10 Metodo Bayesiano

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Método Bayesiano
Definición del Proceso de decisión bayesiano:
	Es una metadecisión cuyo objetivo es determinar cual es el importe máximo que el decisor está dispuesto a pagar para obtener información adicional con el objetivo de rectificar o ratificar su evaluación subjetiva que ha realizado de sus probabilidades iniciales (a priori).
Se utiliza para dar mayor información que ayude a reducir la incertidumbre, en sistemas cerrados de información.
A través del teorema de Bayes correlacionamos dos variables para conocer probabilidades de hechos que nos ayuden a reducir o mitigar ese nivel de incertidumbre (entropía).
FCE - UBA, Teoría de la Decisión, Cátedra Prof. Avenburg
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Método Bayesiano
Deben existir dos variables con cierto grado de interdependencia.
Una de esas variables va a ser (N) la que tiene que ver con nuestra matriz de decisión en estados inciertos Nj y con probabilidad P(Nj).
La otra va a ser la variable asociada a N es Z, con sus estados de ocurrencia Zj y con probabilidad P(Zj). En la medida que esten asociadas a la variable N nos va a servir como predictora de los estados N y los distintos estados de Z podemos usarlos como mensajes. 
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Método Bayesiano
El método bayesiano implica evaluar subjetivamente las probabilidades a priori(se denominan así ya que se evalúan antes de recurrir al método). De existir una variable asociada Z, entonces esta puede hacer modificar la evaluación de las P(Nj), debido a la dependencia o interdependencia que existe.
Existe la posibilidad de establecer una probabilidad que vincule, estos mensajes Zj con los estados Nj , que se llama Verosimilitud.
Finalmente y mediante el método bayesiano, se utiliza esa evaluación subjetiva a priori, los mensajes y su verosimilitud para obtener las P(Nj) rectificadas que llamaremos , Probabilidades a Posteriori. 
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Método Bayesiano
Lo que el Análisis Bayesiano aporta es la justificación económica previa de la obtención de la información adicional, a fin de juzgar si vale la pena o no efectuar la compra de la información adicional.
Con todos los elementos se utiliza el teorema de bayes que correlaciona las variables:
			P (N/Z)= P (Z/N). P (N)
				P(Z)
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	La interdependencia de estas variables (N y Z), permite observar comportamientos de cierta simetría entre ambas variables. Un mensaje Z preanuncia(con certeza o no) la aparición de un estado N. 
Si llueve es altamente probable que haya habido nubes.
	Esa simetría nos permite leer y confundirnos con facilidad entre la verosimilitud, P(Z/N) y las probabilidades a posteriori, P(N/Z). 
No es lo mismo que el 80% de quienes tienen cáncer de pulmón son fumadores, que el 80% de los fumadores poseen la enfermedad.
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Ejemplo:
1000 casos estudiados
					Nubes 650 Z1
Llovió 800 veces	N1		Sin Nubes 150	 Z2
No llovió 200 veces N2		Nubes 50	 Z1
					Sin Nubes 150	 Z2
Verosimilitud – P (z/n)	
		
	
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		N1	N2
	Z1	0.8125	0.25
	Z2	0.1875	0.75
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Ejemplo:
			Matriz Inicial
	
							V.E. a priori	
El objetivo del ejercicio es vincular los mensajes con los estados y mediante el uso del teorema de Bayes, mejorar las probabilidades en promedio con el objetivo de mejorar el valor esperado. 
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P (N/Z)= P (Z/N). P (N)
		P(Z)
		N1 0.8	N2 0.2	VE
	S1	100	0	80
	S2	70	70	70
Método Bayesiano
	Z	N	P (N)	P(Z/N)	P (Z y N)	P (N/Z)
	Z1	N1	0.8	0.8125	0.65	0.929
		N2	0.2	0.25	0.05	0.071
				P (Z1)=	0.7	
	Z2	N1	0.8	0.1875	0.15	0.500
		N2	0.2	0.75	0.15	0.500
				P (Z2)=	0.3	
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Estas son las probabilidades a posteriori.
 Son las probabilidades del evento N, luego 
que el informante me diga el mensaje. 
Estos son las probabilidades
que de acuerdo a su historial
me diga cada uno de los mensajes
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Elegida
	
