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MBA SE Edición 2007-2008 
 Código. 84.009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO IV 
“FINANZAS CORPORATIVAS Y CONTROL 
DE GESTIÓN” 
 
 
“MATEMÁTICAS FINANCIERAS” 
 
 
 
 GLORIA MONTES 
EDICIÓN 2007/2008 
ENERO /2008 
 MBA DE POSTGRADO 07-08 
 
 
PROFESOR: 
 
D.ª GLORIA MONTES GAYTÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ingeniero Industrial por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros 
Industriales de Madrid (1982), MBA por el Instituto de Estudios 
Financieros (1990) 
 
 Diplomada en Mantenimiento de Equipos Industriales por la Escuela de 
Organización Industrial (EOI) (1986) 
 
EXPERIENCIA PROFESIONAL: 
 
A lo largo de los últimos quince años, ha desarrollado e impartido cursos 
y seminarios en el área de Dirección Económico Financiera para las 
empresas: Endesa, Repsol, Mondragón Corporación Cooperativa, Alcatel, 
Tabacalera, Grupo INI, Telyco, Industria de Turbo Propulsores (ITP), 
SEPI, Dragados y Construcciones, CEPSA, Gas Natural, Agencia EFE; 
Gestión de Riesgos para las entidades financieras: Caja Madrid, CAIXA, 
BBV, BCH, Caja Laboral, Caja Murcia, Caja de Ahorros de la Inmaculada, 
Caja de Ahorros del Mediterráneo. Es, al mismo tiempo, colaboradora 
habitual en los programas Master de: ESIC (Dirección Financiera), 
ICADE, IADE, EUROFORUM, Escuela de Economía de Madrid, 
Organización Industrial (EOI), Escuela de Negocios de Jerez, Instituto de 
Directivos. 
 
 
 
MATERIA: 
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEPTOS BÁSICOS 
DE 
MATEMÁTICA 
FINANCIERA 
 
 
Autora: Gloria Montes Gaytón 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
1.- Definición de operación financiera 
 
1.1.-Definiciones Básicas 
 
Las Matemáticas Financieras se refieren al cálculo de los factores que conforman el 
Mercado Financiero. La existencia de un Mercado viene dada por la presencia de un “bien 
escaso”: esto es, el Capital, uno de los recursos básicos de la actividad económica. 
 
Bien es cierto que el Mercado Financiero no se refiere al Capital “per se” sino que incorpora 
una dimensión fundamental: el tiempo. En realidad lo importante del Capital, del dinero es 
que este se pueda mover en el tiempo y que podamos hallar su valor en distintos momentos. 
 
Se define el capital Financiero como la medida de cualquier activo real o financiero 
expresado por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad. 
 
De este modo podemos definir operación financiera como toda acción por la que se produce 
un intercambio de capitales de vencimientos no simultáneos. Los elementos que intervienen 
en una operación financiera son: 
 
 Principal: al conjunto de capitales que se compromete a entregar la persona que inicia 
la operación. 
 Contraprestación: compromiso total que adquiere la persona que inicia la operación en 
calidad de deudor. 
 Origen de la operación: momento de tiempo en que vence el primer capital. 
 Final de la operación: se corresponde con el vencimiento del último de los capitales 
que se intercambian. 
 Duración de la operación: es el tiempo que media entre el origen y el final de la 
operación. 
 
Toda operación financiera lleva implícita la existencia de una equivalencia entre el valor 
financiero de los intercambios, respecto de un punto de referencia. 
 
La clasificación utilizada para el estudio de las operaciones financieras deriva de la ley 
financiera que se utilice para la valoración de los capitales: 
 
a) Operaciones financieras simples. 
b) Operaciones financieras compuestas. 
 
1.2.-Operaciones financieras simples 
 
En estas operaciones se utilizan leyes financieras simples. Son leyes financieras sumativas 
en las que los intereses que se generan a lo largo de un período dado, no se agregan al 
Capital para el cálculo de los intereses del siguiente periodo. 
 
Las operaciones que utilizan este tipo de leyes financieras son: 
 
 Capitalización simple 
 Descuento simple 
 Descuento comercial 
 
 2
1.3.-Operaciones financieras compuestas 
 
Son operaciones que utilizan leyes financieras compuestas, es decir acumulativas, en las que 
los intereses se incorporan al principal para el cálculo de los intereses del periodo 
siguiente. 
 
