Cuaderno_de_Topografia_Generalidades

Vista previa del material en texto

Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
1
PROPUESTA DE MODERNIZACIÓN
DE ENSEÑANZA DE TOPOGRAFÍA
EN LA FACULTAD DE MINAS
Cuaderno de Topografía
Generalidades
Angela B. Mejía G.
Profesora Asistente
Felipe Ospina J.
Profesor Honorario
Alonso Sierra L.
Profesor Asociado
Oscar Zapata O.
Profesor AsociadoNivel de precisión Y-Y Dumpy
Teodolíto Opticomecánico
KERN DKM-1
36
Este material se terminó de imprimir en
los talleres del
Centro de Publicaciones de la
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
en julio de 2007
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
2
Angela Beatriz Mejía Gutierrez
Felipe Ospina J.
Alonso Sierra L.
Oscar Zapata O.
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
Centro de Publicaciones
ISBN : 958-8256-50-4
Diagramación e impresión : Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
Centro de Publicaciones
Primera Edición : Febrero de 2005
Primera reimpresión: Julio de 2007
35
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
3
INTRODUCCIÓN
La serie de cuadernos así presentados pretenden la
realización del curso de Topografía utilizando documentos
previamente elaborados por los profesores (con información
básica, clara, precisa, ordenada, actual, no una lista de
temas) que permitan al estudiante opinar, aportar y construir
el texto para que descubra los desarrollos y las tecnologías
que lo llevarán a conseguir el objetivo que se busca con la
Topografía, la medida y su representación.
A diferencia de la metodología tradicional permite al
estudiante participar en la elaboración del texto para que
aporte, haga confrontaciones, evalúe lo que sabe, compare
su conocimiento se retroalimente, repita apropiadamente
la tecnología existente y tenga la posibilidad de crear nuevas
tecnologías.
De esta manera se consigue la revisión permanente y
evolución del texto base del programa, de la tecnología
existente y del estado del arte en general.
34
STANSELL, Thomas. El sistema de navegación por satélite: Transit. Torrance,
Magnavox, 1980. 84 p.
TORRES, A., VILLATE, E. Topografía, Bogotá, Escuela Colombiana de
Ingeniería 2001. 460 p.
VALDÉS, Francisco Topografía. Barcelona, Ceac, 1981. 352 p.
ZAPATA, O., M Oscar. Ejercicios de topografía Trabajo para a la promoción a
profesor Asistente. Medellín Universidad Nacional , 1992, 144 p.
ZAPATA, O., Oscar. Notas de clase para el curso de topografía. Medellín,
U.N. 1993. 105 p.
ZURITA, José. Topografía práctica para el constructor. Barcelona, Ceac,1979.
185 p.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
4
CONTENIDO
1. GENERALIDADES ............................................................................. 5
1.1 DEFINICIÓN ....................................................................................... 5
1.2 HISTORIA ........................................................................................... 5
UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR .................................................... 8
1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFÍA. FORMA DE LA TIERRA ................... 9
1.3.1 La geodesia ......................................................................................... 9
1.3.2 La topografía ...................................................................................... 10
1.4 DIVISIÓN BÁSICA DE LA TOPOGRAFÍA ........................................ 11
1.4.1 Planimetría. ....................................................................................... 11
1.4.2 Altimetría. ........................................................................................... 11
1.4.3 Planimetría y altimetría. ..................................................................... 11
1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFÍA ............... 14
1.5.1 El sistema métrico decimal de medidas. .......................................... 15
1.5.2 Matemáticas para la topografía: ........................................................ 17
1.5.3 Principios fundamentales de topografía: ........................................... 19
1.5.4 Escalas ............................................................................................. 25
33
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALCÁNTARA, G., Dante. Topografía. México, McGraw-Hill. 1990. 583 p.
BARRY, Austin. Topografía aplicada a la construcción. México, Limusa, 1982.
342 p.
BRINKER, R. C., WOLF, P.R. Topografía moderna. México, Harla, 1982. 542 p.
DAVIS, R.E., FOOTE, F.S. Tratado de topografía. Valencia, Aguilar, 1964, 880 p.
DAVIS, R.E., KELLY, J.W. topografía Elemental. México, Continental, 1979.
648 p.
DOMINGUEZ, G., Francisco Topografía general y aplicada. Madrid, COSAT.
1998 823 p.
GIL, L., Luis. Levantamientos topográficos, Medellín, Universidad Nacional,
2005. 133 p.
GÓMEZ, T., Ana. Topografía subterránea. México, Alfaomega Ediciones UPC.
1999. 212 p.
IRVINE, W. Topografía. México, Mcgraw - Hill. 1975.259 p.
JORDAN, W., Tratado general de topografía: Planimetría. Barcelona Gustavo
Gilli, 1944. 535 p.
JORDAN, W., Tratado de topografía: Altimetría, fotogrametría y replanteos.
