Física: Gravitação, Ondas e Óptica

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2º Bachillerato 
 
Modalidad de Ciencias de la Naturaleza y Salud 
 
Modalidad de Tecnología 
 
 
 
 
 
Miguel Angel Díaz Armentia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.E.S. Alquibla (La Alberca-Murcia) 
Física 2
o
de Bachillerato LOGSE
Miguel Angel Díaz Armentia 1
17 de octubre de 2007
1Catedrático de Física y Química del I.E.S Alquibla
2
Índice general
1. Interacción gravitatoria 7
1.1. Momento angular. Ecuación del momento angular. Fuerzas centrales . . . 7
1.2. Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masa pesante . . . . . . . . 10
1.3. Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . . 11
1.3.1. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . . . . . . . 12
1.4. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Energía Potencial. Fuerzas con-
servativas. Teorema de conservación de la energía mecánica. . . . . . . . 13
1.4.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Energía Potencial. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Energía potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1. Energía potencial gravitatoria terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6. Interacción a distancia: el concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneas de campo. Superfi-
cies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.1. Relación trabajo-potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.2. Líneas de campo. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . 26
1.9. La gravedad terrestre: variación con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10. Movimiento de satélites y planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10.1. Sobre el movimiento de partículas en campos centrales conserva-
tivos atractivos. Aplicación al movimiento de satélites en torno a
planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Vibraciones y Ondas 35
2.1. Dinámica del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3. Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Energía del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Ondas. Clasificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4. Magnitudes características de las ondas. Ondas armónicas . . . . . . . . 42
2.5. Energía e Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6. Interferencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
4 ÍNDICE GENERAL
2.6.1. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.2. Intensidad en los fenómenos de interferencias . . . . . . . . . . . . 49
2.7. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.1. Reflexión de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8.2. Refracción de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.9.1. Difracción de Fraunhoffer por una rendija . . . . . . . . . . . . . 54
2.9.2. Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular . . . . . . . 55
2.9.3. Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respecto a la luz 56
2.10. El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10.1. Nivel de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10.2. Otros aspectos del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11. Absorción de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.12. Polarización de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13. Influencia del movimiento del medio en las ondas sonoras . . . . . . . . . 60
2.14. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.14.1. Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3. Óptica 65
3.1. Controversia sobre la naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1. Teorías antiguas hasta Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2. Modelo corpuscular de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.3. Modelo ondulatorio de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1. Formulación de una onda electromagnética armónica plana . . . . 68
3.3. Velocidad de la luz. Índice de refracción. Concepto de rayo luminoso . . . 70
3.3.1. Concepto de rayo luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. Leyes de la reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1. Leyes de la reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2. Leyes de la refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.3. Ángulo límite y reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.4. Dispersión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.1. Hipótesis de la Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.2. Imágenes reales y virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.3. El dioptrio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.4. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.5. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.6. Ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.2. Espejos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.3. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.4. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ÍNDICE GENERAL 5
3.6.5. Construcción de imágenes de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7. Lentes. Clasificación. Ecuaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7.1. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.2. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.3. Ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.4. Potencia de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.5. Construcciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.6. Aberraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4. Interacción electromagnética 87
4.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1. Cuantización de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2. Principio de Conservación de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1. Líneas de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4. Teorema de Gauss para el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2. Enunciadodel Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5. Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2. Relación trabajo - Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.3. Relación Intensidad de campo - Potencial electrostático . . . . . . 100
4.5.4. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5.5. Energía electrostática de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . 101
4.6. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7. Introducción al magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.8. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9. Producción de campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9.1. Campo magnético creado por una carga en movimiento . . . . . . 107
4.9.2. Campo magnético producido por un elemento de corriente . . . . 108
4.9.3. Campo magnético producido por una corriente rectilínea infinita . 109
4.9.4. Campo magnético creado por una espira circular en su centro . . 109
4.9.5. Campo magnético creado por un solenoide en su interior . . . . . 110
4.10. Magnetismo natural y electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.11. Fuerzas magnéticas sobre una corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . 111
4.12. Fuerzas entre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.13. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.13.1. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.13.2. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.13.3. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.13.4. Inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.14. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 ÍNDICE GENERAL
5. Introducción a la Física Moderna 121
5.1. Relatividad en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.2. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.3. Consecuencias de la Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . 122
5.2. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1. Contradicciones de la relatividad clásica . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.3. Consecuencias de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Relación masa-energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.1. Masa relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.2. Energía cinética y energía en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.3. Energía de enlace nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.4. Momento y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5. Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5.1. Dualidad onda-corpúsculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.6. Principio de indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.7. Tipos de radiaciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.7.1. Leyes de Soddy-Fajans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.8. Desintegración nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.9. Partículas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.10. Interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A. Problemas de Gravitación 141
B. Problemas de Vibraciones y Ondas 147
C. Problemas de Óptica 151
D. Problemas de Electromagnetismo 153
E. Problemas de Física Moderna 163
Capítulo 1
Interacción gravitatoria
1.1. Momento angular. Ecuación del momento angu-
lar. Fuerzas centrales
Consideremos una partícula cuyo momento lineal observado desde un referencial
inercial es ~p = m~v, se define momento angular momento cinético de la partícula
respecto del punto O, como el momento del momento lineal, esto es
~LO = ~r × ~p = ~r × m~v (1.1)
Figura 1.1
En general, la partícula no tiene por qué ser libre y además su posición variará con
el tiempo, es decir, ~r = ~r(t) y ~p = ~p(t), y en consecuencia, ~LO será variable con el tiempo.
Para evaluar esta variación procederemos así:
d ~LO
dt
=
d
dt
(~r × ~p) =
d~r
dt
× ~p + ~r × d~p
dt
= ~r × ~F (1.2)
7
8 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
pues
d~r
dt
× ~p = 0 (1.3)
ya que |~v × ~v| = v · v · sin 0 = 0. En consecuencia,
d ~LO
dt
= ~r × ~F = ~MO (1.4)
donde ~MO es el momento de la fuerza ~F respecto del punto O (torque).
Esta ecuación extendida para un sistema de partículas será fundamental, como ya
veremos, en el estudio de la dinámica de rotación.
Si ~MO = 0, entonces ~LO = cte, este resultado se conoce como Teorema de Con-
servación del Momento Angular ; es decir, si el momento de la fuerzas es cero, el
momento angular de la partícula permanece invariante a lo largo del tiempo.
Una posibilidad para que ~MO = 0 es que ~F sea paralela a ~r, en otras palabras,
cuando la dirección de ~F pasa por el punto O. Una fuerza cuya dirección pasa siempre
por un punto fijo se denomina fuerza central .
Figura 1.2
Al punto O se le llama Centro de Fuerzas . Una forma de expresar estas fuerzas
es ~F = F · ~ur.
En la Naturaleza existen muchas fuerzas centrales. Por ejemplo, la Tierra gira alrede-
dor del Sol bajo la influencia de una fuerza central cuya dirección está siempre dirigida
al Sol. Por ello, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es siempre constante.
1.1. MOMENTO ANGULAR. ECUACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. FUERZAS CENTRALES9
Otro ejemplo es el del movimiento del electrón alrededor del protón del átomo de
hidrógeno.
Una característica del movimiento de partículas influidas por fuerzas centrales es que
la trayectoria es plana. En efecto, como ~LO = cte, entonces el plano definido por ~r y
~v es siempre el mismo (al ser la dirección del momento angular perpendicular al plano
definido por estos dos vectores según definición del producto vectorial) y es por ello que
el movimiento es plano.
Por otro lado, también de la conservación del momento angular para este tipo
de interacciones (fuerzas centrales), se deduce la llamada 2a ley de Kepler relativa al
movimiento planetario: “Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta
los planetas son directamente proporcionales a los tiempos invertidos en barrerlas”.
En efecto, como cualquier vector, el radio vector o vector de posición puede expresarse
como el producto de su módulo por el correspondiente vector unitario: ~r = r · ~ur, de
forma que el vector velocidad puede expresarse,
~v =
d~r
dt
=
dr
dt
· ~ur + r · d~ur
dt
(1.5)
por lo que el momento angular vendrá dado por
~LO = ~r × ~p = m~r × ~v = m~r · (dr
dt
· ~ur + r · d~ur
dt
(1.6)
ya que al aplicar la propiedad distributiva el primer producto vectorial es nulo al ser
dos vectores paralelos los factores. El módulo del momento angular resulta ser LO =
mr · rω = mr2ω donde ω es el módulo de la velocidad angular instantánea1. Y por ello,
se verifica,
r2ω =
L0
m
(1.7)
Por otra parte, y de acuerdo con la figura, suponiendo que en un intervalo de tiempo
∆t tan pequeño como se quiera, el radio vector barre un área ∆A, tan pequeña como
se quiera, asociada a un ángulo ∆θ también tan pequeño como se quiera, la velocidad
areolar será vA = dA/dt, es decir, vA = △A/△t, cuando △t → 0.
Por consideraciones geométricas, (aproximandoel recinto barrido a un triángulo), el
área será
△A =
1
2
r · h =
1
2
r · r · △θ =
1
2
r2 · △θ (1.8)
por lo que la velocidad areolar será
vA =
1
2
r2 · △θ
△t
=
1
2
r2 · ω =
LO
2m
= cte (1.9)
ya que LO = | ~LO| = cte, que es lo que queríamos demostrar.
1Se puede demostrar que la derivada de un vector unitario es un vector cuyo módulo es el módulo
de la velocidad angular cuya dirección es perpendicular al vector unitario y cuyo sentido coincide con
el avance del giro del antes citado vector unitario.