Las operaciones que utilizan este tipo de leyes financieras son: 
 
 Constitución de capitales 
 Amortización o préstamo de capitales 
 
La característica fundamental de la capitalización simple es: Los intereses que se generan a 
lo largo de un período de tiempo dado no se agregan al Capital para el cálculo de los 
intereses del siguiente periodo. Una consecuencia elemental es que los intereses generados 
en cada uno de los periodos iguales son también iguales. En definitiva, la Ley de 
Capitalización Simple no es Acumulativa. 
 
Los intereses son los rendimientos que produce un capital. Estos serán proporcionales al 
volumen del capital, a la duración o vencimiento de la inversión y al tipo de interés. 
 
La capitalización simple se utiliza para operaciones con vencimientos cercanos o de “corto 
plazo”. Los elementos en que se fundamenta: 
 
C0: es el Capital inicial 
n: es el número de períodos que dura la operación. 
i: es el tipo de interés anual, el rendimiento que se obtiene por cada unidad 
monetaria invertida en un periodo, generalmente un año. 
I: es interés total, la suma de los intereses de cada año o de cada período. 
Cn : es el capital final. La suma del capital inicial más los intereses. 
 
 
2.-Operaciones financieras simples: capitalización simple 
 
2.1.-Cálculo de los intereses 
 
I = I1 + I2 + I3 + … + In
 
En régimen de capitalización simple el interés total es la suma de los intereses de cada 
periodo y estos se calculan de la siguiente manera: 
 
I1 = Co * i para el primer periodo 
I2 = Co·* i para el segundo periodo 
I3 = Co·* i para el tercer periodo 
……………………………………………………………………… 
In = Co·* i para el n periodo 
 
 
Por lo tanto I = Co·* i + Co·* i + Co·* i + … + Co·* i = Co·* i·* n 
 
 3
Conociendo los valores de Cn y Co, se puede determinar la cuantía de los intereses totales, 
despejando de la fórmula Cn = Co + I, de tal forma que los intereses totales serían igual a: 
 
I = Cn - Co
 
2.2.-Cálculo del capital final 
 
El capital final es la suma del capital inicial más los intereses correspondientes a cada uno 
de los períodos, todos ellos iguales entre sí, al final de un periodo de tiempo n. 
 
Cn = Co + I 
 
Dado que el valor del interés total I = Co·* i·* n, sustituyendo se obtiene: 
 
Cn = Co + Co·* i·* n = Co (1+i *·n) 
 
A través de estas dos sencillas fórmulas el resto de los conceptos relacionados con la 
capitalización simple son fácilmente accesibles. 
 
2.3.-Cálculo del capital inicial 
 
A partir de la fórmula del capital final: 
 
Cn = Co ( 1 + i·* n ) se despeja Co 
 
Co = Cn / (1 + i *n) 
 
y a partir de la fórmula del interés total I = Co *i*n , se obtiene: 
 
Co = I / i * n 
 
2.4.-Cálculo del tipo de interés 
 
Despejando "i" a partir de la fórmula del Capital final Cn = Co (1 + i *·n), se tiene que: 
 
i = (Cn - Co) / Co·n 
 
A partir de la fórmula del Interés total I = Co * i * n, se obtiene que 
 
i = I / Co·* n 
 
2.5.-Cálculo de la duración de la operación 
 
A partir de la expresión del capital final: 
 
Cn = Co ( 1 + i·* n ), despejando n se tiene que: 
n = Cn - Co / Co·* i 
 
En la fórmula del interés total I = Co *·i * n, despejando n, se obtiene la siguiente 
expresión: 
 4
n = I / Co i 
 
 
3.- Descuento Simple y Descuento Comercial 
 
Matemáticamente, se trata de la operación inversa a la capitalización simple. El interés 
anticipado, o de descuento, es una operación financiera consistente en la sustitución de un 
capital futuro por otro con vencimiento presente. 
 
El tipo de interés (en la capitalización) y el tipo de interés anticipado (en el descuento) no 
son iguales. Responden al mismo principio financiero (valoración de capitales en el tiempo) 
pero difieren en cuanto almomento del tiempo en que se hacen líquidos: uno está al final y 
otro al principio del periodo. 
 
Con un tipo de interés del 10% no es lo mismo recibir 0,1 € por cada euro invertido al 
principio que al final del periodo de que se trate. 
 
Sea ia el tipo de interés unitario anticipado para un capital prestado de 10 euros; la 
cantidad recibida por el prestatario será 10 - ia, y devolverá el valor del capital prestado al 
final de un año de 10 euros. 
 