Barcelona, Gustavo Gilli, 1944. 572 p.
KISSAM, P., Topografía para ingenieros, Madrid, Castilla, 1967. 64p.
MCCORMAC, J. Topografía. México, Limusa Wiley. 2004. 416 p.
OSPINA, J., Felipe. Prácticas de topografía., Medellín, Universidad Nacional,
1975. 144 p.
OSPINA, J., Felipe. Apuntes de topografía, Medellín, Universidad Nacional,
1997. 136 p.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
5
1. GENERALIDADES
1.1 DEFINICIÓN
La Topografía es una forma de presentar las metodologías con las que se
efectúan las mediciones necesarias para determinar las posiciones relativas
de puntos situados arriba, sobre y debajo de la superficie de la tierra, o bien
establecer puntos en una posición determinada.
Las medidas de la topografía son, esencialmente, distancia horizontal y vertical,
y dirección (ángulo horizontal y vertical).
La etapa de obtención de datos topográficos se conoce como trabajo de campo.
Los datos tomados deben ser analizados, procesados mediante cálculos
matemáticos, ajustados y normalmente convertidos a modalidades gráficas
como planos, mapas y cartas que conforman los trabajos de oficina. En
algunos casos sobre los planos se proyectan obras, cuyos puntos es necesario
establecer en el terreno, en una operación que se denomina replanteo.
1.2 HISTORIA
Los orígenes de la topografía se confunden con los de la astronomía, la
astrología y las matemáticas. Las primeras teorías matemáticas se
desarrollaron a partir del uso práctico de los números que se requería en la
vida de las comunidades antiguas.
Los egipcios, los griegos y los romanos emplearon la topografía y los principios
matemáticos para el establecimiento de linderos de terrenos, trazo de edificios
públicos y para la medición y el cálculo de superficies.
Se cree que en Egipto se hicieron los primeros trabajos topográficos de
acuerdo con referencias y representaciones de hombres realizando
mediciones de terrenos, en dibujos sobre muros, tablillas y papiros.
Posiblemente, a partir de que el hombre se hizo sedentario y comenzó a
cultivar la tierra nació la necesidad de hacer mediciones, pudiéndose decir
que la topografía nace con la sociedad tribal.
Los topógrafos romanos eran conocidos como gromatici por el uso del groma,
aparato empleado para establecer en el terreno dos líneas en ángulo recto
(precursor del tamanuá o escuadra de agrimensor). Empleaban también el
chorobates como instrumento para nivelar, formado por una tabla con una
ranura en el centro que se llenaba con agua. Ver figura 1.1 .
32
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
6
Los medidores egipcios eran llamados estira cables, por trabajar con cuerdas
anudadas.
La relación íntima entre las matemáticas y la topografía la indica el nombre
dado a una de las más antiguasramas de las matemáticas, la geometría,
que se deriva de las palabras griegas que significan mediciones de la tierra.
Las medidas originaron la necesidad de patrones de medida, para lo cual el
hombre empleó las cosas que le eran familiares, particularmente su propio
cuerpo. Por ejemplo, la distancia entre la punta del dedo medio y el codo, fue
denominada codo. Ver figura 1.2.1. La distancia entre la punta del dedo pulgar
y la del dedo meñique con la mano totalmente extendida, se llamó cuarta o
palmo y equivalió a medio codo. Ver figura 1.2.2. El pie fue otra medida
equivalente a tres cuartas partes del codo. La altura del hombre equivalía a
cuatro codos.
Todas estas medidas diferían dependiendo de las distintas tallas de los
individuos. En Egipto se estableció hacia el año 3000 antes de Cristo, el codo
real (codo de algún faraón) como patrón. Se construyó con él un cuadrado
de un codo real de lado y su diagonal llamada doble ramen se estableció
como patrón de medida de longitud para la medición de terrenos.
Varias civilizaciones antiguas como los sumerios, persas y griegos usaban
unidades como el codo, el dedo, la palma, etc. y otras de mayor longitud
como la equivalente a una jornada de camino, el sabat, de aproximadamente
1.281 metros.
Figura 1.1. Chorobates
31
Siendo las dimensiones 2x por x.
Área = 2x2
Por consiguiente:
2x2 = 167.22 mm2
 = 83.61 mm2
y así pues x = 3.14 mm2
de modo que el dibujo mide 8.14 mm x 18.29 mm
Se define el módulo escalar como el inverso de la escala. Si 1/E = ESCALA
El módulo escalar es E y significa el factor por el que hay que multiplicar la
distancia medida en el plano para encontrar la homóloga en el terreno.
Cuestionario:Responder a las siguientes preguntas:
1. Dar tres maneras de expresar la escala de un mapa o plano, señalando
brevemente sus ventajas y desventajas.
2. Un terreno situado entre una vía recta y una cerca tiene un área de 6250
metros cuadrados.
a. El área, medida en un plano viejo cuya escala se ha borrado, da 1000 mm2.