10 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.3
1.2. Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masa
pesante
Sean dos partículas o puntos materiales, asociaremos a cada una de ellas un parámetro
llamado masa gravitatoria, o masa pesante. En términos del citado parámetro, la
ley de Gravitación universal puede ser expresada así:
Figura 1.4
~F = −Gmg1mg2
r2
~ur = −Gmg1mg2
r3
~r (1.10)
donde G es la constante de Gravitación universal cuyo valor es 6,67.10−11 en
unidades del SI.
Las fuerzas gravitatorias son de largo alcance, al contrario de las nucleares que son
de corto alcance.
Debe destacarse que el parámetro masa gravitatoria es de naturaleza diferente al de
masa inerte. En realidad, ambos parámetros poseen significados físicos muy diferentes.
Sin embargo, pueden ser relacionados a través del siguiente experimento: consideremos
una partícula a pequeña altura de la superficie terrestre.
F =
GMgmg
r2
∼= G
Mg
R2
mg = g · mg (1.11)
1.3. LEYES DE KEPLER. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL11
Figura 1.5
Si estudiamos la dinámica de la partícula (mediante la 2a Ley de Newton, ~F = mi ·~a)
tenemos g · mg = mi · a, por lo que a = g · (mg/mi).
Experimentalmente, se ha visto que todos los cuerpos en las proximidades de la
superficie de la Tierra caen con la misma aceleración2 (aproximadamente a 9,8 m/s2 ),
y como g es una constante, la relación mg/mi = K es una constante igual para todos
los cuerpos, es decir, es una constante universal. Por ello, las unidades se eligen tal que
K = 1, y por ello, mg = mi = m, lo cual quiere decir que las dos masas vienen dadas
por el mismo número para la misma partícula. En adelante, no especificaremos a qué
tipo de masa nos referimos.
1.3. Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Grav-
itación Universal
Desde un punto de vista histórico, podemos considerar a Kepler (1571-1650) como el
iniciador de la moderna teoría gravitatoria, el cual estableció en base a sus observaciones,
las de Copérnico y otros sobre el movimiento planetario lo que más tarde se conocería
como Leyes de Kepler; a saber:
1. Los planetas describen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.
2. Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta los planetas son
directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas (es decir, la
velocidad areolar es constante).
3. Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores:
r3
T 2
=
r′3
T ′2
=
r′′3
T ′′2
= · · · = cte = f(M) (1.12)
2Esto fue comprobado por Galileo desde la Torre Inclinada de Pisa
12 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Como quiera que la constante de proporcionalidad es la misma independientemente
del planeta en cuestión, sólo dependerá de lo que tienen en común los distintos planetas
que es que giran alrededor del Sol, es decir, dependerá de la masa del Sol (M).
Hay que hacer notar que la leyes de Kepler son sólo cinemáticas y por tanto no
dinámicas, es decir, sólo describen el movimiento pero no lo conectan con las causas que
lo produce.
1.3.1. Deducción de la Ley de Gravitación Universal
Newton, basándose en la leyes de Kepler, dedujo la ley de Gravitación Universal.
Vamos a deducirla nosotros siguiendo un razonamiento similar al utilizado por Newton
y, por tanto, basado también en las leyes de Kepler. Para ello supondremos que las
órbitas de los planetas alrededor del Sol son circulares, lo cual no es muy exagerado ya
que las órbitas son en realidad muy poco excéntricas.
Figura 1.6
Según la ley de las áreas, se deduce que el movimiento planetario es circular uni-
forme. En efecto, según la ley de las áreas si A1 = A2, entonces se debe cumplir t1 = t2.
Como por otra parte, si A1 = A2, entonces los correspondientes arcos deben ser iguales,
esto es, l1 = l2. Si consideramos que estas áreas son tan pequeñas como se quiera, la
igualdad entre los arcos se puede expresar v1t1 = v2t2, por lo que teniendo en cuenta, la
anterior relación t1 = t2, se deduce que necesariamente v1 = v2, es<decir el movimiento
es circular uniforme.
Por otro lado, al ser el movimiento circular uniforme la ecuación dinámica aplicable
es la siguiente, ~F = m ~an, por lo que en términos de módulos tenemos F = mω2r =
m(2π/T )2r ya que ω = 2π/T . Utilizando la 3a ley de Kepler:
r3
T 2
= f(M) (1.13)
se tiene,
F =
m4π2f(M)
r2
(1.14)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSER
Figura 1.7
siendo F la fuerza que hace el Sol sobre el planeta. Por la ley de acción y reacción (3a
ley de Newton), el planeta hará sobre el Sol una fuerza igual en módulo, dirección y
sentido contrario:
F ′ =
M4π2f(m)
r2
= F (1.15)
por lo que
4π2mf(M) = 4π2Mf(m) (1.16)
o bien,
4π2f(M)
M
=
4π2f(m)
m
=
4π2f(m′)
m′
=
4π2f(m′′)
m′′
= · · · = cte = G (1.17)
siendo G la llamada constante de gravitación universal ya que no depende ni de M, ni
de m, ni de m’, ni de m”, etc. En consecuencia, sustituyendo, se tiene:
F =
m4π2f(M)
r2
= G
Mm
r2
(1.18)
que es lo queríamos demostrar3.
1.4. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Energía
Potencial. Fuerzas conservativas. Teorema de con-
servación de la energía mecánica.
Supongamos una partícula que se mueve sometida a una fuerza ~F = ~F (x, y, z) desde
A hasta B, a través del camino C.
Podemos realizar una partición P1 de la trayectoria entre A y B, de esta forma
obtenemos la suma
S1 =
∑
i
~Fi · △~ri =
∑
i
∣
∣
∣
~Fi
∣
∣
∣
· |△~ri| · cos θi (1.19)
3Debe destacarse que la ley de Gravitación universal se refiere a puntos materiales mientras que la
deducción de Newton tiene que ver con esferas de materia. En realidad, puede demostrarse que para
puntos exteriores una esfera de materia se comporta igual que un punto material de igual masa situado
en su centro.
14 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.8
Si realizamos una nueva partición P2 de segmentos más pequeños que antes, obten-
emos
S2 =
∑
i
~Fi · △~ri =
∑
i
∣
∣
∣
~Fi
∣
∣
∣
· |△~ri| · cos θi (1.20)
Este proceso puede continuar indefinidamente obteniéndose la sucesión convergente,
S1, S2, · · ·
Se define Trabajo desde A hasta B asociado a la fuerza ~F a lo largo de la curva C
de la siguiente manera,
W = ĺım
N→∞
N
∑
i=1
~Fi · △~ri (1.21)
Si el vector ~F es constante respecto a la posición , es decir, no depende de las variables
x, y, z, (fuerza uniforme) entonces:
W = ~F · ~△rAB = ~F · ( ~rB − ~rA) (1.22)
donde △ ~rAB es el vector desplazamiento desde A hasta B.
La unidad de trabajo en el S.I. es el julio (J).
1.4.1. Energía cinética
Supongamos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza ~F , el
trabajo será
W = ĺım
△~ri→0,∀i
N
∑
i=1
~Fi · △~ri = ĺım
△~ri→0,∀i
N
∑
i=1
m~ai · △~ri (1.23)
Asumiendo que en cada uno de los segmentos el movimiento es en la práctica uni-
formemente acelerado, es decir,
~ai · △~ri =
1
2
(v2
i − v2
i−1) (1.24)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSER
Figura 1.9
tenemos, sustituyendo,
W =
1
2
mv2
B − 1
2
mv2
A (1.25)
Denominamos energía cinética en un punto cualquiera M a la magnitud definida
por
ECM =
1
2
mv2
M (1.26)
Según esto, la ecuación anterior puede escribirse como
W = ECB − ECA (1.27)
Este resultado se conoce como el teorema de la energía cinética, (también
conocido como teorema de las fuerzas vivas).4
El teorema de las fuerzas vivas permite relacionar el trabajo asociado a una
interacción con su efecto dinámico en relación a la variación del módulode la velocidad
o rapidez.
De hecho, si W > 0, la energía cinética aumenta, lo cual quiere decir que la fuerza
favorece el aumento de la rapidez; si W < 0, la energía cinética disminuye lo cual quiere
decir que la fuerza origina una disminución de la rapidez, y finalmente, si W = 0, entonces
la rapidez es constante. En particular, si la fuerza es perpendicular a la velocidad, el
trabajo W = 0, por lo que E c = cte, y por ello, la rapidez es constante, lo cual significa
que, si la trayectotia es plana, estamos ante un movimiento de rotación uniforme5.
1.4.2. Energía Potencial. Fuerzas conservativas
Consideremos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza ~F . Lla-
maremos W1 al trabajo si el recorrido se realiza por el camino (1). Si el recorrido se
4La denominación de teorema de las fuerzas vivas tiene que ver con el hecho de que cada término de
energía cinética antes era llamado fuerza viva. Nótese que el concepto de ser vivo estaba hace tiempo
ligado al movimiento.
5En particular, esto es de aplicación para el movimiento de una partícula con carga eléctrica en el
seno de un campo magnético, y ello, porque, como se verá, la fuerza magnética es perpendicular al
vector velocidad.
16 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.10
realiza por el camino (2), el trabajo será W2.
En general, se verifica que W1 6= W2. Para las llamadas fuerzas conservativas, este
trabajo es independiente de la trayectoria, es decir se verifica W1 = W2 = W3 = · · · = W .
Por ello, en estos casos, puede demostrarse matemáticamente que el trabajo puede
expresarse como diferencia entre dos valores que toma una función potencial en los
2 puntos extremos A y B:
W = ϕ(B) − ϕ(A) (1.28)
siendo ϕ(x, y, z) la función potencial antes referida que depende de las coordenadas del
punto donde se evalúe.
Definimos energía potencial asociada a la interacción conservativa ~F de la sigu-
iente forma:
W = Ep(A) − Ep(B) (1.29)
por lo que,
Ep(x, y, z) = −ϕ(x, y, z) (1.30)
Naturalmente, la interacción ~F debe ser conservativa pues de lo contrario no tiene
sentido hablar de energía potencial ya que el razonamiento antes expuesto no puede ser
aplicado.