Denominemos de forma genérica Cn al capital prestado, que es el nominal del préstamo, ya 
que es la cuantía que se devuelve al final del periodo de tiempo pactado n, y C0 a la cantidad 
recibida por el prestatario en el momento de concertar la operación, es decir, el efectivo 
del préstamo que se recibe. 
 
C0 (efectivo del préstamo) será la diferencia entre el valor nominal del préstamo y sus 
intereses. 
 
C0 = Cn - Cn * ia * n 
C0 = Cn ( 1 - ia * n ) 
 
 
Para obtener la relación entre el tipo de interés i (pospagable, rentabilidad), y el tipo de 
interés de descuento o anticipado ia, se sustituye el valor de C0 en la fórmula de 
Capitalización simple. 
Cn = C0 (1 + i * n) operando 
 5
Cn = Cn ( 1 + ia n) ( 1 + i n ) 
 
despejando i: i = ia /(1 - ia.n) 
despejando ia: ia = i /(1 + i * n) 
 
Ejemplo 
 
Para calcular el efectivo que habrá que pagar por la compra de un pagaré de 10.000 € de 
valor nominal con vencimiento dentro de un año, si el tipo de interés de descuento es del 
3,5% haremos lo siguiente: 
 
C0 = Cn ( 1 - ia * n ) 
 
C0 =10.000 (1 – 3,5% * 1) = 9.650 euros 
 
Ejemplo 
 
En el caso de que el vencimiento del pagaré del ejemplo anterior fuera a los 210 días el 
efectivo sería el siguiente: 
 
C0 = 10.000 (1 – (3,5% * 210/365)) = 9.800 € 
 
3.1.-Descuento Simple 
 
En el punto anterior se ha visto que, matemáticamente, el descuento simple es la operación 
inversa a la de capitalización simple. Esto es, aquella operación financiera consistente en la 
sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente. 
 
En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de 
anticipar los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos acudiendo a los 
intermediarios financieros. Los intermediarios financieros cobran una cantidad en concepto 
de intereses que se descuentan sobre el capital a vencimiento de la operación de que se 
trate. 
 
Sean: 
Cn = nominal (N) de la operación cuyo cobro se desea anticipar 
C0 = efectivo (E) que cobramos anticipadamente. 
D = descuento total, el interés I, D = Cn - C0 
n = Periodo de tiempo entre el cobro y el vencimiento de la operación que se 
descuente. 
 
3.1.1.-Cálculo del Valor Actual 
 
Dado que Cn = C0 (1 + i * n) despejando C0 del capital final se tiene: 
 
C0 = Cn / (1 + i · n) 
 
El descuento es por tanto reversible. Si se descuenta un capital Cn durante un tiempo n a 
un tipo i de interés, se obtiene un valor actual C0. Y si este capital descontado C0 se 
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invierte durante ese mismo periodo n y al mismo tipo de interés i nos producirá el mismo 
capital final Cn. 
 
3.1.2.-Cálculo del Descuento 
 
I = C0 * i *·n como ya se ha visto anteriormente. De la misma manera los intereses del 
efectivo durante el periodo n de tiempo que resta hasta su vencimiento, es lo que se conoce 
como el descuento Di, donde 
 
Ds = C0 * i * n 
 
El capital C0 no se conoce, ya que se está descontando Cn el Capital final o nominal. Por ello, 
hay que expresar el valor del descuento Di en función de Cn y para ello no hay más que 
sustituir el valor C0 en el Descuento. 
 
De modo que: 
 
C0 = Cn / (1 + i * n) con lo que queda: 
 
Ds = Cn · i · n / (1 + i · n) 
 
Ejemplo 
 
Para calcular el Descuento aplicable en un pagaré de 100.000 € de nominal, con vencimiento 
a 90 días, si el tomador del título pide un 5% anual, el resultado sería: 
 
Ds = ( 100.000 x ( 5% x ( 90/365 ) ) ) / ( 1 + ( 5% x ( 90/365 ) ) ) = 1.218 € 
 
3.2.-Descuento Comercial 
 
Este caso particular se calcula sobre el Nominal Cn. El Descuento será el precio,, esto es, la 
cantidad que se descontará a cada unidad de capital por anticipar su pago una unidad de 
tiempo dada. 
 
3.2.1.-Cálculo del Descuento Comercial 
 
Se denomina Dc a los intereses que el Nominal Cn devenga a un tipo de interés i de 
descuento durante el periodo n que falta hasta su vencimiento. 
 
Dc = Cn · i · n 
 
El valor inicial C0 es la diferencia entre el Nominal Cn y el Descuento Dc. 
 
