
bobina o un condensador.
VI.3. CONSIDERACIONES DE POTENCIA
Para completar este punto de modos T.M., veremos algunas consideraciones de potencia,
que luego se volverán a comentar en los modos T.E. La conclusión fundamental será la deducción
de la expresión de la Potencia Transmitida. Para ello partiremos del teorema de Poynting en forma
compleja para una excitación senoidal, y aplicaremos algunas igualdades vectoriales y las 2
ecuaciones de Maxwell, para llegar a:
Líneas de Transmisión Pág. 35
(152)
Ilustr. 21.-Guía de ondas, con sección transversal
arbitraria.
(153)
Si integramos ambos lados de la igualdad en un volumen cerrado y aplicamos el teorema de
Gauss, tenemos:
Esta expresión podemos reescribirla de otra forma, si recordamos el valor de las energías
medias eléctrica y magnética almacenadas en un volumen de dieléctrico homogéneo, así como la
potencia disipada por un medio con conductividad finita:
quedando el balance de potencias como:
donde las energías y potencias ya han sido comentadas, y donde el término de la izquierda de la
igualdad se corresponde con el flujo de energía media que entra por segundo en el volumen V.
En la figura siguiente está dibujada una
guía cualquiera, con sección transversal arbitraria,
de tal forma que las superficies S1 y S2 son
iguales, lo único diferente es el vector superficie
de ambas, que son de sentidos contrario, siempre
salientes del volumen V, también definido en la
figura. La superficie S3 es la superficie lateral de
la guía.
Sobre dicha figura, vamos a proceder a
descomponer el vector de Poynting en
componentes transversales y longitudinales, de tal
forma que:
Pág. 36 Líneas de Transmisión
Resulta inmediato ver que el último de los 4 sumandos es nulo.
Por otro lado, para los modos T.M., objetos de este punto, Hz=0, por lo que el segundo
sumando también se anula (para los modos T.E. será el tercer sumando el anulado).
Fijémonos ahora en el primer sumando. Es obvio que el producto vectorial de dos vectores
transversales será, necesariamente, longitudinal. Por ello, el flujo de este vector por las paredes
laterales (superficie S3) será idénticamente nulo. No así el flujo por las paredes transversales (las
tapas del cilindro).
Por último veamos el tercer sumando. Es el producto vectorial de un vector transversal y de
otro longitudinal. El resultado es un vector transversal, por lo que el flujo por las superficies
transversales S1 y S2 (vector unitario longitudinal) será nulo. Y el fujo por la pared lateral S3 será
proporcional a las componentes Ez y HJ (esta es la componente tangencial de campo magnético en la
superficie S3). De estas dos componentes siempre hay alguna nula. Si las paredes son conductoras
perfectas, las componentes tangenciales de campo eléctrico deben anularse, por lo que Ez es cero.
Por contra, si las paredes de la guía son paredes magnéticas perfectas, entonces sucede el caso dual.
Es decir, se deben anular las componentes tangenciales de campo magnético, por lo que HJ será
cero. Estos son los únicos casos en los que tendremos campo confinado en una guía. Por supuesto,
si no sucede así, es decir, si no tenemos ni paredes eléctricas perfectas ni paredes magnéticas
perfectas, entonces sí habría flujo del vector de Poynting hacia el exterior. Pero este no es el caso
que nos ocupa.
Por lo tanto, queda demostrado que el flujo del vector de Poynting para los casos anteriores
es únicamente por las paredes transversales S1 y S2. Y el balance de potencias de la ecuación (152)
queda:
Si en esta ecuación identificamos partes reales, tenemos:
Es decir, que el balance de potencias indica que el flujo neto de potencia de entrada (flujo
del vector de Poynting de las componentes transversales de campo) al volumen V es igual a la
potencia disipada en dicho volumen.
Por supuesto, si tenemos un volumen V sin pérdidas, entonces el flujo neto de potencia a
través de todo el volumen es cero. Es decir, que el término de la izquierda de la ecuación anterior
nos da el flujo neto de potencia a través de la guía. Es decir, esto es la Potencia Transmitida por la
guía.