¿Cuál es la escala de ese plano?-
b. La línea principal del levantamiento va a lo largo del borde de la vía. Si las
distancias de los extremos de esta base a la cerca son 36.90 y 25.60 m
respectivamente y en dirección perpendicular a dicha base, calcular la
longitud de ésta.
1. En la modernización de un centro urbano, se va a sustituir un monumento
por otro de concreto. Un modelo del bloque de concreto a escala 1:5 tiene
1 metro de alto por 500 mm ancho por 500 mm de largo. Si el modelo de
concreto pesa 500 Kg, calcular las dimensiones y peso del monumento
verdadero.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
7
Figura 1.2.1. Codo
Figura 1.2.2 Cuarta
Las unidades lineales modernas tuvieron
origen en la yarda y pie británico de 1855, y
la toise francesa en 1766. En 1889 se
adoptaron las normas para el sistema
métrico. En 1960, el metro internacional y
la pulgada norteamericana se definieron
oficialmente en función de longitudes de
onda de la luz emitida por el criptón. A partir
de 1975 se oficializó el sistema métrico en
Estados Unidos, empezando la transición
a este sistema.
En nuestro medio se utiliza el metro como
unidad de longitud, como unidad de
superficie la hectárea que equivale a un
cuadrado de 100 metros de lado (10.000
m�) y la cuadra, con 80 metros de lado
(6.4000 m�). Para superficies grandes el
kilometro cuadrado (Km�) equivalente a
1.000.000 m� y a 100 hectáreas.
El avance de los aparatos de topografía y
sus métodos está ligado con las guerras,
por la necesidad de elaborar planos y
mapas con precisión, lo mismo que definir
alcances de armas y sistemas de puntería.
Hoy se cuenta con aparatos electrónicos de alta calidad y el apoyo de
calculadoras y computadoras que facilitan notablemente el trabajo y su
precisión.
30
1mm (en el plano) = 500 mm (en el terreno)
Por tanto,
1 mm2 (plano) = 500 x 500 mm2 (terreno)
 500 x 500
= m2
 1000 x 1000
= 0.25 m2
Área en el terreno = 2000 m2
Así, área en el plano
 2000
= mm2 = 8000 mm2
 0.25
De otra manera:
área en el plano = área en el terreno x (fracción)2
 1 1
= 2000 x x m2
 500 500
 1000 1000
= 2000 x x m2
 500 500
= 8000 mm2
Ejemplo 7.
Un lote de terreno en forma de rectángulo es dos veces más largo que ancho.
Al hacerse el levantamiento, se encontró que tiene 16.722.54 m2 de área.
Calcular las longitudes de los lados en un dibujo a escala 1:10000.
Solución:
Área en el plano = área en el terreno x (fracción)2
 1
= 16.722,54 x m2
 10002
 16.722,54 x 1000 x 1000 mm2
=
 10000 x 10000
= 167.22 mm2
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
8
Figura 1.3.1 Teodolito Opticomecánico
K&E
Figura 1.3.2 Teodolito Opticomecánico
Kern DKM-1
Figura 1.3.3 Teodolito
Opticomecánico Wild T-16
Figura 1.3.4 Teodolito Electrónico
TOPCON DT-30
UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR
La magnitud de un ángulo puede expresarse en distintas unidades, la mayoría
de las cuales se deriva básicamente de la división de la circunferencia en
varias formas.
Para un levantamiento topográfico deben medirse ángulos y distancias, esta
información se obtiene con un trabajo de campo realizado con instrumentos,
como el teodolito, que permiten efectuar con precisión la medida de ángulos.
Ver figuras 1.3.1 y 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4.
29
Solución:
a. Fracción = 1:2000,
o sea que
1mm (en el plano) = 2000 mm (en el terreno).
Por tanto
1mm2 (plano) = 2000 x 2000 mm2 (terreno).
Área en el plano = 175 x 250 mm2.
Por tanto
Área en el terreno
= 175 x 250 x 200 x 200 mm2
 
2000 2000
= 175 x 250 x x m2
 1000 1000
= 175000m2
b. Mediante la fórmula:
Área en el plano = área en el terreno x (fracción):
Por tanto
Área en el terreno = (175 x 250) x 5002 mm2
 500 500
= 175 x 520 x x m2
 1000 1000
= 10.937,5 m2
Comprobación de la solución:
La escala (a) es cuatro veces menor que la (b); habrá pues dieciséis veces el
área en un plano del mismo tamaño
10.937.5 x 16 = 175.000 m2
Ejemplo 6:
Un terreno tiene 2000 m2 de área según levantamiento hecho. Si se le
representa en un plano a escala 1:500, ¿cuál será el área en el plano en
mm2?.