C0 = Cn- Cn * i * n 
 
C0 = Cn (1 - i * n) 
 
 
 
 
 7
Ejemplo 
 
Para que una empresa sepa cuánto recibirá si descuenta la Letra de Cambio aceptada que le 
han dado como pago por sus servicios deberá tener en cuenta lo siguiente: 
 
El nominal de la letra (pongamos que se trata de 100.000 €), el vencimiento (por ejemplo 
dentro de 90 días) y el tipo de interés 3,5%. 
 
C0 = Cn ( 1 - i · n ) 
 
Luego C0 = 100.000 x (1- (3,5% x 90/365 )) = 99.137 € 
 
 
4.- Constitución de capitales 
 
La diferencia esencial entre la capitalización compuesta y la simple reside en la acumulación 
o no de los intereses para producir con ellos nuevos intereses. En la práctica habitual, se 
emplea la Capitalización Simple para operaciones a “corto plazo” (menores o iguales a un 
año) y la Compuesta en operaciones a “largo” o cuya duración exceda del año. 
 
4.1.-Definición Capitalización Compuesta 
 
Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se conoce como tal al 
proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente 
nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la 
capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el 
acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un 
préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de 
ambos produzca intereses en el período siguiente. 
 
Seguiría el siguiente esquema: 
 
Capital al final de un periodo: Capital al inicio + Intereses generados en ese periodo 
 
Recibe el nombre de Capitalización compuesta la operación de prestación múltiple y 
contraprestación única con vencimiento posterior. La operación de constitución tiene por 
objeto la formación o constitución de un capital mediante la realización de un plan de 
ahorro de un plan de inversión. 
 
Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta: 
 
C0 = Capital inicial 
n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación. 
i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada unidad monetaria invertida en un 
periodo. 
I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período. 
Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses. 
 
 
 
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4.2.-Cálculo del Capital final 
 
A) Operación de constitución de prestación y contraprestación única. 
 
El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo 
de vida de la operación financiera. 
 
Es decir, estamos calculando el capital final Cn, sobre un capital inicial C0 a un tipo de 
interés anual "i" para "n" períodos. 
 
 
 
- Capital al final del primer año: C1 = C0 + (C0·* i) = C0 (1 + i) 
- Capital al final del segundo año: C2 = C1 + (C1·* i) = C1·(1+i) = C0·(1+i)·(1+i) = C0·(1+i)2
- Capital al final del tercer año: C3 = C2 + (C2·* i) = C2·(1+i) = C0·(1+i)2·(1+i ) = C0·(1+i)3
- De este modo, al final de n años, el capital final será: 
 
Cn = C0 (1 + i)n 
 
B) Operación de constitución de prestaciones múltiples y contraprestación única. 
 
El capital final será la suma de todos los términos invertido con los intereses generados por 
cada término. El capital final está formado por los términos invertidos a un tipo de interés 
anual "i" durante "n" períodos. 
 
 
- Capital creado hasta 1: C1=a1 
- Capital creado hasta 2: C2= C1(1+i)+a2 =a2(1+i)+a3 
- Capital creado hasta 3: C3= a1(1+i)2+a2(1+i)+a3 
- De este modo, en el periodo n el capitalfinal será: 
 
Cn=a1(1+i)n-1+a2(1+i)n-2+....+an-1(1+i)+an
 
4.3.-Cálculo de los intereses 
 
A) En el caso de prestación y contraprestación únicas: 
 
Ya se ha visto que el capital final es la suma del capital inicial más los intereses, de manera 
que si se despeja el interés total I: 
 
Cn=C0+ I; I = Cn- C0 
 
 9
Dado que: Cn = C0 (1 + i)n ; 
 
Sustituyendo en I = C0 ( 1 + i )n - C0 y sacando C0 factor común, resulta: 
 
I = C0 [( 1 + i )n - 1] 
 
Ejemplo 
 
Los intereses producidos por un capital de 1.000.000 de € durante diez años al 4.5% anual 
de interés compuesto serán; 
 
I = 1.000.000 [(1 + 4.5%)10 – 1] 
 
B) En el caso de una constitución de n términos: 
 
I=a1·in-1+a2·in-2+......+an-1·i+an 
 
4.4.-Cálculo del capital inicial 
 
El cálculo del capital inicial es para el caso de prestación y contraprestación únicas. 
 
