Equilíbrio e Frequência Angular

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Problemas Resueltos 
 
6.1 Determinar la posición de equilibrio y la frecuencia angular del sistema 
de resorte, masa y polea mostrados. El resorte tiene una constante k, y la polea 
puede considerarse como desprovista de fricción y de masa despreciable. 
k
m
 
• En el equilibrio, sobre la masa m actúa su peso hacia abajo, y la tensión de la 
cuerda hacia arriba. Por tanto, la condición de equilibrio para la masa m es 
mg T= 
Sobre la polea actúa la tensión de la cuerda hacia abajo, dos veces, una por cada lado 
de la polea, y la fuerza elástica del muelle, hacia arriba. Si L es la longitud del 
muelle en el estado de equilibrio, y L0 su longitud natural, la condición de equilibrio 
para la polea es 
( )02T k L L= − 
 Con estas dos ecuaciones, se deduce que 
0 2
mg
L L
k
= + 
 
• Una vez establecido el equilibrio, desplazamos la masa m una distancia 
vertical y hacia abajo, dejándola en libertad. La ecuación de movimiento para la 
masa m es 
2
2
d y
m T
dt
′= − 
donde T ′ es la tensión de la cuerda menos su valor en el equilibrio T. Fijándonos 
ahora en la polea vemos que si la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, el 
muelle debe alargarse una distancia y/2 respecto de su posición de equilibrio. Como 
la polea no tiene masa, su ecuación de movimiento es 
2
2
y
T k′ = 
de donde obtenemos 
4
y
T k′ = 
con lo cual, la masa m realiza el movimiento 
2
2 4
d y y
m k
dt
= − 
 que es un MAS, 
2
2 0
4
d y k
y
mdt
+ = 
de frecuencia 
4
k
m
ω = 
 
6.2 Determinar la posición de equilibrio y la frecuencia angular del sistema 
de masa única mostrado. La masa de la polea es despreciable. 
k
m
 
• En el equilibrio, sobre la masa m actúa su peso y la tensión del hilo. De aquí 
que la tensión de equilibrio sea 
mg T= 
Sobre la polea actúa en la parte izquierda y hacia arriba una tensión T ′ , en la parte 
derecha, también hacia arriba, la fuerza elástica del muelle, y hacia abajo la tensión 
del hilo. Por tanto, la condición de equilibrio para la polea es 
( )0T k L L T′ + − = 
Como además, la cuerda unida al muelle en la parte superior es inextensible, la 
tensión T ′ debe ser igual a la fuerza elástica 
( )0T k L L′ = − 
De estas ecuaciones obtenemos la posición de equilibrio del muelle, 
( )0
0
2 2
2
T mg
k L L
mg
L L
k
− = =
= +
 
 
• Desplazamos ahora la masa m una distancia y hacia abajo. La ecuación de su 
movimiento es 
2
2
d y
m T
dt
′′= − 
donde T ′′ es la tensión del hilo menos su valor en el equilibrio T. Fijándonos ahora 
en la polea vemos que si la masa se desplaza una distancia y hacia abajo, el muelle 
debe alargarse una distancia 2y respecto de su posición de equilibrio. Además, la 
cuerda y el muelle ejercen la misma fuerza, y como la polea no tiene masa, su 
ecuación de movimiento es 
( )2 2 4T k y ky′′ = = 
de donde deducimos que la masa m realiza el movimiento 
2
2 4
d y
m ky
dt
= − 
que es un MAS, 
2
2
4
0
d y k
y
mdt
+ = 
de frecuencia 
2
k
m
ω = 
 
6.3 Determinar la posición de equilibrio, y la frecuencia angular del sistema 
mostrado. Las masas y fricciones en las poleas son despreciables. 
k
m
 