Finalmente, veremos cómo a partir de lo anterior, podemos deducir el teorema de
conservación de la energía mecánica.
Supongamos que la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, entonces:
WA→B = Ep(A) − Ep(B) (1.31)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSER
Por otro lado, por el teorema de las fuerzas vivas:
WA→B = ECB − ECA (1.32)
Igualando se obtiene
ECA + Ep(A) = ECB + Ep(B) (1.33)
Se define energía mecánica de la partícula en un punto cualquiera R:
EMR = ECR + Ep(R) (1.34)
de donde
EMA = EMB (1.35)
es decir si ~F es una interacción conservativa, la energía mecánica se conserva.
Observaciones
1. La naturaleza de la ecuación asociada al teorema de las fuerzas vivas es comple-
tamente diferente a la de la ecuación que define la energía potencial.
2. La primera ecuación relaciona el trabajo con el efecto dinámico de la interacción en
lo que se refiere a la variación de rapidez que experimenta la partícula6, mientras
que la segunda relaciona el trabajo con la naturaleza específica de la interacción
expresada a través de la energía potencial. Además, esta última sólo tiene sentido
cuando la interacción es conservativa.
3. Aquí se ve que el sentido de introducir la magnitud “energía” es, en principio, sólo
operativo ya que para determinadas interacciones (las conservativas), la energía
mecánica es una constante de movimiento.
1.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas
1. El Peso
La fuerza del peso a pequeñas distancias de la superficie terrestre se puede expresar:
~Fp = −mg~k.
Calculemos el trabajo para ir desde A hasta B, como la fuerza peso es constante:
W = ~F · △~r = −mg~k · △~r = −mg△z = mgzA − mgzB (1.36)
6El hecho de que el trabajo dé una medida del efecto dinámico de una fuerza en relación a la variación
de rapidez (módulo del vector velocidad) que experimenta la partícula sugiere una clasificación de las
fuerzas en tres tipos: a) las que sólo modifican el módulo de la velocidad y no su orientación, b) las
que sólo modifican la orientación de la velocidad y no su módulo, y, c) las que modifican módulo y
orientación de la velocidad. En particular, las fuerzas que corresponden al caso (b) podríamos decir
que son en cierta medida unas fuerzas pasivas ya que son responsables del movimiento de rotación
uniforme de las partículas (fuerzas centrípetas). Su papel consiste en impedir que la partícula se mueva
de acuerdo al principio de inercia obligando por tanto a cambiar de forma permanente la orientación
del vector velocidad de la misma.
18 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.11
Se observa que no necesitamos especificar la trayectoria para evaluar el trabajo,
por lo que el peso es una fuerza conservativa.
Como
W = mgzA − mgzB = Ep(A) − Ep(B) (1.37)
entonces
Ep = mgz + C (1.38)
es decir, la energía potencial está determinada salvo una constante7. Se suele con-
siderar como convenio que si z = 0 entonces E p(0) = 0, es decir, la energía po-
tencial debida al peso es cero en el nivel cero del sistema de referencia, por ello:
Ep = mgz.
2. La fuerza elástica
Figura 1.12
La partícula unida al muelle elástico constituye un oscilador elástico. Supon-
dremos que el movimiento es unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partícula
viene dada por la Ley de Hooke:
~F = −Kx~i (1.39)
7Esto es general para cualquier interacción conservativa, es decir, la función energía potencial está
perfectamente determinada salvo una constante.
1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 19
donde K es la llamada constante de recuperación, también llamada con-
stante de elasticidad o constante de Hooke. Puede demostrarse que el
trabajo asociado a la fuerza elástica para ir desde un punto A hasta otro B viene
dado por:
W =
1
2
Kx2
A − 1
2
Kx2
B (1.40)
de donde se tiene, por un razonamiento similar al ejemplo anterior que
Ep(x) =
1
2
Kx2 + C (1.41)
Como criterio físico, supondremos que la energía potencial es nula en la posición
de equilibrio, es decir, C = 0, por lo que
Ep(x) =
1
2
Kx2 (1.42)
1.5. Energía potencial gravitatoria
Consideremos 2 partículas de masas m1 y m2 , entonces, entre ellas se ejercen una
fuerza gravitatoria que viene dada por
Figura 1.13
~F = −Gm1m2
r2
~ur (1.43)
Si suponemos que la partícula (1) está fija y que la (2) se mueve desde una posición
A hasta una posición B y queremos calcular el trabajo asociado a la fuerza gravitatoria,
nos encontraríamos con que dicho trabajo resulta ser independiente de la trayectoria
elegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerza gravitatoria es conservativa. En
concreto, se puede demostrar que el resultado del cálculo de dicho trabajo es:
WA→B = −G
m1m2
rA
− (−G
m1m2
rB
) (1.44)
Al ser conservativa, la fuerza gravitatoria, existirá una función energía potencial que
teniendo en cuenta el resultado anterior debería tener la forma:
Ep(r) = −G
m1m2
r
+ C (1.45)
20 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
donde C es la constante aditiva. Hay que hacer notar que la función energía potencial
depende funcionalmente de r, es decir, de la distancia de las dos partículas y no del
vector que las une.
El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energía
potencial es nula cuando las dos partículas está infinitamente alejadas, esto es,
Ep(∞) = 0 ⇒ −G
m1m2
∞ + C = 0 ⇒ C = 0 (1.46)
por lo que
Ep(r) = −G
m1m2
r
(1.47)
Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partículas no inter-
accionan su energía potencial asociada es cero8.
El significado físico de la energía potencial gravitatoria aparece claro desde el análisis
siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula (2) de la
(1) desde una distancia rA, tenemos:
WA→∞ = Ep(rA) − 0 = Ep(rA) (1.48)
es decir, la energía potencial gravitatoria de dos partículas situadas a una distancia runa de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interacción gravitatoria para
alejarlas desde esa distancia r indefinidamente.
1.5.1. Energía potencial gravitatoria terrestre
Figura 1.14
Consideremos una partícula de masa m a una altura h de la superficie terrestre. La
energía potencial gravitatoria del sistema Tierra + partícula viene dada por
Ep = −G
Mm
R + h
(1.49)
8Debe notarse que el significado físico de que la distancia entre dos partículas sea infinita no debe
confundirse con el punto de vista matemático. De hecho, el hecho de que consideremos una distancia
infinita entre dos partículas en relación a la interacción gravitatoria significa físicamente que las citadas
dos partículas están a una distancia suficiente la una de la otra, de forma que la interacción gravitatoria
entre las mismas no es apreciable. Esto dependerá del alcance de la interacción en cuestión, que en el
caso de la interacción gravitatoria es extraordinariamente grande.
1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 21
Naturalmente, para escribir esta ecuación estamos suponiendo como lo hicimos an-
teriormente que una esfera de materia (como la Tierra) se comporta igual para puntos
exteriores a la misma que una partícula de su misma masa situada en su centro.
Si queremos calcular el trabajo para ir desde esa altura hasta la superficie de la
Tierra tenemos:
W = −GMm
R + h
− (−GMm
R
) = GMm(
1
R
− 1
R + h
) (1.50)
Por otra parte teniendo en cuenta la siguiente identidad:
1
R
− 1
R + h
=
h
(R + h)R
(1.51)
sustituyendo se obtiene,
W = GMm
h
(R + h)R
(1.52)
Ahora bien, como por otra parte, g = GM/R2, sustituyendo se tiene
W = mgh
R2
(R + h)R
= mgh
1
1 + h/R
(1.53)
De la anterior expresión se pueden considerar la siguientes posibilidades:
1. Si la altura en cuestión es mucho más pequeña que el radio de la Tierra (h<<R), la
fracción h/R es despreciable frente a la unidad, y entonces se obtiene W = mgh,
que podría expresarse, como W = mgh − mg · 0, en conformidad con lo obtenido
en el ejemplo (1) de la sección (3). En efecto, si la expresión clásica del peso de
un cuerpo expresado como una constante, Peso = mg, puede ser obtenida de la
fuerza gravitatoria para puntos próximos a la superficie terrestre, el cálculo del
trabajo asociado al peso que se puede expresar en términos de una función energía
potencial (mgh), tiene que poder ser deducido también del trabajo asociado a la
fuerza gravitatoria (expresable también en términos de otra función energía poten-
cial), y suponiendo en ese cálculo que las variaciones de altura son despreciables
comparadas con el radio de la Tierra (puntos próximos a la superficie terrestre).
Esto es efectivamente lo que hemos demostrado con el desarrollo aquí expuesto.