	Z1	N1/Z1 0.929	N2/Z1 0.071	VE
	S1	100	0	92.9
	S2	70	70	70
	Z2	N1/Z2
 0.5	N2/Z2
 0.5	VE
	S1	100	0	50
	S2	70	70	70
		Z1
0.7	Z2 
0.3	VE 
	Comprar Información	92.86	70	86
	No Comprar	80	80	80
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Elegida
Elegida
V.E. a posteriori
V.E. a priori
Valor de información
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Conclusiones:
Si el valor de la información es mayor al costo de la información debería comprar por la información adicional.
Este método sirve cuando estamos en universos cerrados. 
Correlación de la variables, deben ser dependientes o interdependientes, se ve claramente en una matriz conjunta cuando son variables independientes.
Información perfecta es cuando cada mensaje se correlaciona 100% con un estado, esto va a determinar que la verosimilitud tiene entropía cero y por ende, las probabilidades a posteriori también.
Siempre que haya algún tipo de correlación entre las variables, habrá reducción de la incertidumbre promedio.
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Conclusiones:
Si mediante el análisis nunca cambio la elección de la alternativa elegida a priori, entonces la información no tendrá valor.
La información perfecta siempre tendrá valor y este será el máximo posible. 
El valor de la información es el importe máximo que estaré dispuesto a pagar por la información. 
Si uno parte de la creencia que está en certeza, no hay mensaje posible que haga cambiar su visión.
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			Entropía
No solo hay que tener en cuenta el valor de la información sino que también hay que tener en cuenta cuanto se reduce la entropía. 
Se compara la entropía a priori, tomando en cuenta las probabilidades de la matriz inicial, y se lo compara con las probabilidades a posteriori, cada una de ellas ponderadas por la probabilidades de cada mensaje.
Siempre se reduce la entropía promedio o a los sumo se mantiene igual. VER CASO.
Siempre ( o casi siempre) que la información tenga valor se va a reducir la incertidumbre, o sea la entropía promedio del sistema.
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Distintos tipos de matrices de verosimilitud
Verosimilitud Saturada	
Tiene mas mensajes que estados.
Verosimilitud Diluida
Se da cuando tiene mas estados que mensajes
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		N1	N2
	Z1	0.8	0.2
	Z2	0.1	0.3
	Z3	0.1	0.5
		N1	N2	N3
	Z1	0.8	0.1	0.6
	Z2	0.2	0.9	0.4
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El accidente del taxi
En una ciudad, un taxi atropella de noche a una persona y huye dejándola abandonada. En dicha ciudad hay solo dos compañías de taxis: la verde que tiene el 85% de los taxis y la azul que tiene el 15% restante.
Un peatón se ofrece como testigo y asegura que el taxi era Azul. Se lo somete a pruebas para verificar su capacidad de observación y se establece que logra acertar el color el 80% de las veces y se equivoca el 20% restante. La policía sostiene que era Azul considerando que el testigo tiene el 80% de probabilidad de estar acertado.
Ahora bien, aplicando el método bayesiano, podemos calcular que la probabilidad a posteriori que el auto sea Azul es del 41% (hacer los cálculos). La dificultad de verlo es que la pregunta a contestar es al revés que la que brinda la verosimilitud. 
El testigo había visto un taxi Azul, que son el 15% de los autos, así y todo la probabilidad que sea azul paso del 15% al 41%. Si el testigo hubiese visto un taxi verde cambiaba la historia ya que la probabilidad a posteriori de que el taxi sea verde si el testigo hubiese visto un taxi verde es del 96%.
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Bibliografía
Estructuras bayesianas y teoría de la Información. Pavesi, Pedro. 
Decisión Bayesiana. Valor de la información Adicional y medición de su cantidad. Pavesi, Pedro.
Economía de la Información.Bertoletti, Mario.
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