 
• De forma análoga a los dos problemas anteriores, la tensión del hilo en el 
equilibrio es 
mg T= 
La tensión de equilibrio de la primera polea satisface 
12T T mg= = 
y la tensión de la cuerda en la segunda polea debe ser igual a la fuerza elástica del 
muelle 
( )2 0T k L L= − 
Con esto, la ecuación de equilibrio para la segunda polea resulta ser 
( ) ( )2 0 0 12T k L L k L L T+ − = − = 
 
 
 
 
• Con estas ecuaciones se deduce que la posición del muelle en el equilibrio 
satisface 
( )0 1
0
2
2
4
mg
k L L T
mg
L L
k
− = =
= +
 
 
• Ahora desplazamos hacia abajo la masa m una distancia y. La ecuación de su 
movimiento es 
2
2
d y
m T
dt
′= − 
donde T ′ es la tensión del hilo menos su valor en el equilibrio T. Como la primera 
polea no tiene masa, el valor 1T ′ , tensión de su cuerda menos el valor en el equilibrio 
1T , satisface 
12T T′ ′= 
Al desplazarse la masa m una distancia y hacia abajo, la primera polea se desplaza 
una distancia y hacia abajo, y la segunda polea una distancia 2y hacia abajo. Esto 
quiere decir que el muelle debe alargarse una distancia 4y respecto de su posición de 
equilibrio. Como la cuerda es inextensible, el valor de la tensión 2T′ respecto del 
equilibrio, es 
2 4T ky′ = 
y como la segunda polea tampoco tiene masa, su ecuación del movimiento es 
2 14 8T ky ky T′ ′+ = = 
De estas ecuaciones obtenemos T ′ 
12 16T T ky′ ′= = 
con lo cual, la masa m realiza el MAS, 
2
2
16
0
d y k
y
mdt
+ = 
de frecuencia 
4
k
m
ω = 
 
6.4 Dos masas m se encuentran en el interior de un tubo liso, sin fricción, 
que gira en un plano horizontal alrededor del punto fijo O, con una velocidad 
angular constante Ω . Cada una de las masas está unida a O por un resorte de 
constante k. Determinar la posición de equilibrio, y la frecuencia angular de 
oscilación del sistema. 
m
O
m
Ω
 
• El movimiento de cada masa es independiente, por lo que sólo debemos 
fijarnos en una de ellas. Sea r la distancia medida en la dirección del tubo desde la 
posición de la masa m hasta el punto O. Las fuerzas que actúan sobre m en la 
dirección del tubo son la fuerza centrífuga, hacia afuera, debida a la rotación 
respecto a O, y la fuerza elástica del muelle. Si 0r es la longitud natural del muelle, 
la posición de equilibrio eqr de la masa m satisface 
( )2
0
0
2
eq eq
eq
m r k r r
kr
r
k m
Ω = −
=
− Ω
 
 
• Ahora desplazamos la masa m una distancia s hacia afuera. La coordenada 
radial será entonces 
eqr r s= + 
y de la ecuación de movimiento para la masa m, 
( )
2
2
02
d r
m m r k r r
dt
= Ω − − 
obtenemos 
( ) ( )
2
2
02 eq eq
d s
m m r s k r s r
dt
= Ω + − + − 
y utilizando la condición de equilibrio, esta ecuación se reduce a 
2
2
2
d s
m m s ks
dt
= Ω − 
que es la ecuación de un MAS, 
2
2
2 0
d s k
s
mdt
 + − Ω = 
 
 
de frecuencia angular 
2k
m
ω = − Ω 
 
6.5 Un pequeño cuerpo orbital se desplaza de su órbita circular una 
pequeña distancia δ . Determinar el período y la ecuación de movimiento de la 
perturbación. 
 