2. Si la altura en cuestión no es en absoluto despreciable frente al radio de la superficie
terrestre, la aproximación llevada a cabo anteriormente no es válida por lo que
deberemos utilizar la expresión general, es decir:
W = −GMm
R + h
− (−GMm
R
) (1.54)
o bien, expresada de otra forma:
W = mgh
1
1 + h/R
(1.55)
22 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.6. Interacción a distancia: el concepto de campo
Desde un punto de vista macroscópico, podemos, en principio, distinguir dos tipos
de interacciones: interacciones de contacto e interacciones de acción a distancia. En real-
idad, si bien el concepto de fuerza, introducido matemáticamente a través de ~F = d~p/dt
es adecuado para describir el cambio del momento lineal de una partícula en el tiempo
debido a sus interacciones con otras partículas (interacción a distancia), la idea que en
la vida diaria tenemos de fuerza responde más a esa experiencia de que “sentimos” la
fuerza (interacción de contacto) cuando, por ejemplo, un boxeador golpea la cara de su
oponente, un martillo golpea un clavo, etc.. De hecho parece difícil reconciliar estos dos
tipos de interacciones, o mejor dicho, estas dos visiones de la interacciones (por ejemplo,
interacción Sol - Tierra versus interacción martillo que golpea al clavo). La diferencia
puede estar en que se piensa que el martillo “toca” al clavo mientras que el Sol “no toca”
a la Tierra. Y es aquí donde debemos centrar la atención, ya que en el fondo las cosas
no son tan diferentes, puesto que desde un punto de vista microscópico, tampoco “se
tocan” el martillo y el clavo, si bien las moléculas de ambos cuerpos se acercan mucho,
y a distancias tan pequeñas que no las vemos (pero que no son nulas, aunque al ser tan
pequeñas no las veamos y pensemos que se “tocan” realmente). Por ello, y como con-
clusión, debe prevalecer la idea de interacción a distancia. Otra cuestión sería discutir
cuál es el mecanismo de transmisión de la interacción. Para ello, se introduce el concepto
de campo. Por campo, entenderemos una región del espacio alterada en relación a una
propiedad física que se describe por una función de posición y del tiempo. Para cada
interacción suponemos que una partícula produce su campo en la región del espacio
que la rodea. Este campo a su vez actúa sobre una segunda partícula para producir la
interacción. De un modo simétrico, la segunda partícula produce su campo que actúa
sobre la primera partícula dando lugar a una interacción mutua.
El concepto de campo es más general que el ligado exclusivamente a las interacciones.
De hecho, se habla del campo de velocidades de un fluido, del campo de temperaturas
y del campo de presión en meteorología, del campo de densidades de un sólido, etc. En
concreto, si la propiedad física considerada es escalar se habla de un campo escalar y si
la propiedad física es vectorial se hablará de campos vectoriales. No obstante, nosotros
utilizaremos el concepto de campo ligado a las interacciones.
Finalmente, haremos un comentario sobre la propagación de las interacciones. Como
quiera que las partículas involucradas en una interacción a distancia están separadas
precisamente una cierta distancia, esto implica que tengamos en cuenta que se tardará
un cierto tiempo desde que colocamos una partícula en una cierta posición hasta que
llega su campo a la segunda partícula. Como se verá, estas interacciones (y sus campos
asociados), se propagan a una velocidad igual a la de la luz por lo que en la práctica,
si las partículas se desplazan a velocidades muy pequeñas, supondremos que la propa-
gación de la interacción es instantánea. Si ello no es así habrá que tener en cuenta el
carácter finito de la velocidad de la propagación de la interacción.
Por otra parte, si bien lo que se propaga en el fondo en un campo es cantidad de
1.7. EL CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD Y POTENCIAL. LÍNEAS DE CAMPO. SUPERFICIES
movimiento y energía, surge la duda de cómo se transporta dicha cantidad de movimiento
y energía a través del espacio de una partícula a otra. La Física clásica no tiene respues-
ta para ello, pero la Teoría Cuántica de los campos supone que las interacciones tienen
asociadas unas pseudo-partículas o cuantos de la interacción ( en la interacción elec-
tromagnética se llaman fotones, en la gravitatoria gravitones, etc.), que serían los que
transportarían precisamente la cantidad de movimiento y energía que se intercambian
las partículas interaccionantes.
1.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneas
de campo. Superficies equipotenciales
Se ha visto que si se tienen dos partículas la Ley de Gravitación universal nos dice
~F = −Gmm′
r2
~ur = −Gmm′
r3
~r (1.56)
Figura 1.15
Fijémonos en lo que le ocurre a la masa m’, podemos decir que la masa m produce
en el espacio que la rodea un alteración que llamaremos campo gravitatorio, de
manera que, al colocar la masa m’ el citado campo gravitatoriointeraccionará con
la masa m’. El concepto de campo reside en que se modifica el espacio que rodea a m
en el sentido anteriormente citado.
Por ello, la intensidad del campo gravitatorio9, ~g, en el punto P se define como la
fuerza gravitatoria ejercida sobre la unidad de masa colocada en P,
~g =
~F
m′
(1.57)
y en el caso de que el campo gravitatorio esté producido porla masa m, el vector
intensidad de campo vendrá dado por
~g = −G
m
r2
~ur = −G
m
r3
~r (1.58)
9De ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación intensidad de campo gravitatorio y
campo gravitatorio para referirse precisamente al vector intensidad de campo. Aunque en principio esto
puede producir confusión está normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.
24 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.16
Las unidades del vector intensidad de campo son N / Kg, es decir m/s2 .
Si tenemos un sistema de varias partículas m1 , m2 , m3 , ..., el vector intensidad de
campo en el punto P creado por el sistema se calcula, teniendo en cuenta el principio de
superposición, según el cual, “cuando una partícula se ve influida simultáneamente por
distintas interacciones, la acción de cada una de ellas es independiente de las demás”, lo
cual quiere decir que la fuerza resultante será la suma vectorial de las fuerzas generadas
por las distintas partículas del sistema,
Figura 1.17
~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · = −G
m1m
′
r3
1
~r1 − G
m2m
′
r3
2
~r2 − G
m3m
′
r3
3
~r3 − · · · (1.59)
Por ello,
~g =
~F
m′
~g1 + ~g2 + ~g3 + · · · = −G
m1
r3
1
~r1 − G
m2
r3
2
~r2 − G
m3
r3
3
~r3 − · · · (1.60)
1.8. Potencial gravitatorio
Se define potencial gravitatorio en un punto, P, en que existe un campo gravitatorio
a la energía potencial gravitatoria por unidad de masa,
Vg =
Ep
m′
(1.61)
1.8. POTENCIAL GRAVITATORIO 25
Por ello, el potencial gravitatorio creado por una masa en un punto P a una distancia
r de m será
Vg = −G
m
r
(1.62)
Las unidades de potencial gravitatorio son J / Kg.
Si tenemos un sistema de varias partículas m1 , m2 , m3 , ..., el potencial gravitatorio
en el punto P creado por el sistema se calcula también teniendo en cuenta el principio de
superposición. Para realizaremos el siguiente análisis: supongamos una partícula viajera
m’ que se mueve desde un punto A hasta otro B influida por las interacciones debidas
a las partículas del sistema. Debido al principio de superposición el trabajo será
Figura 1.18
W = W1 + W2 + W3 + · · · (1.63)
siendo, por ejemplo,
W2 = Ep2(A) − Ep2(B) (1.64)
y
Ep2(B) = −G
m2m
′
r2B
(1.65)
y así sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total sería
W = Ep1(A) − Ep1(B) + Ep2(A) − Ep2(B) + Ep3(A) − Ep3(B) + · · · (1.66)
o bien
= Ep1(A)+Ep2(A)+Ep3(A)−Ep1(B)−Ep2(B)−Ep3(B)+ · · · = Ep(A)−Ep(B) (1.67)
siendo
Ep = Ep1 + Ep2 + Ep3 + · · · (1.68)
Por ello, el potencial gravitatorio asociado al sistema será
Vg =
Ep
m′
=
Ep1
m′
+
Ep2
m′
+
Ep3
m′
+ · · · = Vg1 + Vg2 + Vg3 + · · · (1.69)
26 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.8.1. Relación trabajo-potencial gravitatorio
Consideremos una partícula viajera m’ que se mueve desde un punto A hasta otro B
influida por el campo gravitatorio debido a la partícula de masa m, y supongamos que
queremos calcular el trabajo asociado a dicha interacción gravitatoria,
W = Ep(A) − Ep(B) = m′[Vg(A) − Vg(B)] (1.70)
es decir, el trabajo es igual a la masa m’ por la diferencia de potencial gravitatorio. Esta
expresión es especialmente interesante cuando en vez de una masa m es un sistema de
partículas el que produce el campo gravitatorio, sólo que en este caso el potencial que
se calcule tanto en A como en B será el debido al sistema de partículas.
1.8.2. Líneas de campo. Superficies equipotenciales
Figura 1.19
LÍNEA DE CAMPO (de fuerza o de corriente) es el lugar geométrico de los puntos
en los que el vector intensidad de campo es tangente. En la figura se observan las líneas
del campo creado por una masa puntual.
Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el potencial es
constante. En el gráfico siguiente ( a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel)
a las superficies equipotenciales asociadas al campo gravitatorio creado por una masa
puntual. Tales superficies equipotenciales serían superficies esféricas y el corte con plano
diametral daría lugar al gráfico adjunto. La situación es algo más compleja cuando
tenemos dos o más partículas próximas como se muestra en el gráfico a la derecha.
Entre las líneas de campo y las superficies equipotenciales se verifica la siguiente
propiedad: “las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en
los puntos de intersección”. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interacción
en relación al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera suficientemente próximos y
pertenecientes a la misma superficie equipotencial tendremos que dicho trabajo es cero
1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA 27
Figura 1.20
al ser nula la diferencia de potencial gravitatorio. Eso significa que el vector fuerza (y
por tanto, el vector intensidad de campo) deberá ser perpendicular al vector desplaza-
miento (contenido en la superficie equipotencial), por lo que la propiedad anteriormente
expuesta es cierta.
1.9. La gravedad terrestre: variación con la altura
Hemos visto que para una partícula cualquiera de masa m, el módulo del vector
intensidad de campo en un punto situado a una distancia r viene dado por
|~g| =
Gm
r2
(1.71)
Si consideramos el campo gravitatorio terrestre10, el módulo de la intensidad de
campo en la superficie de la Tierra vendrá dado por
|~g| =
GM
R2
(1.72)
siendo M la masa de la Tierra y R su radio. Esta cantidad, como es bien sabido, es lo
que se conoce como gravedad y es la que se utiliza cuando expresamos el módulo del
peso como mg (el valor es aproximadamente 9,8 m/s2 ). Es decir, la gravedad no es sino
la intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra.