Repitiendo la expresión anterior, tenemos que la potencia transmitida es:
donde la superficie S de la integral es únicamente la sección transversal de la guía, es decir, o bien
S1 o bien S2.
Líneas de Transmisión Pág. 37
Si identificamos las partes imaginarias del balance de potencias, tendremos que:
Es decir, que el flujo de neto de energía reactiva entrante al volumen V es igual a la
diferencia de potencias eléctrica y magnética almacenadas en el interior.
Respecto a este resultado, resulta inmediato comprobar que para los modos que se propagan
(frecuencia de trabajo por encima de la de corte del modo en cuestión) el producto es
siempre real, por lo que la parte imaginaria del flujo transversal es cero. Es decir, que las energías
eléctrica y magnética almacenadas son iguales: Ue=Um. Esto no sucede en los modos que están al
corte, o si suponemos una onda estacionaria, es decir, cuando tenemos onda progresiva y onda
regresiva simultáneamente.
Por lo tanto, y resumiendo, la potencia transmitida por un modo T.M. será:
Pág. 38 Líneas de Transmisión
VII. MODOS T.E.
VII.1. CONCEPTOS GENERALES
Como en el caso anterior, modos T.M., a partir de la solución de las ecuaciones de
Maxwell podemos decir que los campos eléctricos y magnéticos en una guía para los modos T.E.
son:
En la solución anterior para E y H sólo se ha incluido, de nuevo y como se hizo en los
modos T.E.M. y T.M., la solución de la onda progresiva y no la regresiva.
La constante de propagación ( vuelve a ser función de K2, cuyo valor es T2:,, y de la
constante Kc
2, cuyo valor, en principio, es desconocido.
Para encontrar este valor, hay que recordar cómo se calculan los campos. Puesto que la
componente axial de campo magnético Hz es distinta de cero, esta debe cumplir la euación de onda:
donde se observa que se utiliza la constante Kc.
Una vez resuelta esta ecuación para la componente Ez, el resto de componentes, sabiendo
que Ez es nula, son:
Como se ve, son únicamente función de Hz. Por lo tanto, lo fundamental será resolver la
ecuación de onda anterior, para así obtener la solución de los modos T.E.
La ecuación de onda, cuando se impongan las condiciones de contorno apropiadas al campo
magnético axial, tendrá infinitas soluciones, que nos dará los infinitos valores propios Kc, que
denominaremos Kcn, para cada valor de n. A su vez, para cada valor propio, tendremos una
solución de campo Hzn que cumplirá la ecuación de onda, y a partir de ella, las componentes Etn y
Htn. Diremos pues, que cada una de estas soluciones es un modo T.E., y los distinguiremos con un
subíndice n. Hablaremos pues de los modos T.E.n.
Cada modo tendrá su propia constante de propagación (n, definida como:
Se puede comprobar que las componentes transversales se pueden reescribir como:
Pág. 40 Líneas de Transmisión
Podemos observar que dichas componentes transversales de campo eléctrico y magnético
son ortogonales entre sí, como ya sucediera en el caso anterior. Además la relación entre ellas es un
valor que, por similitud con las expresiones de campo en las ondas planas, llamaremos impedancia
de modo ZTEn. Esta relación es:
Y de esta forma, el campo eléctrico queda:
Recordar también que, cuando la componente axial de campo magnético Hz cumple las
condiciones de contorno impuestas por el medio de transmisión, el resto de componentes de campo
eléctrico y magnético también cumplen sus correspondientescondiciones. Siguiendo el mismo
ejemplo de los modos T.M. en el que la línea de transmisión es una guía de paredes metálicas, las
componentes normales de campo magnético sobre sus paredes deben ser cero. Así pues, en la
ecuación de onda para resolver el campo axial impondremos que . Es fácil
comprobar que el resto de componentes cumplen sus respectivas condiciones.