• Como ya se estudió en el primer parcial (Movimiento planetario), el 
movimiento de una masa m en el campo gravitatorio terrestre satisface la ley de las 
áreas, 
2 cter θ =& 
y la ecuación del movimiento para la coordenada radial se escribe 
( ) efdV
mr F r
dr
= = −&& 
donde 
2
22ef
GMm L
V
r mr
= − + 
es el potencial efectivo que sufre la partícula. Escrito así, el problema se reduce a 
una sola dimensión, la dimensión radial y podemos emplear los resultados del MAS 
en presencia de un potencial unidimensional arbitrario. Respecto a la coordenada 
radial, la órbita circular es un punto de equilibrio, y respecto a dicho punto, la masa 
m oscilará en un movimiento armónico, cuya frecuencia está dada por 
( )0efV r
m
ω
′′
= 
donde 0r es el radio de la órbita circular. 
• Por tanto, al calcular ω, debe cumplirse que 0r es el punto de equilibrio radial, 
esto es 
( )0 0efV r′ = 
ó 
2
2 3
0 0
GMm L
r mr
= 
La posición de equilibrio está dada por 
2
0 2
L
r
GMm
= 
Entonces, la derivada segunda del potencial en el punto de equilibrio es 
( )
2
0 3 4
0 0
 2 3ef
GMm L
V r
r mr
′′ = − + 
y eliminando 2L utilizando el valor 0r , obtenemos 
( )0 3 3 3
0 0 0
 2 3ef
GMm GMm GMm
V r
r r r
′′ = − + = 
 
• Con esto, la frecuencia angular de la oscilación respecto a la órbita circular es 
3
0
GM
r
ω = 
y la ecuación de movimiento corresponde al MAS, 
3
0
0
GM
r
δ δ+ =&& 
donde δ es el desplazamiento radial respecto de la órbita circular 
0r rδ = − 
 
 
6.6 Determinar el momento de inercia de un cuerpo plano de masa m a 
partir de las observaciones de la frecuencia angular de la oscilación libre del 
cuerpo cuando éste se suspende de dos hilos ligeros por dos extremos opuestos 
del cuerpo. La longitud de los hilos es H, y la distanciaentre los puntos de 
suspensión en el cuerpo es D. Generalizar al caso de que tuviésemos N hilos de 
suspensión. 
H H
D m
 
• Al moverse el cuerpo en el plano horizontal, asciende y desciende una 
cantidad pequeña. Inicialmente, cuando no existe giro, las tensiones de los hilos no 
producen un torque sobre el eje vertical. Pero cuando el cuerpo asciende, los hilos ya 
no están verticales, y existe un torque descompensado no nulo. Este torque está 
dirigido en sentido contrario a la rotación, y se produce un MAS. Sea φ el ángulo que 
forman los hilos con la vertical cuando el cuerpo ha girado un ángulo θ. 
O
θ
φ φ
 
Por la geometría del sistema, los dos ángulos no son independientes sino que existe 
la relación 
O 
θ 
φ H 
2 / D 
θ φ sin 
2 
sin D H d = = 
d 
d 
 
que expresa el hecho de que la proyección sobre el plano horizontal del giro del hilo 
coincide con el giro del cuerpo. 
 
 
 
• El momento de giro respecto al punto O, generado por la tensión en los hilos 
es 
2 sin
2
D
M T φ= − 
El signo menos indica que el momento tiende a disminuir el ángulo de giro. Con 
ayuda de la anterior relación geométrica, la ecuación de rotación para el cuerpo 
respecto de la vertical es 
2
sin sin sin
2 2
D D
I M TD TD T
H H
θ φ θ θ= = − = − = −&& 
Para ángulos pequeños, sinθ θ≈ , obtenemos la ecuación de un MAS, 
2
0
2
D
T
HI
θ θ+ =&& 
 
• Para determinar la tensión de los hilos, suponemos que para ángulos 
pequeños, la componente vertical de las tensiones sean aproximadamente igual a T, 
y estas tensiones deben equilibrar el peso del cuerpo. Así, 
2T mg= 
con lo cual 
2
mg
T = 
y la frecuencia angular de oscilación es 
HI
mgD
HI
D
T
42
22
==ω 
Así, pues, conocida la frecuencia de oscilación del cuerpo, midiendo su período de 
oscilación, el momento de inercia del cuerpo está dado por 
2
2
2
2
42 ωω H
mgD
H
TD
I == 
 
• Cuando tenemos el cuerpo colgado de N hilos, la tensión sobre cada hilo es 
mg
T
N
= 
y el torque 
sin
2
D
M N T φ= − 
y se comprueba que la expresión para la frecuencia angular, y de aquí la expresión 
para el momento de inercia no varían, como funciones de la tensión sobre cada hilo. 
 