Solución:
Fracción = 1:500
O sea que
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
9
Figura 1.4 Forma de la Tierra
1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFÍA. FORMA DE LA TIERRA
Las mediciones se llevan a cabo cerca o sobre la superficie. Algunos factores
como la forma y el tamaño de la tierra, afectan las mediciones, los cálculos y
la representación. Esto permite clasificar la medición en dos ciencias básicas
la geodesia y la topografía, de acuerdo con el tamaño de la superficie
considerada.
1.3.1 La geodesia
Considera la forma de la tierra como un geoide, abarca los principios y
procedimientos matemáticos para la determinación precisa de las posiciones
sobre la superficie terrestre y su representación. Ver figura 1.4. Los
puntos,generalmente, están separados por distancias de gran magnitud.
Representa áreas de considerables extensiones, poblaciones, ciudades,
departamentos, países, continentes, etc. Los trabajos geodésicos son de
precisión y sus puntos sirven de apoyo para los trabajos topográficos. Hechos
principalmente por organismos oficiales. Se manejan en el país por el Instituto
Geográfico Agustín Codazzi (IGAC), y las Oficinas de Planeación
Departamental y Municipal.
28
Conversión de áreas por fracciones representativas
Si la fracción que da la escala en un plano es muy grande, 1/4 porejemplo, lo
que significa esta fracción, según se sabe ya, es que una unidad sobre el
plano representa 4 unidades sobre el terreno. Un cuadrado de 1 unidad en el
plano representará pues un área sobre el terreno de (4 unidades x 4 unidades).
De lo que se deduce una fórmula sencilla:
Escala del plano = 1:4
Área en el plano = 1 x 1 unidades cuadradas
Por consiguiente, área en el terreno =
(1 x 4) x (1 x 4) unidades cuadradas
= 1 x (4 x 4) unidades cuadradas
= 1 x 4: unidades cuadradas
o sea que
 área en el terreno
Área en el plano =
 4
o sea que área en el plano = área en el terreno x (fracción de escala)
Ejemplo 4:
La escala de un plano es 1:4. Si un cuadrado del plano mide 3 por 3 unidades,
¿cuál es el área de terreno correspondiente?
Escala del plano = 1:4
Área en el plano = 3 x 3 = 9 unidades cuadradas
Área en el terreno = (3 x 4) x (3 x 4) = 144 unidades cuadradas.
Por la fórmula:
Área en el plano = Área en el terreno x fracción de escala)2
 1
9 = x . unidades cuadradas
 16
Ejemplo 5.
Un área sobre un plano tiene 250 mm x 175 mm. Calcular el área en el
terreno, en metros cuadrados, si la escala es:
a. 1:2000
b. 1:500
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
10
1.3.2 La topografía
Estudia la forma de la tierra teniendo en cuenta la superficie media de la tierra
como plana y se define como topografía plana o simplemente topografía. Las
direcciones se toman matemáticamente rectas, los ángulos como ángulos
planos. La dirección de la plomada se considera la misma (vertical) en todos
los puntos dentro de los límites de un trabajo, con las direcciones paralelas
entre sí. Se diferencian entonces la geodesia y la topografía por los métodos,
procedimientos de medición y cálculos. La topografía trabaja sobre pequeñas
extensiones de superficie y la geodesia sobre grandes áreas.
La representación gráfica de mediciones geodésicas la hace la cartografía,
proyectando sobre un plano la parte o partes del esferoide terrestre. Para la
topografía lo hace el dibujo topográfico que proyecta sobre un plano las medidas
de una superficie considerada también como plano.
El error que se comete en los trabajos planimétricos al considerar la tierra
como plana es mínimo. Si se tiene en cuenta que un arco de la superficie
terrestre de 18 Km de longitud es solamente mayor en 15 mm que la cuerda
subtendida.. La diferencia entre la suma de los ángulos interiores de un
triángulo esférico es 1" con el correspondiente triángulo plano, para una área
de 200 Km�. Ver figura 1.5 .
Figura 1.5. Triángulo esférico y triángulo plano
27
que 1 sun representa 129.600 sun o sea 1 ri; y para nosotros que 1 milímetro
representa 129.600 milímetros o sea 129.6 metros.
Conversión de escalas a fracciones
Ejemplo 1:
Si 1 centímetro sobre un mapa representa 10 metros en el terreno, la fracción
será:
unidades en el mapa 1 centímetro
 = = 1:1000
unidades en el terreno 10 x 100 centímetros
Ejemplo 2:
Si la fracción que indica la escala en un mapa es 1:120, ¿cuántas unidades
en el terreno representan 2 unidades del mapa?
Escala = fracción = 1:120
2 unidades de mapa 1
 =
x unidades de mapa 120
unidades de mapa = 2 unidades de mapa
> 120
x unidades de mapa = 240 unidades de mapa
Ejemplo 3:
Si la fracción que indica la escala es 1:1200, ¿qué distancia hay entre dos
puntos del mapa que en el terreno distan entre sí 360 metros?.