VII.2. FRECUENCIA DE CORTE
Puesto que la constante de propagación (n -que pasaremos a denominar únicamente (,
aunque sepamos que existe una para cada modo T.E.n-, es igual, formalmente, que la de los modos
T.M., todo lo contado en el apartado VI.2 (página 32) es totalmente aplicable a estos modos.
Es decir, aparecerá una frecuencia de corte por cada modo T.E. que será el límite entre su
propagación o no en la guía. Nótese que el significado de la frecuencia de corte es que una guía se
comporta, para cada modo, como un filtro paso alto.
VII.3. CONSIDERACIONES DE POTENCIA
Todo lo contado en el punto VI.3 (página 34) es también aplicable a los modos T.E., ya que
el planteamiento es totalmente general, cambiando únicamente la explicación de porqué se anulan
los sumandos en la ecuación (153), que reproducimos aquí:
Líneas de Transmisión Pág. 41
En esta ecuación, el cuarto sumando es siempre cero. El tercer sumando es también cero, ya que
estamos en modos T.E. en los cuales Ez=0. Y el segundo sumando es cero cuando las paredes de la
guía son paredes eléctricas o magnéticas perfectas (véase la página 34 para mayor explicación).
La potencia transmitida, entonces, por un modo T.E. es:
Pág. 42 Líneas de Transmisión
Ilustr. 22.-Ejes y dimensiones de la guía
rectangular.
VIII. GUÍAS PARTICULARES
En este punto pasamos a aplicar los resultados y teoría de los dos puntos anteriores a guías
sencillas pero de gran aplicación práctica.
VIII.1. LA GUÍA RECTANGULAR
En la figura adjunta vemos cómo se definen los ejes
para una guía rectangular, que supondremos con paredes de
material conductor perfecto. También se definen sus
dimensiones a y b, donde siempre supondremos que a>b.
Para resolver los campos en el interior de la guía,
tanto los modos T.E. como los T.M. debemos resolver el
mismo tipo de ecuación de onda:
donde Az puede ser tanto Ez como Hz según el modo del que se trate.
Por lo tanto, vamos a tratar de resolver la ecuación de onda para Az, y luego, cuando
ncesitemos aplicar condiciones de contorno, particularizaremos para modos T.E. o T.M.
La ecuación de onda se puede resolver por separación de variables, de tal forma que vamos
a buscar una solución de la forma:
donde las coordenadas transversales son x e y. Si sustituimos esta solución en la ecuación de onda,
nos queda:
y dividiendo por la solución Az:
De la ecuación anterior podemos deducir que, puesto que el primer sumando de la izquierda
es únicamente función de x y el segundo sólo función de y, y además el de la derecha es constante,
la única solución posible para cualquier punto (x,y) es que todos los sumandos sean constantes.
Pág. 44 Líneas de Transmisión
Y así:
Tenemos, por lo tanto, dos ecuaciones diferenciales unidimensionales, formalmente iguales,
en x e y, cuya resolución nos da:
Hay otras posibles soluciones de la ecuación diferencial, en forma de exponenciales. Se ha
tomado la trigonométrica puesto que las condiciones de contorno a aplicar son periódicas.
Una vez resulta la ecuación de onda de forma general, pasamos a analizar los modos
particulares.
VIII.1.1. MODOS T.M.
Para los modos T.M., la función Az se corresponde con la componente axial de campo
eléctrico, puesto que la de campo magnético es cero.
Las condiciones de contorno a imponer son que el campo eléctrico tangencial sobre las
paredes sea cero: . Las paredes son x=(0,a) e y=(0,b). Las constantes quedan:
Luego la componente axial de campo eléctrico queda:
En esta expresión, el producto de las dos constantes B1D1 ha sido sustituido por una única
de valor A. Nótese también que los valores permitidos de m y n son cualquiera, excepto los nulos
en ambos casos. Esto se debe al hecho de que si uno de los dos es cero el campo se anula.
Líneas de Transmisión Pág. 45
Viendo la solución, comprobamos que para cada pareja de valores (m,n) tendremos una
solución de campo eléctrico axial, y también tendremos una constante de propagación ( para cada
modo. A cada uno de estos modos T.M. lo llamaremos modo T.M.mn.