Despejando el capital inicial C0 en la fórmula Cn = C0 (1 + i)n queda lo siguiente: 
 
C0 = Cn /(1 + i)n= Cn·(1 + i)-n
 
Por otro lado también sabemos que: Cn= C0 + I por lo que si despejamos el valor del capital 
inicial C0 queda: 
 
C0= Cn - I 
 
Ejemplo 
 
Sea un Capital final de 1.000.000 €; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo invertido al 
8% durante diez años? 
 
C0= 1.000.000 / (1 + 8%)10 
 
4.5.-Cálculo del tipo de interés 
 
A partir de la expresión: Cn = C0 (1 + i)n 
 
Si se despeja: 
 
 
 
 
 10
Ejemplo: 
 
A qué tipo de interés fue invertido un capital de 500.000 € para convertirse en 625.000 € 
al cabo de cinco años. 
 
i = (625.000 /500.000)1/5 - 1 
 
4.6.-Cálculo del Periodo de tiempo 
 
Se trata de despejar "n" en la fórmula: Cn = C0 (1 + i )n, tendremos por lo tanto: 
 
Tomando logaritmos para despejar la incógnita, ya que está en la potencia: 
 
log (Cn / C0) =log (1 + i)n
 
Despejando: n= [log Cn - log C0]/log (1+i) 
 
 
5.- Préstamos y amortización de capitales 
 
5.1.-Definición de Amortización o Préstamos de Capitales 
 
Los préstamos de capitales es una operación financiera compuesta de prestación única y 
contraprestación múltiple con vencimiento posterior (aunque existen otras variantes que se 
contemplan más adelante). La operación de amortización de capital tiene por objeto la 
disminución de una deuda, mediante la entrega de una sucesión de pagos escalonados en el 
tiempo. Generalmente se conciertan entre personas físicas o jurídicas y las Entidades de 
Crédito. Es la operación contraria a la constitución. 
 
 
En esta operación intervienen los siguientes elementos: 
 
- C0: Capital prestado o a amortizar 
- as: Términos amortizados que entrega el prestatario para amortizar la deuda 
- i: Tipo de interés de la operación 
- Cn: Capital prestado valorado al final de la operación 
- n: Duración de la operación 
 
5.1.1.-Cálculo de los términos amortizados 
 
Si suponemos que los tipos de interés son constantes y que los términos amortizados son 
constantes, el cálculo de los términos se podrá hallar por medio de la igualdad entre 
prestación y contraprestación: 
 
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C0= a (1+i)-1+a(1+i)-2+...+a(1+i)-n
 
De tal forma que despejando "a": 
 
a = C0/[(1+i)-1+a(1+i)-2+...+a(1+i)-n] = C0 [(1+i)1+a(1+i)2+...+a(1+i)n] 
Si suponemos que el préstamo se devuelve en con una sola contraprestación al final de la 
operación, se obtiene (a esta operación también se le llama descuento compuesto racional): 
C0= a (1+i)-n = Cn (1+i)-n
 
En este caso el término amortizado sería igual a la totalidad a devolver, es decir al capital 
final: 
 
a = Cn = C0 (1+i)n
 
Ejemplo 
 
Calcular el valor de la cancelación de un préstamo a 15 años de 500.000 €, concedido a un 
tipo de interés compuesto del 5% (teniendo en cuenta que la cancelación de la operación 
que vence dentro de cinco años será por el nominal más los intereses acumulados hasta el 
momento), el resultado sería el siguiente. 
 
Cn = 500.000 (1 + 5%)10 = 814.447.3134 € 
 
5.1.2.-Cálculo de los intereses 
 
Se supone que la contraprestación sea única, es decir se devolverá el capital prestado 
mediante una entrega al final de la operación. 
 
Cn = C0 +I ; I = Cn- C0= Cn - Cn (1+i)-n = Cn (1- (1+i)-n) 
 
o bien: I= Cn- C0= C0 (1+i)n- C0= C0 ((1+i)n-1) 
 
5.1.3.-Cálculo del tipo de interés 
 
Aplicando el mismo procedimiento que en los apartados anteriores, es decir despejando de 
la igualdad principal: 
 
 
5.2.-Descuento compuesto comercial 
 
Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente se utiliza la ley 
financiera del descuento compuesto, que es la operación inversa a la capitalización 
compuesta. 
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Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes: 
 
Cn = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento. 
Co = Efectivo o cantidad presente. 
D = Descuento total, la diferencia entre el nominal y el efectivo. Los intereses I. 
n = El periodo de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento. 
d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, 
en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra. 
i = Tipo de interés anual. 
 
Si se quiere, por ejemplo, cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento fuera a 
producirse dentro de un número determinado de años, la cantidad que recibida sería el 
valor actual o valor presente del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de 
interés i o ya por el descuento d. 
 