El problema se puede resolver mediante el siguiente razonamiento:
Fracción = 1:1200, o sea que si 1 m sobre el mapa es igual a 1200 m sobre el
terreno, entonces x m sobre el mapa son 360 m sobre el terreno, o bien
 1 x
 = metros
 1200 360
 360
y por tanto x = metros
 1200
= 0.3 metros
= 300 mm
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
11
Figura 1.6. Efecto de la curvatura en altimetría
En la altimetría, solo en distancias pequeñas se puede prescindir de la
curvatura. En una distancia de un kilómetro la superficie de nivel está 14 cm
por debajo de la tangente. Ver figura 1.6 .
1.4 DIVISIÓN BÁSICA DE LA TOPOGRAFÍA
1.4.1 Planimetría.
Solo tiene en cuenta la proyección del terreno sobre un plano horizontal.
Representa los accidentes de un terreno sobre un plano en proyección
horizontal. Esta proyección se denomina base productiva. Figura 1.7 .
1.4.2 Altimetría.
Considera la elevación (altura) a que se encuentran los puntos respecto a
una superficie horizontal de referencia (Datum) y la distancia vertical entre
ellos. Proyecta los puntos sobre el plano vertical. Figura 1.8 .
1.4.3 Planimetría y altimetría.
Tienen en cuenta la posición del punto sobre el plano horizontal y además su
altura. Sus métodos de trabajo y representación combinan los sistemas de
la planimetría y la altimetría. Figura 1.9 .
26
Figura 1.22. Escala plena
1. En palabras sencillamente, como “1 centímetro representa 1 metro”.Lo
que, de acuerdo con la definición de escala, simplemente significa que un
centímetro en el plano representa 1 metro en el terreno.
2. Por una escala dibujada
Se traza un segmento de recta en el plano y se le divide en intervalos
adecuados de manera que con él se puedan obtener fácilmente las
distancias sobre el mapa. Si se emplea una escala en la que 1 centímetro
representa 1 metro, se tendría dibujada la siguiente escala.
La figura 1.21 es un ejemplo de escala dividida abierta en la cual se muestran
a la derecha del cero las divisiones primarias (1.0 metro). El cero está a una
unidad contando desde la izquierda de la escala, y esta unidad se subdivide
en divisiones secundarias.
Figura 1.21. Escala divida abierta
Otro método de dar una escala dibujada es rellenar las divisiones, con lo que
se tiene una escala plena, un ejemplo de la cual se ve en la figura 1.22.
3. Mediante una fracción representativa
En este método de dar la escala, se emplea una fracción en la que el
numerador representa el número de unidades sobre el mapa (siempre una)
y el denominador representa el número de iguales unidades sobre el terreno.
En una escala en la que 1 centímetro representa 1 metro, la fracción que
representa la escala será 1/100, o bien 1:100 como a veces se indica, pues
hay 100 centímetros en 1 metro.
Una fracción representativa es la manera internacional para indicar la escala.
Así, toda persona que examine un mapa entenderá al ver la fracción
representativa de la escala que ésta indica las unidades a que está
acostumbrada. Una escala de 1:29.600 querrá decir para un norteamericano
que 1 pulgada representa 129.600 pulgadas o sea 2 millas; para un japonés,
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
12
Figura 1.7. Base productiva
Figura 1.8. Datum
25
Solución:
El ángulo mayor será el ACB, opuesto al lado mayor.
Por la regla del coseno
 a2 + b2 - c2
Cos C =
 2ab
 2052 + 1102 - 2102
 =
 2 x 205 x 110
Ángulo C = 77º09´
1.5.4 Escalas
Lo más corriente es que el propósito de un levantamiento sea hacer algún
tipo de plano o mapa. El tipo de plano que resulte depende en gran parte de
la escala a la cual se trace.
La escala de un mapa es la relación entre una distancia sobre el mapa y la
misma distancia sobre el terreno. Si en un plano 10 milímetros representan
una distancia en la tierra de 10 kilómetros, la escala sería muy pequeña y
aparecerían pocos detalles, como ocurre en una página de un atlas. Pero si
los mismos 10 milímetros representaran solamente una distancia de 1 metro
sobre la tierra, laescala sería grande y se podrían apreciar aun los detalles
pequeños.
La escala de un mapa depende del objetivo para el cual se va a utilizar. Si se
va de paseo en automóvil un día de fiesta, es deseable poder manejar con
facilidad el mapa dentro del automóvil y tener al mismo tiempo una buena
distancia representada en el mismo. Un mapa de 1 metro cuadrado puede
representar 200 kilómetros cuadrados, con lo que se tendría una escala
bastante pequeña pero suficientemente grande para que el conductor pueda
hallar su camino por la región. Pero un arquitecto al hacer el plano de una
casa tiene que dibujar detalles de puertas, ventanas, etc.; así que una ventana
de 1 metro de ancha muy bien puede estar representada en el plano con un
ancho de 10 milímetros.