Para calcular el resto de componentes bastará con aplicar las expresiones ya vistas en el
punto de modos T.M. Estas ecuaciones se repiten aquí para mayor comodidad:
VIII.1.2. MODOS T.E.
Para los modos T.E., la función Az se corresponde con la componente axial de campo
magnético, ya que la de campo eléctrico es cero.
Las condiciones de contorno a imponer son que el campo magnético normal sobre las
paredes sea cero: . Las paredes son x=(0,a) e y=(0,b). Y las constantes serán:
Luego la componente axial de campo magnético queda:
En esta expresión, el producto de las dos constantes A1C1 ha sido sustituido por una única
de valor B. En este caso, los valores de m y n sí pueden ser cero por separado, ya que entonces no
desaparece el campo. Un caso particular es el modo T.E.00. En este caso, la componente axial de
campo magnético es constante y de valor B. Por lo tanto, el resto de componentes de campo
magnético y eléctrico se anulan. Es inmediato comprobar entonces que la constante B debe ser cero,
para que se cumpla la primera ecuación de Maxwell. Así pues, los valores de m y n pueden ser cero
por separado, pero nunca a la vez, ya que entonces todos los campos son nulos.
Pág. 46 Líneas de Transmisión
Ilustr. 23.-Margen dinámico de los modos.
Viendo la solución, comprobamos que para cada pareja de valores (m,n) tendremos una
solución de campo magnéctico axial, y también tendremos una constante de propagación ( para
cada modo. A cada uno de estos modos T.E. lo llamaremos modo T.E.mn.
Para calcular el resto de componentes bastará con aplicar las expresiones ya vistas en el
punto de modos T.E., ecuaciones se volvemos a reeescribir:
VIII.1.3. CARACTERÍSTICAS DE PROPAGACIÓN
Como se ha podido comprobar, las expresiones de los campos para los modos T.M.mn y
T.E.mn son distintas para todos los casos. Sin embargo, el comportamiento en propagación será
igual para los modos con iguales subíndices (m,n), ya que la constante de propagación coincide:
Las frecuencias de corte para cada modo son:
recordando que, salvo para los modos con algún subíndice nulo, las frecuencias de corte coinciden
para los modos T.M.mn y T.E.mn.
Llegados a este punto, conviene
recordar que la solución de campo en el
interior de la guía es una combinación lineal de
todos los modos posibles T.M.mn y T.E.mn. Es
decir, que si la frecuencia de trabajo es
superior a varias frecuencias de corte, entonces
la energía se descompondrá, a priori, en todos
los modos posibles que se puedan propagar.
Por lo tanto, para evitar dispersión de energía,
conviene que por la guía sólo se propague un
único modo, que será el que lleve toda la
energía. El resto de modos estarán al corte.
En la siguiente figura se muestra la
curva:
Líneas de Transmisión Pág. 47
Pág. 48 Líneas de Transmisión
para los modos TE01, TE10, TE11, TM11, TE20, TE02 y TE30, que son los primeros modos que
aparecen. Es decir, los que tiene una menor frecuencia corte. Las frecuencias de corte están
referidas a la del modo TE10 que es el primer modo que aparece siempre (recuérdese que tomamos
a>b).
Para leer en el gráfico, podemos entrar por el eje de ordenadas, e ir desplanzándonos hacia
la derecha, que es ir creciendo en frecuencia. Cuando cortamos un curva significa que ese modo
empieza a propagarse. Como se ve, el primero que aparece siempre es el TE10, que llamaremos
modo fundamental de la guía rectangular. Si nos seguimos desplazando hacia la derecha, vemos
que cortamos al modo TE01 o el modo TE20, dependiendo de la relación de aspecto elegida b/a.