Sin embargo, para puntos distanciados de la superficie terrestre, en principio, no se
puede asegurar que el valor de la gravedad se mantenga igual que en la superficie de la
10Aquí conviene recordar de nuevo que para puntos exteriores una esfera de materia se comporta
igual que una partícula situada en su centro con la misma masa.
28 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Tierra.
Figura 1.21
En efecto, el valor de la gravedad será en un punto a una altura h de la superficie
terrestre
g(h) =
GM
(R + h)2
(1.73)
Como quiera que se verifica GM = gR2, la expresión anterior puede expresarse de
la siguiente manera
g(h) =
gR2
(R + h)2
= g(
1
1 + h/R
)2 (1.74)
Esta sería la expresión de la variación de g con la altura en función del valor de g
en la superficie terrestre. Para puntos muy próximos a la superficie terrestre (h<<R),
la expresión anterior se puede simplificar considerablemente. Para ello, haremos uso del
siguiente desarrollo
1
1 − a
= 1 + a + a2 + a3 + · · · (1.75)
(válido11 cuando |a| < 1), haciendo a = −h/R,
1
1 − h/R
= 1 − h
R
+ (
h
R
)2 − · · · (1.76)
Sustituyendo este desarrollo en la expresión general, y eliminando términos que con-
tengan potencias de 2 ó más de la relación h/R (por ser esta relación muy pequeña),
tenemos:
g(h) ∼= g(1 − h
R
+ (
h
R
)2 − · · · )2 ∼= g(1 − h
R
)2 ∼= g(1 − 2h
R
) ∼= g − 2gh
R
(1.77)
Naturalmente esta expresión sólo es válida para pequeñas alturas. Por ejemplo, si con-
sideramos un punto a 1 Km de altura el valor de g sería g(1000m) = 9, 8−9, 8 2·1000
6370·1000
=
9, 8 − 0, 003 = 9, 797ms−2, es decir, que incluso para 1 Km de altura el error que se
comete al considerar g = 9, 8ms−2, es de 3 milésimas, error despreciable para la mayoría
11Este desarrollo puede justificarse considerándolo como la suma de infinitos términos de una pro-
gresión geométrica ilimitada y decreciente.
1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA 29
de los cálculos. Sin embargo, para grandes alturas (del tipo de las que tienen los satélites
artificiales que giran alrededor de la Tierra o más), la variación de g con la altura es ya
apreciable por lo que procede utilizar la expresión general
g(h) =
gR2
(R + h)2
= g(
1
1 + h/R
)2 (1.78)
Por supuesto, también podríamos estar interesados en la variación de la gravedad
para puntos interiores a la Tierra. En este caso, debemos considerar quepara tales pun-
tos interiores sólo influye la esfera de materia que queda dentro de la superficie esférica
imaginaria que puede trazarse con radio igual a la distancia del centro de la Tierra al
punto considerado, r.
Figura 1.22
Por ello, g(r) = GMint/r
2. Suponiendo que la Tierra es una esfera homogénea de
materia tenemos que
Mint =
MVint
V
=
M(4/3)πr3
(4/3)πR3
=
Mr3
R3
(1.79)
Por lo que sustituyendo,
g(r) =
GMr3
r2R3
=
gR2r3
r2R3
= g
r
R
(1.80)
es decir, que la gravedad disminuye hasta llegar al centro de la Tierra donde sería nula.
Figura 1.23
Por ello, si hacemos una representación gráfica de cómo varia la gravedad con la
distancia se obtiene algo como lo que aparece en la figura.
30 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.10. Movimiento de satélites y planetas
El movimiento de satélites y planetas hay que contextualizarlo en relación al movimien-
to de partículas influidas por campos centrales conservativos, ya que, de hecho, la inter-
acción gravitatoria es central y conservativa. En ese sentido, conviene recordar que por
el hecho de ser central la interacción que nos ocupa se conserva el momento angular por
lo que el movimiento es plano y se verifica la 2a Ley de Kepler. Por otro lado, el hecho
de que la antes citada interacción sea conservativa nos permite hacer uso del teorema
de conservación de la energía mecánica; en ese sentido, consideremos una partícula de
masa m’<<m, siendo m la masa de una segunda partícula que supondremos en reposo,
y sobre ella ligado un sistema de referencia inercial12. Para dos puntos cualesquiera de
la trayectoria de m’, A y B se verificará:
EMA = EMB ⇒ ECA + Ep(A) = ECB + Ep(B) (1.81)
por lo que, en este caso:
1
2
m′v2
A − G
mm′
rA
=
1
2
m′v2
B − G
mm′
rB
(1.82)
Con la 2a Ley de Newton, se puede demostrar que las órbitas son:
1. Elípticas con EM < 0,
2. Hiperbólicas con EM > 0,
3. Parabólicas con EM = 0
En lo casos (2) y (3) las órbitas son abiertas (el movimiento no está confinado),
mientras que en el caso (1) las órbitas son cerradas (el movimiento está confinado). (Ver
siguiente apartado).
En el caso de las órbitas elípticas, el hecho de que la energía mecánica sea negativa
es lo que justamente implica que el movimiento sea confinado, es decir, que la partícula
no pueda escapar al infinito. En efecto, si fuera posible que la partícula fuera al infinito,
se debería cumplir:
EM = EC∞ + Ep(∞) = EC∞ < 0 (1.83)
lo cual es imposible, pues una energía cinética no puede ser negativa.
Un caso particular de (1) es cuando la trayectoria es una circunferencia, en este caso,
como la fuerza es central, el trabajo asociado es cero, por lo que, la energía cinética es
constante, y el movimiento tiene que ser circular uniforme.
12En realidad, el hecho de que supongamos que m’<<m, implica que un sistema de referencia ligado a
m es mucho más inercial que el ligado a m’. Por ello, supondremos que el citado referencial es inercial.
1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS 31
Figura 1.24
Por ello, se verifica:
~F = m ~aN ⇒ F = maN ⇒ G
mm′
r2
= m′v
2
r
(1.84)
de donde se tiene
v =
√
Gm
r
(1.85)
que es la VELOCIDAD DE SATELIZACIÓN.
Por otra parte, la energía mecánica es, en este caso,
EM =
1
2
m′v2 − Gmm′
r
=
1
2
m′Gm
r
− Gmm′
r
= −1
2
Gmm′
r
(1.86)
que es negativa como cabía esperar.
Si la EM > 0 m’ puede llegar al infinito y todavía le sobra energía cinética: EC∞ =
EM − Ep(∞) = EM > 0, a velocidad que tendrá m’ en el infinito será:
1
2
m′v2
∞ = EM ⇒ v∞ =
√
2EM
m′
(1.87)
Finalmente, en el caso límite EM = 0, v∞ = 0, es decir, la órbita es abierta, la
partícula llega hasta el infinito, pero cuando llega se queda en reposo. La trayectoria es
una parábola. En este caso, se verifica en cualquier posición que esté la partícula móvil:
1
2
m′v2 = G
mm′
r
⇒ v =
√
2Gm
r
(1.88)
que se conoce como VELOCIDAD PARABÓLICA. Se observa cuando mayor es la dis-
tancia, menor es la velocidad, y viceversa, cuando menor es la distancia, mayor es la
velocidad.
Concretemos estas ideas para los movimientos planetarios alrededor del Sol, en este
caso, las órbitas son elípticas (en la mayor parte de los casos, las órbitas son casi cir-
culares). La fuerza se puede descomponer en dos componentes: ~F = m ~aT + m ~aN , una
32 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.25
tangencial y otra normal. Una componente acelera o decelera el módulo de la velocidad,
mientras que la otra curva la trayectoria.
Hay dos puntos, B y D, en los que no hay componente tangencial. El punto B
(Perihelio) es el punto de máximo acercamiento, y en el él la velocidad es máxima,
mientras que el punto D (Afelio) es el punto de máximo alejamiento, y en él la velocidad
es mínima. En efecto, como
EM =
1
2
m′v2 − G
mm′
r
= cte, (1.89)
si r es mínimo v es máximo, y si r es máximo v es mínimo.
Finalmente, y en otro orden de cosas, indicaremos que la velocidad parabólica que
debe tener un satélite artificial en la superficie terrestre (velocidad de escape de dicho
satélite artificial), se calcula mediante
EM =
1
2
m′v2
esc − G
Mm
R
= 0 ⇒ vesc =
√
2
GM
R
=
√
2gR ∼= 11, 3km/s (1.90)
Si la velocidad de lanzamiento es menor que 11,3 km/s, el satélite no escapa, y el
satélite tendrá una órbita elíptica o circular.
1.10.1. Sobre el movimiento de partículas en campos centrales
conservativos atractivos. Aplicación al movimiento de
satélites en torno a planetas
La ecuación de la energía mecánica es:
EM = EC + Ep =
1
2
mv2 − G
Mm
r
(1.91)
La velocidad de m se puede descomponer así:
~v =
d~r
dt
;~r = r · ~ur;~v =
dr
dt
~ur + r
d ~ur
dt
= (1.92)
1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS 33
que es igual a
=
dr
dt
~ur + r
dθ
dt
~uθ ⇒ v2 = (
dr
dt
)2 + r2(
dθ
dt
)2 (1.93)
Figura 1.26
Sustituyendo la energía mecánica queda
EM =
1
2
m(
dr
dt
)2 +
1
2
mr2(
dθ
dt
)2 − G
Mm
r
(1.94)
Por otra parte, el momento angular (que es constante por tratarse de una fuerza
central)
~LO = m~r × ~v = m~r × (
dr
dt
~ur + r
dθ
dt
~uθ) = mr
dθ
dt
~r × ~uθ (1.95)
El módulo del momento angular será
LO = mr2dθ
dt
⇒ dθ
dt
=
LO
mr2
⇒ (
dθ
dt
)2 =
L2
O
m2r4
(1.96)
por lo que sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:
EM =
1
2
m(
dr
dt
)2 +
1
2
mr2 L2
O
m2r4
− G
Mm
r
(1.97)
igual a
=
1
2
m(
dr
dt
)2 +
1
2
L2
O
mr2
− G
Mm
r
= EC,R + Eefec
p (r) (1.98)
34 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
siendo
Eefec
p (r) = Ecentr
p (r) − Ep(r) (1.99)
Su representación gráfica sería:
Figura 1.27
De esta gráfica se ve que si EM < 0, a distancia entre las dos partículas oscila entre
dos valores mientras que si EM > 0, ó EM = 0, a distancia entre las dos partículas
presenta un valor mínimo pero no tiene un valor máximo, es decir puede ser infinita.