 
 
 
 
 
 
6.7 Determinar la frecuencia de oscilación de un resorte de constante k 
unido por un extremo a una pared, y por el otro a una masa m, si consideramos 
que el resorte tiene una masa no nula M. 
 
• El sistema sigue siendo conservativo, el movimiento se produce al 
transformarse la energía cinética en energía potencial elástica, y viceversa. Al 
considerar que el muelle tiene una masa no nula, la energía potencial del sistema se 
deduce de la misma expresión, pero la energía cinética sí varía. Es decir, la ecuación 
de conservación de la energía se escribe 
2 2
,
1 1
2 2c muelleE mV E kx= + + 
siendo 
dx
V
dt
= 
la velocidad de la masa m. 
• La energía cinética del muelle es, por definición, 
2
,
1 
2c muelle dmE dm V= ∫ 
siendo dm un elemento arbitrario de masa, con velocidad dmV . Escogemos un 
sistema de coordenadas fijo en la pared, siendo s la distancia del elemento de masa 
dm a la pared cuando el resorte está en reposo. Cuando el resorte se alarga, vamos a 
suponer que el alargamiento del muelle hasta el elemento dm es proporcional a su 
longitud en reposo s, esto es, 
( )l k x s= 
donde la constante k depende de x. Para determinar esta constante, sabemos que el 
alargamiento total es x, 
( ) ( )
0 0
0
0 0
L L
x dl k x ds k x L= = =∫ ∫ 
siendo 0L la longitud del muelle en reposo. Entonces, 
( )
0
x
k x
L
= 
con lo cual, el alargamiento l del muelle hasta el elemento dm es 
0
x
l s
L
= 
• La velocidad del elemento de masa dm respecto a nuestro sistema de 
coordenadas será igual a la variación temporal de la longitud l. Esto es, 
0 0
dm
dl s dx s
V V
dt L dt L
= = = 
Además, si el muelle es homogéneo, el elemento de masa dm es 
0
M
dm ds
L
= 
y con esto, la energía cinética del muelle se escribe 
0
2 2 2
, 3
00
1 1
2 6
L
c muelle
M
E V s ds MV
L
= =∫ 
y la energía cinética total del sistema es 
2 2 21 1 1
2 6 2 3c
M
E mV MV m V = + = + 
 
 
• De la conservación de la energía, obtenemos la ecuación de un MAS, de forma 
análoga al caso de un muelle sin masa. La frecuencia de oscilación es 
3
k
M
m
ω =
+
 
 
Problemas Propuestos 
 
6.7 Determinar por el método de energía de Rayleigh, y por el método de la 
forma funcional, la frecuencia de oscilación del sistema dado. 
k k
m
b
c
 
Solución: 
2
2
22
kb g
cmc
ω = − 
 
6.8 Una partícula desliza hacia atrás y hacia delante, sin fricción, entre dos 
planos inclinados que forman un ángulo α con la horizontal, unidos suavemente 
por su punto más bajo. Supongamos que la partícula parte del reposo en un 
punto inicial a una altura h desde la horizontal. 
a) Calcular su período, y determinar si se trata de un movimiento 
oscilatorio, armónico simple, periódico. 
b) Determinar la componente horizontal de la velocidad de la partícula 
cuando pasa por el punto de unión de los dos planos 
c) Considerando la forma de la trayectoria, si quisiéramos aproximar el 
movimiento a un MAS, podríamos hacerlo en el punto más alto de la 
trayectoria, en el punto más bajo de la trayectoria, o en ningún punto de 
la trayectoria.