Puesto que, como se ha dicho antes, interesa tener el mayor margen de frecuencias sin que
aparezca otromodo superior, está claro que debemos escoger una relación b/a<0.5. Para
cualquiera de estos valores, siempre aparecerá como segundo modo el TE20. La relación que
siempre se elige para diseños prácticos es b/a=0.5, ya que es esta la que proporciona mayor
sección transversal de la guía. Esto se traducirá, como veremos pronto, en la posibilidad de
transmitir una mayor potencia por la guía sin romper el dieléctrico.
VIII.1.4. POTENCIA TRANSMITIDA. PÉRDIDAS Y ATENUACIÓN
La potencia transmitida por cada modo ya se vio en el punto VI.3 de la página 34. Todo los
allí dicho es válido para los modos T.E. y T.M.
Para el caso que nos ocupa, donde la guía es totalmente metálica (paredes eléctricas),
existen otras posibles expresiones de la potencia transmitida para los modos T.E. y T.M., que se
obtienen a partir de las anteriores. Para los modos T.E., tenemos:
y para los modos T.M.:
Líneas de Transmisión Pág. 49
 5Se entiende que un material es buen conductor, cuando F>>T,, siendo F su conductividad, T la
frecuencia (pulsación en este caso) de trabajo y , su constante dieléctrica.
 6Definimos la profundidad de penetración * como: .
 7El 2 de la exponencial aparece debido a que estamos multiplicando el campo eléctrico y el magnético, y
ambos son proporcionales a las pérdidas: 
(193)
Para calcular la potencia disipada en los conductores, debemos recordar el efecto pelicular.
Es decir, que cuando tenemos un buen conductor5 podemos considerar que la corriente, aunque no
es únicamente superficial sobre el conductor, circula sólo por una fina película de grosor *6. La
potencia disipada por unidad de longitud es:
donde Rs es la resistencia superficial del conductor, definida como , Js es la corriente
superficial por el conductor, que podemos aproximar por , y el contorno es el
contorno definido por la sección transversal de la guía.
La potencia disipada por el conductor podemos, a su vez, caracterizarla por medio de una
constante "c de pérdidas debidas al conductor, que incluiremos en la expresión de los campos
eléctricos y magnéticos. Esta constante se puede calcular, aproximadamente, como:
donde PT es la potencia transmitida y PLc es la potencia disipada por los conductores por unidad de
longitud.
Esta expresión se puede deducir del hecho de que la potencia transmitida en función de z
sea7:
Si derivamos esta última ecuación respecto a z, tendremos la variación de la potencia
transmitida a lo largo del eje z, que será, evidentemente, menos la potencia disipada por unidad de
longitud de los conductores. Es decir:
Pág. 50 Líneas de Transmisión
(194)
Para calcular las pérdidas debidas al dieléctrico, bastará con recordar que la forma de
caracterizar un dieléctrico con pérdidas es incluir una parte imaginaria en su constante dieléctrica,
de tal forma que esta queda:
donde tg(*) es la tangente de pérdidas del dieléctrico, y ,' es la constante dieléctrica relativa
propiamente dicha.
Obviamente, si la constante dieléctrica del medio es compleja, entonces cuando calculamos
la constante de propagación ( como , el radicando será un número complejo,
no sólo real, como sucede cuando no hay pérdidas. Es decir, que la constante ( será siempre un
número complejo con parte real e imaginaria. Es decir, (="d+j$. La parte imaginaria $ es la
constante de propagación propiamente dicha (la utilizada hasta ahora). Es decir, es el término que
indica propagación en el eje z. La parte real "d la llamaremos constante de atenuación debida al
dieléctrico.
Es decir, que los campos eléctricos y magnéticos, visto todo lo anterior, además de su fasor
correspondiente, tendrán un término exponencial del tipo , donde " es la contante de
atenuación por unidad de longitud de la guía. Esta constante estará formada por dos términos:
"="c+"d. El primer término es la constante de pérdidas debidas al conductor. Mientras que el
segundo término es la constante de pérdidas debidas al dieléctrico.
Si aplicamos el método seguido en las ecuaciones (193) y (194), podemos comprobar que:
donde hemos definido PLd como la potencia disipada por unidad de longitud debidas al dieléctrico
impefecto.