Métodos de dar la escala:
La escala de un mapa o de un plano se puede dar de tres maneras:
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
13
Figura 1.9. Altimetría y planimetría
La topografía es una aplicación de la geometría, dentro de la cual se tiene una
correspondencia entre los elementos geométricos y su materialización sobre
el terreno. En el trabajo se trata siempre de conseguir figuras geométricas.
Por eso un lindero se asimila a una sucesión de tramos rectos (polígono
cerrado) con tantos vértices como cambios de dirección tenga. El eje de una
vía a una sucesión de tramos rectos y curvas. Cuando la figura geométrica
asignada se aproxime a las características del terreno, la medida encontrada
será representativa.
Los métodos empleados en topografía son estrictamente geométricos y
trigonométricos. Se determinan líneas y ángulos para formar figuras
geométricas.
24
Figura 1.19. Esquema ejemplo 3.
Figura 1.20. Esquema ejemplo 4.
Ejemplo 3.
Se ha hecho el levantamiento de un terreno triangular midiendo la distancia
AB = 231 m y la altura 164.0 m. Calcular el área del terreno en hectáreas. Ver
figura 1.19.
Solución:
Área de ABC:
= 1/2 base x altura
= 115.5 x 164 m2
= 18942 m2
= 1.894 hectáreas
Ejemplo 4.
Los lados de un terrenos triangular son:
AB = 210 m
AC = 110 m
BC = 205 m
Calcular el mayor ángulo del triángulo. Ver Figura 1.20
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
14
1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFÍA
¿Qué se entiende exactamente por topografía en el trabajo de ingeniería?
Tal vez sea más fácil responder a esta pregunta si se examinan las tareas de
un topógrafo. Entre otras cosas, se le llama para medir alturas y distancias;
para localizar sobre el terreno edificaciones, alcantarillados, desagües o
carreteras; para que mida áreas y volúmenes de figuras regulares o irregulares:
y para elaborar dibujos detallados.
En estas operaciones se comprenden el empleo de matemáticas prácticas,
la utilización, manejo y conocimiento de diversos tipos de instrumentos, el
cálculo de las observaciones, y, por último, la presentación del trabajo en
forma de planos.
Para manejar la topografía, el ingeniero necesita conocer principios básicos
de aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, tener una regular habilidad
para dibujar y hacer gráficos. Debe conocer el lenguaje del terreno, del
topógrafo, y de la forma como éste hace su trabajo de campo, sus cálculos
y planos saber por qué y para que se contracta un trabajo; cual es la persona
(topógrafo) más capacitada para hacerlo, el equipo a emplear y los
requerimientos de calidad, con el fin de lograr los objetivos propuestos;
controlar y dar el visto bueno a los datos, cálculos y planos.
Debe garantizar finalmente que el trabajo cumpla sus expectativas, se haga
durante el tiempo convenido y a costos razonables. Es legalmente responsable
de los errores que se generen a partir de él.
El topógrafo tiene que ser pues un matemático práctico versado en geometría
y trigonometría, y ha de tener una regular habilidad para dibujar y pintar.
Por lo dicho en los párrafos anteriores, bien podría decirse que la topografía
es, en su forma
más simple, el arte de medir sobre la superficie terrestre y de representarla
en el papel a una escala adecuada.
Todas las mediciones físicas y su representación a escala se hacen ahora en
el sistema métrico decimal en la mayoría de los países del mundo, y acaso
sea conveniente empezar un estudio de topografía revisando ante todo las
unidades de medida más usadas.
23
Figura 1.18. Esquema ejemplo 2
Solución:
En el triángulo:
 AC AB
ABC = (Regla del seno)
 Sen 83º Sen 32º
 AB Sen 83º
AC =
 Sen 32º
En el triángulo:
 CE AC
ACE = (Regla del seno)
 Sen 57º Sen 62º
 AC Sen 57º
CE =
 Sen 62º
En el triángulo:
 DE CE
DEC = (Regla del seno)
 Sen 49º Sen 63º
 Sen 49º Sen 57º Sen 83º x 150.200
DE =
 Sen 63º Sen 62º Sen 32º
= 226.36 m
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
15
1.5.1 El sistema métrico decimal de medidas.
Este sistema métrico fue implantado oficialmente en Francia el 22 de junio de
1799. La unidad fundamental de medida es el metro, y en la época de su
adopción, se grabaron dos marcas en una barra de platino distantes entre sí
1/10.000.000 de la longitud del cuadrante de.
la Tierra, es decir, de la distancia del Ecuador al polo norte medida sobre el
meridiano de París.
En 1872, en una reunión de las naciones interesadas en Paris, se dispuso
que la barra se haría con el 90 por ciento de platino y el 10 por ciento de iridio,
y así se le conserva hasta hoy en Sevres, Francia.