Capítulo 2
Vibraciones y Ondas
2.1. Dinámica del movimiento armónico simple
Se denomina movimiento armónico simple a un movimiento cuya variable tiene la
forma
x = A sin(ωt + ϕ) (2.1)
Habitualmente se usan las siguientes denominaciones, ω es la pulsación o frecuencia
angular, ϕ la fase inicial, ωt + ϕ la fase, A la amplitud y x la elongación.
Figura 2.1
Gráficamente se puede considerar el movimiento armónico simple como el de la
proyección de un móvil sobre un eje (el vertical por ejemplo) que se mueve con movimien-
to circular uniforme con radio A, con arco inicial ϕ y a velocidad angular ω, como fácil-
mente se puede comprobar con la Trigonometría.
35
36 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Se verifica que el periodo T = 2π/ω, ya que la función que define el movimiento
armónico simple es periódica de periodo 2π/ω, en efecto:
x = A sen (ωt + ϕ) = A sen (ωt + ϕ + 2π) = A sen [ ω( t + 2π/ω)+ ϕ]== A sen
[ ω( t + T)+ ϕ], de donde T = 2π/ω.
Físicamente el periodo representa el tiempo que se invierte en una oscilación com-
pleta.
La frecuencia es f = 1/T es f = ω/2π. Físicamente, la frecuencia representa el
número de oscilaciones en la unidad de tiempo, esto, es el número de oscilaciones com-
pletas por segundo.
2.1.1. Velocidad
La velocidadviene dada por
~v = vx
~i =
dx
dt
~i =~iωA cos(ωt + ϕ) (2.2)
Normalmente, en lo que se refiere al m.a.s se suele utilizar el símbolo v para vx
1.
Teniendo en cuenta lo anterior se tiene
v = ωA cos(ωt + ϕ) (2.3)
Si se considera la identidad trigonométrica sin2 α + cos2 α = 1, se puede expresar la
velocidad como
v = ±ω
√
A2 − A2 sin2(ωt + ϕ) = ±ω
√
A2 − x2 (2.4)
Lógicamente, el signo ± de la raíz dependerá del sentido del movimiento en el instante
considerado.
2.1.2. Aceleración
Llamando a a la componente x de la aceleración2, tenemos
a =
d2x
dt2
= −ω2A sin(ωt + ϕ) = −ω2x (2.5)
1Esto en sentido estricto no es correcto ya que v es en realidad el módulo de la velocidad pero suele
ser costumbre esta denominación en el m.a.s.
2Nuevamente debemos insistir lo mismo que antes, en sentido estricto, no es correcto ya que a es en
realidad el módulo de la velocidad pero suele ser costumbre esta denominación en el m.a.s.
2.1. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 37
2.1.3. Ecuación diferencial
De la ecuación de la aceleración se tiene,
d2x
dt2
+ ω2x = 0 (2.6)
que es la llamada ecuación diferencial del m.a.s.
El interés de esta ecuación diferencial tiene que ver con el hecho de cualquier fenó-
meno físico descrito por una variable cuya ecuación diferencial tenga la forma de la
ecuación 2.6 evolucionará con el tiempo de manera oscilatoria o sinusoidal.
2.1.4. Ejemplos:
El oscilador elástico
Figura 2.2
Dicho oscilador se caracteriza por estar sometido a la fuerza elástica (Ley de Hooke),
~F = −Kx~i, siendo K la constante de recuperación elástica.
Aplicando la 2a ley de Newton, ~F = m~a, tenemos:
m
d2x
dt2
~i = −Kx~i (2.7)
o bien,
m
d2x
dt2
+ Kx = 0 (2.8)
de donde comparando con la ecuación diferencial del movimiento armónico simple se ob-
serva que es formalmente similar, y que el movimiento de dicho oscilador es un movimien-
to armónico simple siendo ω2 = K/m por lo que el periodo del oscilador elástico es
T =
2π
ω
= 2π
√
m
K
(2.9)
38 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
El péndulo simple o matemático
Consta de una partícula puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa que se
encuentra sujeto en un extremo y lleva a cabo oscilaciones sobre un mismo plano. Como
se puede comprender se trata de un sistema ideal de ahí su denominación como péndulo
simple o matemático, a diferencia del llamado péndulo físico o compuesto que consiste
en un sólido rígido que oscila respecto de un punto. Si uno desea estudiar este sistema
Figura 2.3
aplicará la segunda Ley de Newton que en sus componentes tangente a la trayectoria y
normal a la misma se concreta en:
−Px = mat ⇒ −mg sin α = mat (2.10)
y
T − Py = man (2.11)
siendo esta última ecuación no relevante en el caso que nos ocupa (pequeñas oscilaciones).
Para pequeñas oscilaciones la longitud del arco s ∼= x por lo que at
∼= ax, y entonces
tenemos:
mg
x
l
+ m
d2x
dt2
= 0 (2.12)
o bien
d2x
dt2
+
g
l
x = 0 (2.13)
por lo que comparando con la ecuación diferencial del m.a.s. se tiene que ω2 = g/l, es
decir, el periodo del péndulo simple viene dado por
T = 2π
√
l
g
(2.14)
ecuación que permite medir el valor de g en distintos puntos de la Tierra.
2.2. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 39
2.2. Energía del movimiento armónico simple
Consideremos de nuevo el oscilador elástico. Como el movimiento es armónico simple,
la velocidad máxima es vmáx = Aω. La energía cinética en la posición x será
Ec =
1
2
mv2 =
1
2
mA2ω2 cos2(ωt + ϕ) (2.15)
La energía potencial será:
Ep =
1
2
Kx2 =
1
2
A2 sin2(ωt + ϕ) (2.16)
Como ω2 = K/m, entonces
EM = Ec + Ep =
1
2
mA2ω2[cos2(ωt + ϕ) + sin2(ωt + ϕ)] (2.17)
es decir,
EM =
1
2
KA2 =
1
2
mv2
máx (2.18)
Por ello, EM = Ec,máx = Ep,máx, de acuerdo con el Teorema de conservación de la
energía Mecánica.
2.3. Ondas. Clasificación.
Sea una cuerda sometida a una tensión, entonces existe una perturbación, Y, que se
propaga a lo largo de la cuerda.
Si tenemos un émbolo y un gas, al dar una embolada, en las zonas próximas aumenta
la presión P y la densidad ρ, y este aumento se propaga produciéndose una variación de
presión P - P0 y una variación de densidad ρ - ρ0 que se transmite. Supongamos, asimis-
Figura 2.4
mo, una barra, si aplicamos una fuerza se producirá un desplazamiento de la sección,
entonces, tanto la fuerza como el desplazamiento se transmitirán por la barra; esto sería
una onda elástica en una barra. De un modo más general, supongamos una propiedad
física descrita por un cierto campo, éste puede ser un campo electromagnético, la presión
40 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.5
en un gas, la deformación de un sólido, el desplazamiento transversal de una cuerda, etc.;
supongamos que en un lugar el campo varía con el tiempo, esta variación o perturbación
se transmite o propaga a través del espacio; esto origina cambios físicos en otros lugares,
entonces decimos que hay una onda asociada al campo particular considerado.
Se denomina pulso de ondas si la perturbación se realiza de forma instantánea, si
se realiza de forma continua se obtiene un tren de ondas : Hay ondas que necesitan
Figura 2.6
soporte material para propagarse como las ondas de presión de un gas, las ondas de una
cuerda, etc. Se les llama ondas mecánicas.
Figura 2.7
Otras pueden propagarse en el vacío, son las ondas electromagnéticas .3
3Mediante las ecuaciones de Maxwell se puede obtener una ecuación de ondas. En realidad, se trata
2.3. ONDAS. CLASIFICACIÓN. 41
Si la dirección de propagación es perpendicular al desplazamiento o perturbación, se
tienen ondas transversales .
Si tales direcciones coinciden, se tienen ondas longitudinales ; por ejemplo las on-
das elásticas de una barra.
Figura 2.8
Para medios materiales en los que la velocidad de propagación es igual en todas las
direcciones se habla de medios isótropos . Si la velocidad de propagación depende de
la dirección se habla de medio anisótropo.
Si el campo que se propaga es escalar, la onda es escalar , y si el campo es vectorial
la onda es vectorial . Así, las ondas electromagnéticas son transversales y vectoriales.
Figura 2.9
de campos eléctricos ~E y magnéticos ~B que varían con el tiempo (producidos por cargas eléctricas
aceleradas) y esta variación se propaga en el vacío.
42 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
2.4. Magnitudes características de las ondas. Ondas
armónicas
Representemos por Y la magnitud física o campo que se propaga. Y puede ser ~E,
~B, P , ρ, Y (desplazamiento), etc.
Puede demostrarse que la ecuación de ondas unidimensional puede escribirse como:
Y (x, t) = f1(x − vt) + f2(x + vt) (2.19)
donde v es la velocidad de propagación.