Se llama descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el 
momento de liquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los 
intereses se hace sobre el nominal. 
 
5.2.1.-Cálculo del valor actual 
 
Sea un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. El valor actual Co será 
por lo tanto: 
 
 
- El valor del capital disponible al final del año n: Cn 
- El valor del capital disponible al final del año n- 1: Cn-1 = Cn - Cn·. d = Cn (1 – d) 
- El valor del capital disponible al final del año n-2: Cn-2 = Cn-1- Cn-1·. d = Cn-1 (1 – d); 
Cn-2 = Cn (1 -d) (1 -d) = Cn-1 (1 - d )2 
- El valor del capital disponible al final del año n-3: Cn-3 = Cn-2 - Cn-2· d = Cn-2 (1 – d); 
Cn-3 = Cn ( 1 – d )2 ( 1 – d )= Cn ( 1 - d )3 
 
- Y así, el valor del capital en el origen Co será: Co = Cn (1 - d )n
 
5.2.2.-Cálculo del descuento 
 
Se trata de los intereses calculados sobre el nominal en función del tiempo que falta hasta 
su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = Cn–Co. 
Como ya conocemos el valor de Co: 
 
Co = Cn (1 – d )n
 
sustituyendo: D = Cn - Cn ( 1 – d )n = Cn [ 1 - ( 1 – d )n ] 
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5.2.3.-Cálculo del valor nominal 
 
También en este caso se parte de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejando el nominal Cn se 
tiene que: 
 
Cn = Co / (1 - d )n
 
5.2.4.-Cálculo del tipo de descuento 
 
Una vez más partiremos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejamos d: 
 
 
5.2.5.-Cálculo del tiempo 
 
A partir de la fórmula Co = Cn (1 - d)n , se despeja n: 
 
n= [log Co - log Cn]/ log (1-d)z 
 
5.3.-Métodos de amortización de capitales 
 
- Método de Amortización del Sistema Americano: En este tipo de amortización el 
prestatario entrega al prestamista en cada ejercicio tan solo los intereses generados por el 
Capital prestado, y en el último periodo entrega los intereses generados en ese periodo y el 
Capital prestado. 
 
 
- Método de Amortización Francés: En este tipo de amortización el prestatario entrega 
al prestamista en cada ejercicio una cantidad constante con la que se cubren los intereses 
generados y parte del principal a amortizar. 
 
 
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- Método de Amortización de cuota de amortización constante: En este tipo de 
amortización el prestatario amortiza todos los periodos la misma cantidad de principal y los 
intereses generados. 
 
 
- Método de Amortización con Fondos de Amortización: En este tipo de amortización el 
prestatario paga al prestamista los intereses generados por el principal y constituye al 
mismo tiempo un fondo con el quedevolverá el principal prestado al final de la operación. 
 
 
- Método de Amortización de Términos variables en Progresión Geométrica: En este 
tipo de amortización el prestatario paga el principal por medio de términos en progresión 
geométrica creciente o decreciente, de tal forma que la suma financiera de todos los 
términos en el momento inicial de la operación es igual al capital prestado. 
 
 
- Método de Amortización de Términos variables en Progresión Aritmética: Este tipo 
de amortización es igual al anterior con la única variedad de que los términos varían en 
progresión aritmética creciente o decreciente. 
 
 
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6.- Tipos equivalentes 
 
6.1.-Tipos de Interés equivalentes en la Capitalización Compuesta y Amortización 
 
Los tipos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital inicial determinado producen 
el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a 
diferentes períodos de capitalización. 
 
Para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso 
del interés compuesto no es así. 
 
Si m es la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período 
de tiempo se capitalizan los intereses producidos, para un año se tiene que: 
 
m = 2 Cuando se capitalicen los intereses semestralmente 
m = 3 Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente 
m = 4 Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente 
m Cuando se capitalicen los intereses m-esimamente 
 
Por tanto, dado un tipo de interés anual i y una frecuencia m de capitalización, el tipo de 
interés equivalente anual se denomina Tasa Anual de Equivalente (TAE). 
 
Ejemplo: Un euro invertido durante un año al tipo de interés i, proporciona un capital final 
de (1+i). Ese mismo euro invertido durante el mismo periodo pero con una frecuencia de 
capitalización m al tipo im, dará un capital final de (1 + i m )m. 
 
Para que el tipo i sea equivalente a im, los capitales finales por definición han de ser iguales, 
por lo que: 
 
(1 + i) = (1 + im)m 
 
Con lo que: 
 
- el tipo de interés efectivo anual (TAE). 
 