En 1960, sin embargo, se definió finalmente el metro como 1650763.73
longitudes de onda en el vacio de la radiación naranja (2P
10
 - 5d
3
) de un
átomo de kriptón de masa 86.
El sistema métrico mismo ha sido normatizado recientemente, y el “Systeme
Internationale” (SI) establece las unidades fundamentales y derivadas que
se han aprobado internacionalmente. Las unidades siguientes son las más
importantes para la topografía:
Tabla 1.1. Unidades de medida mas comunes en SI
Magnitud Unidad Símbolo
longitud metro m
área metro cuadrado m2
volumen metro cúbico m3
masa Kilogramo kg
capacidad litro l
Tomando como unidad fundamental cualquiera de las magnitudes
enumeradas, se deriva una tabla de múltiplos y submúltiplos anteponiendo
un prefijo a la unidad fundamental como se muestra en la tabla 1.1.
En la tabla 1.1 se observa que sólo se recomiendan tres unidades para uso
general. Lo mismo ocurre para otras magnitudes también, y en la tabla 1.2 se
da una selección breve de las unidades incluidas en el sistema SI que ahora
son de empleo corriente (Ver tabla 1.2).
22
Figura 1.17. Plano ejemplo 1.
Ejemplo 1.
Representar la información siguiente a escala de 1:2500 (1 unidad de longitud
interpapel representa 2.500 unidades de longitud) los datos referidos permiten
identificar los puntos.
a. Mediciones de longitudes AB 273.2 m
AC 200.0 m
CB 244.9 m
b. Mediciones de longitudes AB 273.2 m
Mediciones de ángulos BAC 60º
CBA 45º
c. Mediciones de longitudes AC 200.0 m
AB 273.2 m
 Mediciones de ángulos BAC 60º
 d. Mediciones de longitudes AOB 273.2 m
 Medic. al punto de desvió AO 100.0 m
Medición del desvío OC 173.2 m
Solución:
Los puntos se han representado a escala en el dibujo adjunto, y todas las
medidas se refieren a los mismos puntos. Ver figura 1.17.
Es muy importante que el topógrafo ingeniero tenga un conocimiento firme de
las matemáticas fundamentales. Los siguientes ejemplos sirven para indicar
casos en que se emplean los cuatro principios básicos mencionados
(trilateración, rectas triangulación y coordenadas polares).
Ejemplo 2.
En un esquema de triangulación sencillo se han reunido varios triángulos
para dar la figura quesigue. Ver figura 1.18. La base AB se ha medido con
cinta métrica y los ángulos de los distintos triángulos mediante un teodolito.
Lo buscado es la distancia DE a través del río.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
16
Tabla 1.2. Múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida mas comunes en SI
Prefijo Factor Unidad derivada Unidad SI recomendada
kilo 1000 kilómetro Kilómetro (km)
hecto 100 hectómetro
deca 10 decámetro
metro metro (m)
deci 0.1 decímetro
centi 0.01 centímetro
mili 0.001 milímetro Milímetro (mm)
Por último, es necesario ver exactamente cómo se relacionan entre sí el peso,
el volumen y la capacidad. La tabla 1.3 muestra la relación fundamental de la
cual se pueden deducir otras.
Tabla 1.3. Relación entre unidades de medida
Magnitud Unidad SI recomendada Otras unidades
Longitud Kilómetro(km) centímetro (cm)
metro (m)
milímetro (mm)
área metro cuadrado (m2) centímetro
cuadrado(cm2)
milímetro cuadrado(mm2) hectárea
(100mx100m)(ha)
volumen metro cúbico (m3) decímetro (dm3)
milímetro cúbico (mm3) centímetro cúbico
(cm3)
masa kilogramo (kg)
gramo (g)
miligramo (mg)
capacidad metro cúbico (m3) litro (l)
milímetro cúbico (mm3) mililitro (ml)
Volumen Peso Capacidad
1 metro cúbico 1000 kilogramos 1000 litros
1decímetro cúbico 1 kilogramo 1 litro
1centímetro cúbico 1 gramo 1 mililitro
21
Figura 1.15. Triangulación: medida de lados y ángulos
Figura 1.16. Coordenadas polares
KMediante mediciones de longitudes y de ángulos:
a. Triangulación. Midiendo las distancias XY y los ángulos YXZ y ZYX con
algún instrumento para medir ángulos, es posible representar los puntos
de diversas maneras. Basta representar XY a escala y trazar valiéndose
del trasportador los ángulos medidos; o bien se pueden calcular las
longitudes XZ y YZ y trazarlas por trilateración. Ambos métodos dan una
representación muy precisa a escala. Ver figura 1.15.
b. Coordenadas polares. Si se miden las distancias XY y XZ como antes, y
además se mide un ángulo, como el YXZ por ejemplo, el levantamiento se
puede representar con escala y trasportador como en la triangulación
anterior. Cuando se miden dos distancias y el ángulo que forman, el método
de topografía se llama levantamiento poligonal. Ver figura 1.16.