El significado físico de esta ecuación es que f 1 representa una onda que viaja a la
derecha y f 2 una onda que viaja a la izquierda. En efecto, analicemos una función f(x):
Figura 2.10
Se observa que f(x-a) tiene una representación gráfica de f(x) desplazada una distan-
cia a la derecha. Si a = vt, entonces f(x-a) = f(x-vt) tendrá una gráfica desplazada a la
derecha una distancia vt, es decir, se moverá a la derecha con una velocidad v.
Análogamente, se obtendría que una función f(x+vt) tendrá una gráfica que se mueve
hacia la izquierda con una velocidad v.
Una solución particular muy interesante es la onda armónica :
Y(x,t) = A sen k(x-vt) -> onda armónica que viaja hacia la derecha.
Y(x,t) = A sen k(x+vt) -> onda armónica que viaja hacia la izquierda.
2.4. MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS. ONDAS ARMÓNICAS43
De acuerdo con una terminología similar a la del movimiento armónico simple, A=
amplitud, k(x-vt) = fase, y v = velocidad de fase.
Si t = 0, la onda armónica que viaja a la derecha adopta la forma Y(x,0) = Asenkx,
y su representación gráfica es: A la distancia λ tal que Y(x) = Y(x + λ) para un instante
Figura 2.11
determinado, se le llama longitud de onda o periodo espacial .
Si hacemos x = 0, entonces Y(0,t) = A sen (-kvt) = - A sen kvt. Su representación
gráfica será: Se observa que se trata de un movimiento armónico simpledel que está
Figura 2.12
afectada la partícula con x = 0.
Esto nos permite incidir en la diferencia entre movimiento oscilatorio y movimiento
ondulatorio. El movimiento ondulatorio consiste en la propagación de una perturbación
que implicará en general, la propagación de una condición dinámica. En el caso de una
44 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
onda armónica, la propiedad que se propaga afecta a cada punto de forma oscilatoria;
podríamos decir, por tanto, que una onda armónica es la propagación de un movimien-
to armónico simple de la primera partícula perturbada a la partícula siguiente, y así,
sucesivamente.
Al tiempo T tal que Y(x,t) = Y(x, t +T) para una posición determinada se le llama
periodo temporal o simplemente periodo. Veamos algunas relaciones entre los perio-
dos:
Como Y(x + λ, t) = Y(x, t), entonces A sen k(x+ λ - vt) = A sen k (x - vt), de
donde, k(x + λ - vt) - k(x - vt) = 2π; kλ = 2π; k = 2π/λ y,
[ λ = 2π/k]
A k se le llama número de onda .
Por otra parte: Y(x, t) = A sen k(x - vt) = A sen (kx - kvt). Llamamos pulsación
a ω = kv, así Y(x, t) = A sen (kx - ωt).
Además, Y(x, t + T) = Y(x, t), por lo que A sen {k[x - v(t + T)]} = A sen k(x -
vt), de donde {k[x - v(t + T)]} - k(x - vt) = -2π, y así [T = 2π/kv]. Por otra parte, ω
= kv = (2π/λ) v, y como T = 2π /ω, sustituyendo:
2π
T
=
2π
λ
v (2.20)
de donde
λ = vT (2.21)
lo cual muestra que hay una dependencia entre el periodo espacial y el periodo temporal
a través de la velocidad de fase.
Utilizando los parámetros λ, y T, tenemos:
Y (x, t) = A sin
(
2π
λ
x − 2π
T
t
)
= A sin 2π
(
x
λ
− t
T
)
(2.22)
que es una onda armónica que viaja a la derecha.
Una onda armónica que viaja a la izquierda expresada en función de λ y T es:
Y (x, t) = A sin 2π
(
x
λ
+
t
T
)
(2.23)
El interés de estudiar ondas armónicas proviene del Teorema de Fourier según
el cual “si Y(x, t) es una función periódica puede escribirse:”
Y (x, t) = a0+a1 cos(kx−ωt)+a2 cos 2(kx−ωt)+· · ·+b1 sin(kx−ωt)+b2 sin 2(kx−ωt)+· · ·
(2.24)
2.5. ENERGÍA E INTENSIDAD DE UNA ONDA 45
es decir,
Y (x, t) = a0 +
∞
∑
n=1
[an cos n(kx − ωt) + bn sin n(kx − ωt)] (2.25)
Con ciertas matizaciones, esto es también válido si la función Y(x,t) no es periódica.
2.5. Energía e Intensidad de una onda
Consideremos una onda transversal en una cuerda:
Figura 2.13
Como consecuencia de estas fuerzas o tensiones una parte de la cuerda suministra
energía a otra. Si suponemos que la onda es armónica, puede demostrarse que la potencia
viene dada por:
P =
(
1
2
µA2ω2
)
v (2.26)
cuyo significado físico corresponde a la energía media que fluye a lo largo de la cuerda en
la unidad de tiempo como consecuencia del movimiento ondulatorio. En la anterior ex-
presión µ es la densidad lineal de masa (µ = dm/dl) y v la velocidad de propagación que
puede demostrarse que viene dada por v = (T/µ)1/2 donde T es la tensión de la cuerda.
El resultado anterior puede justificarse de la siguiente manera: la energía de un
oscilador viene dada, como ya se ha visto, por E = (1/2)KA2, donde K = mω2, es decir,
sustituyendo E = (1/2)mω2A2. Al ser nuestro sistema una cuerda, podemos considerar
un elemento de la misma como un oscilador, su energía sería dE = (1/2)dmω2A2 =
(1/2)µdlω2A2 siendo µ la densidad lineal de masa de la cuerda y dl la longitud del
elemento de cuerda considerado. La energía por unidad de tiempo que fluye por la
cuerda será
dE
dt
=
(
1
2
µω2A2
)
v (2.27)
siendo v la velocidad de propagación.
46 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
La energía por unidad de volumen, ǫ, es ǫ = Pm/(v.S) donde S es la superficie
normal a la propagación (superficie de la cuerda).
Sustituyendo se tiene
ǫ =
1
2
µ
S
A2ω2 =
1
2
ρA2ω2 (2.28)
donde ρ es la densidad volúmica de la cuerda.
Se define Intensidad media de la onda de la siguiente manera:
Im =
Pm
S
=
(
1
2
ρA2ω2
)
v = ǫv (2.29)
La expresión anterior asociada a la Intensidad, o energía por unidad de tiempo y
metro cuadrado, nos dice que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud
de la onda, es decir, Im ∝ A2.
Todo esto nos permite redefinir claramente el concepto de onda: ¿qué se propaga
realmente en el movimiento ondulatorio? Antes hemos dicho que se propaga una per-
turbación, un campo físico, en realidad, vemos que lo que se propaga es energía. No
se propaga la materia sino su estado de movimiento; es una condición dinámica que
se transmite de una región a otra. Estas condiciones dinámicas se pueden describir en
términos de energía y momento lineal, por ello, en el movimiento ondulatorio lo que
realmente se propaga es energía y momento lineal.
Así, cuando la perturbación pasa de una sección transversal a otra, es la potencia
la que se transmite. Si la onda se propaga de izquierda a derecha, debe suministrarse
energía al extremo izquierdo de la cuerda.
Para las ondas esféricas, ondas en tres dimensiones cuya formulación es del tipo
(a partir de una cierta distancia del foco emisor):
Y (r, t) =
1
r
f(r − vt) (2.30)
la amplitud disminuye con r, así, para una onda armónica esférica:
Y (r, t) =
a
r
sin(kr − ωt) (2.31)
siendo A = a/r.
En estos casos, I = I0/r
2 siendo I0 ∝ a2, es decir, como Im ∝ A2, entonces Im ∝ r−2.
Este resultado es lógico de acuerdo con la conservación de la energía, ya que al disminuir
la intensidad como 1/r2 y aumentar la superficie como r2 , el flujo energético por unidad
de tiempo que atraviese una superficie deberá ser constante. El hecho de que la intensi-
dad de una onda esférica disminuya con la distancia al foco emisor según 1/r2 se conoce
como atenuación de dicha onda esférica.
2.6. INTERFERENCIA DE ONDAS 47
Figura 2.14
2.6. Interferencia de ondas
2.6.1. Principio de superposición
“Si en un medio se propagan dos o más ondas, éstas superpondrán sus efectos en los
puntos que coincidan y continuarán después independientemente la una de la otra como
si no se hubieran superpuesto”.
Se denomina interferencia al fenómeno que tiene lugar cuando dos o más movimien-
tos ondulatorios coinciden en el espacio y en el tiempo.
Diremos que dos fuentes de ondas son coherentes si oscilan con la misma frecuencia
angular. Si ello no es así no se observará diagrama de interferencia estacionario y se dice
que son incoherentes .
Figura 2.15
Consideremos dos fuentes puntuales S 1 y S 2 coherentes con una diferencia de fase
constante cuyo valor en puntos equidistantes es β:
Y (r, t) = A1 sin(kr1 − ωt) (2.32)
Y (r, t) = A2 sin(kr2 − ωt + β) (2.33)
48 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Supongamos que Y es un campo escalar por sencillez, entonces:
Y (= Y1 + Y2 = A1 sin(kr1 − ωt) + A2 sin(kr2 − ωt + β) (2.34)
Resolveremos el problema de sumar las dos ondas gráficamente, mediante vectores
rotatorios:
Figura 2.16
Como los dos fasores se mueven a la misma velocidad angular, la resultante se moverá
también a la misma velocidad angular, es decir, Y = A sen (α - ωt), siendo A2 =
A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos δ y siendo δ la diferencia de fases, esto es,
δ = kr2 − kr1 + β = k(r2 − r1) + β =
2π
λ
(r2 − r1) + β (2.35)
Se observa que: |A1 − A2| ≤ A ≤ A1 − A2.
Si cos δ = 1, entonces A = A1 + A2 ; δ = 2πn: hay interferencia constructiva.
Si cos δ = -1, entonces A = A1 - A2 ; δ = (2n+1)π: hay interferencia destructiva.