TAE = (1 + im)m - 1 
 
6.2.-Equivalencia entre Tipo de interés postpagable y prepagable 
 
En toda operación de Amortización de capitales o Préstamo, los intereses producidos por el 
principal pueden pagarse o bien al principio del periodo o bien al final. Según estos 
intereses sean abonados en un momento u otro del intervalo se utilizará un tipo de interés 
u otro. 
 
Préstamo con intereses postpagables: Si presentamos el esquema correspondiente al pago 
de los intereses, la operación quedaría del siguiente modo: 
 16
 
 
Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes: 
 
I1=C0·i 
I2=C1·i 
........ 
In=Cn-1·i 
 
 
- Préstamo con intereses prepagable: En este tipo de amortización los intereses que 
se producen un periodo se pagan en el periodo anterior, es decir se anticipan, de tal 
modo que el esquema financiero del pago de los intereses sería el siguiente: 
 
 
Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes: 
- I*1= C0·i* 
- I*2= C1·i* 
......... 
- I*n= Cn-1·i* 
 
Por otro lado: Is=I*s(1+i), y sustituyendo: 
 
Cs-1·i=Cs-1·i*(1+i) 
i=i*(1+i) 
i*=i/(1+i) 
Dado que: (1+i)=(1+i*), 
 
despejando se obtiene: 
 
i=i*/(1-i*) 
 