Todos los principios anteriores se utilizan en levantamientos para la
construcción en una u otra forma y aun en la topografía de un emplazamiento
para edificaciones relativamente pequeñas se pueden combinar los cuatro
métodos.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
17
Sen A =
a
b
Cos A =
c
b
Tan A =
a
c
Co sec A = =
b
a Sen A
1
Sec A = =
b
c Cos A
1
Co tan A = =
c
a Tan A
1
1
3
5
2
4
6
Figura 1.10. Triángulo rectángulo
1.5.2 Matemáticas para la topografía:
Se ha dicho ya que para ejecutar y entender el trabajo de la topografía se
necesitan matemáticas prácticas . La rama de la matemática en la cual debe
tener mejores conocimientos es la trigonometría.
Se dan las fórmulas que siguen debido a su utilidad general en situaciones
usuales, pero sin de demostrarlas: para ello, o en el caso de que se necesiten
otras fórmulas, deberá consultarse un buen texto.
Relaciones trigonométricas fundamentales:
En la figura 1.10, el ángulo B es recto. Los lados a, b y c son opuestos a los
ángulos A, B y C respectivamente.
Tabla 1.4. Relaciones trigonométricas fundamentales
20
Figura 1.13. Trilateración: medida de lados.
Figura 1.14. Rectas perpendiculares
Pero el topógrafo dedicado a la construcción, tiene que ver con áreas
relativamente pequeñas, que se pueden tratar como si estuvieran en un plano
horizontal sin mayor error.
Si se imaginan tres puntos X, Y, Z situados en el mismo plano, sus posiciones
relativas se pueden determinar de diferentes maneras.
KValiéndose solamente de longitudes:
a. Trilateración. La palabra significa “medición de tres lados” y aplicando
eneste caso dicho principio, se miden las longitudes XY, YZ y XZ. Si se
traza XY sobre el papel a una escala dada, y se
b. describen arcos de radios YZ y XZ, éstos se cortarán en el punto Z. Ver
figura 1.13.
c. Rectas perpendiculares. Si se miden los segmentos XO y OY sobre la
recta XY, y la recta OZ es perpendicular a la anterior, entonces se puede
determinar el punto Z con respecto a XY. Ver figura 1.14.
Cuaderno de Topografía - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
18
Figura 1.11. Triángulo acutángulo
Figura 1.12. Triángulo obtusángulo
En la figura 1.11 todos los ángulos son agudos, y en la figura 1.12 el ángulo A
es obtuso.
Para ambos triángulos son válidas las fórmulas siguientes:
7. Regla del Seno
 a b c
 = = = 2R
Sen A Sen B Sen C
(Siendo R el radio del círculo circunscrito).
19
8. Regla del Coseno
a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos A
Nota: si A es obtuso, Cos A = -Cos (180-A)
9. Fórmula del área
Área del triángulo ABC = � ab Sen C
10. Fórmula de la tangente del semitriángulo
 A - B a - b C
Tan = Cot
 2 a + b 2
Las fórmulas en función del semiperímetro “s”.
11. Área del triángulo ABC= r s(s-a)(s-b)(s-c)
 
A s - a
Cos = r s*
 
2 bc
 (a + b + c)
s =
 2
Otras fórmulas trigonométricas y los teoremas de geometría que sean
necesarios aparecerán en su debido lugar.
1.5.3 Principios fundamentales de topografía:
Los levantamientos topográficos se representan a escala en el papel. Tales
papeles se llaman planos.
Como en la superficie plana de un trozo de papel solo se puede representar
con fidelidad el plano horizontal, y como la superficie de la Tierra es curva,
resulta que no se puede representar exactamente en un mapa, si no es
recurriendo a cierta clase especial de topografía que se llama geodesia.
La geodesia se emplea cuando se trata de representar con precisión grandes
extensiones de tierra, como todo un país por ejemplo. Los institutos catastrales
construyen mapas a diversas escalas utilizando técnicas geodésicas, con lo
cual se obtienen los mapas de la mejor calidad posible.
	1. GENERALIDADES 
	
	1.1 DEFINICIÓN 5
	1.2 HISTORIA 
	UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR 
	
	
	1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFÍA. FORMA DE LA TIERRA 
	
	1.3.1 La geodesia 
	
	1.3.2 La topografía 
	1.4 DIVISIÓN BÁSICA DE LA TOPOGRAFÍA 
	1.4.1 Planimetría. 
	1.4.2 Altimetría. 
	1.4.3 Planimetría y altimetría. 
	1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFÍA 
	1.5.1 El sistema métrico decimal de medidas. 
	
	1.5.2 Matemáticas para la topografía: 
	1.5.3 Principios fundamentales de topografía: 
	1.5.4 Escalas