Como δ = 2π
λ
(r2 − r1) + β, entonces:
1. Interferencia constructiva:
2π
λ
(r2 − r1) + β = 2πn; r2 − r1 = nλ − βλ
2π
, n ∈ Z (2.36)
2. Interferencia destructiva:
2π
λ
(r2 − r1) + β = 2πn + π; r2 − r1 = nλ +
λ
2
− βλ
2π
, n ∈ Z (2.37)
Si las dos ondas tienes la misma amplitud y β = 0:
2.7. ONDAS ESTACIONARIAS 49
1. Interferencia constructiva: r1 − r2 = nλ, A = 2A1.
2. Interferencia destructiva: r1 − r2 = nλ + λ/2, A = 0.
La ecuación r1 − r2 = cte, define una hipérbola de focos S1 y S2, y como estamos en
el espacio, esta ecuación define superficies hiperbólicas de revolución. A las superficies
hiperbólicas en las que hay interferencia constructiva y los movimientos ondulatorios se
refuerzan, se les llama superficies ventrales o antinodales. A las que hay interfer-
encia destructiva se les llama superficies nodales .
2.6.2. Intensidad en los fenómenos de interferencias
Sean dos fuentes coherentes, entonces I
(1)
m = KA2
1 y I
(2)
m = KA2
2. La onda interferen-
cia tendrá una intensidad Im = KA2 donde A2 = A2
1 +A2
2 +2A1A2 cos δ, y sustituyendo
se tiene:
Im = K(A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos δ) = KA2
1 + KA2
2 + 2K1/2A1K
1/2A2 cos δ (2.38)
de donde se logra:
Im = I(1)
m + I(2)
m + 2
√
I
(1)
m I
(2)
m cos δ (2.39)
de forma que las condiciones de máximos y mínimos de intensidad son las mismas que
las requeridas para los máximos y mínimos de amplitud. Por ello, las interferencias con-
structiva y destructiva pueden definirse asimismo en términos de intensidades en vez de
en términos de amplitudes.
2.7. Ondas estacionarias
Una onda estacionaria es aquélla que resulta al superponerse dos movimientos on-
dulatorios que avanzan en sentidos contrarios. Estas ondas resultantes dan la sensación
de no moverse, por cuyo motivo se denominan estacionarias .
Consideremos una cuerda con un extremo fijo:
Una onda incidente hacia la derecha tiene de ecuación
Y I = A sen (kx - ωt)
y se refleja en O originando una onda de ecuación
Y R = A’ sen (kx + ωt)
El desplazamiento en cualquier punto es el resultado de la interferencia o superposi-
ción de estas dos ondas:
50 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.17
Y = A sen (kx - ωt) + A’ sen (kx + ωt)
Para x = 0, Y(x=0) = A sen (- ωt) + A’ sen ωt = (A’- A) sen ωt.
Como O es fijo, entonces Y(x= 0) = 0, de donde A’ = A, es decir, la onda experi-
menta un cambio de fase π cuando se refleja en el extremo fijo, en consecuencia:
Y = A sen (kx - ωt) + A sen (kx + ωt) = 2A sen kx cos ωt.
Ya no aparecen las expresiones kx ± ωt, y esta ecuación no representa una onda
viajera sino un movimiento armónico simple cuya amplitud varía de un punto a otro:
amplitud = 2A sen kx.
En concreto, hay puntos que no oscilan nunca (nodos), y otros cuya amplitud es
máxima (vientres).
En los nodos x = (1/2) nλ, pues kx = nπ, n ∈ Z y los nodos están separados una
distancia (1/2)λ.
En los vientres kx = nπ + π/2, n ∈ Z de donde X = (1/2)nλ + λ/4, n ∈ Z
Por otra parte, si el otro extremo (x = -L) también esta fijo, entonces Y (x = -L)
= 0, lo que implica que para cualquier instante 2Asen k(-L) = 0. Como el seno es una
función impar sen kL = 0, de donde kL = πn, y por tanto L = nλ/2 o bien λ = 2L/n.
En definitiva, en estas condiciones la longitud de onda está cuantizada y por ello no
puede tomar cualquier valor sino que debe cumplir la condición λ = 2L/n, donde n es
2.8. PRINCIPIO DE HUYGENS 51
un número natural. En esto hecho se basa lo que ocurre en los instrumentos musicales
(por ejemplo, en la flauta donde sólo son posibles ciertas frecuencias o longitudes de
onda).
2.8. Principio de Huygens
Denominamos frente de onda al lugar geométrico de los puntos del espacio que
en un momento dado están en el mismo estado de vibración (es decir, si un punto está
en un máximo de amplitud todos los que seguidamente de él estén en un máximo de
amplitud formarán un frente de onda,...)
Así, por ejemplo, si tenemos una onda Y(x,t) = A sen k(x - vt), la ecuación
k(x - vt) = cte definiría un frente de onda.
Esta ecuación se puede escribir
Y (~r, t) = A sin(~k · ~r − ωt) (2.40)
de forma que el frente de onda vendrá dado por
~k · ~r − ωt = cte (2.41)
dicho frente de onda avanza en la dirección de ~k.
Existen ondas que no son planas, sino por ejemplo, esféricas, en las que la ecuación se
expresa Y(r,t) = (1/r) f(r - vt). En particular, la ecuación de una onda esférica armónica
(si se trata de una onda de presión) sería,
P − P0 =
A
r
sin(kr − ωt) (2.42)
y en este contexto, la ecuación kr - ωt = cte define una superficie esférica que avanza.
El principio de Huygens permite saber la evolución de un frente de onda: “Todos
los puntos de un frente de onda se pueden considerar como centros emisores de ondas
esféricas secundarias. Después de un cierto tiempo, la nueva posición del frente de onda
será la superficie tangencial a esas ondas superficiales”.
Figura 2.18
52 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
El principio de Huygens fue completado por Fresnel diciendo que “las ondas secun-
darias hacia atrás no son activas”. Este principio es la base de la óptica geométrica, y
con el se pueden explicar fenómenos como la reflexión, refracción, y difracción.
2.8.1. Reflexión de ondas planas
Reflexión es el retorno del movimiento ondulatorio por el mismo medio por donde se
propagaba al chocar con la superficie de un medio distinto.
Figura 2.19
Se cumple ǫ = ǫ’. En efecto, los triángulos A’A”B”=A’B’B” ya que tienen 2 lados
iguales y 1 ángulo igual: A’B” = hipotenusa común, ambos tienen un ángulo recto, y
B’B” = A’A” por construcción (Principio de Huygens).
Si los dos triángulos son iguales, A”A’B”=B’B”A’, es decir, complementario (ǫ’) =
complementario (ǫ”) = complementario (ǫ), por lo que ǫ = ǫ’.
2.8.2. Refracción de ondas planas
Es el cambio de la velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio al pasar
de un medio material a otro.
Se verifica la ley de Snell:
sin ǫ
sin ǫ′
=
v1
v2
= cte (2.43)
En efecto:
ǫ̂ = B′Â′B′′ ↔ B′B′′ = v1t (2.44)
ǫ̂′ = A′B̂′′A′′ ↔ A′A′′ = v2t (2.45)
2.9. DIFRACCIÓN 53
Figura 2.20
por lo que,
B′B′′
A′A′′
=
A′B′′ sin ǫ
A′B′′ sin ǫ′
=
v1t
v2t
(2.46)
lo que implica que
v1
v2
=
sin ǫ
sin ǫ′
(2.47)
En la refracción tiene el siguiente balance de energía: “energía incidente = energía
reflejada + energía refractada o transmitida”.
2.9. Difracción
La difracción es un fenómeno que se produce cuando un haz de luz pasa por una
abertura, de forma que a continuación, el haz se abre siendo esta abertura tanto mayor
cuanto más pequeño sea el orificio.
Experimentalmente, se observa que esto suele ocurrir cuando las dimensiones del
orificio son comparables a la longitud de onda.
Principalmente, existen dos tipos de difracción:
1. Difracción de Fraunhoffer: En ella, la onda incidente es plana y observamos el
patrón de difracción a una distancia suficientemente grande como para que sólo
recibamos ondas planas.
54 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.21
2. Difracción de Fresnel: Las ondas incidentes se originan en una fuente puntual, o
bien se observan los rayos difractados en un punto determinado del espacio, o bien
ambas cosas.
2.9.1. Difracción de Fraunhoffer por una rendija
Sea una rendija rectangular muy estrecha y larga de modo que podamos ignorar los
efectos de los extremos.
Figura 2.22
Supongamos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija. De acuerdo
con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija, todos los puntos
de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas que
llamaremos difractadas. Observando estas ondas a diferentes ángulos θ respecto a la di-
rección de incidencia, encontramos en ciertas direcciones una intensidad nula que puede
demostrarse que corresponden con la ecuación b sin θ = nλ, (n 6= 0, n ∈ Z), siendo λ la
longitud de onda incidente. Excluimos n = 0 porque corresponde a la observación según
la dirección de incidencia, lo cual implica un máximo de iluminación.
2.9. DIFRACCIÓN 55
La gráfica de intensidad es:
Figura 2.23
Figura 2.24
El ángulo subtendido por el pico central es:
Figura 2.25
2.9.2. Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular
Aparecen discos: un disco central brillante y coronas circulares oscuras y claras al-
ternadamente:
56 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.26
2.9.3. Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respec-
to a la luz
En óptica geométrica se hace uso del concepto de rayo. Un RAYO es una construc-
ción geométrica que hace representar un haz de ondas por una línea que es la línea de
propagación.
Un rayo es imposible aislarlo físicamente. En efecto, si se pretendiese aislar un rayo
deberíamos utilizar una rendija muy estrecha, pero como el ángulo de difracción viene
dado por θ ∝ λ / b, si b -> 0, entonces θ se hace