 
 17
MBA Postgrado
2007/2008
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CONCEPTOS BÁSICOS DE 
MATEMÁTICA FINANCIERA
Gloria Montes Gaytón
MÓDULO: DIRECCIÓN FINANCIERA
MBA 2007-2008
Pág. 3MBA 2007-2008
Concepto
Intercambio de capitales con vencimientos no simultáneos
Elementos que intervienen
Principal o capital
Contraprestación
Origen
Final de la operación
Duración de la operación
Estructura de la operación financiera
Cash flowConjunto de entradas y salidas
Pág. 4MBA 2007-2008
Capital : 150.000 €
Interés: 5%
Tiempo: 1 año
Capital final = Capital inicial + Intereses
Intereses: 5% * 150.000 = 7.500 €
Capital final = 150.000 € + 7.500 € = 157.500 €
Capital final = Capital inicial x (1+i)Capital final = Capital inicial x (1+i)
Capital inicial = Capital final / (1+i)Capital inicial = Capital final / (1+i)
Pág. 5MBA 2007-2008
Calcular el interés que generan 500.000 € durante 4 meses a un 
tipo de interés del 8%.
Qué es preferible recibir:
♣ Un capital de 50.000 € dentro de 3 meses.
♣ Un capital de 40.000 € dentro de 6 meses
♣ Un capital de 60.000 € dentro de un año.
Considerando que estos importes se pueden invertir al 8%.
Pág. 6MBA 2007-2008
Capital
Horizonte temporal
Tipo de interés
1-(1+i)-n
Valor Actual (VA) = 
i
Calcular el valor actual de una renta anual de 10.000 € pospagable, 
durante 5 años a un tipo de interés del 5%.
Calcular el valor actual de una renta anual de 10.000 € prepagable, 
durante 5 años a un tipo de interés del 5%.
Suma = 
a1 (rn -1)
r -1
En caso de que fuera infinita ???
Pág. 7MBA 2007-2008
Sea un renta pospagable de 5.000 € semestrales, durante 4 años a un 
tipo de interés del 5%.
Calcular: Valor actual y Valor final 
Calcular el valor actual de una renta pospagable y variable a un tipo 
del 5%. 
Periodo Capital (€)
1º semestre 1.000
2º semestre 2.000
3º semestre 1.500
4º semestre 3.000
5º semestre 1.000
6º semestre 4.000
Pág. 8MBA 2007-2008
Horizonte temporal (HT): vida Horizonte temporal (HT): vida úútil de la operacitil de la operacióónn
OrigenOrigen Entrada del capitalEntrada del capital
FinalFinal LiquidaciLiquidacióón de la n de la úúltima cuotaltima cuota
El horizonte Temporal se expresa en los periodos de liquidaciEl horizonte Temporal se expresa en los periodos de liquidacióónn
ddíías, semanas, meses, trimestres, as, semanas, meses, trimestres, semestressemestres……..
Pág. 9MBA 2007-2008
Cash flow de la operaciCash flow de la operacióón: (entradas n: (entradas –– salidas) de la operacisalidas) de la operacióón n 
financierafinanciera
Entradas en Entradas en 
origen { PrincipalPrincipalorigen
{ Apertura, gastos estudio, AJD, otras comisionesApertura, gastos estudio, AJD, otras comisionesSalidas en Salidas en 
origenorigen
{Salidas en Salidas en 
el HT Cuota de principal y los gastos financierosCuota de principal y los gastos financierosel HT
Pág. 10MBA 2007-2008
Coste Efectivo en el periodo
Coste efectivo anual Tasa Anual Equivalente
(TAE)
Periodos liquidación/año
1 + TAE = (1 + Coste periodo liquidación)
TAE = (1+coste mensual)12 -1
TAE = (1+coste cuatrimestral)3 -1
TAE = (1+coste trimestral)4 -1
TAE = (1+coste semestral)2 -1
Pág. 11MBA 2007-2008
Pág. 12MBA 2007-2008
DEPÓSITO
Inversión 
financiera
Se deposita en un banco 5.000 € el día 1 de enero y 5.500 € el 1 de julio. 
Al final del año se recibe del banco 12.000 €.
Calcular el interés efectivo de la operación.
Pág. 13MBA 2007-2008
PROVEEDORES
Financiación
Espontánea
La empresa DISTRIBUIDORA DEL BERGUEDÁ ha pactado a 
60 días fecha factura el pago de sus compras. Si dicho pago 
lo abona 10 días después de recibir la factura, tiene un 
descuento por pronto pago de un 2,5%.
¿Qué interés puede tener acogerse al pago anticipado?
¿Qué coste le representa financiarse hasta el final de las 
condiciones básicas? 
Pág. 14MBA 2007-2008
Financiación
negociada
PROVEEDORES: aplazamiento
Las condiciones básicas de pago (CBP) que la empresa PRODUCCIONES 
ALONSO, SA tiene con un proveedor de 45 días. 
En estos momentos ha propuesto un aplazamiento con dicho proveedor, 
dado que no dispone de cash suficiente para liquidar la factura.
El proveedor estaría dispuesto a financiar hasta 90 días, con un recargo 
explícito del 2,5%.
¿Qué coste representa esta financiación extraordinaria?
Hablando con su banco, tendría la posibilidad de obtener dinero a un 
tipo del 7%.
¿Qué financiación tiene más interés económico?
Pág. 15MBA 2007-2008
Financiación
negociada
LÍNEA DE CRÉDITO
La empresa COMERCIAL EXTREMEÑA está negociando una póliza de 
crédito por un total de 150.000€ a un tipo de interés del 6,5%, con 
una comisión de apertura del 1,5% y liquidaciones de intereses por 
trimestres vencidos.
¿Qué coste representa dicha operación? 
Pág. 16MBA 2007-2008
Financiación
negociada
PRÉSTAMO con garantía 
pignoraticia
La empresa INGENIEROS REUNIDOS, SA está negociando una 
operación financiera con el fin de aplicar a una inversión. 
Las condiciones propuestas por el banco y que la dirección está dispuesta 
a aceptar son las siguientes:
♠ Capital máximo: 300.000 €
♠ Tipo de interés: 6,5%1
♠ Liquidaciones de capital e intereses: semestral
♠ Comisión apertura: 1,25%
Se condiciona la retención en una cuenta de ahorro el 15% del principal 
prestado, el cual sería retribuido al tipo del 2%. 
La operación tiene un horizonte de 2 años. 
¿Cuál es el coste de la operación? 
Pág. 17MBA 2007-2008
Financiación
negociada
PRÉSTAMO con interés 
variable
La empresa EVENTOS, SL, con el fin de dotar de mayores medios, ha 
previsto realizar una inversión de 120.000 €. El 30% sería cubierto con 
recursos propios y, el resto, financiación bancaria.
Después de la entrevista con el director del banco, se consideran, como 
más probables, las condiciones siguientes:
♣ Capital: 70% de la inversión
♣ Tipo de interés: Euribor + 1,50 puntos porcentuales
♣ Plazo de amortización: 4 años
♣ Liquidaciones: mensuales
♣ Comisión de apertura: 1,25%
Euribor: 4,50 (1º año), 4,65% (2º año), 4,80% (3º año), 4,50% (4º año)
¿Qué coste tiene la operación?
Pág. 18MBA 2007-2008
♦ Matemáticas de las Operaciones Financieras
María Ángeles Gil Luezas
Universidad Nacional de Educación a Distancia
♦ Matemática Financiera
Jesús María Ruiz Amestoy
Centro Formación del Banco de España