Si aplicamos todo lo dicho, podemos calcular la constante de pérdidas debidas al conductor
para los modos TEmn, donde ni m ni n son cero. Si suponemos todas las paredes iguales, tenemos:
Líneas de Transmisión Pág. 51
Ilustr. 24.-Constante de atenuación por pérdidas en el
conductor para los modos TEm0.
Para los modos TEm0, tenemos esta otra expresión:
Es interesante dibujar esta última expresión de la constante de atenuación para este tipo de
modos.
La siguiente figura vemos dicha
representación gráfica, en función del cociente
f/fc. En primer lugar, vemos que sólo se ha
dibujado la curva para valores de f mayores
que la correspondiente frecuencia de corte fc.
Pero lo notable es que hay un valor para el cual
la constante de atenuación tiene un mínimo.
Este está recalcado con una línea en la gráfica,
y se corresponde con el valor .
El valor de la atenuación, que en la gráfica
normalizada se indica como 2 es, exactamente:
A partir de este valor, la constante empieza a crecer. Por lo tanto interesará siempre estar
trabajando a una frecuencia cercana a dicho valor.
Por lo que respecta a la constante de atenuación "d ya vimos que es la parte real de la
constante de propagación (. Si las pérdidas en el dieléctrico son suficientemente bajas como para
que se cumpla a la frecuencia de trabajo, entonces podemos
aproximar la atenuación por:
Pág. 52 Líneas de Transmisión
 8Es decir, cuando sólo puede propagarse un único modo
VIII.1.5. MODO FUNDAMENTAL TE10
Ya se ha comentado que el primer modo que aparece en este tipo de guía, es decir, el modo
que tiene una frecuencia de corte menor, es el TE10.
En este punto vamos a tratar todo lo visto anteriormente, pero particularizándolo para este
modo.
Su frecuencia de corte es: . Nótese que es independiente de la altura b de
la guía, por lo que este valor puede ser variable a conveniencia. No obstante, cabe recordar lo dicho
en la página 48 acerca de que la mejor elección era que b=a/2, para tener un máximo ancho de
banda monomodo8 y que además se pudiera transmitir la máxima potencia sin romper el dieléctrico.
Este ancho de banda es de una octava respecto de la frecuencia de corte.
La expresión de los campos, sin considerar la exponencial de propagación en z, es decir, el
término con exponencial negativa para la onda regresiva, es:
Y para calcular la expresión instantánea total de los campos, habrá que calcular la parte real
del fasor por el término , quedando:
Líneas de Transmisión Pág. 53
donde tenemos los siguientes parámetros:
Como detalle importante, nótese que sólo tenemos una única polarización vertical (eje y) del
campo eléctrico, así como sólo una componente transversal de campo magnético. Esto facilita que
su excitación sea mucho más fácil de realizar, sin perder energía que puede quedar almacenada en
forma de modos superiores.
Otra forma muy útil de expresar los campos es en función de la amplitud del campo
eléctrico. Para ello hacemos el cambio de variable: y nos queda:
Pág. 54 Líneas de Transmisión
 9La tensión de ruptura es aquella en la cual salta el arco voltaico.
Ilustr. 25.-Distribución del campo eléctrico y
magnético del modo TE10 en la guía rectangular para
una longitud de onda en la guía.
Ilustr. 26.-Modo TE20
Ilustr. 27.-Modo TE11
En la Ilustr. 25 se muestra la
distribución de campo eléctrico y magnético en
tres cortes realizados en una sección de guía
rectangular de longitud 8g. Las líneas continuas
corresponden al campo eléctrico, y las
discontinuas al campo magnético.
Por último, falta por calcular la
potencia transmitida por este modo:
Como se puede ver, la potencia
transmitida es directamente proporcional a la
amplitud del campo eléctrico y, lo que es más importante, a la sección transversal de la guía.
Por lo tanto, para amplitudes de campo iguales, una guía con mayor sección transversal
transportará mayor energía. Y